Užduotis Nr. 3. Padarykite brėžinį ir apskaičiuokite figūros plotą, apribotas linijomis

Integralo taikymas taikomųjų uždavinių sprendimui

Ploto skaičiavimas

Tolydžios neneigiamos funkcijos f(x) apibrėžtasis integralas skaitiniu požiūriu lygus kreivinės trapecijos, apribotos kreivės y = f(x), O x ašies ir tiesių x = a ir x = b, plotas. Atsižvelgiant į tai, ploto formulė parašyta taip:

Pažvelkime į keletą plokštumos figūrų plotų skaičiavimo pavyzdžių.

Užduotis Nr.1. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja tiesės y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Sprendimas. Sukonstruokime figūrą, kurios plotą turėsime apskaičiuoti.

y = x 2 + 1 yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, o parabolė O y ašies atžvilgiu pasislinkusi vienu vienetu aukštyn (1 pav.).

1 pav. Funkcijos y = x 2 + 1 grafikas

Užduotis Nr.2. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja tiesės y = x 2 – 1, y = 0 intervale nuo 0 iki 1.

Sprendimas.Šios funkcijos grafikas yra šakų, nukreiptų į viršų, parabolė, o parabolė O y ašies atžvilgiu paslinkta žemyn vienu vienetu (2 pav.).

2 pav. Funkcijos y = x 2 – 1 grafikas

Užduotis Nr. 3. Padarykite brėžinį ir apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

y = 8 + 2x – x 2 ir y = 2x – 4.

Sprendimas. Pirmoji iš šių dviejų tiesių yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn, nes koeficientas x 2 yra neigiamas, o antroji linija yra tiesė, kertanti abi koordinačių ašis.

Parabolei sukonstruoti randame jos viršūnės koordinates: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – viršūnės abscisė; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 yra jo ordinatė, N(1;9) yra jo viršūnė.

Dabar išspręsdami lygčių sistemą suraskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus:

Lygties, kurios kairiosios pusės yra lygios, dešiniųjų kraštinių prilyginimas.

Gauname 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 arba x 2 – 12 = 0, iš kur .

Taigi taškai yra parabolės ir tiesės susikirtimo taškai (1 pav.).

3 pav. Funkcijų y = 8 + 2x – x 2 ir y = 2x – 4 grafikai

Sukonstruokime tiesę y = 2x – 4. Ji eina per taškus (0;-4), (2;0) koordinačių ašyse.

Norėdami sukurti parabolę, taip pat galite naudoti jos susikirtimo taškus su 0x ašimi, ty lygties šaknis 8 + 2x – x 2 = 0 arba x 2 – 2x – 8 = 0. Naudojant Vietos teoremą, tai paprasta rasti jo šaknis: x 1 = 2, x 2 = 4.

3 paveiksle parodyta figūra (parabolinė atkarpa M 1 N M 2), kurią riboja šios linijos.

Antroji problemos dalis yra rasti šios figūros plotą. Jo plotą galima rasti naudojant apibrėžtąjį integralą pagal formulę .

Pritaikyta ši sąlyga, gauname integralą:

2 Sukimosi kūno tūrio apskaičiavimas

Kūno tūris, gautas sukant kreivę y = f(x) aplink O x ašį, apskaičiuojamas pagal formulę:

Sukant aplink O y ašį formulė atrodo taip:

4 užduotis. Nustatykite kūno tūrį, gautą sukant lenktą trapeciją, kurią riboja tiesės x = 0 x = 3 ir kreivė y = aplink O x ašį.

Sprendimas. Nupieškime piešinį (4 pav.).

4 pav. Funkcijos y = grafikas

Reikalingas tūris yra

Užduotis Nr.5. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant lenktą trapeciją, kurią riboja kreivė y = x 2 ir tiesės y = 0 ir y = 4 aplink O y ašį.

Sprendimas. Mes turime:

Peržiūrėkite klausimus

Tegul funkcija yra neneigiama ir tęstinė intervale. Tada pagal geometrinę apibrėžtojo integralo reikšmę kreivinės trapecijos plotas, kurį viršuje riboja šios funkcijos grafikas, žemiau ašies, kairėje ir dešinėje tiesiomis linijomis ir (žr. 2 pav.) apskaičiuojamas pagal formulę

9 pavyzdys. Raskite figūros, apribotos linija, plotą ir ašis.

Sprendimas. Funkcijų grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn. Pastatykime jį (3 pav.). Integravimo riboms nustatyti randame tiesės (parabolės) susikirtimo su ašimi (tiesia linija) taškus. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygčių sistemą

Mes gauname: , kur , ; vadinasi, , .

Ryžiai. 3

Figūros plotą randame pagal (5) formulę:

Jei funkcija yra neteigiama ir tęstinė atkarpoje , tada kreivinės trapecijos plotas, apribotas žemiau šios funkcijos grafiko, viršuje - ašimi, kairėje ir dešinėje - tiesėmis ir , apskaičiuojamas pagal formulę

. (6)

Jei funkcija yra ištisinė atkarpoje ir keičia ženklą baigtiniame taškų skaičiuje, tai užtamsintos figūros plotas (4 pav.) yra lygus algebrinė suma atitinkami apibrėžtieji integralai:

Ryžiai. 4

10 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja ašis ir funkcijos grafikas ties .

Ryžiai. 5

Sprendimas. Padarykime piešinį (5 pav.). Reikalingas plotas yra plotų ir suma. Raskime kiekvieną iš šių sričių. Pirmiausia, išspręsdami sistemą, nustatome integracijos ribas Mes gauname , . Taigi:

;

.

Taigi, užtamsintos figūros plotas yra

(kv. vnt.).

Ryžiai. 6

Galiausiai, leiskite kreivinę trapeciją virš ir žemiau apriboti funkcijų grafikais, kurie tęsiasi segmente ir ,
o kairėje ir dešinėje – tiesios linijos ir (6 pav.). Tada jo plotas apskaičiuojamas pagal formulę

. (8)

11 pavyzdys. Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos ir.

Sprendimas.Šis paveikslas parodytas fig. 7. Apskaičiuokime jo plotą pagal (8) formulę. Išspręsdami lygčių sistemą randame, ; vadinasi, , . Segmente turime: . Tai reiškia, kad formulėje (8) imame kaip x, o kaip savybė – . Mes gauname:

(kv. vnt.).

Sudėtingesnės plotų skaičiavimo problemos išsprendžiamos padalijus figūrą į nesutampančius dalis ir visos figūros plotą apskaičiuojant kaip šių dalių plotų sumą.

Ryžiai. 7

12 pavyzdys. Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , , .

Sprendimas. Padarykime piešinį (8 pav.). Ši figūra gali būti laikoma kreivine trapecija, kurią iš apačios riboja ašis, į kairę ir į dešinę - tiesiomis linijomis, o iš viršaus - su funkcijų grafikais ir. Kadangi figūrą iš viršaus riboja dviejų funkcijų grafikai, norėdami apskaičiuoti jos plotą, šią tiesės figūrą padalijame į dvi dalis (1 yra tiesių ir ) susikirtimo taško abscisė. Kiekvienos iš šių dalių plotas randamas pagal (4) formulę:

(kv. vnt.); (kv. vnt.). Taigi:

(kv. vnt.).

Ryžiai. 8

X= j ( adresu)

Ryžiai. 9

Apibendrinant pažymime, kad jei kreivinė trapecija yra apribota tiesiomis linijomis ir , ašimi ir ištisine kreive (9 pav.), tada jos plotas randamas pagal formulę

Sukimosi kūno tūris

Tegul kreivinė trapecija, apribota atkarpoje ištisinės funkcijos grafiku, ašimi, tiesiomis linijomis ir , sukasi aplink ašį (10 pav.). Tada pagal formulę apskaičiuojamas gauto sukimosi kūno tūris

. (9)

13 pavyzdys. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink kreivinės trapecijos, ribojamos hiperbole, tiesėmis ir ašimi, ašį.

Sprendimas. Padarykime piešinį (11 pav.).

Iš problemos sąlygų matyti, kad . Iš (9) formulės gauname

.

Ryžiai. 10

Ryžiai. vienuolika

Kūno tūris, gautas sukantis aplink ašį OU kreivinė trapecija, apribota tiesiomis linijomis y = c Ir y = d, ašis OU ir atkarpoje ištisinės funkcijos grafikas (12 pav.), nustatoma pagal formulę

. (10)

X= j ( adresu)

Ryžiai. 12

14 pavyzdys. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį OU kreivinė trapecija, apribota linijomis X 2 = 4adresu, y = 4, x = 0 (13 pav.).

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas randame integravimo ribas: , . Naudodami (10) formulę gauname:

Ryžiai. 13

Plokštumos kreivės lanko ilgis

Tegul kreivė, pateikta lygties , kur , yra plokštumoje (14 pav.).

Ryžiai. 14

Apibrėžimas. Lanko ilgis suprantamas kaip riba, iki kurios linksta į šį lanką įrašytos trūkinės linijos ilgis, kai trūkinės linijos grandžių skaičius linkęs į begalybę, o didžiausios grandies ilgis linkęs į nulį.

Jei funkcija ir jos išvestinė yra ištisinės atkarpoje, tai kreivės lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę

. (11)

15 pavyzdys. Apskaičiuokite kreivės, esančios tarp taškų, kurių lanko ilgį .

Sprendimas. Iš mūsų turimų probleminių sąlygų . Naudodami (11) formulę gauname:

.

4. Netinkami integralai
su begalinėmis integracijos ribomis

Įvedant apibrėžtojo integralo sąvoką, buvo daroma prielaida, kad tenkinamos šios dvi sąlygos:

a) integracijos ribos A ir yra baigtiniai;

b) integrandas apribotas intervalu.

Jei bent viena iš šių sąlygų netenkinama, iškviečiamas integralas ne savo.

Pirmiausia panagrinėkime netinkamus integralus su begalinėmis integravimo ribomis.

Apibrėžimas. Tegul funkcija yra apibrėžta ir tęstinė intervale o dešinėje neribota (15 pav.).

Jei netinkamasis integralas suartėja, tai ši sritis yra baigtinė; jei netinkamasis integralas išsiskiria, tai ši sritis yra begalinė.

Ryžiai. 15

Netinkamas integralas su begaline apatine integravimo riba apibrėžiamas panašiai:

. (13)

Šis integralas konverguoja, jei lygybės (13) dešiniosios pusės riba egzistuoja ir yra baigtinė; kitu atveju sakoma, kad integralas yra divergentinis.

Netinkamas integralas su dviem begalinėmis integravimo ribomis apibrėžiamas taip:

, (14)

kur с yra bet kuris intervalo taškas. Integralas konverguoja tik tada, jei abu integralai dešinėje lygybės (14) pusėje susilieja.

;

G) = [vardiklyje pasirinkite visą kvadratą: ] = [pakeitimas:

] =

Tai reiškia, kad netinkamas integralas suartėja ir jo reikšmė yra lygi .

Šiame straipsnyje sužinosite, kaip naudojant integralinius skaičiavimus rasti linijomis apribotos figūros plotą. Pirmą kartą su tokios problemos formulavimu susiduriame vidurinėje mokykloje, kai ką tik baigėme apibrėžtųjų integralų studijas ir atėjo laikas praktiškai pradėti geometrinę įgytų žinių interpretaciją.

Taigi, ko reikia norint sėkmingai išspręsti figūros ploto, naudojant integralus, problemą:

• Gebėjimas atlikti kompetentingus brėžinius;
• Gebėjimas išspręsti apibrėžtąjį integralą naudojant gerai žinomą Niutono-Leibnizo formulę;
• Gebėjimas „pamatyti“ daugiau pelningas variantas sprendimai – t.y. supranti, kaip vienu ar kitu atveju bus patogiau vykdyti integraciją? Išilgai x ašies (OX) ar y ašies (OY)?
• Na, kur mes būtume be teisingų skaičiavimų?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti kito tipo integralus, ir teisingus skaitinius skaičiavimus.

Figūros, apribotos linijomis, ploto skaičiavimo problemos sprendimo algoritmas:

1. Mes statome brėžinį. Patartina tai daryti ant languoto popieriaus lapo, dideliu mastu. Šios funkcijos pavadinimą pasirašome pieštuku virš kiekvieno grafiko. Grafikai pasirašomi tik tolesnių skaičiavimų patogumui. Gavus norimos figūros grafiką, daugeliu atvejų iš karto bus aišku, kokios integracijos ribos bus naudojamos. Taigi problemą išsprendžiame grafiškai. Tačiau atsitinka taip, kad ribų reikšmės yra trupmeninės arba neracionalios. Todėl galite atlikti papildomus skaičiavimus, pereikite prie antrojo veiksmo.

2. Jei integravimo ribos nėra aiškiai nurodytos, randame grafikų susikirtimo taškus tarpusavyje ir žiūrime, ar mūsų grafinis sprendimas sutampa su analitiniu.

3. Toliau reikia išanalizuoti piešinį. Priklausomai nuo to, kaip išdėstyti funkcijų grafikai, yra įvairių būdų, kaip rasti figūros plotą. Pažvelkime į skirtingus figūros ploto suradimo naudojant integralus pavyzdžius.

3.1. Klasikiškiausia ir paprasčiausia problemos versija yra tada, kai reikia rasti išlenktos trapecijos plotą. Kas yra lenkta trapecija? Tai plokščia figūra, kurią riboja x ašis (y = 0), tiesus x = a, x = b ir bet kuri kreivė, ištisinė intervale nuo a prieš b. Be to, šis skaičius nėra neigiamas ir yra ne žemiau x ašies. Šiuo atveju kreivinės trapecijos plotas yra skaitiniu būdu lygus tam tikram integralui, apskaičiuotam pagal Niutono-Leibnizo formulę:

1 pavyzdys y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kokiomis linijomis riboja figūra? Mes turime parabolę y = x2 – 3x + 3, kuris yra virš ašies OI, tai neneigiama, nes visi šios parabolės taškai turi teigiamas reikšmes. Toliau pateiktos tiesios linijos x = 1 Ir x = 3, kurie eina lygiagrečiai ašiai OU, yra figūros ribinės linijos kairėje ir dešinėje. Na y = 0, tai taip pat yra x ašis, kuri riboja figūrą iš apačios. Gauta figūra yra užtamsinta, kaip matyti iš paveikslo kairėje. Tokiu atveju galite nedelsiant pradėti spręsti problemą. Prieš mus yra paprastas išlenktos trapecijos pavyzdys, kurį toliau sprendžiame naudodami Niutono-Leibnizo formulę.

3.2. Ankstesnėje 3.1 pastraipoje nagrinėjome atvejį, kai lenkta trapecija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai problemos sąlygos yra tokios pačios, išskyrus tai, kad funkcija yra po x ašimi. Prie standartinės Niutono-Leibnizo formulės pridedamas minusas. Toliau apsvarstysime, kaip išspręsti tokią problemą.

2 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Šiame pavyzdyje turime parabolę y = x2 + 6x + 2, kuris kilęs iš ašies OI, tiesus x = -4, x = -1, y = 0. Čia y = 0 riboja norimą figūrą iš viršaus. Tiesioginis x = -4 Ir x = -1 tai yra ribos, per kurias bus skaičiuojamas apibrėžtasis integralas. Figūros ploto nustatymo problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su 1 pavyzdžiu. Vienintelis skirtumas yra tas, kad suteikta funkcija nėra teigiamas ir vis tiek tęsiasi intervale [-4; -1] . Ką reiškia ne teigiama? Kaip matyti iš paveikslo, figūra, esanti duotųjų x ribose, turi išskirtinai „neigiamas“ koordinates, kurias turime pamatyti ir atsiminti spręsdami problemą. Figūros ploto ieškome naudodami Niutono-Leibnizo formulę, tik su minuso ženklu pradžioje.

Straipsnis nebaigtas.

A)

Sprendimas.

Pirmiausia ir svarbiausias momentas sprendimai – piešimo piešinys.

Padarykime piešinį:

Lygtis y=0 nustato „x“ ašį;

- x=-2 Ir x=1 - tiesus, lygiagretus ašiai OU;

- y = x 2 + 2 - parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, kurios viršūnė yra taške (0;2).

komentuoti. Parabolei sukonstruoti pakanka rasti jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus, t.y. dėjimas x=0 rasti sankirtą su ašimi OU ir atitinkamai nuspręsdamas kvadratinė lygtis, suraskite sankirtą su ašimi Oi .

Parabolės viršūnę galima rasti naudojant formules:

Taip pat galite kurti linijas taškas po taško.

Intervale [-2;1] funkcijos grafikas y=x 2 +2 esančios virš ašies Jautis , Štai kodėl:

Atsakymas: S =9 kv.vnt

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausiai keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi Oi?

b) Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y=-e x , x=1 ir koordinačių ašys.

Sprendimas.

Padarykime piešinį.

Jei lenkta trapecija visiškai išsidėstę po ašimi Oi , tada jo plotą galima rasti naudojant formulę:

Atsakymas: S=(e-1) kv.vnt.“ 1,72 kv

Dėmesio! Nereikėtų painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokių geometrine prasme, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusiau plokštumoje.

Su) Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y = 2x-x 2, y = -x.

Sprendimas.

Pirmiausia reikia užbaigti piešinį. Paprastai tariant, brėžinį konstruojant plotų uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės susikirtimo taškus ir tiesiai Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis.

Išsprendžiame lygtį:

Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba a=0 , viršutinis limitas integracija b=3 .

Nutiesiame duotas tieses: 1. Parabolė - viršūnė taške (1;1); ašies susikirtimo Oi - taškais (0;0) ir (0;2). 2. Tiesi linija - 2 ir 4 koordinačių kampų pusiausvyra. O dabar Dėmesio! Jei segmente [ a;b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus kai kuriems nuolatinė funkcija g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti naudojant formulę: . Ir nesvarbu, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, bet svarbu tai, kuris grafikas yra AUKŠTESNIS (kito grafiko atžvilgiu), o kuris yra PO. Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Galite statyti linijas taškas po taško, o integracijos ribos tampa aiškios „pačios“. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios).

Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas: S =4,5 kv

Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Pereikime prie integralinio skaičiavimo taikymo. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį – kaip naudoti apibrėžtąjį integralą plokštumos figūros plotui apskaičiuoti. Pagaliau ieškome prasmės aukštoji matematika- Tegul jie jį suranda. Niekada nežinai. Realiame gyvenime turėsite apytiksliai apskaičiuoti vasarnamio sklypą naudodami elementarias funkcijas ir rasti jo plotą naudodami apibrėžtą integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprask neapibrėžtas integralas bent jau vidutinio lygio. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Tiesą sakant, norint rasti figūros plotą, jums nereikia tiek daug žinių apie neapibrėžtą ir apibrėžtą integralą. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio sudarymą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai bus daug aktualesnis klausimas. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti atmintį apie pagrindinių diagramų elementarios funkcijos, ir bent jau sugebėti sukurti tiesę, parabolę ir hiperbolę. Tai galima padaryti (daugeliui tai būtina) naudojant metodinė medžiaga ir straipsniai apie geometrines grafų transformacijas.

Tiesą sakant, visi yra susipažinę su užduotimi rasti sritį naudojant apibrėžtąjį integralą nuo mokyklos laikų, ir mes nežengsime daug toliau. mokyklos mokymo programa. Šio straipsnio galėjo ir nebūti, bet faktas yra tas, kad problema iškyla 99 atvejais iš 100, kai studentas kenčia nuo nekenčiamos mokyklos ir entuziastingai įvaldo aukštosios matematikos kursą.

Šio seminaro medžiaga pateikiama paprastai, išsamiai ir turint minimalų teoriją.

Pradėkime nuo lenktos trapecijos.

Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, kurią riboja ašis, tiesės ir funkcijos grafikas, ištisinis intervale, kuris nekeičia ženklo šiame intervale. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne mažiau x ašis:

Tada kreivinės trapecijos plotas skaitiniu požiūriu lygus apibrėžtajam integralui. Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai Sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingas faktas. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą. Funkcija integrandas nurodo kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali piešti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitinis lygus plotui atitinkama lenkta trapecija.

1 pavyzdys

Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas yra brėžinio konstravimas. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.

Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Pelningiau kurti funkcijų grafikus taškas po taško, taško po taško konstravimo techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Nubraižykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Išlenktos trapecijos neperėsiu, čia akivaizdu koks plotas mes kalbame apie. Sprendimas tęsiasi taip:

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:

Atsakymas:

Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę , skaitykite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Šiuo atveju brėžinyje esančių langelių skaičių skaičiuojame „iš akies“ - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausiai keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, , ir ašimi, plotą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Pilnas sprendimas o atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jeigu išsidėsčiusi lenkta trapecija po ašimi(arba pagal bent jau, ne aukščiau nurodyta ašis), tada jos plotą galima rasti naudojant formulę:
Tokiu atveju:

Dėmesio! Nereikėtų painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumoje, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja linijos , .

Sprendimas: Pirmiausia turite užbaigti piešinį. Paprastai tariant, statant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba yra , viršutinė integracijos riba yra .
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..

Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Įvairių grafikų taškinio konstravimo technika išsamiai aptariama žinyne Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Kartoju, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.

Ir dabar darbo formulė : Jei segmente yra kokia nors ištisinė funkcija didesnis arba lygus tam tikrą ištisinę funkciją , tada figūros plotą, kurį riboja šių funkcijų grafikai ir linijos , galima rasti naudojant formulę:

Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuris grafikas yra AUKŠTESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.
Segmente pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Faktiškai mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) – ypatinga byla formules . Kadangi ašis nurodoma lygtimi, o funkcijos grafikas yra ne aukščiau tada kirvius

O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , .

Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl ​​neatsargumo... rastas netinkamos figūros plotas, būtent taip jūsų nuolankus tarnas kelis kartus suklydo. Čia tikras atvejis iš gyvenimo:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .

Sprendimas: Pirmiausia nupieškime:

...Ech, piešinys išėjo šlykštus, bet viskas lyg ir įskaitoma.

Figūra, kurios sritį turime rasti, nuspalvinta mėlynai(įdėmiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai iškyla „gedimas“, kai reikia rasti užtamsintos figūros plotą. žalias!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesės grafikas;

2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

Pereikime prie kitos prasmingos užduoties.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pateikime lygtis „mokyklos“ forma ir nubrėžkime tašką po taško:

Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: .
Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra? Gal būt ? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali pasirodyti, kad... Arba šaknis. O kas, jei grafiką sudarytume neteisingai?

Tokiais atvejais tenka skirti daugiau laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.

Raskime tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:


,

Tikrai,.

Tolesnis sprendimas yra trivialus, svarbiausia nesusipainioti su pakeitimais ir ženklais, skaičiavimai čia nėra patys paprasčiausi.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, o pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , ,

Sprendimas: Pavaizduokime šią figūrą brėžinyje.

Po velnių, pamiršau pasirašyti tvarkaraštį ir, atsiprašau, nenorėjau perdaryti nuotraukos. Ne piešimo diena, trumpai tariant, šiandien tokia diena =)

Norėdami sukurti tašką po taško, turite žinoti išvaizda sinusoidų (ir paprastai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas galima rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.

Čia nėra problemų dėl integravimo ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl: