Šis straipsnis yra išsamios informacijos, susijusios su šaknų savybių tema, rinkinys. Atsižvelgdami į temą, pradėsime nuo savybių, išnagrinėsime visas formuluotes ir pateiksime įrodymus. Norėdami konsoliduoti temą, apsvarstysime n-ojo laipsnio savybes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šaknų savybės

Mes kalbėsime apie savybes.

1. Nuosavybė padauginti skaičiai a Ir b, kuri vaizduojama kaip lygybė a · b = a · b. Jis gali būti pavaizduotas faktorių forma, teigiamas arba lygus nuliui a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. iš koeficiento a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, jis gali būti parašytas ir tokia forma a b = a b;
3. Savybė iš skaičiaus galios a su lyginiu rodikliu a 2 m = a m bet kuriam skaičiui a, pavyzdžiui, ypatybė iš skaičiaus kvadrato a 2 = a.

Bet kurioje pateiktoje lygtyje galite sukeisti dalis prieš ir po brūkšnelio, pavyzdžiui, lygybė a · b = a · b paverčiama kaip a · b = a · b. Lygybės savybės dažnai naudojamos sudėtingoms lygtims supaprastinti.

Pirmųjų savybių įrodymas pagrįstas kvadratinės šaknies apibrėžimu ir galių su savybėmis natūralus rodiklis. Norint pagrįsti trečiąją savybę, būtina remtis skaičiaus modulio apibrėžimu.

Pirmiausia reikia įrodyti kvadratinės šaknies a · b = a · b savybes. Pagal apibrėžimą būtina atsižvelgti į tai, kad a b yra skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, kuris bus lygus a b statybos metu į aikštę. Išraiškos a · b reikšmė yra teigiama arba lygi nuliui kaip neneigiamų skaičių sandauga. Padaugintų skaičių laipsnių savybė leidžia lygybę pavaizduoti forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą a 2 = a ir b 2 = b, tada a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Panašiu būdu tai galima įrodyti iš produkto k daugikliai a 1 , a 2 , … , a k bus lygus produktui kvadratinės šaknys nuo šių veiksnių. Iš tiesų, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Iš šios lygybės išplaukia, kad a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kad sustiprintume temą.

1 pavyzdys

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 ir 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0, 2 (1) .

Būtina įrodyti dalinio aritmetinės kvadratinės šaknies savybę: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Savybė leidžia parašyti lygybę a: b 2 = a 2: b 2 ir a 2: b 2 = a: b, o a: b yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Ši išraiška taps įrodymu.

Pavyzdžiui, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ir 30,121 = 30,121.

Panagrinėkime skaičiaus kvadrato kvadratinės šaknies savybę. Jis gali būti parašytas kaip lygybė kaip a 2 = a Norint įrodyti šią savybę, reikia išsamiai apsvarstyti keletą lygybių a ≥ 0 ir pas a< 0 .

Akivaizdu, kad a ≥ 0 lygybė a 2 = a yra teisinga. At a< 0 lygybė a 2 = - a bus teisinga. Tiesą sakant, šiuo atveju − a > 0 ir (− a) 2 = a 2 . Galime daryti išvadą, kad a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

2 pavyzdys

5 2 = 5 = 5 ir - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Įrodyta savybė padės pagrįsti 2 m = a m, kur a– tikras ir m –natūralusis skaičius. Iš tiesų, galios didinimo savybė leidžia mums ją pakeisti a 2 m išraiška (a m) 2, tada a 2 m = (a m) 2 = a m.

3 pavyzdys

3 8 = 3 4 = 3 4 ir (- 8 , 3) ​​14 = - 8, 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

N-osios šaknies savybės

Pirmiausia turime atsižvelgti į pagrindines n-osios šaknų savybes:

1. Savybė iš skaičių sandaugos a Ir b, kurie yra teigiami arba lygūs nuliui, gali būti išreikšti lygybe a · b n = a n · b n , ši savybė galioja sandaugai k numeriai a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. iš trupmeninis skaičius turi savybę a b n = a n b n , kur a yra bet koks tikrasis skaičius, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, ir b– teigiamas realusis skaičius;
3. Bet kuriam a ir net rodikliai n = 2 m a 2 · m 2 · m = a yra teisinga, o nelyginė n = 2 m − 1 galioja lygybė a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Išgavimo iš a m n = a n m savybė, kur a– bet koks skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, n Ir m yra natūralūs skaičiai, ši savybė taip pat gali būti pavaizduota formoje. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Bet kokiam neneigiamam a ir savavališkam n Ir m, kurios yra natūralios, taip pat galime apibrėžti teisingąją lygybę a m n · m = a n ;
6. Laipsnio savybė n iš skaičiaus galios a, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, natūraliajai galiai m, apibrėžiamas lygybe a m n = a n m ;
7. Palyginimo savybė, kurios rodikliai yra tokie patys: bet kokiems teigiamiems skaičiams a Ir b toks kad a< b , nelygybė a n< b n ;
8. Palyginimo ypatybė, kurios šaknyje yra tie patys skaičiai: jei m Ir n – natūraliuosius skaičius, kad m > n, tada val 0 < a < 1 nelygybė a m > a n yra teisinga, o kada a > 1įvykdė m< a n .

Aukščiau pateiktos lygybės galioja, jei dalys prieš ir po lygybės ženklo yra sukeistos. Jie taip pat gali būti naudojami šioje formoje. Tai dažnai naudojama supaprastinant arba transformuojant išraiškas.

Minėtų šaknies savybių įrodymas grindžiamas apibrėžimu, laipsnio savybėmis ir skaičiaus modulio apibrėžimu. Šios savybės turi būti įrodytos. Bet viskas tvarkoje.

1. Pirmiausia įrodykime sandaugos a · b n = a n · b n n-osios šaknies savybes. Dėl a Ir b , kuris yra teigiamas arba lygus nuliui , reikšmė a n · b n taip pat yra teigiama arba lygi nuliui, nes tai yra neneigiamų skaičių padauginimo pasekmė. Produkto savybė natūraliajai galiai leidžia užrašyti lygybę a n · b n n = a n n · b n n . Pagal šaknies apibrėžimą n-tasis laipsnis a n n = a ir b n n = b , todėl a n · b n n = a · b . Gauta lygybė yra būtent tai, ką reikėjo įrodyti.

Šią savybę panašiai galima įrodyti ir gaminiui k daugikliai: neneigiamiems skaičiams a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Čia yra šakninės nuosavybės naudojimo pavyzdžiai n gaminio galia: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ir 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Įrodykime dalinio a b n = a n b n šaknies savybę. At a ≥ 0 Ir b > 0 sąlyga a n b n ≥ 0 tenkinama, o a n b n n = a n n b n n = a b .

Parodykime pavyzdžius:

4 pavyzdys

8 27 3 = 8 3 27 3 ir 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Kitam žingsniui reikia įrodyti n-ojo laipsnio savybes nuo skaičiaus iki laipsnio n. Įsivaizduokime tai kaip lygybę a 2 m 2 m = a ir a 2 m - 1 2 m - 1 = a bet kuriai realiai a ir natūralus m. At a ≥ 0 gauname a = a ir a 2 m = a 2 m, kas įrodo lygybę a 2 m 2 m = a, o lygybė a 2 m - 1 2 m - 1 = a yra akivaizdi. At a< 0 gauname atitinkamai a = - a ir a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Paskutinė skaičiaus transformacija galioja pagal galios savybę. Būtent tai įrodo lygybę a 2 m 2 m = a ir 2 m - 1 2 m - 1 = a bus teisinga, nes nelyginis laipsnis laikomas - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 bet kuriam skaičiui c , teigiamas arba lygus nuliui.

Norėdami konsoliduoti gautą informaciją, apsvarstykite keletą nuosavybės naudojimo pavyzdžių:

5 pavyzdys

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ir (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Įrodykime tokią lygybę a m n = a n m . Norėdami tai padaryti, turite sukeisti skaičius prieš ir po lygybės ženklo a n · m = a m n . Tai reiškia, kad įrašas yra teisingas. Dėl a, kuri yra teigiama arba lygus nuliui , a m n formos skaičius yra teigiamas arba lygus nuliui. Panagrinėkime savybę pakelti galią į galią ir jos apibrėžimą. Jų pagalba galite paversti lygybes forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Tai įrodo nagrinėjamos šaknies šaknies savybę.

Panašiai įrodytos ir kitos savybės. Tikrai,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Pavyzdžiui, 7 3 5 = 7 5 3 ir 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Įrodykime tokią savybę a m n · m = a n . Norėdami tai padaryti, reikia parodyti, kad n yra skaičius, teigiamas arba lygus nuliui. Pakėlus iki laipsnio n m lygus esu. Jei numeris a yra teigiamas arba lygus nuliui, tada n– laipsnis iš tarpo a yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Šiuo atveju a n · m n = a n n m , ką ir reikėjo įrodyti.

Siekdami įtvirtinti įgytas žinias, pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1. Įrodykime tokią savybę – a m n = a n m formos laipsnio šaknies savybę. Akivaizdu, kad kada a ≥ 0 laipsnis a n m yra neneigiamas skaičius. Be to, ji n toji galia lygi esu, iš tiesų, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Tai įrodo nagrinėjamo laipsnio savybę.

Pavyzdžiui, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Būtina įrodyti, kad bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b sąlyga tenkinama a< b . Apsvarstykite nelygybę a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Todėl n< b n при a< b .

Pavyzdžiui, duokime 12 4< 15 2 3 4 .

1. Apsvarstykite šaknies savybę n-tas laipsnis. Pirmiausia reikia atsižvelgti į pirmąją nelygybės dalį. At m > n Ir 0 < a < 1 tiesa a m > a n . Tarkime, kad a m ≤ a n. Savybės leis supaprastinti išraišką iki a n m · n ≤ a m m · n . Tada, atsižvelgiant į laipsnio su natūraliuoju rodikliu savybes, galioja nelygybė a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, tai yra, a n ≤ a m. Gauta vertė m > n Ir 0 < a < 1 neatitinka aukščiau nurodytų savybių.

Lygiai taip pat galima įrodyti, kad kada m > n Ir a > 1 sąlyga a m yra teisinga< a n .

Norėdami įtvirtinti pirmiau minėtas savybes, apsvarstykite keletą konkrečių pavyzdžių. Pažvelkime į nelygybes naudodami konkrečius skaičius.

6 pavyzdys

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

2 vaizdo pamoka: n laipsnio šaknų savybės > 1

Paskaita: n > 1 laipsnio šaknis ir jos savybės

Šaknis

Tarkime, kad turite formos lygtį:

Šios lygties sprendimas yra x 1 = 2 ir x 2 = (-2). Abu sprendiniai tinka kaip atsakymas, nes skaičiai su vienodais moduliais, pakelti iki lyginės laipsnio, duoda tą patį rezultatą.

Tai buvo paprastas pavyzdys, tačiau ką daryti, jei pvz.

Pabandykime pavaizduoti funkcijos grafiką y=x 2 . Jo grafikas yra parabolė:

Grafike reikia rasti taškus, atitinkančius reikšmę y = 3. Šie taškai yra:

Tai reiškia, kad ši reikšmė negali būti vadinama sveikuoju skaičiumi, bet gali būti pavaizduota kaip kvadratinė šaknis.

Bet kokia šaknis yra neracionalus skaičius. Neracionalūs skaičiai apima šaknis ir neperiodines begalines trupmenas.

Kvadratinė šaknis- tai neneigiamas skaičius „a“, kurio radikalioji išraiška yra lygi duotam skaičiui „a“ kvadratu.

Pavyzdžiui,

Tai yra, dėl to gausime tik teigiamą vertę. Tačiau kaip sprendimas kvadratinė lygtis malonus

Sprendimas yra x 1 = 4, x 2 = (-4).

Kvadratinės šaknies savybės

1. Nepriklausomai nuo x reikšmės, ši išraiška yra teisinga bet kuriuo atveju:

2. Skaičių, turinčių kvadratines šaknis, palyginimas. Norėdami palyginti šiuos skaičius, po šaknies ženklu turite įvesti ir vieną, ir antrą skaičių. Skaičius bus didesnis, kurio radikali išraiška didesnė.

Įveskite skaičių 2 po šaknies ženklu

Dabar padėkime skaičių 4 po šaknies ženklu. Dėl to mes gauname

Ir tik dabar galima palyginti dvi gautas išraiškas:

3. Daugiklio pašalinimas iš po šaknies.

Jei radikalią išraišką galima išskaidyti į du veiksnius, iš kurių vienas gali būti paimtas iš po šaknies ženklo, tuomet reikia naudoti šią taisyklę.

4. Yra tam priešinga savybė – daugiklio įvedimas po šaknimi. Akivaizdu, kad naudojome šį turtą antroje nuosavybėje.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami identifikuoti tam tikras asmuo arba ryšį su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Pateikiamos pagrindinės galios funkcijos savybės, įskaitant formules ir šaknų savybes. Pateikiamas laipsnio funkcijos išvestinis, integralas, laipsnių eilučių išplėtimas ir kompleksinis skaičius.

Apibrėžimas

Apibrėžimas
Galios funkcija su eksponentu p yra funkcija f (x) = x p, kurios reikšmė taške x yra lygi eksponentinės funkcijos su baze x reikšmei taške p.
Be to, f (0) = 0 p = 0 už p > 0 .

Natūralioms eksponento vertėms laipsnio funkcija yra n skaičių, lygių x, sandauga:
.
Jis apibrėžiamas visiems galiojantiems .

Esant teigiamoms racionaliosioms eksponento vertėms, galios funkcija yra skaičiaus x m laipsnio n šaknų sandauga:
.
Jei nelyginis m, jis apibrėžiamas visiems realiesiems x. Net m galios funkcija apibrėžiama neneigiamiems.

Neigiamai galios funkcija nustatoma pagal formulę:
.
Todėl jis nėra apibrėžtas taške.

Iracionalioms eksponento p reikšmėms galios funkcija nustatoma pagal formulę:
,
kur a yra savavališkas teigiamas skaičius, nelygus vienetui: .
Kada , jis apibrėžiamas .
Kai , galios funkcija yra apibrėžta .

Tęstinumas. Galios funkcija yra nuolatinė savo apibrėžimo srityje.

Laipsniškų funkcijų, kai x ≥ 0, savybės ir formulės

Čia mes apsvarstysime galios funkcijos savybes neneigiamoms argumento x reikšmėms. Kaip minėta aukščiau, tam tikroms eksponento p reikšmėms galios funkcija taip pat apibrėžiama neigiamoms x reikšmėms. Šiuo atveju jo savybes galima gauti iš savybių , naudojant lyginį arba nelyginį. Šie atvejai aptariami ir išsamiai iliustruojami puslapyje „“.

Laipsnio funkcija, y = x p, su eksponentu p, turi šias savybes:
(1.1) apibrėžtas ir nenutrūkstamas filmavimo aikštelėje
,
adresu ;
(1.2) turi daug reikšmių
,
adresu ;
(1.3) griežtai didėja su ,
griežtai mažėja kaip ;
(1.4) adresu ;
adresu ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Savybių įrodymas pateiktas puslapyje „Galios funkcija (tęstinumo ir savybių įrodymas)“

Šaknys – apibrėžimas, formulės, savybės

Apibrėžimas
n laipsnio x skaičiaus šaknis yra skaičius, kurį padidinus iki laipsnio n, gaunamas x:
.
Čia n = 2, 3, 4, ... - natūralusis skaičius, didesnis už vieną.

Taip pat galite pasakyti, kad n laipsnio skaičiaus x šaknis yra lygties šaknis (t. y. sprendimas).
.
Atminkite, kad funkcija yra atvirkštinė funkcijai.

Kvadratinė šaknis iš x yra 2 laipsnio šaknis: .

x kubo šaknis yra 3 laipsnio šaknis: .

Tolygus laipsnis

Lyginiams laipsniams n = 2 m, šaknis apibrėžta x ≥ 0 . Dažnai naudojama formulė galioja ir teigiamam, ir neigiamam x:
.
Kvadratinė šaknis:
.

Čia svarbi operacijų atlikimo tvarka - tai yra pirmiausia atliekamas kvadratas, gaunamas neneigiamas skaičius, o tada iš jo paimama šaknis (kvadratinę šaknį galima paimti iš neneigiamo skaičiaus ). Jei pakeistume tvarką: , tada neigiamo x šaknis būtų neapibrėžta, o kartu ir visa išraiška būtų neapibrėžta.

Nelyginis laipsnis

Nelyginių laipsnių šaknis yra apibrėžta visiems x:
;
.

Šaknų savybės ir formulės

x šaknis yra galios funkcija:
.
Kai x ≥ 0 taikomos šios formulės:
;
;
, ;
.

Šios formulės taip pat gali būti taikomos neigiamoms kintamųjų reikšmėms. Tik reikia įsitikinti, kad radikali lygių galių išraiška nėra neigiama.

Privačios vertybės

0 šaknis yra 0: .
1 šaknis yra lygi 1: .
Kvadratinė šaknis iš 0 yra 0: .
Kvadratinė šaknis iš 1 yra 1: .

Pavyzdys. Šaknų šaknis

Pažvelkime į šaknų kvadratinės šaknies pavyzdį:
.
Transformuokime vidinę kvadratinę šaknį naudodami aukščiau pateiktas formules:
.
Dabar pakeiskime pradinę šaknį:
.
Taigi,
.

y = x p skirtingoms eksponento p reikšmėms.

Čia pateikiami neneigiamų argumento x verčių funkcijos grafikai. Galios funkcijos grafikai, apibrėžti neigiamoms x reikšmėms, pateikiami puslapyje „Galios funkcija, jos savybės ir grafikai“

Atvirkštinė funkcija

Atvirkštinė laipsnio funkcija su laipsniu p yra laipsnio funkcija, kurios rodiklis yra 1/p.

Jei tada.

Galios funkcijos išvestinė

N-osios eilės vedinys:
;

Išvestinės formulės >>>

Galios funkcijos integralas

P ≠ - 1 ;
.

Galios serijos išplėtimas

- 1 < x < 1 vyksta toks skilimas:

Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius

Apsvarstykite kompleksinio kintamojo z funkciją:
f (z) = z t.
Išreikškime kompleksinį kintamąjį z moduliu r ir argumentu φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Kompleksinį skaičių t pavaizduojame realių ir įsivaizduojamų dalių pavidalu:
t = p + i q .
Mes turime:

Toliau atsižvelgiame į tai, kad argumentas φ nėra vienareikšmiškai apibrėžtas:
,

Panagrinėkime atvejį, kai q = 0 , tai yra, eksponentas yra tikrasis skaičius, t = p. Tada
.

Jei p yra sveikas skaičius, tai kp yra sveikas skaičius. Tada dėl trigonometrinių funkcijų periodiškumo:
.
Tai yra eksponentinė funkcija sveikojo skaičiaus rodiklis duotam z turi tik vieną reikšmę ir todėl yra vienareikšmis.

Jei p yra neracionalus, tada bet kurio k sandaugai kp nesukuria sveikojo skaičiaus. Kadangi k eina per begalinę reikšmių seką k = 0, 1, 2, 3, ..., tada funkcija z p turi be galo daug reikšmių. Kai argumentas z padidinamas 2π(vienas posūkis), pereiname prie naujos funkcijos šakos.

Jei p yra racionalus, jis gali būti pavaizduotas taip:
, Kur m, n- sveiki, neturintys bendrieji dalikliai. Tada
.
Pirmosios n reikšmės, kai k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, duok n skirtingos reikšmės kp:
.
Tačiau vėlesnės vertės suteikia reikšmes, kurios nuo ankstesnių skiriasi sveikuoju skaičiumi. Pavyzdžiui, kai k = k 0+n mes turime:
.
Trigonometrinės funkcijos, kurių argumentai skiriasi vertėmis, kurios yra kartotinės 2π, turi vienodos vertės. Todėl, toliau didinant k, gauname tas pačias z p reikšmes kaip ir k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Taigi eksponentinė funkcija su racionaliu eksponentu yra daugiareikšmė ir turi n reikšmes (šakas). Kai argumentas z padidinamas 2π(vienas posūkis), pereiname prie naujos funkcijos šakos. Po n tokių apsisukimų grįžtame prie pirmosios šakos, nuo kurios prasidėjo atgalinis skaičiavimas.

Visų pirma, n laipsnio šaknis turi n reikšmių. Kaip pavyzdį apsvarstykite tikrojo teigiamo skaičiaus n-ąją šaknį z = x. Šiuo atveju φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Taigi, kvadratinei šaknei n = 2 ,
.
Net k, (- 1 ) k = 1. Dėl nelyginio k, (- 1 ) k = - 1.
Tai reiškia, kad kvadratinė šaknis turi dvi reikšmes: + ir -.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.

Pamoka ir pranešimas tema: "N-osios šaknies savybės. Teoremos"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 11 klasei
Interaktyvus vadovas 9–11 klasėms „Trigonometrija“
Interaktyvus vadovas 10–11 klasėms „Logaritmai“

N-osios šaknies savybės. Teoremos

Vaikinai, mes toliau tiriame n-ąsias tikrojo skaičiaus šaknis. Kaip ir beveik visi matematiniai objektai, n-ojo laipsnio šaknys turi tam tikrų savybių, šiandien jas tyrinėsime.
Visos savybės, kurias apsvarstysime, yra suformuluotos ir įrodytos tik neneigiamoms kintamųjų, esančių po šaknies ženklu, reikšmėmis.
Nelyginio šaknies rodiklio atveju jie taip pat atliekami neigiamiems kintamiesiems.

1 teorema. Dviejų neneigiamų skaičių sandaugos n-oji šaknis yra lygi šių skaičių n-osios šaknų sandaugai: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b)$ .

Įrodykime teoremą.
Įrodymas. Vaikinai, norėdami įrodyti teoremą, pristatykime naujus kintamuosius, pažymėkite juos:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Turime įrodyti, kad $x=y*z$.
Atminkite, kad taip pat galioja šios tapatybės:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Tada galioja tokia tapatybė: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Dviejų neneigiamų skaičių ir jų rodiklių laipsniai yra lygūs, tada ir pačių laipsnių bazės yra lygios. Tai reiškia $x=y*z$, ką ir reikėjo įrodyti.

2 teorema. Jei $a≥0$, $b>0$ ir n yra natūralusis skaičius, didesnis nei 1, tada galioja ši lygybė: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.

Tai yra, dalinio n-oji šaknis yra lygi n-osios šaknies daliniui.

Įrodymas.
Norėdami tai įrodyti, naudosime supaprastintą diagramą lentelės pavidalu:

N-osios šaknies skaičiavimo pavyzdžiai

Pavyzdys.
Apskaičiuokite: $\sqrt(16*81*256)$.
Sprendimas. Naudokime 1 teoremą: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Pavyzdys.
Apskaičiuokite: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Sprendimas. Įsivaizduokime radikaliąją išraišką kaip netinkamą trupmeną: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Naudokime 2 teoremą: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Pavyzdys.
Apskaičiuoti:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Sprendimas:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

3 teorema. Jei $a≥0$, k ir n yra natūralūs skaičiai, didesni už 1, tada galioja lygybė: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Norint pakelti šaknį iki natūralios galios, pakanka iki šios galios pakelti radikalią išraišką.

Įrodymas.
pasvarstykime ypatinga byla už $ k = 3 $. Naudokime 1 teoremą.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Tą patį galima įrodyti bet kuriuo kitu atveju. Vaikinai, įrodykite patys tuo atveju, kai $k=4$ ir $k=6$.

4 teorema. Jei $a≥0$ b n,k yra natūralūs skaičiai, didesni už 1, tada galioja lygybė: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Norint išgauti šaknį iš šaknies, pakanka padauginti šaknų rodiklius.

Įrodymas.
Dar kartą trumpai įrodykime naudodami lentelę. Norėdami tai įrodyti, naudosime supaprastintą diagramą lentelės pavidalu:

Pavyzdys.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

5 teorema. Jei šaknies ir radikalinės išraiškos rodikliai padauginami iš to paties natūraliojo skaičiaus, tada šaknies reikšmė nepasikeis: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .

Įrodymas.
Mūsų teoremos įrodinėjimo principas yra toks pat kaip ir kituose pavyzdžiuose. Pristatome naujus kintamuosius:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (pagal apibrėžimą).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (pagal apibrėžimą).
Paskutinę lygybę pakelkime į galią p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Gavau:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Tai yra, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, ką ir reikėjo įrodyti.

Pavyzdžiai:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (rodiklius padalijus iš 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (rodiklius padalijus iš 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (rodikliai padauginti iš 3).

Pavyzdys.
Atlikite veiksmus: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Sprendimas.
Šakniniai rodikliai yra skirtingi skaičiai, todėl negalime naudoti 1 teoremos, tačiau taikydami 5 teoremą galime gauti vienodus rodiklius.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (rodikliai padauginti iš 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (rodikliai padauginti iš 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

1. Apskaičiuokite: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Apskaičiuokite: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Apskaičiuokite:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Supaprastinkite:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Atlikite veiksmus: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.