Pirmas lygis

Laipsnis ir jo savybės. Išsamus vadovas (2019)

Kam reikalingi laipsniai? Kur tau jų prireiks? Kodėl turėtumėte skirti laiko jų studijoms?

Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kam jie skirti, kaip panaudoti savo žinias Kasdienybė perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, laipsnių žinios priartins sėkmingas užbaigimas OGE arba vieningas valstybinis egzaminas ir priėmimas į savo svajonių universitetą.

Eime... (Eime!)

Svarbi pastaba! Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, paspauskite CTRL+F5 („Windows“) arba Cmd+R („Mac“).

PIRMAS LYGIS

Eksponentiškumas yra matematinė operacija, kaip ir sudėtis, atimtis, daugyba ar padalijimas.

Dabar aš viską labai paaiškinsiu žmonių kalba paprasti pavyzdžiai. Būk atsargus. Pavyzdžiai elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.

Pradėkime nuo papildymo.

Nėra čia ką aiškinti. Tu jau viską žinai: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek yra kolos? Teisingai – 16 butelių.

Dabar daugyba.

Tą patį pavyzdį su kola galima parašyti skirtingai: . Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvoja, kaip juos greičiau „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat kolos butelių, ir sugalvojo techniką, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.

Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę. Žinoma, viską galima daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.

Ir dar vienas gražesnis:

Kokių dar protingų skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui, . Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penktos laipsnio yra... Ir tokias problemas jie išsprendžia savo galvose – greičiau, lengviau ir be klaidų.

Viskas, ką jums reikia padaryti, tai prisiminkite, kas skaičių galių lentelėje paryškinta spalva. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl jis vadinamas antruoju laipsniu? kvadratas skaičiai, o trečias - kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.

1 pavyzdys realiame gyvenime

Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.

Įsivaizduokite kvadratinį baseiną, kurio matmenys vienas metras ir vienas metras. Baseinas yra jūsų vasarnamyje. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet... baseinas neturi dugno! Baseino dugną reikia iškloti plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.

Rodydami pirštu galite tiesiog apskaičiuoti, kad baseino dugną sudaro metras po metro kubeliai. Jei turite plyteles po vieną metrą, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur jūs matėte tokias plyteles? Plytelė greičiausiai bus cm po cm. Ir tada jus kankins „skaičiuojant pirštu“. Tada reikia daugintis. Taigi, vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginkite iš ir gausite plyteles ().

Ar pastebėjote, kad norėdami nustatyti baseino dugno plotą, tą patį skaičių padauginome iš savęs? Ką tai reiškia? Kadangi dauginame tą patį skaičių, galime naudoti „eksponentavimo“ techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek reikia juos padauginti arba pakelti į laipsnį. Bet jei jų turi daug, tai pakelti į laipsnį yra daug lengviau, be to, skaičiavimuose pasitaiko mažiau klaidų . Vieningam valstybiniam egzaminui tai labai svarbu).
Taigi, nuo trisdešimties iki antros galios bus (). Arba galime pasakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji kokio nors skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio vaizdas.

2 realaus gyvenimo pavyzdys

Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norint suskaičiuoti jų skaičių, reikia aštuonis padauginti iš aštuonių arba... jei tai pastebėsite Šachmatų lenta- tai kvadratas su kraštine, tada galite kvadratu aštuonis. Jūs gausite ląstelių. () Taigi?

3 pavyzdys realiame gyvenime

Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnis. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Beje, tūriai ir skysčiai matuojami kubiniai metrai. Netikėta, tiesa?) Nupieškite baseiną: metro dugną ir metro gylį ir pabandykite suskaičiuoti, kiek kubelių, kurių matmenys metras ir metras, tilps į jūsų baseiną.

Tiesiog parodyk pirštu ir skaičiuok! Vienas, du, trys, keturi...dvidešimt du, dvidešimt trys...Kiek gavote? Nepametėte? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? Taigi tai! Imk pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia jo ilgį, plotį ir aukštį padauginti vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams... Lengviau, ar ne?

Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei jie taip pat supaprastintų. Viską sumažinome iki vieno veiksmo. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius dauginamas iš savęs... Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite pasinaudoti laipsniu. Taigi, ką kartą suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kubeliai yra lygūs. Parašyta taip: .

Lieka tik prisimink laipsnių lentelę. Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.

Na, o kad pagaliau jus įtikintumėte, kad laipsnius sugalvojo metantys rūmus ir gudrūs žmonės, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemas, o ne sukurti problemų jums, pateikiame dar porą pavyzdžių iš gyvenimo.

4 pavyzdys realiame gyvenime

Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną uždirbtą milijoną uždirbate dar vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų turimas milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jei dabar sėdi ir „skaičiuoji pirštu“, vadinasi, esi labai darbštus žmogus ir... kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais - du padauginti iš dviejų... antraisiais - kas atsitiko, dar iš dviejų, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš karto. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tas, kuris gali skaičiuoti greičiausiai, gaus šiuos milijonus... Verta prisiminti skaičių galias, ar nemanote?

5 realaus gyvenimo pavyzdys

Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną uždirbtą milijoną uždirbate dar du. Puiku, ar ne? Kiekvienas milijonas patrigubinamas. Kiek pinigų turėsi per metus? Suskaičiuokime. Pirmi metai - dauginkite iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes tu jau viską supratai: trys padauginami iš savęs kartų. Taigi ketvirtajai laipsniai jis lygus milijonui. Tik reikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.

Dabar žinote, kad padidinę skaičių iki galios labai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.

Sąvokos ir sąvokos... kad nesusipainiotumėte

Taigi, pirmiausia apibrėžkime sąvokas. Ką tu manai, kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet aiškus ir lengvai įsimenamas...

Na, tuo pačiu ir ką toks laipsnio pagrindas? Dar paprasčiau - tai numeris, esantis apačioje, prie pagrindo.

Štai geras brėžinys.

Gerai viduje bendras vaizdas, siekiant apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze " " ir rodikliu " " yra skaitomas kaip "laipsnis" ir rašomas taip:

Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu galia

Tikriausiai jau atspėjote: nes rodiklis yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas tai yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai – tai tie skaičiai, kurie naudojami skaičiuojant surašant objektus: vienas, du, trys... Skaičiuodami objektus nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Taip pat nesakome: „trečdalis“ arba „nulis penkių taškų“. Nėra sveikieji skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?

Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Sveiki skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, skaičius, priešingus natūraliems skaičiams (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. Ką reiškia neigiami („minuso“) skaičiai? Tačiau jie buvo išrasti pirmiausia norėdami nurodyti skolas: jei telefone turite likutį rubliais, tai reiškia, kad esate skolingas operatoriui rublių.

Visos trupmenos yra racionalūs numeriai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad jiems trūksta natūralių skaičių ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs numeriai... Įdomu, ar ne?

Yra ir neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, be galo dešimtainis. Pavyzdžiui, padalijus apskritimo perimetrą iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.

Santrauka:

Apibrėžkime laipsnio, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (ty sveikasis skaičius ir teigiamas), sąvoką.

1. Bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau pačiam:
2. Skaičiaus kvadratas reiškia jį padauginti iš savęs:
3. Sudaryti skaičių kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:

Apibrėžimas. Padidinti skaičių iki natūralios laipsnio reiškia skaičių padauginti iš karto:
.

Laipsnių savybės

Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau parodysiu dabar.

Pažiūrėkime: kas tai yra Ir ?

A prioritetas:

Kiek daugiklių iš viso yra?

Tai labai paprasta: prie faktorių pridėjome daugiklius, o rezultatas yra daugikliai.

Tačiau pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra: , ką reikėjo įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje Būtinai turi būti tos pačios priežastys!
Todėl mes deriname galias su baze, tačiau tai lieka atskiras veiksnys:

tik galių sandaugai!

Jokiomis aplinkybėmis negali to rašyti.

2. štai ir viskas skaičiaus laipsnis

Kaip ir su ankstesne savybe, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs kartų, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Iš esmės tai galima pavadinti „indikatoriaus išėmimu iš skliaustų“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:

Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?

Bet tai juk netiesa.

Galia su neigiama baze

Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.

Bet kas turėtų būti pagrindas?

Galiomis natūralus rodiklis pagrindas gali būti bet koks skaičius. Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net.

Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? A? ? Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Mes prisimename paprastą taisyklę nuo 6 klasės: „minusas už minusą suteikia pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, tai veikia.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ar susitvarkei?

Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir rodiklį ir taikome atitinkamą taisyklę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: juk nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Bazė nelygi, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!

6 praktikos pavyzdžiai

Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai

Jei nepaisysime aštuntosios galios, ką čia pamatysime? Prisiminkime 7 klasės programą. Taigi, ar prisimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Sąlygų tvarka neteisinga. Jei jie būtų pakeisti, taisyklė galėtų būti taikoma.

Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Stebuklingai terminai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ tolygiai taikomas bet kuriai išraiškai: skliausteliuose esančius ženklus galime lengvai pakeisti.

Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Visas vadiname natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su " " ženklu) ir skaičiumi.

teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.

Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:

Kaip visada, paklauskime savęs: kodėl taip yra?

Panagrinėkime tam tikrą laipsnį su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:

Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, kas buvo - . Iš kokio skaičiaus padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, įjungti. Reiškia.

Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:

Pakartokime taisyklę:

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.

Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).

Viena vertus, jis turi būti lygus bet kuriam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius nuliniam laipsniui, jis turi būti lygus. Taigi, kiek tame yra tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė kelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar negalime ne tik dalyti iš nulio, bet ir pakelti iki nulinės galios.

Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai taip pat apima neigiamus skaičius. Kad suprastume, kas yra neigiama galia, darykime taip, kaip praeitą kartą: padauginkite kokį nors normalų skaičių iš to paties skaičiaus iki neigiamo laipsnio:

Iš čia lengva išreikšti tai, ko ieškote:

Dabar išplėskime gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:

Taigi, suformuluokime taisyklę:

Skaičius, turintis neigiamą laipsnį, yra to paties skaičiaus su teigiamu laipsniu atvirkštinė vertė. Bet tuo pačiu Bazė negali būti nulinė:(nes negalima dalyti iš).

Apibendrinkime:

I. Išraiška byloje neapibrėžta. Jei tada.

II. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui: .

III. Skaičius, nelygus nuliui neigiamam laipsniui, yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui: .

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Na, kaip įprasta, nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai:

Problemų analizė savarankiškam sprendimui:

Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet vieningo valstybinio egzamino metu turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimus, jei negalėjote jų išspręsti, ir išmoksite lengvai su jais susidoroti egzamine!

Ir toliau plėskime skaičių diapazoną, „tinkamą“ kaip eksponentą.

Dabar pasvarstykime racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?

Atsakymas: viskas, kas gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai, ir.

Norėdami suprasti, kas tai yra "dalinis laipsnis", apsvarstykite trupmeną:

Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:

Dabar prisiminkime taisyklę apie "laipsnis į laipsnį":

Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?

Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.

Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.

Tai yra, laipsnio šaknis yra atvirkštinė didinimo į laipsnį operacija: .

Paaiškėjo, kad. Akivaizdu, kad tai ypatinga byla galima išplėsti: .

Dabar pridedame skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą lengva gauti naudojant galios į galią taisyklę:

Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk negalima išgauti šaknies iš visų skaičių.

Nė vienas!

Prisiminkime taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išgauti net šaknų!

Tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.

O kaip su išraiška?

Bet čia iškyla problema.

Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, redukuojamos trupmenos, pavyzdžiui, arba.

Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, bet tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet jei rodiklį užrašysime kitaip, vėl pateksime į bėdą: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).

Kad išvengtume tokių paradoksų, svarstome tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.

Taigi, jei:

• - natūralusis skaičius;
• - sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Racionalieji eksponentai yra labai naudingi transformuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:

5 pavyzdžiai praktikai

5 mokymo pavyzdžių analizė

Na, dabar ateina sunkiausia dalis. Dabar mes tai išsiaiškinsime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.

Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi

Galų gale, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra, neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius natūraliais, sveikaisiais ir racionaliais rodikliais, kiekvieną kartą kurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.

Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliuoju rodikliu yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;

...skaičių iki nulio laipsnio- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jie dar nepradėjo jo dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias skaičius“ , būtent skaičius;

...neigiamo sveikojo skaičiaus laipsnis- tarsi įvyko kažkoks „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius.

Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

KUR ESAME TIKRI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Sprendimų analizė:

1. Pradėkime nuo įprastos galios pakėlimo į laipsnį taisyklės:

Dabar pažiūrėkite į indikatorių. Ar jis tau nieko neprimena? Prisiminkime sutrumpinto kvadratų skirtumo daugybos formulę:

Tokiu atveju,

Paaiškėjo, kad:

Atsakymas: .

2. Rodiklio trupmenas sumažiname iki vienodos formos: arba abi po kablelio, arba abi paprastosios. Mes gauname, pavyzdžiui:

Atsakymas: 16

3. Nieko ypatingo, naudojame įprastas laipsnių savybes:

PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Laipsnio nustatymas

Laipsnis yra formos išraiška: , kur:

• — laipsnio bazė;
• - eksponentas.

Laipsnis su natūraliu rodikliu (n = 1, 2, 3,...)

Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)

Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:

Statyba iki nulio laipsnio:

Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet kuriuo laipsniu yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki aštuntojo laipsnio yra tai.

Jei eksponentas yra neigiamas sveikasis skaičius numeris:

(nes negalima dalyti iš).

Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei tada.

Pavyzdžiai:

Galia su racionaliuoju rodikliu

• - natūralusis skaičius;
• - sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsnių savybės

Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.

Pažiūrėkime: kas yra ir?

A prioritetas:

Taigi, dešinėje šios išraiškos pusėje gauname tokį produktą:

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, tai yra:

Q.E.D.

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : .

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje Būtinai turi būti tos pačios priežastys. Todėl mes deriname galias su baze, tačiau tai lieka atskiras veiksnys:

Kita svarbi pastaba: ši taisyklė - tik galių sandaugai!

Jokiomis aplinkybėmis negali to rašyti.

Kaip ir su ankstesne savybe, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pergrupuokime šį darbą taip:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs kartų, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Iš esmės tai galima pavadinti „indikatoriaus išėmimu iš skliaustų“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso: !

Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai juk netiesa.

Galia su neigiama baze.

Iki šiol mes tik aptarėme, koks jis turėtų būti indeksas laipsnių. Bet kas turėtų būti pagrindas? Galiomis natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .

Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net. Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? A? ?

Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Mes prisimename paprastą taisyklę nuo 6 klasės: „minusas už minusą suteikia pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime - .

Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galime suformuluoti taip paprastos taisyklės:

1. net laipsnis, - skaičius teigiamas.
2. Neigiamas skaičius, įmontuotas nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
3. Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
4. Nulis bet kokiai galiai yra lygus nuliui.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ar susitvarkei? Štai atsakymai:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir rodiklį ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: juk nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Bazė nelygi, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimename, tai tampa aišku, taigi ir pagrindas mažiau nei nulis. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.

Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:

Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir padalijame juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:

Prieš pažvelgdami į paskutinę taisyklę, išspręskime keletą pavyzdžių.

Apskaičiuokite išraiškas:

Sprendimai :

Jei nepaisysime aštuntosios galios, ką čia pamatysime? Prisiminkime 7 klasės programą. Taigi, ar prisimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas!

Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Sąlygų tvarka neteisinga. Jei jie būtų pakeisti, galėtų būti taikoma 3 taisyklė. Bet kaip? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Jei padauginsite iš, niekas nepasikeis, tiesa? Bet dabar viskas pasirodo taip:

Stebuklingai terminai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ tolygiai taikomas bet kuriai išraiškai: skliausteliuose esančius ženklus galime lengvai pakeisti. Tačiau svarbu atsiminti: Visi ženklai keičiasi tuo pačiu metu! Jūs negalite jo pakeisti pakeisdami tik vieną mums nepatinkantį trūkumą!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Taigi dabar paskutinė taisyklė:

Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:

Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek iš viso yra raidžių? kartų pagal daugiklius – ką tai jums primena? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: Ten buvo tik daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su eksponentu laipsnis:

Pavyzdys:

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius natūraliais, sveikaisiais ir racionaliais rodikliais, kiekvieną kartą kurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliuoju rodikliu yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jie dar nepradėjo jo dauginti, vadinasi, pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias numeris“, būtent skaičius; laipsnis su sveikuoju neigiamu eksponentu - tarsi įvyktų koks nors „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Tai veikiau grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

Taigi, ką daryti, jei matome neracionalų eksponentą? Stengiamės jo atsikratyti! :)

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

1)

2)

3)

Atsakymai:

1. Prisiminkime kvadratų formulės skirtumą. Atsakymas:.
2. Sumažiname trupmenas į tą pačią formą: arba abu dešimtainius, arba abu paprastus. Pavyzdžiui, gauname: .
3. Nieko ypatingo, naudojame įprastas laipsnių savybes:

SKYRIUS IR PAGRINDINĖS FORMULĖS SANTRAUKA

Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu

laipsnis, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).

Galia su racionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.

Laipsnių savybės

Laipsnių ypatumai.

• Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
• Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
• Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
• Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
• Bet kuris skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.

DABAR TU TURITE ŽODĮ...

Kaip jums patinka straipsnis? Žemiau komentaruose parašykite, ar patiko, ar ne.

Papasakokite apie savo patirtį naudojant laipsnio savybes.

Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.

Rašyk komentaruose.

Ir sėkmės egzaminuose!

Panagrinėkime išraiškų transformavimo galiomis temą, bet pirmiausia apsistokime ties keletu transformacijų, kurias galima atlikti bet kokiomis išraiškomis, įskaitant galias. Išmoksime atidaryti skliaustus, pridėti panašių terminų, dirbti su bazėmis ir rodikliais, naudoti galių savybes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas yra galios išraiškos?

Mokyklos kursuose nedaug žmonių vartoja frazę „ galios išraiškos“, tačiau šis terminas nuolat sutinkamas rinkiniuose, skirtuose pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui. Daugeliu atvejų frazė žymi išraiškas, kurių įrašuose yra laipsnių. Tai mes atspindėsime savo apibrėžime.

1 apibrėžimas

Galios išraiška yra išraiška, kurioje yra laipsniai.

Pateiksime keletą galios išraiškų pavyzdžių, pradedant laipsniu su natūraliuoju laipsniu ir baigiant laipsniu su tikruoju laipsniu.

Paprasčiausias laipsnio išraiškas galima laikyti laipsniais skaičiaus su natūraliuoju rodikliu: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1, (a 2) 3 . Taip pat laipsniai su nuliniu rodikliu: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Ir laipsniai su sveikaisiais skaičiais neigiamų galių: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Šiek tiek sunkiau dirbti su laipsniu, kurio rodikliai yra racionalūs ir neracionalūs: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Rodiklis gali būti kintamasis 3 x - 54 - 7 3 x - 58 arba logaritmas x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Mes sprendėme klausimą, kas yra galios išraiškos. Dabar pradėkime juos konvertuoti.

Pagrindiniai galios išraiškų transformacijų tipai

Pirmiausia apžvelgsime pagrindines išraiškų tapatumo transformacijas, kurias galima atlikti galios išraiškomis.

1 pavyzdys

Apskaičiuokite galios išraiškos reikšmę 2 3 (4 2–12).

Sprendimas

Visas pertvarkas atliksime laikydamiesi veiksmų eilės. Tokiu atveju pradėsime atlikdami veiksmus skliausteliuose: laipsnį pakeisime skaitmenine reikšme ir apskaičiuosime dviejų skaičių skirtumą. Mes turime 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Viskas, ką turime padaryti, tai pakeisti laipsnį 2 3 jo prasmė 8 ir apskaičiuokite produktą 8 4 = 32. Štai mūsų atsakymas.

Atsakymas: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .

2 pavyzdys

Supaprastinkite išraišką galiomis 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Sprendimas

Problemos teiginyje mums pateiktoje išraiškoje yra panašių terminų, kuriuos galime pateikti: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Atsakymas: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

3 pavyzdys

Išreikškite išraišką laipsniais 9 - b 3 · π - 1 2 kaip sandaugą.

Sprendimas

Įsivaizduokime skaičių 9 kaip galią 3 2 ir pritaikykite sutrumpintą daugybos formulę:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Atsakymas: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Dabar pereikime prie tapatybės transformacijų, kurias galima pritaikyti konkrečiai galios išraiškoms, analizės.

Darbas su baze ir eksponentu

Pagrindo arba laipsnio laipsnis gali turėti skaičius, kintamuosius ir kai kurias išraiškas. Pavyzdžiui, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 Ir . Su tokiais įrašais dirbti sunku. Daug lengviau laipsnio bazėje esančią išraišką arba laipsnio išraišką pakeisti identiška išraiška.

Laipsnio ir laipsnio transformacijos atliekamos pagal mums žinomas taisykles atskirai viena nuo kitos. Svarbiausia, kad transformacijos rezultatas būtų identiškas pradinei išraiškai.

Transformacijų tikslas – supaprastinti pradinę išraišką arba gauti problemos sprendimą. Pavyzdžiui, aukščiau pateiktame pavyzdyje (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 galite atlikti veiksmus, kad pasiektumėte laipsnį 4 , 1 1 , 3 . Atidarę skliaustus galime pateikti panašius terminus galios pagrindui (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) ir gauti paprastesnės formos galios išraišką a 2 (x + 1).

Laipsnio savybių naudojimas

Galių savybės, parašytos lygybių forma, yra viena iš pagrindinių priemonių transformuoti išraiškas galiomis. Čia pateikiame pagrindinius, atsižvelgdami į tai a Ir b yra bet kokie teigiami skaičiai ir r Ir s- savavališki realieji skaičiai:

2 apibrėžimas

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Tais atvejais, kai kalbame apie natūraliuosius, sveikuosius, teigiamus rodiklius, skaičių a ir b apribojimai gali būti daug ne tokie griežti. Taigi, pavyzdžiui, jei svarstysime lygybę a m · a n = a m + n, Kur m Ir n yra natūralūs skaičiai, tada tai bus teisinga bet kurioms a reikšmėms, tiek teigiamoms, tiek neigiamoms, taip pat a = 0.

Galių savybes galite taikyti be apribojimų tais atvejais, kai galių bazės yra teigiamos arba turi kintamuosius, plotą priimtinos vertės kuri yra tokia, kad jos pagrindai įgauna tik teigiamas reikšmes. Tiesą sakant, viduje mokyklos mokymo programa matematikoje mokinio užduotis – pasirinkti tinkamą savybę ir teisingai ją pritaikyti.

Ruošiantis stoti į universitetus galite susidurti su problemomis, kurias sprendžiant dėl ​​netikslaus savybių taikymo susiaurės DL ir kiti sunkumai. Šiame skyriuje išnagrinėsime tik du tokius atvejus. Daugiau informacijos šia tema rasite temoje „Reiškių konvertavimas naudojant galių savybes“.

4 pavyzdys

Įsivaizduokite išraišką a 2 , 5 (a 2) – 3: a – 5, 5 galios su pagrindu pavidalu a.

Sprendimas

Pirma, mes naudojame eksponencijos savybę ir transformuojame antrąjį veiksnį naudodami jį (a 2) – 3. Tada naudojame daugybos ir galių padalijimo savybes su tuo pačiu pagrindu:

a 2 , 5 · a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5) = a 2 .

Atsakymas: a 2, 5 · (a 2) - 3: a - 5, 5 = a 2.

Galios išraiškų transformacija pagal galių savybę gali būti atliekama tiek iš kairės į dešinę, tiek į priešingą pusę.

5 pavyzdys

Raskite galios išraiškos 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 reikšmę.

Sprendimas

Jei taikysime lygybę (a · b) r = a r · b r, iš dešinės į kairę, gauname 3 · 7 1 3 · 21 2 3 ir tada 21 1 3 · 21 2 3 formos sandaugą. Sudėkime eksponentus, kai laipsnius dauginame su tomis pačiomis bazėmis: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Yra dar vienas transformacijos būdas:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Atsakymas: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

6 pavyzdys

Pateikta galios išraiška a 1, 5 - a 0, 5 - 6, įveskite naują kintamąjį t = a 0,5.

Sprendimas

Įsivaizduokime laipsnį 1, 5 Kaip 0,5 3. Naudojant laipsnio ir laipsnių savybę (a r) s = a r · s iš dešinės į kairę ir gauname (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Galite lengvai įvesti naują kintamąjį į gautą išraišką t = a 0,5: mes gauname t 3 − t − 6.

Atsakymas: t 3 − t − 6 .

Trupmenų, turinčių laipsnius, konvertavimas

Paprastai susiduriame su dviem galios išraiškų su trupmenomis versijomis: išraiška reiškia trupmeną su laipsniu arba apima tokią trupmeną. Tokioms išraiškoms be apribojimų taikomos visos pagrindinės trupmenų transformacijos. Jie gali būti sumažinti, perkelti į naują vardiklį arba apdoroti atskirai su skaitikliu ir vardikliu. Iliustruojame tai pavyzdžiais.

7 pavyzdys

Supaprastinkite galios išraišką 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Sprendimas

Mes susiduriame su trupmena, todėl atliksime transformacijas ir skaitiklyje, ir vardikliuose:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Norėdami pakeisti vardiklio ženklą, prieš trupmeną įdėkite minuso ženklą: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Atsakymas: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Trupmenos, turinčios laipsnius, sumažinamos iki naujo vardiklio taip pat, kaip ir racionalios trupmenos. Norėdami tai padaryti, turite rasti papildomą koeficientą ir iš jo padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Būtina pasirinkti papildomą veiksnį taip, kad jokioms kintamųjų reikšmėms iš pradinės išraiškos ODZ kintamųjų jis nepatektų į nulį.

8 pavyzdys

Sumažinkite trupmenas iki naujo vardiklio: a) a + 1 a 0, 7 iki vardiklio a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 iki vardiklio x + 8 · y 1 2 .

Sprendimas

a) Parinkime koeficientą, kuris leis redukuoti iki naujo vardiklio. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, todėl kaip papildomą veiksnį imsime a 0, 3. Kintamojo a leistinų verčių diapazonas apima visų teigiamų realiųjų skaičių rinkinį. Laipsnis šioje srityje a 0, 3 nenueina iki nulio.

Padauginkime trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Atkreipkite dėmesį į vardiklį:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Padauginkime šią išraišką iš x 1 3 + 2 · y 1 6, gausime kubelių x 1 3 ir 2 · y 1 6 sumą, t.y. x + 8 · y 1 2 . Tai mūsų naujas vardiklis, iki kurio turime sumažinti pradinę trupmeną.

Taip radome papildomą koeficientą x 1 3 + 2 · y 1 6 . Apie leistinų kintamųjų verčių diapazoną x Ir y išraiška x 1 3 + 2 y 1 6 neišnyksta, todėl iš jos galime padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Atsakymas: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

9 pavyzdys

Sumažinkite trupmeną: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Sprendimas

a) Naudojame didžiausią bendrą vardiklį (GCD), kuriuo galime sumažinti skaitiklį ir vardiklį. Skaičiams 30 ir 45 yra 15. Taip pat galime sumažinti iki x0,5+1 ir ant x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Mes gauname:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Čia identiškų veiksnių buvimas nėra akivaizdus. Turėsite atlikti kai kurias transformacijas, kad gautumėte tuos pačius skaitiklio ir vardiklio veiksnius. Norėdami tai padaryti, išplečiame vardiklį naudodami kvadratų skirtumo formulę:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Atsakymas: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Pagrindinės operacijos su trupmenomis apima trupmenų konvertavimą į naują vardiklį ir trupmenų mažinimą. Abu veiksmai atliekami laikantis tam tikrų taisyklių. Sudedant ir atimant trupmenas, pirmiausia trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio, po to atliekamos operacijos (sudėti arba atimti) su skaitikliais. Vardiklis išlieka tas pats. Mūsų veiksmų rezultatas – nauja trupmena, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis – vardklių sandauga.

10 pavyzdys

Atlikite veiksmus x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Sprendimas

Pradėkime atimdami skliausteliuose esančias trupmenas. Suveskime juos į bendrą vardiklį:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Atimkime skaitiklius:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Dabar padauginame trupmenas:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Sumažinkime galia x 1 2, gauname 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Be to, galite supaprastinti galios išraišką vardiklyje, naudodami kvadratų skirtumo formulę: kvadratai: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Atsakymas: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

11 pavyzdys

Supaprastinkite laipsnio dėsnio išraišką x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Sprendimas

Mes galime sumažinti trupmeną (x 2, 7 + 1) 2. Gauname trupmeną x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Tęskime x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 laipsnių transformaciją. Dabar galite naudoti dalijimo laipsnius su tais pačiais pagrindais savybę: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Nuo paskutinio produkto pereiname prie trupmenos x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Atsakymas: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Daugeliu atvejų patogiau perkelti veiksnius su neigiamais rodikliais iš skaitiklio į vardiklį ir atgal, keičiant rodiklio ženklą. Šis veiksmas leidžia supaprastinti tolesnį sprendimą. Pateikiame pavyzdį: laipsnio išraišką (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 galima pakeisti x 3 · (x + 1) 0, 2.

Posakių konvertavimas su šaknimis ir galiomis

Problemose yra galios išraiškos, kuriose yra ne tik laipsniai su trupmeniniais rodikliais, bet ir šaknys. Patartina tokius posakius redukuoti tik į šaknis arba tik į galias. Pageidautina siekti laipsnių, nes su jais lengviau dirbti. Šis perėjimas yra ypač pageidautinas, kai pradinės išraiškos kintamųjų ODZ leidžia pakeisti šaknis galiomis, nereikia pasiekti modulio arba padalyti ODZ į kelis intervalus.

12 pavyzdys

Išreikškite išraišką x 1 9 · x · x 3 6 kaip laipsnį.

Sprendimas

Leidžiamų kintamųjų verčių diapazonas x apibrėžiamas dviem nelygybėmis x ≥ 0 ir x x 3 ≥ 0, kurie apibrėžia aibę [ 0 , + ∞) .

Šiame rinkinyje mes turime teisę pereiti nuo šaknų prie galių:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Naudodamiesi galių savybėmis, supaprastiname gautą galios išraišką.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Atsakymas: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Laipsnių konvertavimas su kintamaisiais eksponente

Šias transformacijas gana lengva atlikti, jei teisingai naudojate laipsnio savybes. Pavyzdžiui, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Galime pakeisti laipsnių sandauga, kurios rodikliai yra kokio nors kintamojo ir skaičiaus suma. Kairėje pusėje tai galima padaryti su pirmąja ir paskutine kairiosios išraiškos pusės dalimis:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

Dabar padalinkime abi lygybės puses iš 7 2 x. Ši kintamojo x išraiška turi tik teigiamas reikšmes:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Sumažinkime trupmenas laipsniais, gausime: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Galiausiai laipsnių santykis su tais pačiais rodikliais pakeičiamas koeficientų laipsniais, todėl gaunama lygtis 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, kuri yra lygi 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0.

Įveskime naują kintamąjį t = 5 7 x, kuris sumažina pradinės eksponentinės lygties sprendinį iki kvadratinės lygties 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 sprendinio.

Posakių konvertavimas laipsniais ir logaritmais

Išraiškos, turinčios laipsnius ir logaritmus, taip pat randamos uždaviniuose. Tokių posakių pavyzdys yra: 1 4 1 - 5 · log 2 3 arba log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Tokių išraiškų transformacija atliekama naudojant aukščiau aptartus logaritmų metodus ir savybes, kuriuos išsamiai aptarėme temoje „Logaritminių išraiškų transformacija“.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Eikite į mūsų svetainės „YouTube“ kanalą, kad gautumėte naujausią informaciją apie visas naujas vaizdo įrašų pamokas.

Pirmiausia prisiminkime pagrindines galių formules ir jų savybes.

Skaičiaus sandauga a savaime atsiranda n kartų, šią išraišką galime parašyti kaip a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Galia arba eksponentinės lygtys – tai lygtys, kuriose kintamieji yra laipsniais (arba laipsniais), o pagrindas yra skaičius.

Eksponentinių lygčių pavyzdžiai:

Šiame pavyzdyje skaičius 6 yra pagrindas; jis visada yra apačioje ir kintamasis x laipsnis arba rodiklis.

Pateiksime daugiau eksponentinių lygčių pavyzdžių.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos eksponentinės lygtys?

Paimkime paprastą lygtį:

2 x = 2 3

Šis pavyzdys gali būti išspręstas net jūsų galvoje. Matyti, kad x=3. Juk taip, kad kairėje ir dešinioji dalis buvo lygūs, x reikia pakeisti skaičiumi 3.
Dabar pažiūrėkime, kaip įforminti šį sprendimą:

2 x = 2 3
x = 3

Norėdami išspręsti tokią lygtį, pašalinome identiškais pagrindais(tai yra dviese) ir surašė, kas liko, tai yra laipsniai. Gavome atsakymą, kurio ieškojome.

Dabar apibendrinkime savo sprendimą.

Eksponentinės lygties sprendimo algoritmas:
1. Reikia patikrinti tas pats ar lygtis turi pagrindus dešinėje ir kairėje. Jei priežastys nevienodos, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.
2. Kai bazės tampa vienodos, prilyginti laipsnių ir išspręskite gautą naują lygtį.

Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių:

Pradėkime nuo kažko paprasto.

Kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra lygūs skaičiui 2, o tai reiškia, kad galime atmesti pagrindą ir sulyginti jų galias.

x+2=4 Gaunama paprasčiausia lygtis.
x = 4 – 2
x=2
Atsakymas: x=2

Šiame pavyzdyje matote, kad bazės skiriasi: 3 ir 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Pirma, perkelkite devynis į dešinę pusę, gausime:

Dabar reikia padaryti tuos pačius pagrindus. Mes žinome, kad 9 = 3 2. Naudokime laipsnio formulę (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Gauname 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 dabar matote, kad kairėje ir dešinioji pusė pagrindai yra vienodi ir lygūs trims, vadinasi, galime juos atmesti ir sulyginti laipsnius.

3x=2x+16 gauname paprasčiausią lygtį
3x - 2x = 16
x=16
Atsakymas: x=16.

Pažvelkime į tokį pavyzdį:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Visų pirma, mes žiūrime į bazes, antrą ir ketvirtą. Ir mums reikia, kad jie būtų vienodi. Keturis transformuojame naudodami formulę (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Taip pat naudojame vieną formulę a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pridėkite prie lygties:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Tačiau mus vargina kiti skaičiai 10 ir 24. Ką su jais daryti? Atidžiau pažiūrėjus matosi, kad kairėje pusėje pakartojame 2 2x, štai atsakymas – galime dėti 2 2x iš skliaustų:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Apskaičiuokime išraišką skliausteliuose:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Visą lygtį padaliname iš 6:

Įsivaizduokime 4 = 2 2:

2 2x = 2 2 bazės yra vienodos, jas atmetame ir laipsnius sulyginame.
2x = 2 yra paprasčiausia lygtis. Padalinkite iš 2 ir gausime
x = 1
Atsakymas: x = 1.

Išspręskime lygtį:

9 x – 12*3 x +27= 0

Transformuokime:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Gauname lygtį:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Mūsų pagrindai yra vienodi, lygūs trims Šiame pavyzdyje matote, kad pirmieji trys laipsnį turi du kartus (2x) nei antrasis (tik x). Tokiu atveju galite išspręsti pakeitimo metodas. Skaičius s mažiausias laipsnis pakeisti:

Tada 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Visas x laipsnius lygtyje pakeičiame t:

t 2 – 12t+27 = 0
Mes gauname kvadratinė lygtis. Išspręsdami per diskriminantą, gauname:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Grįžtant prie kintamojo x.

Paimkite t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Tai yra,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo iš t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atsakymas: x 1 = 2; x 2 = 1.

Svetainėje galite užduoti visus jums rūpimus klausimus skiltyje PAGALBA SPRUSTI, mes jums tikrai atsakysime.

Prisijunk prie grupės

Pamokos tipas:žinių apibendrinimo ir sisteminimo pamoka

Tikslai:

• edukacinis– pakartokite laipsnio apibrėžimą, laipsnių dauginimo ir dalijimo, laipsnio didinimo iki laipsnio taisykles, įtvirtinkite įgūdžius spręsti laipsnius turinčius pavyzdžius,
• besivystantis- plėtra loginis mąstymas studentų susidomėjimas studijuojama medžiaga,
• kėlimas– ugdyti atsakingą požiūrį į mokymąsi, bendravimo kultūrą ir kolektyvizmo jausmą.

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, interaktyvi lenta, protinio skaičiavimo „Laipsnių“ pristatymas, užduočių kortelės, dalomoji medžiaga.

Pamokos planas:

1. Laiko organizavimas.
2. Taisyklių kartojimas
3. Žodinis skaičiavimas.
4. Istorinė nuoroda.
5. Darbas valdyboje.
6. Kūno kultūros minutė.
7. Darbas prie interaktyvios lentos.
8. Savarankiškas darbas.
9. Namų darbai.
10. Apibendrinant pamoką.

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas

Perduokite pamokos temą ir tikslus.

Ankstesnėse pamokose jūs atradote nuostabus pasaulis laipsnius, išmoko laipsnius dauginti ir dalyti bei pakelti juos į galią. Šiandien turime įtvirtinti įgytas žinias spręsdami pavyzdžius.

II. Taisyklių kartojimas(žodžiu)

1. Pateikite laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu? (Skaičiaus galia A kurio natūralusis rodiklis didesnis nei 1, vadinamas sandauga n veiksniai, kurių kiekvienas yra lygus A.)
2. Kaip padauginti dvi galias? (Norėdami padauginti laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, bazę turite palikti tą pačią ir pridėti eksponentus.)
3. Kaip padalinti laipsnį iš laipsnio? (Norėdami padalinti laipsnius tomis pačiomis bazėmis, bazę turite palikti tą pačią ir atimti eksponentus.)
4. Kaip pakelti gaminį į galią? (Norėdami padidinti produkto laipsnį, turite padidinti kiekvieną veiksnį iki tos galios)
5. Kaip pakelti laipsnį iki galios? (Norėdami padidinti laipsnį į laipsnį, bazę turite palikti tą patį ir padauginti eksponentus)

III. Žodinis skaičiavimas(per multimediją)

IV. Istorinė nuoroda

Visos problemos yra iš Ahmeso papiruso, kuris buvo parašytas apie 1650 m. pr. Kr. e. susiję su statybos praktika, žemės sklypų ribų nustatymu ir kt. Užduotys grupuojamos pagal temas. Tai daugiausia trikampio, keturkampių ir apskritimo plotų radimo užduotys, įvairios operacijos su sveikaisiais skaičiais ir trupmenomis, proporcingas dalijimas, koeficientų radimas, taip pat yra kėlimas skirtingų laipsnių, sprendžiant pirmojo ir antrojo laipsnio lygtis su vienu nežinomuoju.

Visiškai trūksta jokių paaiškinimų ar įrodymų. Norimas rezultatas pateikiamas tiesiogiai arba pateikiamas trumpas jo skaičiavimo algoritmas. Šis pateikimo būdas, būdingas mokslui šalyse senovės Rytai, rodo, kad ten matematika vystėsi per apibendrinimus ir spėjimus, kurie nesudarė jokios bendros teorijos. Tačiau papiruse yra nemažai įrodymų, kad egiptiečių matematikai mokėjo išgauti šaknis ir pakelti į galias, spręsti lygtis ir net įvaldė algebros užuomazgas.

V. Darbas valdyboje

Racionaliai raskite posakio prasmę:

Apskaičiuokite išraiškos reikšmę:

VI. Kūno kultūros minutė

1. akims
2. už kaklą
3. rankoms
4. liemeniui
5. kojoms

VII. Problemų sprendimas(su ekranu interaktyvioje lentoje)

Ar lygties šaknis yra teigiamas skaičius?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x)< 0)

VIII. Savarankiškas darbas

IX. Namų darbai

X. Pamokos apibendrinimas

Rezultatų analizė, pažymių paskelbimas.

Įgytas žinias apie laipsnius panaudosime spręsdami lygtis ir uždavinius vidurinėje mokykloje, jos taip pat dažnai randamos vieningame valstybiniame egzamine.

Laipsnio formulės naudojami mažinimo ir supaprastinimo procese sudėtingos išraiškos, sprendžiant lygtis ir nelygybes.

Skaičius c yra n- skaičiaus laipsnis a Kada:

Operacijos su laipsniais.

1. Padauginus laipsnius iš tos pačios bazės, pridedami jų rodikliai:

esu·a n = a m + n .

2. Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų eksponentai atimami:

3. Produkto galia 2 arba daugiau faktoriai yra lygūs šių veiksnių galių sandaugai:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Trupmenos laipsnis lygus dividendo ir daliklio laipsnių santykiui:

(a/b) n = a n/b n .

5. Padidinus laipsnį į laipsnį, rodikliai dauginami:

(a m) n = a m n .

Kiekviena aukščiau pateikta formulė yra teisinga kryptimis iš kairės į dešinę ir atvirkščiai.

Pavyzdžiui. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacijos su šaknimis.

1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:

2. Santykio šaknis lygi dividendo ir šaknų daliklio santykiui:

3. Keliant šaknį į laipsnį, iki šios laipsnio pakanka pakelti radikalųjį skaičių:

4. Jei padidinsite šaknies laipsnį n vieną kartą ir tuo pačiu metu integruoti į n laipsnis yra radikalus skaičius, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

5. Jei sumažinsite šaknies laipsnį n tuo pačiu metu ištraukite šaknį n- radikalaus skaičiaus laipsnis, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

Laipsnis su neigiamu rodikliu. Tam tikro skaičiaus, turinčio neteigiamą (sveikąjį) rodiklį, laipsnis apibrėžiamas kaip laipsnis, padalytas iš to paties skaičiaus laipsnio, kurio rodiklis lygus absoliučiai neteigiamojo rodiklio vertei:

Formulė esu:a n =a m - n gali būti naudojamas ne tik m> n, bet ir su m< n.

Pavyzdžiui. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Į formulę esu:a n =a m - n tapo teisinga, kai m=n, būtinas nulinis laipsnis.

Laipsnis su nuliniu indeksu. Bet kurio skaičiaus, nelygaus nuliui, su nuliniu rodikliu, laipsnis yra lygus vienetui.

Pavyzdžiui. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti tikrąjį skaičių A iki laipsnio m/n, reikia išgauti šaknį n laipsnis m-šio skaičiaus laipsnis A.