Viena iš pagrindinių algebros ir visos matematikos savybių yra laipsnis. Žinoma, XXI amžiuje visus skaičiavimus galima atlikti internetiniu skaičiuotuvu, tačiau smegenų vystymuisi geriau išmokti tai padaryti patiems.

Šiame straipsnyje apžvelgsime daugiausiai svarbius klausimus susijusi su šiuo apibrėžimu. Būtent, supraskime, kas tai yra apskritai ir kokios yra jo pagrindinės funkcijos, kokios matematikos savybės.

Pažvelkime į pavyzdžius, kaip atrodo skaičiavimas ir kokios yra pagrindinės formulės. Pažvelkime į pagrindinius dydžių tipus ir kuo jie skiriasi nuo kitų funkcijų.

Leiskite mums suprasti, kaip išspręsti įvairias problemas naudojant šį kiekį. Pavyzdžiais parodysime, kaip pakelti iki nulinės galios, neracionalų, neigiamą ir pan.

Internetinė eksponencijos skaičiuoklė

Kas yra skaičiaus galia

Ką reiškia posakis „pakelti skaičių iki laipsnio“?

Skaičiaus galia n yra a dydžio veiksnių sandauga n kartų iš eilės.

Matematiškai tai atrodo taip:

a n = a * a * a * …a n .

Pavyzdžiui:

• 2 3 = 2 trečiajame laipsnyje. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 žingsniui. du = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 žingsniui. keturi = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 = 10 4 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.

Žemiau yra kvadratų ir kubelių nuo 1 iki 10 lentelė.

Laipsnių lentelė nuo 1 iki 10

Žemiau pateikiami natūraliųjų skaičių padidinimo iki teigiamų galių rezultatai - „nuo 1 iki 100“.

Ch-lo	2-oji g.	3 etapas
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Laipsnių savybės

Kas būdinga tokiai matematinei funkcijai? Pažvelkime į pagrindines savybes.

Mokslininkai nustatė šiuos dalykus Visiems laipsniams būdingi ženklai:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Patikrinkime su pavyzdžiais:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Kita vertus, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Panašiai: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Kitu atveju 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. O jei skiriasi? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kaip matote, taisyklės veikia.

Bet ką apie su pridėjimu ir atėmimu? Tai paprasta. Pirmiausia atliekamas eksponentinis koeficientas, o tada sudėjimas ir atėmimas.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Atkreipkite dėmesį: taisyklė negalios, jei pirmiausia atimsite: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Tačiau šiuo atveju pirmiausia turite apskaičiuoti priedą, nes skliausteliuose yra veiksmų: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kaip gaminti skaičiavimai sudėtingesniais atvejais? Tvarka ta pati:

• jei yra skliaustų, reikia pradėti nuo jų;
• tada eksponencija;
• tada atlikti daugybos ir dalybos operacijas;
• po sudėjimo, atimties.

Yra specifinių savybių, kurios būdingos ne visiems laipsniams:

1. Skaičiaus a iki m laipsnio n-oji šaknis bus parašyta taip: a m / n.
2. Keliant trupmeną į laipsnį: ši procedūra taikoma ir skaitikliui, ir jo vardikliui.
3. Statant kūrinį skirtingi skaičiai laipsniui, išraiška atitiks šių skaičių sandaugą su duotuoju laipsniu. Tai yra: (a * b) n = a n * b n .
4. Didinant skaičių iki neigiamo laipsnio, 1 reikia padalyti iš skaičiaus tame pačiame amžiuje, bet su „+“ ženklu.
5. Jei trupmenos vardiklis yra neigiamas laipsnis, tai ši išraiška bus lygi skaitiklio sandaugai, o vardiklio - teigiamam laipsniui.
6. Bet koks skaičius laipsniui 0 = 1 ir laipsniui. 1 = sau.

Šios taisyklės kai kuriais atvejais yra svarbios; toliau jas nagrinėsime išsamiau.

Laipsnis su neigiamu rodikliu

Ką daryti kada minuso laipsnis, t.y. kai rodiklis neigiamas?

Remiantis 4 ir 5 savybėmis(žr. aukščiau esantį punktą), paaiškėja:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Ir atvirkščiai:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

O jei tai trupmena?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Laipsnis su natūraliu indikatoriumi

Jis suprantamas kaip laipsnis, kurio rodikliai lygūs sveikiesiems skaičiams.

Ką reikia atsiminti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ir t.t.

A1 = A, 11 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...ir t.t.

Be to, jei (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...tada rezultatas bus su „+“ ženklu. Jei neigiamas skaičius padidinamas iki nelyginio laipsnio, tada atvirkščiai.

Jiems būdingos ir bendrosios savybės bei visos aukščiau aprašytos specifinės savybės.

Trupmeninis laipsnis

Šį tipą galima parašyti kaip schemą: A m / n. Skaityti kaip: n-oji skaičiaus A šaknis iki laipsnio m.

Su trupmeniniu indikatoriumi galite daryti ką norite: sumažinti, padalinti į dalis, pakelti į kitą galią ir pan.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Tegu α yra neracionalusis skaičius, o A ˃ 0.

Norėdami suprasti laipsnio esmę naudojant tokį rodiklį, Pažvelkime į įvairius galimus atvejus:

• A = 1. Rezultatas bus lygus 1. Kadangi yra aksioma - 1 visose laipsniais lygus vienetui;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalieji skaičiai;

• 0˂А˂1.

Šiuo atveju viskas yra atvirkščiai: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 tomis pačiomis sąlygomis kaip ir antroje pastraipoje.

Pavyzdžiui, eksponentas yra skaičius π. Tai racionalu.

r 1 – šiuo atveju lygus 3;

r 2 – bus lygus 4.

Tada, jei A = 1, 1 π = 1.

A = 2, tada 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, tada (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π˂ 1/8.

Tokiems laipsniams būdingi visi aukščiau aprašyti matematiniai veiksmai ir specifinės savybės.

Išvada

Apibendrinkime – kam reikalingi šie kiekiai, kokie tokių funkcijų privalumai? Žinoma, pirmiausia jie supaprastina matematikų ir programuotojų gyvenimą sprendžiant pavyzdžius, nes leidžia sumažinti skaičiavimus, sutrumpinti algoritmus, sisteminti duomenis ir dar daugiau.

Kur dar šios žinios gali būti naudingos? Bet kurioje darbo specialybėje: medicina, farmakologija, odontologija, statyba, technologija, inžinerija, dizainas ir kt.

Kaip žinote, matematikoje yra ne tik teigiami, bet ir neigiami skaičiai. Jei pažintis su teigiamomis galiomis prasideda nuo kvadrato ploto nustatymo, tai su neigiamomis galiomis viskas yra kiek sudėtingiau.

Tai turėtumėte žinoti:

1. Padidinus skaičių iki natūralus laipsnis vadinamas skaičiaus (straipsnyje nagrinėsime skaičiaus ir skaitmens ekvivalento sąvokas) daugyba iš savęs tokia suma kaip eksponentas (ateityje lygiagrečiai ir tiesiog vartosime žodį eksponentas). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. IN bendras vaizdas atrodo taip: m^n = m*m*m*…*m (n kartų).
2. Reikia atsižvelgti į tai, kad neigiamą skaičių pakėlus iki natūraliosios laipsnio, jis taps teigiamas, jei rodiklis lyginis.
3. Padidinus skaičių iki eksponento 0, gaunamas vienetas, jei jis nėra lygus nuliui. Nuo nulio iki nulio galia laikoma neapibrėžta. 17^0 = 1.
4. Tam tikros laipsnio šaknies ištraukimas iš skaičiaus yra skaičiaus, kurį pakėlus iki atitinkamo laipsnio, suradimas duos norimą reikšmę. Taigi, 125 kubo šaknis yra 5, nes 5^3 = 125.
5. Jei norite padidinti skaičių iki teigiamos trupmeninės laipsnio, tuomet turite pakelti skaičių iki vardiklio laipsnio ir iš jo ištraukti skaitiklio rodiklio šaknį. 6^5/7 = septintoji sandaugos šaknis 6*6*6*6*6.
6. Jei norite pakelti skaičių iki neigiamo eksponento, tuomet turite rasti atvirkštinę pateikto skaičiaus vertę. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Skaičiaus modulio nulio didinimas iki vieneto iki neigiamo laipsnio

Pirmiausia turėtume prisiminti kas yra modulis. Tai yra atstumas koordinačių tiesėje nuo mūsų pasirinktos reikšmės iki pradžios (koordinačių linijos nulio). Pagal apibrėžimą jis niekada negali būti neigiamas.

Vertė didesnė už nulį

Kai skaitmens reikšmė yra tarp nulio ir vieneto, neigiamas indikatorius rodo paties skaitmens padidėjimą. Taip atsitinka todėl, kad vardiklis mažėja, o išlieka teigiamas.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Be to, kuo didesnis indikatoriaus modulis, tuo aktyviau figūra auga. Kadangi vardiklis linkęs į nulį, pati trupmena linkusi į plius begalybę.

Vertė mažesnė už nulį

Dabar pažiūrėkime, kaip jį padidinti iki neigiamo laipsnio, jei skaičius mažiau nei nulis. Principas yra toks pat kaip ir ankstesnėje dalyje, tačiau čia svarbus indikatoriaus ženklas.

Dar kartą pažvelkime į pavyzdžius:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

Šiuo atveju tai matome modulis toliau auga, tačiau ženklas priklauso nuo to, ar indikatorius yra lyginis, ar nelyginis.

Reikėtų pažymėti, kad jei pastatysime bloką, jis visada išliks savaime. Jei jums reikia pakelti skaičių atėmus vieną, tada su lyginiu rodikliu jis pavirs vienu, o su nelyginiu - liks minus vienas.

Padidinimas iki neigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio, jei modulis yra didesnis nei vienas

Skaičiams, kurių modulis yra didesnis nei vienas, turi savo veiksmų ypatumus. Visų pirma, reikia paversti visą trupmenos dalį į skaitiklį, tai yra, paversti ją netinkama trupmena. Jei turime dešimtainę trupmeną, tada ją reikia paversti įprastąja trupmena. Tai atliekama taip:

• 6 sveikieji skaičiai 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Dabar pažiūrėkime, kaip tokiomis sąlygomis skaičių pakelti iki neigiamos galios. Jau iš to, kas išdėstyta aukščiau, galime daryti prielaidą, ko galime tikėtis iš skaičiavimų rezultato. Kadangi supaprastinimų metu dviguba trupmena apverčiama, tuo greičiau mažės figūros modulis, kuo didesnis bus eksponento modulis.

Pirmiausia panagrinėkime situaciją, kada užduotyje pateiktas skaičius yra teigiamas.

Visų pirma tampa aišku, kad galutinis rezultatas bus didesnis už nulį, nes padalijus du teigiamus visada gaunamas teigiamas. Dar kartą pažvelkime į pavyzdžius, kaip tai daroma:

• 6 sveikieji skaičiai nuo 1/20 iki minus penktojo laipsnio = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Kaip matote, veiksmai nesukelia jokių ypatingų sunkumų, ir visos mūsų pradinės prielaidos pasirodė teisingos.

Dabar pereikime prie neigiamo skaitmens atvejo.

Pirmiausia galime daryti prielaidą, kad jei rodiklis yra lyginis, tada rezultatas bus teigiamas, jei rodiklis nelyginis, tada rezultatas bus neigiamas. Visi mūsų ankstesni skaičiavimai šioje dalyje bus laikomi galiojančiais. Dar kartą pažvelkime į pavyzdžius:

• -3 visa 1/2 iki minus šeštojo laipsnio = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Taigi visi mūsų samprotavimai pasirodė teisingi.

Konstrukcija neigiamo trupmeninio rodiklio atveju

Čia reikia atsiminti, kad tokia konstrukcija egzistuoja vardiklio galios šaknį išskirdami iš skaičiaus į skaitiklio laipsnį. Visi mūsų ankstesni samprotavimai šį kartą išlieka teisingi. Paaiškinkime savo veiksmus pavyzdžiu:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Šiuo atveju reikia nepamiršti, kad išgaunant šaknis aukštas lygis galima tik specialiai parinkta forma ir, greičiausiai, tiksliais skaičiavimais nepavyks atsikratyti radikalo ženklo (kvadratinės šaknies, kubinės šaknies ir kt.).

Nepaisant to, išsamiai išstudijavę ankstesnius skyrius, neturėtumėte tikėtis sunkumų atliekant mokyklinius skaičiavimus.

Pažymėtina, kad šio skyriaus aprašyme taip pat yra statyba su sąmoningai neracionaliu rodikliu, pavyzdžiui, jei indikatorius yra lygus minus PI. Turite veikti pagal aukščiau aprašytus principus. Tačiau skaičiavimai tokiais atvejais tampa tokie sudėtingi, kad tai gali atlikti tik galingi elektroniniai kompiuteriai.

Išvada

Veiksmas, kurį studijavome yra viena iš sudėtingiausių matematikos problemų(ypač trupmeninės-racionalios ar iracionalios reikšmės atveju). Tačiau išsamiai ir žingsnis po žingsnio išstudijavę šias instrukcijas, galite išmokti tai padaryti visiškai automatiškai be jokių problemų.

Tęsiant pokalbį apie skaičiaus galią, logiška išsiaiškinti, kaip rasti galios vertę. Šis procesas vadinamas eksponencija. Šiame straipsnyje mes išnagrinėsime, kaip atliekamas eksponentas, o paliesime visus galimus eksponentus - natūralius, sveikuosius, racionalius ir neracionalius. Ir pagal tradiciją mes išsamiai apsvarstysime skaičių didinimo į įvairias galias pavyzdžių sprendimus.

Puslapio naršymas.

Ką reiškia "eksponentacija"?

Pradėkime nuo paaiškinimo, kas vadinama eksponencija. Čia yra atitinkamas apibrėžimas.

Apibrėžimas.

Eksponentiškumas- tai yra skaičiaus galios vertės radimas.

Taigi skaičiaus a laipsnio su laipsniu r radimas ir skaičiaus a pakėlimas į laipsnį r yra tas pats. Pavyzdžiui, jei užduotis yra „apskaičiuoti laipsnio reikšmę (0,5) 5“, tada ją galima performuluoti taip: „Pakelkite skaičių 0,5 iki laipsnio 5“.

Dabar galite pereiti tiesiai prie taisyklių, pagal kurias atliekamas eksponentas.

Skaičiaus pakėlimas iki natūralios galios

Praktikoje lygybė pagrįsta dažniausiai taikoma formoje . Tai reiškia, kad keliant skaičių a iki trupmeninės laipsnio m/n, pirmiausia imama n-oji skaičiaus a šaknis, po kurios gautas rezultatas pakeliamas iki sveikojo skaičiaus laipsnio m.

Pažvelkime į pakėlimo į trupmeninę laipsnį pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite laipsnio reikšmę.

Sprendimas.

Parodysime du sprendimus.

Pirmas būdas. Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu. Apskaičiuojame laipsnio reikšmę po šaknies ženklu, o tada ištraukiame kubo šaknį: .

Antras būdas. Apibrėžiant laipsnį su trupmeniniu rodikliu ir remiantis šaknų savybėmis, yra teisingos šios lygybės: . Dabar ištraukiame šaknį , galiausiai padidiname iki sveikojo skaičiaus laipsnio .

Akivaizdu, kad gauti pakėlimo iki trupmeninės galios rezultatai sutampa.

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad trupmeninis rodiklis gali būti parašytas kaip dešimtainis arba mišrus skaičius, šiais atvejais jis turėtų būti pakeistas atitinkama įprasta trupmena, o tada padidintas iki laipsnio.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite (44,89) 2.5.

Sprendimas.

Parašykime eksponentą formoje bendroji trupmena(jei reikia, žiūrėkite straipsnį): . Dabar atliekame kėlimą iki trupmeninės galios:

Atsakymas:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Taip pat reikėtų pasakyti, kad skaičių didinimas iki racionalių laipsnių yra gana daug darbo jėgos reikalaujantis procesas (ypač kai trupmeninio rodiklio skaitiklyje ir vardiklyje yra nemažai dideli skaičiai), kuri dažniausiai atliekama naudojant kompiuterines technologijas.

Norėdami užbaigti šį klausimą, apsistokime prie skaičiaus nulio padidinimo iki trupmeninės laipsnio. Formos nulio trupmeninei galiai suteikėme tokią reikšmę: kai turime , o esant nuliui iki m/n galia neapibrėžta. Taigi, pavyzdžiui, nuo nulio iki trupmeninės teigiamos galios yra nulis, . Ir nulis trupmeninėje neigiamoje galioje neturi prasmės, pavyzdžiui, posakiai 0 -4,3 neturi prasmės.

Pakėlimas į neracionalią galią

Kartais prireikia išsiaiškinti skaičiaus su neracionaliuoju rodikliu laipsnio reikšmę. Šiuo atveju praktiniais tikslais dažniausiai pakanka gauti laipsnio reikšmę, tikslią tam tikram ženklui. Iš karto atkreipkime dėmesį, kad praktiškai ši vertė apskaičiuojama naudojant elektroninius kompiuterius, nes norint ją padidinti iki neracionalios galios rankiniu būdu reikia didelis kiekis sudėtingi skaičiavimai. Bet vis tiek apibūdinsime bendras kontūras veiksmo esmė.

Norint gauti apytikslę skaičiaus a laipsnio reikšmę su neracionaliuoju laipsniu, imamas tam tikras laipsnio dešimtainis aproksimacija ir apskaičiuojama laipsnio reikšmė. Ši reikšmė yra apytikslė skaičiaus a laipsnio reikšmė su neracionaliuoju rodikliu. Kuo tikslesnis iš pradžių imamas dešimtainis skaičiaus aproksimacija, tuo daugiau tiksli vertė pabaigoje bus įgytas laipsnis.

Kaip pavyzdį apskaičiuokime apytikslę 2 laipsnio reikšmę 1,174367... . Paimkime tokią iracionaliojo rodiklio dešimtainę aproksimaciją: . Dabar pakeliame 2 iki racionalios galios 1,17 (šio proceso esmę aprašėme ankstesnėje pastraipoje), gauname 2 1,17 ≈2,250116. Taigi, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Pavyzdžiui, jei imsime tikslesnį neracionalaus rodiklio dešimtainį aproksimaciją, gausime tikslesnę pradinio eksponento reikšmę: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikos vadovėlis 5 klasei. švietimo įstaigų.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 7 klasei. švietimo įstaigų.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 klasei. švietimo įstaigų.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 9 klasei. švietimo įstaigų.
• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Pamoka ir pristatymas tema: "Laikiklis su neigiamu rodikliu. Problemų sprendimo apibrėžimas ir pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 8 klasei
Vadovėlio vadovas Muravinas G.K. Alimovo Sh.A. vadovėlio vadovas.

Laipsnio nustatymas su neigiamu rodikliu

Vaikinai, mums sekasi padidinti skaičių iki galių.
Pavyzdžiui: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Gerai žinome, kad bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui. $a^0=1$, $a≠0$.
Kyla klausimas, kas atsitiks, jei skaičių padidinsite iki neigiamos galios? Pavyzdžiui, kam bus lygus skaičius $2^(-2)$?
Pirmieji matematikai, kurie uždavė šį klausimą, nusprendė, kad dviračio išradinėti neverta, o gerai, kad visos laipsnių savybės išliko tokios pat. Tai yra, kai galias dauginant su tuo pačiu pagrindu, rodikliai sumuojami.
Panagrinėkime šį atvejį: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Mes nustatėme, kad tokių skaičių sandauga turėtų duoti vieną. Produkto vienetas gaunamas padauginus abipusius skaičius, tai yra $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Toks samprotavimas lėmė tokį apibrėžimą.
Apibrėžimas. Jei $n$ – natūralusis skaičius ir $a≠0$, tada galioja lygybė: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Svarbi tapatybė, kuri dažnai naudojama: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Visų pirma $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Sprendimų pavyzdžiai

1 pavyzdys.
Apskaičiuokite: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Sprendimas.
Panagrinėkime kiekvieną terminą atskirai.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Belieka atlikti sudėjimo ir atimties operacijas: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) USD.
Atsakymas: $6\frac(1)(4)$.

2 pavyzdys.
Pateikite nurodytą skaičių kaip laipsnį pirminis skaičius$\frac(1)(729)$.

Sprendimas.
Akivaizdu, kad $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Tačiau 729 nėra pirminis skaičius, kuris baigiasi skaičiumi 9. Galima daryti prielaidą, kad šis skaičius yra trijų laipsnis. Nuosekliai padalinkite 729 iš 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Buvo atliktos šešios operacijos ir tai reiškia: $729=3^6$.
Mūsų užduočiai:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Atsakymas: $3^(-6)$.

3 pavyzdys. Išreikškite išraišką kaip laipsnį: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Sprendimas. Pirmasis veiksmas visada atliekamas skliausteliuose, tada daugyba $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Atsakymas: $a$.

4 pavyzdys. Įrodykite tapatybę:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Sprendimas.
Kairėje pusėje mes svarstome kiekvieną veiksnį skliausteliuose atskirai.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Pereikime prie trupmenos, iš kurios dalijame.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Atlikime padalijimą.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Gavome teisingą tapatybę, kurią turėjome įrodyti.

Pamokos pabaigoje dar kartą surašysime darbo su galiomis taisykles, čia rodiklis yra sveikasis skaičius.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

1. Apskaičiuokite: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Pateiktą skaičių pavaizduokite kaip pirminio skaičiaus $\frac(1)(16384)$ laipsnį.
3. Išreikškite išraišką kaip galią:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Įrodykite tapatybę:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Viename iš ankstesnių straipsnių jau minėjome skaičiaus galią. Šiandien mes bandysime naršyti jo prasmės paieškos procese. Kalbant moksliškai, mes išsiaiškinsime, kaip teisingai pakelti galią. Išsiaiškinsime, kaip šis procesas vykdomas, ir tuo pačiu paliesime visus galimus rodiklius: natūralius, neracionalius, racionalius, sveikuosius skaičius.

Taigi, atidžiau pažvelkime į pavyzdžių sprendimus ir išsiaiškinkime, ką tai reiškia:

1. Sąvokos apibrėžimas.
2. Pakėlimas į neigiamą meną.
3. Visas rodiklis.
4. Skaičiaus padidinimas iki neracionalios galios.

Čia yra apibrėžimas, kuris tiksliai atspindi prasmę: „Eksponentiškumas yra skaičiaus laipsnio vertės apibrėžimas“.

Atitinkamai, skaičiaus a didinimas str. r ir laipsnio a reikšmės su rodikliu r radimo procesas yra tapačios sąvokos. Pavyzdžiui, jei užduotis yra apskaičiuoti galios reikšmę (0,6) 6″, tada ją galima supaprastinti iki išraiškos „Pakelkite skaičių 0,6 iki 6 laipsnio“.

Po to galite pereiti tiesiai prie statybos taisyklių.

Pakėlimas į neigiamą galią

Siekiant aiškumo, turėtumėte atkreipti dėmesį į šią posakių grandinę:

110=0,1=1* 10 minus 1 valgomasis šaukštas,

1100 = 0,01 = 1 * 10 minus 2 laipsniais,

11 000 = 0,0001 = 1 * 10 minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 iki minus 4 laipsnių.

Dėl šių pavyzdžių galite aiškiai matyti galimybę akimirksniu apskaičiuoti 10 iki bet kurios minus galios. Šiuo tikslu pakanka tiesiog perkelti dešimtainį komponentą:

• 10 iki -1 laipsnio – prieš vieną yra 1 nulis;
• in -3 - trys nuliai prieš vieną;
• -9 yra 9 nuliai ir pan.

Iš šios diagramos taip pat nesunku suprasti, kiek bus 10 minus 5 šaukštai. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kaip padidinti skaičių iki natūralios galios

Prisimindami apibrėžimą, atsižvelgiame į tai, kad natūralusis skaičius a str. n lygus n faktorių sandaugai, kurių kiekvienas lygus a. Pavaizduokime: (a*a*…a)n, kur n yra padaugintų skaičių skaičius. Atitinkamai, norint a pakelti į n, reikia apskaičiuoti tokios formos sandaugą: a*a*…a padalytas iš n kartų.

Iš to tampa aišku, kad kėlimas į natūralią šv. priklauso nuo gebėjimo atlikti dauginimą(ši medžiaga yra pateikta skyriuje apie realiųjų skaičių dauginimą). Pažvelkime į problemą:

Pakelkite -2 į 4-ąją g.

Mes susiduriame su natūraliu rodikliu. Atitinkamai, sprendimo eiga bus tokia: (-2) str. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Dabar belieka padauginti sveikuosius skaičius: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Mes gauname 16.

Atsakymas į problemą:

(-2) str. 4=16.

Pavyzdys:

Apskaičiuokite reikšmę: trijų taškų dvi septintos kvadratas.

Šis pavyzdys yra lygus šiai sandaugai: trys taškai dvi septintos padaugintos iš trijų taško dvi septintos. Prisimindami, kaip dauginami mišrūs skaičiai, užbaigiame konstrukciją:

• 3 taškas 2 septintosios padaugintos iš savęs;
• lygus 23 septintosioms dalims, padaugintoms iš 23 septintųjų;
• lygus 529 keturiasdešimt devintoms dalims;
• sumažiname ir gauname 10 trisdešimt devynių keturiasdešimt devintųjų.

Atsakymas: 10 39/49

Kalbant apie padidinimą iki neracionalaus eksponento, reikia pažymėti, kad skaičiavimai pradedami atlikti baigus preliminarų laipsnio pagrindo apvalinimą iki bet kurio skaitmens, kuris leistų gauti vertę tam tikru tikslumu. Pavyzdžiui, skaičių P (pi) turime paversti kvadratu.

Pradedame nuo P apvalinimo iki šimtųjų ir gauname:

P kvadratu = (3,14)2 = 9,8596. Tačiau jei sumažinsime P iki dešimties tūkstantųjų dalių, gausime P = 3,14159. Tada kvadratūra suteikia visiškai kitą skaičių: 9.8695877281.

Čia reikia pažymėti, kad daugelyje problemų nereikia neracionalių skaičių kelti į laipsnius. Paprastai atsakymas įvedamas faktinio laipsnio forma, pavyzdžiui, 6 šaknis iki 3 laipsnio, arba, jei išraiška leidžia, atliekama jo transformacija: šaknis nuo 5 iki 7 laipsnių = 125 šaknis iš 5.

Kaip pakelti skaičių iki sveikojo skaičiaus laipsnio

Ši algebrinė manipuliacija yra tinkama atsižvelgti į šiuos atvejus:

• sveikiesiems skaičiams;
• nuliniam indikatoriui;
• teigiamam sveikajam rodikliui.

Kadangi beveik visi teigiami sveikieji skaičiai sutampa su natūraliųjų skaičių mase, teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio nustatymas yra toks pat procesas, kaip ir 2 str. natūralus. Šį procesą aprašėme ankstesnėje pastraipoje.

Dabar pakalbėkime apie šv. nulinis. Aukščiau jau išsiaiškinome, kad skaičiaus a nulinė galia gali būti nustatyta bet kokiam nuliui a (tikrajam), o a str. 0 bus lygus 1.

Atitinkamai, bet kurį realųjį skaičių padidinus iki nulio st. duos vieną.

Pavyzdžiui, 10 0 = 1, (-3,65) 0 = 1 ir 0 st. 0 negalima nustatyti.

Norint užbaigti didinimą iki sveikojo skaičiaus laipsnio, belieka nuspręsti dėl neigiamų sveikųjų skaičių reikšmių parinkčių. Prisimename, kad str. iš a su sveikuoju skaičiumi -z bus apibrėžta kaip trupmena. Trupmenos vardiklis yra šv. su teigiama sveikojo skaičiaus reikšme, kurios reikšmę jau išmokome rasti. Dabar belieka apsvarstyti statybos pavyzdį.

Pavyzdys:

Apskaičiuokite skaičiaus 2 kubą su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu reikšmę.

Sprendimo procesas:

Pagal laipsnio apibrėžimą su neigiamu rodikliu žymime: du minus 3 laipsnius. lygus nuo vieno iki dviejų trečiajam laipsniui.

Vardiklis apskaičiuojamas paprastai: du kubeliai;

3 = 2*2*2=8.

Atsakymas: du iki minus 3 str. = viena aštuntoji.