Šiame vaizdo įraše išanalizuosime visą rinkinį tiesines lygtis, kurie išsprendžiami naudojant tą patį algoritmą – todėl jie vadinami paprasčiausiais.
Pirmiausia apibrėžkime: kas yra tiesinė lygtis ir kuri vadinama paprasčiausia?
Tiesinė lygtis yra ta, kurioje yra tik vienas kintamasis ir tik iki pirmojo laipsnio.
Paprasčiausia lygtis reiškia konstrukciją:
Visos kitos tiesinės lygtys sumažinamos iki paprasčiausių naudojant algoritmą:
- Išskleiskite skliaustus, jei tokių yra;
- Perkelkite terminus su kintamuoju į vieną lygybės ženklo pusę, o terminus be kintamojo į kitą;
- Lygybės ženklo kairėje ir dešinėje pateikite panašius terminus;
- Gautą lygtį padalinkite iš kintamojo $x$ koeficiento.
Žinoma, šis algoritmas ne visada padeda. Faktas yra tas, kad kartais po visų šių machinacijų kintamojo $x$ koeficientas pasirodo lygus nuliui. Šiuo atveju galimi du variantai:
- Lygtis apskritai neturi sprendinių. Pavyzdžiui, kai pasirodo kažkas panašaus į $0\cdot x=8$, t.y. kairėje yra nulis, o dešinėje yra skaičius, kuris nėra nulis. Žemiau esančiame vaizdo įraše apžvelgsime keletą priežasčių, kodėl tokia situacija yra įmanoma.
- Sprendimas yra visi skaičiai. Vienintelis atvejis, kai tai įmanoma, yra tada, kai lygtis sumažinta iki konstrukcijos $0\cdot x=0$. Visai logiška, kad kad ir kokius $x$ pakeistume, vis tiek išeis „nulis lygus nuliui“, t.y. teisinga skaitinė lygybė.
Dabar pažiūrėkime, kaip visa tai veikia, naudodamiesi realaus gyvenimo pavyzdžiais.
Lygčių sprendimo pavyzdžiai
Šiandien mes susiduriame su tiesinėmis lygtimis ir tik pačiomis paprasčiausiomis. Apskritai tiesinė lygtis reiškia bet kokią lygybę, kurioje yra tiksliai vienas kintamasis, ir ji eina tik iki pirmojo laipsnio.
Tokios konstrukcijos sprendžiamos maždaug tokiu pačiu būdu:
- Visų pirma, reikia išplėsti skliaustus, jei tokių yra (kaip mūsų paskutiniame pavyzdyje);
- Tada atnešk panašų
- Galiausiai išskirkite kintamąjį, t.y. perkelkite viską, kas susiję su kintamuoju – terminus, kuriuose jis yra – į vieną pusę, o viską, kas lieka be jo, perkelkite į kitą pusę.
Tada, kaip taisyklė, reikia atvesti panašius iš kiekvienos gautos lygybės pusės, o po to belieka padalyti iš koeficiento „x“, ir mes gausime galutinį atsakymą.
Teoriškai tai atrodo gražiai ir paprastai, tačiau praktiškai net patyrę aukštųjų mokyklų studentai gali padaryti įžeidžiančių klaidų gana paprastose tiesinėse lygtyse. Paprastai klaidos daromos atidarant skliaustus arba skaičiuojant „pliusus“ ir „minusus“.
Be to, pasitaiko, kad tiesinė lygtis apskritai neturi sprendinių arba sprendinys yra visa skaičių tiesė, t.y. bet koks skaičius. Šios subtilybės apžvelgsime šios dienos pamokoje. Bet mes pradėsime, kaip jau supratote, nuo paties paprastos užduotys.
Paprastų tiesinių lygčių sprendimo schema
Pirmiausia leiskite man dar kartą parašyti visą paprasčiausių tiesinių lygčių sprendimo schemą:
- Išplėskite skliaustus, jei tokių yra.
- Išskiriame kintamuosius, t.y. Viską, kuriame yra „X“, perkeliame į vieną pusę, o viską be „X“ – į kitą.
- Pateikiame panašias sąlygas.
- Viską padaliname iš koeficiento „x“.
Žinoma, ši schema ne visada veikia, joje yra tam tikrų subtilybių ir gudrybių, ir dabar mes su jais susipažinsime.
Realių paprastų tiesinių lygčių pavyzdžių sprendimas
Užduotis Nr.1
Pirmas žingsnis reikalauja, kad atidarytume skliaustus. Tačiau šiame pavyzdyje jų nėra, todėl šį žingsnį praleidžiame. Antrame etape turime išskirti kintamuosius. Pastaba: mes kalbame apie tik apie atskirus terminus. Užsirašykime:
Kairėje ir dešinėje pateikiame panašius terminus, tačiau tai jau buvo padaryta čia. Todėl pereiname prie ketvirto žingsnio: padalinkite iš koeficiento:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Taigi mes gavome atsakymą.
2 užduotis
Šioje užduotyje matome skliaustus, todėl išplėskime juos:
Ir kairėje, ir dešinėje matome maždaug vienodą dizainą, bet veikime pagal algoritmą, t.y. atskiriant kintamuosius:
Štai keletas panašių:
Kokiomis šaknimis tai veikia? Atsakymas: bet kokiam. Todėl galime parašyti, kad $x$ yra bet koks skaičius.
Užduotis Nr.3
Trečioji tiesinė lygtis įdomesnė:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Čia yra keli skliaustai, bet jie iš nieko nepadauginami, tiesiog prieš juos yra skirtingi ženklai. Išskaidykime juos:
Atliekame antrą jau žinomą žingsnį:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Paskaičiuokime:
Vykdome paskutinis žingsnis— viską padalinkite iš koeficiento „x“:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Ką reikia atsiminti sprendžiant tiesines lygtis
Jei ignoruosime pernelyg paprastas užduotis, norėčiau pasakyti:
- Kaip minėjau aukščiau, ne kiekviena tiesinė lygtis turi sprendimą – kartais tiesiog nėra šaknų;
- Net jei yra šaknų, tarp jų gali būti nulis – nieko blogo.
Nulis yra toks pat skaičius, kaip ir kiti, jokiu būdu neturėtumėte jo diskriminuoti arba manyti, kad jei gaunate nulį, padarėte kažką ne taip.
Kitas bruožas yra susijęs su skliaustų atidarymu. Atkreipkite dėmesį: kai prieš juos yra „minusas“, mes jį pašaliname, bet skliausteliuose keičiame ženklus į priešingas. Ir tada mes galime jį atidaryti naudodami standartinius algoritmus: gausime tai, ką matėme aukščiau pateiktuose skaičiavimuose.
Šio paprasto fakto supratimas padės išvengti kvailų ir skaudžių klaidų vidurinėje mokykloje, kai tokie dalykai laikomi savaime suprantamu dalyku.
Sudėtingų tiesinių lygčių sprendimas
Pereikime prie daugiau sudėtingos lygtys. Dabar konstrukcijos taps sudėtingesnės ir atliekant įvairias transformacijas atsiras kvadratinė funkcija. Tačiau neturėtume to bijoti, nes jei pagal autoriaus planą sprendžiame tiesinę lygtį, tada transformacijos metu visi monomai, turintys kvadratinę funkciją, tikrai bus panaikinti.
1 pavyzdys
Akivaizdu, kad pirmasis žingsnis yra atidaryti skliaustus. Padarykime tai labai atsargiai:
Dabar pažvelkime į privatumą:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Štai keletas panašių:
Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendimų, todėl atsakyme parašysime tai:
\[\varnothing\]
arba nėra šaknų.
2 pavyzdys
Atliekame tuos pačius veiksmus. Pirmas žingsnis:
Viską perkelkime su kintamuoju į kairę, o be jo - į dešinę:
Štai keletas panašių:
Akivaizdu, kad ši tiesinė lygtis neturi sprendimo, todėl ją parašysime taip:
\[\varnothing\],
arba nėra šaknų.
Sprendimo niuansai
Abi lygtys yra visiškai išspręstos. Panaudoję šias dvi išraiškas kaip pavyzdį, dar kartą įsitikinome, kad net paprasčiausiose tiesinėse lygtyse viskas gali būti ne taip paprasta: gali būti arba viena, arba jų nėra, arba be galo daug šaknų. Mūsų atveju mes nagrinėjome dvi lygtis, kurios abi tiesiog neturi šaknų.
Tačiau norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į kitą faktą: kaip dirbti su skliaustais ir kaip juos atidaryti, jei prieš juos yra minuso ženklas. Apsvarstykite šią išraišką:
Prieš atidarydami, turite viską padauginti iš „X“. Atkreipkite dėmesį: dauginasi kiekvienas atskiras terminas. Viduje yra du terminai - atitinkamai du terminai ir padauginti.
Ir tik atlikus šias iš pažiūros elementarias, bet labai svarbias ir pavojingas transformacijas, galima atversti skliaustą iš to, kad po jo yra minuso ženklas. Taip, taip: tik dabar, kai transformacijos baigtos, prisimename, kad prieš skliaustus yra minuso ženklas, o tai reiškia, kad viskas žemiau tiesiog keičia ženklus. Tuo pačiu metu dingsta patys laikikliai ir, svarbiausia, dingsta ir priekinis „minusas“.
Tą patį darome su antrąja lygtimi:
Neatsitiktinai atkreipiu dėmesį į šiuos mažus, atrodytų, nereikšmingus faktus. Nes lygčių sprendimas visada yra elementarių transformacijų seka, kai nesugebama aiškiai ir kompetentingai atlikti paprastus žingsnius veda prie to, kad pas mane ateina gimnazistai ir vėl mokosi spręsti tokias paprastas lygtis.
Žinoma, ateis diena, kai šiuos įgūdžius ištobulinsite iki automatizavimo. Jums nebereikės kaskart atlikti tiek daug transformacijų, viską surašysite vienoje eilutėje. Bet kol jūs tik mokotės, kiekvieną veiksmą turite parašyti atskirai.
Dar sudėtingesnių tiesinių lygčių sprendimas
Tai, ką dabar spręsime, vargu ar galima pavadinti paprasčiausia užduotimi, tačiau prasmė išlieka ta pati.
Užduotis Nr.1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Padauginkime visus pirmosios dalies elementus:
Pasirūpinkime privatumu:
Štai keletas panašių:
Užbaikime paskutinį žingsnį:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Štai mūsų galutinis atsakymas. Ir nepaisant to, kad spręsdami turėjome koeficientus su kvadratine funkcija, jie vienas kitą panaikino, todėl lygtis yra tiesinė, o ne kvadratinė.
2 užduotis
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Atsargiai atlikime pirmąjį veiksmą: padauginkite kiekvieną elementą iš pirmojo skliausto iš kiekvieno elemento iš antrojo. Po pakeitimų iš viso turėtų būti keturi nauji terminai:
Dabar atidžiai padauginkime kiekvieną terminą:
Perkelkime terminus su "X" į kairę, o tuos, kurių nėra - į dešinę:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Čia yra panašūs terminai:
Dar kartą gavome galutinį atsakymą.
Sprendimo niuansai
Svarbiausia pastaba apie šias dvi lygtis yra tokia: kai tik pradedame dauginti skliaustus, kuriuose yra daugiau nei vienas narys, tai daroma pagal tokią taisyklę: paimame pirmąjį narį iš pirmojo ir padauginame iš kiekvieno elemento iš Antras; tada paimame antrą elementą iš pirmojo ir panašiai padauginame su kiekvienu elementu iš antrojo. Dėl to turėsime keturias kadencijas.
Apie algebrinę sumą
Šiuo paskutiniu pavyzdžiu norėčiau priminti mokiniams, ką algebrinė suma. Klasikinėje matematikoje 1–7 USD turime omenyje paprastą konstrukciją: iš vieno atimti septynis. Algebroje tai reiškia: prie skaičiaus „vienas“ pridedame kitą skaičių, būtent „minus septyni“. Taip algebrinė suma skiriasi nuo įprastos aritmetinės sumos.
Kai tik atlikdami visas transformacijas, kiekvieną sudėjimą ir dauginimą pradėsite matyti konstrukcijas, panašias į aukščiau aprašytas, tiesiog neturėsite problemų algebroje dirbdami su daugianariais ir lygtimis.
Galiausiai pažvelkime į dar keletą pavyzdžių, kurie bus dar sudėtingesni nei tie, kuriuos ką tik pažvelgėme, ir norėdami juos išspręsti, turėsime šiek tiek išplėsti standartinį algoritmą.
Lygčių su trupmenomis sprendimas
Norėdami išspręsti tokias užduotis, turėsime pridėti dar vieną žingsnį prie mūsų algoritmo. Bet pirmiausia leiskite jums priminti mūsų algoritmą:
- Atidarykite skliaustus.
- Atskiri kintamieji.
- Atsineškite panašių.
- Padalinkite iš santykio.
Deja, šis nuostabus algoritmas, nepaisant viso jo efektyvumo, pasirodo, nėra visiškai tinkamas, kai prieš mus yra trupmenos. Ir tai, ką matysime toliau, abiejose lygtyse turime trupmeną tiek kairėje, tiek dešinėje.
Kaip tokiu atveju dirbti? Taip, tai labai paprasta! Norėdami tai padaryti, prie algoritmo turite pridėti dar vieną žingsnį, kurį galima atlikti tiek prieš, tiek po pirmojo veiksmo, būtent, atsikratyti trupmenų. Taigi algoritmas bus toks:
- Atsikratykite frakcijų.
- Atidarykite skliaustus.
- Atskiri kintamieji.
- Atsineškite panašių.
- Padalinkite iš santykio.
Ką reiškia „atsikratyti trupmenų“? Ir kodėl tai galima padaryti ir po pirmojo standartinio žingsnio, ir prieš jį? Tiesą sakant, mūsų atveju visos trupmenos yra skaitinės savo vardikliu, t.y. Visur vardiklis yra tik skaičius. Todėl, padauginus abi lygties puses iš šio skaičiaus, atsikratysime trupmenų.
1 pavyzdys
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Atsikratykime šios lygties trupmenų:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Atkreipkite dėmesį: viskas padauginama iš „keturių“ vieną kartą, t.y. vien todėl, kad turite du skliaustus, nereiškia, kad turite padauginti kiekvieną iš „keturių“. Užsirašykime:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Dabar išplėskime:
Išskiriame kintamąjį:
Atliekame panašių terminų sumažinimą:
\[-4x = -1\left| :\kairė(-4 \dešinė) \dešinė.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Gavome galutinį sprendimą, pereikime prie antrosios lygties.
2 pavyzdys
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Čia atliekame visus tuos pačius veiksmus:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problema išspręsta.
Tiesą sakant, tai yra viskas, ką šiandien norėjau jums pasakyti.
Pagrindiniai klausimai
Pagrindinės išvados yra šios:
- Žinoti tiesinių lygčių sprendimo algoritmą.
- Galimybė atidaryti skliaustus.
- Nesijaudinkite, jei kur nors turite kvadratinių funkcijų, tolimesnių transformacijų metu jos bus sumažintos.
- Tiesinėse lygtyse yra trijų tipų šaknys, net ir pačios paprasčiausios: viena šaknis, visa skaičių eilutė yra šaknis, o šaknų visai nėra.
Tikiuosi, kad ši pamoka padės jums įsisavinti paprastą, bet labai svarbią temą, kad galėtumėte geriau suprasti visą matematiką. Jei kažkas neaišku, eikite į svetainę ir išspręskite ten pateiktus pavyzdžius. Sekite naujienas, jūsų laukia dar daug įdomių dalykų!
Ta lygties dalis yra skliausteliuose esanti išraiška. Norėdami atidaryti skliaustus, pažiūrėkite į ženklą prieš skliaustus. Jei yra pliuso ženklas, skliaustų atidarymas išraiškoje nieko nepakeis: tiesiog pašalinkite skliaustus. Jei yra minuso ženklas, atidarydami skliaustus, turite pakeisti visus ženklus, kurie iš pradžių buvo skliausteliuose, į priešingus. Pavyzdžiui, -(2x-3)=-2x+3.
Padauginus du skliaustus.
Jei lygtyje yra dviejų skliaustų sandauga, išplėskite skliaustus pagal standartinę taisyklę. Kiekvienas pirmame skliaustelyje esantis terminas padauginamas iš kiekvieno antrojo skliausto termino. Gauti skaičiai sumuojami. Šiuo atveju dviejų „pliusų“ arba dviejų „minusų“ sandauga suteikia terminui „pliuso“ ženklą, o jei faktoriai turi skirtingus ženklus, gauna „minuso“ ženklą.
Pasvarstykime.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Atidarydami skliaustus, kartais pakeldami išraišką į . Kvadratavimo ir kubeliavimo formules reikia žinoti mintinai ir atsiminti.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formulės, skirtos didesnei nei trys išraiškai sudaryti, gali būti padarytos naudojant Paskalio trikampį.
Šaltiniai:
- skliaustų išplėtimo formulė
Skliausteliuose matematines operacijas gali turėti kintamųjų ir išraiškų įvairaus laipsnio sunkumų. Norėdami padauginti tokias išraiškas, turėsite ieškoti sprendimo bendras vaizdas, atverdami skliaustus ir supaprastindami rezultatą. Jei skliausteliuose yra operacijos be kintamųjų, tik su skaitinės reikšmės, tada skliaustų atidaryti nebūtina, nes jei turite kompiuterį, jo vartotojas turi prieigą prie labai reikšmingų skaičiavimo resursų – juos naudoti lengviau nei supaprastinti išraišką.
Instrukcijos
Padauginkite iš eilės kiekvieną viename skliaustelyje esantį skaičių (arba minuend su ) iš visų kitų skliaustų turinio, jei norite gauti bendrą rezultatą. Pavyzdžiui, originalią išraišką parašykite taip: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Tada nuoseklus daugyba (ty atidarius skliaustus) duos tokį rezultatą: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 – 5∗x∗5∗x – 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x – x∗x∗x∗x - x∗x∗2∗x = 150∗x + 300 – 25∗x² – 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² – x∗x³ – 2∗x³.
Supaprastinkite rezultatą sutrumpindami išraiškas. Pavyzdžiui, ankstesniame žingsnyje gautą išraišką galima supaprastinti taip: 150∗x + 300 – 25∗x² – 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² – x∗x³ – 2∗x³ = 100∗x + 300–13∗ x² – 8∗x³ – x∗x³.
Naudokite skaičiuotuvą, jei reikia padauginti x lygus 4,75, tai yra (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Norėdami apskaičiuoti šią reikšmę, eikite į „Google“ arba „Nigma“ paieškos sistemos svetainę ir užklausos lauke įveskite išraišką pradine forma (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google parodys 82.265625 iš karto, nespausdama mygtuko, tačiau Nigma turi siųsti duomenis į serverį vienu mygtuko paspaudimu.
Dabar pereisime prie skliaustų atidarymo išraiškose, kuriose skliausteliuose esanti išraiška padauginama iš skaičiaus arba išraiškos. Suformuluokime skliaustų, prieš kuriuos rašomas minuso ženklas, atidarymo taisyklę: skliaustai kartu su minuso ženklu praleidžiami, o visų skliausteliuose esančių terminų ženklai pakeičiami priešingais.
Vienas iš išraiškos transformacijų tipų yra skliaustų išplėtimas. Skaitinis, pažodiniai posakiai o išraiškas su kintamaisiais galima sudaryti naudojant skliaustus, kurie gali nurodyti veiksmų atlikimo tvarką, turėti neigiamą skaičių ir pan. Tarkime, kad aukščiau aprašytose išraiškose vietoj skaičių ir kintamųjų gali būti bet kokios išraiškos.
Ir atkreipkime dėmesį į dar vieną dalyką, susijusį su sprendimo rašymo ypatumais atidarant skliaustus. Ankstesnėje pastraipoje nagrinėjome tai, kas vadinama atidaromaisiais skliaustais. Norėdami tai padaryti, yra skliaustų atidarymo taisyklės, kurias dabar apžvelgsime. Šią taisyklę diktuoja tai, kad teigiami skaičiai dažniausiai rašomi be skliaustų, tokiu atveju skliaustai yra nereikalingi. Išraišką (−3.7)−(−2)+4+(−9) galima parašyti be skliaustų kaip −3.7+2+4−9.
Galiausiai, trečioji taisyklės dalis yra tiesiog dėl įrašymo ypatumų neigiamus skaičius reiškinio kairėje (kurį paminėjome neigiamų skaičių rašymo skliaustuose). Galite susidurti su išraiškomis, sudarytomis iš skaičiaus, minuso ženklų ir kelių skliaustų porų. Jei atidarysite skliaustus, pereidami nuo vidinio į išorinį, sprendimas bus toks: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.
Kaip atidaryti skliaustus?
Štai paaiškinimas: −(−2 x) yra +2 x, o kadangi ši išraiška yra pirmoji, +2 x galima parašyti kaip 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x ir −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Pirmoji rašytinės skliaustų atidarymo taisyklės dalis tiesiogiai išplaukia iš neigiamų skaičių dauginimo taisyklės. Antroji jo dalis yra skaičių dauginimo iš taisyklės pasekmė skirtingi ženklai. Pereikime prie skliaustų atidarymo gaminiuose ir dviejų skaičių su skirtingais ženklais koeficientų pavyzdžių.
Pradžios skliausteliuose: taisyklės, pavyzdžiai, sprendimai.
Aukščiau pateikta taisyklė atsižvelgia į visą šių veiksmų grandinę ir žymiai pagreitina skliaustų atidarymo procesą. Ta pati taisyklė leidžia atidaryti skliaustus reiškiniuose, kurie yra produktai, ir dalinėse išraiškose su minuso ženklu, kurios nėra sumos ir skirtumai.
Pažvelkime į šios taisyklės taikymo pavyzdžius. Pateikiame atitinkamą taisyklę. Aukščiau jau susidūrėme su formų −(a) ir −(−a) išraiškomis, kurios be skliaustų rašomos atitinkamai −a ir a. Pavyzdžiui, −(3)=3 ir. Tai yra ypatingi nurodytos taisyklės atvejai. Dabar pažvelkime į atidarymo skliaustų pavyzdžius, kai juose yra sumos arba skirtumai. Parodykime šios taisyklės naudojimo pavyzdžius. Išraišką (b1+b2) pažymėkime kaip b, po kurios naudosime taisyklę skliaustą padauginti iš ankstesnės pastraipos išraiškos, gauname (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.
Indukcija šis teiginys gali būti išplėstas iki savavališko skaičiaus terminų kiekviename skliaustelyje. Belieka atverti gautoje išraiškoje esančius skliaustus, naudojant ankstesnių pastraipų taisykles, galų gale gauname 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.
Matematikos taisyklė yra skliaustų atidarymas, jei prieš skliaustus yra (+) ir (-).
Ši išraiška yra trijų faktorių (2+4), 3 ir (5+7·8) sandauga. Turėsite nuosekliai atidaryti skliaustus. Dabar mes naudojame taisyklę skliaustą padauginti iš skaičiaus, gauname ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Laipsniai, kurių pagrindai yra kai kurios išraiškos, parašytos skliausteliuose, su natūra gali būti laikomas kelių skliaustų sandauga.
Pavyzdžiui, transformuokime išraišką (a+b+c)2. Pirmiausia rašome kaip dviejų skliaustų sandaugą (a+b+c)·(a+b+c), dabar skliaustą padauginame iš skliausto, gauname a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.
Taip pat pasakysime, kad norint pakelti dviejų skaičių sumas ir skirtumus iki natūralios laipsnio, patartina naudoti Niutono binominę formulę. Pavyzdžiui, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Ne mažiau patogu pirmiausia dalybą pakeisti daugyba, o tada naudoti atitinkamą skliaustų atidarymo taisyklę sandaugoje.
Belieka suprasti skliaustų atidarymo tvarką naudojant pavyzdžius. Paimkime išraišką (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Šiuos rezultatus pakeičiame pradine išraiška: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Belieka baigti atidaryti skliaustus, todėl turime −5+3·2:4+6·7. Tai reiškia, kad judant iš kairės lygybės pusės į dešinę, atsivėrė skliaustai.
Atminkite, kad visuose trijuose pavyzdžiuose tiesiog pašalinome skliaustus. Pirmiausia prie 889 pridėkite 445. Šį veiksmą galima atlikti mintyse, tačiau tai nėra labai lengva. Atidarykime skliaustus ir pamatysime, kad pakeista tvarka gerokai supaprastins skaičiavimus.
Kaip išplėsti skliaustus į kitą laipsnį
Iliustruojantis pavyzdys ir taisyklė. Pažiūrėkime į pavyzdį: . Išraiškos reikšmę galite rasti pridėję 2 ir 5, o gautą skaičių paimdami priešingu ženklu. Taisyklė nesikeičia, jei skliausteliuose yra ne du, o trys ar daugiau terminų. komentuoti. Ženklai apverčiami tik prieš terminus. Norėdami atidaryti skliaustus, šiuo atveju turime atsiminti paskirstymo savybę.
Pavieniams skaičiams skliausteliuose
Jūsų klaida ne ženkluose, o neteisingame trupmenų tvarkyme? 6 klasėje mokėmės apie teigiamus ir neigiamus skaičius. Kaip spręsime pavyzdžius ir lygtis?
Kiek yra skliausteliuose? Ką galite pasakyti apie šias išraiškas? Žinoma, pirmojo ir antrojo pavyzdžių rezultatas yra toks pat, vadinasi, galime dėti lygybės ženklą tarp jų: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Ką mes padarėme su skliaustais ?
6 skaidrės demonstravimas su skliaustų atidarymo taisyklėmis. Taigi skliaustų atidarymo taisyklės padės mums išspręsti pavyzdžius ir supaprastinti išraiškas. Toliau mokinių prašoma dirbti poromis: jie turi naudoti rodykles, kad sujungtų išraišką su skliaustais su atitinkama išraiška be skliaustų.
11 skaidrė Saulėtame mieste Znayka ir Dunno ginčijosi, kuris iš jų teisingai išsprendė lygtį. Toliau mokiniai patys išsprendžia lygtį, vadovaudamiesi skliaustų atidarymo taisyklėmis. Lygčių sprendimas“ Pamokos tikslai: ugdomasis (žinių stiprinimas tema: „Atverčiamieji skliaustai.
Pamokos tema: „Skliausteliai. Tokiu atveju turite padauginti kiekvieną terminą iš pirmųjų skliaustų iš kiekvieno termino iš antrųjų skliaustų ir pridėti rezultatus. Pirmiausia paimami pirmieji du faktoriai, įterpiami į dar vieną skliaustą, o šių skliaustų viduje skliaustai atveriami pagal vieną iš jau žinomų taisyklių.
rawalan.freezeet.ru
Pradžios skliausteliuose: taisyklės ir pavyzdžiai (7 klasė)
Pagrindinė skliaustų funkcija yra pakeisti veiksmų tvarką skaičiuojant reikšmes skaitinės išraiškos . Pavyzdžiui, skaitinėje išraiškoje \(5·3+7\) pirmiausia bus apskaičiuojamas daugyba, o po to – sudėjimas: \(5·3+7 =15+7=22\). Bet reiškinyje \(5·(3+7)\) pirmiausia bus skaičiuojamas sudėjimas skliausteliuose, o tik po to daugyba: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Tačiau jei susiduriame su algebrinė išraiška kuriuose yra kintamasis- pavyzdžiui, taip: \(2(x-3)\) - tada neįmanoma apskaičiuoti reikšmės skliausteliuose, kintamasis yra kelyje. Todėl šiuo atveju skliaustai „atidaromi“ laikantis atitinkamų taisyklių.
Skliaustų atidarymo taisyklės
Jei prieš skliaustelį yra pliuso ženklas, tada skliaustas tiesiog pašalinamas, išraiška jame lieka nepakitusi. Kitaip tariant:
Čia reikia patikslinti, kad matematikoje, norint sutrumpinti žymes, pliuso ženklo įprasta nerašyti, jei jis reiškinyje pasirodo pirmas. Pavyzdžiui, jei pridedame du teigiamus skaičius, pavyzdžiui, septyni ir trys, tada rašome ne \(+7+3\), o tiesiog \(7+3\), nepaisant to, kad septyni taip pat yra teigiamas skaičius. . Panašiai, jei matote, pavyzdžiui, išraišką \((5+x)\) – žinokite tai prieš skliaustelį yra pliusas, kuris nerašomas.
Pavyzdys
. Atidarykite skliaustelį ir pateikite panašius terminus: \((x-11)+(2+3x)\).
Sprendimas
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Jei prieš skliaustą yra minuso ženklas, tada, kai skliaustas pašalinamas, kiekvienas jo viduje esančios išraiškos narys pakeičia ženklą į priešingą:
Čia reikia patikslinti, kad kol skliausteliuose buvo a, buvo pliuso ženklas (tiesiog neparašė), o nuėmus skliaustelį šis pliusas pasikeitė į minusą.
Pavyzdys
: supaprastinkite išraišką \(2x-(-7+x)\).
Sprendimas
: skliausteliuose yra du terminai: \(-7\) ir \(x\), o prieš skliaustelį yra minusas. Tai reiškia, kad ženklai pasikeis – ir septyni dabar bus pliusas, o x bus minusas. Atidarykite laikiklį ir pateikiame panašius terminus .
Pavyzdys.
Atidarykite skliaustelį ir nurodykite panašius terminus \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Sprendimas
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Jei prieš skliaustą yra koeficientas, tada kiekvienas skliaustos narys padauginamas iš jo, tai yra:
Pavyzdys.
Išskleiskite skliaustus \(5(3-x)\).
Sprendimas
: Skliausteliuose turime \(3\) ir \(-x\), o prieš skliaustelį yra penki. Tai reiškia, kad kiekvienas skliausto narys padauginamas iš \(5\) – tai primenu Daugybos ženklas tarp skaičiaus ir skliaustas nėra rašomas matematikoje, kad būtų sumažintas įrašų dydis.
Pavyzdys.
Išskleiskite skliaustus \(-2(-3x+5)\).
Sprendimas
: kaip ir ankstesniame pavyzdyje, skliausteliuose esantys \(-3x\) ir \(5\) padauginami iš \(-2\).
Belieka apsvarstyti paskutinę situaciją.
Padauginus skliaustą iš skliausto, kiekvienas pirmojo skliaustas narys dauginamas iš kiekvieno antrojo skliausto nario:
Pavyzdys.
Išskleiskite skliaustus \((2-x)(3x-1)\).
Sprendimas
: Turime skliaustų gaminį ir jį galima nedelsiant išplėsti naudojant aukščiau pateiktą formulę. Bet kad nesusipainiotume, darykime viską žingsnis po žingsnio.
1 veiksmas. Nuimkite pirmąjį laikiklį ir padauginkite kiekvieną elementą iš antrojo laikiklio:
2 veiksmas. Išplėskite skliaustų ir koeficiento produktus, kaip aprašyta aukščiau:
- Visų pirmą...
3 veiksmas. Dabar padauginame ir pateikiame panašius terminus:
Nebūtina taip išsamiai aprašyti visų transformacijų, galite jas iš karto padauginti. Bet jei tik mokotės skliausteliuose atsidaryti, rašykite išsamiai, bus mažesnė tikimybė suklysti.
Pastaba visam skyriui. Tiesą sakant, jums nereikia atsiminti visų keturių taisyklių, reikia tik vieną, šią: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kodėl? Nes jei vietoj c pakeisite vieną, gausite taisyklę \((a-b)=a-b\) . Ir jei pakeisime atėmus vieną, gausime taisyklę \(-(a-b)=-a+b\) . Na, jei vietoj c pakeisite kitą skliaustą, galite gauti paskutinę taisyklę.
Skliaustas skliausteliuose
Kartais praktikoje kyla problemų dėl skliaustų, esančių kituose skliausteliuose. Štai tokios užduoties pavyzdys: supaprastinkite reiškinį \(7x+2(5-(3x+y))\).
Norėdami sėkmingai išspręsti tokias užduotis, jums reikia:
- atidžiai suprasti skliaustų įdėjimą - kuris iš jų yra kuriame;
— nuosekliai atidarykite skliaustus, pradedant, pavyzdžiui, nuo vidinio.
Tai svarbu atidarant vieną iš skliaustų nelieskite likusios išraiškos dalies, tiesiog perrašydami jį taip, kaip yra.
Pažiūrėkime į aukščiau parašytą užduotį kaip pavyzdį.
Pavyzdys.
Atidarykite skliaustus ir nurodykite panašius terminus \(7x+2(5-(3x+y))\).
Sprendimas:
Pradėkime užduotį atidarydami vidinį laikiklį (vidinį). Išplėsdami jį, mes susiduriame tik su tuo, kas su juo tiesiogiai susiję - tai yra pats skliaustas ir prieš jį esantis minusas (paryškintas žaliai). Viską kitą (neišryškintą) perrašome taip pat, kaip buvo.
Matematikos uždavinių sprendimas internete
Internetinis skaičiuotuvas.
Polinomo supaprastinimas.
Dauginant daugianarius.
Naudodami šią matematikos programą galite supaprastinti daugianarį.
Kol programa veikia:
- daugina daugianario
- apibendrina monomiją (pateikia panašius)
- atidaro skliaustus
- pakelia daugianarį į laipsnį
Polinomo supaprastinimo programa ne tik duoda atsakymą į problemą, joje pateikiamas išsamus sprendimas su paaiškinimais, t.y. rodo sprendimo procesą, kad galėtumėte patikrinti savo matematikos ir (arba) algebros žinias.
Ši programa gali būti naudinga studentams vidurinės mokyklos ruošiantis bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.
Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) savo mokymus. jaunesni broliai ar seserys, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje kyla.
Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palaukite sekundę.
Šiek tiek teorijos.
Vienanario ir daugianaro sandauga. Polinomo sąvoka
Tarp įvairių algebroje nagrinėjamų išraiškų yra svarbi vieta užimti monomijų sumas. Štai tokių posakių pavyzdžiai:
Vienanarių suma vadinama daugianario. Dauginamo terminai vadinami daugianario nariais. Monomai taip pat priskiriami daugianariams, nes mononomas yra daugianomas, susidedantis iš vieno nario.
Visus terminus pateiksime standartinės formos monomijomis:
Pateikiame panašius terminus gautame polinome:
Gaunamas daugianaris, kurio visi nariai yra standartinės formos mononomai, o tarp jų nėra panašių. Tokie daugianariai vadinami standartinės formos daugianariai.
Už nugaros daugianario laipsnis standartinės formos turi didžiausią iš jos narių galių. Taigi dvinaris turi trečiąjį laipsnį, o trinaris – antrąjį.
Paprastai standartinės formos polinomų, turinčių vieną kintamąjį, terminai yra išdėstyti mažėjančia laipsnio tvarka. Pavyzdžiui:
Kelių daugianarių suma gali būti paversta (supaprastinta) į standartinės formos daugianarį.
Kartais daugianario terminus reikia suskirstyti į grupes, kiekvieną grupę įrašant skliausteliuose. Kadangi įtraukiamieji skliaustai yra atvirkštinė atidaromų skliaustų transformacija, tai lengva suformuluoti skliaustų atidarymo taisyklės:
Jei prieš skliaustus dedamas ženklas „+“, tada skliausteliuose esantys terminai rašomi tais pačiais ženklais.
Jei prieš skliaustus dedamas ženklas „-“, tada skliausteliuose esantys terminai rašomi priešingais ženklais.
Vienanario ir daugianaro sandaugos transformacija (supaprastinimas).
Naudodami daugybos skirstomąją savybę, galite paversti (supaprastinti) vienanario ir daugianario sandaugą į daugianarį. Pavyzdžiui:
Vienanalio ir daugianalio sandauga yra identiškai lygi šio vienanalio sandaugų ir kiekvieno daugianalio nario sandaugų sumai.
Šis rezultatas paprastai formuluojamas kaip taisyklė.
Norėdami padauginti vienanarį iš daugianario, turite padauginti tą vienanarį iš kiekvieno daugianario nario.
Šią taisyklę jau kelis kartus naudojome padaugindami iš sumos.
Daugiavardžių sandauga. Dviejų daugianario sandaugos transformacija (supaprastinimas).
Apskritai, dviejų daugianario sandauga yra identiškai lygi vieno daugianario kiekvieno nario sandaugos ir kiekvieno kito daugianario sandaugos sumai.
Paprastai naudojama ši taisyklė.
Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito nario ir pridėti gautus sandaugus.
Sutrumpintos daugybos formulės. Sumos kvadratai, kvadratų skirtumai ir skirtumas
Su kai kuriomis algebrinių transformacijų išraiškomis tenka susidurti dažniau nei su kitomis. Bene dažniausios išraiškos yra u, t.y. sumos kvadratas, skirtumo kvadratas ir kvadratų skirtumas. Pastebėjote, kad šių posakių pavadinimai atrodo neišsamūs, pavyzdžiui, tai, žinoma, ne tik sumos kvadratas, bet ir a ir b sumos kvadratas. Tačiau a ir b sumos kvadratas dažniausiai pasitaiko nedažnai, vietoj raidžių a ir b jame yra įvairių, kartais gana sudėtingų posakių.
Išraiškas galima lengvai konvertuoti (supaprastinti) į standartinės formos polinomus, tiesą sakant, dauginant polinomus jau susidūrėte su tokia užduotimi:
Naudinga atsiminti gautas tapatybes ir jas taikyti be tarpinių skaičiavimų. Tam padeda trumpos žodinės formuluotės.
- sumos kvadratas lygi sumai kvadratų ir padvigubinkite gaminį.
- skirtumo kvadratas yra lygus kvadratų sumai be dvigubos sandaugos.
- kvadratų skirtumas lygus skirtumo ir sumos sandaugai.
Šios trys tapatybės leidžia transformuojant kairiąsias dalis pakeisti dešiniosiomis ir atvirkščiai – dešiniąsias dalis kairiosiomis. Sunkiausia pamatyti atitinkamas išraiškas ir suprasti, kaip jose pakeičiami kintamieji a ir b. Pažvelkime į kelis sutrumpintų daugybos formulių naudojimo pavyzdžius.
Knygos (vadoveliai) Vieningo valstybinio egzamino santraukos ir OGE testai Internetiniai žaidimai, galvosūkiai Funkcijų grafikų konstravimas Rusų kalbos rašybos žodynas Jaunimo slengo žodynas Rusų mokyklų katalogas Rusijos vidurinių ugdymo įstaigų katalogas Rusijos universitetų katalogas Užduočių sąrašas GCD ir LCM suradimas Dauginamo supaprastinimas (dauginamų dauginimas) Dauginamo padalijimas iš daugianario su stulpeliu Skaičiavimas skaitinės trupmenos Problemų, susijusių su procentais, sprendimas Sudėtiniai skaičiai: suma, skirtumas, sandauga ir koeficientas 2 tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistemos Sprendimas kvadratinė lygtis Dvinalio kvadrato išskyrimas ir kvadratinio trinalio faktorinavimas Nelygybių sprendimas Nelygybių sistemų sprendimas Grafo braižymas kvadratinė funkcija Tiesinės trupmeninės funkcijos grafiko braižymas Sprendžiant aritmetikos ir geometrinės progresijos Trigonometrinis, eksponentinis, logaritmines lygtis Ribų skaičiavimas, išvestinė, liestinė Integralas, antiderivinė Trikampių sprendimas Veiksmų skaičiavimas su vektoriais Veiksmų skaičiavimas tiesėmis ir plokštumose Geometrinių figūrų plotas Geometrinių figūrų perimetras Geometrinių kūnų tūris Geometrinių kūnų paviršiaus plotas
Eismo situacijos konstruktorius
Orai – naujienos – horoskopai
www.mathsolution.ru
Išplečiami skliaustai
Mes ir toliau studijuojame algebros pagrindus. Šioje pamokoje išmoksime išplėsti posakių skliaustus. Skliaustų išplėtimas reiškia skliaustų pašalinimą iš išraiškos.
Norėdami atidaryti skliaustus, turite įsiminti tik dvi taisykles. Reguliariai praktikuodami galite atidaryti skliaustus su užmerktos akys, o tas taisykles, kurias reikėjo išmokti, galima drąsiai pamiršti.
Pirmoji skliaustų atidarymo taisyklė
Apsvarstykite šią išraišką:
Šios išraiškos vertė yra 2 . Atidarykime šios išraiškos skliaustus. Skliaustų išplėtimas reiškia jų atsikratymą nepažeidžiant posakio reikšmės. Tai yra, atsikračius skliaustų, išraiškos reikšmė 8+(−9+3) vis tiek turėtų būti lygus dviem.
Pirmoji skliaustų atidarymo taisyklė yra tokia:
Atidarant skliaustus, jei prieš skliaustus yra pliusas, tai šis pliusas praleidžiamas kartu su skliaustais.
Taigi, tai matome išraiškoje 8+(−9+3) Prieš skliaustus yra pliuso ženklas. Šis pliusas turi būti praleistas kartu su skliaustais. Kitaip tariant, skliaustai išnyks kartu su pliusu, kuris stovėjo priešais juos. O tai, kas buvo skliausteliuose, bus parašyta be pakeitimų:
8−9+3 . Ši išraiška yra lygi 2 , kaip ir ankstesnė išraiška su skliaustais, buvo lygi 2 .
8+(−9+3) Ir 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
2 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje 3 + (−1 − 4)
Prieš skliaustus yra pliusas, o tai reiškia, kad šis pliusas yra praleistas kartu su skliaustais. Tai, kas buvo skliausteliuose, išliks nepakitusi:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
3 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje 2 + (−1)
Šiame pavyzdyje skliaustų atidarymas tapo savotiška atvirkštine operacija, kai atimtis pakeičiama pridėjimu. Ką tai reiškia?
Išraiškoje 2−1 įvyksta atimtis, tačiau ją galima pakeisti pridėjimu. Tada gauname išraišką 2+(−1) . Bet jei išraiškoje 2+(−1) atidarykite skliaustus, gausite originalą 2−1 .
Todėl pirmoji skliaustų atidarymo taisyklė gali būti naudojama norint supaprastinti išraiškas po kai kurių transformacijų. Tai yra, pašalinkite jį nuo skliaustų ir padarykite jį paprastesnį.
Pavyzdžiui, supaprastinkime išraišką 2a+a−5b+b .
Siekiant supaprastinti šią išraišką, galima pateikti panašius terminus. Prisiminkime, kad norint sumažinti panašius terminus, reikia pridėti panašių terminų koeficientus ir rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies:
Gavo išraišką 3a+(−4b). Iš šios išraiškos pašalinkime skliaustus. Prieš skliaustus yra pliusas, todėl mes naudojame pirmąją skliaustų atidarymo taisyklę, tai yra, praleidžiame skliaustus kartu su pliusu, kuris yra prieš šiuos skliaustus:
Taigi išraiška 2a+a−5b+b supaprastina iki 3a-4b .
Atidarę kai kuriuos skliaustus, pakeliui galite susidurti su kitais. Jiems taikome tas pačias taisykles kaip ir pirmiesiems. Pavyzdžiui, išplėskime skliaustus tokia išraiška:
Yra dvi vietos, kur reikia atidaryti skliaustus. Šiuo atveju taikoma pirmoji skliaustų atidarymo taisyklė, ty praleisti skliaustus kartu su pliuso ženklu, kuris yra prieš šiuos skliaustus:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
3 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje 6+(−3)+(−2)
Abiejose vietose, kur yra skliaustai, prieš juos rašomas pliusas. Čia vėl taikoma pirmoji skliaustų atidarymo taisyklė:
Kartais pirmasis terminas skliausteliuose rašomas be ženklo. Pavyzdžiui, išraiškoje 1+(2+3−4) pirmasis terminas skliausteliuose 2 parašyta be ženklo. Kyla klausimas, koks ženklas atsiras prieš du po skliaustų ir pliuso prieš skliaustus? Atsakymas sufleruoja pats – prieš du bus pliusas.
Tiesą sakant, net ir būnant skliausteliuose prieš du yra pliusas, bet mes jo nematome, nes neužrašyta. Mes jau sakėme, kad pilnas teigiamų skaičių žymėjimas atrodo taip +1, +2, +3. Bet pagal tradiciją pliusai nerašomi, todėl ir matome mums pažįstamus teigiamus skaičius 1, 2, 3 .
Todėl, norėdami išplėsti išraiškos skliaustus 1+(2+3−4) , turite praleisti skliaustus, kaip įprasta, kartu su pliuso ženklu prieš šiuos skliaustus, bet pirmąjį terminą, kuris buvo skliausteliuose, parašykite su pliuso ženklu:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
4 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje −5 + (2 − 3)
Prieš skliaustus yra pliusas, todėl taikome pirmąją skliaustų atidarymo taisyklę, būtent, skliaustus praleidžiame kartu su pliusu, kuris yra prieš šiuos skliaustus. Bet pirmasis terminas, kurį rašome skliausteliuose su pliuso ženklu:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
5 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje (−5)
Prieš skliaustus yra pliusas, bet jis neužrašytas, nes prieš jį nebuvo kitų skaičių ar posakių. Mūsų užduotis yra pašalinti skliaustus taikant pirmąją skliaustų atidarymo taisyklę, ty praleisti skliaustus kartu su šiuo pliusu (net jei jis nematomas)
6 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje 2a + (−6a + b)
Prieš skliaustus yra pliusas, o tai reiškia, kad šis pliusas yra praleistas kartu su skliaustais. Tai, kas buvo skliausteliuose, bus parašyta nepakeista:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
7 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
Šioje išraiškoje yra dvi vietos, kur reikia išplėsti skliaustus. Abiejuose skyriuose prieš skliaustus yra pliusas, o tai reiškia, kad šis pliusas yra praleistas kartu su skliaustais. Tai, kas buvo skliausteliuose, bus parašyta nepakeista:
5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d
Antroji skliaustų atidarymo taisyklė
Dabar pažvelkime į antrąją skliaustų atidarymo taisyklę. Jis naudojamas, kai prieš skliaustus yra minusas.
Jei prieš skliaustus yra minusas, tada šis minusas praleidžiamas kartu su skliaustais, tačiau terminai, kurie buvo skliausteliuose, pakeičia savo ženklą į priešingą.
Pavyzdžiui, išplėskime skliaustus šioje išraiškoje
Matome, kad prieš skliaustus yra minusas. Tai reiškia, kad turite taikyti antrąją išplėtimo taisyklę, ty praleisti skliaustus kartu su minuso ženklu prieš šiuos skliaustus. Tokiu atveju terminai, kurie buvo skliausteliuose, pakeis savo ženklą į priešingą:
Gavome posakį be skliaustų 5+2+3 . Ši išraiška yra lygi 10, kaip ir ankstesnė išraiška su skliaustais buvo lygi 10.
Taigi tarp posakių 5−(−2−3) Ir 5+2+3 galite įdėti lygybės ženklą, nes jie yra vienodi:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
2 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje 6 − (−2 − 5)
Prieš skliaustus yra minusas, todėl taikome antrąją skliaustų atidarymo taisyklę, būtent, skliaustus praleidžiame kartu su minusu, kuris yra prieš šiuos skliaustus. Tokiu atveju terminus, kurie buvo skliausteliuose, rašome priešingais ženklais:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
3 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje 2 − (7 + 3)
Prieš skliaustus yra minusas, todėl taikome antrąją taisyklę skliaustų atidarymui:
4 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje −(−3 + 4)
5 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Yra dvi vietos, kur reikia atidaryti skliaustus. Pirmuoju atveju turite taikyti antrąją skliaustų atidarymo taisyklę, o kai kalbama apie išraišką +(−9−2) turite taikyti pirmąją taisyklę:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
6 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje −(−a − 1)
7 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje −(4a + 3)
8 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje a − (4b + 3) + 15
9 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje 2a + (3b – b) – (3c + 5)
Yra dvi vietos, kur reikia atidaryti skliaustus. Pirmuoju atveju turite taikyti pirmąją skliaustų atidarymo taisyklę ir kai kalbama apie išraišką −(3c+5) turite taikyti antrąją taisyklę:
2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5
10 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus išraiškoje −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Yra trys vietos, kur reikia atidaryti skliaustus. Pirmiausia turite taikyti antrąją skliaustų atidarymo taisyklę, tada pirmąją ir vėl antrąją:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a – 6b + 8c – 15
Kronšteino atidarymo mechanizmas
Dabar išnagrinėtos skliaustų atidarymo taisyklės yra pagrįstos daugybos paskirstymo dėsniu:
Faktiškai atidaromi skliaustai yra procedūra, kai bendras koeficientas dauginamas iš kiekvieno skliausteliuose esančio nario. Dėl šio dauginimo skliaustai išnyksta. Pavyzdžiui, išplėskime išraiškos skliaustus 3 × (4 + 5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Todėl, jei jums reikia padauginti skaičių iš išraiškos skliausteliuose (arba padauginti skliausteliuose esančią išraišką iš skaičiaus), turite pasakyti atidarykime skliaustus.
Bet kaip daugybos paskirstymo dėsnis yra susijęs su anksčiau nagrinėtomis skliaustų atidarymo taisyklėmis?
Faktas yra tas, kad prieš bet kokius skliaustus yra bendras veiksnys. Pavyzdyje 3 × (4 + 5) bendras veiksnys yra 3 . Ir pavyzdyje a(b+c) bendras veiksnys yra kintamasis a.
Jei prieš skliaustus nėra skaičių ar kintamųjų, tada bendras veiksnys yra 1 arba −1 , priklausomai nuo to, koks ženklas yra prieš skliaustus. Jei prieš skliaustus yra pliusas, tai bendras veiksnys yra 1 . Jei prieš skliaustus yra minusas, tada bendras veiksnys yra −1 .
Pavyzdžiui, išplėskime išraiškos skliaustus −(3b−1). Prieš skliaustus yra minuso ženklas, todėl skliausteliams atidaryti reikia naudoti antrąją taisyklę, tai yra praleisti skliaustus kartu su minuso ženklu prieš skliaustus. Ir parašykite posakį, kuris buvo skliausteliuose su priešingais ženklais:
Išplėtėme skliaustus naudodami skliaustų išplėtimo taisyklę. Tačiau tuos pačius skliaustus galima atidaryti naudojant daugybos paskirstymo dėsnį. Norėdami tai padaryti, pirmiausia prieš skliaustus parašykite bendrą koeficientą 1, kuris nebuvo užrašytas:
Minuso ženklas, kuris anksčiau buvo prieš skliaustus, nurodė šį įrenginį. Dabar galite atidaryti skliaustus naudodami daugybos paskirstymo dėsnį. Šiuo tikslu bendras veiksnys −1 reikia padauginti iš kiekvieno skliausteliuose esančio termino ir pridėti rezultatus.
Patogumui skirtumą skliausteliuose pakeičiame suma:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Kaip ir praeitą kartą, kai gavome išraišką −3b+1. Visi sutiks, kad šį kartą daugiau laiko sugaišta sprendžiant tokį paprastą pavyzdį. Todėl protingiau naudoti paruoštas skliaustų atidarymo taisykles, kurias aptarėme šioje pamokoje:
Tačiau žinoti, kaip šios taisyklės veikia, nepakenks.
Šioje pamokoje išmokome dar vieną identišką transformaciją. Kartu su skliaustų atidarymu, bendru išbraukimu iš skliaustų ir panašių terminų įtraukimu galite šiek tiek išplėsti sprendžiamų problemų spektrą. Pavyzdžiui:
Čia reikia atlikti du veiksmus - pirmiausia atidaryti skliaustus, o tada pateikti panašius terminus. Taigi, eilės tvarka:
1) Atidarykite skliaustus:
2) Pateikiame panašius terminus:
Gautoje išraiškoje −10b+(−1) galite išplėsti skliaustus:
2 pavyzdys. Atidarykite skliaustus ir pridėkite panašių terminų šioje išraiškoje:
1) Atidarykime skliaustus:
2) Pateikime panašius terminus.Šį kartą taupydami laiką ir vietą nerašysime kaip koeficientai dauginami iš bendrosios raidės dalies
3 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 8m+3m ir suraskite jo vertę m=−4
1) Pirma, supaprastinkime išraišką. Norėdami supaprastinti išraišką 8m+3m, galite išskirti bendrą veiksnį m skliausteliuose:
2) Raskite išraiškos reikšmę m(8+3) adresu m=−4. Norėdami tai padaryti, išraiškoje m(8+3) vietoj kintamojo m pakeisti skaičių −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Pagrindinė skliaustų funkcija yra pakeisti veiksmų tvarką skaičiuojant reikšmes. Pavyzdžiui, skaitinėje išraiškoje \(5·3+7\) pirmiausia bus apskaičiuojamas daugyba, o po to – sudėjimas: \(5·3+7 =15+7=22\). Bet reiškinyje \(5·(3+7)\) pirmiausia bus skaičiuojamas sudėjimas skliausteliuose, o tik po to daugyba: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Pavyzdys.
Išskleiskite skliaustelį: \(-(4m+3)\).
Sprendimas
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Pavyzdys.
Atidarykite skliaustelį ir nurodykite panašius terminus \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Sprendimas
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Pavyzdys.
Išskleiskite skliaustus \(5(3-x)\).
Sprendimas
: Skliausteliuose turime \(3\) ir \(-x\), o prieš skliaustelį yra penki. Tai reiškia, kad kiekvienas skliausto narys padauginamas iš \(5\) – tai primenu Daugybos ženklas tarp skaičiaus ir skliaustas nėra rašomas matematikoje, kad būtų sumažintas įrašų dydis.
Pavyzdys.
Išskleiskite skliaustus \(-2(-3x+5)\).
Sprendimas
: kaip ir ankstesniame pavyzdyje, skliausteliuose esantys \(-3x\) ir \(5\) padauginami iš \(-2\).
Pavyzdys.
Supaprastinkite išraišką: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Sprendimas
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Belieka apsvarstyti paskutinę situaciją.
Padauginus skliaustą iš skliausto, kiekvienas pirmojo skliaustas narys dauginamas iš kiekvieno antrojo skliausto:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Pavyzdys.
Išskleiskite skliaustus \((2-x)(3x-1)\).
Sprendimas
: Turime skliaustų gaminį ir jį galima nedelsiant išplėsti naudojant aukščiau pateiktą formulę. Bet kad nesusipainiotume, darykime viską žingsnis po žingsnio.
1 veiksmas. Nuimkite pirmąjį laikiklį – kiekvieną elementą padauginkite iš antrojo laikiklio:
2 veiksmas. Išplėskite skliaustų ir koeficiento produktus, kaip aprašyta aukščiau:
- Visų pirmą...
Tada antrasis.
3 veiksmas. Dabar padauginame ir pateikiame panašius terminus:
Nebūtina taip išsamiai aprašyti visų transformacijų, galite jas iš karto padauginti. Bet jei tik mokotės skliausteliuose atsidaryti, rašykite išsamiai, bus mažesnė tikimybė suklysti.
Pastaba visam skyriui. Tiesą sakant, jums nereikia atsiminti visų keturių taisyklių, reikia tik vieną, šią: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kodėl? Nes jei vietoj c pakeisite vieną, gausite taisyklę \((a-b)=a-b\) . Ir jei pakeisime atėmus vieną, gausime taisyklę \(-(a-b)=-a+b\) . Na, jei vietoj c pakeisite kitą skliaustą, galite gauti paskutinę taisyklę.
Skliaustas skliausteliuose
Kartais praktikoje kyla problemų dėl skliaustų, esančių kituose skliausteliuose. Štai tokios užduoties pavyzdys: supaprastinkite reiškinį \(7x+2(5-(3x+y))\).
Norėdami sėkmingai išspręsti tokias užduotis, jums reikia:
- atidžiai suprasti skliaustų įdėjimą – kuris iš jų yra kuriame;
- nuosekliai atidarykite skliaustus, pradedant, pavyzdžiui, nuo vidinio.
Tai svarbu atidarant vieną iš skliaustų nelieskite likusios išraiškos dalies, tiesiog perrašydami jį taip, kaip yra.
Pažiūrėkime į aukščiau parašytą užduotį kaip pavyzdį.
Pavyzdys.
Atidarykite skliaustus ir nurodykite panašius terminus \(7x+2(5-(3x+y))\).
Sprendimas:
Pavyzdys.
Atidarykite skliaustus ir nurodykite panašius terminus \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Sprendimas
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Čia yra trigubas skliaustų lizdas. Pradėkime nuo vidinio (paryškinto žalia spalva). Prieš laikiklį yra pliusas, todėl jis tiesiog nusiima. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Dabar reikia atidaryti antrąjį laikiklį, tarpinį. Tačiau prieš tai supaprastinsime į vaiduoklį panašių terminų išraišką šiame antrame skliaustelyje. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Dabar atidarome antrąjį skliaustelį (paryškintą mėlyna spalva). Prieš skliaustą yra veiksnys – taigi kiekvienas skliaustelyje esantis terminas padauginamas iš jo. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Ir atidarykite paskutinį skliaustelį. Prieš skliaustelį yra minuso ženklas, todėl visi ženklai yra atvirkščiai. |
||
Skliaustų išplėtimas yra pagrindinis matematikos įgūdis. Be šio įgūdžio neįmanoma turėti aukštesnio C balo 8 ir 9 klasėse. Todėl rekomenduoju gerai suprasti šią temą.
A+(b + c) galima rašyti be skliaustų: a+(b + c)=a + b + c. Ši operacija vadinama atidarymo skliaustais.
1 pavyzdys. Išreiškime a + (- b + c) atidarykime skliaustus.
Sprendimas. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.
Jei prieš skliaustus yra ženklas „+“, galite praleisti skliaustus ir šį „+“ ženklą, išlaikydami terminų ženklus skliausteliuose. Jei pirmasis terminas skliausteliuose rašomas be ženklo, tai jis turi būti rašomas su „+“ ženklu.
2 pavyzdys. Raskime išraiškos reikšmę -2,87+ (2,87-7,639).
Sprendimas. Atidarę skliaustus, gauname - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.
Norėdami rasti išraiškos reikšmę - (- 9 + 5), turite pridėti numeriai-9 ir 5 ir raskite skaičių, priešingą gautai sumai: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
Tą pačią reikšmę galima gauti ir kitu būdu: pirmiausia užsirašykite šiems terminams priešingus skaičius (t. y. pakeiskite jų ženklus), o tada pridėkite: 9 + (- 5) = 4. Taigi -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Norėdami parašyti sumą, priešingą kelių terminų sumai, turite pakeisti šių terminų ženklus.
Tai reiškia - (a + b) = - a - b.
3 pavyzdys. Raskime reiškinio reikšmę 16 - (10 -18 + 12).
Sprendimas. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Norėdami atidaryti skliaustus, prieš kuriuos yra ženklas „-“, turite pakeisti šį ženklą „+“, pakeisdami visų skliausteliuose esančių terminų ženklus į priešingus, tada atidarykite skliaustus.
4 pavyzdys. Raskime išraiškos reikšmę 9,36-(9,36 - 5,48).
Sprendimas. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (-9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Skliaustų išplėtimas ir komutacinių bei asociatyvinių savybių taikymas papildymas leidžia supaprastinti skaičiavimus.
5 pavyzdys. Raskime reiškinio reikšmę (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Sprendimas. Pirmiausia atidarykime skliaustus, tada atskirai suraskime visų teigiamų ir atskirai visų neigiamų skaičių sumą ir galiausiai sumeskime rezultatus:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
6 pavyzdys. Raskime išraiškos reikšmę
Sprendimas. Pirmiausia įsivaizduokime kiekvieną terminą kaip jų sveikųjų skaičių ir trupmeninių dalių sumą, tada atidarykite skliaustus, tada pridėkite sveikuosius skaičius ir atskirai trupmeninis dalis ir galiausiai sudėkite rezultatus:
Kaip atidaryti skliaustus, prieš kuriuos yra „+“ ženklas? Kaip galite rasti išraiškos vertę, kuri yra priešinga kelių skaičių sumai? Kaip išplėsti skliaustus, prieš kuriuos rašomas ženklas „-“?
1218. Atidarykite skliaustus:
a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).
1219. Raskite posakio reikšmę:
1220. Atidarykite skliaustus:
a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Atidarykite skliaustus ir suraskite posakio reikšmę:
1222. Supaprastinkite posakį:
1223. Rašyk suma dvi išraiškas ir supaprastinkite:
a) - 4 - m ir m + 6,4; d) a+b ir p - b
b) 1,1+a ir -26-a; e) - m + n ir -k - n;
c) a + 13 ir -13 + b; e)m - n ir n - m.
1224. Parašykite dviejų posakių skirtumą ir supaprastinkite:
1226. Norėdami išspręsti problemą, naudokite lygtį:
a) Vienoje lentynoje yra 42 knygos, o kitoje - 34. Iš antrosios lentynos paimta tiek knygų, kiek liko antroje. Po to pirmoje lentynoje liko 12 knygų. Kiek knygų buvo pašalinta iš antrosios lentynos?
b) Pirmoje klasėje mokosi 42 mokiniai, antroje 3 mokiniais mažiau nei trečioje. Kiek mokinių yra trečioje klasėje, jei šiose trijose klasėse mokosi 125 mokiniai?
1227. Raskite posakio reikšmę:
1228. Apskaičiuokite žodžiu:
1229. Rasti didžiausia vertė posakiai:
1230. Nurodykite 4 iš eilės einančius sveikuosius skaičius, jei:
a) mažesnis iš jų yra -12; c) mažesnis iš jų yra n;
b) didžiausias iš jų yra -18; d) didesnis iš jų lygus k.
