Kad viena plokštuma būtų nubrėžta per bet kuriuos tris erdvės taškus, būtina, kad šie taškai nebūtų vienoje tiesėje.

Apsvarstykite bendrosios Dekarto koordinačių sistemos taškus M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3).

Kad savavališkas taškas M(x, y, z) būtų vienoje plokštumoje su taškais M 1, M 2, M 3, vektoriai turi būti lygiaverčiai.

Apibrėžimas 2.1.

Dvi tiesės erdvėje vadinamos lygiagrečios, jei jos yra toje pačioje plokštumoje ir neturi bendrų taškų.

Jei dvi tiesės a ir b yra lygiagrečios, tai, kaip planimetrijoje, parašykite a || b. Erdvėje tiesės gali būti išdėstytos taip, kad jos nesikirstų arba būtų lygiagrečios. Šis dėklas yra ypatingas stereometrijai.

Apibrėžimas 2.2.

Tiesės, kurios neturi bendrų taškų ir nėra lygiagrečios, vadinamos susikertančiomis.

2.1 teorema.

Per tašką, esantį už nurodytos linijos, galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią duotajai linijai, ir tik vieną.

Lygiagrečių linijų ženklas

Dvi tiesės erdvėje vadinamos lygiagrečios, jei jos yra toje pačioje plokštumoje ir nesikerta. Per tašką, esantį už nurodytos linijos, galite nubrėžti tiesią liniją, lygiagrečią šiai tiesei, ir tik vieną. Šis teiginys redukuojamas iki lygiagrečių plokštumoje aksiomos. Teorema. Dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai linijai, yra lygiagrečios. Tegul tiesės b ir c yra lygiagrečios tiesei a. Įrodykime, kad b || Su. Planimetrijoje nagrinėjamas atvejis, kai tiesės a, b ir guli vienoje plokštumoje. Tarkime, kad a, b ir c nėra toje pačioje plokštumoje. Bet kadangi dvi lygiagrečios tiesės yra vienoje plokštumoje, galime manyti, kad a ir b yra plokštumoje, o a b ir c yra plokštumoje (61 pav.). Tiesėje c pažymime tašką (bet kurį) M ir per tiesę b ir tašką M nubrėžiame plokštumą . Ji, , susikerta tiesia linija l. Tiesė l nekerta plokštumos, nes jei l susikerta, tai jų susikirtimo taškas turi būti a (a ir l yra toje pačioje plokštumoje) ir b (b ir l yra toje pačioje plokštumoje). Taigi vienas susikirtimo taškas l ir turi būti ir tiesėje a, ir tiesėje b, o tai neįmanoma: a || b. Todėl a || , l || a, l || b. Kadangi a ir l yra toje pačioje plokštumoje, tai l sutampa su tiese c (pagal lygiagretumo aksiomą), taigi su || b. Teorema įrodyta.

25.Lygiagretumo tarp tiesės ir plokštumos ženklas

Teorema

Jeigu tiesė, kuri nepriklauso plokštumai, yra lygiagreti kuriai nors šios plokštumos tiesei, tai ji lygiagreti pačiai plokštumai.

Įrodymas

Tegu α yra plokštuma, a – joje nesanti tiesė, o a1 – tiesė α plokštumoje, lygiagreti tiesei a. Per tieses a ir a1 nubrėžkime plokštumą α1. Plokštumos α ir α1 susikerta išilgai tiesės a1. Jei tiesė susikerta plokštuma α, tada susikirtimo taškas priklausytų tiesei a1. Bet tai neįmanoma, nes tiesės a ir a1 yra lygiagrečios. Vadinasi, tiesė a nekerta plokštumos α, todėl yra lygiagreti plokštumai α. Teorema įrodyta.

27.Plokštumos, lygiagrečios duotai plokštumai, egzistavimas

Teorema

Per tašką, esantį už duotosios plokštumos ribų, galima nubrėžti plokštumą, lygiagrečią duotajai, ir tik vieną.

Įrodymas

Šioje plokštumoje α nubrėžkime bet kurias dvi susikertančias tieses a ir b. Per šį tašką Nubrėžkime joms lygiagrečias tieses a1 ir b1. Plokštuma β, einanti per tieses a1 ir b1, pagal plokštumų lygiagretumo teoremą yra lygiagreti plokštumai α.

Tarkime, kad per tašką A taip pat eina kita plokštuma β1 lygiagrečiai plokštumaiα. β1 plokštumoje pažymėkime kokį nors tašką C, kuris nėra β plokštumoje. Nubrėžkime plokštumą γ per taškus A, C ir kurį nors plokštumos α tašką B. Ši plokštuma kirs plokštumas α, β ir β1 išilgai tiesių b, a ir c. Tiesės a ir c nesikerta tiesės b, nes nesikerta su plokštuma α. Todėl jie yra lygiagrečiai tiesei b. Bet γ plokštumoje per tašką A gali eiti tik viena tiesė, lygiagreti tiesei b. kas prieštarauja prielaidai. Teorema įrodyta.

28.Lygiagrečių plokštumų savybės th

29.

Statmenos linijos erdvėje. Dvi tiesės erdvėje vadinamos statmenomis, jei kampas tarp jų yra 90 laipsnių. c. m. k. k. m. c. k. Susikerta. Kryžminimas.

1 teorema TIESĖS IR PLOKŠTUMOS STAPETUMUMO ŽENKLAS. Jei tiesė, kertanti plokštumą, yra statmena dviem šios plokštumos tiesėms, einančioms per šios tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką, tai ji yra statmena plokštumai.

Įrodymas: Tegul a yra tiesė, statmena tiesėms b ir c plokštumoje. Tada linija a eina per tiesių b ir c sankirtos tašką A. Įrodykime, kad tiesė a yra statmena plokštumai. Nubrėžkime savavališką tiesę x per tašką A plokštumoje ir parodykime, kad ji yra statmena tiesei a. Plokštumoje nubrėžkime savavališką tiesę, kuri nekerta taško A ir kerta tieses b, c ir x. Tegu susikirtimo taškai yra B, C ir X. Tiesėje a iš taško A skirtingomis kryptimis nubraižykime lygias atkarpas AA 1 ir AA 2. Trikampis A 1 CA 2 yra lygiašonis, nes atkarpa AC yra aukštis pagal teoremą ir mediana pagal konstrukciją (AA 1 = AA 2 Dėl tos pačios priežasties trikampis A 1 BA 2 taip pat yra lygiašonis). Todėl trikampiai A 1 BC ir A 2 BC yra lygūs iš trijų kraštinių. Iš trikampių A 1 BC ir A 2 BC lygybės išplaukia, kad kampai A 1 BC ir A 2 BC yra lygūs, todėl trikampiai A 1 BC ir A 2 BC yra lygūs iš dviejų kraštinių ir kampas tarp jų . Iš šių trikampių kraštinių A 1 X ir A 2 X lygybės darome išvadą, kad trikampis A 1 X 2 yra lygiašonis. Todėl jo mediana XA taip pat yra jo aukštis. O tai reiškia, kad tiesė x yra statmena a. Pagal apibrėžimą tiesi linija yra statmena plokštumai. Teorema įrodyta.

2 teorema 1-oji STAČIŲJŲ TIESIŲ IR PLOKŠTUMŲ SAVYBĖ. Jei plokštuma yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.
Įrodymas: Tegul a 1 ir a 2 – 2 yra lygiagrečios tiesės ir plokštuma, statmena tiesei a 1. Įrodykime, kad ši plokštuma yra statmena tiesei a 2. Nubrėžkime savavališką tiesę x 2 plokštumoje per tiesės a 2 susikirtimo su plokštuma tašką A 2. Plokštumoje per tašką A 1 nubrėžkime tiesės a 1 sankirtą su tiese x 1, lygiagrečia tiesei x 2. Kadangi tiesė a 1 yra statmena plokštumai, tai tiesės a 1 ir x 1 yra statmenos. O pagal 1 teoremą joms lygiagrečios susikertančios tiesės a 2 ir x 2 taip pat yra statmenos. Taigi, tiesė a 2 yra statmena bet kuriai tiesei x 2 plokštumoje. Ir tai (pagal apibrėžimą) reiškia, kad tiesė a 2 yra statmena plokštumai. Teorema įrodyta. Taip pat žiūrėkite pagalbos užduotį Nr. 2.
3 teorema 2-oji STAČIŲJŲ TIESIŲ IR PLOKŠTUMŲ SAVYBĖ. Dvi tiesės, statmenos tai pačiai plokštumai, yra lygiagrečios.
Įrodymas: Tegul a ir b yra 2 tiesės, statmenos plokštumai. Tarkime, kad tiesės a ir b nėra lygiagrečios. Tiesėje b pasirinkime tašką C, kuris nėra plokštumoje. Per tašką C nubrėžkime tiesę b 1, lygiagrečią tiesei a. Tiesė b 1 yra statmena plokštumai pagal 2 teoremą. Tegul B ir B 1 yra tiesių b ir b 1 susikirtimo su plokštuma taškai. Tada tiesė BB 1 yra statmena susikertančioms linijoms b ir b 1. Ir tai neįmanoma. Priėjome prieštaravimą. Teorema įrodyta.

33.Statmenas, nuleistas nuo tam tikro taško tam tikroje plokštumoje, yra atkarpa, jungianti duotą tašką su plokštumos tašku ir esanti ant plokštumai statmenos tiesės. Šio segmento galas, esantis plokštumoje, vadinamas statmens pagrindas.
Pasviręs Iš tam tikro taško į tam tikrą plokštumą nubrėžta atkarpa, jungianti duotą tašką su plokštumos tašku, kuris nėra statmenas plokštumai. Atkarpos, esančios plokštumoje, pabaiga vadinama pasviręs pagrindas. Atkarpa, jungianti statmeno pagrindus su pasvirusiu, nubrėžtu iš to paties taško, vadinamas įstriža projekcija.

AB yra statmena plokštumai α.
AC – įstrižinė, CB – projekcija.

Teoremos teiginys

Jei tiesė, nubrėžta plokštumoje per pasvirosios plokštumos pagrindą, yra statmena jos projekcijai, tai ji yra statmena pasvirusiajai.

Įrodymas

Leisti AB- statmena plokštumai α, A.C.- linkęs ir c- tiesi linija α plokštumoje, einanti per tašką C ir statmenai projekcijai B.C.. Padarykime tiesioginį CK lygiagrečiai linijai AB. Tiesiai CK yra statmena plokštumai α (nes lygiagreti AB), taigi bet kuri šios plokštumos tiesė, todėl CK statmena tiesei linijai c. Nubrėžkime lygiagrečias linijas AB Ir CK plokštuma β (lygiagrečios tiesės apibrėžia plokštumą ir tik vieną). Tiesiai c statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms β plokštumoje, tai yra B.C. pagal būklę ir CK pagal konstrukciją reiškia, kad jis yra statmenas bet kuriai tiesei, priklausančiai šiai plokštumai, tai reiškia, kad ji yra statmena tiesei A.C..

Galite nustatyti Skirtingi keliai(vienas taškas ir vektorius, du taškai ir vektorius, trys taškai ir tt). Turint tai omenyje, plokštumos lygtis gali turėti Skirtingos rūšys. Taip pat, esant tam tikroms sąlygoms, plokštumos gali būti lygiagrečios, statmenos, susikertančios ir pan. Apie tai kalbėsime šiame straipsnyje. Išmoksime sukurti bendrąją plokštumos lygtį ir dar daugiau.

Normali lygties forma

Tarkime, kad yra erdvė R 3, kurios koordinatė yra stačiakampė XYZ sistema. Apibrėžkime vektorių α, kuris bus atleistas nuo pradinio taško O. Per vektoriaus α galą nubrėžiame plokštumą P, kuri bus jam statmena.

Savavališką tašką P pažymėkime kaip Q = (x, y, z). Taško Q spindulio vektorių pažymėkime raide p. Šiuo atveju vektoriaus α ilgis lygus р=IαI ir Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Tai vienetinis vektorius, nukreiptas į šoną, kaip ir vektorius α. α, β ir γ yra kampai, kurie susidaro atitinkamai tarp vektoriaus Ʋ ir erdvės ašių x, y, z teigiamų krypčių. Bet kurio taško QϵП projekcija į vektorių Ʋ yra pastovi reikšmė, lygi p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Aukščiau pateikta lygtis turi prasmę, kai p=0. Vienintelis dalykas yra tai, kad plokštuma P šiuo atveju susikirs su tašku O (α=0), kuris yra koordinačių pradžia, o vieneto vektorius Ʋ, išleistas iš taško O, bus statmenas P, nepaisant jo krypties, kuri reiškia, kad vektorius Ʋ yra nustatytas ženklo tikslumu. Ankstesnė lygtis yra mūsų plokštumos P lygtis, išreikšta vektorine forma. Bet koordinatėmis tai atrodys taip:

P čia yra didesnis arba lygus 0. Mes radome lygtį erdvės plokštumos normaliąja forma.

Bendroji lygtis

Jei lygtį padauginsime iš koordinačių iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausime lygtį, lygiavertę šiai, apibrėžiančią tą pačią plokštumą. Tai atrodys taip:

Čia A, B, C yra skaičiai, kurie tuo pačiu metu skiriasi nuo nulio. Ši lygtis vadinama bendrosios plokštumos lygtimi.

Plokštumų lygtys. Ypatingi atvejai

Lygtis in bendras vaizdas gali būti keičiami atsižvelgiant į papildomas sąlygas. Pažvelkime į kai kuriuos iš jų.

Tarkime, kad koeficientas A lygus 0. Tai reiškia, kad ši plokštuma lygiagreti duotai Ox ašiai. Tokiu atveju pasikeis lygties forma: Ву+Cz+D=0.

Panašiai lygties forma pasikeis tokiomis sąlygomis:

• Pirma, jei B = 0, tada lygtis pasikeis į Ax + Cz + D = 0, o tai parodys lygiagretumą Oy ašiai.
• Antra, jei C=0, tai lygtis bus transformuota į Ax+By+D=0, o tai parodys lygiagretumą nurodytai Ozo ašiai.
• Trečia, jei D=0, lygtis atrodys taip: Ax+By+Cz=0, o tai reikš, kad plokštuma kerta O (kilmę).
• Ketvirta, jei A=B=0, tada lygtis pasikeis į Cz+D=0, o tai bus lygiagreti su Oxy.
• Penkta, jei B=C=0, tai lygtis tampa Ax+D=0, o tai reiškia, kad plokštuma į Oyz yra lygiagreti.
• Šešta, jei A=C=0, tada lygtis bus Ву+D=0, tai yra, ji praneš apie lygiagretumą Oxz.

Lygties tipas segmentais

Tuo atveju, kai skaičiai A, B, C, D skiriasi nuo nulio, (0) lygties forma gali būti tokia:

x/a + y/b + z/c = 1,

kurioje a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Verta paminėti, kad ši plokštuma susikirs su Ox ašimi taške, kurio koordinatės (a,0,0), Oy - (0,b,0) ir Oz - (0,0,c). ).

Atsižvelgiant į lygtį x/a + y/b + z/c = 1, nesunku vizualiai įsivaizduoti plokštumos išsidėstymą tam tikros koordinačių sistemos atžvilgiu.

Normaliosios vektoriaus koordinatės

Normalus vektorius n plokštumai P turi koordinates, kurios yra koeficientai bendroji lygtis tam tikros plokštumos, tai yra n (A, B, C).

Norint nustatyti normaliosios n koordinates, pakanka žinoti bendrąją tam tikros plokštumos lygtį.

Naudojant lygtį atkarpose, kurios forma yra x/a + y/b + z/c = 1, taip pat naudojant bendrąją lygtį, galite parašyti bet kurio nurodytos plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates: (1 /a + 1/b + 1/ Su).

Verta paminėti, kad normalus vektorius padeda išspręsti įvairias problemas. Dažniausiai pasitaikančios problemos apima plokštumų statmenumo ar lygiagretumo įrodymą, kampų tarp plokštumų arba kampų tarp plokštumų ir tiesių nustatymo problemas.

Plokštumos lygties tipas pagal taško ir normaliojo vektoriaus koordinates

Nulinis vektorius n, statmenas duotai plokštumai, vadinamas normaliuoju tam tikrai plokštumai.

Tarkime, kad koordinačių erdvėje (stačiakampėje koordinačių sistemoje) Oxyz yra pateiktos:

• taškas Mₒ su koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulinis vektorius n=A*i+B*j+C*k.

Būtina sudaryti lygtį plokštumai, kuri eis per tašką Mₒ, statmeną normaliajai n.

Mes pasirenkame bet kurį savavališką erdvės tašką ir pažymime jį M (x y, z). Tegul bet kurio taško M (x,y,z) spindulio vektorius yra r=x*i+y*j+z*k, o taško Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) spindulio vektorius - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Taškas M priklausys duotajai plokštumai, jei vektorius MₒM yra statmenas vektoriui n. Parašykime ortogonalumo sąlygą naudodami skaliarinį sandaugą:

[MₒM, n] = 0.

Kadangi MₒM = r-rₒ, plokštumos vektorinė lygtis atrodys taip:

Ši lygtis gali turėti kitą formą. Tam naudojamos skaliarinės sandaugos savybės ir transformuojama kairioji lygties pusė. = -. Jei pažymime jį kaip c, gauname tokią lygtį: - c = 0 arba = c, kuri išreiškia projekcijų pastovumą į plokštumai priklausančių duotų taškų spindulio vektorių normalųjį vektorių.

Dabar galime gauti mūsų plokštumos = 0 vektorinės lygties užrašymo koordinačių formą. Kadangi r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, o n = A*i+B *j+С*k, turime:

Pasirodo, turime lygtį plokštumai, kertančiai tašką, statmeną normaliajai n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Plokštumos lygties tipas pagal dviejų taškų koordinates ir vektoriaus, esančio kolinerėje su plokštuma

Apibrėžkime du savavališkus taškus M′ (x′,y′,z′) ir M″ (x″,y″,z″), taip pat vektorių a (a′,a″,a‴).

Dabar galime sukurti lygtį duotai plokštumai, kuri eis per esamus taškus M′ ir M″, taip pat bet kurį tašką M, kurio koordinatės (x, y, z) yra lygiagrečios duotam vektoriui a.

Šiuo atveju vektoriai M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ir M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) turi būti vienodi su vektoriumi a=(a′,a″,a‴), o tai reiškia, kad (M′M, M″M, a)=0.

Taigi, mūsų plokštumos lygtis erdvėje atrodys taip:

Plokštumos, kertančios tris taškus, lygties tipas

Tarkime, kad turime tris taškus: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), kurie nepriklauso tai pačiai linijai. Būtina parašyti plokštumos, einančios per duotus tris taškus, lygtį. Geometrijos teorija teigia, kad tokia plokštuma tikrai egzistuoja, tačiau ji yra vienintelė ir unikali. Kadangi ši plokštuma kerta tašką (x′,y′,z′), jos lygties forma bus tokia:

Čia A, B, C skiriasi nuo nulio tuo pačiu metu. Be to, duotoji plokštuma kerta dar du taškus: (x″,y″,z″) ir (x‴,y‴,z‴). Šiuo atžvilgiu turi būti įvykdytos šios sąlygos:

Dabar galime kurti vienalytė sistema su nežinomais u, v, w:

Mūsų atvejis x,y arba z veikia kaip savavališkas taškas, atitinkantis (1) lygtį. Atsižvelgiant į (1) lygtį ir (2) bei (3) lygčių sistemą, aukščiau esančiame paveikslėlyje nurodytą lygčių sistemą tenkina vektorius N (A,B,C), kuris nėra trivialus. Štai kodėl šios sistemos determinantas yra lygus nuliui.

Gauta (1) lygtis yra plokštumos lygtis. Jis tiksliai praeina per 3 taškus ir tai lengva patikrinti. Norėdami tai padaryti, turime išplėsti savo determinantą į pirmosios eilutės elementus. Iš esamų determinanto savybių matyti, kad mūsų plokštuma vienu metu kerta tris iš pradžių duotus taškus (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Tai yra, mes išsprendėme mums skirtą užduotį.

Dvikampis kampas tarp plokštumų

Dvikampis kampas yra erdvinė geometrinė figūra, sudaryta iš dviejų pusiau plokštumų, kylančių iš vienos tiesios linijos. Kitaip tariant, tai yra erdvės dalis, kurią riboja šios pusiau plokštumos.

Tarkime, kad turime dvi plokštumas su tokiomis lygtimis:

Žinome, kad vektoriai N=(A,B,C) ir N¹=(A¹,B¹,C¹) yra statmeni pagal duotus lėktuvus. Šiuo atžvilgiu kampas φ tarp vektorių N ir N¹ yra lygus kampui (diedraliui), kuris yra tarp šių plokštumų. Taškinis produktas turi tokią formą:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

būtent todėl

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Pakanka atsižvelgti į tai, kad 0≤φ≤π.

Tiesą sakant, dvi plokštumos, kurios susikerta, sudaro du kampus (dihedral): φ 1 ir φ 2. Jų suma lygi π (φ 1 + φ 2 = π). Kalbant apie jų kosinusus, jų absoliučios vertės yra lygios, tačiau skiriasi ženklu, ty cos φ 1 = -cos φ 2. Jei (0) lygtyje A, B ir C pakeisime atitinkamai skaičiais -A, -B ir -C, tada gauta lygtis nustatys tą pačią plokštumą, vienintelę, kampą φ lygtyje cos. φ= NN 1 /| N||N 1 | bus pakeistas π-φ.

Statmenos plokštumos lygtis

Plokštumos, tarp kurių kampas yra 90 laipsnių, vadinamos statmenomis. Naudodami aukščiau pateiktą medžiagą galime rasti plokštumos, statmenos kitai, lygtį. Tarkime, kad turime dvi plokštumas: Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Galime sakyti, kad jie bus statmeni, jei cosφ=0. Tai reiškia, kad NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Lygiagrečios plokštumos lygtis

Dvi plokštumos, kuriose nėra bendrų taškų, vadinamos lygiagrečiomis.

Sąlyga (jų lygtys tokios pat kaip ir ankstesnėje pastraipoje) yra ta, kad vektoriai N ir N¹, kurie yra statmeni jiems, yra kolinearūs. Tai reiškia, kad tenkinamos šios proporcingumo sąlygos:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jei proporcingumo sąlygos yra išplėstos - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tai rodo, kad šios plokštumos sutampa. Tai reiškia, kad lygtys Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 apibūdina vieną plokštumą.

Atstumas iki plokštumos nuo taško

Tarkime, kad turime plokštumą P, kuri pateikiama pagal (0) lygtį. Reikia rasti atstumą iki jo nuo taško, kurio koordinatės (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Norėdami tai padaryti, turite paversti plokštumos P lygtį į normalią formą:

(ρ,v)=р (р≥0).

Šiuo atveju ρ (x,y,z) yra mūsų taško Q spindulio vektorius, esantis P, p yra statmeno P, kuris buvo atleistas nuo nulinio taško, ilgis, v yra vieneto vektorius, esantis kryptis a.

Kai kurio taško Q = (x, y, z), priklausančio P, skirtumo ρ-ρº spindulio vektorius, taip pat tam tikro taško spindulio vektorius Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) yra toks vektorius, projekcijos, kurios į v absoliuti vertė yra lygi atstumui d, kurį reikia rasti nuo Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) iki P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, bet

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Taigi pasirodo

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Taigi rasime absoliučioji vertė gauta išraiška, tai yra norima d.

Naudodami parametrų kalbą gauname akivaizdų:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jeigu nustatytas taškas Q 0 yra kitoje plokštumos P pusėje, kaip ir koordinačių pradžia, taigi tarp vektoriaus ρ-ρ 0 ir v yra:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Tuo atveju, kai taškas Q 0 kartu su koordinačių pradžia yra toje pačioje P pusėje, tada sukurtas kampas yra smailus, tai yra:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Dėl to išeina, kad pirmuoju atveju (ρ 0 ,v)>р, antruoju (ρ 0 ,v)<р.

Liestinės plokštuma ir jos lygtis

Paviršiaus liestinės plokštuma sąlyčio taške Mº yra plokštuma, kurioje yra visos galimos kreivių, nubrėžtų per šį paviršiaus tašką, liestinės.

Naudojant tokio tipo paviršiaus lygtį F(x,y,z)=0, liestinės plokštumos lygtis liestinės taške Mº(xº,yº,zº) atrodys taip:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Jei paviršių nurodysite aiškia forma z=f (x,y), tada liestinės plokštuma bus aprašyta lygtimi:

z-zº =f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Dviejų plokštumų sankirta

Koordinačių sistemoje (stačiakampėje) yra Oxyz, pateiktos dvi plokštumos П′ ir П″, kurios susikerta ir nesutampa. Kadangi bet kuri plokštuma, esanti stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra nustatoma pagal bendrąją lygtį, manysime, kad P′ ir P″ yra pateiktos lygtimis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x +B″y+ С″z+D″=0. Šiuo atveju turime plokštumos P′ normaliąją n′ (A′,B′,C′) ir plokštumos P″ normaliąją n″ (A″,B″,C'). Kadangi mūsų plokštumos nėra lygiagrečios ir nesutampa, šie vektoriai nėra kolineariniai. Naudodamiesi matematikos kalba, šią sąlygą galime užrašyti taip: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Tegul tiesė, esanti P′ ir P″ sankirtoje, yra pažymėta raide a, šiuo atveju a = P′ ∩ P″.

a yra tiesi linija, susidedanti iš visų (bendrų) plokštumų P′ ir P″ taškų aibės. Tai reiškia, kad bet kurio taško, priklausančio tiesei a, koordinatės turi vienu metu tenkinti lygtis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x+B″y+C″z+D″=0 . Tai reiškia, kad taško koordinatės bus dalinis šios lygčių sistemos sprendimas:

Dėl to paaiškėja, kad šios lygčių sistemos (bendrasis) sprendimas nustatys kiekvieno tiesės taško, kuris veiks kaip P′ ir P″ susikirtimo taškas, koordinates ir nustatys tiesę. a Oxyz (stačiakampėje) koordinačių sistemoje erdvėje.

Šioje medžiagoje pažvelgsime, kaip rasti plokštumos lygtį, jei žinome trijų skirtingų taškų, kurie nėra toje pačioje tiesėje, koordinates. Norėdami tai padaryti, turime prisiminti, kas yra stačiakampė koordinačių sistema trimatėje erdvėje. Pirmiausia pristatysime pagrindinį šios lygties principą ir tiksliai parodysime, kaip ją naudoti sprendžiant konkrečias problemas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirmiausia turime prisiminti vieną aksiomą, kuri skamba taip:

1 apibrėžimas

Jeigu trys taškai nesutampa vienas su kitu ir guli ne vienoje tiesėje, tai trimatėje erdvėje per juos eina tik viena plokštuma.

Kitaip tariant, jei turime tris skirtingus taškus, kurių koordinatės nesutampa ir kurių negalima sujungti tiesia linija, tai galime nustatyti per ją einančią plokštumą.

Tarkime, kad turime stačiakampę koordinačių sistemą. Pažymėkime jį O x y z. Jame yra trys taškai M su koordinatėmis M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), kurių negalima sujungti tiesi linija. Remdamiesi šiomis sąlygomis, galime užrašyti mums reikalingos plokštumos lygtį. Yra du šios problemos sprendimo būdai.

1. Pirmuoju metodu naudojama bendroji plokštumos lygtis. Raidės pavidalu jis rašomas kaip A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Su jo pagalba stačiakampėje koordinačių sistemoje galite apibrėžti tam tikrą alfa plokštumą, kuri eina per pirmąjį nurodytą tašką M 1 (x 1, y 1, z 1). Pasirodo, kad normalusis plokštumos α vektorius turės koordinates A, B, C.

N apibrėžimas

Žinodami normalaus vektoriaus koordinates ir taško, per kurį eina plokštuma, koordinates, galime užrašyti bendrąją šios plokštumos lygtį.

Taip ir elgsimės ateityje.

Taigi pagal uždavinio sąlygas turime norimo taško koordinates (net tris), per kurį eina plokštuma. Norėdami rasti lygtį, turite apskaičiuoti jos normalaus vektoriaus koordinates. Pažymėkime jį n → .

Prisiminkime taisyklę: bet kuris nulinis tam tikros plokštumos vektorius yra statmenas tos pačios plokštumos normaliajam vektoriui. Tada turime, kad n → bus statmenas vektoriams, sudarytiems iš pradinių taškų M 1 M 2 → ir M 1 M 3 → . Tada n → galime pažymėti kaip M 1 M 2 → · M 1 M 3 → formos vektorinę sandaugą.

Kadangi M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ir M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (šių lygybių įrodymai pateikti straipsnyje, skirtame vektoriaus koordinačių apskaičiavimui iš taškų koordinačių), tada paaiškėja, kad:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Jei apskaičiuosime determinantą, gausime mums reikalingo normaliojo vektoriaus n → koordinates. Dabar galime užrašyti lygtį, kurios mums reikia plokštumai, kertančiai tris duotus taškus.

2. Antrasis būdas rasti lygtį, einančią per M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), remiasi tokia sąvoka kaip vektorių koplanarumas.

Jei turime taškų aibę M (x, y, z), tai stačiakampėje koordinačių sistemoje jie apibrėžia plokštumą duotiesiems taškams M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2). , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) tik tuo atveju, kai vektoriai M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ir M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) bus lygiagrečios .

Diagramoje tai atrodys taip:

Tai reikš, kad vektorių M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → mišri sandauga bus lygi nuliui: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , kadangi tai yra pagrindinė koplanarumo sąlyga: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ir M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Parašykime gautą lygtį koordinačių forma:

Apskaičiavę determinantą, galime gauti plokštumos lygtį, kurios mums reikia trims taškams, kurie nėra toje pačioje tiesėje M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Iš gautos lygties galite pereiti prie plokštumos lygties segmentais arba į normaliąją plokštumos lygtį, jei to reikalauja problemos sąlygos.

Kitoje pastraipoje pateiksime pavyzdžių, kaip mūsų nurodyti metodai yra įgyvendinami praktiškai.

Plokštumos, einančios per 3 taškus, lygties sudarymo uždavinių pavyzdžiai

Anksčiau mes nustatėme du būdus, kurie gali būti naudojami norint rasti norimą lygtį. Pažiūrėkime, kaip jie naudojami sprendžiant problemas ir kada turėtumėte pasirinkti kiekvieną iš jų.

1 pavyzdys

Yra trys taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje, kurių koordinatės M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Parašykite pro juos einančios plokštumos lygtį.

Sprendimas

Mes naudojame abu metodus pakaitomis.

1. Raskite dviejų mums reikalingų vektorių koordinates M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Dabar apskaičiuokime jų vektorinę sandaugą. Determinanto skaičiavimų neaprašysime:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Turime normalųjį plokštumos, kuri eina per tris reikiamus taškus, vektorių: n → = (- 5, 30, 2) . Toliau reikia paimti vieną iš taškų, pavyzdžiui, M 1 (- 3, 2, - 1), ir užrašyti lygtį plokštumai su vektoriumi n → = (- 5, 30, 2). Gauname: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Tai lygtis, kurios mums reikia plokštumai, kuri kerta tris taškus.

2. Laikykimės kitokio požiūrio. Parašykime lygtį plokštumai su trimis taškais M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) tokia forma:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Čia galite pakeisti duomenis iš problemos teiginio. Kadangi x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, galų gale gauname:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 m + 2 z - 73

Gavome reikalingą lygtį.

Atsakymas:- 5 x + 30 m + 2 z - 73 .

Bet ką daryti, jei pateikti taškai vis tiek yra toje pačioje tiesėje ir mums reikia sukurti jiems plokštumos lygtį? Čia reikia iš karto pasakyti, kad ši sąlyga nebus visiškai teisinga. Per tokius taškus gali praeiti begalė plokštumų, todėl vieno atsakymo apskaičiuoti neįmanoma. Panagrinėkime tokią problemą, kad įrodytume tokios klausimo formuluotės neteisingumą.

2 pavyzdys

Turime stačiakampę koordinačių sistemą trimatėje erdvėje, kurioje trys taškai yra su koordinatėmis M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1). , 1) . Būtina parašyti lygtį plokštumai, einančia per ją.

Sprendimas

Naudokime pirmąjį metodą ir pradėkime nuo dviejų vektorių M 1 M 2 → ir M 1 M 3 → koordinačių skaičiavimo. Apskaičiuokime jų koordinates: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Kryžminis produktas bus lygus:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Kadangi M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, tada mūsų vektoriai bus kolineariniai (jei pamiršote šios sąvokos apibrėžimą, dar kartą perskaitykite straipsnį apie juos). Taigi pradiniai taškai M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) yra toje pačioje tiesėje, o mūsų uždavinys turi be galo daug variantų atsakymas.

Jei naudosime antrąjį metodą, gausime:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 m. + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iš gautos lygybės taip pat išplaukia, kad pateikti taškai M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) yra toje pačioje tiesėje.

Jei norite rasti bent vieną atsakymą į šią problemą iš begalinio skaičiaus jos parinkčių, turite atlikti šiuos veiksmus:

1. Užrašykite tiesės M 1 M 2, M 1 M 3 arba M 2 M 3 lygtį (jei reikia, peržiūrėkite medžiagą apie šį veiksmą).

2. Paimkite tašką M 4 (x 4, y 4, z 4), kuris nėra tiesėje M 1 M 2.

3. Užrašykite lygtį plokštumos, kuri kerta tris skirtingus taškus M 1, M 2 ir M 4, kurie nėra toje pačioje tiesėje.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pirmas lygis

Koordinatės ir vektoriai. Išsamus vadovas (2019 m.)

Šiame straipsnyje mes pradėsime aptarti vieną „stebuklingą lazdelę“, kuri leis jums sumažinti daugybę geometrijos problemų iki paprastos aritmetikos. Ši „lazda“ gali labai palengvinti jūsų gyvenimą, ypač kai nesate tikras dėl erdvinių figūrų, pjūvių ir tt konstravimo. Visa tai reikalauja tam tikros vaizduotės ir praktinių įgūdžių. Metodas, kurį mes čia pradėsime svarstyti, leis beveik visiškai abstrahuotis nuo visų rūšių geometrinių konstrukcijų ir samprotavimų. Metodas vadinamas "koordinačių metodas". Šiame straipsnyje mes apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Koordinačių plokštuma
2. Taškai ir vektoriai plokštumoje
3. Vektoriaus konstravimas iš dviejų taškų
4. Vektoriaus ilgis (atstumas tarp dviejų taškų).
5. Atkarpos vidurio koordinatės
6. Taškinė vektorių sandauga
7. Kampas tarp dviejų vektorių

Manau, jūs jau atspėjote, kodėl koordinačių metodas taip vadinamas? Teisingai, jis gavo tokį pavadinimą, nes veikia ne su geometriniais objektais, o su jų skaitinėmis charakteristikomis (koordinatėmis). O pati transformacija, leidžianti pereiti nuo geometrijos prie algebros, susideda iš koordinačių sistemos įvedimo. Jei pradinė figūra buvo plokščia, tai koordinatės yra dvimatės, o jei figūra yra trimatė, tada koordinatės yra trimatės. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik dvimatį atvejį. Ir pagrindinis straipsnio tikslas yra išmokyti jus naudoti kai kuriuos pagrindinius koordinačių metodo metodus (jie kartais yra naudingi sprendžiant planimetrijos uždavinius vieningo valstybinio egzamino B dalyje). Kiti du skyriai šia tema yra skirti C2 uždavinių (stereometrijos problemos) sprendimo metodų aptarimui.

Kur būtų logiška pradėti diskutuoti apie koordinačių metodą? Tikriausiai iš koordinačių sistemos sampratos. Prisiminkite, kai pirmą kartą su ja susidūrėte. Man atrodo, kad 7 klasėje, kai sužinojote apie tiesinės funkcijos egzistavimą, pavyzdžiui. Leiskite jums priminti, kad jūs tai sukūrėte taškas po taško. Ar prisimeni? Jūs pasirinkote savavališką skaičių, pakeitėte jį į formulę ir taip jį apskaičiavote. Pavyzdžiui, jei, tada, jei, tada ir tt Ką galiausiai gavote? Ir gavote taškus su koordinatėmis: ir. Toliau nubraižėte „kryželį“ (koordinačių sistemą), pasirinkote jame skalę (kiek langelių turėsite kaip vienetinį segmentą) ir pažymėjote jame gautus taškus, kuriuos sujungėte gauta linija linija yra funkcijos grafikas.

Čia yra keletas punktų, kurie turėtų būti jums paaiškinti šiek tiek išsamiau:

1. Patogumo sumetimais pasirenkate vieną segmentą, kad viskas gražiai ir kompaktiškai tilptų brėžinyje

2. Priimta, kad ašis eina iš kairės į dešinę, o ašis – iš apačios į viršų

3. Jie susikerta stačiu kampu, o jų susikirtimo taškas vadinamas pradžia. Tai nurodoma laiške.

4. Rašant taško koordinates, pavyzdžiui, kairėje skliausteliuose yra taško koordinatė išilgai ašies, o dešinėje – išilgai ašies. Visų pirma, tai tiesiog reiškia, kad taške

5. Norint nurodyti bet kurį koordinačių ašies tašką, reikia nurodyti jo koordinates (2 skaičiai)

6. Bet kuriam taškui, esančiam ant ašies,

7. Bet kuriame taške, esančiame ant ašies,

8. Ašis vadinama x ašimi

9. Ašis vadinama y ašimi

Dabar imkime kitą žingsnį: pažymėkite du taškus. Sujungkime šiuos du taškus atkarpa. Ir mes įdėsime rodyklę taip, tarsi brėžtume atkarpą iš taško į tašką: tai yra, mes padarysime savo segmentą nukreiptą!

Prisiminkite, kaip vadinamas kitas kryptinis segmentas? Teisingai, tai vadinama vektoriumi!

Taigi, jei sujungsime tašką su tašku, ir pradžia bus taškas A, o pabaiga bus taškas B, tada gauname vektorių. Jūs taip pat darėte šią statybą 8 klasėje, pamenate?

Pasirodo, vektoriai, kaip ir taškai, gali būti žymimi dviem skaičiais: šie skaičiai vadinami vektorių koordinatėmis. Klausimas: Ar manote, kad mums pakanka žinoti vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates, kad rastume jo koordinates? Pasirodo, kad taip! Ir tai daroma labai paprastai:

Taigi, kadangi vektoriuje taškas yra pradžia, o taškas yra pabaiga, vektorius turi šias koordinates:

Pavyzdžiui, jei, tada vektoriaus koordinatės

Dabar padarykime priešingai, suraskime vektoriaus koordinates. Ką mes turime pakeisti dėl to? Taip, reikia sukeisti pradžią ir pabaigą: dabar vektoriaus pradžia bus taške, o pabaiga – taške. Tada:

Atidžiai pažiūrėkite, kuo skiriasi vektoriai ir? Vienintelis jų skirtumas yra ženklai koordinatėse. Jie yra priešingi dalykai. Šis faktas paprastai rašomas taip:

Kartais, jei konkrečiai nenurodyta, kuris taškas yra vektoriaus pradžia, o kuris pabaiga, tai vektoriai žymimi ne dviem didžiosiomis, o viena mažąja raide, pvz.: , ir t.t.

Dabar šiek tiek praktika save ir suraskite šių vektorių koordinates:

Egzaminas:

Dabar išspręskite šiek tiek sunkesnę problemą:

Vektorius su pradžia taške turi co-or-di-na-you. Raskite abs-cis-su taškus.

Visa tai yra gana proziška: tegul yra taško koordinatės. Tada

Sudariau sistemą pagal apibrėžimą, kas yra vektorių koordinatės. Tada taškas turi koordinates. Mus domina abscisė. Tada

Atsakymas:

Ką dar galite padaryti su vektoriais? Taip, beveik viskas yra taip pat, kaip ir su paprastais skaičiais (išskyrus tai, kad jūs negalite dalytis, bet galite dauginti dviem būdais, iš kurių vieną aptarsime čia šiek tiek vėliau)

1. Vektorius galima pridėti vienas prie kito
2. Vektorius galima atimti vienas iš kito
3. Vektorius galima padauginti (arba padalyti) iš savavališko skaičiaus, kuris nėra nulis
4. Vektorius galima padauginti vienas iš kito

Visos šios operacijos turi labai aiškų geometrinį vaizdą. Pavyzdžiui, trikampio (arba lygiagretainio) sudėties ir atimties taisyklė:

Vektorius išsitempia, susitraukia arba keičia kryptį, kai padauginamas arba dalinamas iš skaičiaus:

Tačiau čia mus domina klausimas, kas atsitiks su koordinatėmis.

1. Sudėjus (atimant) du vektorius, jų koordinates sudedame (atimame) elementas po elemento. Tai yra:

2. Dauginant (dalinant) vektorių iš skaičiaus, visos jo koordinatės dauginamos (dalinamos) iš šio skaičiaus:

Pavyzdžiui:

· Raskite co-or-di-nat amžiaus-to-ra kiekį.

Pirmiausia suraskime kiekvieno vektoriaus koordinates. Jie abu turi tą pačią kilmę – pradinį tašką. Jų galai skiriasi. Tada,. Dabar apskaičiuokime vektoriaus koordinates Tada gauto vektoriaus koordinačių suma yra lygi.

Atsakymas:

Dabar išspręskite šią problemą patys:

· Raskite vektorių koordinačių sumą

Mes tikriname:

Dabar panagrinėkime šią problemą: turime du taškus koordinačių plokštumoje. Kaip rasti atstumą tarp jų? Tegul pirmasis taškas būna, o antrasis. Atstumą tarp jų pažymėkime. Aiškumo dėlei padarykite tokį piešinį:

Ką aš padariau? Pirmiausia sujungiau taškus, taip pat iš taško nubrėžiau ašiai lygiagrečią liniją, o iš taško nubrėžiau ašiai lygiagrečią liniją. Ar jie susikirto taške, sudarydami nuostabią figūrą? Kuo ji tokia ypatinga? Taip, jūs ir aš žinome beveik viską apie dešinįjį trikampį. Na, Pitagoro teorema tikrai. Reikalingas segmentas yra šio trikampio hipotenuzė, o segmentai yra kojos. Kokios taško koordinatės? Taip, juos lengva rasti iš paveikslėlio: Kadangi atkarpos yra lygiagrečios ašims ir, atitinkamai, jų ilgius lengva rasti: jei atkarpų ilgius pažymėsime atitinkamai, tada

Dabar pasinaudokime Pitagoro teorema. Žinome kojų ilgius, rasime hipotenuzą:

Taigi atstumas tarp dviejų taškų yra kvadratinių skirtumų nuo koordinačių sumos šaknis. Arba – atstumas tarp dviejų taškų yra juos jungiančios atkarpos ilgis. Nesunku pastebėti, kad atstumas tarp taškų nepriklauso nuo krypties. Tada:

Iš čia darome tris išvadas:

Šiek tiek pasitreniruokime apskaičiuodami atstumą tarp dviejų taškų:

Pavyzdžiui, jei, tada atstumas tarp ir yra lygus

Arba eikime kitu keliu: raskite vektoriaus koordinates

Ir raskite vektoriaus ilgį:

Kaip matote, tai tas pats!

Dabar šiek tiek pasitreniruokite patys:

Užduotis: raskite atstumą tarp nurodytų taškų:

Mes tikriname:

Čia yra dar kelios problemos naudojant tą pačią formulę, nors jos skamba šiek tiek kitaip:

1. Raskite akies voko ilgio kvadratą.

2. Raskite akies voko ilgio kvadratą

Manau, kad su jais susitvarkei be vargo? Mes tikriname:

1. Ir tai dėmesingumui) Mes jau anksčiau radome vektorių koordinates: . Tada vektorius turi koordinates. Jo ilgio kvadratas bus lygus:

2. Raskite vektoriaus koordinates

Tada jo ilgio kvadratas yra

Nieko sudėtingo, tiesa? Paprasta aritmetika, nieko daugiau.

Šios problemos negali būti vienareikšmiškai klasifikuojamos.

1. Raskite kampo sinusą nuo pjūvio, jungiančio tašką su abscisių ašimi.

Ir

Kaip mes čia toliau? Turime rasti kampo tarp ir ašies sinusą. Kur galime ieškoti sinuso? Teisingai, stačiakampiame trikampyje. Taigi ką mes turime daryti? Sukurkite šį trikampį!

Kadangi taško koordinatės yra ir, tada atkarpa yra lygi, ir atkarpa. Turime rasti kampo sinusą. Leiskite jums priminti, kad sinusas yra priešingos pusės ir hipotenuzės santykis

Kas mums belieka? Raskite hipotenuzę. Tai galite padaryti dviem būdais: naudodami Pitagoro teoremą (kojos žinomos!) arba naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę (iš tikrųjų tai tas pats, kas ir pirmasis metodas!). Eisiu antru keliu:

Atsakymas:

Kita užduotis jums atrodys dar lengvesnė. Ji yra taško koordinatėse.

2 užduotis. Nuo taško per-pen-di-ku-lyar nuleidžiamas ant ab-ciss ašies. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Padarykime piešinį:

Statmens pagrindas yra taškas, kuriame jis kerta x ašį (ašį), man tai yra taškas. Paveikslėlyje parodyta, kad jis turi koordinates: . Mus domina abscisė - tai yra „x“ komponentas. Ji lygi.

Atsakymas: .

3 užduotis. Ankstesnio uždavinio sąlygomis raskite atstumų nuo taško iki koordinačių ašių sumą.

Užduotis paprastai yra elementari, jei žinote, koks yra atstumas nuo taško iki ašių. Tu žinai? Tikiuosi, bet vis tiek priminsiu:

Taigi, ar aš jau nubrėžiau vieną tokį statmeną aukščiau esančiame piešinyje? Ant kurios ašies jis yra? Į ašį. Ir koks tada jo ilgis? Ji lygi. Dabar patys nubrėžkite statmeną ašiai ir suraskite jo ilgį. Bus lygus, tiesa? Tada jų suma yra lygi.

Atsakymas: .

4 užduotis. 2 užduoties sąlygomis suraskite taško, kuris yra simetriškas taškui abscisių ašies atžvilgiu, ordinates.

Manau, kad jums intuityviai aišku, kas yra simetrija? Jį turi daugelis objektų: daug pastatų, stalų, lėktuvų, daugybė geometrinių formų: rutulys, cilindras, kvadratas, rombas ir t.t.. Grubiai tariant, simetriją galima suprasti taip: figūra susideda iš dviejų (ar daugiau) vienodų pusių. Ši simetrija vadinama ašine simetrija. Kas tada yra ašis? Tai yra būtent ta linija, išilgai kurios, santykinai tariant, figūrą galima „perpjauti“ į lygias puses (šioje nuotraukoje simetrijos ašis yra tiesi):

Dabar grįžkime prie savo užduoties. Žinome, kad ieškome taško, kuris būtų simetriškas ašies atžvilgiu. Tada ši ašis yra simetrijos ašis. Tai reiškia, kad turime pažymėti tašką taip, kad ašis supjaustytų segmentą į dvi lygias dalis. Pabandykite patys pažymėti tokį tašką. Dabar palyginkite su mano sprendimu:

Ar jums tai pavyko taip pat? gerai! Mus domina rasto taško ordinatė. Tai lygu

Atsakymas:

Dabar pasakykite man, keletą sekundžių pagalvojus, kokia bus taško abscisė, simetriška taškui A, palyginti su ordinatėmis? Koks tavo atsakymas? Teisingas atsakymas: .

Apskritai taisyklę galima parašyti taip:

Taškas, simetriškas taškui abscisių ašies atžvilgiu, turi koordinates:

Taškas, simetriškas taškui ordinačių ašies atžvilgiu, turi koordinates:

Na, dabar visiškai baisu užduotis: suraskite taško koordinates, simetriškas taškui, atsižvelgiant į pradinę padėtį. Pirmiausia pagalvok pats, o tada pažiūrėk į mano piešinį!

Atsakymas:

Dabar lygiagretainio problema:

5 užduotis: taškai pasirodo ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Raskite arba-di-tą tašką.

Šią problemą galite išspręsti dviem būdais: logika ir koordinačių metodu. Pirmiausia naudosiu koordinačių metodą, o tada pasakysiu, kaip galite tai išspręsti kitaip.

Visiškai aišku, kad taško abscisė yra lygi. (jis guli ant statmens, nubrėžto nuo taško iki abscisių ašies). Turime rasti ordinates. Pasinaudokime tuo, kad mūsų figūra yra lygiagretainis, tai reiškia. Raskime atkarpos ilgį naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Nuleidžiame statmeną, jungiantį tašką su ašimi. Sankirtos tašką pažymėsiu raide.

Atkarpos ilgis lygus. (pats suraskite problemą ten, kur aptarėme šį punktą), tada atkarpos ilgį rasime naudodami Pitagoro teoremą:

Atkarpos ilgis tiksliai sutampa su jo ordinatėmis.

Atsakymas: .

Kitas sprendimas (aš tiesiog pateiksiu jį iliustruojančią nuotrauką)

Sprendimo eiga:

1. Elgesys

2. Raskite taško ir ilgio koordinates

3. Įrodykite tai.

Kitas segmento ilgio problema:

Taškai atsiranda trikampių viršuje. Raskite jo vidurio linijos, lygiagrečios, ilgį.

Ar prisimeni, kas yra trikampio vidurio linija? Tada ši užduotis jums elementari. Jei neprisimenate, priminsiu: trikampio vidurio linija yra linija, jungianti priešingų kraštinių vidurio taškus. Jis lygiagretus pagrindui ir lygus jo pusei.

Pagrindas yra segmentas. Jo ilgio teko ieškoti anksčiau, jis lygus. Tada vidurinės linijos ilgis yra perpus didesnis ir lygus.

Atsakymas: .

Komentaras: šią problemą galima išspręsti ir kitu būdu, į kurį kreipsimės šiek tiek vėliau.

Tuo tarpu čia yra keletas problemų, praktikuokite jas, jos labai paprastos, bet padeda geriau naudotis koordinačių metodu!

1. Taškai atsiranda tra-pijų viršuje. Raskite jo vidurio linijos ilgį.

2. Taškai ir pasirodymai ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Raskite arba-di-tą tašką.

3. Raskite ilgį nuo pjūvio, sujungdami tašką ir

4. Koordinačių plokštumoje raskite plotą už spalvotos figūros.

5. Per tašką eina apskritimas, kurio centras yra na-cha-le ko-or-di-nat. Surask jos radiją.

6. Rasti-di-te ra-di-us apskritimo, apibūdinti-san-noy apie stačiakampį-ne-ka, ko nors viršūnės turi co-ar -di-na-tu esi toks-atsakingas - bet

Sprendimai:

1. Žinoma, kad trapecijos vidurio linija lygi pusei jos bazių sumos. Pagrindas yra lygus, o pagrindas. Tada

Atsakymas:

2. Lengviausias būdas išspręsti šią problemą – tai pažymėti (lygiagretainės taisyklės). Apskaičiuoti vektorių koordinates nesunku: . Sudedant vektorius, koordinatės pridedamos. Tada jis turi koordinates. Taškas taip pat turi šias koordinates, nes vektoriaus pradžia yra taškas su koordinatėmis. Mus domina ordinatės. Ji lygi.

Atsakymas:

3. Iš karto veikiame pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Atsakymas:

4. Pažvelkite į paveikslėlį ir pasakykite man, tarp kurių dviejų figūrų yra užtemdyta sritis? Jis yra tarp dviejų kvadratų. Tada norimos figūros plotas lygus didelio kvadrato plotui atėmus mažojo plotą. Mažo kvadrato kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o jos ilgis yra

Tada mažo kvadrato plotas yra

Tą patį darome su dideliu kvadratu: jo kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o ilgis -

Tada didelės aikštės plotas yra

Norimos figūros plotą randame pagal formulę:

Atsakymas:

5. Jei apskritimo centras yra pradžios taškas ir jis eina per tašką, tada jo spindulys bus tiksliai lygus atkarpos ilgiui (padarykite brėžinį ir suprasite, kodėl tai akivaizdu). Raskime šio segmento ilgį:

Atsakymas:

6. Yra žinoma, kad stačiakampio apskritimo spindulys yra lygus pusei jo įstrižainės. Raskime bet kurios iš dviejų įstrižainių ilgį (juk stačiakampyje jos yra lygios!)

Atsakymas:

Na, ar susitvarkei su viskuo? Nebuvo labai sunku tai suprasti, ar ne? Čia galioja tik viena taisyklė - sugebėti padaryti vaizdinį paveikslėlį ir tiesiog „perskaityti“ iš jo visus duomenis.

Mums liko labai nedaug. Yra dar du dalykai, kuriuos norėčiau aptarti.

Pabandykime išspręsti šią paprastą problemą. Tegul du taškai ir yra duoti. Raskite atkarpos vidurio taško koordinates. Šios problemos sprendimas yra toks: tegul taškas yra norimas vidurys, tada jis turi koordinates:

Tai yra: atkarpos vidurio koordinatės = atitinkamų atkarpos galų koordinačių aritmetinis vidurkis.

Ši taisyklė labai paprasta ir dažniausiai nesukelia mokiniams sunkumų. Pažiūrėkime, kokiose problemose ir kaip jis naudojamas:

1. Surask-di-te arba-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point ir

2. Atrodo, kad taškai yra pasaulio viršūnės. Rasti-di-te arba-di-na-tu taškų per-re-se-che-niya jo dia-go-na-ley.

3. Suraskite-di-te abs-cis-su apskritimo centrą, apibūdinkite-san-noy apie stačiakampį-no-ka, kažko viršūnės turi co-or-di-na-you taip-atsakingai-bet.

Sprendimai:

1. Pirmoji problema yra tiesiog klasika. Mes nedelsdami nustatome segmento vidurį. Turi koordinates. Ordinata yra lygi.

Atsakymas:

2. Nesunku pastebėti, kad šis keturkampis yra lygiagretainis (netgi rombas!). Tai galite įrodyti patys, apskaičiavę kraštinių ilgius ir palyginę juos tarpusavyje. Ką aš žinau apie lygiagretainius? Jo įstrižainės dalijamos per pusę pagal susikirtimo tašką! Taip! Taigi, koks yra įstrižainių susikirtimo taškas? Tai bet kurios įstrižainės vidurys! Visų pirma pasirinksiu įstrižainę. Tada taškas turi koordinates Taško ordinatė yra lygi.

Atsakymas:

3. Su kuo sutampa apie stačiakampį apibrėžto apskritimo centras? Jis sutampa su jo įstrižainių susikirtimo tašku. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines? Jie yra lygūs ir susikirtimo taškas padalija juos per pusę. Užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės. Paimkime, pavyzdžiui, įstrižainę. Tada, jei yra apskritimo centras, tai yra vidurio taškas. Ieškau koordinačių: abscisė lygi.

Atsakymas:

Dabar šiek tiek pasipraktikuokite patys, tik pateiksiu atsakymus į kiekvieną problemą, kad galėtumėte išbandyti save.

1. Rasti-di-te ra-di-us apskritimo, apibūdinti-san-noy apie trikampį-no-ka, kažko viršūnės turi co-or-di -no ponų

2. Surask-di-te arba-di-ant tą apskritimo centrą, apibūdink-san-noy apie trikampį-no-ka, kurio viršūnės turi koordinates

3. Koks ra-di-u-sa turi būti apskritimas, kurio centras taške liestų ab-ciss ašį?

4. Suraskite tuos arba-di-tame ašies ir iškirpimo taške, sujunkite tašką ir

Atsakymai:

Ar viskas pavyko? Labai to tikiuosi! Dabar – paskutinis postūmis. Dabar būkite ypač atsargūs. Medžiaga, kurią dabar paaiškinsiu, yra tiesiogiai susijusi ne tik su paprastomis koordinačių metodo problemomis iš B dalies, bet ir yra visur C2 uždavinyje.

Kurio iš savo pažadų dar neištesėjau? Prisiminkite, kokias vektorių operacijas pažadėjau įvesti ir kurias galiausiai įvedžiau? Ar esi tikras, kad nieko nepamiršau? Pamiršau! Pamiršau paaiškinti, ką reiškia vektorinis dauginimas.

Yra du būdai, kaip vektorių padauginti iš vektoriaus. Priklausomai nuo pasirinkto metodo, gausime skirtingos prigimties objektus:

Kryžminis gaminys padarytas gana sumaniai. Kaip tai padaryti ir kodėl to reikia, aptarsime kitame straipsnyje. O šioje mes sutelksime dėmesį į skaliarinį sandaugą.

Yra du būdai, kurie leidžia mums jį apskaičiuoti:

Kaip atspėjote, rezultatas turėtų būti toks pat! Taigi pirmiausia pažvelkime į pirmąjį metodą:

Taškas produktas per koordinates

Raskite: - visuotinai priimtą skaliarinės sandaugos žymėjimą

Skaičiavimo formulė yra tokia:

Tai yra, skaliarinė sandauga = vektorių koordinačių sandaugų suma!

Pavyzdys:

Surask-di-te

Sprendimas:

Raskime kiekvieno vektoriaus koordinates:

Skaliarinį sandaugą apskaičiuojame pagal formulę:

Atsakymas:

Žiūrėkite, visiškai nieko sudėtingo!

Na, o dabar pabandykite patys:

· Raskite šimtmečių skaliarinį pro-iz-ve-de-nie ir

Ar susitvarkei? Galbūt pastebėjote mažą laimikį? Patikrinkime:

Vektorinės koordinatės, kaip ir ankstesniame uždavinyje! Atsakymas:.

Be koordinatės, yra ir kitas būdas apskaičiuoti skaliarinę sandaugą, būtent pagal vektorių ilgius ir kampo tarp jų kosinusą:

Žymi kampą tarp vektorių ir.

Tai yra, skaliarinė sandauga yra lygi vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai.

Kam mums reikalinga ši antroji formulė, jei turime pirmąją, kuri yra daug paprastesnė, joje yra bent jau kosinusų nėra. Ir tai reikalinga tam, kad iš pirmos ir antros formulių jūs ir aš galėtume nuspręsti, kaip rasti kampą tarp vektorių!

Leiskite Tada prisiminkite vektoriaus ilgio formulę!

Tada, jei pakeisiu šiuos duomenis į skaliarinės produkto formulę, gaunu:

Bet kitu būdu:

Taigi ką jūs ir aš gavome? Dabar turime formulę, leidžiančią apskaičiuoti kampą tarp dviejų vektorių! Kartais dėl trumpumo taip pat parašyta:

Tai yra, kampo tarp vektorių skaičiavimo algoritmas yra toks:

1. Apskaičiuokite skaliarinę sandaugą per koordinates
2. Raskite vektorių ilgius ir padauginkite juos
3. 1 punkto rezultatą padalinkite iš 2 punkto rezultato

Praktikuokime su pavyzdžiais:

1. Raskite kampą tarp vokų ir. Pateikite atsakymą grad-du-sah.

2. Ankstesnio uždavinio sąlygomis raskite kosinusą tarp vektorių

Padarykime taip: aš padėsiu jums išspręsti pirmąją problemą, o antrąją pabandykite padaryti patys! Sutinku? Tada pradėkime!

1. Šie vektoriai yra mūsų seni draugai. Mes jau apskaičiavome jų skaliarinį sandaugą ir jis buvo lygus. Jų koordinatės yra: , . Tada randame jų ilgius:

Tada ieškome kosinuso tarp vektorių:

Koks yra kampo kosinusas? Tai yra kampas.

Atsakymas:

Na, dabar išspręskite antrąją problemą patys, o tada palyginkite! Pateiksiu tik labai trumpą sprendimą:

2. turi koordinates, turi koordinates.

Leisti būti kampas tarp vektorių ir, tada

Atsakymas:

Pažymėtina, kad uždaviniai tiesiai ant vektorių ir koordinačių metodo egzamino darbo B dalyje yra gana reti. Tačiau didžiąją dalį C2 problemų galima nesunkiai išspręsti įdiegus koordinačių sistemą. Taigi šį straipsnį galite laikyti pamatu, kurio pagrindu sukursime gana protingas konstrukcijas, kurių mums prireiks sprendžiant sudėtingas problemas.

KOORDINATES IR VEKTORIAI. VIDUTINIS LYGIS

Jūs ir aš toliau studijuojame koordinačių metodą. Paskutinėje dalyje išvedėme keletą svarbių formulių, kurios leidžia:

1. Raskite vektorių koordinates
2. Raskite vektoriaus ilgį (arba atstumą tarp dviejų taškų)
3. Sudėkite ir atimkite vektorius. Padauginkite juos iš tikrojo skaičiaus
4. Raskite atkarpos vidurio tašką
5. Apskaičiuokite vektorių taškinę sandaugą
6. Raskite kampą tarp vektorių

Žinoma, visas koordinačių metodas netelpa į šiuos 6 taškus. Juo grindžiamas toks mokslas kaip analitinė geometrija, su kuriuo susipažinsite universitete. Aš tiesiog noriu sukurti pagrindą, kuris leistų jums išspręsti problemas vienoje valstybėje. egzaminą. Mes atlikome B dalies užduotis. Dabar laikas pereiti į visiškai naują lygį! Šis straipsnis bus skirtas tų C2 uždavinių, kuriuose būtų tikslinga pereiti prie koordinačių metodo, sprendimo būdui. Šį pagrįstumą lemia tai, ką reikia rasti užduotyje ir koks skaičius pateikiamas. Taigi, aš naudočiau koordinačių metodą, jei klausimai yra tokie:

1. Raskite kampą tarp dviejų plokštumų
2. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos
3. Raskite kampą tarp dviejų tiesių
4. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos
5. Raskite atstumą nuo taško iki linijos
6. Raskite atstumą nuo tiesės iki plokštumos
7. Raskite atstumą tarp dviejų eilučių

Jei uždavinio teiginyje pateikta figūra yra besisukantis kūnas (rutulys, cilindras, kūgis...)

Tinkami skaičiai koordinačių metodui yra:

1. Stačiakampis gretasienis
2. Piramidė (trikampė, keturkampė, šešiakampė)

Taip pat iš savo patirties netikslinga naudoti koordinačių metodą:

1. Skerspjūvio plotų radimas
2. Kūnų tūrių skaičiavimas

Tačiau iš karto reikia pažymėti, kad trys „nepalankios“ situacijos koordinačių metodui praktikoje yra gana retos. Daugumoje užduočių jis gali tapti jūsų gelbėtoju, ypač jei jums nelabai sekasi trimatės konstrukcijos (kurios kartais gali būti gana sudėtingos).

Kokie yra visi aukščiau išvardyti skaičiai? Jie nebėra plokšti, kaip, pavyzdžiui, kvadratas, trikampis, apskritimas, o tūriniai! Atitinkamai, turime atsižvelgti į ne dvimatę, o trimatę koordinačių sistemą. Jį sukonstruoti gana paprasta: tik be abscisių ir ordinačių ašių pristatysime dar vieną ašį – taikomąją ašį. Paveiksle schematiškai parodyta jų santykinė padėtis:

Visos jos yra viena kitai statmenos ir susikerta viename taške, kurį vadinsime koordinačių pradžia. Kaip ir anksčiau, žymėsime abscisių ašį, ordinačių ašį - ir įvestą taikomąją ašį - .

Jei anksčiau kiekvienas plokštumos taškas buvo apibūdintas dviem skaičiais – abscisėmis ir ordinatėmis, tai kiekvienas erdvės taškas jau apibūdinamas trimis skaičiais – abscise, ordinate ir aplikacija. Pavyzdžiui:

Atitinkamai, taško abscisė yra lygi, ordinatės yra Ir taikyti yra .

Kartais taško abscisė taip pat vadinama taško projekcija į abscisių ašį, ordinate - taško projekcija į ordinačių ašį, o aplikacija - taško projekcija į taikomąją ašį. Atitinkamai, jei duotas taškas, tada taškas su koordinatėmis:

vadinama taško projekcija į plokštumą

vadinama taško projekcija į plokštumą

Kyla natūralus klausimas: ar visos dvimačio atvejo formulės galioja erdvėje? Atsakymas yra taip, jie yra teisingi ir turi tą pačią išvaizdą. Dėl smulkios detalės. Manau, jūs jau atspėjote, kuris iš jų yra. Visose formulėse turėsime pridėti dar vieną terminą, atsakingą už taikomąją ašį. Būtent.

1. Jei duodami du taškai: , tada:

• Vektorinės koordinatės:
• Atstumas tarp dviejų taškų (arba vektoriaus ilgis)
• Atkarpos vidurio taškas turi koordinates

2. Jei pateikti du vektoriai: ir, tada:

• Jų skaliarinė sandauga yra lygi:
• Kampo tarp vektorių kosinusas yra lygus:

Tačiau erdvė nėra taip paprasta. Kaip suprantate, pridėjus dar vieną koordinatę, šioje erdvėje „gyvenančių“ figūrų spektras labai skiriasi. O tolimesniam pasakojimui reikės įvesti šiek tiek, grubiai tariant, tiesios linijos „apibendrinimą“. Šis „apibendrinimas“ bus lėktuvas. Ką tu žinai apie lėktuvą? Pabandykite atsakyti į klausimą, kas yra lėktuvas? Labai sunku pasakyti. Tačiau mes visi intuityviai įsivaizduojame, kaip tai atrodo:

Grubiai tariant, tai yra savotiškas begalinis „lapas“, įstumtas į erdvę. „Begalybė“ turėtų būti suprantama taip, kad plokštuma tęsiasi visomis kryptimis, tai yra, jos plotas yra lygus begalybei. Tačiau šis „praktiškas“ paaiškinimas neduoda nė menkiausio supratimo apie lėktuvo struktūrą. Ir būtent ji mumis susidomės.

Prisiminkime vieną iš pagrindinių geometrijos aksiomų:

• tiesi linija eina per du skirtingus plokštumos taškus ir tik vieną:

Arba jo analogas erdvėje:

Žinoma, jūs prisimenate, kaip iš dviejų nurodytų taškų išvesti tiesės lygtį: jei pirmasis taškas turi koordinates: o antrasis, tada tiesės lygtis bus tokia:

Jūs mokėjote tai 7 klasėje. Erdvėje tiesės lygtis atrodo taip: duokime du taškus su koordinatėmis: , tada per juos einančios tiesės lygtis turi tokią formą:

Pavyzdžiui, linija eina per taškus:

Kaip tai reikėtų suprasti? Tai turėtų būti suprantama taip: taškas yra tiesėje, jei jo koordinatės atitinka šią sistemą:

Tiesės lygtis mums nelabai bus įdomi, bet reikia atkreipti dėmesį į labai svarbią tiesės krypties vektoriaus sampratą. - bet koks nulinis vektorius, esantis tam tikroje tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Pavyzdžiui, abu vektoriai yra tiesės krypties vektoriai. Leisti būti tašku, esančiu ant linijos, ir tegul būti jo krypties vektoriumi. Tada tiesės lygtį galima parašyti tokia forma:

Dar kartą man nebus labai įdomi tiesės lygtis, bet man tikrai reikia, kad atsimintumėte, kas yra krypties vektorius! Dar kartą: tai BET koks nulinis vektorius, esantis tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Atsitraukti plokštumos lygtis, pagrįsta trimis taškais nebėra toks nereikšmingas, o vidurinės mokyklos kursuose šis klausimas paprastai nesprendžiamas. Bet veltui! Ši technika yra gyvybiškai svarbi, kai pasitelkiame koordinačių metodą sudėtingoms problemoms spręsti. Tačiau manau, kad trokštate išmokti ko nors naujo? Be to, universitete galėsite sužavėti savo dėstytoją, kai paaiškės, kad jau mokate naudoti techniką, kuri paprastai mokoma analitinės geometrijos kurse. Taigi pradėkime.

Plokštumos lygtis per daug nesiskiria nuo tiesės plokštumoje lygties, būtent, ji turi tokią formą:

kai kurie skaičiai (ne visi lygūs nuliui), bet kintamieji, pvz.: etc. Kaip matote, plokštumos lygtis nelabai skiriasi nuo tiesės (tiesinės funkcijos) lygties. Tačiau pamenate, dėl ko jūs ir aš ginčijosi? Sakėme, kad jei turime tris taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, tai iš jų galima vienareikšmiškai atkurti plokštumos lygtį. Bet kaip? Pabandysiu tau tai paaiškinti.

Kadangi plokštumos lygtis yra:

Ir taškai priklauso šiai plokštumai, tada pakeisdami kiekvieno taško koordinates į plokštumos lygtį, turėtume gauti teisingą tapatybę:

Taigi, reikia išspręsti tris lygtis su nežinomaisiais! Dilema! Tačiau visada galite manyti, kad (norėdami tai padaryti, turite padalyti iš). Taigi gauname tris lygtis su trimis nežinomaisiais:

Tačiau mes tokios sistemos neišspręsime, o išrašysime iš jos išplaukiančią paslaptingą išraišką:

Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis

\[\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(masyvas)) \right| = 0\]

Sustabdyti! Kas čia? Kažkoks labai neįprastas modulis! Tačiau objektas, kurį matote priešais save, neturi nieko bendra su moduliu. Šis objektas vadinamas trečios eilės determinantu. Nuo šiol, kai sprendžiate koordinačių metodą plokštumoje, labai dažnai susidursite su tais pačiais determinantais. Kas yra trečiosios eilės determinantas? Kaip bebūtų keista, tai tik skaičius. Belieka suprasti, kokį konkretų skaičių lyginsime su determinantu.

Pirmiausia parašykime trečios eilės determinantą bendresne forma:

Kur yra keletas skaičių. Be to, pirmuoju indeksu turime omenyje eilutės numerį, o indeksu - stulpelio numerį. Pavyzdžiui, tai reiškia, kad šis skaičius yra antrosios eilutės ir trečiojo stulpelio sankirtoje. Užduokime tokį klausimą: kaip tiksliai apskaičiuosime tokį determinantą? Tai yra, su kokiu konkrečiu skaičiumi lyginsime? Trečiosios eilės determinantui yra euristinio (vaizdinio) trikampio taisyklė, ji atrodo taip:

1. Pagrindinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį) pirmąjį trikampį sudarančių elementų sandauga „statmenai“ pagrindinei įstrižai, elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ sandauga pagrindinė įstrižainė
2. Antrinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinio dešiniojo kampo į apatinį kairįjį) pirmąjį trikampį sudarančių elementų sandauga „statmenai“ antrinei įstrižai, elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ sandauga. antrinė įstrižainė
3. Tada determinantas yra lygus skirtumui tarp verčių, gautų žingsnyje ir

Jei visa tai užrašysime skaičiais, gautume tokią išraišką:

Tačiau jums nereikia atsiminti skaičiavimo metodo šioje formoje, pakanka tik turėti galvoje trikampius ir pačią idėją, kas iš ko susideda ir kas iš ko atimama).

Iliustruojame trikampio metodą pavyzdžiu:

1. Apskaičiuokite determinantą:

Išsiaiškinkime, ką pridedame ir ką atimame:

Sąlygos su pliusu:

Tai yra pagrindinė įstrižainė: elementų sandauga yra lygi

Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra lygi

Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra lygi

Sudėkite tris skaičius:

Sąlygos su minusu

Tai šoninė įstrižainė: elementų sandauga lygi

Pirmasis trikampis, „statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga lygi

Antrasis trikampis, „statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga lygi

Sudėkite tris skaičius:

Viskas, ką reikia padaryti, tai atimti „pliuso“ terminų sumą iš „minuso“ terminų sumos:

Taigi,

Kaip matote, skaičiuojant trečiosios eilės determinantus nėra nieko sudėtingo ar antgamtiško. Tiesiog svarbu atsiminti apie trikampius ir nedaryti aritmetinių klaidų. Dabar pabandykite tai apskaičiuoti patys:

Mes tikriname:

1. Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
2. Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
3. Terminų suma su pliusu:
4. Pirmasis trikampis, statmenas antrinei įstrižai:
5. Antrasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
6. Terminų suma su minusu:
7. Terminų su pliusu suma atėmus terminų su minusu sumą:

Štai dar pora determinantų, patys apskaičiuokite jų vertes ir palyginkite su atsakymais:

Atsakymai:

Na, ar viskas sutapo? Puiku, tada galite judėti toliau! Jei kyla sunkumų, mano patarimas yra toks: internete yra daug programų, skirtų determinantui apskaičiuoti internete. Tereikia sugalvoti savo determinantą, pačiam jį apskaičiuoti ir tada palyginti su tuo, ką apskaičiuoja programa. Ir taip toliau, kol rezultatai pradės sutapti. Esu tikras, kad ši akimirka neužtruks!

Dabar grįžkime prie determinanto, kurį parašiau, kai kalbėjau apie plokštumos, kertančios tris duotus taškus, lygtį:

Viskas, ko jums reikia, yra tiesiogiai apskaičiuoti jo vertę (naudojant trikampio metodą) ir nustatyti rezultatą į nulį. Žinoma, kadangi tai yra kintamieji, gausite tam tikrą išraišką, kuri priklauso nuo jų. Būtent ši išraiška bus lygtis plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje!

Paaiškinkime tai paprastu pavyzdžiu:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Mes sudarome šių trijų taškų determinantą:

Supaprastinkime:

Dabar apskaičiuojame tiesiogiai naudodami trikampio taisyklę:

\[(\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(masyvas)) \ dešinė|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Taigi plokštumos, einančios per taškus, lygtis yra tokia:

Dabar pabandykite patys išspręsti vieną problemą, tada mes ją aptarsime:

2. Raskite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Na, dabar aptarkime sprendimą:

Sukurkime determinantą:

Ir apskaičiuokite jo vertę:

Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba sumažinus, gauname:

Dabar dvi savikontrolės užduotys:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per tris taškus, lygtį:

Atsakymai:

Ar viskas sutapo? Vėlgi, jei yra tam tikrų sunkumų, mano patarimas yra toks: paimkite tris taškus iš galvos (su didele tikimybe, kad jie nebus toje pačioje tiesėje), pagal juos sukurkite plokštumą. Ir tada jūs patikrinate save internete. Pavyzdžiui, svetainėje:

Tačiau determinantų pagalba sukonstruosime ne tik plokštumos lygtį. Prisiminkite, sakiau, kad vektoriams apibrėžiamas ne tik taškinis produktas. Taip pat yra vektorinis produktas, taip pat mišrus produktas. Ir jei dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius, tai dviejų vektorių vektorinė sandauga bus vektorius, o šis vektorius bus statmenas duotiesiems:

Be to, jo modulis bus lygus lygiagretainio, pastatyto ant vektorių ir, plotui. Mums reikės šio vektoriaus, kad galėtume apskaičiuoti atstumą nuo taško iki linijos. Kaip galime apskaičiuoti vektorių sandaugą ir, jei pateiktos jų koordinatės? Trečios eilės determinantas vėl ateina mums į pagalbą. Tačiau prieš pereinant prie vektorinės sandaugos skaičiavimo algoritmo, turiu padaryti nedidelį nukrypimą.

Šis nukrypimas susijęs su baziniais vektoriais.

Jie schematiškai parodyti paveikslėlyje:

Kodėl manote, kad jie vadinami pagrindiniais? Faktas yra tas, kad:

Arba nuotraukoje:

Šios formulės pagrįstumas yra akivaizdus, ​​nes:

Vektorinis meno kūrinys

Dabar galiu pradėti pristatyti kryžminį produktą:

Dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, kuris apskaičiuojamas pagal šią taisyklę:

Dabar pateiksime keletą kryžminio sandaugų skaičiavimo pavyzdžių:

1 pavyzdys: Raskite vektorių kryžminę sandaugą:

Sprendimas: Sudarau determinantą:

Ir aš paskaičiuoju:

Dabar, rašydamas bazinius vektorius, grįšiu prie įprasto vektorinio žymėjimo:

Taigi:

Dabar pabandykite.

Pasiruošę? Mes tikriname:

Ir tradiciškai du kontrolės užduotys:

1. Raskite šių vektorių vektorinę sandaugą:
2. Raskite šių vektorių vektorinę sandaugą:

Atsakymai:

Mišrus trijų vektorių sandauga

Paskutinė konstrukcija, kurios man prireiks, yra trijų vektorių mišrus sandauga. Tai, kaip ir skaliaras, yra skaičius. Yra du būdai jį apskaičiuoti. - per determinantą, - per mišrų produktą.

Būtent, duokite mums tris vektorius:

Tada trijų vektorių, žymimų mišrią sandaugą, galima apskaičiuoti taip:

1. – tai yra, mišrus sandauga yra vektoriaus skaliarinė sandauga ir dviejų kitų vektorių vektorinė sandauga

Pavyzdžiui, trijų vektorių mišrus sandauga yra:

Pabandykite patys apskaičiuoti naudodami vektorinę sandaugą ir įsitikinkite, kad rezultatai sutampa!

Ir vėl du nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai:

Atsakymai:

Koordinačių sistemos pasirinkimas

Na, o dabar turime visas reikalingas žinias, kad galėtume išspręsti sudėtingas stereometrinės geometrijos problemas. Tačiau prieš pereinant tiesiai prie pavyzdžių ir jų sprendimo algoritmų, manau, bus naudinga pasilikti prie šio klausimo: kaip tiksliai pasirinkti tam tikros figūros koordinačių sistemą. Juk nuo koordinačių sistemos ir figūros santykinės padėties erdvėje pasirinkimas galiausiai lems, kiek sudėtingi bus skaičiavimai.

Leiskite jums priminti, kad šiame skyriuje nagrinėjame šiuos skaičius:

1. Stačiakampis gretasienis
2. Tiesi prizmė (trikampė, šešiakampė...)
3. Piramidė (trikampė, keturkampė)
4. Tetraedras (tas pats kaip trikampė piramidė)

Stačiakampiui gretasieniui arba kubui rekomenduoju tokią konstrukciją:

Tai yra, aš pastatysiu figūrą „kampe“. Kubas ir gretasienis yra labai geros figūros. Jiems visada nesunkiai galite rasti jo viršūnių koordinates. Pavyzdžiui, jei (kaip parodyta paveikslėlyje)

tada viršūnių koordinatės yra tokios:

Žinoma, nereikia to prisiminti, tačiau patartina prisiminti, kaip geriausia išdėstyti kubą ar stačiakampį gretasienį.

Tiesi prizmė

Prizmė yra žalingesnė figūra. Jis gali būti išdėstytas erdvėje įvairiais būdais. Tačiau man priimtiniausias atrodo toks variantas:

Trikampė prizmė:

Tai reiškia, kad vieną iš trikampio kraštinių visiškai pastatome ant ašies, o viena iš viršūnių sutampa su koordinačių pradžia.

Šešiakampė prizmė:

Tai yra, viena iš viršūnių sutampa su pradžia, o viena iš kraštinių yra ant ašies.

Keturkampė ir šešiakampė piramidė:

Situacija panaši į kubą: dvi pagrindo puses sulygiuojame su koordinačių ašimis, o vieną iš viršūnių sulyginame su koordinačių pradžia. Vienintelis nedidelis sunkumas bus apskaičiuoti taško koordinates.

Šešiakampei piramidei – tas pats, kas šešiakampei prizmei. Pagrindinis uždavinys vėl bus surasti viršūnės koordinates.

Tetraedras (trikampė piramidė)

Situacija labai panaši į tą, kurią pateikiau trikampei prizmei: viena viršūnė sutampa su pradžia, viena pusė guli koordinačių ašyje.

Na, dabar jūs ir aš pagaliau esame netoli nuo to, kad pradėtume spręsti problemas. Iš to, ką sakiau pačioje straipsnio pradžioje, galite padaryti tokią išvadą: dauguma C2 problemų yra suskirstytos į 2 kategorijas: kampo problemos ir atstumo problemos. Pirmiausia panagrinėsime kampo paieškos problemas. Jie savo ruožtu skirstomi į šias kategorijas (didėjant sudėtingumui):

Problemos ieškant kampų

1. Kampo tarp dviejų tiesių nustatymas
2. Kampo tarp dviejų plokštumų nustatymas

Pažvelkime į šias problemas nuosekliai: pradėkime nuo kampo tarp dviejų tiesių. Na, atsiminkite, ar mes su jumis anksčiau nesprendėme panašių pavyzdžių? Ar pamenate, mes jau turėjome kažką panašaus... Ieškojome kampo tarp dviejų vektorių. Leiskite jums priminti, jei pateikti du vektoriai: ir, tada kampas tarp jų randamas iš santykio:

Dabar mūsų tikslas yra rasti kampą tarp dviejų tiesių. Pažvelkime į „plokštą paveikslėlį“:

Kiek kampų gavome, kai susikerta dvi tiesės? Tik keli dalykai. Tiesa, tik dvi iš jų yra nelygios, o kitos yra joms vertikalios (taigi su jais sutampa). Taigi, kurį kampą turėtume laikyti kampu tarp dviejų tiesių: ar? Čia yra taisyklė: kampas tarp dviejų tiesių visada yra ne didesnis kaip laipsniai. Tai yra, iš dviejų kampų visada rinksimės kampą su mažiausiu laipsnio matu. Tai yra, šiame paveikslėlyje kampas tarp dviejų tiesių yra lygus. Kad nereikėtų kiekvieną kartą vargti ieškant mažiausio iš dviejų kampų, gudrūs matematikai pasiūlė naudoti modulį. Taigi kampas tarp dviejų tiesių nustatomas pagal formulę:

Jums, kaip dėmesingam skaitytojui, turėjo kilti klausimas: iš kur tiksliai gauname tuos pačius skaičius, kurių reikia kampo kosinusui apskaičiuoti? Atsakymas: mes juos paimsime iš linijų krypties vektorių! Taigi kampo tarp dviejų tiesių nustatymo algoritmas yra toks:

1. Taikome 1 formulę.

Arba išsamiau:

1. Ieškome pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
2. Ieškome antrosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
3. Apskaičiuojame jų skaliarinės sandaugos modulį
4. Mes ieškome pirmojo vektoriaus ilgio
5. Mes ieškome antrojo vektoriaus ilgio
6. 4 punkto rezultatus padauginkite iš 5 punkto rezultatų
7. 3 taško rezultatą padalijame iš 6 taško rezultato. Gauname kampo tarp tiesių kosinusą
8. Jei šis rezultatas leidžia tiksliai apskaičiuoti kampą, mes jo ieškome
9. Kitu atveju rašome per lanko kosinusą

Na, o dabar metas pereiti prie problemų: pirmųjų dviejų sprendimą pademonstruosiu išsamiai, kitos – trumpai pateiksiu sprendimą, o į paskutines dvi užduotis pateiksiu tik atsakymus; visus jų skaičiavimus turite atlikti patys.

Užduotys:

1. Dešinėje tet-ra-ed-re raskite kampą tarp tet-ra-ed-ra aukščio ir vidurinės pusės.

2. Dešiniajame šešių kampų pi-ra-mi-de šimtas os-no-va-niyų yra lygūs, o šoninės briaunos lygios, raskite kampą tarp linijų ir.

3. Dešiniosios keturių anglių pi-ra-mi-dy visų kraštinių ilgiai lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesių ir jei nuo pjūvio - esate su duotu pi-ra-mi-dy, taškas yra se-re-di-ant jo bo-co- antrojo šonkaulių

4. Kubo krašte yra taškas, kad Raskite kampą tarp tiesių ir

5. Taškas – kubo kraštuose Raskite kampą tarp tiesių ir.

Neatsitiktinai užduotis išdėliojau tokia tvarka. Kol dar nepradėjote naršyti koordinačių metodu, aš pats analizuosiu „problemiškiausias“ figūras ir paliksiu jums spręsti paprasčiausią kubą! Palaipsniui teks išmokti dirbti su visomis figūromis, didinsiu užduočių sudėtingumą nuo temos iki temos.

Pradėkime spręsti problemas:

1. Nubraižykite tetraedrą, įdėkite jį į koordinačių sistemą, kaip siūliau anksčiau. Kadangi tetraedras yra taisyklingas, visi jo paviršiai (įskaitant pagrindą) yra taisyklingi trikampiai. Kadangi mums nenurodytas kraštinės ilgis, galiu priimti jį kaip lygų. Manau, jūs suprantate, kad kampas iš tikrųjų nepriklausys nuo to, kiek mūsų tetraedras yra „ištemptas“? Taip pat nubrėžiu aukštį ir medianą tetraedre. Pakeliui nupiešiu jo pagrindą (mums irgi pravers).

Turiu rasti kampą tarp ir. Ką mes žinome? Žinome tik taško koordinates. Tai reiškia, kad turime rasti taškų koordinates. Dabar galvojame: taškas yra trikampio aukščių (arba pusiausvyrų arba medianų) susikirtimo taškas. Ir taškas yra pakeltas taškas. Taškas yra segmento vidurys. Tada pagaliau reikia rasti: taškų koordinates: .

Pradėkime nuo paprasčiausio dalyko: taško koordinačių. Pažvelkite į paveikslą: Aišku, kad taško aplikacija yra lygi nuliui (taškas yra plokštumoje). Jo ordinatė yra lygi (nes ji yra mediana). Sunkiau rasti jo abscisę. Tačiau tai nesunku padaryti remiantis Pitagoro teorema: Apsvarstykite trikampį. Jo hipotenuzė yra lygi, o viena iš jo kojų lygi Tada:

Pagaliau turime:.

Dabar suraskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo taikymas vėl yra lygus nuliui, o jo ordinatė yra tokia pati kaip taško, tai yra. Raskime jo abscisę. Tai daroma gana trivialiai, jei tai prisimenate lygiakraščio trikampio aukščiai pagal susikirtimo tašką dalijami proporcingai, skaičiuojant nuo viršaus. Kadangi: , tai taško reikiamoji abscisė, lygi atkarpos ilgiui, yra lygi: . Taigi taško koordinatės yra šios:

Raskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Ir aplikacija yra lygi segmento ilgiui. - tai viena iš trikampio kojų. Trikampio hipotenuzė yra atkarpa – koja. Jo ieškoma dėl priežasčių, kurias paryškinau paryškintu šriftu:

Taškas yra segmento vidurys. Tada turime prisiminti atkarpos vidurio taško koordinačių formulę:

Tai viskas, dabar galime ieškoti krypties vektorių koordinačių:

Na, viskas paruošta: visus duomenis pakeičiame į formulę:

Taigi,

Atsakymas:

Neturėtumėte išsigąsti tokių „baisių“ atsakymų: atliekant C2 užduotis tai įprasta. Mane labiau nustebins „gražus“ atsakymas šioje dalyje. Be to, kaip pastebėjote, aš praktiškai nesinaudojau niekuo kitu, išskyrus Pitagoro teoremą ir lygiakraščio trikampio aukščių savybę. Tai yra, norėdamas išspręsti stereometrinę problemą, aš panaudojau minimalų stereometrijos kiekį. Šio pelno padidėjimas iš dalies „užgesinamas“ gana sudėtingais skaičiavimais. Bet jie yra gana algoritmiški!

2. Pavaizduokime taisyklingą šešiakampę piramidę kartu su koordinačių sistema ir jos pagrindu:

Turime rasti kampą tarp linijų ir. Taigi mūsų užduotis yra rasti taškų koordinates: . Paskutiniųjų trijų koordinates rasime naudodami nedidelį piešinį, o viršūnės koordinates – per taško koordinatę. Darbo yra daug, bet mes turime pradėti!

a) Koordinatė: aišku, kad jos aplikacija ir ordinatė yra lygios nuliui. Raskime abscisę. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį. Deja, mes žinome tik hipotenuzą, kuri yra lygi. Bandysime surasti koją (nes aišku, kad dvigubai ilgesnis kojos ilgis suteiks taško abscisę). Kaip mes galime jo ieškoti? Prisiminkime, kokią figūrą turime piramidės pagrinde? Tai įprastas šešiakampis. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs. Turime rasti vieną tokį kampą. Kokiu nors ideju? Idėjų yra daug, bet yra formulė:

Taisyklingo n kampo kampų suma yra .

Taigi taisyklingo šešiakampio kampų suma lygi laipsniams. Tada kiekvienas kampas yra lygus:

Dar kartą pažiūrėkime į paveikslėlį. Akivaizdu, kad atkarpa yra kampo pusiausvyra. Tada kampas lygus laipsniams. Tada:

Tada iš kur.

Taigi, turi koordinates

b) Dabar galime lengvai rasti taško koordinatę: .

c) Raskite taško koordinates. Kadangi jo abscisė sutampa su atkarpos ilgiu, ji yra lygi. Surasti ordinates taip pat nėra labai sunku: jei sujungsime taškus ir tiesės susikirtimo tašką nurodysime, tarkime, . (pasidaryk pats paprasta konstrukcija). Tada Taigi taško B ordinatė yra lygi atkarpų ilgių sumai. Dar kartą pažvelkime į trikampį. Tada

Tada nuo Tada taškas turi koordinates

d) Dabar suraskime taško koordinates. Apsvarstykite stačiakampį ir įrodykite, kad Taigi taško koordinatės yra:

e) Belieka rasti viršūnės koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Raskime taikymą. Nuo tada. Apsvarstykite statųjį trikampį. Pagal problemos sąlygas šoninis kraštas. Tai mano trikampio hipotenuzė. Tada piramidės aukštis yra koja.

Tada taškas turi koordinates:

Na, tiek, turiu visų mane dominančių taškų koordinates. Ieškau tiesių krypties vektorių koordinačių:

Mes ieškome kampo tarp šių vektorių:

Atsakymas:

Vėlgi, spręsdamas šią problemą nenaudojau jokių sudėtingų metodų, išskyrus taisyklingo n kampo kampų sumos formulę, taip pat stačiojo trikampio kosinuso ir sinuso apibrėžimą.

3. Kadangi mums vėlgi neduoti piramidės briaunų ilgiai, aš juos laikysiu lygiais vienetui. Taigi, kadangi VISOS briaunos, o ne tik šoninės, yra lygios viena kitai, tai piramidės pagrindu ir aš yra kvadratas, o šoniniai paviršiai yra taisyklingi trikampiai. Nubraižykime tokią piramidę, taip pat jos pagrindą plokštumoje, atkreipdami dėmesį į visus uždavinio tekste pateiktus duomenis:

Mes ieškome kampo tarp ir. Labai trumpai paskaičiuosiu, kai ieškosiu taškų koordinačių. Turėsite juos „iššifruoti“:

b) - atkarpos vidurys. Jo koordinatės:

c) Atkarpos ilgį surasiu naudodamas Pitagoro teoremą trikampyje. Galiu jį rasti naudodamas Pitagoro teoremą trikampyje.

Koordinatės:

d) - atkarpos vidurys. Jo koordinatės yra

e) Vektorių koordinatės

f) Vektorių koordinatės

g) Ieškau kampo:

Kubas yra paprasčiausia figūra. Esu tikras, kad tai išsiaiškinsi pats. Atsakymai į 4 ir 5 uždavinius yra tokie:

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas

Na, paprastų galvosūkių laikas baigėsi! Dabar pavyzdžiai bus dar sudėtingesni. Norėdami rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos, atliksime šiuos veiksmus:

1. Naudodami tris taškus sudarome plokštumos lygtį
   ,
   naudojant trečiosios eilės determinantą.
2. Naudodami du taškus ieškome tiesės krypties vektoriaus koordinačių:
3. Kampui tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuoti taikome formulę:

Kaip matote, ši formulė yra labai panaši į tą, kurią naudojome norėdami rasti kampus tarp dviejų tiesių. Dešinėje pusėje struktūra tiesiog tokia pati, o kairėje dabar ieškome sinuso, o ne kosinuso, kaip anksčiau. Na, buvo pridėtas vienas bjaurus veiksmas – plokštumos lygties paieška.

Neatidėliokime sprendimų pavyzdžiai:

1. Pagrindinė-bet-va-ni-em tiesioginė prizmė-mes esame lygus ir prastas trikampis. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos

2. Stačiakampėje par-ral-le-le-pi-pe-de iš vakarų Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos

3. Dešiniojoje šešiakampėje prizmėje visos briaunos lygios. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos.

4. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su žinomų briaunų os-no-va-ni-em Raskite kampą, ob-ra-zo-van -plokščias pagrindo ir tiesus, einantis per pilką. šonkauliai ir

5. Stačiojo keturkampio pi-ra-mi-dy su viršūne visų kraštinių ilgiai lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos, jei taškas yra pi-ra-mi-dy krašto pusėje.

Vėlgi, pirmąsias dvi problemas išspręsiu išsamiai, trečiąją – trumpai, o paskutines dvi paliksiu spręsti patiems. Be to, jau teko susidurti su trikampėmis ir keturkampėmis piramidėmis, bet dar ne su prizmėmis.

Sprendimai:

1. Pavaizduokime prizmę, taip pat jos pagrindą. Sujungkime ją su koordinačių sistema ir pažymime visus problemos teiginyje pateiktus duomenis:

Atsiprašau už proporcijų nesilaikymą, bet problemos sprendimui tai iš tikrųjų nėra taip svarbu. Lėktuvas yra tiesiog mano prizmės „galinė siena“. Pakanka tiesiog atspėti, kad tokios plokštumos lygtis turi tokią formą:

Tačiau tai gali būti parodyta tiesiogiai:

Parinkime savavališkus tris šios plokštumos taškus: pavyzdžiui, .

Sukurkime plokštumos lygtį:

Pratimas jums: apskaičiuokite šį determinantą patys. Ar pavyko? Tada plokštumos lygtis atrodo taip:

Arba tiesiog

Taigi,

Norėdami išspręsti pavyzdį, turiu rasti tiesės krypties vektoriaus koordinates. Kadangi taškas sutampa su koordinačių pradžia, vektoriaus koordinatės tiesiog sutaps su taško koordinatėmis.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite trikampį. Nubrėžkime aukštį (taip pat žinomą kaip mediana ir pusiausvyra) iš viršūnės. Kadangi taško ordinatė yra lygi. Norėdami rasti šio taško abscisę, turime apskaičiuoti atkarpos ilgį. Pagal Pitagoro teoremą turime:

Tada taškas turi koordinates:

Taškas yra „pakeltas“ taškas:

Tada vektoriaus koordinatės yra:

Atsakymas:

Kaip matote, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Tiesą sakant, procesą šiek tiek supaprastina tokios figūros, kaip prizmė, „tiesumas“. Dabar pereikime prie kito pavyzdžio:

2. Nubrėžkite gretasienį, nubrėžkite jame plokštumą ir tiesią liniją, taip pat atskirai nubrėžkite jos apatinį pagrindą:

Pirmiausia randame plokštumos lygtį: Trijų joje esančių taškų koordinatės:

(pirmosios dvi koordinatės gaunamos akivaizdžiai, o paskutinę koordinatę galite lengvai rasti paveikslėlyje iš taško). Tada sudarome plokštumos lygtį:

Skaičiuojame:

Mes ieškome kreipiamojo vektoriaus koordinačių: aišku, kad jo koordinatės sutampa su taško koordinatėmis, ar ne? Kaip rasti koordinates? Tai yra taško koordinatės, pakeltos išilgai taikymo ašies vienu! . Tada ieškome norimo kampo:

Atsakymas:

3. Nubrėžkite taisyklingą šešiakampę piramidę, tada nubrėžkite plokštumą ir tiesią liniją.

Čia net problematiška nubrėžti plokštumą, jau nekalbant apie šios problemos sprendimą, tačiau koordinačių metodas nerūpi! Jo universalumas yra pagrindinis privalumas!

Lėktuvas kerta tris taškus: . Ieškome jų koordinačių:

1) . Paskutinių dviejų taškų koordinates sužinokite patys. Tam jums reikės išspręsti šešiakampės piramidės problemą!

2) Sudarome plokštumos lygtį:

Ieškome vektoriaus koordinačių: . (Dar kartą žiūrėkite trikampės piramidės problemą!)

3) Ieškau kampo:

Atsakymas:

Kaip matote, šiose užduotyse nėra nieko antgamtiškai sudėtingo. Tik reikia labai atsargiai elgtis su šaknimis. Pateiksiu atsakymus tik į paskutines dvi problemas:

Kaip matote, uždavinių sprendimo technika visur yra vienoda: pagrindinė užduotis yra surasti viršūnių koordinates ir jas pakeisti tam tikromis formulėmis. Dar turime apsvarstyti dar vieną kampų skaičiavimo problemų klasę, būtent:

Kampų tarp dviejų plokštumų skaičiavimas

Sprendimo algoritmas bus toks:

1. Naudodami tris taškus ieškome pirmosios plokštumos lygties:
2. Naudodami kitus tris taškus ieškome antrosios plokštumos lygties:
3. Taikome formulę:

Kaip matote, formulė labai panaši į dvi ankstesnes, kurių pagalba ieškojome kampų tarp tiesių ir tarp tiesės ir plokštumos. Taigi jums nebus sunku tai prisiminti. Pereikime prie užduočių analizės:

1. Dešiniosios trikampės prizmės pagrindo kraštinė lygi, o šoninio paviršiaus įstrižainė lygi. Raskite kampą tarp plokštumos ir prizmės ašies plokštumos.

2. Dešiniajame keturių kampų pi-ra-mi-de, kurio visos briaunos lygios, raskite kampo tarp plokštumos ir plokštumos kaulo sinusą, einantį per tašką per-pen-di-ku- melas-bet tiesus.

3. Įprastoje keturių kampų prizmėje pagrindo kraštinės yra lygios, o šoninės briaunos yra lygios. Yra taškas ant krašto nuo-me-che-on, kad. Raskite kampą tarp plokštumų ir

4. Stačiojoje keturkampėje prizmėje pagrindo kraštinės lygios, o šoninės briaunos lygios. Kraštinėje nuo taško yra taškas, kad Raskite kampą tarp plokštumų ir.

5. Kube raskite kampo tarp plokštumų ir ko-siusą

Problemos sprendimai:

1. Nupiešiu taisyklingą (lygiakraščio trikampio prie pagrindo) trikampę prizmę ir pažymiu joje plokštumas, kurios atsiranda uždavinio teiginyje:

Turime rasti dviejų plokštumų lygtis: Pagrindo lygtis yra triviali: galite sudaryti atitinkamą determinantą naudodami tris taškus, bet aš sudarysiu lygtį iš karto:

Dabar suraskime lygtį Taškas turi koordinates Taškas – kadangi yra trikampio mediana ir aukštis, ją nesunku rasti trikampyje naudojant Pitagoro teoremą. Tada taškas turi koordinates: Raskime taško aplikaciją

Tada gauname tokias koordinates: Sudarome plokštumos lygtį.

Apskaičiuojame kampą tarp plokštumų:

Atsakymas:

2. Piešinio sudarymas:

Sunkiausia suprasti, kokia tai paslaptinga plokštuma, einanti statmenai per tašką. Na, svarbiausia, kas tai yra? Svarbiausia - dėmesingumas! Tiesą sakant, linija yra statmena. Tiesi linija taip pat yra statmena. Tada plokštuma, einanti per šias dvi tieses, bus statmena tiesei ir, beje, eis per tašką. Ši plokštuma taip pat eina per piramidės viršūnę. Tada norimas lėktuvas – Ir lėktuvas mums jau atiduotas. Ieškome taškų koordinačių.

Per tašką randame taško koordinatę. Iš mažo paveiksliuko nesunku numanyti, kad taško koordinatės bus tokios: Ką dabar belieka rasti, norint rasti piramidės viršūnės koordinates? Taip pat reikia apskaičiuoti jo aukštį. Tai daroma naudojant tą pačią Pitagoro teoremą: pirmiausia įrodykite tai (trivialiai iš mažų trikampių, sudarančių kvadratą prie pagrindo). Kadangi pagal sąlygas turime:

Dabar viskas paruošta: viršūnių koordinatės:

Sudarome plokštumos lygtį:

Jūs jau esate determinantų skaičiavimo ekspertas. Be sunkumų gausite:

Arba kitaip (jei abi puses padauginsime iš dviejų šaknies)

Dabar raskime plokštumos lygtį:

(Jūs nepamiršote, kaip gauname plokštumos lygtį, tiesa? Jei nesuprantate, iš kur atsirado šis minusas, grįžkite prie plokštumos lygties apibrėžimo! Tiesiog visada paaiškėjo prieš tai mano lėktuvas priklausė koordinačių pradžiai!)

Apskaičiuojame determinantą:

(Galite pastebėti, kad plokštumos lygtis sutampa su linijos, einančios per taškus, lygtimi ir! Pagalvokite, kodėl!)

Dabar apskaičiuokime kampą:

Turime rasti sinusą:

Atsakymas:

3. Sudėtingas klausimas: kas, jūsų nuomone, yra stačiakampė prizmė? Tai tik gretasienis, kurį gerai žinote! Nedelsdami nupieškime! Jums net nereikia vaizduoti pagrindo, tai čia mažai naudinga:

Plokštuma, kaip minėjome anksčiau, parašyta lygties forma:

Dabar sukurkime plokštumą

Iš karto sukuriame plokštumos lygtį:

Ieškau kampo:

Dabar atsakymai į paskutines dvi problemas:

Na, dabar pats laikas šiek tiek pailsėti, nes jūs ir aš esame puikūs ir padarėme puikų darbą!

Koordinatės ir vektoriai. Pažengęs lygis

Šiame straipsnyje aptarsime su jumis dar vieną problemų, kurias galima išspręsti koordinačių metodu, klasę: atstumo skaičiavimo uždavinius. Būtent, mes nagrinėsime šiuos atvejus:

1. Atstumo tarp susikertančių tiesių apskaičiavimas.

Užsakiau šias užduotis vis sudėtingesnio tvarka. Pasirodo, tai lengviausia rasti atstumas nuo taško iki plokštumos, o sunkiausia rasti atstumas tarp susikertančių linijų. Nors, žinoma, nieko nėra neįmanomo! Neatidėliokime ir iškart pradėkime svarstyti pirmąją problemų klasę:

Atstumo nuo taško iki plokštumos apskaičiavimas

Ko mums reikia norint išspręsti šią problemą?

1. Taško koordinatės

Taigi, kai tik gauname visus reikiamus duomenis, taikome formulę:

Jau turėtumėte žinoti, kaip sudarome plokštumos lygtį iš ankstesnių problemų, kurias aptariau paskutinėje dalyje. Pereikime tiesiai prie užduočių. Schema yra tokia: 1, 2 - aš padedu apsispręsti, o kiek detaliau, 3, 4 - tik atsakymas, sprendimą atliekate pats ir palyginate. Pradėkime!

Užduotys:

1. Duotas kubas. Kubo krašto ilgis lygus. Raskite atstumą nuo se-re-di-na nuo pjūvio iki plokštumos

2. Atsižvelgiant į dešinę keturių anglių pi-ra-mi-taip, šono pusė yra lygi pagrindui. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos, kur - se-re-di-ant briaunų.

3. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-no-va-ni-em šoninis kraštas yra lygus, o šimtas-ro-ant os-no-vania yra lygus. Raskite atstumą nuo viršaus iki plokštumos.

4. Dešiniojoje šešiakampėje prizmėje visos briaunos lygios. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos.

Sprendimai:

1. Nubraižykite kubą su viena briauna, sukonstruokite atkarpą ir plokštumą, atkarpos vidurį pažymėkite raide

.

Pirmiausia pradėkime nuo lengvo: raskite taško koordinates. Nuo tada (atminkite atkarpos vidurio koordinates!)

Dabar mes sudarome plokštumos lygtį naudodami tris taškus

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(masyvas)) \right| = 0\]

Dabar galiu pradėti ieškoti atstumo:

2. Vėl pradedame nuo piešinio, ant kurio pažymime visus duomenis!

Piramidei būtų naudinga atskirai nubraižyti jos pagrindą.

Net ir tai, kad piešiu kaip višta su letenėle, nesutrukdys mums lengvai išspręsti šios problemos!

Dabar lengva rasti taško koordinates

Kadangi taško koordinatės, tada

2. Kadangi taško a koordinatės yra atkarpos vidurys, tai

Be jokių problemų galime rasti dar dviejų plokštumos taškų koordinates. Sudarome plokštumos lygtį ir ją supaprastiname:

\[\left| (\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(masyvas)) \right|) \right| = 0\]

Kadangi taškas turi koordinates: , apskaičiuojame atstumą:

Atsakymas (labai retai!):

Na, ar sugalvojai? Man atrodo, kad čia viskas taip pat techniška, kaip ir pavyzdžiuose, kuriuos žiūrėjome ankstesnėje dalyje. Tad esu tikras, kad jei tą medžiagą įvaldysite, tuomet jums nebus sunku išspręsti likusias dvi problemas. Aš tik pateiksiu jums atsakymus:

Atstumo nuo tiesės iki plokštumos apskaičiavimas

Tiesą sakant, čia nieko naujo. Kaip tiesė ir plokštuma gali būti išdėstytos viena kitos atžvilgiu? Jie turi tik vieną galimybę: susikirsti arba tiesė yra lygiagreti plokštumai. Koks, jūsų nuomone, yra atstumas nuo tiesės iki plokštumos, su kuria ši tiesė kertasi? Man atrodo, kad čia aišku, kad toks atstumas lygus nuliui. Neįdomus atvejis.

Antrasis atvejis yra sudėtingesnis: čia atstumas jau nėra nulis. Tačiau kadangi linija yra lygiagreti plokštumai, kiekvienas linijos taškas yra vienodu atstumu nuo šios plokštumos:

Taigi:

Tai reiškia, kad mano užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės: mes ieškome bet kurio tiesės taško koordinačių, ieškome plokštumos lygties ir apskaičiuojame atstumą nuo taško iki plokštumos. Tiesą sakant, tokios užduotys vieningame valstybiniame egzamine yra labai retos. Man pavyko rasti tik vieną problemą, o joje esantys duomenys buvo tokie, kad koordinačių metodas jai nelabai tinka!

Dabar pereikime prie kitos, daug svarbesnės problemų klasės:

Taško atstumo iki tiesės apskaičiavimas

Ko mums reikia?

1. Taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinatės:

2. Bet kurio taško, esančio tiesėje, koordinatės

3. Tiesės krypties vektoriaus koordinatės

Kokią formulę naudojame?

Jums turėtų būti aišku, ką reiškia šios trupmenos vardiklis: tai yra tiesės krypties vektoriaus ilgis. Tai labai sudėtingas skaitiklis! Išraiška reiškia vektorių vektorinės sandaugos modulį (ilgį) ir Kaip apskaičiuoti vektorinę sandaugą, nagrinėjome ankstesnėje darbo dalyje. Atnaujinkite savo žinias, dabar mums jų labai prireiks!

Taigi problemų sprendimo algoritmas bus toks:

1. Ieškome taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinačių:

2. Ieškome bet kurio linijos taško, iki kurio ieškome atstumo, koordinačių:

3. Sukurkite vektorių

4. Sukurkite tiesės nukreipimo vektorių

5. Apskaičiuokite vektorinę sandaugą

6. Raskite gauto vektoriaus ilgį:

7. Apskaičiuokite atstumą:

Turime daug nuveikti, o pavyzdžiai bus gana sudėtingi! Taigi dabar sutelkite visą savo dėmesį!

1. Duota stačiakampė pi-ra-mi-da su viršūne. Šimtas-ro, remiantis pi-ra-mi-dy, yra lygus, jūs esate lygūs. Raskite atstumą nuo pilko krašto iki tiesios linijos, kur taškai ir yra pilki kraštai ir nuo veterinarijos.

2. Šonkaulių ir tiesiojo kampo-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da ilgiai yra atitinkamai lygūs ir Raskite atstumą nuo viršaus iki tiesės

3. Dešiniojoje šešiakampėje prizmėje visos briaunos lygios, raskite atstumą nuo taško iki tiesės

Sprendimai:

1. Padarome tvarkingą piešinį, kuriame pažymime visus duomenis:

Turime daug darbo! Pirmiausia norėčiau žodžiais apibūdinti, ko ieškosime ir kokia tvarka:

1. Taškų koordinatės ir

2. Taško koordinatės

3. Taškų koordinatės ir

4. Vektorių koordinatės ir

5. Jų kryžminis produktas

6. Vektoriaus ilgis

7. Vektorinės sandaugos ilgis

8. Atstumas nuo iki

Na, mūsų laukia daug darbo! Pradėkime tai pasiraitoję rankoves!

1. Norėdami rasti piramidės aukščio koordinates, turime žinoti taško koordinates, o jo abscisė yra lygi atkarpos ilgiui lygiakraštis trikampis, jis yra padalintas į santykį, skaičiuojant nuo viršūnės, iš čia. Galiausiai gavome koordinates:

Taško koordinatės

2. - segmento vidurys

3. - segmento vidurys

Atkarpos vidurio taškas

4.Koordinatės

Vektorinės koordinatės

5. Apskaičiuokite vektorinę sandaugą:

6. Vektoriaus ilgis: lengviausias būdas pakeisti atkarpą yra trikampio vidurio linija, o tai reiškia, kad ji yra lygi pusei pagrindo. Taigi.

7. Apskaičiuokite vektorinės sandaugos ilgį:

8. Galiausiai randame atstumą:

Uh, viskas! Pasakysiu nuoširdžiai: šią problemą išspręsti naudojant tradicinius metodus (statant) būtų daug greičiau. Bet čia aš viską sumažinau iki paruošto algoritmo! Manau, jums aiškus sprendimo algoritmas? Todėl paprašysiu likusias dvi problemas išspręsti patiems. Palyginkime atsakymus?

Dar kartą kartoju: šias problemas lengviau (greičiau) išspręsti per konstrukcijas, o ne griebtis koordinačių metodo. Šį sprendimo būdą pademonstravau tik norėdamas parodyti jums universalų metodą, leidžiantį „nieko nebaigti statyti“.

Galiausiai apsvarstykite paskutinę problemų klasę:

Atstumo tarp susikertančių tiesių apskaičiavimas

Čia problemų sprendimo algoritmas bus panašus į ankstesnį. Ką mes turime:

3. Bet koks vektorius, jungiantis pirmosios ir antrosios linijos taškus:

Kaip rasti atstumą tarp eilučių?

Formulė yra tokia:

Skaitiklis yra mišraus sandaugos modulis (jį pristatėme ankstesnėje dalyje), o vardiklis yra, kaip ir ankstesnėje formulėje (tiesių krypties vektorių vektorinės sandaugos modulis, atstumas tarp kurių mes ieško).

Aš jums tai priminsiu

Tada atstumo formulę galima perrašyti kaip:

Tai determinantas, padalintas iš determinanto! Nors, tiesą pasakius, aš čia neturiu laiko juokauti! Ši formulė iš tikrųjų yra labai sudėtinga ir leidžia atlikti gana sudėtingus skaičiavimus. Jei aš būčiau tavo vietoje, tai griebčiausi tik kaip paskutinė išeitis!

Pabandykime išspręsti keletą problemų naudodami aukščiau pateiktą metodą:

1. Stačiojoje trikampėje prizmėje, kurios visos briaunos lygios, raskite atstumą tarp tiesių ir.

2. Atsižvelgiant į stačią trikampę prizmę, visos pagrindo briaunos yra lygios pjūviui, einančiam per kūno briauną, o se-re-di-well briaunelės yra kvadratas. Raskite atstumą tarp tiesių ir

Aš sprendžiu pirmąjį, o pagal jį - antrą!

1. Nupiešiu prizmę ir pažymiu tiesias linijas ir

Taško C koordinatės: tada

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Vektorinės koordinatės

\[\left((B,\rodyklė ant dešinės (A(A_1)) \ir dešinė (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(masyvas)(*(20)(c))0&1&0\end(masyvas))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(masyvas))\\(\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(masyvas))\end(masyvas)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Apskaičiuojame vektorių sandaugą tarp vektorių ir

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(masyvas)(l)\begin(masyvas)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(masyvas)\\\begin(masyvas) )(*(20)(c))0&0&1\end(masyvas)\\\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(masyvas)\end(masyvas) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Dabar apskaičiuojame jo ilgį:

Atsakymas:

Dabar pabandykite atidžiai atlikti antrąją užduotį. Atsakymas į jį bus toks:.

Koordinatės ir vektoriai. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Vektorius yra nukreiptas segmentas. - vektoriaus pradžia, - vektoriaus pabaiga.
Vektorius žymimas arba.

Absoliučioji vertė vektorius – vektorių atvaizduojančios atkarpos ilgis. Žymima kaip.

Vektorinės koordinatės:

,
kur yra vektoriaus \displaystyle a galai.

Vektorių suma: .

Vektorių sandauga:

Taškinė vektorių sandauga:

Tarkime, kad turime rasti lygtį plokštumos, einančios per tris duotus taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Žymėdami jų spindulio vektorius , o dabartinį spindulio vektorių - , galime lengvai gauti reikiamą lygtį vektorine forma. Tiesą sakant, vektoriai turi būti lygiagrečiai (jie visi yra norimoje plokštumoje). Todėl šių vektorių vektoriaus skaliarinė sandauga turi būti lygi nuliui:

Tai plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, lygtis vektorine forma.

Pereinant prie koordinačių, gauname lygtį koordinatėmis:

Jei trys duoti taškai būtų toje pačioje tiesėje, vektoriai būtų kolinearūs. Todėl atitinkami paskutinių dviejų determinanto eilučių elementai (18) lygtyje būtų proporcingi, o determinantas būtų identiškai lygus nuliui. Todėl (18) lygtis taptų identiška bet kurioms x, y ir z reikšmėms. Geometriškai tai reiškia, kad per kiekvieną erdvės tašką eina plokštuma, kurioje yra trys duoti taškai.

Pastaba 1. Tą pačią problemą galima išspręsti nenaudojant vektorių.

Atitinkamai pažymėdami trijų nurodytų taškų koordinates, užrašome bet kurios plokštumos, einančios per pirmąjį tašką, lygtį:

Norint gauti norimos plokštumos lygtį, būtina reikalauti, kad (17) lygtis būtų patenkinta dviejų kitų taškų koordinatės:

Iš (19) lygčių reikia nustatyti dviejų koeficientų santykį su trečiuoju ir rastas reikšmes įvesti į (17) lygtį.

Pavyzdys 1. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį.

Plokštumos, einančios per pirmąjį iš šių taškų, lygtis bus tokia:

Sąlygos plokštumai (17) pereiti per du kitus taškus ir pirmąjį tašką:

Pridėję antrą lygtį prie pirmosios, randame:

Pakeitę antrąją lygtį, gauname:

Pakeitę (17) lygtį, o ne A, B, C, atitinkamai 1, 5, -4 (joms proporcingi skaičiai), gauname:

2 pavyzdys. Parašykite lygtį plokštumai, einčiai per taškus (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Bet kurios plokštumos, einančios per tašką (0, 0, 0), lygtis bus]

Šios plokštumos pravažiavimo per taškus (1, 1, 1) ir (2, 2, 2) sąlygos yra šios:

Sumažinus antrąją lygtį 2, matome, kad norint nustatyti du nežinomuosius, yra viena lygtis su

Iš čia gauname. Dabar pakeitę plokštumos reikšmę į lygtį, randame:

Tai norimos plokštumos lygtis; tai priklauso nuo savavališko

dydžiai B, C (būtent iš santykio t.y. yra begalinis skaičius plokštumų, einančių per tris duotus taškus (trys duoti taškai yra toje pačioje tiesėje).

2 pastaba. Plokštumos nubrėžimo per tris duotus taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, problemą galima lengvai išspręsti bendra forma, jei naudosime determinantus. Iš tiesų, kadangi (17) ir (19) lygtyse koeficientai A, B, C negali vienu metu būti lygūs nuliui, tai vertinant šias lygtis kaip vienalytę sistemą su trimis nežinomaisiais A, B, C, rašome būtiną ir pakankamą. šios sistemos sprendimo, kitokio nei nulio, egzistavimo sąlyga (1 dalis, VI skyrius, § 6):

Išplėtę šį determinantą į pirmosios eilutės elementus, gauname pirmojo laipsnio lygtį dabartinių koordinačių atžvilgiu, kurią tenkins visų pirma trijų nurodytų taškų koordinatės.

Taip pat galite tai patikrinti tiesiogiai, vietoj , pakeisdami bet kurio iš šių taškų koordinates. Kairėje pusėje gauname determinantą, kuriame arba pirmosios eilutės elementai yra nuliai, arba yra dvi identiškos eilutės. Taigi sudaryta lygtis vaizduoja plokštumą, einančią per tris nurodytus taškus.