Kurie yra toje pačioje plokštumoje ir arba sutampa, arba nesikerta. Kai kuriuose mokyklų apibrėžimuose sutampančios linijos nėra laikomos lygiagrečiomis, čia toks apibrėžimas nenagrinėjamas.

Savybės

1. Lygiagretumas yra dvejetainis ekvivalentiškumo santykis, todėl visą tiesių rinkinį padalija į lygiagrečių viena kitai linijų klases.
2. Per bet kurį tašką galite nubrėžti tiksliai vieną tiesią liniją, lygiagrečią nurodytai. Tai yra išskirtinė Euklido geometrijos savybė; kitose geometrijose skaičius 1 pakeičiamas kitais (Lobačevskio geometrijoje yra bent dvi tokios linijos)
3. 2 lygiagrečios erdvės linijos yra toje pačioje plokštumoje.
4. Kai susikerta 2 lygiagrečios tiesės, trečioji, vadinama sekantas:
   1. Sekantas būtinai kerta abi tieses.
   2. Susikertant susidaro 8 kampai, kurių kai kurios būdingos poros turi specialius pavadinimus ir savybes:
      1. Gulėti skersai kampai lygūs.
      2. Aktualus kampai lygūs.
      3. Vienašalis kampai pridedami iki 180°.

Lobačevskio geometrijoje

Lobačevskio geometrijoje plokštumoje per tašką Nepavyko išanalizuoti išraiškos (leksinė klaida): Cuž šios linijos $AB$

Yra begalė tiesių, kurios nesikerta AB. Iš jų lygiagrečiai AB pavadinti tik du.

Tiesiai CE vadinama lygiakrašte (lygiagrečia) tiese AB kryptimi nuo AĮ B, Jei:

1. taškų B Ir E gulėti vienoje tiesios linijos pusėje AC ;
2. tiesiai CE nesikerta su linija AB, bet kiekvienas spindulys, einantis kampo viduje ACE, kerta spindulį AB .

Tiesi linija apibrėžiama panašiai AB kryptimi nuo BĮ A .

Visos kitos tiesės, kurios nesikerta su šia, vadinamos itin lygiagreti arba skiriasi.

taip pat žr

Wikimedia fondas. 2010 m.

• Linijų kirtimas
• Nesterikhinas, Jurijus Efremovičius

Pažiūrėkite, kas yra „lygiagrečios linijos“ kituose žodynuose:

PARALELĖ TIESIOGINĖ- Lygiagrečios linijos, nesikertančios tiesės, esančios toje pačioje plokštumoje... Šiuolaikinė enciklopedija

PARALELĖ TIESIOGINĖ Didysis enciklopedinis žodynas

Lygiagrečios linijos- LYGIALELIOS LINIJAS, nesikertančios tiesės, esančios toje pačioje plokštumoje. ... Iliustruotas enciklopedinis žodynas

Lygiagrečios linijos- Euklido geometrijoje tiesios linijos, esančios toje pačioje plokštumoje ir nesikertančios. Absoliučioje geometrijoje (žr. Absoliuti geometrija) per tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, bent viena tiesė eina per tašką, kuris nesikerta su duotuoju. Į…… Didžioji sovietinė enciklopedija

lygiagrečios linijos- nesikertančios linijos, esančios toje pačioje plokštumoje. * * * LYGIALEGIOS LINIJAS LYGIALELIOS LINIJAS, nesikertančios tiesės, esančios toje pačioje plokštumoje... enciklopedinis žodynas

PARALELĖ TIESIOGINĖ- Euklido geometrijoje tiesios linijos yra toje pačioje plokštumoje ir nesikerta. Absoliučioje geometrijoje per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, eina bent viena tiesė, kuri nekerta duotosios. Euklido geometrijoje yra tik vienas...... Matematinė enciklopedija

PARALELĖ TIESIOGINĖ- nesikertančios linijos, esančios toje pačioje plokštumoje... Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas

Lygiagretūs pasauliai grožinėje literatūroje– Šiame straipsnyje gali būti originalių tyrimų. Pridėkite nuorodas į šaltinius, kitaip jis gali būti nustatytas ištrinti. Daugiau informacijos galite rasti pokalbių puslapyje. Ši... Vikipedija

Lygiagretūs pasauliai - Paralelinis pasaulis(fikcijoje) tikrovė, kuri kažkaip egzistuoja kartu su mūsų, bet nepriklausomai nuo jos. Ši autonominė realybė gali būti įvairių dydžių: nuo nedidelės geografinės zonos iki visos visatos. Lygiagrečiai... Vikipedija

Lygiagretus- tiesės Tiesios vadinamos P. jei nei jos, nei jų plėtiniai nesikerta vienas su kitu. Naujienos iš vienos iš šių linijų yra tokiu pat atstumu nuo kitos. Tačiau įprasta sakyti: dvi P. tiesės susikerta begalybėje. Toks… … Brockhauso ir Efrono enciklopedija

Knygos

• Stalų komplektas. Matematika. 6 klasė. 12 lentelių + metodika, . Lentelės spausdinamos ant storo spausdinto kartono, kurio išmatavimai 680 x 980 mm. Komplekte yra brošiūra su metodinės rekomendacijos už mokytoją. Mokomasis albumas iš 12 lapų. Dalijamumas…

Instrukcijos

Prieš pradėdami įrodinėjimą, įsitikinkite, kad linijos yra toje pačioje plokštumoje ir gali būti brėžiamos joje. Dauguma paprastu būduĮrodymas yra liniuotės matavimo metodas. Norėdami tai padaryti, liniuote išmatuokite atstumą tarp tiesių keliose vietose, kiek įmanoma toliau viena nuo kitos. Jei atstumas nesikeičia, nurodytos linijos yra lygiagrečios. Tačiau šis metodas nėra pakankamai tikslus, todėl geriau naudoti kitus metodus.

Nubrėžkite trečią liniją taip, kad ji kirstų abi lygiagrečias linijas. Su jais sudaro keturis išorinius ir keturis vidinius kampus. Apsvarstykite vidinius kampus. Tie, kurie guli per sekantinę liniją, vadinami kryžminiu gulėjimu. Tie, kurie guli vienoje pusėje, vadinami vienašaliais. Naudodami transporterį išmatuokite du vidinius susikertančius kampus. Jei jos yra lygios viena kitai, tada linijos bus lygiagrečios. Jei abejojate, išmatuokite vienpusius vidinius kampus ir pridėkite gautas vertes. Linijos bus lygiagrečios, jei vienpusių vidinių kampų suma lygi 180º.

Jei neturite transporterio, naudokite 90º kvadratą. Naudokite jį statmenai vienai iš tiesių sukurti. Po to tęskite šį statmeną, kad jis kirstų kitą liniją. Naudodami tą patį kvadratą patikrinkite, kokiu kampu šis statmenas jį kerta. Jei šis kampas taip pat yra 90º, tada linijos yra lygiagrečios viena kitai.

Jei tiesės pateiktos Dekarto koordinačių sistemoje, raskite jų kryptį arba normaliuosius vektorius. Jei šie vektoriai yra atitinkamai kolinearūs vienas su kitu, tai linijos yra lygiagrečios. Sumažinkite tiesių lygtį į bendrą formą ir raskite kiekvienos tiesės normaliojo vektoriaus koordinates. Jo koordinatės lygios koeficientams A ir B. Jei normaliųjų vektorių atitinkamų koordinačių santykis yra vienodas, tai jos yra kolinijinės, o tiesės lygiagrečios.

Pavyzdžiui, tiesės pateikiamos lygtimis 4x-2y+1=0 ir x/1=(y-4)/2. Pirmoji lygtis yra bendras vaizdas, antrasis – kanoninis. Išveskite antrąją lygtį į jos bendrą formą. Tam naudokite proporcijų konvertavimo taisyklę, rezultatas bus 2x=y-4. Suvedus į bendrą formą, gaunama 2x-y+4=0. Kadangi bendroji bet kurios eilutės lygtis parašyta Ax+By+C=0, tai pirmai eilutei: A=4, B=2, o antrajai eilutei A=2, B=1. Pirmajai tiesioginei normalaus vektoriaus koordinatei (4;2), o antrajai – (2;1). Raskite normaliųjų vektorių atitinkamų koordinačių santykį 4/2=2 ir 2/1=2. Šie skaičiai yra lygūs, o tai reiškia, kad vektoriai yra kolineariniai. Kadangi vektoriai yra kolinearūs, linijos yra lygiagrečios.

III SKYRIUS.
PARALELĖ TIESIOGINĖ

§ 35. LYGIALEGIŲ DVIEJŲ LINIJAS ŽENKLAI.

Teorema, kad du statmenai vienai tiesei yra lygiagrečios (§ 33), duoda ženklą, kad dvi tiesės lygiagrečios. Galite atsiimti daugiau bendrieji ženklai dviejų tiesių lygiagretumas.

1. Pirmasis paralelizmo požymis.

Jei dvi tiesės susikerta su trečiąja, vidiniai kampai, esantys skersai, yra lygūs, tai šios tiesės yra lygiagrečios.

Tegul tieses AB ir CD kerta tiesė EF ir / 1 = / 2. Paimkite tašką O - sekanto EF atkarpos KL vidurį (189 pav.).

Nuleiskime statmeną OM iš taško O ant tiesės AB ir tęskime tol, kol susikirs su tiesia CD AB_|_MN. Įrodykime, kad CD_|_MN.
Norėdami tai padaryti, apsvarstykite du trikampius: MOE ir NOK. Šie trikampiai yra lygūs vienas kitam. Iš tikrųjų: / 1 = / 2 pagal teoremos sąlygas; ОK = ОL - pagal konstrukciją;
/ MOL = / Gerai, patinka vertikalūs kampai. Taigi vieno trikampio kraštinis ir du gretimi kampai yra atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir dviem gretiems kampams; vadinasi, /\ MOL = /\ NOK, taigi
/ LMO = / KNO, bet / LMO yra tiesioginis, o tai reiškia / KNO taip pat tiesus. Taigi tiesės AB ir CD yra statmenos tai pačiai tiesei MN, todėl lygiagrečios (§ 33), ką ir reikėjo įrodyti.

Pastaba. Tiesių MO ir CD sankirta gali būti nustatyta pasukus trikampį MOL aplink tašką O 180°.

2. Antrasis paralelizmo požymis.

Pažiūrėkime, ar tiesės AB ir CD lygiagrečios, jei joms susikertant su trečiąja tiese EF atitinkami kampai yra lygūs.

Pavyzdžiui, kai kurie atitinkami kampai bus lygūs / 3 = / 2 (brėžinys 190);
/ 3 = / 1, nes kampai yra vertikalūs; Reiškia, / 2 bus lygus / 1. Bet kampai 2 ir 1 yra susikertantys vidiniai kampai, ir mes jau žinome, kad jei dvi tiesės susikerta su trečiąja, susikertantys vidiniai kampai yra lygūs, tai šios tiesės yra lygiagrečios. Todėl AB || CD.

Jei, kai dvi tiesės kerta trečią, atitinkami kampai yra lygūs, tai šios dvi tiesės yra lygiagrečios.

Šia savybe pagrįsta lygiagrečių linijų konstravimas naudojant liniuotę ir piešimo trikampį. Tai daroma taip.

Trikampį pritvirtinkime prie liniuotės, kaip parodyta 191 brėžinyje. Trikampį pajudinsime taip, kad viena jo kraštinė slystų išilgai liniuote, o išilgai kokios nors kitos trikampio kraštinės nubrėžkime kelias tiesias linijas. Šios linijos bus lygiagrečios.

3. Trečiasis paralelizmo požymis.

Žinokime, kad kai dvi tiesės AB ir CD susikerta su trečiąja tiese, bet kurių vidinių vienpusių kampų suma yra lygi 2 d(arba 180°). Ar tiesės AB ir CD šiuo atveju bus lygiagrečios (192 pav.).

Leisti / 1 ir / 2 yra vidiniai vienpusiai kampai ir sudaro 2 d.
Bet / 3 + / 2 = 2d kaip gretimi kampai. Vadinasi, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Iš čia / 1 = / 3, ir šie vidiniai kampai yra skersai. Todėl AB || CD.

Jei dvi tiesės susikerta su trečiąja, vidinių vienpusių kampų suma yra lygi 2 d, tada šios dvi tiesės yra lygiagrečios.

Pratimas.

Įrodykite, kad tiesės lygiagrečios:
a) jei išoriniai skersiniai kampai lygūs (193 pav.);
b) jei išorinių vienpusių kampų suma lygi 2 d(194 brėžinys).

Dviejų tiesių lygiagretumą galima įrodyti remiantis teorema, pagal kurią du statmenai, nubrėžti vienos tiesės atžvilgiu, bus lygiagretūs. Yra tam tikrų linijų lygiagretumo požymių - jų yra trys, ir mes juos visus apsvarstysime konkrečiau.

Pirmasis paralelizmo požymis

Tiesės yra lygiagrečios, jei joms susikertant su trečiąja tiese susidarę vidiniai kampai, esantys skersai, bus lygūs.

Tarkime, tiesėms AB ir CD susikirtus su tiese EF, susidarė kampai /1 ir /2. Jie yra vienodi, nes tiesė EF eina vienu nuolydžiu kitų dviejų tiesių atžvilgiu. Ten, kur tiesės susikerta, dedame taškus Ki L – turime sekantinę atkarpą EF. Surandame jo vidurį ir dedame tašką O (189 pav.).

Iš taško O į tiesę AB nuleidžiame statmeną. Pavadinkime jį OM. Mes tęsiame statmeną tol, kol jis susikerta su linija CD. Dėl to pirminė tiesė AB yra griežtai statmena MN, o tai reiškia, kad CD_|_MN taip pat, tačiau šis teiginys reikalauja įrodymų. Nubrėžę statmeną ir susikirtimo liniją, suformavome du trikampius. Vienas iš jų yra MANO, antrasis - NOK. Pažvelkime į juos išsamiau. lygiagrečių linijų ženklai 7 klasė

Šie trikampiai yra lygūs, nes pagal teoremos sąlygas /1 =/2 ir pagal trikampių konstrukciją kraštinė OK = kraštinė OL. Kampas MOL =/NOK, nes tai vertikalūs kampai. Iš to išplaukia, kad vieno iš trikampių kraštinė ir du kampai, esantys šalia jo, yra atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir du kampai, esantys šalia jo. Taigi, trikampis MOL = trikampis NOK, taigi kampas LMO = kampas KNO, bet mes žinome, kad /LMO yra tiesus, o tai reiškia, kad atitinkamas kampas KNO taip pat yra teisingas. Tai yra, mums pavyko įrodyti, kad tiesei MN tiek tiesė AB, tiek tiesė CD yra statmenos. Tai yra, AB ir CD yra lygiagrečiai vienas kitam. Tai mums reikėjo įrodyti. Panagrinėkime likusius tiesių lygiagretumo ženklus (7 laipsnis), kurie skiriasi nuo pirmojo ženklo įrodinėjimo būdu.

Antrasis paralelizmo požymis

Pagal antrąjį tiesių lygiagretumo kriterijų turime įrodyti, kad kampai, gauti lygiagrečių tiesių AB ir CD susikirtimo procese tiesės EF, bus lygūs. Taigi dviejų tiesių, tiek pirmosios, tiek antrosios, lygiagretumo ženklai yra pagrįsti kampų lygybe, gauta jas kertant trečiajai tiesei. Tarkime, kad /3 = /2 ir kampas 1 = /3, nes jis yra vertikalus. Taigi ir /2 bus lygūs kampui 1, tačiau reikia atsižvelgti į tai, kad ir kampas 1, ir kampas 2 yra vidiniai, kryžminiai kampai. Vadinasi, tereikia pritaikyti savo žinias, būtent, kad dvi atkarpos bus lygiagrečios, jei susikertant su trečiąja tiese susidarę skersiniai kampai yra lygūs. Taip išsiaiškinome, kad AB || CD.

Mums pavyko įrodyti, kad su sąlyga, kad du vienos tiesės statmenys yra lygiagretūs, pagal atitinkamą teoremą lygiagrečių tiesių ženklas yra akivaizdus.

Trečiasis paralelizmo požymis

Yra ir trečiasis lygiagretumo požymis, kurį įrodo vienpusių vidinių kampų suma. Šis tiesių lygiagretumo ženklo įrodymas leidžia daryti išvadą, kad dvi tiesės bus lygiagrečios, jeigu joms susikirsdamos su trečiąja tiese gautų vienpusių vidinių kampų suma bus lygi 2d. Žr. 192 pav.

Šiame straipsnyje kalbėsime apie lygiagrečias linijas, pateiksime apibrėžimus ir apibūdinsime lygiagretumo požymius ir sąlygas. Kad teorinė medžiaga būtų aiškesnė, naudosime tipinių pavyzdžių iliustracijas ir sprendimus.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1 apibrėžimas

Lygiagrečios tiesės plokštumoje– dvi tiesios linijos plokštumoje, kurių nėra bendrų taškų.

2 apibrėžimas

Lygiagrečios linijos trimatėje erdvėje– dvi tiesės trimatėje erdvėje, esančios toje pačioje plokštumoje ir neturinčios bendrų taškų.

Būtina pažymėti, kad norint nustatyti lygiagrečias linijas erdvėje, labai svarbus paaiškinimas „guli vienoje plokštumoje“: dvi tiesės trimatėje erdvėje, kurios neturi bendrų taškų ir nėra toje pačioje plokštumoje, nėra lygiagrečios. , bet susikerta.

Norint nurodyti lygiagrečias linijas, įprasta naudoti simbolį ∥. Tai yra, jei duotosios tiesės a ir b yra lygiagrečios, šią sąlygą reikia trumpai parašyti taip: a ‖ b. Žodžiu tiesių lygiagretumas žymimas taip: tiesės a ir b yra lygiagrečios arba tiesė a lygiagreti tiesei b, arba tiesė b lygiagreti tiesei a.

Suformuluokime teiginį, kuris atlieka svarbų vaidmenį nagrinėjamoje temoje.

Aksioma

Per tašką, nepriklausantį duotai tiesei, eina vienintelė tiesė, lygiagreti duotajai. Šio teiginio negalima įrodyti remiantis žinomomis planimetrijos aksiomomis.

Tuo atveju mes kalbame apie apie erdvę, teorema yra teisinga:

1 teorema

Per bet kurį erdvės tašką, kuris nepriklauso nurodytai tiesei, bus viena tiesė, lygiagreti nurodytai.

Šią teoremą nesunku įrodyti remiantis aukščiau pateikta aksioma (geometrijos programa 10 - 11 klasėms).

Lygiagretumo kriterijus yra pakankama sąlyga, kurios įvykdymas garantuoja tiesių lygiagretumą. Kitaip tariant, šios sąlygos įvykdymo pakanka paralelizmo faktui patvirtinti.

Visų pirma, yra būtinos ir pakankamos sąlygos linijų lygiagretumui plokštumoje ir erdvėje. Paaiškinkime: būtina reiškia sąlygą, kurios įvykdymas būtinas lygiagrečioms tiesėms; jei jis neįvykdytas, linijos nėra lygiagrečios.

Apibendrinant galima teigti, kad būtina ir pakankama tiesių lygiagretumo sąlyga yra sąlyga, kurios laikymasis yra būtinas ir pakankamas, kad tiesės būtų lygiagrečios viena kitai. Viena vertus, tai yra lygiagretumo požymis, kita vertus, lygiagrečioms linijoms būdinga savybė.

Prieš pateikdami tikslią būtinos ir pakankamos sąlygos formuluotę, prisiminkime keletą papildomų sąvokų.

3 apibrėžimas

Sekanti linija– tiesė, kertanti kiekvieną iš dviejų nesutampančių tiesių.

Susikertanti dvi tiesias linijas, skersinis sudaro aštuonis neišskleistus kampus. Norint suformuluoti reikiamą ir pakankamą sąlygą, naudosime tokius kampų tipus kaip kryžminiai, atitinkami ir vienpusiai. Parodykime juos iliustracijoje:

2 teorema

Jei dvi tieses plokštumoje kerta skersinis, tai tam, kad nurodytos tiesės būtų lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad susikertantys kampai būtų lygūs arba atitinkami kampai būtų lygūs, arba vienpusių kampų suma būtų lygi 180 laipsnių.

Grafiškai pavaizduokime būtiną ir pakankamą tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlygą:

Šių sąlygų įrodymas yra 7–9 klasių geometrijos programoje.

Paprastai šios sąlygos taip pat taikomos trimatei erdvei, jei dvi linijos ir sekantas priklauso tai pačiai plokštumai.

Nurodykime dar keletą teoremų, kurios dažnai naudojamos tiesių lygiagretumo faktui įrodyti.

3 teorema

Plokštumoje dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai. Ši savybė įrodyta remiantis aukščiau nurodyta paralelizmo aksioma.

4 teorema

Trimatėje erdvėje dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai.

Ženklo įrodymas mokomasi 10 klasės geometrijos programoje.

Pateikiame šių teoremų iliustraciją:

Nurodykime dar vieną porą teoremų, įrodančių tiesių lygiagretumą.

5 teorema

Plokštumoje dvi tiesės, statmenos trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai.

Suformuluokime panašų dalyką trimatei erdvei.

6 teorema

Trimatėje erdvėje dvi tiesės, statmenos trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai.

Iliustruojame:

Visos aukščiau pateiktos teoremos, ženklai ir sąlygos leidžia patogiai įrodyti tiesių lygiagretumą naudojant geometrijos metodus. Tai yra, norint įrodyti tiesių lygiagretumą, galima parodyti, kad atitinkami kampai yra lygūs, arba parodyti, kad dvi nurodytos tiesės yra statmenos trečiajai ir pan. Tačiau atkreipkite dėmesį, kad norint įrodyti linijų lygiagretumą plokštumoje arba trimatėje erdvėje, dažnai patogiau naudoti koordinačių metodą.

Tiesių lygiagretumas stačiakampėje koordinačių sistemoje

Tam tikroje stačiakampėje koordinačių sistemoje tiesė nustatoma pagal tiesės lygtį vienos iš plokštumos galimi tipai. Taip pat tiesė, apibrėžta stačiakampėje koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje, atitinka kai kurias tiesės erdvėje lygtis.

Užrašykime būtinas ir pakankamas sąlygas tiesių lygiagretumui stačiakampėje koordinačių sistemoje priklausomai nuo lygties, apibūdinančios duotas tieses, tipo.

Pradėkime nuo tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlygos. Jis pagrįstas tiesės krypties vektoriaus ir tiesės normaliojo vektoriaus plokštumoje apibrėžimais.

7 teorema

Kad dvi nesutampančios tiesės būtų lygiagrečios plokštumoje, būtina ir pakanka, kad duotų tiesių krypties vektoriai būtų kolineriški, arba duotų tiesių normaliosios vektoriai būtų kolinijinės, arba vienos tiesės krypties vektorius būtų statmenas kitos tiesės normalusis vektorius.

Tampa akivaizdu, kad tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlyga grindžiama vektorių kolineariškumo sąlyga arba dviejų vektorių statmenumo sąlyga. Tai yra, jei a → = (a x , a y) ir b → = (b x , b y) yra tiesių a ir b krypties vektoriai;

ir n b → = (n b x , n b y) yra normalieji eilučių a ir b vektoriai, tada aukščiau nurodytą būtiną ir pakankamą sąlygą užrašome taip: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y arba n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y arba a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , kur t yra tikrasis skaičius. Kreipiklių arba tiesių vektorių koordinates nustatomos pateiktos tiesių lygtys. Pažvelkime į pagrindinius pavyzdžius.

1. Nubrėžta tiesė a stačiakampėje koordinačių sistemoje bendroji lygtis tiesi linija: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; tiesė b – A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada duotų linijų normalieji vektoriai turės atitinkamai koordinates (A 1, B 1) ir (A 2, B 2). Paralelizmo sąlygą rašome taip:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Tiesė a apibūdinama tiesės, kurios nuolydis yra y = k 1 x + b 1, lygtimi. Tiesi b - y = k 2 x + b 2. Tada duotų tiesių normalieji vektoriai turės atitinkamai koordinates (k 1, - 1) ir (k 2, - 1), o lygiagretumo sąlygą parašysime taip:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Taigi, jei lygiagrečios tiesės plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikiamos lygtimis su kampiniais koeficientais, tada nuolydžio koeficientai pateiktos eilutės bus lygios. Ir teisingas priešingas teiginys: jei stačiakampės koordinačių sistemos plokštumoje nesutampančios tiesės yra nustatytos tiesės, turinčios vienodus kampinius koeficientus, lygtis, tai šios pateiktos tiesės yra lygiagrečios.

1. Tiesės a ir b stačiakampėje koordinačių sistemoje nurodomos kanoninėmis tiesės lygtimis plokštumoje: x - x 1 a x = y - y 1 a y ir x - x 2 b x = y - y 2 b y arba parametrinėmis lygtimis tiesė plokštumoje: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y ir x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Tada duotųjų tiesių krypties vektoriai bus: a x, a y ir b x, b y, o lygiagretumo sąlygą parašysime taip:

a x = t b x a y = t b y

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 pavyzdys

Pateikiamos dvi eilutės: 2 x - 3 y + 1 = 0 ir x 1 2 + y 5 = 1. Būtina nustatyti, ar jie yra lygiagretūs.

Sprendimas

Parašykime tiesės lygtį atkarpomis bendrosios lygties forma:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Matome, kad n a → = (2, - 3) yra tiesės 2 x - 3 y + 1 = 0 normalusis vektorius, o n b → = 2, 1 5 yra tiesės x 1 2 + y 5 normalusis vektorius = 1.

Gauti vektoriai nėra kolineariniai, nes nėra tokios tat reikšmės, kuri būtų teisinga:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Taigi netenkinama būtina ir pakankama tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlyga, o tai reiškia, kad pateiktos tiesės nėra lygiagrečios.

Atsakymas: pateiktos tiesės nėra lygiagrečios.

2 pavyzdys

Pateikiamos eilutės y = 2 x + 1 ir x 1 = y - 4 2. Ar jie lygiagrečiai?

Sprendimas

Paverskime kanoninę tiesės x 1 = y - 4 2 lygtį į tiesės su nuolydžiu lygtį:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Matome, kad tiesių y = 2 x + 1 ir y = 2 x + 4 lygtys nėra vienodos (jei būtų kitaip, tiesės sutaptų), o tiesių kampiniai koeficientai yra lygūs, o tai reiškia pateiktos tiesės yra lygiagrečios.

Pabandykime problemą išspręsti kitaip. Pirmiausia patikrinkime, ar nurodytos eilutės sutampa. Mes naudojame bet kurį tašką tiesėje y = 2 x + 1, pavyzdžiui, (0, 1), šio taško koordinatės neatitinka tiesės x 1 = y - 4 2 lygties, o tai reiškia, kad linijos nesutampa.

Kitas žingsnis – nustatyti, ar tenkinama pateiktų tiesių lygiagretumo sąlyga.

Tiesės y = 2 x + 1 normalusis vektorius yra vektorius n a → = (2 , - 1) , o antrosios duotosios tiesės krypties vektorius b → = (1 , 2) . Šių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Taigi vektoriai yra statmeni: tai mums parodo būtinos ir pakankamos pradinių tiesių lygiagretumo sąlygos įvykdymą. Tie. pateiktos tiesės yra lygiagrečios.

Atsakymas:šios linijos lygiagrečios.

Tiesių lygiagretumui trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje įrodyti naudojama tokia būtina ir pakankama sąlyga.

8 teorema

Kad dvi nesutampančios tiesės trimatėje erdvėje būtų lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad šių tiesių krypties vektoriai būtų kolineriniai.

Tie. atsižvelgiant į tiesių lygtis trimatėje erdvėje, atsakymas į klausimą: ar jos lygiagrečios ar ne, randamas nustačius duotų tiesių krypties vektorių koordinates, taip pat patikrinus jų kolineariškumo sąlygą. Kitaip tariant, jei a → = (a x, a y, a z) ir b → = (b x, b y, b z) yra atitinkamai tiesių a ir b krypties vektoriai, tada, kad jos būtų lygiagrečios, egzistavimas tokio realaus skaičiaus t būtinas, kad galiotų lygybė:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

3 pavyzdys

Pateikiamos tiesės x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ir x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Būtina įrodyti šių tiesių lygiagretumą.

Sprendimas

Uždavinio sąlygas pateikia vienos erdvės tiesės kanoninės lygtys ir kitos erdvės tiesės parametrinės lygtys. Vadovo vektoriai a → ir b → pateiktos linijos turi koordinates: (1, 0, - 3) ir (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , tada a → = 1 2 · b → .

Vadinasi, būtina ir pakankama sąlyga tiesių lygiagretumui erdvėje yra įvykdyta.

Atsakymas:įrodytas duotųjų tiesių lygiagretumas.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter