Zlomky

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Zlomky nie sú na strednej škole veľmi na obtiaž. Zatiaľ. Kým nenarazíte na mocniny s racionálnymi exponentmi a logaritmami. A tam... Stlačíte a stlačíte kalkulačku a zobrazí sa úplné zobrazenie niektorých čísel. Treba myslieť hlavou ako v tretej triede.

Poďme konečne prísť na zlomky! No ako veľmi sa v nich dá zmiasť!? Navyše je to všetko jednoduché a logické. takže, aké sú druhy zlomkov?

Druhy zlomkov. Premeny.

Existujú tri typy zlomkov.

1. Bežné zlomky , Napríklad:

Niekedy namiesto vodorovnej čiary dajú lomítko: 1/2, 3/4, 19/5, dobre atď. Tu budeme často používať tento pravopis. Zavolá sa najvyššie číslo čitateľ, nižšie - menovateľ. Ak si tieto mená neustále pletiete (stáva sa...), povedzte si frázu: " Zzzzz zapamätaj si! Zzzzz menovateľ - pohľad zzzzz uh!" Pozri, všetko sa bude zzzz pamätať.)

Pomlčka, horizontálna alebo naklonená, znamená divízie od horného čísla (čitateľ) po spodné číslo (menovateľ). To je všetko! Namiesto pomlčky je celkom možné umiestniť znak delenia - dve bodky.

Keď je možné úplné rozdelenie, musí sa to urobiť. Takže namiesto zlomku „32/8“ je oveľa príjemnejšie napísať číslo „4“. Tie. 32 je jednoducho delené 8.

32/8 = 32: 8 = 4

O zlomku "4/1" ani nehovorím. Čo je tiež len „4“. A ak to nie je úplne deliteľné, necháme to ako zlomok. Niekedy musíte urobiť opačnú operáciu. Previesť celé číslo na zlomok. Ale o tom neskôr.

2. Desatinné čísla , Napríklad:

V tejto forme si budete musieť zapísať odpovede na úlohy „B“.

3. Zmiešané čísla , Napríklad:

Zmiešané čísla sa na strednej škole prakticky nepoužívajú. Aby sa s nimi dalo pracovať, musia sa previesť na obyčajné zlomky. Ale určite to musíte vedieť! Inak na takéto číslo narazíte v probléme a zamrznete... Z ničoho nič. Ale tento postup si zapamätáme! Trochu nižšie.

Najvšestrannejšie bežné zlomky. Začnime nimi. Mimochodom, ak zlomok obsahuje všetky druhy logaritmov, sínusov a iných písmen, nič to nemení. V tom zmysle, že všetko akcie so zlomkovými výrazmi sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami!

Hlavná vlastnosť zlomku.

Tak, poďme! Na začiatok vás prekvapím. Celú škálu transformácií zlomkov poskytuje jediná vlastnosť! Tak sa to volá hlavná vlastnosť zlomku. Pamätajte: Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (vydelia) rovnakým číslom, zlomok sa nezmení. tieto:

Je jasné, že môžete pokračovať v písaní, kým nebudete modrý v tvári. Nenechajte sa zmiasť sínusmi a logaritmy, budeme sa nimi zaoberať ďalej. Hlavná vec je pochopiť, že všetky tieto rôzne výrazy sú rovnaký zlomok . 2/3.

Potrebujeme to, všetky tieto premeny? A ako! Teraz uvidíte sami. Na začiatok použijeme základnú vlastnosť zlomku pre redukčné frakcie. Vyzeralo by to ako elementárna vec. Vydeľte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom a je to! Nie je možné urobiť chybu! Ale... človek je tvor tvorivý. Chybu môžete urobiť kdekoľvek! Najmä ak musíte zmenšiť nie zlomok ako 5/10, ale zlomkový výraz so všetkými druhmi písmen.

Ako správne a rýchlo zmenšiť zlomky bez vykonania práce navyše si môžete prečítať v špeciálnej časti 555.

Normálny študent sa netrápi delením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (alebo výrazom)! Jednoducho prečiarkne všetko, čo je rovnaké hore aj dole! Tu sa skrýva typická chyba, ak chcete, prešľap.

Napríklad musíte zjednodušiť výraz:

Tu nie je o čom premýšľať, prečiarknite písmeno „a“ hore a „2“ dole! Dostaneme:

Všetko je správne. Ale naozaj ste sa rozdelili všetky čitateľ a všetky menovateľ je "a". Ak ste zvyknutí len prečiarknuť, potom môžete v zhone prečiarknuť „a“ vo výraze

a získajte to znova

Čo by bolo kategoricky nepravdivé. Pretože tu všetkyčitateľ na "a" už je nezdieľané! Tento zlomok nie je možné znížiť. Mimochodom, takéto zníženie je, ehm... vážna výzva pre učiteľa. Toto sa neodpúšťa! Pamätáš si? Pri redukcii treba deliť všetky čitateľ a všetky menovateľ!

Zmenšením zlomkov je život oveľa jednoduchší. Niekde dostanete zlomok, napríklad 375/1000. Ako s ňou teraz môžem pokračovať v práci? Bez kalkulačky? Vynásobte, povedzte, sčítajte, druhú mocninu!? A ak nie ste príliš leniví, opatrne to zredukujte o päť a o ďalších päť a dokonca... skrátka, kým sa to skracuje. Dáme 3/8! Oveľa krajšie, však?

Hlavná vlastnosť zlomku umožňuje previesť bežné zlomky na desatinné miesta a naopak bez kalkulačky! To je dôležité pre jednotnú štátnu skúšku, však?

Ako previesť zlomky z jedného typu na druhý.

S desatinnými zlomkami je všetko jednoduché. Ako sa počúva, tak sa aj píše! Povedzme 0,25. Toto je nula dvadsaťpäť stotín. Takže píšeme: 25/100. Zmenšíme (čitateľa a menovateľa vydelíme 25), dostaneme obvyklý zlomok: 1/4. Všetky. Stáva sa to a nič sa neznižuje. Ako 0,3. Ide o tri desatiny, t.j. 3/10.

Čo ak celé čísla nie sú nula? Je to v poriadku. Zapíšeme celý zlomok bez čiarok v čitateli a v menovateli - to, čo je počuť. Napríklad: 3.17. To sú tri bodové sedemnásť stotín. Do čitateľa napíšeme 317 a do menovateľa 100. Dostaneme 317/100. Nič sa nezmenšuje, to znamená všetko. Toto je odpoveď. Základný Watson! Zo všetkého, čo bolo povedané, je užitočný záver: akýkoľvek desatinný zlomok možno previesť na bežný zlomok .

Niektorí ľudia však nemôžu urobiť spätný prevod z obyčajného na desatinné miesto bez kalkulačky. A je to potrebné! Ako zapíšete odpoveď na Jednotnú štátnu skúšku!? Pozorne čítajte a osvojte si tento proces.

Aká je charakteristika desatinného zlomku? Jej menovateľom je Vždy stojí 10, alebo 100, alebo 1000, alebo 10000 a tak ďalej. Ak má váš spoločný zlomok menovateľa ako je tento, nie je problém. Napríklad 4/10 = 0,4. Alebo 7/100 = 0,07. Alebo 12/10 = 1,2. Čo ak je odpoveď na úlohu v časti „B“ 1/2? Čo napíšeme ako odpoveď? Vyžaduje sa desatinné číslo...

Spomeňme si hlavná vlastnosť zlomku ! Matematika priaznivo umožňuje vynásobiť čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Mimochodom, čokoľvek! Okrem nuly, samozrejme. Využime teda túto vlastnosť v náš prospech! Čím sa dá vynásobiť menovateľ, t.j. 2 tak, že z toho bude 10, alebo 100, alebo 1000 (samozrejme, že menšie je lepšie...)? O 5, samozrejme. Pokojne vynásobte menovateľa (to je nás potrebné) číslom 5. Potom však treba vynásobiť aj čitateľ číslom 5. Toto už je matematiky požiadavky! Dostaneme 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. To je všetko.

Narážajú však na všelijaké menovatele. Stretnete sa napríklad so zlomkom 3/16. Skúste prísť na to, čím vynásobiť 16, aby bolo 100 alebo 1000... Nefunguje to? Potom môžete jednoducho vydeliť 3 číslom 16. Ak nemáte kalkulačku, budete musieť deliť rohom na papieri, ako to učili na základnej škole. Dostaneme 0,1875.

A existujú aj veľmi zlé menovatele. Napríklad neexistuje spôsob, ako zmeniť zlomok 1/3 na dobré desatinné číslo. Na kalkulačke aj na papieri dostaneme 0,3333333... To znamená, že 1/3 je presný desatinný zlomok neprekladá. Rovnako ako 1/7, 5/6 atď. Je ich veľa, nepreložiteľné. To nás privádza k ďalšiemu užitočnému záveru. Nie každý zlomok sa dá previesť na desatinné číslo !

Mimochodom, toto sú užitočné informácie pre samotestovanie. V časti „B“ musíte vo svojej odpovedi zapísať desatinný zlomok. A dostali ste napríklad 4/3. Tento zlomok sa neprevádza na desatinné číslo. To znamená, že ste niekde na ceste urobili chybu! Vráťte sa a skontrolujte riešenie.

Takže sme prišli na bežné a desatinné zlomky. Ostáva už len vysporiadať sa so zmiešanými číslami. Aby ste s nimi mohli pracovať, musia sa previesť na bežné zlomky. Ako to spraviť? Môžete chytiť šiestaka a opýtať sa ho. Ale šiestak nebude vždy po ruke... Budete to musieť urobiť sami. Nie je to ťažké. Musíte vynásobiť menovateľa zlomkovej časti celou časťou a pridať čitateľa zlomkovej časti. Toto bude čitateľ spoločného zlomku. A čo menovateľ? Menovateľ zostane rovnaký. Znie to komplikovane, ale v skutočnosti je všetko jednoduché. Pozrime sa na príklad.

Predpokladajme, že ste boli zhrození, keď ste v probléme videli číslo:

Pokojne, bez paniky, myslíme si. Celá časť je 1. Jednotka. Zlomková časť je 3/7. Preto je menovateľ zlomkovej časti 7. Tento menovateľ bude menovateľom obyčajného zlomku. Počítame čitateľa. Vynásobíme 7 číslom 1 (celočíselná časť) a pridáme 3 (čitateľ zlomkovej časti). Dostaneme 10. Toto bude čitateľ spoločného zlomku. To je všetko. V matematickom zápise to vyzerá ešte jednoduchšie:

je to jasné? Potom si zabezpečte svoj úspech! Preveďte na obyčajné zlomky. Mali by ste dostať 10/7, 7/2, 23/10 a 21/4.

Opačná operácia – premena nesprávneho zlomku na zmiešané číslo – sa na strednej škole vyžaduje len zriedka. No, ak áno... A ak nie ste na strednej škole, môžete sa pozrieť do špeciálnej sekcie 555. Mimochodom, dozviete sa tam aj o nesprávnych zlomkoch.

No a to je prakticky všetko. Zapamätali ste si typy zlomkov a pochopili ste Ako preniesť ich z jedného typu na druhý. Otázkou zostáva: Prečo urob to? Kde a kedy uplatniť tieto hlboké znalosti?

Odpovedám. Každý príklad sám o sebe naznačuje potrebné kroky. Ak sa v príklade zmiešajú bežné zlomky, desatinné miesta a dokonca aj zmiešané čísla, všetko prevedieme na obyčajné zlomky. Vždy sa to dá. No, ak to hovorí niečo ako 0,8 + 0,3, potom to počítame tak, bez akéhokoľvek prekladu. Prečo potrebujeme prácu navyše? Vyberáme riešenie, ktoré je pohodlné nás !

Ak sú úlohou všetky desatinné zlomky, ale ehm... nejaké zlé, choďte na obyčajné a skúste to! Pozri, všetko bude fungovať. Napríklad budete musieť odmocniť číslo 0,125. Nie je to také ľahké, ak ste si nezvykli na používanie kalkulačky! Nielen, že musíte násobiť čísla v stĺpci, musíte tiež myslieť na to, kam vložiť čiarku! Vo vašej hlave to určite nepôjde! Čo ak prejdeme k obyčajnému zlomku?

0,125 = 125/1000. Znížime o 5 (to je pre začiatok). Dostaneme 25/200. Ešte raz o 5. Dostaneme 5/40. Ach, stále sa to zmenšuje! Späť na 5! Dostaneme 1/8. Ľahko to odmocníme (v našich mysliach!) a dostaneme 1/64. Všetky!

Zhrňme si túto lekciu.

1. Existujú tri typy zlomkov. Bežné, desatinné a zmiešané čísla.

2. Desatinné a zmiešané čísla Vždy možno previesť na obyčajné zlomky. Spätný prevod nie vždy k dispozícii.

3. Výber typu zlomkov na prácu s úlohou závisí od samotnej úlohy. Ak sú v jednej úlohe rôzne typy zlomkov, najspoľahlivejšie je prejsť na obyčajné zlomky.

Teraz môžete cvičiť. Najprv preveďte tieto desatinné zlomky na obyčajné zlomky:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Mali by ste dostať takéto odpovede (v neporiadku!):

Skončime tu. V tejto lekcii sme si osviežili pamäť na kľúčové body o zlomkoch. Stáva sa však, že nie je nič špeciálne na osvieženie...) Ak niekto úplne zabudol, alebo to ešte neovládol... Potom môžete ísť na špeciálny oddiel 555. Všetky základy sú tam podrobne popísané. Mnohí zrazu rozumieť všetkému začínajú. A zlomky riešia za chodu).

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Zlomok je číslo, ktoré sa skladá z jednej alebo viacerých jednotiek. V matematike existujú tri typy zlomkov: bežné, zmiešané a desatinné.

• 
  Bežné zlomky

Obyčajný zlomok sa zapisuje ako pomer, v ktorom čitateľ vyjadruje, koľko častí je prevzatých z čísla, a menovateľ ukazuje, na koľko častí je jednotka rozdelená. Ak je čitateľ menší ako menovateľ, potom máme správny zlomok, napríklad: ½, 3/5, 8/9.

Ak je čitateľ rovný alebo väčší ako menovateľ, potom máme do činenia s nesprávnym zlomkom. Napríklad: 5/5, 9/4, 5/2 Výsledkom delenia čitateľa môže byť konečné číslo. Napríklad 40/8 = 5. Preto každé celé číslo možno zapísať ako obyčajný nesprávny zlomok alebo sériu takýchto zlomkov. Uvažujme záznamy toho istého čísla vo forme niekoľkých rôznych.

• Zmiešané frakcie

Vo všeobecnosti môže byť zmiešaná frakcia reprezentovaná vzorcom:

Zmiešaný zlomok sa teda zapisuje ako celé číslo a obyčajný vlastný zlomok a takýto zápis sa chápe ako súčet celku a jeho zlomkovej časti.

• Desatinné čísla

Desatinné číslo je špeciálny typ zlomku, v ktorom môže byť menovateľ vyjadrený ako mocnina 10. Existujú nekonečné a konečné desatinné miesta. Pri písaní tohto typu zlomku sa najprv uvedie celá časť, potom sa zlomková časť zaznamená cez oddeľovač (bodka alebo čiarka).

Zápis zlomkovej časti je vždy určený jej rozmerom. Desatinný zápis vyzerá takto:

Pravidlá pre prevod medzi rôznymi typmi zlomkov

• Prevod zmiešaného zlomku na bežný zlomok

Zmiešanú frakciu možno previesť iba na nesprávnu frakciu. Na preklad je potrebné priviesť celú časť k rovnakému menovateľovi ako zlomková časť. Vo všeobecnosti to bude vyzerať takto:
Pozrime sa na použitie tohto pravidla na konkrétnych príkladoch:

• Prevod bežného zlomku na zmiešaný zlomok

Nevlastný zlomok možno jednoduchým delením premeniť na zmiešaný zlomok, čím vznikne celá časť a zvyšok (zlomková časť).

Prevedieme napríklad zlomok 439/31 na zmiešaný:
​​

• Prevod zlomkov

V niektorých prípadoch je prevod zlomku na desatinné číslo pomerne jednoduchý. V tomto prípade sa použije základná vlastnosť zlomku: čitateľ a menovateľ sa vynásobia rovnakým číslom, aby sa deliteľ dostal na číslo 10.

Napríklad:

V niektorých prípadoch možno budete musieť nájsť podiel delením podľa rohov alebo pomocou kalkulačky. A niektoré zlomky sa nedajú zredukovať na posledné desatinné číslo. Napríklad zlomok 1/3 pri delení nikdy neposkytne konečný výsledok.

V tomto článku sa pozrieme na to, ako prevod zlomkov na desatinné miesta, a tiež zvážte opačný proces - prevod desatinných zlomkov na obyčajné zlomky. Tu načrtneme pravidlá prevodu zlomkov a poskytneme podrobné riešenia typických príkladov.

Navigácia na stránke.

Prevod zlomkov na desatinné miesta

Označme postupnosť, ktorou sa budeme zaoberať prevod zlomkov na desatinné miesta.

Najprv sa pozrieme na to, ako reprezentovať zlomky s menovateľmi 10, 100, 1 000, ... ako desatinné miesta. Vysvetľuje to skutočnosť, že desatinné zlomky sú v podstate kompaktnou formou zápisu obyčajných zlomkov s menovateľmi 10, 100, ....

Potom pôjdeme ďalej a ukážeme si, ako zapísať ľubovoľný obyčajný zlomok (nielen tie s menovateľmi 10, 100, ...) ako desatinný zlomok. Keď sa obyčajné zlomky spracujú týmto spôsobom, získajú sa konečné desatinné zlomky aj nekonečné periodické desatinné zlomky.

Teraz poďme hovoriť o všetkom v poriadku.

Prevod bežných zlomkov s menovateľmi 10, 100, ... na desatinné miesta

Niektoré správne zlomky vyžadujú pred prevodom na desatinné miesta „predbežnú prípravu“. Platí to pre obyčajné zlomky, ktorých počet číslic v čitateli je menší ako počet núl v menovateli. Napríklad bežný zlomok 2/100 sa musí najskôr pripraviť na prevod na desatinný zlomok, ale zlomok 9/10 žiadnu prípravu nepotrebuje.

„Predbežná príprava“ správnych obyčajných zlomkov na prevod na desatinné zlomky pozostáva z pridania toľkých núl vľavo v čitateľovi, aby sa celkový počet číslic v menovateli rovnal počtu núl. Napríklad zlomok po pridaní núl bude vyzerať takto.

Keď máte pripravený správny zlomok, môžete ho začať prevádzať na desatinné číslo.

Dajme si pravidlo na prevod riadneho spoločného zlomku s menovateľom 10, alebo 100, alebo 1 000, ... na desatinný zlomok. Pozostáva z troch krokov:

• napíš 0;
• za ním dáme desatinnú čiarku;
• Číslo z čitateľa zapíšeme (spolu s pridanými nulami, ak sme ich sčítali).

Uvažujme o aplikácii tohto pravidla pri riešení príkladov.

Príklad.

Preveďte správny zlomok 37/100 na desatinné číslo.

Riešenie.

Menovateľ obsahuje číslo 100, ktoré má dve nuly. Čitateľ obsahuje číslo 37, jeho zápis je dvojciferný, preto tento zlomok nie je potrebné pripravovať na prevod na desatinný zlomok.

Teraz napíšeme 0, dáme desatinnú čiarku a napíšeme číslo 37 z čitateľa a dostaneme desatinný zlomok 0,37.

odpoveď:

0,37 .

Aby sme si upevnili schopnosť prevádzať správne obyčajné zlomky s čitateľmi 10, 100, ... na desatinné zlomky, analyzujeme riešenie na inom príklade.

Príklad.

Napíšte správny zlomok 107/10 000 000 ako desatinné číslo.

Riešenie.

Počet číslic v čitateli je 3 a počet núl v menovateli je 7, takže tento spoločný zlomok je potrebné pripraviť na prevod na desatinné číslo. Potrebujeme pridať 7-3=4 nuly doľava do čitateľa, aby sa celkový počet číslic v menovateli rovnal počtu núl. Dostaneme.

Zostáva len vytvoriť požadovaný desatinný zlomok. Aby sme to urobili, po prvé, napíšeme 0, po druhé, dáme čiarku, po tretie zapíšeme číslo z čitateľa spolu s nulami 0000107, výsledkom čoho je desatinný zlomok 0,0000107.

odpoveď:

0,0000107 .

Nesprávne zlomky si pri prevode na desatinné miesta nevyžadujú žiadnu prípravu. Treba dodržať nasledovné pravidlá pre prevod nevlastných zlomkov s menovateľmi 10, 100, ... na desatinné miesta:

• zapíšte si číslo z čitateľa;
• Desatinnou čiarkou oddeľujeme toľko číslic napravo, koľko núl je v menovateli pôvodného zlomku.

Pozrime sa na uplatnenie tohto pravidla pri riešení príkladu.

Príklad.

Preveďte nesprávny zlomok 56 888 038 009/100 000 na desatinné číslo.

Riešenie.

Po prvé si zapíšeme číslo z čitateľa 56888038009 a po druhé oddelíme 5 číslic vpravo desatinnou čiarkou, keďže menovateľ pôvodného zlomku má 5 núl. Výsledkom je desatinný zlomok 568880,38009.

odpoveď:

568 880,38009 .

Ak chcete previesť zmiešané číslo na desatinný zlomok, ktorého menovateľom zlomkovej časti je číslo 10, alebo 100, alebo 1 000, ..., môžete zmiešané číslo previesť na nesprávny obyčajný zlomok a potom previesť výsledný zlomok na desatinný zlomok. Môžete však použiť aj nasledujúce pravidlo na prevod zmiešaných čísel so zlomkovým menovateľom 10, alebo 100, alebo 1 000, ... na desatinné zlomky:

• v prípade potreby vykonáme „predprípravu“ zlomkovej časti pôvodného zmiešaného čísla pridaním požadovaného počtu núl doľava v čitateli;
• zapíšte si celú časť pôvodného zmiešaného čísla;
• dať desatinnú čiarku;
• Číslo z čitateľa zapíšeme spolu s pridanými nulami.

Pozrime sa na príklad, v ktorom dokončíme všetky potrebné kroky na vyjadrenie zmiešaného čísla ako desatinného zlomku.

Príklad.

Preveďte zmiešané číslo na desatinné číslo.

Riešenie.

Menovateľ zlomkovej časti má 4 nuly, ale čitateľ obsahuje číslo 17 pozostávajúce z 2 číslic, preto musíme do čitateľa pridať dve nuly doľava, aby sa počet číslic rovnal počtu nuly v menovateli. Keď to urobíte, čitateľ bude 0017.

Teraz si zapíšeme celú časť pôvodného čísla, teda číslo 23, dáme desatinnú čiarku, za ktorú napíšeme číslo z čitateľa spolu s pridanými nulami, teda 0017, a dostaneme požadované desatinné číslo. frakcia 23.0017.

Stručne si zapíšme celé riešenie: .

Samozrejme, bolo možné najprv reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok a potom ho previesť na desatinný zlomok. S týmto prístupom riešenie vyzerá takto: .

odpoveď:

23,0017 .

Prevod zlomkov na konečné a nekonečné periodické desatinné miesta

Na desatinný zlomok môžete previesť nielen bežné zlomky s menovateľmi 10, 100, ..., ale aj bežné zlomky s inými menovateľmi. Teraz zistíme, ako sa to robí.

V niektorých prípadoch sa pôvodný obyčajný zlomok ľahko zredukuje na jeden z menovateľov 10, 100, alebo 1 000, ... (pozri prenesenie obyčajného zlomku do nového menovateľa), po čom nie je ťažké znázorniť výsledný zlomok. ako desatinný zlomok. Napríklad je zrejmé, že zlomok 2/5 je možné redukovať na zlomok s menovateľom 10, na to musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa číslom 2, čím získate zlomok 4/10, ktorý podľa pravidlá diskutované v predchádzajúcom odseku sa ľahko prevedú na desatinný zlomok 0, 4 .

V iných prípadoch musíte použiť inú metódu prevodu obyčajného zlomku na desatinné miesto, o ktorom teraz prejdeme k úvahe.

Na prevod obyčajného zlomku na desatinný zlomok sa čitateľ zlomku vydelí menovateľom, čitateľ sa najskôr nahradí rovnakým desatinným zlomkom s ľubovoľným počtom núl za desatinnou čiarkou (hovorili sme o tom v časti rovné a nerovnaké desatinné zlomky). V tomto prípade sa delenie vykonáva rovnakým spôsobom ako delenie stĺpcom prirodzených čísel a v kvociente sa umiestni desatinná čiarka, keď sa delenie celej časti dividendy skončí. Toto všetko bude zrejmé z riešení príkladov uvedených nižšie.

Príklad.

Preveďte zlomok 621/4 na desatinné číslo.

Riešenie.

Predstavme si číslo v čitateli 621 ako desatinný zlomok, pričom za ním pridáme desatinnú čiarku a niekoľko núl. Najprv pripočítajme 2 číslice 0, neskôr v prípade potreby môžeme vždy pridať ďalšie nuly. Takže máme 621,00.

Teraz vydeľme číslo 621 000 4 stĺpcom. Prvé tri kroky sa nelíšia od delenia prirodzených čísel stĺpcom, po ktorom sa dostaneme k nasledujúcemu obrázku:

Takto sa dostaneme k desatinnej čiarke v dividende a zvyšok je iný ako nula. V tomto prípade vložíme do podielu desatinnú čiarku a pokračujeme v delení v stĺpci, pričom nevenujeme pozornosť čiarkam:

Tým je delenie hotové a vo výsledku dostaneme desatinný zlomok 155,25, ktorý zodpovedá pôvodnému obyčajnému zlomku.

odpoveď:

155,25 .

Na konsolidáciu materiálu zvážte riešenie iného príkladu.

Príklad.

Preveďte zlomok 21/800 na desatinné číslo.

Riešenie.

Aby sme previedli tento bežný zlomok na desatinné číslo, vydelíme ho stĺpcom s desatinným zlomkom 21 000... 800. Po prvom kroku budeme musieť do kvocientu vložiť desatinnú čiarku a potom pokračovať v delení:

Nakoniec sme dostali zvyšok 0, tým sa dokončí prevod bežného zlomku 21/400 na desatinný zlomok a dospeli sme k desatinnému zlomku 0,02625.

odpoveď:

0,02625 .

Môže sa stať, že pri delení čitateľa menovateľom obyčajného zlomku aj tak nedostaneme zvyšok 0. V týchto prípadoch môže delenie pokračovať donekonečna. Od určitého kroku sa však zvyšky začnú periodicky opakovať a čísla v kvociente sa tiež opakujú. To znamená, že pôvodný zlomok sa prevedie na nekonečný periodický desatinný zlomok. Ukážme si to na príklade.

Príklad.

Zlomok 19/44 napíšte ako desatinné číslo.

Riešenie.

Ak chcete previesť obyčajný zlomok na desatinné číslo, vykonajte delenie podľa stĺpca:

Už je jasné, že pri delení sa začali opakovať zvyšky 8 a 36, ​​pričom v kvociente sa opakujú čísla 1 a 8. Pôvodný spoločný zlomok 19/44 sa teda prevedie na periodický desatinný zlomok 0,43181818...=0,43(18).

odpoveď:

0,43(18) .

Na záver tohto bodu zistíme, ktoré obyčajné zlomky možno previesť na konečné desatinné zlomky a ktoré iba na periodické.

Majme pred sebou nezredukovateľný obyčajný zlomok (ak je zlomok redukovateľný, tak zlomok najskôr zredukujeme) a musíme zistiť, na ktorý desatinný zlomok sa dá previesť - konečný alebo periodický.

Je jasné, že ak sa obyčajný zlomok dá zredukovať na jeden z menovateľov 10, 100, 1 000, ..., potom sa výsledný zlomok dá ľahko previesť na konečný desatinný zlomok podľa pravidiel diskutovaných v predchádzajúcom odseku. Ale k menovateľom 10, 100, 1 000 atď. Nie sú uvedené všetky bežné zlomky. Na takéto menovateľe možno redukovať len zlomky, ktorých menovateľom je aspoň jedno z čísel 10, 100, ... A aké čísla môžu byť deliteľmi 10, 100, ...? Čísla 10, 100, ... nám umožnia odpovedať na túto otázku a sú nasledovné: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1 000 = 2 2 2 5 5 5, .... Z toho vyplýva, že deliteľmi sú 10, 100, 1 000 atď. Môžu existovať iba čísla, ktorých rozklad na prvočísla obsahuje iba čísla 2 a (alebo) 5.

Teraz môžeme urobiť všeobecný záver o prevode obyčajných zlomkov na desatinné miesta:

• ak sú pri rozklade menovateľa na prvočísla prítomné iba čísla 2 a (alebo) 5, potom možno tento zlomok previesť na konečný desatinný zlomok;
• ak sú v expanzii menovateľa okrem dvojky a päťky aj iné prvočísla, potom sa tento zlomok prevedie na nekonečný desatinný periodický zlomok.

Príklad.

Bez prevodu obyčajných zlomkov na desatinné miesta mi povedzte, ktoré zo zlomkov 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 možno previesť na konečný desatinný zlomok a ktoré iba na periodický zlomok.

Riešenie.

Menovateľ zlomku 47/20 sa rozkladá na prvočísla ako 20=2·2·5. V tomto rozšírení sú len dvojky a päťky, takže tento zlomok možno zredukovať na jeden z menovateľov 10, 100, 1 000, ... (v tomto príklade na menovateľ 100), preto ho možno previesť na konečné desatinné číslo. zlomok.

Rozklad menovateľa zlomku 7/12 na prvočiniteľa má tvar 12=2·2·3. Keďže obsahuje prvočíslo 3, odlišné od 2 a 5, tento zlomok nemôže byť reprezentovaný ako konečné desatinné miesto, ale môže byť prevedený na periodické desatinné miesto.

Zlomok 21/56 – kontraktilné, po kontrakcii má podobu 3/8. Rozloženie menovateľa na prvočísla obsahuje tri faktory rovné 2, preto je možné spoločný zlomok 3/8 a teda rovný zlomok 21/56 previesť na konečný desatinný zlomok.

Napokon, rozšírenie menovateľa zlomku 31/17 je samotné 17, preto tento zlomok nemožno previesť na konečný desatinný zlomok, ale možno ho previesť na nekonečný periodický zlomok.

odpoveď:

47/20 a 21/56 je možné previesť na konečný desatinný zlomok, ale 7/12 a 31/17 je možné previesť iba na periodický zlomok.

Obyčajné zlomky sa nekonvertujú na nekonečné neperiodické desatinné miesta

Informácie v predchádzajúcom odseku vyvolávajú otázku: „Môže delenie čitateľa zlomku menovateľom viesť k nekonečnému neperiodickému zlomku?

odpoveď: nie. Pri prevode bežného zlomku môže byť výsledkom buď konečný desatinný zlomok, alebo nekonečný periodický desatinný zlomok. Poďme si vysvetliť, prečo je to tak.

Z vety o deliteľnosti so zvyškom je zrejmé, že zvyšok je vždy menší ako deliteľ, teda ak nejaké celé číslo vydelíme celým číslom q, potom zvyšok môže byť len jedno z čísel 0, 1, 2 , ..., q−1. Z toho vyplýva, že po delení celej časti čitateľa obyčajného zlomku v stĺpci menovateľom q nastane v maximálne q krokoch jedna z nasledujúcich dvoch situácií:

• alebo dostaneme zvyšok 0, tým sa delenie ukončí a dostaneme konečný desatinný zlomok;
• alebo dostaneme zvyšok, ktorý sa už predtým objavil, po ktorom sa zvyšky začnú opakovať ako v predchádzajúcom príklade (keďže pri delení rovnakých čísel q sa získajú rovnaké zvyšky, čo vyplýva z už spomínanej vety o deliteľnosti), toto výsledkom bude nekonečný periodický desatinný zlomok.

Iné možnosti nie sú, preto pri prevode obyčajného zlomku na desatinný zlomok nemožno získať nekonečný neperiodický desatinný zlomok.

Z úvahy uvedenej v tomto odseku tiež vyplýva, že dĺžka periódy desatinného zlomku je vždy menšia ako hodnota menovateľa príslušného obyčajného zlomku.

Prevod desatinných miest na zlomky

Teraz poďme zistiť, ako previesť desatinný zlomok na obyčajný zlomok. Začnime prevodom konečných desatinných zlomkov na obyčajné zlomky. Potom zvážime metódu invertovania nekonečných periodických desatinných zlomkov. Na záver si povedzme o nemožnosti previesť nekonečné neperiodické desatinné zlomky na obyčajné zlomky.

Prevod koncových desatinných miest na zlomky

Získanie zlomku, ktorý je zapísaný ako konečné desatinné miesto, je celkom jednoduché. Pravidlo na prevod konečného desatinného zlomku na bežný zlomok pozostáva z troch krokov:

• najprv zapíšte daný desatinný zlomok do čitateľa, pričom ste predtým zahodili desatinnú čiarku a všetky nuly vľavo, ak nejaké existujú;
• po druhé, do menovateľa napíšte jednotku a pridajte k nej toľko núl, koľko je číslic za desatinnou čiarkou v pôvodnom desatinnom zlomku;
• po tretie, ak je to potrebné, znížte výslednú frakciu.

Pozrime sa na riešenia príkladov.

Príklad.

Preveďte desatinné číslo 3,025 na zlomok.

Riešenie.

Ak odstránime desatinnú čiarku z pôvodného desatinného zlomku, dostaneme číslo 3 025. Vľavo nie sú žiadne nuly, ktoré by sme zahodili. Takže do čitateľa požadovaného zlomku napíšeme 3 025.

Do menovateľa napíšeme číslo 1 a napravo od neho pripočítame 3 nuly, keďže v pôvodnom desatinnom zlomku sú za desatinnou čiarkou 3 číslice.

Takže sme dostali spoločný zlomok 3 025/1 000. Tento zlomok môže byť znížený o 25, dostaneme .

odpoveď:

.

Príklad.

Preveďte desatinný zlomok 0,0017 na zlomok.

Riešenie.

Bez desatinnej čiarky vyzerá pôvodný desatinný zlomok ako 00017, po vyradení núl naľavo dostaneme číslo 17, čo je čitateľ požadovaného obyčajného zlomku.

Jedničku zapíšeme so štyrmi nulami do menovateľa, keďže pôvodný desatinný zlomok má za desatinnou čiarkou 4 číslice.

Výsledkom je obyčajný zlomok 17/10 000. Tento zlomok je neredukovateľný a konverzia desatinného zlomku na obyčajný zlomok je dokončená.

odpoveď:

.

Keď je celočíselná časť pôvodného konečného desatinného zlomku nenulová, môže sa okamžite previesť na zmiešané číslo, čím sa obíde bežný zlomok. Dajme si pravidlo na prevod konečného desatinného zlomku na zmiešané číslo:

• číslo pred desatinnou čiarkou sa musí zapísať ako celá časť požadovaného zmiešaného čísla;
• v čitateli zlomkovej časti musíte zapísať číslo získané z zlomkovej časti pôvodného desatinného zlomku po vyradení všetkých núl vľavo;
• v menovateli zlomkovej časti musíte zapísať číslo 1, ku ktorému pridajte toľko núl vpravo, koľko je číslic za desatinnou čiarkou v pôvodnom desatinnom zlomku;
• ak je to potrebné, znížte zlomkovú časť výsledného zmiešaného čísla.

Pozrime sa na príklad prevodu desatinného zlomku na zmiešané číslo.

Príklad.

Vyjadrite desatinný zlomok 152,06005 ako zmiešané číslo

V suchom matematickom jazyku je zlomok číslo, ktoré je reprezentované ako časť jednotky. Zlomky sú široko používané v ľudskom živote: používame zlomky na označenie pomerov v kulinárskych receptoch, dávame desatinné skóre v súťažiach alebo ich používame na výpočet zliav v obchodoch.

Znázornenie zlomkov

Existujú najmenej dve formy zápisu jedného zlomkového čísla: v desiatkovej forme alebo vo forme obyčajného zlomku. V desiatkovej forme čísla vyzerajú ako 0,5; 0,25 alebo 1,375. Ktorúkoľvek z týchto hodnôt môžeme reprezentovať ako obyčajný zlomok:

• 0,5 = 1/2;
• 0,25 = 1/4;
• 1,375 = 11/8.

A ak ľahko prevedieme 0,5 a 0,25 z obyčajného zlomku na desatinné a späť, tak v prípade čísla 1,375 nie je všetko zrejmé. Ako rýchlo previesť ľubovoľné desatinné číslo na zlomok? Existujú tri jednoduché spôsoby.

Zbavenie sa čiarky

Najjednoduchší algoritmus zahŕňa násobenie čísla 10, kým čiarka nezmizne z čitateľa. Táto transformácia sa vykonáva v troch krokoch:

Krok 1: Na začiatok napíšeme desatinné číslo ako zlomok „číslo/1“, čiže dostaneme 0,5/1; 0,25/1 a 1,375/1.

Krok 2: Potom násobte čitateľa a menovateľa nových zlomkov, kým z čitateľov nezmizne čiarka:

• 0,5/1 = 5/10;
• 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
• 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.

Krok 3: Výsledné frakcie zredukujeme do stráviteľnej formy:

• 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
• 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.

Číslo 1,375 bolo potrebné vynásobiť trikrát 10, čo už nie je veľmi pohodlné, ale čo musíme urobiť, ak potrebujeme previesť číslo 0,000625? V tejto situácii používame nasledujúcu metódu prevodu zlomkov.

Zbaviť sa čiarok ešte jednoduchšie

Prvá metóda podrobne popisuje algoritmus na „odstránenie“ čiarky z desatinnej čiarky, ale tento proces môžeme zjednodušiť. Opäť postupujeme v troch krokoch.

Krok 1: Spočítame, koľko číslic je za desatinnou čiarkou. Napríklad číslo 1,375 má tri takéto číslice a 0,000625 má šesť. Toto množstvo budeme označovať písmenom n.

Krok 2: Teraz potrebujeme zlomok znázorniť v tvare C/10 n, kde C sú platné číslice zlomku (bez núl, ak nejaké existujú) a n je počet číslic za desatinnou čiarkou. Napr.:

• pre číslo 1,375 C = 1375, n = 3, konečný zlomok podľa vzorca 1375/10 3 = 1375/1000;
• pre číslo 0,000625 C = 625, n = 6, konečný zlomok podľa vzorca 625/10 6 = 625/1000000.

10n je v podstate 1 s n nulami, takže sa nemusíte obťažovať zvyšovaním desiatky na mocninu – stačí 1 s n núl. Potom je vhodné znížiť zlomok tak bohatý na nuly.

Krok 3: Znížime nuly a dostaneme konečný výsledok:

• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
• 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.

Zlomok 11/8 je nesprávny zlomok, pretože jeho čitateľ je väčší ako menovateľ, čo znamená, že môžeme izolovať celú časť. V tejto situácii odpočítame celú časť 8/8 od 11/8 a dostaneme zvyšok 3/8, preto zlomok vyzerá ako 1 a 3/8.

Konverzia podľa ucha

Pre tých, ktorí vedia správne čítať desatinné čísla, je najjednoduchší spôsob ich prevodu počutím. Ak čítate 0,025 nie ako „nula, nula, dvadsaťpäť“, ale ako „25 tisícin“, potom nebudete mať problém s prevodom desatinných miest na zlomky.

0,025 = 25/1000 = 1/40

Správne čítanie desatinného čísla vám teda umožňuje okamžite ho zapísať ako zlomok a v prípade potreby ho zmenšiť.

Príklady použitia zlomkov v každodennom živote

Bežné zlomky sa na prvý pohľad v bežnom živote ani v práci prakticky nepoužívajú a ťažko si predstaviť situáciu, keď potrebujete previesť desatinný zlomok na bežný zlomok mimo školských úloh. Pozrime sa na pár príkladov.

Job

Takže pracujete v cukrárni a predávate chalvu na váhu. Aby ste uľahčili predaj produktu, rozdelíte halvu na kilogramové brikety, ale len málo kupujúcich je ochotných kúpiť celý kilogram. Preto musíte pochúťku zakaždým rozdeliť na kúsky. A ak si od vás ďalší kupujúci vypýta 0,4 kg chalvy, bez problémov mu požadovanú porciu predáte.

0,4 = 4/10 = 2/5

Život

Napríklad musíte vyrobiť 12% roztok, aby ste model namaľovali v požadovanom odtieni. Aby ste to dosiahli, musíte zmiešať farbu a rozpúšťadlo, ale ako to urobiť správne? 12 % je desatinný zlomok 0,12. Preveďte číslo na spoločný zlomok a získajte:

0,12 = 12/100 = 3/25

Poznanie frakcií vám pomôže správne zmiešať ingrediencie a získať požadovanú farbu.

Záver

Zlomky sa bežne používajú v každodennom živote, takže ak často potrebujete previesť desatinné miesta na zlomky, budete chcieť použiť online kalkulačku, ktorá dokáže okamžite získať výsledok ako zmenšený zlomok.

Ak potrebujeme deliť 497 4, tak pri delení uvidíme, že 497 nie je deliteľné 4 rovnomerne, t.j. zostáva zvyšok divízie. V takýchto prípadoch sa hovorí, že je dokončená rozdelenie so zvyškom a riešenie je napísané takto:
497:4 = 124 (1 zvyšok).

Zložky delenia na ľavej strane rovnosti sa nazývajú rovnako ako pri delení bezo zvyšku: 497 - dividenda, 4 - rozdeľovač. Výsledok delenia pri delení zvyškom sa nazýva neúplné súkromné. V našom prípade je to číslo 124. A nakoniec posledná zložka, ktorá nie je v bežnom delení, je zvyšok. V prípadoch, kde nie je žiadny zvyšok, sa hovorí, že jedno číslo sa delí druhým bez stopy, alebo úplne. Predpokladá sa, že pri takomto delení je zvyšok nula. V našom prípade je zvyšok 1.

Zvyšok je vždy menší ako deliteľ.

Delenie je možné skontrolovať násobením. Ak existuje napríklad rovnosť 64: 32 = 2, potom sa kontrola môže vykonať takto: 64 = 32 * 2.

Často v prípadoch, keď sa vykonáva delenie so zvyškom, je vhodné použiť rovnosť
a = b * n + r,
kde a je dividenda, b je deliteľ, n je čiastočný podiel, r je zvyšok.

Podiel prirodzených čísel možno zapísať ako zlomok.

Čitateľ zlomku je dividenda a menovateľ je deliteľ.

Keďže čitateľ zlomku je dividenda a menovateľ je deliteľ, verte, že čiara zlomku znamená akciu delenia. Niekedy je vhodné napísať delenie ako zlomok bez použitia znaku „:“.

Podiel delenia prirodzených čísel m a n možno zapísať ako zlomok \(\frac(m)(n)\), kde čitateľ m je dividenda a menovateľ n je deliteľ:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Nasledujúce pravidlá sú pravdivé:

Ak chcete získať zlomok \(\frac(m)(n)\), musíte rozdeliť jednotku na n rovnakých častí (podielov) a vziať m takýchto častí.

Ak chcete získať zlomok \(\frac(m)(n)\), musíte vydeliť číslo m číslom n.

Na nájdenie časti celku je potrebné vydeliť číslo zodpovedajúce celku menovateľom a výsledok vynásobiť čitateľom zlomku, ktorý túto časť vyjadruje.

Ak chcete nájsť celok z jeho časti, musíte vydeliť číslo zodpovedajúce tejto časti čitateľom a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku, ktorý túto časť vyjadruje.

Ak sa čitateľ aj menovateľ zlomku vynásobia rovnakým číslom (okrem nuly), hodnota zlomku sa nezmení:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ak je čitateľ aj menovateľ zlomku delený rovnakým číslom (okrem nuly), hodnota zlomku sa nezmení:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Táto vlastnosť je tzv hlavná vlastnosť zlomku.

Posledné dve transformácie sú tzv zníženie zlomku.

Ak je potrebné zlomky reprezentovať ako zlomky s rovnakým menovateľom, potom sa táto akcia nazýva privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Správne a nesprávne zlomky. Zmiešané čísla

Už viete, že zlomok možno získať tak, že rozdelíte celok na rovnaké časti a vezmete niekoľko takýchto častí. Napríklad zlomok \(\frac(3)(4)\) znamená tri štvrtiny jednotky. V mnohých problémoch v predchádzajúcom odseku boli zlomky použité na znázornenie častí celku. Zdravý rozum hovorí, že časť by mala byť vždy menšia ako celok, ale čo zlomky ako \(\frac(5)(5)\) alebo \(\frac(8)(5)\)? Je jasné, že toto už nie je súčasťou jednotky. Pravdepodobne preto sa nazývajú zlomky, ktorých čitateľ je väčší alebo rovný menovateľovi nesprávne zlomky. Zvyšné zlomky, t. j. zlomky, ktorých čitateľ je menší ako menovateľ, sa nazývajú správne zlomky.

Ako viete, každý spoločný zlomok, správny aj nevlastný, možno považovať za výsledok delenia čitateľa menovateľom. Preto v matematike, na rozdiel od bežného jazyka, výraz „nepravý zlomok“ neznamená, že sme urobili niečo zlé, ale iba to, že čitateľ tohto zlomku je väčší alebo rovný menovateľovi.

Ak sa číslo skladá z celej časti a zlomku, potom napr frakcie sa nazývajú zmiešané.

Napríklad:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 je celá časť a \(\frac(2)(3) \) je zlomková časť.

Ak je čitateľ zlomku \(\frac(a)(b)\) deliteľný prirodzeným číslom n, potom, aby sa tento zlomok vydelil číslom n, musí byť jeho čitateľ delený týmto číslom:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ak čitateľ zlomku \(\frac(a)(b)\) nie je deliteľný prirodzeným číslom n, potom na rozdelenie tohto zlomku n je potrebné vynásobiť jeho menovateľa týmto číslom:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Všimnite si, že druhé pravidlo platí aj vtedy, keď je čitateľ deliteľný číslom n. Preto ho môžeme použiť, keď je na prvý pohľad ťažké určiť, či čitateľ zlomku je deliteľný n alebo nie.

Akcie so zlomkami. Pridávanie zlomkov.

Môžete vykonávať aritmetické operácie so zlomkovými číslami, rovnako ako s prirodzenými číslami. Najprv sa pozrime na sčítanie zlomkov. Je ľahké pridať zlomky s podobnými menovateľmi. Nájdite napríklad súčet \(\frac(2)(7)\) a \(\frac(3)(7)\). Je ľahké pochopiť, že \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa rovnakého.

Pomocou písmen možno pravidlo na sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi napísať takto:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ak potrebujete pridať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najskôr zredukovať na spoločného menovateľa. Napríklad:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Pre zlomky, rovnako ako pre prirodzené čísla, platia komutatívne a asociatívne vlastnosti sčítania.

Pridávanie zmiešaných frakcií

Zavolajú sa zápisy ako \(2\frac(2)(3)\). zmiešané frakcie. V tomto prípade sa volá číslo 2 celú časť zmiešaný zlomok a číslo \(\frac(2)(3)\) je jeho zlomková časť. Záznam \(2\frac(2)(3)\) znie takto: „dve a dve tretiny“.

Pri delení čísla 8 číslom 3 získate dve odpovede: \(\frac(8)(3)\) a \(2\frac(2)(3)\). Vyjadrujú rovnaké zlomkové číslo, t.j. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Nevlastný zlomok \(\frac(8)(3)\) je teda reprezentovaný ako zmiešaný zlomok \(2\frac(2)(3)\). V takýchto prípadoch hovoria, že z nesprávneho zlomku zvýraznil celú časť.

Odčítanie zlomkov (zlomkové čísla)

Odčítanie zlomkových čísel, podobne ako prirodzené čísla, sa určuje na základe akcie sčítania: odčítanie ďalšieho od jedného čísla znamená nájsť číslo, ktoré po pripočítaní k druhému dáva prvé. Napríklad:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) keďže \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Pravidlo na odčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi je podobné pravidlu na sčítanie takýchto zlomkov:
Ak chcete nájsť rozdiel medzi zlomkami s rovnakými menovateľmi, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechať menovateľa rovnakého.

Pomocou písmen je toto pravidlo napísané takto:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov a napísať prvý súčin ako čitateľ a druhý ako menovateľ.

Pomocou písmen možno pravidlo pre násobenie zlomkov napísať takto:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Pomocou formulovaného pravidla môžete vynásobiť zlomok prirodzeným číslom, zmiešaným zlomkom a tiež vynásobiť zmiešané zlomky. Aby ste to dosiahli, musíte napísať prirodzené číslo ako zlomok s menovateľom 1, zmiešaný zlomok - ako nesprávny zlomok.

Výsledok násobenia by sa mal zjednodušiť (ak je to možné) znížením zlomku a izolovaním celej časti nesprávneho zlomku.

Pre zlomky, rovnako ako pre prirodzené čísla, platia komutatívne a kombinačné vlastnosti násobenia, ako aj distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie.

Delenie zlomkov

Vezmime zlomok \(\frac(2)(3)\) a „otočíme“ ho, pričom vymeníme čitateľa a menovateľa. Dostaneme zlomok \(\frac(3)(2)\). Tento zlomok sa nazýva obrátene zlomky \(\frac(2)(3)\).

Ak teraz zlomok \(\frac(3)(2)\ „prevrátime“, dostaneme pôvodný zlomok \(\frac(2)(3)\). Preto sa zlomky ako \(\frac(2)(3)\) a \(\frac(3)(2)\) nazývajú vzájomne inverzné.

Napríklad zlomky \(\frac(6)(5) \) a \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) a \(\frac (18) )(7)\).

Pomocou písmen možno vzájomné zlomky zapísať takto: \(\frac(a)(b) \) a \(\frac(b)(a) \)

Je jasné že súčin recipročných zlomkov sa rovná 1. Napríklad: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Pomocou recipročných zlomkov môžete znížiť delenie zlomkov na násobenie.

Pravidlo na delenie zlomku zlomkom je:
Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, musíte dividendu vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.

Pomocou písmen možno pravidlo na delenie zlomkov napísať takto:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Ak je deliteľ alebo deliteľ prirodzené číslo alebo zmiešaný zlomok, potom, aby sa použilo pravidlo na delenie zlomkov, musí byť najprv znázornené ako nevlastný zlomok.