Bistvo te tehnike je iskanje korenin brez pomoči diskriminatorja. Za enačbo oblike x2 + bx + c = 0, kjer sta dva realno različna korena, veljata dve trditvi.

Prva trditev pravi, da je vsota korenov te enačbe enaka vrednosti koeficienta spremenljivke x (v tem primeru je b), vendar z nasprotnim predznakom. Vizualno je videti takole: x1 + x2 = −b.

Drugi stavek ni več povezan z vsoto, temveč s produktom istih dveh korenov. Ta produkt je enačen s prostim koeficientom, tj. c. Ali x1 * x2 = c. Oba primera sta rešena v sistemu.

Vietov izrek močno poenostavi rešitev, vendar ima eno omejitev. Kvadratno enačbo, katere korene je mogoče najti s to tehniko, je treba zmanjšati. V zgornji enačbi za koeficient a je tisti pred x2 enak ena. Vsako enačbo lahko reduciramo na podobno obliko, če izraz delimo s prvim koeficientom, vendar ta operacija ni vedno racionalna.

Dokaz izreka

Za začetek se spomnimo, kako je po tradiciji običajno iskati korenine kvadratne enačbe. Najdena sta prvi in ​​drugi koren, in sicer: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Na splošno je deljivo z 2a, vendar, kot že omenjeno, je izrek mogoče uporabiti le, če je a=1.

Iz Vietovega izreka je znano, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z znakom minus. To pomeni, da je x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Enako velja za produkt neznanih korenov: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Po drugi strani je D = b2-4c (spet z a=1). Izkaže se, da je rezultat: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Iz zgornjega preprostega dokaza je mogoče potegniti samo eno ugotovitev: Vietov izrek je popolnoma potrjen.

Druga formulacija in dokaz

Vietov izrek ima še eno razlago. Natančneje, ne gre za interpretacijo, ampak za formulacijo. Dejstvo je, da če so izpolnjeni enaki pogoji kot v prvem primeru: obstajata dva različna resnična korena, potem lahko izrek zapišemo v drugačni formuli.

Ta enakost izgleda takole: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Če se funkcija P(x) seka v dveh točkah x1 in x2, jo lahko zapišemo kot P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). V primeru, ko ima P drugo stopnjo in točno tako izgleda prvotni izraz, potem je R praštevilo, in sicer 1. Ta trditev drži iz razloga, ker sicer enakost ne bo veljala. Koeficient x2 pri odpiranju oklepajev ne sme biti večji od ena, izraz pa mora ostati kvadraten.

Prva stopnja

Kvadratne enačbe. Obsežen vodnik (2019)

V izrazu "kvadratna enačba" je ključna beseda "kvadratna". To pomeni, da mora enačba nujno vsebovati spremenljivko (isti X) v kvadratu, hkrati pa ne sme biti X-ov na tretji (ali višji) stopnji.

Rešitev številnih enačb se reducira na rešitev kvadratnih enačb.

Naučimo se ugotoviti, da imamo kvadratno enačbo in ne kakšno drugo.

Primer 1

Znebite se imenovalca in vsak člen enačbe pomnožite s

Premaknimo vse na levo stran in razvrstimo člene v padajočem vrstnem redu potenc x

Zdaj lahko z gotovostjo trdimo, da je ta enačba kvadratna!

Primer 2

Pomnožite levo in desno stran z:

Ta enačba, čeprav je bila prvotno v njej, ni kvadrat!

Primer 3

Pomnožimo vse z:

Strašljivo? Četrta in druga stopnja ... Vendar, če naredimo zamenjavo, bomo videli, da imamo preprosto kvadratno enačbo:

Primer 4

Zdi se, da je, vendar poglejmo podrobneje. Premaknimo vse na levo stran:

Vidite, skrčil se je – in zdaj je preprosta linearna enačba!

Zdaj poskusite sami ugotoviti, katere od naslednjih enačb so kvadratne in katere ne:

Primeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. ni kvadraten;
4. ni kvadraten;
5. ni kvadraten;
6. kvadrat;
7. ni kvadraten;
8. kvadrat.

Matematiki pogojno delijo vse kvadratne enačbe na naslednje vrste:

• Popolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih koeficienti in, kot tudi prosti člen c, niso enaki nič (kot v primeru). Poleg tega so med popolnimi kvadratnimi enačbami dano so enačbe, v katerih je koeficient (enačba iz prvega primera ni samo popolna, ampak tudi zmanjšana!)

• Nepopolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

  Nepopolni so, ker jim manjka kakšen element. Toda enačba mora vedno vsebovati x na kvadrat !!! V nasprotnem primeru ne bo več kvadratna, ampak neka druga enačba.

Zakaj so se domislili takšne delitve? Zdi se, da obstaja X na kvadrat, in v redu. Takšna delitev je posledica metod rešitve. Razmislimo o vsakem od njih podrobneje.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Najprej se osredotočimo na reševanje nepopolnih kvadratnih enačb – veliko enostavnejše so!

Nepopolne kvadratne enačbe so naslednjih vrst:

1. , je v tej enačbi koeficient enak.
2. , v tej enačbi je prosti člen enak.
3. , sta v tej enačbi koeficient in prosti člen enaka.

1. i. Ker vemo, kako vzeti kvadratni koren, izrazimo iz te enačbe

Izraz je lahko negativen ali pozitiven. Kvadrat števila ne more biti negativen, ker bo pri množenju dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil rezultat vedno pozitivno število, torej: če, potem enačba nima rešitev.

In če, potem dobimo dve korenini. Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar je, da morate vedno vedeti in se spomniti, da ne more biti manj.

Poskusimo rešiti nekaj primerov.

Primer 5:

Reši enačbo

Zdaj je treba izvleči koren iz levega in desnega dela. Konec koncev, se spomnite, kako izločiti korenine?

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!!!

Primer 6:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 7:

Reši enačbo

Oh! Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin!

Za takšne enačbe, v katerih ni korenin, so si matematiki izmislili posebno ikono - (prazen niz). In odgovor se lahko zapiše takole:

odgovor:

Tako ima ta kvadratna enačba dva korena. Tukaj ni nobenih omejitev, saj nismo izvlekli korena.
Primer 8:

Reši enačbo

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja:

torej

Ta enačba ima dva korena.

odgovor:

Najenostavnejša vrsta nepopolnih kvadratnih enačb (čeprav so vse preproste, kajne?). Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Tukaj bomo storili brez primerov.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb

Spomnimo vas, da je popolna kvadratna enačba enačba oblike enačbe, kjer je

Reševanje polnih kvadratnih enačb je nekoliko bolj zapleteno (samo malo) od navedenih.

Ne pozabite, vsako kvadratno enačbo je mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Preostale metode vam bodo pomagale hitreje, če pa imate težave s kvadratnimi enačbami, najprej rešite rešitev z diskriminanto.

1. Reševanje kvadratnih enačb z diskriminanto.

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je zelo preprosto, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul.

Če ima enačba koren, posebno pozornost je treba nameniti koraku. Diskriminanta () nam pove število korenov enačbe.

• Če, potem bo formula v koraku zmanjšana na. Tako bo enačba imela samo koren.
• Če, potem v koraku ne bomo mogli izluščiti korena diskriminante. To pomeni, da enačba nima korenin.

Vrnimo se k našim enačbam in si oglejmo nekaj primerov.

Primer 9:

Reši enačbo

Korak 1 preskoči.

2. korak

Iskanje diskriminatorja:

Torej ima enačba dva korena.

3. korak

odgovor:

Primer 10:

Reši enačbo

Enačba je v standardni obliki, torej Korak 1 preskoči.

2. korak

Iskanje diskriminatorja:

Torej ima enačba en koren.

odgovor:

Primer 11:

Reši enačbo

Enačba je v standardni obliki, torej Korak 1 preskoči.

2. korak

Iskanje diskriminatorja:

To pomeni, da iz diskriminante ne bomo mogli izluščiti korena. Ni korenin enačbe.

Zdaj znamo takšne odgovore pravilno zapisati.

odgovor: brez korenin

2. Rešitev kvadratnih enačb z uporabo Vieta izreka.

Če se spomnite, potem obstaja taka vrsta enačb, ki se imenujejo zmanjšane (ko je koeficient a enak):

Takšne enačbe je zelo enostavno rešiti z uporabo Vietovega izreka:

Vsota korenin dano kvadratna enačba enaka, produkt korenin pa enak.

Primer 12:

Reši enačbo

Ta enačba je primerna za rešitev z uporabo Vieta izreka, ker .

Vsota korenov enačbe je, tj. dobimo prvo enačbo:

In izdelek je:

Ustvarimo in rešimo sistem:

• in. Vsota je;
• in. Vsota je;
• in. Znesek je enak.

in sta rešitev sistema:

odgovor: ; .

Primer 13:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 14:

Reši enačbo

Enačba je reducirana, kar pomeni:

odgovor:

KVADRATNE ENAČBE. POVPREČNA STOPNJA

Kaj je kvadratna enačba?

Z drugimi besedami, kvadratna enačba je enačba oblike, kjer je - neznano - še nekaj števil.

Število imenujemo najvišje oz prvi koeficient kvadratna enačba, - drugi koeficient, A - brezplačen član.

Zakaj? Ker če, ​​bo enačba takoj postala linearna, ker bo izginilo.

V tem primeru in je lahko enako nič. V tej enačbi blata se imenuje nepopolna. Če so vsi členi na svojem mestu, je enačba popolna.

Rešitve različnih vrst kvadratnih enačb

Metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb:

Za začetek bomo analizirali metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb - so preprostejše.

Razlikujemo lahko naslednje vrste enačb:

I. , v tej enačbi sta koeficient in prosti člen enaka.

II. , je v tej enačbi koeficient enak.

III. , v tej enačbi je prosti člen enak.

Zdaj razmislite o rešitvi vsakega od teh podtipov.

Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Število na kvadrat ne more biti negativno, ker bo pri množenju dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil rezultat vedno pozitivno število. Zato:

če, potem enačba nima rešitev;

če imamo dve korenini

Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da manj ne more biti.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!

Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin.

Če želite na kratko napisati, da težava nima rešitve, uporabimo ikono praznega niza.

odgovor:

Torej ima ta enačba dva korena: in.

odgovor:

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja:

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. To pomeni, da ima enačba rešitev, ko:

Torej ima ta kvadratna enačba dva korena: in.

primer:

Reši enačbo.

rešitev:

Levo stran enačbe faktoriziramo in poiščemo korenine:

odgovor:

Metode za reševanje popolnih kvadratnih enačb:

1. Diskriminator

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je enostavno, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul. Ne pozabite, da je vsako kvadratno enačbo mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Ste opazili koren diskriminanta v korenski formuli? Toda diskriminant je lahko negativen. Kaj storiti? Posebno pozornost moramo posvetiti 2. koraku. Diskriminanta nam pove število korenov enačbe.

• Če ima enačba koren:
• Če, potem ima enačba isti koren, vendar v resnici en koren:

  Takšne korenine imenujemo dvojne korenine.

• Če, potem koren diskriminante ni ekstrahiran. To pomeni, da enačba nima korenin.

Zakaj je število korenin različno? Obrnemo se na geometrijski pomen kvadratne enačbe. Graf funkcije je parabola:

V posebnem primeru, ki je kvadratna enačba, . In to pomeni, da so korenine kvadratne enačbe točke presečišča z osjo x (os). Parabola morda sploh ne prečka osi ali pa jo seka v eni (ko vrh parabole leži na osi) ali dveh točkah.

Poleg tega je koeficient odgovoren za smer vej parabole. Če so veje parabole usmerjene navzgor, in če - potem navzdol.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To pomeni, da ni rešitev.

Odgovor: .

2. Vietov izrek

Uporaba izreka Vieta je zelo enostavna: samo izbrati morate par števil, katerih produkt je enak prostemu členu enačbe, vsota pa je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom.

Pomembno si je zapomniti, da je Vietov izrek mogoče uporabiti samo za dane kvadratne enačbe ().

Oglejmo si nekaj primerov:

Primer #1:

Reši enačbo.

rešitev:

Ta enačba je primerna za rešitev z uporabo Vieta izreka, ker . Drugi koeficienti: ; .

Vsota korenin enačbe je:

In izdelek je:

Izberimo takšne pare števil, katerih zmnožek je enak, in preverimo, ali je njuna vsota enaka:

• in. Vsota je;
• in. Vsota je;
• in. Znesek je enak.

in sta rešitev sistema:

Tako sta in sta korenini naše enačbe.

Odgovor: ; .

Primer #2:

rešitev:

Izberemo takšne pare števil, ki dajejo zmnožek, nato pa preverimo, ali je njihova vsota enaka:

in: dati skupaj.

in: dati skupaj. Če ga želite dobiti, morate samo spremeniti znake domnevnih korenin: in navsezadnje delo.

odgovor:

Primer #3:

rešitev:

Prosti člen enačbe je negativen, zato je produkt korenin negativno število. To je mogoče le, če je eden od korenov negativen, drugi pa pozitiven. Torej je vsota korenin razlike njihovih modulov.

Izberemo takšne pare števil, ki dajejo produkt in katerih razlika je enaka:

in: njihova razlika je - ni primerna;

in: - ni primeren;

in: - ni primeren;

in: - primeren. Ostaja le, da se spomnimo, da je ena od korenin negativna. Ker mora biti njuna vsota enaka, mora biti koren, ki je absolutno manjši, negativen: . Preverjamo:

odgovor:

Primer #4:

Reši enačbo.

rešitev:

Enačba je reducirana, kar pomeni:

Prosti člen je negativen, zato je produkt korenin negativen. In to je mogoče le, če je en koren enačbe negativen, drugi pa pozitiven.

Izberemo takšne pare števil, katerih produkt je enak, in nato določimo, kateri koreni naj imajo negativni predznak:

Očitno so samo korenine in primerne za prvi pogoj:

odgovor:

Primer #5:

Reši enačbo.

rešitev:

Enačba je reducirana, kar pomeni:

Vsota korenov je negativna, kar pomeni, da je vsaj eden od korenov negativen. Ker pa je njun produkt pozitiven, pomeni, da sta oba korena minus.

Izberemo takšne pare števil, katerih produkt je enak:

Očitno so korenine številke in.

odgovor:

Strinjam se, da je zelo priročno - ustno izumljati korenine, namesto da bi šteli to grdo diskriminacijo. Poskusite uporabiti Vietov izrek čim pogosteje.

Toda izrek Vieta je potreben, da bi olajšali in pospešili iskanje korenin. Da vam bo uporaba donosna, morate dejanja pripeljati do avtomatizma. In za to reši še pet primerov. Vendar ne goljufajte: ne morete uporabiti diskriminatorja! Samo Vietov izrek:

Rešitve nalog za samostojno delo:

Naloga 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Po Vietovem izreku:

Kot običajno začnemo izbiro z izdelkom:

Ni primeren, ker količina;

: znesek je to, kar potrebujete.

Odgovor: ; .

Naloga 2.

In spet naš najljubši Vieta izrek: vsota bi se morala izkazati, vendar je produkt enak.

Ker pa bi moralo biti ne, ampak, spremenimo znake korenin: in (skupaj).

Odgovor: ; .

Naloga 3.

Hmm ... Kje je?

Vse pogoje je treba prenesti v en del:

Vsota korenin je enaka produktu.

Da, nehaj! Enačba ni podana. Toda Vietin izrek je uporaben samo v danih enačbah. Torej, najprej morate prinesti enačbo. Če tega ne morete omeniti, opustite to idejo in jo rešite na drug način (na primer z diskriminantom). Naj vas spomnim, da prinesti kvadratno enačbo pomeni, da je vodilni koeficient enak:

Super. Potem je vsota korenin enaka in produkt.

Tukaj je lažje pobrati: navsezadnje - praštevilo (oprostite za tavtologijo).

Odgovor: ; .

Naloga 4.

Prosti izraz je negativen. Kaj je tako posebnega na njem? In dejstvo, da bodo korenine različnih predznakov. In zdaj, med izbiro, ne preverjamo vsote korenin, temveč razliko med njihovimi moduli: ta razlika je enaka, ampak produkt.

Torej, korenine so enake in, vendar je ena od njih z minusom. Vietov izrek nam pove, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, tj. To pomeni, da bo imel manjši koren minus: in, saj.

Odgovor: ; .

Naloga 5.

Kaj je treba storiti najprej? Tako je, navedite enačbo:

Še enkrat: izberemo faktorje števila, njihova razlika pa mora biti enaka:

Korenini sta enaki in, vendar je ena od njiju minus. kateri? Njihova vsota mora biti enaka, kar pomeni, da bo z minusom večji koren.

Odgovor: ; .

Naj povzamem:

1. Vietov izrek se uporablja samo v danih kvadratnih enačbah.
2. Z uporabo izreka Vieta lahko najdete korenine z izbiro, ustno.
3. Če enačba ni podana ali ni bil najden primeren par faktorjev prostega člena, potem ni celih korenin in jo morate rešiti na drug način (na primer z diskriminanto).

3. Metoda izbire polnega kvadrata

Če so vsi členi, ki vsebujejo neznanko, predstavljeni kot členi iz formul skrajšanega množenja - kvadrat vsote ali razlike - potem lahko po zamenjavi spremenljivk enačbo predstavimo kot nepopolno kvadratno enačbo tipa.

Na primer:

Primer 1:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

Primer 2:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

Na splošno bo preoblikovanje videti takole:

To pomeni:.

Vas na nič ne spominja? To je diskriminator! Točno tako je bila pridobljena diskriminantna formula.

KVADRATNE ENAČBE. NA KRATKO O GLAVNEM

Kvadratna enačba je enačba oblike, kjer je neznanka, so koeficienti kvadratne enačbe, je prosti člen.

Popolna kvadratna enačba- enačba, v kateri koeficienti niso enaki nič.

Zmanjšana kvadratna enačba- enačba, v kateri je koeficient, to je: .

Nepopolna kvadratna enačba- enačba, v kateri sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

• če je koeficient, ima enačba obliko: ,
• če je prosti člen, ima enačba obliko: ,
• če in ima enačba obliko: .

1. Algoritem za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

1.1. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Izrazi neznano: ,

2) Preverite znak izraza:

• če, potem enačba nima rešitev,
• če, potem ima enačba dva korena.

1.2. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: ,

2) Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Zato ima enačba dva korena:

1.3. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

Ta enačba ima vedno samo en koren: .

2. Algoritem za reševanje popolnih kvadratnih enačb oblike kjer

2.1. Rešitev z uporabo diskriminante

1) Enačbo pripeljemo v standardno obliko: ,

2) Izračunajte diskriminant po formuli: , ki pove število korenov enačbe:

3) Poiščite korenine enačbe:

• če ima enačba koren, ki ga najdemo po formuli:
• če ima enačba koren, ki ga najdemo po formuli:
• če, potem enačba nima korenin.

2.2. Rešitev z uporabo Vietovega izreka

Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe (enačba oblike, kjer je) je enaka, produkt korenin pa enak, tj. , A.

2.3. Polna kvadratna rešitev

Najprej oblikujmo sam izrek: Recimo, da imamo pomanjšano kvadratno enačbo oblike x^2+b*x + c = 0. Recimo, da ta enačba vsebuje korena x1 in x2. Potem so po izreku dopustne naslednje trditve:

1) Vsota korenin x1 in x2 bo enaka negativni vrednosti koeficienta b.

2) Produkt prav teh korenin nam bo dal koeficient c.

Toda kaj je zgornja enačba?

Zmanjšana kvadratna enačba je kvadratna enačba, koeficient najvišje stopnje, ki je enak ena, tj. to je enačba oblike x^2 + b*x + c = 0. (in enačba a*x^2 + b*x + c = 0 ni reducirana). Z drugimi besedami, če želimo enačbo reducirati na reducirano obliko, moramo to enačbo deliti s koeficientom pri najvišji stopnji (a). Naloga je, da to enačbo spravimo v zmanjšano obliko:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Vsako enačbo delimo s koeficientom najvišje stopnje, dobimo:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.

Kot je razvidno iz primerov, lahko tudi enačbe, ki vsebujejo ulomke, reduciramo na pomanjšano obliko.

Uporaba Vietovega izreka

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

dobimo korenine: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

kot rezultat dobimo korenine: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

dobimo korene: x1 = −1; x2 = −4.

Pomen Vietovega izreka

Vietov izrek nam omogoča, da rešimo katero koli dano kvadratno enačbo v skoraj nekaj sekundah. Na prvi pogled se zdi to precej težka naloga, a po 5 10 enačbah se lahko takoj naučiš videti korenine.

Iz zgornjih primerov in z uporabo izreka lahko vidite, kako lahko bistveno poenostavite rešitev kvadratnih enačb, saj lahko z uporabo tega izreka rešite kvadratno enačbo z malo ali brez zapletenih izračunov in izračuna diskriminante, in kot veste , manj kot je izračunov, težje je narediti napako, kar je pomembno.

V vseh primerih smo to pravilo uporabili na podlagi dveh pomembnih predpostavk:

Zgornja enačba, tj. koeficient na najvišji stopnji je enak ena (temu pogoju se je enostavno izogniti. Uporabite lahko nereducirano obliko enačbe, potem bodo naslednje izjave x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a velja, vendar je ponavadi težje rešiti :))

Ko bo imela enačba dva različna korena. Predpostavimo, da je neenakost resnična in je diskriminanta strogo večja od nič.

Zato lahko sestavimo splošni algoritem rešitve z uporabo Vietovega izreka.

Splošni algoritem reševanja po Vietovem izreku

Kvadratno enačbo spravimo v reducirano obliko, če nam je enačba dana v nereducirani obliki. Ko se koeficienti v kvadratni enačbi, ki smo jih prej predstavili kot zmanjšane, izkažejo za frakcijske (ne decimalne), potem je treba v tem primeru našo enačbo rešiti prek diskriminante.

Obstajajo tudi primeri, ko nam vrnitev k prvotni enačbi omogoča delo s "priročnimi" številkami.

Med koreni in koeficienti kvadratne enačbe obstajajo poleg korenskih formul tudi druga uporabna razmerja, ki jih podaja Vietov izrek. V tem članku bomo podali formulacijo in dokaz Vietovega izreka za kvadratno enačbo. Nato razmislimo o izreku, ki je nasproten Vietovemu izreku. Nato bomo analizirali rešitve najbolj značilnih primerov. Na koncu zapišemo formule Vieta, ki določajo razmerje med pravimi koreninami algebrska enačba stopnja n in njeni koeficienti.

Navigacija po straneh.

Vietov izrek, formulacija, dokaz

Iz formul korenov kvadratne enačbe a x 2 +b x+c=0 oblike , kjer je D=b 2 −4 a c , izhajajo relacije x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Ti rezultati so potrjeni Vietov izrek:

Izrek.

če x 1 in x 2 sta korena kvadratne enačbe a x 2 +b x+c=0, potem je vsota korenin enaka razmerju koeficientov b in a, vzetih z nasprotnim predznakom, in zmnožku korenov je enako razmerju koeficientov c in a, to je .

Dokaz.

Vietov izrek bomo dokazali po naslednji shemi: z znanimi korenskimi formulami bomo sestavili vsoto in produkt korenov kvadratne enačbe, nato bomo dobljene izraze preoblikovali in poskrbeli, da bodo enaki −b /a oziroma c/a.

Začnimo z vsoto korenin, sestavimo jo. Zdaj spravimo ulomke na skupni imenovalec, imamo. V števcu dobljenega ulomka , za katerim : . Končno, po 2, dobimo . To dokazuje prvo razmerje Vietovega izreka za vsoto korenin kvadratne enačbe. Preidimo na drugo.

Sestavimo produkt korenin kvadratne enačbe:. Po pravilu množenja ulomkov lahko zadnji produkt zapišemo kot. Zdaj pomnožimo oklepaj z oklepajem v števcu, vendar je hitreje strniti ta produkt z formula razlike kvadratov, torej . Nato, spomnimo se, izvedemo naslednji prehod. In ker formula D=b 2 −4 a·c ustreza diskriminanti kvadratne enačbe, potem lahko b 2 −4·a·c zamenjamo v zadnji ulomek namesto D, dobimo . Po odprtju oklepajev in reduciranju podobnih členov pridemo do ulomka , njegovo zmanjšanje za 4·a pa da . To dokazuje drugo razmerje Vietovega izreka za produkt korenin.

Če izpustimo razlago, bo dokaz Vieta izreka dobil jedrnato obliko:
,
.

Opozoriti je treba le, da ima kvadratna enačba eno korenino, ko je diskriminanta enaka nič. Če pa predpostavimo, da ima enačba v tem primeru dva enaka korena, veljajo tudi enakosti iz izreka Vieta. Dejansko je za D=0 koren kvadratne enačbe , potem in , in ker je D=0 , to je b 2 −4·a·c=0 , od koder je b 2 =4·a·c , potem .

V praksi se Vietov izrek najpogosteje uporablja v zvezi z reducirano kvadratno enačbo (z najvišjim koeficientom a enakim 1) oblike x 2 +p·x+q=0 . Včasih je oblikovana samo za kvadratne enačbe te vrste, kar pa ne omejuje splošnosti, saj lahko vsako kvadratno enačbo nadomestimo z enakovredno enačbo tako, da oba njena dela delimo z ničelnim številom a. Tukaj je ustrezna formulacija Vietovega izreka:

Izrek.

Vsota korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 + p x + q \u003d 0 je enaka koeficientu pri x, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je prosti člen, to je x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Izrek, inverzen Vietovemu izreku

Druga formulacija izreka Vieta, podana v prejšnjem odstavku, nakazuje, da če sta x 1 in x 2 korena reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0, potem razmerja x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. Po drugi strani pa iz zapisanih razmerij x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q sledi, da sta x 1 in x 2 korena kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0. Z drugimi besedami, trditev, nasprotna Vietovemu izreku, drži. Oblikujemo ga v obliki izreka in ga dokažemo.

Izrek.

Če sta števili x 1 in x 2 takšni, da je x 1 +x 2 =−p in x 1 x 2 =q, potem sta x 1 in x 2 korenini reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0 .

Dokaz.

Po zamenjavi koeficientov p in q v enačbi x 2 +p x+q=0 njihovega izraza skozi x 1 in x 2 se pretvori v enakovredno enačbo.

V nastalo enačbo nadomestimo število x 1 namesto x, imamo enakost x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, kar je za vsak x 1 in x 2 pravilna numerična enakost 0=0, saj x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Zato je x 1 koren enačbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, kar pomeni, da je x 1 koren ekvivalentne enačbe x 2 +p x+q=0 .

Če v enačbi x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 zamenjamo število x 2 namesto x, potem dobimo enakost x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. To je pravilna enačba, ker x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Zato je x 2 tudi koren enačbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, in s tem enačbe x 2 +p x+q=0 .

S tem je zaključen dokaz izreka, nasprotnega Vietovemu izreku.

Primeri uporabe Vietovega izreka

Čas je, da spregovorimo o praktični uporabi Vietovega izreka in njegovega obratnega izreka. V tem podpoglavju bomo analizirali rešitve več najbolj tipičnih primerov.

Začnemo z uporabo izreka, ki je nasproten Vietovemu izreku. Priročno ga je uporabiti za preverjanje, ali sta dani števili korenini dane kvadratne enačbe. V tem primeru se izračunata njuna vsota in razlika, nato pa se preveri veljavnost razmerij. Če sta obe razmerji izpolnjeni, potem na podlagi izreka, ki se konverzira z Vietovim izrekom, sklepamo, da so te številke korenine enačbe. Če vsaj eno od razmerij ni izpolnjeno, te številke niso korenine kvadratne enačbe. Ta pristop se lahko uporabi pri reševanju kvadratnih enačb za preverjanje najdenih korenin.

Primer.

Kateri od parov števil 1) x 1 =−5, x 2 =3 ali 2) ali 3) je par korenov kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0?

rešitev.

Koeficienti podane kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0 so a=4 , b=−16 , c=9 . Po Vietovem izreku mora biti vsota korenov kvadratne enačbe enaka −b/a, to je 16/4=4, produkt korenin pa mora biti enak c/a, to je 9. /4.

Sedaj pa izračunajmo vsoto in zmnožek števil v vsakem od treh danih parov in ju primerjajmo s pravkar dobljenimi vrednostmi.

V prvem primeru imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Dobljena vrednost je drugačna od 4, zato nadaljnjega preverjanja ni mogoče izvesti, vendar glede na izrek, ki je inverz Vietovega izreka, lahko takoj sklepamo, da prvi par števil ni par korenin danega kvadrata enačba.

Pojdimo k drugemu primeru. Tu je torej prvi pogoj izpolnjen. Preverimo drugi pogoj: , dobljena vrednost je drugačna od 9/4 . Zato drugi par števil ni par korenin kvadratne enačbe.

Zadnji primer ostane. Tukaj in. Oba pogoja sta izpolnjena, zato sta ti števili x 1 in x 2 korenini dane kvadratne enačbe.

odgovor:

Izrek, obratno od Vietovega izreka, lahko v praksi uporabimo za izbiro korenin kvadratne enačbe. Običajno se izberejo celoštevilske korenine danih kvadratnih enačb s celimi koeficienti, saj je v drugih primerih to precej težko narediti. Hkrati uporabljajo dejstvo, da če je vsota dveh števil enaka drugemu koeficientu kvadratne enačbe, vzetega z znakom minus, in je produkt teh števil enak prostemu členu, potem sta ti števili korenine te kvadratne enačbe. Ukvarjajmo se s tem na primeru.

Vzemimo kvadratno enačbo x 2 −5 x+6=0 . Da sta števili x 1 in x 2 korenini te enačbe, morata biti izpolnjeni dve enakosti x 1 + x 2 \u003d 5 in x 1 x 2 \u003d 6. Še vedno je treba izbrati takšne številke. V tem primeru je to precej enostavno narediti: takšni števili sta 2 in 3, saj je 2+3=5 in 2 3=6 . Tako sta 2 in 3 korenini te kvadratne enačbe.

Izrek, obraten od Vietovega izreka, je še posebej primeren za uporabo pri iskanju drugega korena reducirane kvadratne enačbe, kadar je ena od korenin že znana ali očitna. V tem primeru je drugi koren najden iz katere koli relacije.

Za primer vzemimo kvadratno enačbo 512 x 2 −509 x−3=0 . Tukaj je enostavno videti, da je enota koren enačbe, saj je vsota koeficientov te kvadratne enačbe enaka nič. Torej x 1 = 1. Drugi koren x 2 lahko najdemo na primer iz relacije x 1 x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512 , od koder je x 2 =−3/512 . Tako smo definirali oba korena kvadratne enačbe: 1 in −3/512.

Jasno je, da je izbira korenin smotrna le v najpreprostejših primerih. V drugih primerih lahko za iskanje korenin uporabite formule korenin kvadratne enačbe prek diskriminante.

Druga praktična uporaba izreka, inverza Vietovega izreka, je sestavljanje kvadratnih enačb za dane korenine x 1 in x 2. Za to je dovolj izračunati vsoto korenin, ki daje koeficient x z nasprotnim predznakom dane kvadratne enačbe, in produkt korenin, ki daje prosti člen.

Primer.

Napišite kvadratno enačbo, katere korena sta števili −11 in 23.

rešitev.

Označimo x 1 =−11 in x 2 =23 . Izračunamo vsoto in zmnožek teh števil: x 1 + x 2 \u003d 12 in x 1 x 2 \u003d −253. Zato so te številke korenine dane kvadratne enačbe z drugim koeficientom -12 in prostim členom -253. To pomeni, da je x 2 −12·x−253=0 želena enačba.

odgovor:

x 2 −12 x−253=0 .

Vietov izrek se zelo pogosto uporablja pri reševanju nalog, povezanih s predznaki korenin kvadratnih enačb. Kako je Vietov izrek povezan s predznaki korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0 ? Tukaj sta dve ustrezni izjavi:

• Če je prosti člen q pozitivno število in če ima kvadratna enačba realne korene, potem sta oba pozitivna ali pa sta oba negativna.
• Če je prosti člen q negativno število in če ima kvadratna enačba realne korenine, potem sta njuna predznaka različna, z drugimi besedami, en koren je pozitiven, drugi pa negativen.

Te trditve izhajajo iz formule x 1 x 2 =q ter pravil za množenje pozitivnih, negativnih števil in števil z različnimi predznaki. Razmislite o primerih njihove uporabe.

Primer.

R je pozitiven. Po diskriminantni formuli najdemo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vrednost izraza r 2 +8 je pozitiven za vsak realni r, torej D>0 za kateri koli realni r. Zato ima izvirna kvadratna enačba dva korena za vse realne vrednosti parametra r.

Zdaj pa ugotovimo, kdaj imajo korenine različne znake. Če so predznaki korenin različni, je njihov produkt negativen, po izreku Vieta pa je produkt korenin dane kvadratne enačbe enak prostemu členu. Zato nas zanimajo tiste vrednosti r, pri katerih je prosti člen r−1 negativen. Torej, da bi našli vrednosti r, ki nas zanimajo, moramo rešiti linearno neenačbo r−1<0 , откуда находим r<1 .

odgovor:

pri r<1 .

Vieta formule

Zgoraj smo govorili o Vietovem izreku za kvadratno enačbo in analizirali razmerja, ki jih uveljavlja. Toda obstajajo formule, ki povezujejo resnične korene in koeficiente ne samo kvadratnih enačb, temveč tudi kubičnih enačb, štirikratnih enačb in na splošno, algebraične enačbe stopnja n. Imenujejo se Vieta formule.

Formule Vieta zapišemo za algebraično enačbo stopnje n oblike, pri čemer predpostavimo, da ima n realnih korenin x 1, x 2, ..., x n (med njimi so lahko enake):

Get Vieta formule omogoča polinomski faktorizacijski izrek, kot tudi definicija enakih polinomov skozi enakost vseh njihovih ustreznih koeficientov. Torej sta polinom in njegova razširitev na linearne faktorje oblike enaka. Če odpremo oklepaje v zadnjem produktu in izenačimo ustrezne koeficiente, dobimo formule Vieta.

Zlasti za n=2 imamo že znane Vieta formule za kvadratno enačbo.

Za kubično enačbo imajo formule Vieta obliko

Opozoriti je treba le, da so na levi strani formul Vieta tako imenovane osnovne simetrični polinomi.

Bibliografija.

• Algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra in začetek matematične analize. 10. razred: učbenik. za splošno izobraževanje ustanove: osnovne in profilne. stopnje / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; izd. A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M .: Razsvetljenje, 2010.- 368 str. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

I. Vietov izrek za reducirano kvadratno enačbo.

Vsota korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +px+q=0 je enak drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Poiščite korenine dane kvadratne enačbe z uporabo Vietovega izreka.

Primer 1) x 2 -x-30=0. To je zmanjšana kvadratna enačba ( x 2 +px+q=0), drugi koeficient p=-1, ter prosti termin q=-30. Najprej se prepričajte, da ima podana enačba korene in da bodo koreni (če obstajajo) izraženi kot cela števila. Za to zadostuje, da je diskriminant polni kvadrat celega števila.

Iskanje diskriminante D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Zdaj mora biti v skladu z izrekom Vieta vsota korenin enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, tj. ( -str), produkt pa je enak prostemu členu, tj. ( q). Nato:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Izbrati moramo taki dve števili, da bo njun produkt enak -30 , vsota pa je enota. To so številke -5 in 6 . Odgovor: -5; 6.

Primer 2) x 2 +6x+8=0. Imamo pomanjšano kvadratno enačbo z drugim koeficientom p=6 in brezplačen član q=8. Prepričajte se, da obstajajo celi koreni. Poiščimo diskriminanco D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminanta D 1 je popolni kvadrat števila 1 , torej so koreni te enačbe cela števila. Korenine izberemo po izreku Vieta: vsota korenin je enaka –p=-6, produkt korenin pa je q=8. To so številke -4 in -2 .

Pravzaprav: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Odgovor: -4; -2.

Primer 3) x 2 +2x-4=0. V tej zmanjšani kvadratni enačbi je drugi koeficient p=2, ter prosti termin q=-4. Poiščimo diskriminanco D1, saj je drugi koeficient sodo število. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant ni popoln kvadrat števila, zato ga imamo sklep: koreni te enačbe niso cela števila in jih ni mogoče najti z uporabo Vietovega izreka. Torej, to enačbo rešujemo, kot običajno, po formulah (v tem primeru po formulah). Dobimo:

Primer 4). Zapiši kvadratno enačbo z njenimi koreni if x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

rešitev.Želeno enačbo bomo zapisali v obliki: x 2 +px+q=0, poleg tega temelji na izreku Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Potem bo enačba dobila obliko: x2 +3x-28=0.

Primer 5). Zapišite kvadratno enačbo z njenimi koreninami, če:

II. Vietov izrek za celotno kvadratno enačbo ax2+bx+c=0.

Vsota korenin je minus b deljeno s A, produkt korenin je z deljeno s A:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.