1. Pinakamaliit na numero Ang tetrahedron ay may 6 na gilid.

2. Ang isang prisma ay may n mga mukha. Anong polygon ang nasa base nito?

(n - 2) - parisukat.

3. Tuwid ba ang isang prisma kung ang dalawang magkatabing gilid na mukha nito ay patayo sa eroplano ng base?

Oo nga.

4. Sa aling prisma ang mga lateral na gilid ay kahanay sa taas nito?

Sa isang tuwid na prisma.

5. Regular ba ang isang prisma kung ang lahat ng mga gilid nito ay pantay sa bawat isa?

Hindi, maaaring hindi ito direkta.

6. Ang taas ba ng isa sa mga gilid na mukha ng isang hilig na prisma ay ang taas din ng prisma?

Oo, kung ang mukha na ito ay patayo sa base.

7. Mayroon bang prisma kung saan: a) ang gilid ng gilid ay patayo sa isang gilid lamang ng base; b) isang gilid na mukha lamang ang patayo sa base?

a) oo. b) hindi.

8. Ang isang regular na triangular na prisma ay nahahati sa dalawang prisma sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa mga midline ng mga base. Ano ang ratio ng mga lateral surface area ng mga prisma na ito?

Sa pamamagitan ng theorem 27 nakita natin na ang mga lateral surface ay nasa ratio na 5: 3

9. Magiging regular ba ang pyramid kung ang mga gilid ng mukha nito ay regular na tatsulok?

10. Ilang mukha patayo sa eroplano ng base ang maaaring magkaroon ng pyramid?

11. Mayroon bang quadrangular pyramid na ang magkabilang gilid ay patayo sa base?

Hindi, kung hindi, magkakaroon ng hindi bababa sa dalawang tuwid na linya na dumadaan sa tuktok ng pyramid, patayo sa mga base.

12. Maaari bang maging tamang tatsulok ang lahat ng mukha ng isang tatsulok na pyramid?

Oo (Larawan 183).

Kasama sa kursong "Kumuha ng A" na video ang lahat ng paksang kailangan mo matagumpay na pagtatapos Pinag-isang State Examination sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na paraan mga solusyon, mga pitfalls at mga lihim ng Unified State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na paliwanag kumplikadong mga konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.

Pangkalahatang impormasyon tungkol sa tuwid na prisma

Ang lateral surface ng isang prism (mas tiyak, ang lateral surface area) ay tinatawag sum mga lugar ng mga gilid na mukha. Ang kabuuang ibabaw ng prisma ay katumbas ng kabuuan ng lateral surface at ang mga lugar ng mga base.

Teorama 19.1. Ang lateral surface ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter ng base at ang taas ng prism, ibig sabihin, ang haba ng gilid ng gilid.

Patunay. Ang mga lateral na mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba. Ang mga base ng mga parihaba na ito ay ang mga gilid ng polygon na nakahiga sa base ng prisma, at ang taas ay katumbas ng haba ng mga gilid ng gilid. Ito ay sumusunod na ang lateral surface ng prisma ay katumbas ng

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kung saan ang a 1 at n ay ang mga haba ng mga gilid ng base, ang p ay ang perimeter ng base ng prism, at ang I ay ang haba ng mga gilid ng gilid. Ang teorama ay napatunayan.

Praktikal na gawain

Problema (22) . Sa isang hilig na prisma ito ay isinasagawa seksyon, patayo sa gilid ng tadyang at intersecting ang lahat ng gilid tadyang. Hanapin ang lateral surface ng prism kung ang perimeter ng seksyon ay katumbas ng p at ang mga gilid ng gilid ay katumbas ng l.

Solusyon. Ang eroplano ng iginuhit na seksyon ay naghahati sa prisma sa dalawang bahagi (Larawan 411). Ipasailalim natin ang isa sa kanila sa parallel na pagsasalin, na pinagsasama ang mga base ng prisma. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng isang tuwid na prisma, ang base nito ay ang cross-section ng orihinal na prism, at ang mga gilid ng gilid ay katumbas ng l. Ang prisma na ito ay may parehong lateral surface gaya ng orihinal. Kaya, ang lateral surface ng orihinal na prism ay katumbas ng pl.

Buod ng sakop na paksa

Ngayon subukan nating ibuod ang paksang tinakpan natin tungkol sa mga prisma at tandaan kung ano ang mga katangian ng isang prisma.

Mga katangian ng prisma

Una, ang isang prisma ay mayroong lahat ng mga base nito bilang pantay na mga polygon;
Pangalawa, nasa prisma ang lahat mga mukha sa gilid ay mga paralelograms;
Pangatlo, sa tulad ng isang multifaceted figure bilang isang prisma, lahat ng mga lateral na gilid ay pantay;

Gayundin, dapat tandaan na ang polyhedra tulad ng prisms ay maaaring tuwid o hilig.

Aling prisma ang tinatawag na tuwid na prisma?

Kung ang gilid na gilid ng isang prisma ay matatagpuan patayo sa eroplano ng base nito, kung gayon ang naturang prisma ay tinatawag na isang tuwid.

Hindi magiging labis na alalahanin na ang mga lateral na mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba.

Anong uri ng prisma ang tinatawag na pahilig?

Ngunit kung ang gilid ng gilid ng isang prisma ay hindi matatagpuan patayo sa eroplano ng base nito, maaari nating ligtas na sabihin na ito ay isang hilig na prisma.

Aling prisma ang tinatawag na tama?

Kung ang isang regular na polygon ay nasa base ng isang tuwid na prisma, kung gayon ang gayong prisma ay regular.

Ngayon tandaan natin ang mga katangian na mayroon ang isang regular na prisma.

Mga katangian ng isang regular na prisma

Una, ang mga regular na polygon ay palaging nagsisilbing mga base ng isang regular na prisma;
Pangalawa, kung isasaalang-alang natin ang mga lateral na mukha ng isang regular na prisma, sila ay palaging magiging pantay na mga parihaba;
Pangatlo, kung ihahambing mo ang mga sukat ng mga tadyang sa gilid, kung gayon sa isang regular na prisma sila ay palaging pantay.
Pang-apat, ang tamang prisma ay palaging tuwid;
Ikalima, kung sa isang regular na prisma ang mga lateral na mukha ay may hugis ng mga parisukat, kung gayon ang naturang figure ay karaniwang tinatawag na semi-regular na polygon.

Prism cross section

Ngayon tingnan natin ang cross section ng prisma:

Takdang aralin

Ngayon, subukan nating pagsamahin ang paksang natutunan natin sa pamamagitan ng paglutas ng mga problema.

Gumuhit tayo ng isang hilig na tatsulok na prisma, ang distansya sa pagitan ng mga gilid nito ay magiging katumbas ng: 3 cm, 4 cm at 5 cm, at ang lateral na ibabaw ng prisma na ito ay magiging katumbas ng 60 cm2. Ang pagkakaroon ng mga parameter na ito, hanapin ang gilid na gilid ng prisma na ito.

Alam mo ba na ang mga geometric na numero ay patuloy na nakapaligid sa amin hindi lamang sa mga aralin sa geometry, kundi pati na rin sa Araw-araw na buhay May mga bagay na kahawig ng isa o ibang geometric na pigura.

Bawat tahanan, paaralan o trabaho ay may kompyuter na ang unit ng system ay hugis tuwid na prisma.

Kung kukuha ka ng isang simpleng lapis, makikita mo na ang pangunahing bahagi ng lapis ay isang prisma.

Sa paglalakad sa gitnang kalye ng lungsod, nakita namin na sa ilalim ng aming mga paa ay namamalagi ang isang tile na may hugis ng isang hexagonal prism.

A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon

Polyhedra

Ang pangunahing bagay ng pag-aaral ng stereometry ay spatial body. Katawan kumakatawan sa isang bahagi ng espasyo na nililimitahan ng isang tiyak na ibabaw.

Polyhedron ay isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga flat polygon. Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay matatagpuan sa isang gilid ng eroplano ng bawat plane polygon sa ibabaw nito. Ang karaniwang bahagi ng naturang eroplano at ang ibabaw ng isang polyhedron ay tinatawag gilid. Ang mga mukha ng isang convex polyhedron ay flat convex polygons. Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag mga gilid ng polyhedron, at ang mga vertex ay vertices ng polyhedron.

Halimbawa, ang isang kubo ay binubuo ng anim na parisukat, na siyang mga mukha nito. Naglalaman ito ng 12 gilid (mga gilid ng mga parisukat) at 8 vertices (mga tuktok ng mga parisukat).

Ang pinakasimpleng polyhedra ay prisms at pyramids, na pag-aaralan pa natin.

Prisma

Kahulugan at katangian ng isang prisma

Prisma ay isang polyhedron na binubuo ng dalawang flat polygons na nakahiga parallel na eroplano pinagsama sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin, at lahat ng mga segment na nagkokonekta sa mga kaukulang punto ng mga polygon na ito. Tinatawag na polygons mga base ng prisma, at ang mga segment na nagkokonekta sa kaukulang vertices ng mga polygon ay lateral na mga gilid ng prisma.

Taas ng prisma ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base nito (). Ang isang segment na nag-uugnay sa dalawang vertices ng isang prisma na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag dayagonal na prisma(). Ang prisma ay tinatawag n-carbon, kung ang base nito ay naglalaman ng n-gon.

Anumang prisma ay may mga sumusunod na katangian, na nagreresulta mula sa katotohanan na ang mga base ng prisma ay pinagsama ng parallel na pagsasalin:

1. Ang mga base ng prisma ay pantay.

2. Ang mga lateral edge ng prism ay parallel at pantay.

Ang ibabaw ng prisma ay binubuo ng mga base at lateral surface. Ang lateral surface ng prism ay binubuo ng parallelograms (ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng prisma). Ang lugar ng lateral surface ng prism ay ang kabuuan ng mga lugar ng lateral faces.

Tuwid na prisma

Ang prisma ay tinatawag tuwid, kung ang mga lateral edge nito ay patayo sa mga base. Kung hindi, ang prisma ay tinatawag hilig.

Ang mga mukha ng isang kanang prisma ay mga parihaba. Ang taas ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng mga gilid na mukha nito.

Buong prism na ibabaw ay tinatawag na kabuuan ng lateral surface area at ang mga lugar ng mga base.

Gamit ang tamang prisma tinatawag na right prism na may regular na polygon sa base nito.

Teorama 13.1. Ang lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter at ang taas ng prisma (o, na pareho, sa gilid ng gilid).

Patunay. Ang mga gilid na mukha ng isang kanang prisma ay mga parihaba, ang mga base nito ay ang mga gilid ng mga polygon sa mga base ng prisma, at ang mga taas ay ang mga gilid na gilid ng prisma. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, ang lateral surface area ay:

,

saan ang perimeter ng base ng isang tuwid na prisma.

Parallelepiped

Kung ang mga parallelogram ay namamalagi sa mga base ng isang prisma, kung gayon ito ay tinatawag parallelepiped. Ang lahat ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallelograms. Sa kasong ito, ang kabaligtaran ng mga mukha ng parallelepiped ay parallel at pantay.

Teorama 13.2. Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at nahahati sa kalahati ng intersection point.

Patunay. Isaalang-alang ang dalawang di-makatwirang diagonal, halimbawa, at . kasi ang mga mukha ng isang parallelepiped ay parallelograms, pagkatapos at , na nangangahulugang ayon sa Upang mayroong dalawang tuwid na linya na kahanay sa pangatlo. Bilang karagdagan, nangangahulugan ito na ang mga tuwid na linya at nakahiga sa parehong eroplano (eroplano). Ang eroplanong ito ay nag-intersect ng mga parallel na eroplano at kasama ng mga parallel na linya at . Kaya, ang isang quadrilateral ay isang parallelogram, at sa pamamagitan ng pag-aari ng isang parallelogram, ang mga diagonal nito ay bumalandra at nahahati sa kalahati ng intersection point, na kung ano ang kailangan upang mapatunayan.

Ang isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba ay tinatawag parihabang parallelepiped. Ang lahat ng mga mukha ng isang parihabang parallelepiped ay mga parihaba. Ang mga haba ng hindi magkatulad na mga gilid ng isang hugis-parihaba na parallelepiped ay tinatawag na mga linear na sukat nito (mga sukat). Mayroong tatlong ganoong laki (lapad, taas, haba).

Teorama 13.3. Sa isang parihabang parallelepiped, ang parisukat ng anumang dayagonal katumbas ng kabuuan mga parisukat ng tatlong sukat nito (napatunayan sa pamamagitan ng paglalapat ng Pythagorean T dalawang beses).

Ang isang parihabang parallelepiped na ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag kubo.

Mga gawain

13.1 Ilang diagonal mayroon ito? n-carbon prism

13.2 Sa isang inclined triangular prism, ang mga distansya sa pagitan ng mga gilid na gilid ay 37, 13 at 40. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mas malaking gilid ng gilid at ang kabaligtaran na gilid ng gilid.

13.3Sa pamamagitan ng gilid ng ibabang base ng tama tatsulok na prisma ang isang eroplano ay iginuhit na nagsalubong sa mga gilid na mukha kasama ang mga segment, ang anggulo sa pagitan ay . Hanapin ang anggulo ng pagkahilig ng eroplanong ito sa base ng prisma.

Kahulugan. Prisma ay isang polyhedron, na ang lahat ng mga vertices ay matatagpuan sa dalawang parallel na eroplano, at sa parehong dalawang eroplano ay nakahiga ang dalawang mukha ng prisma, na kung saan ay pantay na polygons na may katumbas na magkatulad na mga gilid, at lahat ng mga gilid na hindi namamalagi sa mga eroplano ay parallel.

Dalawang magkapantay na mukha ang tinatawag mga base ng prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Ang lahat ng iba pang mga mukha ng prisma ay tinatawag mga mukha sa gilid(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Bumubuo ang lahat ng mukha sa gilid lateral surface ng prisma .

Ang lahat ng mga lateral na mukha ng prisma ay parallelograms .

Ang mga gilid na hindi nakahiga sa mga base ay tinatawag na mga lateral na gilid ng prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prism dayagonal ay isang segment na ang mga dulo ay dalawang vertices ng isang prisma na hindi nakahiga sa parehong mukha (AD 1).

Ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga base ng prism at patayo sa parehong mga base sa parehong oras ay tinatawag taas ng prisma .

pagtatalaga:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Una, sa pagkakasunud-sunod ng traversal, ang mga vertices ng isang base ay ipinahiwatig, at pagkatapos, sa parehong pagkakasunud-sunod, ang mga vertices ng isa pa; ang mga dulo ng bawat gilid na gilid ay itinalaga ng parehong mga titik, tanging ang mga vertices na nakahiga sa isang base ay itinalaga sa pamamagitan ng mga titik na walang index, at sa isa pa - na may index)

Ang pangalan ng prism ay nauugnay sa bilang ng mga anggulo sa figure na nakahiga sa base nito, halimbawa, sa Figure 1 mayroong isang pentagon sa base, kaya ang prism ay tinatawag na pentagonal prism. Pero kasi ang gayong prisma ay may 7 mukha, pagkatapos ito heptahedron(2 mukha - ang mga base ng prisma, 5 mukha - parallelograms, - mga gilid nito)

Sa mga tuwid na prisma, ang isang partikular na uri ay namumukod-tangi: mga regular na prisma.

Ang isang tuwid na prisma ay tinatawag tama, kung ang mga base nito ay mga regular na polygon.

Ang isang regular na prisma ay may pantay na mga parihaba sa lahat ng lateral na mukha. Ang isang espesyal na kaso ng isang prisma ay isang parallelepiped.

Parallelepiped

Parallelepiped ay isang quadrangular prism, sa base kung saan namamalagi ang isang parallelogram (isang inclined parallelepiped). Kanang parallelepiped- isang parallelepiped na ang mga lateral edge ay patayo sa mga eroplano ng base.

Parihabang parallelepiped- isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba.

Mga katangian at teorema:

Ang ilang mga katangian ng isang parallelepiped ay katulad ng mga kilalang katangian ng isang parallelogram. Ang isang parihabang parallelepiped na may pantay na sukat ay tinatawag kubo .Lahat ng mukha ng isang kubo ay pantay na parisukat.Ang parisukat ng dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito

,

kung saan ang d ay ang dayagonal ng parisukat;
a ay ang gilid ng parisukat.

Ang isang ideya ng isang prisma ay ibinigay ng:

• iba-iba mga istrukturang arkitektura;
• Mga laruan ng bata;
• mga kahon ng packaging;
• mga bagay na taga-disenyo, atbp.

Ang lugar ng kabuuan at lateral na ibabaw ng prisma

Kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha nito Lateral surface area ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng mga lateral na mukha nito. Ang mga base ng prisma ay pantay na mga polygon, pagkatapos ang kanilang mga lugar ay pantay. kaya lang

S puno = S gilid + 2S pangunahing,

saan S puno- kabuuang lugar sa ibabaw, S gilid-lateral surface area, S base- base na lugar

Ang lateral surface area ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter ng base at ang taas ng prism.

S gilid= P basic * h,

saan S gilid-lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prisma,

P pangunahing - perimeter ng base ng isang tuwid na prisma,

h ay ang taas ng tuwid na prisma, katumbas ng gilid ng gilid.

Dami ng prisma

Ang dami ng isang prisma ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas.