Mayroong tatlong pangunahing panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative function. Ang mga ito ay halos kapareho sa kaukulang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan.

Panuntunan 1

Kung ang F ay isang antiderivative para sa ilang function na f, at ang G ay isang antiderivative para sa ilang function na g, kung gayon ang F + G ay magiging isang antiderivative para sa f + g.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang antiderivative, F’ = f. G' = g. At dahil ang mga kundisyong ito ay natutugunan, pagkatapos ay ayon sa panuntunan para sa pagkalkula ng hinalaw para sa kabuuan ng mga pag-andar na magkakaroon tayo:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Panuntunan 2

Kung ang F ay isang antiderivative para sa ilang function na f, at ang k ay ilang pare-pareho. Kung gayon ang k*F ay ang antiderivative ng function na k*f. Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa panuntunan para sa pagkalkula ng derivative ng isang kumplikadong function.

Mayroon tayong: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Panuntunan 3

Kung ang F(x) ay ilang antiderivative para sa function na f(x), at ang k at b ay ilang mga constant, at ang k ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang (1/k)*F*(k*x+b) ay magiging isang antiderivative para sa function na f (k*x+b).

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa panuntunan para sa pagkalkula ng derivative ng isang kumplikadong function:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Tingnan natin ang ilang halimbawa kung paano nalalapat ang mga panuntunang ito:

Halimbawa 1. Hanapin pangkalahatang anyo antiderivatives para sa function na f(x) = x^3 +1/x^2. Para sa function na x^3 isa sa mga antiderivatives ang magiging function (x^4)/4, at para sa function na 1/x^2 isa sa mga antiderivatives ang magiging function -1/x. Gamit ang unang panuntunan, mayroon kaming:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Halimbawa 2. Hanapin natin ang pangkalahatang anyo ng mga antiderivatives para sa function na f(x) = 5*cos(x). Para sa function na cos(x), ang isa sa mga antiderivative ay ang function na sin(x). Kung gagamitin natin ngayon ang pangalawang panuntunan, magkakaroon tayo ng:

F(x) = 5*sin(x).

Halimbawa 3. Hanapin ang isa sa mga antiderivatives para sa function na y = sin(3*x-2). Para sa function na sin(x) isa sa mga antiderivatives ang magiging function -cos(x). Kung gagamitin natin ngayon ang pangatlong panuntunan, makakakuha tayo ng expression para sa antiderivative:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Halimbawa 4. Hanapin ang antiderivative para sa function na f(x) = 1/(7-3*x)^5

Ang antiderivative para sa function na 1/x^5 ay magiging function (-1/(4*x^4)). Ngayon, gamit ang ikatlong panuntunan, nakukuha natin.

Nakita natin na ang derivative ay may maraming gamit: ang derivative ay ang bilis ng paggalaw (o, sa pangkalahatan, ang bilis ng anumang proseso); derivative ay dalisdis padaplis sa graph ng isang function; gamit ang derivative, maaari mong suriin ang isang function para sa monotonicity at extrema; ang derivative ay tumutulong sa paglutas ng mga problema sa pag-optimize.

Ngunit sa totoong buhay Ang mga kabaligtaran na problema ay kailangan ding lutasin: halimbawa, kasama ang problema sa paghahanap ng bilis ayon sa isang kilalang batas ng paggalaw, mayroon ding problema sa pagpapanumbalik ng batas ng paggalaw ayon sa isang kilalang bilis. Isaalang-alang natin ang isa sa mga problemang ito.

Halimbawa 1. Gumagalaw sa isang tuwid na linya materyal na punto, ang bilis ng paggalaw nito sa oras na t ay ibinibigay ng formula na u = tg. Hanapin ang batas ng paggalaw.

Solusyon. Hayaan ang s = s(t) ang nais na batas ng paggalaw. Ito ay kilala na s"(t) = u"(t). Nangangahulugan ito na upang malutas ang problema na kailangan mong piliin function s = s(t), na ang derivative ay katumbas ng tg. Hindi mahirap hulaan iyon

Tandaan natin kaagad na ang halimbawa ay nalutas nang tama, ngunit hindi kumpleto. Nalaman namin na, sa katunayan, ang problema ay may walang katapusang maraming solusyon: anumang function ng form ang isang arbitrary na pare-pareho ay maaaring magsilbi bilang isang batas ng paggalaw, dahil

Upang gawing mas tiyak ang gawain, kailangan naming ayusin ang paunang sitwasyon: ipahiwatig ang coordinate ng isang gumagalaw na punto sa isang punto ng oras, halimbawa, sa t=0. Kung, sabihin nating, s(0) = s 0, kung gayon mula sa pagkakapantay-pantay ay nakukuha natin ang s(0) = 0 + C, ibig sabihin, S 0 = C. Ngayon ang batas ng paggalaw ay natatanging tinukoy:
Sa matematika, binibigyan ng iba't ibang mga pangalan ang magkabaligtaran na operasyon at naimbento ang mga espesyal na notasyon: halimbawa, pag-squaring (x 2) at pag-extract parisukat na ugat sine(sinх) at arcsine(arcsin x), atbp. Ang proseso ng paghahanap ng derivative na may kinalaman sa ibinigay na function ay tinatawag na pagkita ng kaibhan, at ang kabaligtaran na operasyon, i.e. ang proseso ng paghahanap ng isang function mula sa isang ibinigay na derivative - integration.
Ang terminong "derivative" mismo ay maaaring bigyang-katwiran "sa pang-araw-araw na buhay": ang function na y - f(x) "nagsilang" sa isang bagong function na y"= f"(x). Ang function na y = f(x) ay gumaganap bilang isang "magulang" , ngunit ang mga mathematician, natural, ay hindi ito tinatawag na "magulang" o "producer"; sinasabi nila na ito, na may kaugnayan sa function na y"=f"(x), ay ang pangunahing imahe, o, sa maikli, ang antiderivative.

Kahulugan 1. Ang function na y = F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function na y = f(x) sa isang naibigay na interval X kung para sa lahat ng x mula sa X ang pagkakapantay-pantay ng F"(x)=f(x).

Sa pagsasagawa, ang interval X ay karaniwang hindi tinukoy, ngunit ipinahiwatig (bilang natural na domain ng kahulugan ng function).

Narito ang ilang halimbawa:

1) Ang function na y = x 2 ay antiderivative para sa function na y = 2x, dahil para sa lahat ng x ang pagkakapantay-pantay (x 2)" = 2x ay totoo.
2) ang function na y - x 3 ay antiderivative para sa function na y-3x 2, dahil para sa lahat ng x ang pagkakapantay-pantay (x 3)" = 3x 2 ay totoo.
3) Ang function na y-sinх ay antiderivative para sa function na y = cosx, dahil para sa lahat ng x ang pagkakapantay-pantay (sinx)" = cosx ay totoo.
4) Ang function ay antiderivative para sa isang function sa pagitan dahil para sa lahat ng x > 0 ang pagkakapantay-pantay ay totoo
Sa pangkalahatan, alam ang mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives, hindi mahirap mag-compile ng isang talahanayan ng mga formula para sa paghahanap ng mga antiderivatives.

Umaasa kaming naiintindihan mo kung paano pinagsama-sama ang talahanayang ito: ang hinango ng function, na nakasulat sa pangalawang hanay, ay katumbas ng function na nakasulat sa kaukulang hilera ng unang haligi (suriin ito, huwag maging tamad, ito ay lubhang kapaki-pakinabang). Halimbawa, para sa function na y = x 5 ang antiderivative, gaya ng iyong itatatag, ay ang function (tingnan ang ikaapat na hilera ng talahanayan).

Mga Tala: 1. Sa ibaba ay patunayan natin ang theorem na kung ang y = F(x) ay isang antiderivative para sa function na y = f(x), kung gayon ang function na y = f(x) ay may walang katapusang maraming antiderivatives at lahat sila ay may anyo na y = F(x ) + C. Samakatuwid, mas tama na idagdag ang terminong C saanman sa ikalawang hanay ng talahanayan, kung saan ang C ay isang arbitrary na tunay na numero.
2. Para sa kapakanan ng kaiklian, minsan sa halip na ang pariralang "ang function na y = F(x) ay isang antiderivative ng function na y = f(x)," sabi nila F(x) ay isang antiderivative ng f(x) .”

2. Mga panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative

Kapag naghahanap ng mga antiderivatives, pati na rin kapag naghahanap ng mga derivatives, hindi lamang mga formula ang ginagamit (nakalista sila sa talahanayan sa p. 196), kundi pati na rin ang ilang mga patakaran. Direktang nauugnay ang mga ito sa kaukulang mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga derivatives.

Alam natin na ang derivative ng isang sum ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives nito. Binubuo ng panuntunang ito ang kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative.

Panuntunan 1. Ang antiderivative ng isang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivatives.

Iginuhit namin ang iyong pansin sa medyo "gaan" ng pagbabalangkas na ito. Sa katunayan, dapat bumalangkas ng theorem: kung ang mga function na y = f(x) at y = g(x) ay may mga antiderivatives sa interval X, ayon sa pagkakabanggit y-F(x) at y-G(x), kung gayon ang kabuuan ng mga function na y Ang = f(x)+g(x) ay may antiderivative sa interval X, at ang antiderivative na ito ay ang function na y = F(x)+G(x). Ngunit kadalasan, kapag bumubuo ng mga panuntunan (hindi theorems), mga keyword lamang ang natitira - ito ay mas maginhawa para sa paglalapat ng mga panuntunan sa pagsasanay

Halimbawa 2. Hanapin ang antiderivative para sa function na y = 2x + cos x.

Solusyon. Ang antiderivative para sa 2x ay x"; ang antiderivative para sa cox ay sin x. Nangangahulugan ito na ang antiderivative para sa function na y = 2x + cos x ay magiging function na y = x 2 + sin x (at sa pangkalahatan anumang function ng form Y = x 1 + sinx + C) .
Alam natin na ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Binubuo ng panuntunang ito ang kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative.

Panuntunan 2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng antiderivative.

Halimbawa 3.

Solusyon. a) Ang antiderivative para sa sin x ay -soz x; Nangangahulugan ito na para sa function na y = 5 sin x ang antiderivative function ay magiging function na y = -5 cos x.

b) Ang antiderivative para sa cos x ay sin x; Nangangahulugan ito na ang antiderivative ng isang function ay ang function
c) Ang antiderivative para sa x 3 ay ang antiderivative para sa x, ang antiderivative para sa function na y = 1 ay ang function na y = x. Gamit ang una at pangalawang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative, nalaman namin na ang antiderivative para sa function na y = 12x 3 + 8x-1 ay ang function
Magkomento. Tulad ng nalalaman, ang derivative ng isang produkto ay hindi katumbas ng produkto ng mga derivatives (ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang produkto ay mas kumplikado) at ang derivative ng isang quotient ay hindi katumbas ng quotient ng mga derivatives. Samakatuwid, walang mga panuntunan para sa paghahanap ng antiderivative ng produkto o ang antiderivative ng quotient ng dalawang function. Mag-ingat ka!
Kumuha tayo ng isa pang tuntunin para sa paghahanap ng mga antiderivatives. Alam natin na ang derivative ng function na y = f(kx+m) ay kinakalkula ng formula

Binubuo ng panuntunang ito ang kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative.
Panuntunan 3. Kung ang y = F(x) ay isang antiderivative para sa function na y = f(x), kung gayon ang antiderivative para sa function na y=f(kx+m) ay ang function

talaga,

Nangangahulugan ito na ito ay isang antiderivative para sa function na y = f(kx+m).
Ang kahulugan ng ikatlong tuntunin ay ang mga sumusunod. Kung alam mo na ang antiderivative ng function na y = f(x) ay ang function na y = F(x), at kailangan mong hanapin ang antiderivative ng function na y = f(kx+m), pagkatapos ay magpatuloy tulad nito: kunin ang parehong function F, ngunit sa halip na ang argumentong x, palitan ang expression na kx+m; bilang karagdagan, huwag kalimutang isulat ang "faktor ng pagwawasto" bago ang sign ng function
Halimbawa 4. Maghanap ng mga antiderivative para sa mga ibinigay na function:

Solusyon, a) Ang antiderivative para sa sin x ay -soz x; Nangangahulugan ito na para sa function na y = sin2x ang antiderivative ang magiging function
b) Ang antiderivative para sa cos x ay sin x; Nangangahulugan ito na ang antiderivative ng isang function ay ang function

c) Ang antiderivative para sa x 7 ay nangangahulugan na para sa function na y = (4-5x) 7 ang antiderivative ay magiging function

3. Indefinite integral

Nabanggit na natin sa itaas na ang problema sa paghahanap ng isang antiderivative para sa isang ibinigay na function y = f(x) ay may higit sa isang solusyon. Talakayin natin ang isyung ito nang mas detalyado.

Patunay. 1. Hayaang y = F(x) ang antiderivative para sa function na y = f(x) sa interval X. Nangangahulugan ito na para sa lahat ng x mula sa X ang pagkakapantay-pantay ng x"(x) = f(x). Hayaan natin hanapin ang derivative ng anumang function ng form na y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Kaya, (F(x)+C) = f(x). Nangangahulugan ito na ang y = F(x) + C ay isang antiderivative para sa function na y = f(x).
Kaya, napatunayan natin na kung ang function na y = f(x) ay may antiderivative na y=F(x), kung gayon ang function (f = f(x) ay may walang katapusang maraming antiderivatives, halimbawa, anumang function ng form na y = Ang F(x) +C ay isang antiderivative.
2. Patunayan natin ngayon na nauubos ng ipinahiwatig na uri ng mga function ang buong hanay ng mga antiderivatives.

Hayaang ang y=F 1 (x) at y=F(x) ay dalawang antiderivatives para sa function na Y = f(x) sa interval X. Nangangahulugan ito na para sa lahat ng x mula sa interval X ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Isaalang-alang natin ang function na y = F 1 (x) -.F(x) at hanapin ang derivative nito: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Alam na kung ang derivative ng isang function sa isang interval X ay magkaparehong katumbas ng zero, kung gayon ang function ay pare-pareho sa interval X (tingnan ang Theorem 3 mula sa § 35). Nangangahulugan ito na ang F 1 (x) - F (x) = C, i.e. Fx) = F(x)+C.

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa 5. Ang batas ng pagbabago ng bilis sa oras ay ibinigay: v = -5sin2t. Hanapin ang batas ng paggalaw s = s(t), kung alam na sa oras na t=0 ang coordinate ng punto ay katumbas ng bilang na 1.5 (i.e. s(t) = 1.5).

Solusyon. Dahil ang bilis ay isang derivative ng coordinate bilang isang function ng oras, kailangan muna nating hanapin ang antiderivative ng bilis, i.e. antiderivative para sa function na v = -5sin2t. Ang isa sa mga naturang antiderivatives ay ang function , at ang set ng lahat ng antiderivatives ay may anyo:

Upang mahanap ang tiyak na halaga ng pare-parehong C, ginagamit namin ang mga paunang kondisyon, ayon sa kung saan s(0) = 1.5. Ang pagpapalit ng mga halaga t=0, S = 1.5 sa formula (1), nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng nahanap na halaga ng C sa formula (1), nakuha namin ang batas ng paggalaw na interesado sa amin:

Kahulugan 2. Kung ang isang function na y = f(x) ay may isang antiderivative y = F(x) sa isang interval X, kung gayon ang set ng lahat ng antiderivatives, i.e. ang set ng mga function ng form na y = F(x) + C ay tinatawag na indefinite integral ng function na y = f(x) at tinutukoy ng:

(basahin: " hindi tiyak na integral ef mula sa x de x").
Sa susunod na talata ay malalaman natin kung ano ang nakatagong kahulugan ng pagtatalagang ito.
Batay sa talahanayan ng mga antiderivative na makukuha sa seksyong ito, bubuo kami ng isang talahanayan ng mga pangunahing hindi tiyak na integral:

Batay sa tatlong panuntunan sa itaas para sa paghahanap ng mga antiderivatives, maaari nating bumalangkas ng kaukulang mga panuntunan sa pagsasama.

Panuntunan 1. Integral ng kabuuan ng mga function katumbas ng kabuuan integral ng mga function na ito:

Panuntunan 2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa integral sign:

Panuntunan 3. Kung

Halimbawa 6. Maghanap ng mga hindi tiyak na integral:

Solusyon, a) Gamit ang una at pangalawang tuntunin ng pagsasama, nakukuha namin ang:

Ngayon ay gamitin natin ang ika-3 at ika-4 na mga formula ng pagsasama:

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

b) Gamit ang ikatlong tuntunin ng pagsasama at formula 8, makuha natin ang:

c) Upang direktang mahanap ang isang ibinigay na integral, wala tayong katumbas na formula o katumbas na panuntunan. Sa ganitong mga kaso, kung minsan ay nakakatulong ang mga dati nang nagsagawa ng magkatulad na pagbabago ng expression na nasa ilalim ng integral sign.

Samantalahin natin trigonometriko formula Pagbabawas ng degree:

Pagkatapos ay hanapin namin nang sunud-sunod:

A.G. Mordkovich Algebra ika-10 baitang

Calendar-thematic na pagpaplano sa matematika, video sa mathematics online, Mathematics sa school

Dokumento

Ilang pagitan X. Kung Para sa anumang xХ F"(x) = f(x), pagkatapos function F tinawagantiderivativePara samga function f sa pagitan ng X. AntiderivativePara samga function subukan mong hanapin...

Antiderivative para sa function

Dokumento

... . Function F(x) tinawagantiderivativePara samga function f(x) sa pagitan (a;b), kung Para sa lahat ng x(a;b) ang pagkakapantay-pantay na hawak ng F(x) = f(x). Halimbawa, Para samga function x2 antiderivative kalooban function x3...

Mga Pangunahing Gabay sa Pag-aaral ng Integral Calculus

Pagtuturo

... ; 5. Hanapin ang integral. ; B); C); D); 6. Functiontinawagantiderivative Upang mga function sa isang set kung: Para sa lahat; sa ilang mga punto; Para sa lahat; sa ilang... pagitan. Kahulugan 1. FunctiontinawagantiderivativePara samga function sa marami...

Antiderivative Indefinite integral

Dokumento

Pagsasama. Antiderivative. Tuloy-tuloy function F(x) tinawagantiderivativePara samga function f (x) sa pagitan ng X kung Para sa bawat F’ (x) = f (x). HALIMBAWA Function Ang F(x) = x 3 ay antiderivativePara samga function f(x) = 3x...

ESPESYAL NA EDUKASYON NG USSR Inaprubahan ng Educational and Methodological Directorate for Higher Education HIGHER MATHEMATICS METHODICAL INSTRUCTIONS AND CONTROL TASKS (WITH THE PROGRAM) para sa part-time na mga mag-aaral ng engineering at teknikal na specialty

Mga Alituntunin

Mga tanong Para sa self-test Define antiderivativemga function. Tukuyin geometriko na kahulugan kabuuan primitivemga function. Ano tinawag hindi sigurado...

Indefinite integral

Ang pangunahing gawain ng differential calculus ay ang kalkulahin ang derivative o differential ng isang naibigay na function. Ang integral calculus, sa pag-aaral kung saan tayo ay nagpapatuloy, ay malulutas ang kabaligtaran na problema, ibig sabihin, ang paghahanap ng mismong function mula sa hinango o pagkakaiba nito. Ibig sabihin, pagkakaroon dF(x)= f(x)d (7.1) o F ′(x)= f(x),

saan f(x)- kilalang function, kailangan upang mahanap ang function F(x).

Kahulugan:Ang function na F(x) ay tinatawag antiderivative function na f(x) sa segment kung nananatili ang pagkakapantay-pantay sa lahat ng punto ng segment na ito: F′(x) = f(x) o dF(x)= f(x)d.

Halimbawa, isa sa mga antiderivative na function para sa function f(x)=3x 2 kalooban F(x)= x 3, dahil ( x 3)′=3x 2. Ngunit isang prototype para sa function f(x)=3x 2 magkakaroon din ng mga function at , since .

Kaya ang function na ito f(x)=3x 2 ay may walang katapusang bilang ng mga primitive, na ang bawat isa ay naiiba lamang sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino. Ipakita natin na ang resultang ito ay mayroon din sa pangkalahatang kaso.

Teorama Dalawang magkaibang antiderivatives ng parehong function na tinukoy sa isang tiyak na pagitan ay naiiba sa bawat isa sa pagitan na ito sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino.

Patunay

Hayaan ang function f(x) tinukoy sa pagitan (a¸b) At F 1 (x) At F 2 (x) - antiderivatives, i.e. F 1 ′(x)= f(x) at F 2 ′(x)= f(x).

Pagkatapos F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

Mula rito, F 2 (x) = F 1 (x) + C

saan SA - pare-pareho (isang corollary ng theorem ni Lagrange ang ginagamit dito).

Ang teorama ay kaya napatunayan.

Ilustrasyon ng geometriko. Kung sa = F 1 (x) At sa = F 2 (x) – antiderivatives ng parehong function f(x), pagkatapos ay ang padaplis sa kanilang mga graph sa mga puntong may karaniwang abscissa X parallel sa bawat isa (Larawan 7.1).

Sa kasong ito, ang distansya sa pagitan ng mga curve na ito sa kahabaan ng axis OU nananatiling pare-pareho F 2 (x) - F 1 (x) = C , ibig sabihin, ang mga kurbadang ito ay papasok ilang pang-unawa"parallel" sa isa't isa.

Bunga .

Pagdaragdag sa ilang antiderivative F(x) para sa function na ito f(x), tinukoy sa pagitan X, lahat ng posibleng constants SA, nakukuha namin ang lahat ng posibleng antiderivatives para sa function f(x).

Kaya ang expression F(x)+C , saan , at F(x) – ilang antiderivative ng isang function f(x) kasama ang lahat ng posibleng antiderivatives para sa f(x).

Halimbawa 1. Suriin kung ang mga function ay antiderivatives ng function

Solusyon:

Sagot: antiderivatives para sa isang function magkakaroon ng mga function At

Kahulugan: Kung ang function na F(x) ay ilang antiderivative ng function na f(x), kung gayon ang set ng lahat ng antiderivatives F(x)+ C ay tinatawag hindi tiyak na integral ng f(x) at ipahiwatig:

∫f(х)dх.

A-priory:

f(x) - integrand function,

f(х)dх - integrand expression

Ito ay sumusunod mula dito na ang hindi tiyak na integral ay isang function ng pangkalahatang anyo, ang pagkakaiba nito ay katumbas ng integrand, at ang derivative nito na may kinalaman sa variable. X ay katumbas ng integrand sa lahat ng punto.

Mula sa isang geometric na punto ng view ang isang hindi tiyak na integral ay isang pamilya ng mga kurba, na ang bawat isa ay nakukuha sa pamamagitan ng paglilipat ng isa sa mga kurba parallel sa sarili nito pataas o pababa, iyon ay, sa kahabaan ng axis OU(Larawan 7.2).

Ang operasyon ng pagkalkula ng hindi tiyak na integral ng isang tiyak na function ay tinatawag pagsasama function na ito.

Tandaan na kung ang derivative ng elementarya function ay palaging isang elementary function, kung gayon ang antiderivative ng isang elementary function ay maaaring hindi kinakatawan ng isang may hangganan na bilang ng mga elementary function.

Isaalang-alang natin ngayon katangian ng hindi tiyak na integral.

Mula sa Depinisyon 2 ito ay sumusunod:

1. Ang derivative ng di-tiyak na integral ay katumbas ng integrand, iyon ay, kung F′(x) = f(x) , Iyon

2. Ang differential ng di-tiyak na integral ay katumbas ng integrand

. (7.4)

Mula sa kahulugan ng kaugalian at ari-arian (7.3)

3. Ang hindi tiyak na integral ng pagkakaiba ng ilang function ay katumbas ng function na ito hanggang sa isang pare-parehong termino, iyon ay (7.5)

Isaalang-alang natin ang paggalaw ng isang punto sa isang tuwid na linya. Hayaan itong tumagal ng oras t mula sa simula ng paggalaw ang punto ay naglakbay ng malayo s(t). Tapos ang bilis bilis v(t) katumbas ng derivative ng function s(t), yan ay v(t) = s"(t).

Sa pagsasagawa ito ay nangyayari baligtad na problema: sa isang naibigay na bilis ng paggalaw ng punto v(t) hanapin ang landas na kanyang tinahak s(t), ibig sabihin, hanapin ang gayong function s(t), na ang derivative ay katumbas ng v(t). Function s(t), ganyan s"(t) = v(t), ay tinatawag na antiderivative ng function v(t).

Halimbawa, kung v(t) = at, Saan A ay isang ibinigay na numero, pagkatapos ay ang function
s(t) = (at 2) / 2v(t), kasi
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Function F(x) tinatawag na antiderivative ng function f(x) sa ilang pagitan, kung para sa lahat X mula sa puwang na ito F"(x) = f(x).

Halimbawa, ang function F(x) = kasalanan x ay ang antiderivative ng function f(x) = cos x, kasi (kasalanan x)" = cos x; function F(x) = x 4 /4 ay ang antiderivative ng function f(x) = x 3, dahil (x 4/4)" = x 3.

Isaalang-alang natin ang problema.

Gawain.

Patunayan na ang mga function na x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 ay mga antiderivatives ng parehong function f(x) = x 2.

Solusyon.

1) Tukuyin natin ang F 1 (x) = x 3 /3, pagkatapos ay F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3/3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Sa pangkalahatan, ang anumang function x 3 /3 + C, kung saan ang C ay isang pare-pareho, ay isang antiderivative ng function na x 2. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang derivative ng pare-pareho ay zero. Ipinapakita ng halimbawang ito na para sa isang naibigay na function ang antiderivative nito ay hindi malinaw na tinutukoy.

Hayaang ang F 1 (x) at F 2 (x) ay dalawang antiderivatives ng parehong function na f(x).

Pagkatapos F 1 "(x) = f(x) at F" 2 (x) = f(x).

Ang derivative ng kanilang pagkakaiba g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) ay katumbas ng zero, dahil g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Kung ang g"(x) = 0 sa isang tiyak na pagitan, kung gayon ang tangent sa graph ng function na y = g(x) sa bawat punto ng interval na ito ay parallel sa Ox axis. Samakatuwid, ang graph ng function na y = Ang g(x) ay isang tuwid na linya na kahanay ng axis ng Ox, ibig sabihin, g(x) = C, kung saan ang C ay ilang pare-pareho. Mula sa mga pagkakapantay-pantay na g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) sumusunod na F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Kaya, kung ang function na F(x) ay isang antiderivative ng function na f(x) sa isang tiyak na pagitan, kung gayon ang lahat ng antiderivatives ng function na f(x) ay nakasulat sa form na F(x) + C, kung saan ang C ay isang di-makatwirang pare-pareho.

Isaalang-alang natin ang mga graph ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function f(x). Kung ang F(x) ay isa sa mga antiderivative ng function na f(x), kung gayon ang anumang antiderivative ng function na ito ay makukuha sa pamamagitan ng pagdaragdag sa F(x) ng ilang constant: F(x) + C. Mga graph ng function y = F( x) + C ay nakuha mula sa graph na y = F(x) sa pamamagitan ng shift kasama ang Oy axis. Sa pamamagitan ng pagpili sa C, maaari mong tiyakin na ang graph ng antiderivative ay dumadaan sa isang ibinigay na punto.

Bigyang-pansin natin ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga antiderivatives.

Alalahanin na ang operasyon ng paghahanap ng derivative para sa isang naibigay na function ay tinatawag pagkakaiba-iba. Ang kabaligtaran na operasyon ng paghahanap ng antiderivative para sa isang naibigay na function ay tinatawag pagsasama(mula sa salitang Latin "ibalik").

Talaan ng mga antiderivatives para sa ilang mga function maaari itong i-compile gamit ang isang talahanayan ng mga derivatives. Halimbawa, alam iyon (cos x)" = -sin x, nakukuha namin (-cos x)" = kasalanan x, kung saan sumusunod na ang lahat ng antiderivative function kasalanan x ay nakasulat sa anyo -cos x + C, Saan SA– pare-pareho.

Tingnan natin ang ilan sa mga kahulugan ng antiderivatives.

1) Function: x p, p ≠ -1. Antiderivative: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Function: 1/x, x > 0. Antiderivative: ln x + C.

3) Function: x p, p ≠ -1. Antiderivative: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Function: e x. Antiderivative: e x + C.

5) Function: kasalanan x. Antiderivative: -cos x + C.

6) Function: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivative: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Function: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivative: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Function: e kx + b, k ≠ 0. Antiderivative: (1/k) e kx + b + C.

9) Function: kasalanan (kx + b), k ≠ 0. Antiderivative: (-1/k) cos (kx + b).

10) Function: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivative: (1/k) kasalanan (kx + b).

Mga panuntunan sa pagsasama maaaring makuha gamit ang mga panuntunan sa pagkakaiba-iba. Tingnan natin ang ilang mga patakaran.

Hayaan F(x) At G(x)– antiderivatives ng mga function ayon sa pagkakabanggit f(x) At g(x) sa ilang pagitan. Pagkatapos:

1) function F(x) ± G(x) ay ang antiderivative ng function f(x) ± g(x);

2) function аF(x) ay ang antiderivative ng function af(x).

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.