Sinus matinding anggulo Ang α ng isang right triangle ay ang ratio kabaligtaran binti hanggang hypotenuse.
Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: kasalanan α.
Cosine Ang acute angle α ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.
Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: cos α.
Tangent acute angle α ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.
Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: tg α.
Cotangent Ang acute angle α ay ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran.
Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: ctg α.
Ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ay nakasalalay lamang sa laki ng anggulo.
Mga Panuntunan:
Mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan sa isang tamang tatsulok:
(α – talamak na anggulo sa tapat ng binti b at katabi ng binti a . Gilid Sa – hypotenuse. β – pangalawang talamak na anggulo).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
kasalanan α |
Habang tumataas ang talamak na anggulokasalanan α attan α pagtaas, atcos α bumababa.
Para sa anumang matinding anggulo α:
kasalanan (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Halimbawa-paliwanag:
Hayaan sa isang tamang tatsulok ABC
AB = 6,
BC = 3,
anggulo A = 30º.
Alamin natin ang sine ng anggulo A at ang cosine ng anggulo B.
Solusyon .
1) Una, nakita namin ang halaga ng anggulo B. Ang lahat ay simple dito: dahil sa isang tamang tatsulok ang kabuuan ng mga talamak na anggulo ay 90º, pagkatapos ang anggulo B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Kalkulahin natin ang kasalanan A. Alam natin na ang sine ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran sa hypotenuse. Para sa anggulo A, ang kabaligtaran na bahagi ay gilid BC. Kaya:
BC 3 1
kasalanan A = -- = - = -
AB 6 2
3) Ngayon kalkulahin natin ang cos B. Alam natin na ang cosine ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse. Para sa anggulo B, ang katabing binti ay ang parehong gilid BC. Nangangahulugan ito na kailangan nating muling hatiin ang BC sa AB - iyon ay, gawin ang parehong mga aksyon tulad ng kapag kinakalkula ang sine ng anggulo A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Ang resulta ay:
kasalanan A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Ito ay sumusunod mula dito na sa isang tamang tatsulok ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng cosine isa pang talamak na anggulo - at kabaliktaran. Ito mismo ang ibig sabihin ng aming dalawang formula:
kasalanan (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Siguraduhin natin ito muli:
1) Hayaan ang α = 60º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa sinus formula, nakukuha natin:
kasalanan (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Hayaan ang α = 30º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa formula ng cosine, nakukuha natin:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Para sa karagdagang impormasyon tungkol sa trigonometrya, tingnan ang seksyon ng Algebra)
Kung saan isinasaalang-alang ang mga problema sa paglutas ng right triangle, nangako akong magpapakita ng isang pamamaraan para sa pagsasaulo ng mga kahulugan ng sine at cosine. Gamit ito, palagi mong maaalala kung aling panig ang kabilang sa hypotenuse (katabi o kabaligtaran). Napagpasyahan kong huwag ipagpaliban ito ng mahabang panahon, ang kinakailangang materyal ay nasa ibaba, mangyaring basahin ito 😉
Ang katotohanan ay paulit-ulit kong naobserbahan kung paano nahihirapang alalahanin ng mga estudyante sa grade 10-11 ang mga kahulugang ito. Natatandaan nilang mabuti na ang binti ay tumutukoy sa hypotenuse, ngunit alin- nakalimutan nila at nalilito. Ang presyo ng isang pagkakamali, tulad ng alam mo sa isang pagsusulit, ay isang nawawalang punto.
Ang impormasyong ipapakita ko nang direkta ay walang kinalaman sa matematika. Siya ay konektado sa mapanlikhang pag-iisip, at sa mga pamamaraan ng verbal-logical na komunikasyon. Ganyan ko talaga naaalala, once and for alldata ng kahulugan. Kung nakalimutan mo ang mga ito, maaari mong palaging madaling matandaan ang mga ito gamit ang mga pamamaraan na ipinakita.
Hayaan akong ipaalala sa iyo ang mga kahulugan ng sine at cosine sa isang tamang tatsulok:
Cosine Ang talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:
Sinus Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse:
Kaya, anong mga asosasyon ang mayroon ka sa salitang cosine?
Malamang lahat ay may kanya-kanyang 😉Tandaan ang link:
Kaya, ang expression ay agad na lilitaw sa iyong memorya -
«… ratio ng ADJACENT leg sa hypotenuse».
Ang problema sa pagtukoy ng cosine ay nalutas na.
Kung kailangan mong matandaan ang kahulugan ng sine sa isang tamang tatsulok, pagkatapos ay maalala ang kahulugan ng cosine, madali mong maitatag na ang sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse. Pagkatapos ng lahat, mayroon lamang dalawang binti; kung ang katabing binti ay "sinasakop" ng cosine, kung gayon ang kabaligtaran na binti lamang ang nananatili sa sine.
Paano ang tangent at cotangent? Ang pagkalito ay pareho. Alam ng mga mag-aaral na ito ay isang relasyon ng mga binti, ngunit ang problema ay alalahanin kung alin ang tinutukoy - alinman sa kabaligtaran sa katabi, o kabaliktaran.
Mga Kahulugan:
Tangent Ang talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi:
Cotangent Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran:
Paano maalala? Mayroong dalawang paraan. Ang isa ay gumagamit din ng isang verbal-logical na koneksyon, ang isa ay gumagamit ng isang matematikal.
PARAAN NG MATHEMATICAL
Mayroong ganoong kahulugan - ang tangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng sine ng anggulo sa cosine nito:
*Kapag kabisado ang formula, maaari mong palaging matukoy na ang tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.
Ganun din.Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng cosine ng anggulo sa sine nito:
Kaya! Sa pamamagitan ng pag-alala sa mga formula na ito, palagi mong matutukoy na:
- ang tangent ng isang matinding anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabi.
— ang cotangent ng isang matinding anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng katabing gilid sa kabaligtaran.
WORD-LOGICAL METHOD
Tungkol sa tangent. Tandaan ang link:
Iyon ay, kung kailangan mong tandaan ang kahulugan ng tangent, gamit ang lohikal na koneksyon na ito, madali mong matandaan kung ano ito
"... ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi"
Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa cotangent, pagkatapos ay naaalala ang kahulugan ng tangent madali mong maipahayag ang kahulugan ng cotangent -
"... ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran"
Mayroong isang kawili-wiling trick para sa pag-alala sa tangent at cotangent sa website " Tandem sa matematika " , tingnan mo.
UNIVERSAL NA PARAAN
Kabisado mo lang.Ngunit tulad ng ipinapakita ng kasanayan, salamat sa mga koneksyon sa pandiwa-lohikal, naaalala ng isang tao ang impormasyon sa loob ng mahabang panahon, at hindi lamang ang mga matematika.
Umaasa ako na ang materyal ay naging kapaki-pakinabang sa iyo.
Taos-puso, Alexander Krutitskikh
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.
Ang Sine ay isa sa mga pangunahing trigonometric function, ang paggamit nito ay hindi limitado sa geometry lamang. Ang mga talahanayan para sa pagkalkula ng mga function ng trigonometriko, tulad ng mga calculator ng engineering, ay hindi palaging nasa kamay, at kung minsan ay kailangan ang pagkalkula ng sine upang malutas ang iba't ibang mga problema. Sa pangkalahatan, ang pagkalkula ng sine ay makakatulong sa pagsasama-sama ng mga kasanayan sa pagguhit at kaalaman sa mga trigonometrikong pagkakakilanlan.
Mga larong may ruler at lapis
Isang simpleng gawain: kung paano hanapin ang sine ng isang anggulo na iginuhit sa papel? Upang malutas, kakailanganin mo ng isang regular na ruler, isang tatsulok (o compass) at isang lapis. Ang pinakasimpleng paraan upang makalkula ang sine ng isang anggulo ay sa pamamagitan ng paghahati sa malayong binti ng isang tatsulok na may tamang anggulo sa mahabang gilid - ang hypotenuse. Kaya, kailangan mo munang kumpletuhin ang talamak na anggulo sa hugis ng isang tamang tatsulok sa pamamagitan ng pagguhit ng isang linya na patayo sa isa sa mga sinag sa isang di-makatwirang distansya mula sa tuktok ng anggulo. Kakailanganin nating mapanatili ang isang anggulo na eksaktong 90°, kung saan kailangan natin ng isang clerical triangle.
Ang paggamit ng compass ay medyo mas tumpak, ngunit tatagal ng mas maraming oras. Sa isa sa mga sinag kailangan mong markahan ang 2 puntos sa isang tiyak na distansya, magtakda ng radius sa compass na humigit-kumulang katumbas ng distansya sa pagitan ng mga punto, at gumuhit ng mga kalahating bilog na may mga sentro sa mga puntong ito hanggang sa makuha ang mga intersection ng mga linyang ito. Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga intersection point ng aming mga bilog sa isa't isa, nakakakuha kami ng isang mahigpit na patayo sa sinag ng aming anggulo; ang natitira na lang ay palawakin ang linya hanggang sa mag-intersect ito sa isa pang sinag.
Sa resultang tatsulok, kailangan mong gumamit ng ruler upang sukatin ang gilid sa tapat ng sulok at ang mahabang bahagi sa isa sa mga ray. Ang ratio ng unang dimensyon sa pangalawa ay ang nais na halaga ng sine ng matinding anggulo.
Hanapin ang sine para sa isang anggulo na higit sa 90°
Para sa isang mahina anggulo ang gawain ay hindi mas mahirap. Kailangan mong gumuhit ng sinag mula sa tuktok hanggang ang kabaligtaran gamit ang isang ruler upang bumuo ng isang tuwid na linya na may isa sa mga sinag ng anggulo na interesado tayo. Ang nagreresultang talamak na anggulo ay dapat tratuhin tulad ng inilarawan sa itaas, mga sine mga katabing sulok, na bumubuo ng isang baligtad na anggulo ng 180°, ay pantay.
Pagkalkula ng sine gamit ang iba pang mga function ng trigonometriko
Gayundin, ang pagkalkula ng sine ay posible kung ang mga halaga ng iba pang mga trigonometric function ng anggulo o hindi bababa sa mga haba ng mga gilid ng tatsulok ay kilala. Tutulungan tayo ng mga trigonometric na pagkakakilanlan dito. Tingnan natin ang mga karaniwang halimbawa.
Paano mahahanap ang sine na may kilalang cosine ng isang anggulo? Ang unang trigonometric identity, batay sa Pythagorean theorem, ay nagsasaad na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng parehong anggulo ay katumbas ng isa.
Paano mahahanap ang sine na may kilalang tangent ng isang anggulo? Ang tangent ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa malayong bahagi sa malapit na bahagi o paghahati ng sine sa cosine. Kaya, ang sine ay magiging produkto ng cosine at tangent, at ang parisukat ng sine ay magiging parisukat ng produktong ito. Pinapalitan namin ang squared cosine na may pagkakaiba sa pagitan ng isa at square sine ayon sa una trigonometriko pagkakakilanlan at sa pamamagitan ng mga simpleng manipulasyon binabawasan namin ang equation sa pagkalkula ng square sine sa pamamagitan ng tangent, nang naaayon, upang makalkula ang sine, kakailanganin mong kunin ang ugat ng resulta na nakuha.
Paano mahahanap ang sine na may kilalang cotangent ng isang anggulo? Ang halaga ng cotangent ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng paghati sa haba ng binti na pinakamalapit sa anggulo sa haba ng malayo, pati na rin sa paghahati ng cosine sa sine, iyon ay, ang cotangent ay isang function na kabaligtaran sa tangent relative. sa numero 1. Upang kalkulahin ang sine, maaari mong kalkulahin ang tangent gamit ang formula tg α = 1 / ctg α at gamitin ang formula sa pangalawang opsyon. Maaari ka ring makakuha ng direktang formula sa pamamagitan ng pagkakatulad sa tangent, na magiging ganito ang hitsura.
Paano mahanap ang sine ng tatlong panig ng isang tatsulok
Mayroong isang pormula para sa paghahanap ng haba ng hindi kilalang panig ng anumang tatsulok, hindi lamang isang tamang tatsulok, mula sa dalawang kilalang panig gamit ang trigonometric function ng cosine ng kabaligtaran na anggulo. Parang ganito siya.
Ano ang sine, cosine, tangent, cotangent ng isang anggulo ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang isang tamang tatsulok.
Ano ang tawag sa mga gilid ng right triangle? Tama iyon, hypotenuse at legs: ang hypotenuse ay ang gilid na nasa tapat ng tamang anggulo (sa aming halimbawa ito ang gilid \(AC\)); ang mga binti ay ang dalawang natitirang panig \(AB\) at \(BC\) (mga katabi ng tamang anggulo), at, kung isasaalang-alang natin ang mga binti na may kaugnayan sa anggulo \(BC\), kung gayon ang binti \(AB\) ay ang katabing binti, at ang binti \(BC\) ay ang kabaligtaran. Kaya, ngayon sagutin natin ang tanong: ano ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo?
Sine ng anggulo– ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.
Sa aming tatsulok:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosine ng anggulo– ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.
Sa aming tatsulok:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangent ng anggulo– ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) gilid sa katabi (malapit).
Sa aming tatsulok:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangent ng anggulo– ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa kabaligtaran (malayo).
Sa aming tatsulok:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Ang mga kahulugang ito ay kinakailangan Tandaan! Upang gawing mas madaling matandaan kung aling binti ang hahatiin sa kung ano, kailangan mong malinaw na maunawaan iyon padaplis At cotangent ang mga binti lamang ang nakaupo, at ang hypotenuse ay lilitaw lamang sa sinus At cosine. At pagkatapos ay maaari kang makabuo ng isang hanay ng mga asosasyon. Halimbawa, ang isang ito:
Cosine → touch → touch → katabi;
Cotangent → touch → touch → katabi.
Una sa lahat, kailangan mong tandaan na ang sine, cosine, tangent at cotangent dahil ang mga ratio ng mga gilid ng isang tatsulok ay hindi nakasalalay sa mga haba ng mga panig na ito (sa parehong anggulo). Hindi naniniwala? Pagkatapos ay siguraduhin sa pamamagitan ng pagtingin sa larawan:
Isaalang-alang, halimbawa, ang cosine ng anggulo \(\beta \) . Sa pamamagitan ng kahulugan, mula sa isang tatsulok \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ngunit maaari nating kalkulahin ang cosine ng anggulo \(\beta \) mula sa tatsulok \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Nakikita mo, ang mga haba ng mga gilid ay magkakaiba, ngunit ang halaga ng cosine ng isang anggulo ay pareho. Kaya, ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nakasalalay lamang sa magnitude ng anggulo.
Kung naiintindihan mo ang mga kahulugan, pagkatapos ay ipagpatuloy at pagsamahin ang mga ito!
Para sa tatsulok \(ABC \) na ipinapakita sa figure sa ibaba, nakita namin \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \ alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Well, nakuha mo ba? Pagkatapos ay subukan ito sa iyong sarili: kalkulahin ang pareho para sa anggulo \(\beta \) .
Mga sagot: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Unit (trigonometric) bilog
Sa pag-unawa sa mga konsepto ng degrees at radians, isinasaalang-alang namin ang isang bilog na may radius na katumbas ng \(1\) . Ang ganitong bilog ay tinatawag walang asawa. Ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang kapag nag-aaral ng trigonometrya. Samakatuwid, tingnan natin ito nang mas detalyado.
Tulad ng nakikita mo, ang bilog na ito ay itinayo sa Cartesian coordinate system. Ang radius ng bilog ay katumbas ng isa, habang ang gitna ng bilog ay nasa pinanggalingan ng mga coordinate, ang paunang posisyon ng radius vector ay naayos kasama ang positibong direksyon ng \(x\) axis (sa aming halimbawa, ito ay ang radius \(AB\)).
Ang bawat punto sa bilog ay tumutugma sa dalawang numero: ang coordinate kasama ang \(x\) axis at ang coordinate kasama ang \(y\) axis. Ano ang mga coordinate number na ito? At sa pangkalahatan, ano ang kinalaman nila sa paksang nasa kamay? Upang gawin ito, kailangan nating tandaan ang tungkol sa itinuturing na tamang tatsulok. Sa figure sa itaas, makikita mo ang dalawang buong right triangle. Isaalang-alang ang tatsulok \(ACG\) . Ito ay hugis-parihaba dahil ang \(CG\) ay patayo sa \(x\) axis.
Ano ang \(\cos \ \ alpha \) mula sa tatsulok \(ACG \)? Tama iyan \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Bilang karagdagan, alam namin na ang \(AC\) ay ang radius ng unit circle, na nangangahulugang \(AC=1\) . I-substitute natin ang value na ito sa ating formula para sa cosine. Narito kung ano ang mangyayari:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Ano ang katumbas ng \(\sin \ \alpha \) mula sa tatsulok \(ACG \)? Well, siyempre, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Palitan ang halaga ng radius \(AC\) sa formula na ito at makuha ang:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Kaya, masasabi mo ba kung ano ang mga coordinate ng puntong \(C\) na kabilang sa bilog? Well, hindi pwede? Paano kung napagtanto mo na ang \(\cos \ \alpha \) at \(\sin \alpha \) ay mga numero lamang? Anong coordinate ang katumbas ng \(\cos \alpha \)? Well, siyempre, ang coordinate \(x\)! At anong coordinate ang katumbas ng \(\sin \alpha \)? Tama, coordinate \(y\)! Kaya ang punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Ano ang katumbas ng \(tg \alpha \) at \(ctg \alpha \)? Tama, gamitin natin ang kaukulang mga kahulugan ng tangent at cotangent at kunin iyon \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Paano kung mas malaki ang anggulo? Halimbawa, tulad ng sa larawang ito:
Ano ang nagbago sa halimbawang ito? Alamin natin ito. Upang gawin ito, lumiko tayo muli sa isang kanang tatsulok. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : anggulo (bilang katabi ng anggulo \(\beta \) ). Ano ang halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa isang anggulo \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tama, sumunod kami sa kaukulang mga kahulugan ng trigonometriko function:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\anggulo ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\anggulo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Well, tulad ng nakikita mo, ang halaga ng sine ng anggulo ay tumutugma pa rin sa coordinate \(y\) ; ang halaga ng cosine ng anggulo - coordinate \(x\) ; at ang mga halaga ng tangent at cotangent sa kaukulang mga ratio. Kaya, ang mga relasyon na ito ay nalalapat sa anumang pag-ikot ng radius vector.
Nabanggit na na ang paunang posisyon ng radius vector ay nasa positibong direksyon ng \(x\) axis. Sa ngayon ay pinaikot natin ang vector na ito nang pakaliwa, ngunit ano ang mangyayari kung paikutin natin ito nang pakanan? Walang kakaiba, makakakuha ka rin ng isang anggulo ng isang tiyak na halaga, ngunit ito lamang ang magiging negatibo. Kaya, kapag umiikot ang radius vector pakaliwa, nakukuha namin mga positibong anggulo, at kapag umiikot sa clockwise – negatibo.
Kaya, alam natin na ang buong rebolusyon ng radius vector sa paligid ng bilog ay \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . Posible bang paikutin ang radius vector sa pamamagitan ng \(390()^\circ \) o ng \(-1140()^\circ \)? Well, siyempre kaya mo! Sa unang kaso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), kaya, ang radius vector ay gagawa ng isang buong rebolusyon at hihinto sa posisyon \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Sa pangalawang kaso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ibig sabihin, ang radius vector ay gagawa ng tatlong buong rebolusyon at hihinto sa posisyon \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Kaya, mula sa mga halimbawa sa itaas maaari nating tapusin na ang mga anggulo na naiiba sa pamamagitan ng \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (kung saan ang \(m \) ay anumang integer ), tumutugma sa parehong posisyon ng radius vector.
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng anggulo \(\beta =-60()^\circ \) . Ang parehong imahe ay tumutugma sa sulok \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) atbp. Maaaring ipagpatuloy ang listahang ito nang walang katapusan. Ang lahat ng mga anggulong ito ay maaaring isulat ng pangkalahatang pormula \(\beta +360()^\circ \cdot m\) o \(\beta +2\pi \cdot m \) (kung saan ang \(m \) ay anumang integer)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Ngayon, alam ang mga kahulugan ng mga pangunahing trigonometriko function at paggamit bilog na yunit, subukang sagutin kung ano ang mga halaga:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Narito ang isang unit circle para tulungan ka:
Nahihirapan? Pagkatapos ay alamin natin ito. Kaya alam natin na:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(array)\)
Mula dito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga punto na naaayon sa ilang mga sukat ng anggulo. Well, magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod: ang sulok sa loob \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tumutugma sa isang punto na may mga coordinate \(\left(0;1 \right) \) , samakatuwid:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ay hindi umiiral;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Dagdag pa, ang pagsunod sa parehong lohika, nalaman namin na ang mga sulok ay nasa \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) tumutugma sa mga puntos na may mga coordinate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), ayon sa pagkakabanggit. Alam ito, madaling matukoy ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko sa kaukulang mga punto. Subukan mo muna ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay suriin ang mga sagot.
Mga sagot:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ay hindi umiiral
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ay hindi umiiral
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ay hindi umiiral
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ay hindi umiiral
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Kaya, maaari naming gawin ang sumusunod na talahanayan:
Hindi na kailangang tandaan ang lahat ng mga halagang ito. Ito ay sapat na upang matandaan ang pagsusulatan sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntos sa bilog ng yunit at ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko:
\(\kaliwa. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Dapat mong tandaan o maipakita ito!! \) !}
Ngunit ang mga halaga ng trigonometric function ng mga anggulo sa at \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) ibinigay sa talahanayan sa ibaba, dapat mong tandaan:
Huwag matakot, ngayon ay magpapakita kami sa iyo ng isang halimbawa ng isang medyo simpleng pagsasaulo ng mga katumbas na halaga:
Upang magamit ang pamamaraang ito, mahalagang tandaan ang mga halaga ng sine para sa lahat ng tatlong sukat ng anggulo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), pati na rin ang halaga ng tangent ng anggulo sa \(30()^\circ \) . Alam ang mga halagang ito ng \(4\), medyo simple na ibalik ang buong talahanayan - ang mga halaga ng cosine ay inililipat alinsunod sa mga arrow, iyon ay:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), alam ito, maaari mong ibalik ang mga halaga para sa \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Ang numerator na "\(1 \)" ay tumutugma sa \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) at ang denominator na "\(\sqrt(\text(3)) \)" ay tumutugma sa \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Ang mga halaga ng cotangent ay inililipat alinsunod sa mga arrow na ipinahiwatig sa figure. Kung naiintindihan mo ito at naaalala mo ang diagram na may mga arrow, sapat na upang matandaan lamang ang \(4\) mga halaga mula sa talahanayan.
Mga coordinate ng isang punto sa isang bilog
Posible bang makahanap ng isang punto (mga coordinate nito) sa isang bilog, alam ang mga coordinate ng gitna ng bilog, ang radius at anggulo ng pag-ikot nito? Well, siyempre kaya mo! Kumuha tayo ng pangkalahatang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng isang punto. Halimbawa, narito ang isang bilog sa harap namin:
Binibigyan tayo ng puntong iyon \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- gitna ng bilog. Ang radius ng bilog ay \(1.5\) . Kinakailangang hanapin ang mga coordinate ng puntong \(P\) na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng puntong \(O\) sa pamamagitan ng \(\delta \) degrees.
Tulad ng makikita mula sa figure, ang coordinate \(x\) ng punto \(P\) ay tumutugma sa haba ng segment \(TP=UQ=UK+KQ\) . Ang haba ng segment na \(UK\) ay tumutugma sa coordinate \(x\) ng gitna ng bilog, iyon ay, ito ay katumbas ng \(3\) . Ang haba ng segment \(KQ\) ay maaaring ipahayag gamit ang kahulugan ng cosine:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Pagkatapos mayroon kaming na para sa puntong \(P\) ang coordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Gamit ang parehong lohika, nakita namin ang halaga ng y coordinate para sa puntong \(P\) . kaya,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Kaya, sa pangkalahatang pananaw Ang mga coordinate ng mga puntos ay tinutukoy ng mga formula:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Saan
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - mga coordinate ng gitna ng bilog,
\(r\) - radius ng bilog,
\(\delta \) - anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector.
Tulad ng nakikita mo, para sa bilog ng yunit na aming isinasaalang-alang, ang mga formula na ito ay makabuluhang nabawasan, dahil ang mga coordinate ng sentro ay katumbas ng zero at ang radius ay katumbas ng isa:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Naka-disable ang Javascript sa iyong browser.Upang magsagawa ng mga kalkulasyon, dapat mong paganahin ang mga kontrol ng ActiveX!
Ang mga konsepto ng sine (), cosine (), tangent (), cotangent () ay hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa konsepto ng anggulo. Upang maunawaan nang mabuti ang mga ito, sa unang tingin, kumplikadong mga konsepto(na nagiging sanhi ng estado ng kakila-kilabot sa maraming mga mag-aaral), at upang matiyak na "ang diyablo ay hindi nakakatakot bilang siya ay ipininta," magsimula tayo sa simula at maunawaan ang konsepto ng isang anggulo.
Konsepto ng anggulo: radian, degree
Tingnan natin ang larawan. Ang vector ay "bumaling" na may kaugnayan sa punto sa pamamagitan ng isang tiyak na halaga. Kaya ang sukat ng pag-ikot na ito na may kaugnayan sa paunang posisyon ay magiging sulok.
Ano pa ang kailangan mong malaman tungkol sa konsepto ng anggulo? Well, siyempre, angle units!
Ang anggulo, sa parehong geometry at trigonometry, ay maaaring masukat sa mga degree at radian.
Ang isang anggulo ng (isang degree) ay tinatawag gitnang anggulo sa isang bilog, batay sa isang pabilog na arko na katumbas ng bahagi ng bilog. Kaya, ang buong bilog ay binubuo ng "mga piraso" ng mga pabilog na arko, o ang anggulo na inilarawan ng bilog ay pantay.
Iyon ay, ang figure sa itaas ay nagpapakita ng isang anggulo na katumbas ng, iyon ay, ang anggulong ito ay nakasalalay sa isang pabilog na arko ang laki ng circumference.
Ang isang anggulo sa radians ay ang gitnang anggulo sa isang bilog na nasa ilalim ng isang pabilog na arko na ang haba ay katumbas ng radius ng bilog. Well, naisip mo ba? Kung hindi, pagkatapos ay alamin natin ito mula sa pagguhit.
Kaya, ang figure ay nagpapakita ng isang anggulo na katumbas ng isang radian, iyon ay, ang anggulong ito ay nakasalalay sa isang pabilog na arko, ang haba nito ay katumbas ng radius ng bilog (ang haba ay katumbas ng haba o ang radius ay katumbas ng haba ng arko). Kaya, ang haba ng arko ay kinakalkula ng formula:
Nasaan ang gitnang anggulo sa radians.
Buweno, alam mo ba ito, maaari mo bang sagutin kung gaano karaming mga radian ang nakapaloob sa anggulo na inilarawan ng bilog? Oo, para dito kailangan mong tandaan ang formula para sa circumference. Narito siya:
Ngayon, iugnay natin ang dalawang formula na ito at hanapin na ang anggulo na inilalarawan ng bilog ay pantay. Iyon ay, sa pamamagitan ng pag-uugnay ng halaga sa mga degree at radian, nakukuha natin iyon. Kaugnay nito, . Tulad ng nakikita mo, hindi tulad ng "degrees", ang salitang "radian" ay tinanggal, dahil ang yunit ng pagsukat ay karaniwang malinaw mula sa konteksto.
Ilang radian ang mayroon? Tama iyan!
Nakuha ko? Pagkatapos ay magpatuloy at ayusin ito:
Nahihirapan? Tapos tignan mo mga sagot:
Kanang tatsulok: sine, cosine, tangent, cotangent ng anggulo
Kaya, nalaman namin ang konsepto ng isang anggulo. Ngunit ano ang sine, cosine, tangent, at cotangent ng isang anggulo? Alamin natin ito. Upang gawin ito, makakatulong sa amin ang isang tamang tatsulok.
Ano ang tawag sa mga gilid ng right triangle? Tama iyon, hypotenuse at legs: ang hypotenuse ay ang gilid na nasa tapat ng tamang anggulo (sa aming halimbawa ito ang gilid); ang mga binti ay ang dalawang natitirang panig at (mga katabi ng tamang anggulo), at kung isasaalang-alang natin ang mga binti na may kaugnayan sa anggulo, kung gayon ang binti ay ang katabing binti, at ang binti ay ang kabaligtaran. Kaya, ngayon sagutin natin ang tanong: ano ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo?
Sine ng anggulo- ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.
Sa ating tatsulok.
Cosine ng anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.
Sa ating tatsulok.
Tangent ng anggulo- ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) gilid sa katabi (malapit).
Sa ating tatsulok.
Cotangent ng anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa kabaligtaran (malayo).
Sa ating tatsulok.
Ang mga kahulugang ito ay kinakailangan Tandaan! Upang gawing mas madaling matandaan kung aling binti ang hahatiin sa kung ano, kailangan mong malinaw na maunawaan iyon padaplis At cotangent ang mga binti lamang ang nakaupo, at ang hypotenuse ay lilitaw lamang sa sinus At cosine. At pagkatapos ay maaari kang makabuo ng isang hanay ng mga asosasyon. Halimbawa, ang isang ito:
Cosine → touch → touch → katabi;
Cotangent → touch → touch → katabi.
Una sa lahat, kailangan mong tandaan na ang sine, cosine, tangent at cotangent dahil ang mga ratio ng mga gilid ng isang tatsulok ay hindi nakasalalay sa mga haba ng mga panig na ito (sa parehong anggulo). Hindi naniniwala? Pagkatapos ay siguraduhin sa pamamagitan ng pagtingin sa larawan:
Isaalang-alang, halimbawa, ang cosine ng isang anggulo. Sa pamamagitan ng kahulugan, mula sa isang tatsulok: , ngunit maaari nating kalkulahin ang cosine ng isang anggulo mula sa isang tatsulok: . Nakikita mo, ang mga haba ng mga gilid ay magkakaiba, ngunit ang halaga ng cosine ng isang anggulo ay pareho. Kaya, ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nakasalalay lamang sa magnitude ng anggulo.
Kung naiintindihan mo ang mga kahulugan, pagkatapos ay ipagpatuloy at pagsamahin ang mga ito!
Para sa tatsulok na ipinapakita sa figure sa ibaba, nakita namin.
Well, nakuha mo ba? Pagkatapos ay subukan ito sa iyong sarili: kalkulahin ang pareho para sa anggulo.
Unit (trigonometric) bilog
Sa pag-unawa sa mga konsepto ng degrees at radians, isinasaalang-alang namin ang isang bilog na may radius na katumbas ng. Ang ganitong bilog ay tinatawag walang asawa. Ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang kapag nag-aaral ng trigonometrya. Samakatuwid, tingnan natin ito nang mas detalyado.
Tulad ng nakikita mo, ang bilog na ito ay itinayo sa Cartesian coordinate system. Ang radius ng bilog ay katumbas ng isa, habang ang gitna ng bilog ay nasa pinagmulan ng mga coordinate, ang paunang posisyon ng radius vector ay naayos kasama ang positibong direksyon ng axis (sa aming halimbawa, ito ang radius).
Ang bawat punto sa bilog ay tumutugma sa dalawang numero: ang axis coordinate at ang axis coordinate. Ano ang mga coordinate number na ito? At sa pangkalahatan, ano ang kinalaman nila sa paksang nasa kamay? Upang gawin ito, kailangan nating tandaan ang tungkol sa itinuturing na tamang tatsulok. Sa figure sa itaas, makikita mo ang dalawang buong right triangle. Isaalang-alang ang isang tatsulok. Ito ay hugis-parihaba dahil ito ay patayo sa axis.
Ano ang katumbas ng tatsulok? Tama iyan. Bilang karagdagan, alam namin na iyon ang radius ng bilog ng yunit, na nangangahulugang . I-substitute natin ang value na ito sa ating formula para sa cosine. Narito kung ano ang mangyayari:
Ano ang katumbas ng tatsulok? Aba, syempre,! Palitan ang halaga ng radius sa formula na ito at makuha ang:
Kaya, masasabi mo ba kung anong mga coordinate ang mayroon ang isang puntong kabilang sa isang bilog? Well, hindi pwede? Paano kung napagtanto mo iyon at mga numero lamang? Aling coordinate ang katumbas nito? Well, siyempre, ang mga coordinate! At sa anong coordinate ito tumutugma? Tama, mga coordinate! Kaya, panahon.
Ano kung gayon at katumbas? Tama, gamitin natin ang kaukulang mga kahulugan ng tangent at cotangent at makuha iyon, a.
Paano kung mas malaki ang anggulo? Halimbawa, tulad ng sa larawang ito:
Ano ang nagbago sa halimbawang ito? Alamin natin ito. Upang gawin ito, lumiko tayo muli sa isang kanang tatsulok. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok: anggulo (bilang katabi ng isang anggulo). Ano ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa isang anggulo? Tama, sumunod kami sa kaukulang mga kahulugan ng trigonometriko function:
Well, tulad ng nakikita mo, ang halaga ng sine ng anggulo ay tumutugma pa rin sa coordinate; ang halaga ng cosine ng anggulo - ang coordinate; at ang mga halaga ng tangent at cotangent sa kaukulang mga ratio. Kaya, ang mga relasyon na ito ay nalalapat sa anumang pag-ikot ng radius vector.
Nabanggit na na ang paunang posisyon ng radius vector ay kasama ang positibong direksyon ng axis. Sa ngayon ay pinaikot natin ang vector na ito nang pakaliwa, ngunit ano ang mangyayari kung paikutin natin ito nang pakanan? Walang kakaiba, makakakuha ka rin ng isang anggulo ng isang tiyak na halaga, ngunit ito lamang ang magiging negatibo. Kaya, kapag umiikot ang radius vector pakaliwa, nakukuha namin mga positibong anggulo, at kapag umiikot sa clockwise - negatibo.
Kaya, alam natin na ang isang buong rebolusyon ng radius vector sa paligid ng isang bilog ay o. Posible bang paikutin ang radius vector sa o sa? Well, siyempre kaya mo! Sa unang kaso, samakatuwid, ang radius vector ay gagawa ng isang buong rebolusyon at hihinto sa posisyon o.
Sa pangalawang kaso, iyon ay, ang radius vector ay gagawa ng tatlong buong rebolusyon at hihinto sa posisyon o.
Kaya, mula sa mga halimbawa sa itaas maaari nating tapusin na ang mga anggulo na naiiba ng o (kung saan ang anumang integer) ay tumutugma sa parehong posisyon ng radius vector.
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang anggulo. Ang parehong imahe ay tumutugma sa sulok, atbp. Maaaring ipagpatuloy ang listahang ito nang walang katapusan. Ang lahat ng mga anggulong ito ay maaaring isulat ng pangkalahatang formula o (kung saan ang anumang integer)
Ngayon, alam ang mga kahulugan ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometriko at gamit ang bilog ng yunit, subukang sagutin kung ano ang mga halaga:
Narito ang isang unit circle para tulungan ka:
Nahihirapan? Pagkatapos ay alamin natin ito. Kaya alam natin na:
Mula dito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga punto na naaayon sa ilang mga sukat ng anggulo. Well, magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod: ang anggulo sa ay tumutugma sa isang punto na may mga coordinate, samakatuwid:
Hindi umiiral;
Dagdag pa, ang pagsunod sa parehong lohika, nalaman namin na ang mga sulok ay tumutugma sa mga puntos na may mga coordinate, ayon sa pagkakabanggit. Alam ito, madaling matukoy ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko sa kaukulang mga punto. Subukan mo muna ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay suriin ang mga sagot.
Mga sagot:
ay wala
ay wala
ay wala
ay wala
Kaya, maaari naming gawin ang sumusunod na talahanayan:
Hindi na kailangang tandaan ang lahat ng mga halagang ito. Ito ay sapat na upang matandaan ang pagsusulatan sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntos sa bilog ng yunit at ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko:
Ngunit ang mga halaga ng trigonometric function ng mga anggulo sa at, na ibinigay sa talahanayan sa ibaba, dapat tandaan:
Huwag matakot, ngayon ay magpapakita kami sa iyo ng isang halimbawa medyo simple upang matandaan ang kaukulang mga halaga:
Upang magamit ang pamamaraang ito, mahalagang tandaan ang mga halaga ng sine para sa lahat ng tatlong sukat ng anggulo (), pati na rin ang halaga ng tangent ng anggulo. Alam ang mga halagang ito, medyo simple upang maibalik ang buong talahanayan - ang mga halaga ng cosine ay inililipat alinsunod sa mga arrow, iyon ay:
Alam ito, maaari mong ibalik ang mga halaga para sa. Ang numerator na " " ay tutugma at ang denominator " " ay tutugma. Ang mga halaga ng cotangent ay inililipat alinsunod sa mga arrow na ipinahiwatig sa figure. Kung naiintindihan mo ito at naaalala ang diagram na may mga arrow, sapat na upang matandaan ang lahat ng mga halaga mula sa talahanayan.
Mga coordinate ng isang punto sa isang bilog
Posible bang makahanap ng isang punto (mga coordinate nito) sa isang bilog, alam ang mga coordinate ng sentro ng bilog, ang radius nito at anggulo ng pag-ikot?
Well, siyempre kaya mo! Ilabas na natin pangkalahatang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng isang punto.
Halimbawa, narito ang isang bilog sa harap namin:
Ibinigay sa amin na ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa pamamagitan ng degrees.
Tulad ng makikita mula sa figure, ang coordinate ng punto ay tumutugma sa haba ng segment. Ang haba ng segment ay tumutugma sa coordinate ng gitna ng bilog, iyon ay, ito ay pantay. Ang haba ng isang segment ay maaaring ipahayag gamit ang kahulugan ng cosine:
Tapos meron tayo niyan para sa point coordinate.
Gamit ang parehong lohika, nakita namin ang y coordinate na halaga para sa punto. kaya,
Kaya, sa pangkalahatan, ang mga coordinate ng mga puntos ay tinutukoy ng mga formula:
Mga coordinate ng gitna ng bilog,
radius ng bilog,
Ang anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector.
Tulad ng nakikita mo, para sa bilog ng yunit na aming isinasaalang-alang, ang mga formula na ito ay makabuluhang nabawasan, dahil ang mga coordinate ng sentro ay katumbas ng zero at ang radius ay katumbas ng isa:
Well, subukan natin ang mga formula na ito sa pamamagitan ng pagsasanay sa paghahanap ng mga puntos sa isang bilog?
1. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.
2. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.
3. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.
4. Ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng paunang radius vector sa pamamagitan ng.
5. Ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng paunang radius vector sa pamamagitan ng.
Nagkakaproblema sa paghahanap ng mga coordinate ng isang punto sa isang bilog?
Lutasin ang limang halimbawang ito (o maging mahusay sa paglutas ng mga ito) at matututunan mong hanapin ang mga ito!
1.
Mapapansin mo yan. Ngunit alam natin kung ano ang tumutugma sa isang buong rebolusyon ng panimulang punto. Kaya, ang nais na punto ay nasa parehong posisyon tulad ng kapag lumiliko sa. Sa pag-alam nito, nakita namin ang kinakailangang mga coordinate ng punto:
2. Ang bilog ng yunit ay nakasentro sa isang punto, na nangangahulugang maaari tayong gumamit ng mga pinasimpleng formula:
Mapapansin mo yan. Alam namin kung ano ang tumutugma sa dalawang buong rebolusyon ng panimulang punto. Kaya, ang nais na punto ay nasa parehong posisyon tulad ng kapag lumiliko sa. Sa pag-alam nito, nakita namin ang kinakailangang mga coordinate ng punto:
Ang sine at cosine ay mga halaga ng talahanayan. Naaalala namin ang kanilang mga kahulugan at nakuha:
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
3. Ang bilog ng yunit ay nakasentro sa isang punto, na nangangahulugang maaari tayong gumamit ng mga pinasimpleng formula:
Mapapansin mo yan. Ilarawan natin ang halimbawang pinag-uusapan sa figure:
Ang radius ay gumagawa ng mga anggulo na katumbas ng at may axis. Ang pag-alam na ang mga halaga ng talahanayan ng cosine at sine ay pantay, at nang matukoy na ang cosine dito ay kumukuha ng negatibong halaga at ang sine ay kumukuha ng positibong halaga, mayroon tayo:
Ang ganitong mga halimbawa ay tinalakay nang mas detalyado kapag pinag-aaralan ang mga formula para sa pagbabawas ng mga function ng trigonometriko sa paksa.
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
4.
Anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector (ayon sa kondisyon)
Upang matukoy ang kaukulang mga palatandaan ng sine at cosine, bumuo kami ng isang bilog at anggulo ng yunit:
Tulad ng makikita mo, ang halaga, iyon ay, ay positibo, at ang halaga, iyon ay, ay negatibo. Alam ang mga halaga ng tabular ng kaukulang mga function ng trigonometriko, nakuha namin na:
Palitan natin ang nakuha na mga halaga sa aming formula at hanapin ang mga coordinate:
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
5. Upang malutas ang problemang ito, gumagamit kami ng mga formula sa pangkalahatang anyo, kung saan
Mga coordinate ng gitna ng bilog (sa aming halimbawa,
Circle radius (ayon sa kondisyon)
Anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector (ayon sa kondisyon).
Palitan natin ang lahat ng mga halaga sa formula at makuha ang:
at - mga halaga ng talahanayan. Tandaan at palitan natin ang mga ito sa formula:
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
BUOD AT BATAYANG FORMULA
Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.
Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.
Ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran (malayo) na bahagi sa katabing (malapit) na bahagi.
Ang cotangent ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing (malapit) na bahagi sa kabaligtaran (malayong) gilid.
