1. Най-малкото числоТетраедърът има 6 ръба.

2. Призмата има n лица. Какъв многоъгълник лежи в основата му?

(n - 2) - квадрат.

3. Права ли е призмата, ако двете й съседни странични стени са перпендикулярни на равнината на основата?

Да, така е.

4. В коя призма страничните ръбове са успоредни на нейната височина?

В права призма.

5. Правилна ли е призмата, ако всичките й ръбове са равни?

Не, може да не е директно.

6. Може ли височината на една от страничните стени на наклонена призма да бъде и височината на призмата?

Да, ако това лице е перпендикулярно на основата.

7. Има ли призма, при която: а) страничният ръб е перпендикулярен само на единия ръб на основата; б) само една страна е перпендикулярна на основата?

а) да. б) не.

8. Правилна триъгълна призма е разделена на две призми от равнина, минаваща през средните линии на основите. Какво е отношението на страничните повърхности на тези призми?

По теорема 27 намираме, че страничните повърхности са в съотношение 5:3

9. Ще бъде ли правилна пирамидата, ако страничните й стена са правилни триъгълници?

10. Колко лица, перпендикулярни на равнината на основата, може да има една пирамида?

11. Има ли четириъгълна пирамида, чиито срещуположни страни са перпендикулярни на основата?

Не, в противен случай ще има поне две прави линии, минаващи през върха на пирамидата, перпендикулярни на основите.

12. Могат ли всички лица на триъгълна пирамида да бъдат правоъгълни триъгълници?

Да (Фигура 183).

Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, от които се нуждаете успешно завършванеЕдинен държавен изпит по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.

Общи сведения за правата призма

Страничната повърхност на призмата (по-точно площта на страничната повърхност) се нарича сумаобласти на страничните лица. Общата повърхност на призмата е равна на сумата от страничната повърхност и площите на основите.

Теорема 19.1. Страничната повърхност на права призма е равна на произведението от периметъра на основата и височината на призмата, т.е. дължината на страничния ръб.

Доказателство. Страничните стени на права призма са правоъгълници. Основите на тези правоъгълници са страните на многоъгълника, лежащ в основата на призмата, а височините са равни на дължината на страничните ръбове. От това следва, че страничната повърхност на призмата е равна на

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

където a 1 и n са дължините на основните ръбове, p е периметърът на основата на призмата, а I е дължината на страничните ръбове. Теоремата е доказана.

Практическа задача

Проблем (22) . В наклонена призма се извършва раздел, перпендикулярна на страничните ребра и пресичаща всички странични ребра. Намерете страничната повърхност на призмата, ако периметърът на сечението е равен на p, а страничните ръбове са равни на l.

Решение. Равнината на начертаното сечение разделя призмата на две части (фиг. 411). Нека подложим една от тях на паралелен превод, комбинирайки основите на призмата. В този случай получаваме права призма, чиято основа е напречното сечение на оригиналната призма, а страничните ръбове са равни на l. Тази призма има същата странична повърхност като оригиналната. По този начин страничната повърхност на оригиналната призма е равна на pl.

Обобщение на засегнатата тема

Сега нека се опитаме да обобщим темата, която разгледахме за призмите и да си спомним какви свойства притежава призмата.

Свойства на призмата

Първо, призмата има всички свои основи като равни многоъгълници;
Второ, призмата има всичко странични лицаса успоредници;
Трето, в такава многостранна фигура като призма всички странични ръбове са равни;

Също така трябва да се помни, че полиедри като призми могат да бъдат прави или наклонени.

Коя призма се нарича права призма?

Ако страничният ръб на призмата е разположен перпендикулярно на равнината на нейната основа, тогава такава призма се нарича права.

Не би било излишно да припомним, че страничните стени на права призма са правоъгълници.

Какъв тип призма се нарича наклонена?

Но ако страничният ръб на призмата не е разположен перпендикулярно на равнината на нейната основа, тогава можем спокойно да кажем, че това е наклонена призма.

Коя призма се нарича правилна?

Ако правилен многоъгълник лежи в основата на права призма, тогава такава призма е правилна.

Сега нека си припомним свойствата, които има правилната призма.

Свойства на правилната призма

Първо, правилните многоъгълници винаги служат като основи на правилна призма;
Второ, ако разгледаме страничните стени на правилна призма, те винаги ще бъдат равни правоъгълници;
Трето, ако сравните размерите на страничните ребра, тогава в обикновена призма те винаги са равни.
Четвърто, правилната призма винаги е права;
Пето, ако в правилната призма страничните лица имат формата на квадрати, тогава такава фигура обикновено се нарича полуправилен многоъгълник.

Напречно сечение на призмата

Сега нека да разгледаме напречното сечение на призмата:

Домашна работа

Сега нека се опитаме да затвърдим темата, която сме научили, като решаваме задачи.

Нека начертаем наклонена триъгълна призма, разстоянието между ръбовете й ще бъде равно на: 3 cm, 4 cm и 5 cm, а страничната повърхност на тази призма ще бъде равна на 60 cm2. Имайки тези параметри, намерете страничния ръб на тази призма.

Знаете ли, че геометричните фигури постоянно ни заобикалят не само в уроците по геометрия, но и в ЕжедневиетоИма обекти, които приличат на една или друга геометрична фигура.

Всеки дом, училище или работа има компютър, чийто системен блок е с форма на права призма.

Ако вземете обикновен молив, ще видите, че основната част на молива е призма.

Разхождайки се по централната улица на града, виждаме, че под краката ни лежи плочка, която има формата на шестоъгълна призма.

А. В. Погорелов, Геометрия за 7-11 клас, Учебник за учебни заведения

Многостени

Основният обект на изследване на стереометрията са пространствените тела. Тялопредставлява част от пространството, ограничено от определена повърхност.

Многостене тяло, чиято повърхност се състои от краен брой плоски многоъгълници. Полиедърът се нарича изпъкнал, ако е разположен от едната страна на равнината на всеки плосък многоъгълник на повърхността му. Общата част на такава равнина и повърхността на полиедър се нарича ръб, край. Лицата на изпъкнал многостен са плоски изпъкнали многоъгълници. Страните на лицата се наричат ръбове на многостена, а върховете са върховете на многостена.

Например, един куб се състои от шест квадрата, които са неговите лица. Той съдържа 12 ръба (страните на квадратите) и 8 върха (върховете на квадратите).

Най-простите полиедри са призми и пирамиди, които ще изучаваме допълнително.

Призма

Определение и свойства на призмата

Призмае многостен, състоящ се от два плоски многоъгълника, лежащи в успоредни равниникомбинирани чрез паралелна транслация и всички сегменти, свързващи съответните точки на тези полигони. Полигоните се наричат призмени основи, а сегментите, свързващи съответните върхове на многоъгълниците, са странични ръбове на призмата.

Височина на призматасе нарича разстоянието между равнините на основите му (). Нарича се сегмент, свързващ два върха на призма, които не принадлежат на едно и също лице диагонал на призмата(). Призмата се нарича n-въглерод, ако основата му съдържа n-ъгълник.

Всяка призма има следните свойства, произтичащи от факта, че основите на призмата са комбинирани чрез паралелен превод:

1. Основите на призмата са равни.

2. Страничните ръбове на призмата са успоредни и равни.

Повърхността на призмата се състои от основи и странична повърхност. Страничната повърхност на призмата се състои от успоредници (това следва от свойствата на призмата). Площта на страничната повърхност на призмата е сумата от площите на страничните повърхности.

Права призма

Призмата се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите. Иначе призмата се нарича наклонен.

Лицата на права призма са правоъгълници. Височината на права призма е равна на нейните странични стени.

Пълна повърхност на призматасе нарича сбор от площта на страничната повърхност и площите на основите.

С правилната призманаречена права призма с правилен многоъгълник в основата си.

Теорема 13.1. Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра и височината на призмата (или, което е същото, на страничния ръб).

Доказателство. Страничните стени на права призма са правоъгълници, чиито основи са страните на многоъгълниците в основите на призмата, а височините са страничните ръбове на призмата. Тогава по дефиниция площта на страничната повърхност е:

,

където е периметърът на основата на права призма.

паралелепипед

Ако паралелограмите лежат в основите на призмата, тогава тя се нарича паралелепипед. Всички лица на паралелепипед са успоредници. В този случай срещуположните лица на паралелепипеда са успоредни и равни.

Теорема 13.2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разделят наполовина от пресечната точка.

Доказателство. Помислете за два произволни диагонала, например, и . защото лицата на паралелепипед са паралелограми, тогава и , което означава, че според To има две прави линии, успоредни на третата. В допълнение, това означава, че правите линии и лежат в една и съща равнина (равнина). Тази равнина пресича успоредни равнини и по успоредни прави и . По този начин четириъгълникът е успоредник и по свойството на успоредника диагоналите му се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка, което трябваше да се докаже.

Нарича се прав паралелепипед, чиято основа е правоъгълник правоъгълен паралелепипед. Всички лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници. Дължините на непаралелните ръбове на правоъгълен паралелепипед се наричат ​​неговите линейни размери (размери). Има три такива размера (ширина, височина, дължина).

Теорема 13.3. В правоъгълен паралелепипед квадратът на всеки диагонал равно на суматаквадрати на неговите три измерения (доказано чрез прилагане на Питагор T два пъти).

Нарича се правоъгълен паралелепипед с равни ръбове куб.

Задачи

13.1 Колко диагонала има? н- въглеродна призма

13.2 В наклонена триъгълна призма разстоянията между страничните ръбове са 37, 13 и 40. Намерете разстоянието между по-големия страничен ръб и противоположния страничен ръб.

13.3През страната на долната основа на правилната триъгълна призманачертава се равнина, пресичаща страничните стени по сегменти, ъгълът между които е . Намерете ъгъла на наклона на тази равнина спрямо основата на призмата.

Определение. Призмае многостен, всичките чиито върхове са разположени в две успоредни равнини и в същите тези две равнини лежат две лица на призмата, които са равни многоъгълници със съответно успоредни страни, и всички ръбове, които не лежат в тези равнини, са успоредни.

Две равни лица се наричат призмени основи(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всички останали лица на призмата се наричат странични лица(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Всички странични лица се образуват странична повърхност на призмата .

Всички странични стени на призмата са успоредници .

Ръбовете, които не лежат в основите, се наричат ​​странични ръбове на призмата ( АА 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Диагонал на призмата е сегмент, чиито краища са два върха на призма, които не лежат на едно и също лице (AD 1).

Дължината на отсечката, свързваща основите на призмата и перпендикулярна едновременно на двете основи, се нарича височина на призмата .

Обозначаване:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Първо, в реда на преминаване, са посочени върховете на една основа, а след това, в същия ред, върховете на друга; краищата на всеки страничен ръб са обозначени със същите букви, обозначени са само върховете, лежащи в една основа с букви без индекс, а в другия - с индекс)

Името на призмата е свързано с броя на ъглите във фигурата, лежаща в основата й, например на фигура 1 има петоъгълник в основата, така че призмата се нарича петоъгълна призма. Но защото такава призма има 7 лица, тогава тя седмостен(2 лица - основите на призмата, 5 лица - успоредници, - нейните странични лица)

Сред правите призми се откроява определен тип: правилни призми.

Права призма се нарича правилно,ако основите му са правилни многоъгълници.

Правилната призма има всички странични лица равни правоъгълници. Специален случай на призма е паралелепипед.

паралелепипед

паралелепипеде четириъгълна призма, в основата на която лежи паралелограм (наклонен паралелепипед). Прав паралелепипед- паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнините на основата.

Правоъгълен паралелепипед- прав паралелепипед, чиято основа е правоъгълник.

Свойства и теореми:

Някои свойства на паралелепипеда са подобни на известните свойства на успоредника Правоъгълен паралелепипед с еднакви размери се нарича куб .Всички лица на куб са равни квадрати.Квадратът на диагонала е равен на сумата от квадратите на трите му измерения

,

където d е диагоналът на квадрата;
a е страната на квадрата.

Идеята за призма се дава от:

• различни архитектурни структури;
• Детски играчки;
• опаковъчни кутии;
• дизайнерски артикули и др.

Площта на общата и страничната повърхност на призмата

Обща повърхност на призматае сумата от площите на всички негови лица Площ на страничната повърхностсе нарича сумата от площите на неговите странични стени. Основите на призмата са равни многоъгълници, тогава техните площи са равни. Ето защо

S пълен = S страничен + 2S основен,

Където S пълен- обща площ, S страна- странична повърхност, S база- основна площ

Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.

S страна= P основен * h,

Където S страна- площ на страничната повърхност на права призма,

P main - периметър на основата на права призма,

h е височината на правата призма, равна на страничния ръб.

Обем на призмата

Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината.