Производна сложна функция. Примери за решения

В този урок ще научим как да намираме производна на сложна функция. Урокът е логично продължение на урока Как да намерим производната?, в който разгледахме най-простите производни, а също така се запознахме с правилата за диференциране и някои технически техники за намиране на производни. Така че, ако не сте много добри с производните на функции или някои точки в тази статия не са напълно ясни, тогава първо прочетете горния урок. Моля, задайте сериозно настроение - материалът не е прост, но все пак ще се опитам да го представя просто и ясно.

На практика трябва да се справяте с производната на сложна функция много често, дори бих казал, почти винаги, когато ви дават задачи да намирате производни.

Разглеждаме таблицата на правилото (№ 5) за разграничаване на сложна функция:

Нека да го разберем. Първо, нека обърнем внимание на влизането. Тук имаме две функции - и , като функцията, образно казано, е вложена във функцията . Функция от този тип (когато една функция е вложена в друга) се нарича сложна функция.

Ще извикам функцията външна функция, и функцията – вътрешна (или вложена) функция.

! Тези определения не са теоретични и не трябва да присъстват в окончателния дизайн на задачите. Използвам неофициални изрази " външна функция“, „вътрешна“ функция само за да ви улесни в разбирането на материала.

За да изясните ситуацията, помислете за:

Пример 1

Намерете производната на функция

Под синуса имаме не само буквата „X“, а цял израз, така че намирането на производната веднага от таблицата няма да работи. Също така забелязваме, че тук е невъзможно да се приложат първите четири правила, изглежда има разлика, но факт е, че синусът не може да бъде „разкъсан на парчета“:

В този пример вече интуитивно става ясно от моите обяснения, че функцията е сложна функция, а полиномът е вътрешна функция (вграждане) и външна функция.

Първа стъпкатова, което трябва да направите, когато намирате производната на сложна функция, е да разберете коя функция е вътрешна и коя външна.

Кога прости примериИзглежда ясно, че под синуса е вграден полином. Но какво ще стане, ако всичко не е очевидно? Как точно да определим коя функция е външна и коя вътрешна? За да направите това, предлагам да използвате следната техника, която може да се направи наум или на чернова.

Нека си представим, че трябва да изчислим стойността на израза при на калкулатор (вместо единица може да има произволно число).

Какво ще изчислим първо? Преди всичкоще трябва да извършите следното действие: , следователно полиномът ще бъде вътрешна функция:

Второще трябва да се намери, така че синус – ще бъде външна функция:

След като ние ПРОДАДЕНОС вътрешни и външни функции е време да приложим правилото за разграничаване на сложни функции.

Да започнем да решаваме. От класа Как да намерим производната?ние помним, че дизайнът на решение за всяка производна винаги започва така - затваряме израза в скоби и поставяме черта горе вдясно:

Първонамерете производната на външната функция (синус), погледнете таблицата с производни елементарни функциии забелязваме, че. Всички таблични формули са приложими и ако „x“ се замени със сложен израз, в такъв случай:

забележи, че вътрешна функция не се е променило, не го пипаме.

Е, това е съвсем очевидно

Крайният резултат от прилагането на формулата изглежда така:

Константният фактор обикновено се поставя в началото на израза:

Ако има някакво недоразумение, запишете решението на хартия и прочетете отново обясненията.

Пример 2

Намерете производната на функция

Пример 3

Намерете производната на функция

Както винаги, ние записваме:

Нека разберем къде имаме външна функция и къде имаме вътрешна. За да направим това, ние се опитваме (мислено или в чернова) да изчислим стойността на израза при . Какво трябва да направите първо? Първо, трябва да изчислите на какво е равна основата: следователно полиномът е вътрешната функция:

И едва тогава се извършва степенуване, следователно, степенна функцияе външна функция:

Според формулата първо трябва да намерите производната на външната функция, в този случай степента. Търсим необходимата формула в таблицата: . Пак повтаряме: всяка таблична формула е валидна не само за „X“, но и за сложен израз. По този начин резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция е следният:

Отново подчертавам, че когато вземем производната на външната функция, нашата вътрешна функция не се променя:

Сега всичко, което остава, е да се намери много проста производна на вътрешната функция и да се промени малко резултата:

Пример 4

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами (отговорете в края на урока).

За да консолидирам вашето разбиране за производната на сложна функция, ще дам пример без коментари, опитайте се да го разберете сами, помислете къде е външната и къде вътрешната функция, защо задачите се решават по този начин?

Пример 5

а) Намерете производната на функцията

б) Намерете производната на функцията

Пример 6

Намерете производната на функция

Тук имаме корен и за да разграничим корена, той трябва да бъде представен като степен. Така първо привеждаме функцията във формата, подходяща за диференциране:

Анализирайки функцията, стигаме до извода, че сумата от трите члена е вътрешна функция, а повдигането на степен е външна функция. Прилагаме правилото за диференциране на сложни функции:

Отново представяме степента като радикал (корен), а за производната на вътрешната функция прилагаме просто правило за диференциране на сумата:

Готов. Можете също да намалите израза до общ знаменател в скоби и да запишете всичко като една дроб. Красиво е, разбира се, но когато получите тромави дълги производни, е по-добре да не правите това (лесно е да се объркате, да направите ненужна грешка и ще бъде неудобно за учителя да проверява).

Пример 7

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами (отговорете в края на урока).

Интересно е да се отбележи, че понякога вместо правилото за диференциране на сложна функция можете да използвате правилото за диференциране на частно , но такова решение ще изглежда като смешно извращение. Ето типичен пример:

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да използвате правилото за диференциране на частното , но е много по-изгодно да се намери производната чрез правилото за диференциране на сложна функция:

Подготвяме функцията за диференциране - преместваме минуса от знака за производна и повдигаме косинуса в числителя:

Косинусът е вътрешна функция, степенуването е външна функция.
Нека използваме нашето правило:

Намираме производната на вътрешната функция и нулираме косинуса обратно надолу:

Готов. В разглеждания пример е важно да не се объркате в знаците. Между другото, опитайте се да го решите с помощта на правилото , отговорите трябва да съвпадат.

Пример 9

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами (отговорете в края на урока).

Досега разглеждахме случаи, в които имахме само едно влагане в сложна функция. В практическите задачи често можете да намерите производни, където, подобно на кукли, една в друга, 3 или дори 4-5 функции са вложени наведнъж.

Пример 10

Намерете производната на функция

Нека разберем прикачените файлове на тази функция. Нека се опитаме да изчислим израза, като използваме експерименталната стойност. Как ще разчитаме на калкулатор?

Първо трябва да намерите , което означава, че арксинусът е най-дълбокото вграждане:

След това този арксинус от едно трябва да бъде повдигнат на квадрат:

И накрая, повдигаме седем на степен:

Тоест в този пример имаме три различни функции и две вграждания, докато най-вътрешната функция е арксинусът, а най-външната функция е експоненциалната функция.

Да започнем да решаваме

Според правилото първо трябва да вземете производната на външната функция. Разглеждаме таблицата с производни и намираме производната на експоненциалната функция: Единствената разлика е, че вместо “x” имаме сложен израз, което не отрича валидността на тази формула. И така, резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция е следният:

Под щриха отново имаме сложна функция! Но вече е по-просто. Лесно е да се провери, че вътрешната функция е арксинусът, а външната функция е степента. Съгласно правилото за диференциране на сложна функция, първо трябва да вземете производната на степента.

Дадено е доказателство на формулата за производна на комплексна функция. Подробно са разгледани случаите, когато сложна функция зависи от една или две променливи. Направено е обобщение за случай на произволен брой променливи.

Тук предоставяме извеждането на следните формули за производната на сложна функция.
Ако , тогава
.
Ако , тогава
.
Ако , тогава
.

Производна на сложна функция от една променлива

Нека функция на променлива x бъде представена като сложна функция в следната форма:
,
където има някои функции. Функцията е диференцируема за някаква стойност на променливата x. Функцията е диференцируема по стойността на променливата.
Тогава комплексната (съставната) функция е диференцируема в точка x и нейната производна се определя по формулата:
(1) .

Формула (1) може да бъде записана и по следния начин:
;
.

Доказателство

Нека въведем следната нотация.
;
.
Тук има функция на променливите и , има функция на променливите и . Но ще пропуснем аргументите на тези функции, за да не затрупваме изчисленията.

Тъй като функциите и са диференцируеми в точки x и съответно, тогава в тези точки има производни на тези функции, които са следните граници:
;
.

Помислете за следната функция:
.
За фиксирана стойност на променливата u е функция на . Очевидно е, че
.
Тогава
.

Тъй като функцията е диференцируема функция в точката, тя е непрекъсната в тази точка. Ето защо
.
Тогава
.

Сега намираме производната.

.

Формулата е доказана.

Последица

Ако функция на променлива x може да бъде представена като сложна функция на сложна функция
,
тогава неговата производна се определя от формулата
.
Тук и има някои диференцируеми функции.

За да докажем тази формула, ние последователно изчисляваме производната, използвайки правилото за диференциране на сложна функция.
Разгледайте сложната функция
.
Негова производна
.
Помислете за оригиналната функция
.
Негова производна
.

Производна на сложна функция от две променливи

Сега нека сложната функция зависи от няколко променливи. Първо нека да разгледаме случай на сложна функция на две променливи.

Нека функция, зависеща от променливата x, бъде представена като сложна функция на две променливи в следната форма:
,
Където
и има диференцируеми функции за някаква стойност на променливата x;
- функция на две променливи, диференцируема в точка , . Тогава комплексната функция е дефинирана в определена околност на точката и има производна, която се определя по формулата:
(2) .

Доказателство

Тъй като функциите и са диференцируеми в точката, те са дефинирани в определена околност на тази точка, непрекъснати са в точката и техните производни съществуват в точката, които са следните граници:
;
.
Тук
;
.
Поради непрекъснатостта на тези функции в даден момент имаме:
;
.

Тъй като функцията е диференцируема в точката, тя е дефинирана в определена околност на тази точка, непрекъсната е в тази точка и нейното нарастване може да се запише в следната форма:
(3) .
Тук

- увеличаване на функция, когато нейните аргументи се увеличават със стойности и ;
;

- частни производни на функцията по отношение на променливите и .
За фиксирани стойности на и и са функции на променливите и . Те клонят към нула при и:
;
.
Тъй като и , тогава
;
.

Увеличаване на функцията:

. :
.
Нека заместим (3):



.

Формулата е доказана.

Производна на сложна функция от няколко променливи

Горното заключение може лесно да се обобщи за случая, когато броят на променливите на сложна функция е повече от две.

Например, ако f е функция на три променливи, Че
,
Където
, и има диференцируеми функции за някаква стойност на променливата x;
- диференцируема функция на три променливи в точка , , .
Тогава от определението за диференцируемост на функцията имаме:
(4)
.
Защото поради приемствеността,
; ; ,
Че
;
;
.

Разделяйки (4) на и преминавайки към границата, получаваме:
.

И накрая, нека помислим най-общия случай.
Нека функция на променлива x бъде представена като сложна функция на n променливи в следната форма:
,
Където
има диференцируеми функции за някаква стойност на променливата x;
- диференцируема функция на n променливи в точка
, , ... , .
Тогава
.

В тази статия ще говорим за такава важна математическа концепция като сложна функция и ще научим как да намираме производната на сложна функция.

Преди да се научим да намираме производната на сложна функция, нека разберем концепцията за сложна функция, какво представлява тя, „с какво се яде“ и „как да се готви правилно“.

Помислете за произволна функция, например тази:

Обърнете внимание, че аргументът от дясната и лявата страна на уравнението на функцията е едно и също число или израз.

Вместо променлива можем да поставим например следния израз: . И тогава получаваме функцията

Нека наречем израза междинен аргумент, а функцията външна функция. Това не са строги математически понятия, но помагат да се разбере значението на понятието сложна функция.

Строгото определение на концепцията за сложна функция звучи така:

Нека функцията е дефинирана на набор и е множеството от стойности на тази функция. Нека множеството (или неговото подмножество) е областта на дефиниране на функцията. Нека зададем номер на всеки от тях. Така функцията ще бъде дефинирана на множеството. Нарича се функционална композиция или комплексна функция.

В тази дефиниция, ако използваме нашата терминология, външна функция е междинен аргумент.

Производната на сложна функция се намира по следното правило:

За да стане по-ясно, искам да напиша това правило, както следва:

В този израз използването означава междинна функция.

Така. За да намерите производната на сложна функция, трябва

1. Определете коя функция е външна и намерете съответната производна от таблицата с производни.

2. Дефинирайте междинен аргумент.

При тази процедура най-голямата трудност е намирането на външната функция. За това се използва прост алгоритъм:

А. Запишете уравнението на функцията.

b. Представете си, че трябва да изчислите стойността на функция за някаква стойност на x. За да направите това, замествате тази стойност x в уравнението на функцията и извършвате аритметика. Последното действие, което правите, е външната функция.

Например във функцията

Последното действие е степенуване.

Нека намерим производната на тази функция. За да направим това, ние пишем междинен аргумент

Решаването на физически задачи или примери по математика е напълно невъзможно без познаване на производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производно, какво е неговото физическо и геометричен смисълкак да изчислим производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?

Геометрично и физическо значение на производната

Нека има функция f(x) , посочени в определен интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разликата в стойностите му х-х0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяна или увеличение на функция е разликата между стойностите на функция в две точки. Дефиниция на производна:

Производната на функция в точка е границата на отношението на нарастването на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.

Иначе може да се напише така:

Какъв е смисълът да се намери такава граница? И ето какво е:

производната на функция в точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.

Физически смисълпроизводна: производната на пътя по време е равна на скоростта на праволинейно движение.

Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е особен път x=f(t) и време T . Средната скоростза определен период от време:

За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:

Правило едно: задайте константа

Константата може да бъде извадена от знака за производна. Освен това това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете го за правило - Ако можете да опростите израз, не забравяйте да го опростите .

Пример. Нека изчислим производната:

Второ правило: производна на сумата от функции

Производната на сумата от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.

Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.

Намерете производната на функцията:

Трето правило: производна на произведението на функциите

Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:

Пример: намерете производната на функция:

Решение:

Тук е важно да говорим за изчисляване на производни на сложни функции. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.

В горния пример срещаме израза:

В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо изчисляваме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.

Четвърто правило: производна на частното на две функции

Формула за определяне на производната на частното на две функции:

Опитахме се да говорим за производни за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото изглежда, така че бъдете предупредени: в примерите често има клопки, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.

С всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентската служба. Отзад краткосроченНие ще ви помогнем да решите най-трудните тестове и задачи, дори ако никога преди не сте правили производни изчисления.

Откакто сте дошли тук, вероятно вече сте виждали тази формула в учебника

и направи лице като това:

Приятелю, не се притеснявай! Всъщност всичко е просто скандално. Определено ще разберете всичко. Само една молба - прочетете статията бавно, опитайте се да разберете всяка стъпка. Написах възможно най-просто и ясно, но все пак трябва да разберете идеята. И не забравяйте да решите задачите от статията.

Какво е сложна функция?

Представете си, че се местите в друг апартамент и затова опаковате нещата в големи кашони. Да предположим, че трябва да съберете някои дребни предмети, например училищни материали за писане. Ако просто ги хвърлите в огромна кутия, те ще се изгубят между другите неща. За да избегнете това, първо ги слагате например в торба, която след това слагате в голяма кутия, след което я затваряте. Този „сложен“ процес е представен на диаграмата по-долу:

Изглежда, какво общо има математиката с това? Да, въпреки факта, че една сложна функция се формира по ТОЧНО СЪЩИЯ начин! Само ние „опаковаме“ не тетрадки и химикалки, а \(x\), докато „опаковките“ и „кутиите“ са различни.

Например, нека вземем x и го „опаковаме“ във функция:

В резултат на това получаваме, разбира се, \(\cos⁡x\). Това е нашата „чанта с вещи“. Сега нека го поставим в „кутия“ - опаковайте го, например, в кубична функция.

Какво ще стане накрая? Да, точно така, ще има „чанта с неща в кутия“, тоест „косинус от Х в куб“.

Полученият дизайн е сложна функция. Тя се различава от простата по това НЯКОЛКО „влияния“ (пакети) се прилагат към един X подреди се оказва сякаш „функция от функция“ - „опаковка в опаковката“.

В училищния курс има много малко видове от тези „пакети“, само четири:

Нека сега „опаковаме“ X първо в експоненциална функцияс основа 7 и след това в тригонометрична функция. Получаваме:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Сега нека „опаковаме“ X два пъти в тригонометрични функции, първо в , а след това в:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Просто, нали?

Сега напишете сами функциите, където x:
- първо се “опакова” в косинус, а след това в експоненциална функция с основа \(3\);
- първо на пета степен, а след това на допирателната;
- първо към логаритъм по основа \(4\) , след това на степен \(-2\).

Намерете отговорите на тази задача в края на статията.

Можем ли да „опаковаме“ X не два, а три пъти? Няма проблем! И четири, и пет, и двадесет и пет пъти. Ето, например, функция, в която x е „опаковано“ \(4\) пъти:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Но такива формули няма да се намерят в училищната практика (учениците са по-щастливи - техните може да са по-сложни☺).

„Разопаковане“ на сложна функция

Погледнете предишната функция отново. Можете ли да разберете последователността на „опаковане“? В какво X е напъхано първо, в какво след това и така до самия край. Тоест, коя функция е вложена в коя? Вземете лист хартия и напишете какво мислите. Можете да направите това с верига със стрелки, както писахме по-горе или по друг начин.

Сега верният отговор е: първо, x беше „опаковано“ в \(4\)-та степен, след това резултатът беше опакован в синус, той от своя страна беше поставен в логаритъм при основа \(2\) , и накрая цялата тази конструкция беше напъхана в петици.

Тоест, трябва да развиете последователността В ОБРАТЕН РЕД. И ето съвет как да го направите по-лесно: веднага погледнете X - трябва да танцувате от него. Нека да разгледаме няколко примера.

Например, ето следната функция: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Гледаме Х - какво се случва първо с него? Взето от него. И тогава? Взема се тангенсът на резултата. Последователността ще бъде същата:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Друг пример: \(y=\cos⁡((x^3))\). Нека анализираме - първо подложихме X на куб и след това взехме косинуса на резултата. Това означава, че последователността ще бъде: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Обърнете внимание, функцията изглежда подобна на първата (където има снимки). Но това е съвсем различна функция: тук в куба е x (т.е. \(\cos⁡((x·x·x)))\), а там в куба е косинусът \(x\) ( тоест \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Тази разлика възниква от различни последователности на "опаковане".

Последният пример (с важна информацияв него): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Ясно е, че тук първо са извършили аритметични операции с x, след което са взели синус от резултата: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). И този важен момент: въпреки факта, че аритметичните операции не са функции сами по себе си, тук те също действат като начин за „опаковане“. Нека се задълбочим малко в тази тънкост.

Както казах по-горе, в простите функции x се „опакова“ веднъж, а в сложните функции - два или повече. Освен това всяка комбинация от прости функции (т.е. тяхната сума, разлика, умножение или деление) също е проста функция. Например \(x^7\) е проста функция, както и \(ctg x\). Това означава, че всички техни комбинации са прости функции:

\(x^7+ ctg x\) - просто,
\(x^7· cot x\) – просто,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – просто и т.н.

Ако обаче към такава комбинация се приложи още една функция, тя ще стане сложна функция, тъй като ще има два „пакета“. Вижте диаграмата:

Добре, давай сега. Напишете последователността от функции за „обвиване“:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Отговорите отново са в края на статията.

Вътрешни и външни функции

Защо трябва да разбираме влагането на функции? Какво ни дава това? Факт е, че без такъв анализ няма да можем надеждно да намерим производни на обсъдените по-горе функции.

И за да продължим напред, ще ни трябват още две понятия: вътрешни и външни функции. Това е много просто нещо, освен това всъщност вече ги анализирахме по-горе: ако си спомним нашата аналогия в самото начало, тогава вътрешната функция е „пакет“, а външната функция е „кутия“. Тези. това, в което X е „опаковано“ първо, е вътрешна функция, а това, в което е „опакована“ вътрешната функция, вече е външно. Е, ясно е защо - тя е външна, това означава външна.

В този пример: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), функцията \(\log_2⁡x\) е вътрешна и
- външен.

И в това: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) е вътрешно и
- външен.

Завършете последната практика за анализиране на сложни функции и нека най-накрая да преминем към това, за което всички започнахме - ще намерим производни на сложни функции:

Попълнете празните места в таблицата:

Производна на сложна функция

Браво на нас, най-после стигнахме до „шефа” на тази тема - всъщност производната на сложна функция и по-точно до онази ужасна формула от началото на статията.☺

\((f(g(x)"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Тази формула гласи така:

Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на външната функция по отношение на постоянна вътрешна функция и производната на вътрешната функция.

И веднага погледнете диаграмата за анализ, според думите, за да разберете какво да правите с какво:

Надявам се, че термините „дериват“ и „продукт“ не създават затруднения. „Комплексна функция“ - вече сме я подредили. Уловката е в „производното на външна функция по отношение на постоянна вътрешна функция“. Какво е?

Отговор: Това е обичайната производна на външна функция, при която се променя само външната функция, а вътрешната остава същата. Все още не е ясно? Добре, нека използваме пример.

Нека имаме функция \(y=\sin⁡(x^3)\). Ясно е, че вътрешната функция тук е \(x^3\), а външната
. Нека сега намерим производната на екстериора по отношение на постоянния интериор.