Дължината на сегмента върху координатната ос се определя по формулата:

Дължината на сегмент в координатната равнина се намира по формулата:

За да намерите дължината на сегмент в триизмерна координатна система, използвайте следната формула:

Координатите на средата на сегмента (за координатната ос се използва само първата формула, за координатната равнина - първите две формули, за триизмерна координатна система - и трите формули) се изчисляват по формулите:

функция– това е съответствие на формуляра г= f(х) между променливи величини, поради което всяка разглеждана стойност на някаква променлива величина х(аргумент или независима променлива) съответства на определена стойност на друга променлива, г(зависима променлива, понякога тази стойност се нарича просто стойност на функцията). Имайте предвид, че функцията приема тази стойност на един аргумент хможе да съответства само една стойност на зависимата променлива при. Въпреки това, същата стойност приможе да се получи с различни х.

Функционален домейн– това са всички стойности на независимата променлива (аргумент на функцията, обикновено this х), за които е дефинирана функцията, т.е. значението му съществува. Областта на дефиниция е посочена д(г). Като цяло вече сте запознати с тази концепция. Домейнът на функция се нарича още домейн приемливи стойности, или ODZ, които отдавна можете да намерите.

Функционален диапазонса всички възможни стойности на зависимата променлива на дадена функция. Определен д(при).

Функцията се увеличавана интервала където по-висока стойностаргументът съответства на по-голямата стойност на функцията. Функцията намалявавърху интервала, в който на по-голяма стойност на аргумента съответства по-малка стойност на функцията.

Интервали на постоянен знак на функция- това са интервалите на независимата променлива, през които зависимата променлива запазва своя положителен или отрицателен знак.

Функционални нули– това са стойностите на аргумента, при които стойността на функцията е равна на нула. В тези точки графиката на функцията пресича абсцисната ос (ост OX). Много често необходимостта да се намерят нулите на функция означава необходимостта просто да се реши уравнението. Също така често необходимостта да се намерят интервали на постоянство на знака означава необходимостта просто да се реши неравенството.

функция г = f(х) са наречени дори х

Това означава, че за всякакви противоположни стойности на аргумента, стойностите на четната функция са равни. График дори функциявинаги симетричен спрямо ординатната ос на операционния усилвател.

функция г = f(х) са наречени странно, ако е дефинирано на симетрично множество и за всяко хот областта на дефиницията важи равенството:

Това означава, че за всякакви противоположни стойности на аргумента, стойностите на нечетната функция също са противоположни. Графиката на нечетна функция винаги е симетрична спрямо началото.

Сумата от корените на четно и странни функции(пресечни точки на абсцисната ос OX) винаги е равна на нула, т.к за всеки положителен корен хима отрицателен корен - х.

Важно е да се отбележи, че някои функции не трябва да бъдат четни или нечетни. Има много функции, които не са нито четни, нито нечетни. Такива функции се наричат функции общ изглед , и за тях нито едно от дадените по-горе равенства или свойства не е изпълнено.

Линейна функцияе функция, която може да бъде дадена с формулата:

График линейна функцияе права линия и в общия случай изглежда така (даден е пример за случая, когато к> 0, в този случай функцията е нарастваща; за случая к < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Графика на квадратична функция (парабола)

Графиката на парабола е дадена от квадратична функция:

Квадратната функция, както всяка друга функция, пресича оста OX в точките, които са нейните корени: ( х 1 ; 0) и ( х 2 ; 0). Ако няма корени, тогава квадратичната функция не пресича оста OX; ако има само един корен, тогава в тази точка ( х 0 ; 0) квадратичната функция само докосва оста OX, но не я пресича. Квадратната функция винаги пресича оста OY в точка с координати: (0; ° С). График квадратична функция(парабола) може да изглежда така (фигурата показва примери, които далеч не са изчерпателни възможни видовепараболи):

при което:

• ако коеф а> 0, във функция г = брадва 2 + bx + ° С, тогава клоните на параболата са насочени нагоре;
• ако а < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координатите на върха на парабола могат да бъдат изчислени с помощта на следните формули. X топове (стр- на снимките по-горе) параболи (или точката, в която квадратният трином достига своята най-голяма или най-малка стойност):

Игрек топове (р- на фигурите по-горе) параболи или максимум, ако клоновете на параболата са насочени надолу ( а < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (а> 0), стойността на квадратния трином:

Графики на други функции

Силова функция

Ето няколко примера за графики на степенни функции:

Обратно порпорционалене функция, дадена от формулата:

В зависимост от знака на числото кназад график пропорционална зависимостможе да има две основни опции:

Асимптотае линия, до която графиката на функция се приближава безкрайно близо, но не се пресича. Асимптоти за графики обратна пропорционалностпоказани на фигурата по-горе са координатните оси, към които графиката на функцията се приближава безкрайно близо, но не ги пресича.

Експоненциална функцияс основа Ае функция, дадена от формулата:

аГрафиката на експоненциална функция може да има две основни опции (даваме и примери, вижте по-долу):

Логаритмична функцияе функция, дадена от формулата:

В зависимост от това дали числото е по-голямо или по-малко от едно аГрафиката на логаритмична функция може да има две основни опции:

Графика на функция г = |х| както следва:

Графики на периодични (тригонометрични) функции

функция при = f(х) е наречен периодичен, ако има такова различно от нула число T, Какво f(х + T) = f(х), за всеки хот областта на функцията f(х). Ако функцията f(х) е периодичен с период T, тогава функцията:

Където: А, к, bса постоянни числа и кне равна на нула, също периодична с период T 1, което се определя по формулата:

Повечето примери за периодични функции са тригонометричните функции. Ето и графиките на основните тригонометрични функции. Следващата фигура показва част от графиката на функцията г= грях х(цялата графика продължава неограничено наляво и надясно), графика на функцията г= грях хНаречен синусоида:

Графика на функция г=cos хНаречен косинус. Тази графика е показана на следващата фигура. Тъй като синусовата графика продължава безкрайно по оста OX наляво и надясно:

Графика на функция г= tg хНаречен тангентоид. Тази графика е показана на следващата фигура. Подобно на графиките на други периодични функции, този графикповтаря се безкрайно по оста OX наляво и надясно.

И накрая, графиката на функцията г=ctg хНаречен котангентоид. Тази графика е показана на следващата фигура. Подобно на графиките на други периодични и тригонометрични функции, тази графика се повтаря неограничено по оста OX наляво и надясно.

Научете всички формули и закони във физиката, както и формули и методи в математиката. Всъщност това също е много лесно да се направи; във физиката има само около 200 необходими формули и дори малко по-малко в математиката. Във всеки от тези предмети има около дузина стандартни методи за решаване на проблеми с основно ниво на сложност, които също могат да бъдат научени и по този начин напълно автоматично и без затруднения да се решават повечето от КТ в точното време. След това ще трябва да мислите само за най-трудните задачи.

Явете се и на трите етапа на репетиционното изпитване по физика и математика. Всеки RT може да бъде посетен два пъти, за да се вземе решение за двете опции. Отново, на CT, в допълнение към способността за бързо и ефективно решаване на проблеми и познаване на формули и методи, вие също трябва да можете правилно да планирате времето, да разпределяте силите и най-важното, правилно да попълвате формуляра за отговор, без объркване на номерата на отговорите и проблемите или собственото ви фамилно име. Освен това по време на RT е важно да свикнете със стила на задаване на въпроси в проблемите, което може да изглежда много необичайно за неподготвен човек в DT.

Успешното, усърдно и отговорно изпълнение на тези три точки ще ви позволи да покажете отличен резултат на CT, максимума от това, на което сте способни.

Намерихте грешка?

Ако смятате, че сте открили грешка в учебни материали, тогава моля, пишете за това по имейл. Можете също да докладвате за грешка на социална мрежа(). В писмото посочете предмета (физика или математика), името или номера на темата или теста, номера на задачата или мястото в текста (страницата), където според вас има грешка. Също така опишете каква е предполагаемата грешка. Писмото ви няма да остане незабелязано, грешката или ще бъде коригирана, или ще ви бъде обяснено защо не е грешка.

Работилница

Според математически анализ

За студенти вечер

Уау курс

(Част I)

Учебно-методическо ръководство

Москва, 2006 г

UDC 512.8:516

BBK S42

Рецензенти:

Кандидат на физико-математическите науки, доцент Каролинская С.Н. (Московски авиационен институт на името на С. Орджоникидзе);

д-р, доц. Краснослободцева Т.П. (MITHT на името на М.В. Ломоносов).

Скворцова M.I., Мудракова O.A., Кротов G.S., Семинар по математически анализ за студенти от 1-ва година вечер (част I), Учебно-методическо ръководство - М.: MITHT im. М.В. Ломоносов, 2006 – 44 стр.: ил. 29 .

Одобрено от Библиотечната и издателска комисия на MITHT. М.В. Ломоносов като учебно помагало. поз. ___/2006 г.

Ръководството се състои от бележки 6 практически занятияв курса по математически анализ за студенти от вечерния отдел на MITHT. М.В. Ломоносов. Част I включва следните раздели: „Функция и нейните основни свойства“, „Граница на функция“, „Точки на непрекъснатост и прекъсване на функция“.

Всеки урок е посветен на отделна тема. Бележки за 5 урока съдържат резюмесъответна теория, типични примери и задачи за самостоятелно решаване (с отговори). Бележките към урока № 6 предоставят примерен вариант тестова работа(с решения), проведени в този урок.

Ръководството е предназначено за вечерни студенти от химически университети.

© MITHT им. М.В. Ломоносова, 2006

Урок 1.

Понятието функция. Основен елементарни функции, техните свойства и графики………………………………

Урок 2.Полярна координатна система. Изграждане на графики на функции с помощта на метода на изместване и разтягане по координатни оси……………………………………………….

Урок 3.Ограничение на функцията. Непрекъснатост на функцията. Изчисляване на границите на непрекъснати, рационални и някои ирационални функции…………......

Урок 4.Първото и второто са прекрасни граници. Изчисляване на границите на степенно-експоненциална функция. Безкрайно малък и безкрайно голям
стойности………………………………………………….

Урок 5.Точки на непрекъснатост и точки на прекъсване на функция. Класификация на точките на прекъсване. Изследване на функция за непрекъснатост………………………………

Урок 6.Тест № 1 по темата "Изчисляване на границите на функциите. Изследване на функции за непрекъснатост"……………………………………………………………………….

Литература……………………………………………….

Урок 1.

Понятието функция. Основни елементарни функции, техните свойства и графики.

Определение 1.Зависимостта на променлива от променлива се нарича функция, ако всяка стойност съответства на една стойност.

Ние пишем: И говорим, което е функция на . В този случай се нарича независима променлива(или аргумент) и – зависима променлива.

Определение 2. Функционален домейн(означени с ) са всички стойности, които . Множество функционални стойности(означени с ) са всички стойности, които .

Определение 3.Функцията се извиква повишаване на (намаляващи) на числовия интервал, ако за всеки от , така че , неравенството е валидно:

.

Определение 4.Функцията се извиква монотоненна интервала, ако само намалява или само се увеличава с .

Определение 5.Функцията се извиква дори (странно), ако е симетричен спрямо нула и за някое от:

.

Национален изследователски университет

Катедра Приложна геология

Реферат по висша математика

По темата: „Основни елементарни функции,

техните свойства и графики"

Завършено:

Проверено:

учител

Определение. Извиква се функцията, дефинирана с формулата y=a x (където a>0, a≠1). експоненциална функцияс основа а.

Нека формулираме основните свойства на експоненциалната функция:

1. Областта на дефиниция е множеството (R) от всички реални числа.

2. Диапазон - множеството (R+) от всички положителни реални числа.

3. При a > 1 функцията нараства по цялата числова ос; на 0<а<1 функция убывает.

4. Е функция от общ вид.

, на интервала xО [-3;3]
, на интервала xО [-3;3]

Функция от вида y(x)=x n, където n е числото ОR, се нарича степенна функция. Числото n може да приема различни стойности: както цяло, така и дробно, както четно, така и нечетно. В зависимост от това степенната функция ще има различна форма. Нека разгледаме специални случаи, които са степенни функции и отразяват основните свойства на този тип крива в следния ред: степенна функция y=x² (функция с четен показател - парабола), степенна функция y=x³ (функция с нечетен показател - кубична парабола) и функция y=√x (x на степен ½) (функция с дробна степен), функция с отрицателна цяло число (хипербола).

Силова функция y=x²

1. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;

2. E(y)= и расте на интервала

Силова функция y=x³

1. Графиката на функцията y=x³ се нарича кубична парабола. Степенната функция y=x³ има следните свойства:

2. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;

3. E(y)=(-∞;∞) – функцията приема всички стойности в своята област на дефиниране;

4. При x=0 y=0 – функцията преминава през началото на координати O(0;0).

5. Функцията нараства в цялата област на дефиниция.

6. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото).

, на интервала xО [-3;3]

В зависимост от числения фактор пред x³, функцията може да бъде стръмна/плоска и нарастваща/намаляваща.

Степенна функция с цяло отрицателно число:

Ако показателят n е нечетен, тогава графиката на такава степенна функция се нарича хипербола. Степенна функция с цяло число отрицателен показател има следните свойства:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) за всяко n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ако n е нечетно число; E(y)=(0;∞), ако n е четно число;

3. Функцията намалява по цялата област на дефиниция, ако n е нечетно число; функцията расте в интервала (-∞;0) и намалява в интервала (0;∞), ако n е четно число.

4. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото), ако n е нечетно число; функцията е четна, ако n е четно число.

5. Функцията преминава през точките (1;1) и (-1;-1), ако n е нечетно число и през точките (1;1) и (-1;1), ако n е четно число.

, на интервала xО [-3;3]

Степенна функция с дробен показател

Степенна функция с дробен показател (картинка) има графика на функцията, показана на фигурата. Степенна функция с дробен показател има следните свойства: (картинка)

1. D(x) ОR, ако n е нечетно число и D(x)=
, на интервала xО
, на интервала xО [-3;3]

Логаритмичната функция y = log a x има следните свойства:

1. Област на дефиниция D(x)О (0; + ∞).

2. Диапазон от стойности E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Функцията не е нито четна, нито нечетна (от общ вид).

4. Функцията нараства на интервала (0; + ∞) за a > 1, намалява на (0; + ∞) за 0< а < 1.

Графиката на функцията y = log a x може да се получи от графиката на функцията y = a x с помощта на трансформация на симетрия спрямо правата линия y = x. Фигура 9 показва графика на логаритмичната функция за a > 1, а фигура 10 за 0< a < 1.

; на интервала xО
; на интервала xО

Функциите y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x се наричат ​​тригонометрични функции.

Функциите y = sin x, y = tan x, y = ctg x са нечетни, а функцията y = cos x е четна.

Функция y = sin(x).

1. Област на дефиниция D(x) ОР.

2. Диапазон от стойности E(y) О [ - 1; 1].

3. Функцията е периодична; главният период е 2π.

4. Функцията е нечетна.

5. Функцията расте на интервали [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и намалява на интервалите [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Графиката на функцията y = sin (x) е показана на фигура 11.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране определено лицеили връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.