Днес ще разгледаме кои количества се наричат ​​обратно пропорционални, как изглежда графиката на обратната пропорционалност и как всичко това може да ви бъде полезно не само в часовете по математика, но и извън училище.

Толкова различни пропорции

Пропорционалностназови две величини, които са взаимно зависими една от друга.

Зависимостта може да бъде пряка и обратна. Следователно връзките между количествата се описват чрез пряка и обратна пропорционалност.

Пряка пропорционалност– това е такава връзка между две величини, при която увеличаването или намаляването на едно от тях води до увеличаване или намаляване на другото. Тези. отношението им не се променя.

Например, колкото повече усилия полагате, за да учите за изпити, толкова по-високи са оценките ви. Или колкото повече неща вземете със себе си на поход, толкова по-тежка ще е раницата ви за носене. Тези. Размерът на усилията, изразходвани за подготовка за изпити, е право пропорционален на получените оценки. А броят на нещата, опаковани в една раница, е право пропорционален на нейното тегло.

Обратна пропорционалност– това е функционална зависимост, при която намаляване или увеличаване с няколко пъти на независима стойност (нарича се аргумент) предизвиква пропорционално (т.е. същия брой пъти) увеличение или намаляване на зависима стойност (нарича се функция).

Нека да илюстрираме прост пример. Искате да купите ябълки на пазара. Ябълките на тезгяха и количеството пари в портфейла ви са в обратна пропорция. Тези. Колкото повече ябълки купите, толкова по-малко пари ще ви останат.

Функция и нейната графика

Функцията на обратната пропорционалност може да се опише като y = k/x. В който х≠ 0 и к≠ 0.

Тази функция има следните свойства:

1. Неговата област на дефиниция е множеството от всички реални числа с изключение на х = 0. д(г): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Диапазонът е всички реални числа, с изключение на г= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Няма максимални или минимални стойности.
4. Той е нечетен и неговата графика е симетрична спрямо началото.
5. Непериодични.
6. Неговата графика не пресича координатните оси.
7. Няма нули.
8. Ако к> 0 (т.е. аргументът се увеличава), функцията намалява пропорционално на всеки от своите интервали. Ако к< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. С нарастването на аргумента ( к> 0) отрицателните стойности на функцията са в интервала (-∞; 0), а положителните стойности са в интервала (0; +∞). Когато аргументът намалее ( к< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Графиката на функцията на обратната пропорционалност се нарича хипербола. Показва се както следва:

Задачи на обратната пропорционалност

За да стане по-ясно, нека разгледаме няколко задачи. Те не са много сложни и решаването им ще ви помогне да си представите какво е обратна пропорционалност и как това знание може да ви бъде полезно в ежедневието.

Задача No1. Автомобил се движи със скорост 60 км/ч. Отне му 6 часа, за да стигне до местоназначението си. Колко време ще му отнеме да измине същото разстояние, ако се движи с двойно по-голяма скорост?

Можем да започнем, като запишем формула, която описва връзката между време, разстояние и скорост: t = S/V. Съгласете се, това много ни напомня за функцията на обратната пропорционалност. И това показва, че времето, което една кола прекарва на пътя, и скоростта, с която се движи, са обратно пропорционални.

За да проверим това, нека намерим V 2, което според условието е 2 пъти по-високо: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. След това изчисляваме разстоянието по формулата S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Сега не е трудно да разберете времето t 2, което се изисква от нас според условията на проблема: t 2 = 360/120 = 3 часа.

Както можете да видите, времето за пътуване и скоростта наистина са обратно пропорционални: при скорост 2 пъти по-висока от първоначалната скорост, колата ще прекара 2 пъти по-малко време на пътя.

Решението на тази задача може да се запише и като пропорция. Така че нека първо създадем тази диаграма:

↓ 60 км/ч – 6 ч

↓120 км/ч – x ч

Стрелките показват обратно пропорционална връзка. Те също така предполагат, че при съставяне на пропорции правилната страназаписите трябва да се обърнат: 60/120 = x/6. Къде получаваме x = 60 * 6/120 = 3 часа.

Задача No2. В цеха работят 6 работници, които могат да свършат зададен обем работа за 4 часа. Ако броят на работниците се намали наполовина, колко време ще отнеме на останалите работници, за да извършат същото количество работа?

Нека запишем условията на проблема под формата на визуална диаграма:

↓ 6 работници – 4 часа

↓ 3 работници – x h

Нека запишем това като пропорция: 6/3 = x/4. И получаваме x = 6 * 4/3 = 8 часа.Ако има 2 пъти по-малко работници, останалите ще отделят 2 пъти повече време за цялата работа.

Задача No3. В басейна има две тръби. По една тръба водата тече със скорост 2 l/s и пълни басейна за 45 минути. Чрез друга тръба басейнът ще се напълни за 75 минути. С каква скорост навлиза водата в басейна през тази тръба?

Като начало, нека намалим всички количества, дадени ни според условията на задачата, до едни и същи мерни единици. За да направите това, изразяваме скоростта на пълнене на басейна в литри в минута: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Тъй като условието предполага, че басейнът се пълни по-бавно през втората тръба, това означава, че скоростта на водния поток е по-ниска. Пропорционалността е обратна. Нека изразим неизвестната скорост чрез x и съставим следната диаграма:

↓ 120 л/мин – 45 мин

↓ x l/min – 75 min

И след това съставяме пропорцията: 120/x = 75/45, откъдето x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

В задачата скоростта на пълнене на басейна е изразена в литри в секунда, нека сведем получения отговор до същата форма: 72/60 = 1,2 l/s.

Задача No4. Малка частна печатница печата визитки. Служител на печатница работи със скорост от 42 визитки на час и работи на пълен работен ден - 8 часа. Ако работи по-бързо и отпечата 48 визитни картички за час, колко по-рано би могъл да се прибере?

Следваме доказания път и съставяме диаграма според условията на проблема, като обозначаваме желаната стойност като x:

↓ 42 визитки/час – 8 часа

↓ 48 визитни картички/ч – x ч

Имаме обратно пропорционална връзка: колкото пъти повече визитни картички отпечатва един служител на печатница за час, толкова пъти по-малко време ще му е необходимо, за да свърши същата работа. Знаейки това, нека създадем пропорция:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 часа.

Така, след като свърши работата за 7 часа, служителят на печатницата можеше да се прибере час по-рано.

Заключение

Струва ни се, че тези проблеми с обратната пропорционалност са наистина прости. Надяваме се, че сега и вие мислите за тях по този начин. И основното е това знание за обратното пропорционална зависимостколичествата наистина могат да се окажат полезни за вас повече от веднъж.

Не само в часовете и изпитите по математика. Но дори и тогава, когато се приготвите да тръгнете на път, да пазарувате, решите да спечелите малко повече пари през празниците и т.н.

Кажете ни в коментарите какви примери за обратна и права пропорционалност забелязвате около вас. Нека бъде такава игра. Ще видите колко е вълнуващо. Не забравяйте да споделите тази статия на в социалните мрежитака че вашите приятели и съученици също да могат да играят.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Днес ще разгледаме кои количества се наричат ​​обратно пропорционални, как изглежда графиката на обратната пропорционалност и как всичко това може да ви бъде полезно не само в часовете по математика, но и извън училище.

Толкова различни пропорции

Пропорционалностназови две величини, които са взаимно зависими една от друга.

Зависимостта може да бъде пряка и обратна. Следователно връзките между количествата се описват чрез пряка и обратна пропорционалност.

Пряка пропорционалност– това е такава връзка между две величини, при която увеличаването или намаляването на едно от тях води до увеличаване или намаляване на другото. Тези. отношението им не се променя.

Например, колкото повече усилия полагате, за да учите за изпити, толкова по-високи са оценките ви. Или колкото повече неща вземете със себе си на поход, толкова по-тежка ще е раницата ви за носене. Тези. Размерът на усилията, изразходвани за подготовка за изпити, е право пропорционален на получените оценки. А броят на нещата, опаковани в една раница, е право пропорционален на нейното тегло.

Обратна пропорционалност– това е функционална зависимост, при която намаляване или увеличаване с няколко пъти на независима стойност (нарича се аргумент) предизвиква пропорционално (т.е. същия брой пъти) увеличение или намаляване на зависима стойност (нарича се функция).

Нека илюстрираме с един прост пример. Искате да купите ябълки на пазара. Ябълките на тезгяха и количеството пари в портфейла ви са в обратна пропорция. Тези. Колкото повече ябълки купите, толкова по-малко пари ще ви останат.

Функция и нейната графика

Функцията на обратната пропорционалност може да се опише като y = k/x. В който х≠ 0 и к≠ 0.

Тази функция има следните свойства:

1. Неговата област на дефиниция е множеството от всички реални числа с изключение на х = 0. д(г): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Диапазонът е всички реални числа, с изключение на г= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Няма максимални или минимални стойности.
4. Той е нечетен и неговата графика е симетрична спрямо началото.
5. Непериодични.
6. Неговата графика не пресича координатните оси.
7. Няма нули.
8. Ако к> 0 (т.е. аргументът се увеличава), функцията намалява пропорционално на всеки от своите интервали. Ако к< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. С нарастването на аргумента ( к> 0) отрицателните стойности на функцията са в интервала (-∞; 0), а положителните стойности са в интервала (0; +∞). Когато аргументът намалее ( к< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Графиката на функцията на обратната пропорционалност се нарича хипербола. Показва се както следва:

Задачи на обратната пропорционалност

За да стане по-ясно, нека разгледаме няколко задачи. Те не са много сложни и решаването им ще ви помогне да си представите какво е обратна пропорционалност и как това знание може да ви бъде полезно в ежедневието.

Задача No1. Автомобил се движи със скорост 60 км/ч. Отне му 6 часа, за да стигне до местоназначението си. Колко време ще му отнеме да измине същото разстояние, ако се движи с двойно по-голяма скорост?

Можем да започнем, като запишем формула, която описва връзката между време, разстояние и скорост: t = S/V. Съгласете се, това много ни напомня за функцията на обратната пропорционалност. И това показва, че времето, което една кола прекарва на пътя, и скоростта, с която се движи, са обратно пропорционални.

За да проверим това, нека намерим V 2, което според условието е 2 пъти по-високо: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. След това изчисляваме разстоянието по формулата S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Сега не е трудно да разберете времето t 2, което се изисква от нас според условията на проблема: t 2 = 360/120 = 3 часа.

Както можете да видите, времето за пътуване и скоростта наистина са обратно пропорционални: при скорост 2 пъти по-висока от първоначалната скорост, колата ще прекара 2 пъти по-малко време на пътя.

Решението на тази задача може да се запише и като пропорция. Така че нека първо създадем тази диаграма:

↓ 60 км/ч – 6 ч

↓120 км/ч – x ч

Стрелките показват обратно пропорционална връзка. Те също така предполагат, че когато се съставя пропорция, дясната страна на записа трябва да бъде обърната: 60/120 = x/6. Къде получаваме x = 60 * 6/120 = 3 часа.

Задача No2. В цеха работят 6 работници, които могат да свършат зададен обем работа за 4 часа. Ако броят на работниците се намали наполовина, колко време ще отнеме на останалите работници, за да извършат същото количество работа?

Нека запишем условията на проблема под формата на визуална диаграма:

↓ 6 работници – 4 часа

↓ 3 работници – x h

Нека запишем това като пропорция: 6/3 = x/4. И получаваме x = 6 * 4/3 = 8 часа.Ако има 2 пъти по-малко работници, останалите ще отделят 2 пъти повече време за цялата работа.

Задача No3. В басейна има две тръби. По една тръба водата тече със скорост 2 l/s и пълни басейна за 45 минути. Чрез друга тръба басейнът ще се напълни за 75 минути. С каква скорост навлиза водата в басейна през тази тръба?

Като начало, нека намалим всички количества, дадени ни според условията на задачата, до едни и същи мерни единици. За да направите това, изразяваме скоростта на пълнене на басейна в литри в минута: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Тъй като условието предполага, че басейнът се пълни по-бавно през втората тръба, това означава, че скоростта на водния поток е по-ниска. Пропорционалността е обратна. Нека изразим неизвестната скорост чрез x и съставим следната диаграма:

↓ 120 л/мин – 45 мин

↓ x l/min – 75 min

И след това съставяме пропорцията: 120/x = 75/45, откъдето x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

В задачата скоростта на пълнене на басейна е изразена в литри в секунда, нека сведем получения отговор до същата форма: 72/60 = 1,2 l/s.

Задача No4. Малка частна печатница печата визитки. Служител на печатница работи със скорост от 42 визитки на час и работи на пълен работен ден - 8 часа. Ако работи по-бързо и отпечата 48 визитни картички за час, колко по-рано би могъл да се прибере?

Следваме доказания път и съставяме диаграма според условията на проблема, като обозначаваме желаната стойност като x:

↓ 42 визитки/час – 8 часа

↓ 48 визитни картички/ч – x ч

Имаме обратно пропорционална връзка: колкото пъти повече визитни картички отпечатва един служител на печатница за час, толкова пъти по-малко време ще му е необходимо, за да свърши същата работа. Знаейки това, нека създадем пропорция:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 часа.

Така, след като свърши работата за 7 часа, служителят на печатницата можеше да се прибере час по-рано.

Заключение

Струва ни се, че тези проблеми с обратната пропорционалност са наистина прости. Надяваме се, че сега и вие мислите за тях по този начин. И най-важното е, че знанията за обратно пропорционалната зависимост на количествата наистина могат да ви бъдат полезни повече от веднъж.

Не само в часовете и изпитите по математика. Но дори и тогава, когато се приготвите да тръгнете на път, да пазарувате, решите да спечелите малко повече пари през празниците и т.н.

Кажете ни в коментарите какви примери за обратна и права пропорционалност забелязвате около вас. Нека бъде такава игра. Ще видите колко е вълнуващо. Не забравяйте да споделите тази статия в социалните мрежи, за да могат вашите приятели и съученици също да играят.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

Пример

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т.н.

Фактор на пропорционалност

Постоянна връзка на пропорционалните величини се нарича фактор на пропорционалност. Коефициентът на пропорционалност показва колко единици от една величина са на единица от друга.

Пряка пропорционалност

Пряка пропорционалност- функционална зависимост, при която определено количество зависи от друго количество по такъв начин, че съотношението им остава постоянно. С други думи, тези променливи се променят пропорционално, в равни части, тоест, ако аргументът се промени два пъти в която и да е посока, тогава функцията също се променя два пъти в същата посока.

Математически пряката пропорционалност се записва като формула:

f(х) = ах,а = ° СонсT

Обратна пропорционалност

Обратна пропорционалност- това е функционална зависимост, при която нарастването на независимата стойност (аргумент) предизвиква пропорционално намаляване на зависимата стойност (функция).

Математически обратната пропорционалност се записва като формула:

Свойства на функцията:

Източници

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Решаване на задачи от задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 6 клас по математика на тема:

Глава I. Обикновени дроби.
§ 4. Отношения и пропорции:
22. Прави и обратнопропорционални зависимости

1 За 3,2 кг стоки те платиха 115,2 рубли. Колко трябва да платите за 1,5 кг от този продукт?
РЕШЕНИЕ

2 Два правоъгълника имат еднаква площ. Дължината на първия правоъгълник е 3,6 м, а ширината е 2,4 м. Дължината на втория е 4,8 м. Намерете ширината му.
РЕШЕНИЕ

782 Определете дали връзката между величините е права, обратна или непропорционална: разстоянието, изминато от автомобила с постоянна скорост и времето на неговото движение; цената на стоките, закупени на една цена и тяхното количество; площта на квадрата и дължината на неговата страна; масата на стоманения прът и неговия обем; броя на работниците, които извършват някаква работа с еднаква производителност на труда, и времето на завършване; цената на продукта и неговото количество, закупено за определена сума пари; възрастта на лицето и размера на обувките му; обемът на куба и дължината на неговия ръб; периметъра на квадрата и дължината на страната му; дроб и знаменателя му, ако числителят не се променя; дроб и нейния числител, ако знаменателят не се променя.
РЕШЕНИЕ

783 Стоманена топка с обем 6 cm3 има маса 46,8 g. Каква е масата на топка, изработена от същата стомана, ако нейният обем е 2,5 cm3?
РЕШЕНИЕ

784 От 21 кг семена от памук се получават 5,1 кг масло. Колко масло ще се получи от 7 кг памучно семе?
РЕШЕНИЕ

785 За строежа на стадиона 5 булдозера разчистиха площадката за 210 минути. Колко време ще отнеме 7 булдозера, за да разчистят това място?
РЕШЕНИЕ

786 За транспортирането на товара са били необходими 24 автомобила с товароподемност 7,5 т. Колко автомобила с товароподемност 4,5 т са необходими за транспортирането на същия товар?
РЕШЕНИЕ

787 За да се определи кълняемостта на семената, се засява грах. От засетите 200 грахови зърна са поникнали 170. Какъв процент от граховите зърна са покълнали (покълнали)?
РЕШЕНИЕ

788 По време на озеленяването на града в неделя бяха засадени липи по улицата. Приети са 95% от всички засадени липи. Колко от тях са засадени, ако са засадени 57 липи?
РЕШЕНИЕ

789 В ски секцията има 80 ученици. Сред тях са 32 момичета. Какъв процент от участниците в секцията са момичета и момчета?
РЕШЕНИЕ

790 Според плана заводът трябваше да топи 980 тона стомана за един месец. Но планът е изпълнен на 115%. Колко тона стомана е произвел заводът?
РЕШЕНИЕ

791 За 8 месеца работникът изпълни 96% от годишния план. Какъв процент от годишния план ще изпълни работникът за 12 месеца, ако работи със същата производителност?
РЕШЕНИЕ

792 За три дни са прибрани 16,5% от цялото цвекло. Колко дни ще отнеме да приберете 60,5% от цвеклото, ако работите при същата производителност?
РЕШЕНИЕ

793 В желязната руда на всеки 7 части желязо има 3 части примеси. Колко тона примеси има в рудата, която съдържа 73,5 тона желязо?
РЕШЕНИЕ

794 За да приготвите борш, за всеки 100 г месо трябва да вземете 60 г цвекло. Колко цвекло трябва да вземете за 650 г месо?
РЕШЕНИЕ

796 Изразете всяка от следните дроби като сбор от две дроби с числител 1.
РЕШЕНИЕ

797 От числата 3, 7, 9 и 21 съставете две правилни пропорции.
РЕШЕНИЕ

798 Средните членове на пропорцията са 6 и 10. Какви могат да бъдат най-крайните членове? Дай примери.
РЕШЕНИЕ

799 При каква стойност на x пропорцията е правилна.
РЕШЕНИЕ

800 Намерете отношението на 2 минути към 10 секунди; 0,3 m2 до 0,1 dm2; 0,1 kg до 0,1 g; 4 часа до 1 ден; 3 dm3 до 0,6 m3
РЕШЕНИЕ

801 Къде на координатния лъч трябва да се намира числото c, за да е правилна пропорцията.
РЕШЕНИЕ

802 Покрийте масата с лист хартия. Отворете първия ред за няколко секунди и след това, като го затворите, опитайте да повторите или запишете трите числа на този ред. Ако сте възпроизвели правилно всички числа, преминете към втория ред на таблицата. Ако има грешка в който и да е ред, напишете сами няколко набора от едно и също число двуцифрени числаи практикувайте запаметяване. Ако можете да възпроизведете поне пет двуцифрени числа без грешки, имате добра памет.
РЕШЕНИЕ

804 Възможно ли е да се формулира правилната пропорция от следните числа?
РЕШЕНИЕ

805 От равенството на произведенията 3 · 24 = 8 · 9 съставете три правилни пропорции.
РЕШЕНИЕ

806 Дължината на отсечката AB е 8 dm, а дължината на отсечката CD е 2 см. Намерете отношението на дължините AB и CD. Каква част от AB е дължината CD?
РЕШЕНИЕ

807 Едно пътуване до санаториума струва 460 рубли. Синдикатът заплаща 70% от стойността на пътуването. Колко ще плати един летовник за пътуване?
РЕШЕНИЕ

808 Намерете значението на израза.
РЕШЕНИЕ

809 1) При обработката на отливка с тегло 40 кг са изхабени 3,2 кг. Колко процента е масата на детайла от отливката? 2) При сортиране на зърно от 1750 кг, 105 кг отиват на отпадъци. Какъв процент зърно остава?

Пример

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т.н.

Фактор на пропорционалност

Постоянна връзка на пропорционалните величини се нарича фактор на пропорционалност. Коефициентът на пропорционалност показва колко единици от една величина са на единица от друга.

Пряка пропорционалност

Пряка пропорционалност- функционална зависимост, при която определено количество зависи от друго количество по такъв начин, че съотношението им остава постоянно. С други думи, тези променливи се променят пропорционално, в равни части, тоест, ако аргументът се промени два пъти в която и да е посока, тогава функцията също се променя два пъти в същата посока.

Математически пряката пропорционалност се записва като формула:

f(х) = ах,а = ° СонсT

Обратна пропорционалност

Обратна пропорционалност- това е функционална зависимост, при която нарастването на независимата стойност (аргумент) предизвиква пропорционално намаляване на зависимата стойност (функция).

Математически обратната пропорционалност се записва като формула:

Свойства на функцията:

Източници

Фондация Уикимедия. 2010 г.

• Втори закон на Нютон
• Кулонова бариера

Вижте какво е „Пряка пропорционалност“ в други речници:

пряка пропорционалност- - [A.S. Goldberg. Англо-руски енергиен речник. 2006] Енергийни теми като цяло EN директно отношение ... Ръководство за технически преводач

пряка пропорционалност- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. пряка пропорционалност вок. direkte Proportionalität, ф рус. пряка пропорционалност, f пранц. proportionality directe, f … Fizikos terminų žodynas

ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ- (от лат. proportionalis пропорционален, пропорционален). Пропорционалност. Речник чужди думи, включен на руски език. Chudinov A.N., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ лат. proportionalis, пропорционален. Пропорционалност. Обяснение 25000... ... Речник на чуждите думи на руския език

ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ- ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ, съразмерност, мн.ч. не, женска (Книга). 1. абстрактно съществително до пропорционално. Пропорционалност на частите. Пропорционалност на тялото. 2. Такава връзка между количествата, когато те са пропорционални (вижте пропорционални ... РечникУшакова

Пропорционалност- Две взаимно зависими величини се наричат ​​пропорционални, ако съотношението на техните стойности остава непроменено Съдържание 1 Пример 2 Коефициент на пропорционалност ... Wikipedia

ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ- ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ, и, женски. 1. виж пропорционален. 2. В математиката: такава връзка между величините, при която увеличаването на едно от тях води до промяна на другото със същата стойност. Права линия (с разрез с увеличение на една стойност... ... Обяснителен речник на Ожегов

пропорционалност- И; и. 1. до Пропорционално (1 стойност); пропорционалност. П. части. П. телосложение. П. представителство в парламента. 2. Математика. Зависимост между пропорционално изменящи се величини. Фактор на пропорционалност. Пряка линия (в която с... ... енциклопедичен речник