I. Право пропорционални величини.

Нека стойността гзависи от размера х. Ако при увеличаване хняколко пъти по-голям от размера присе увеличава със същата сума, тогава такива стойности хИ присе наричат ​​правопропорционални.

Примери.

1 . Количеството на закупените стоки и покупната цена (с фиксирана цена за една единица стока - 1 брой или 1 кг и т.н.) Колкото пъти повече стоки са закупени, толкова пъти повече са платили.

2 . Изминатото разстояние и времето, прекарано на него (при постоянна скорост). Колко пъти по-дълъг е пътят, толкова пъти повече време ще отнеме, за да го завършите.

3 . Обемът на тялото и неговата маса. ( Ако една диня е 2 пъти по-голяма от друга, тогава нейната маса ще бъде 2 пъти по-голяма)

II. Свойство на права пропорционалност на количествата.

Ако две количества са пряко пропорционални, тогава съотношението на две произволно взети стойности на първото количество е равно на съотношението на две съответни стойности на второто количество.

Задача 1.За сладко от малини взехме 12 кгмалини и 8 кгСахара. Колко захар ще ви трябва, ако сте го взели? 9 кгмалини?

Решение.

Разсъждаваме така: нека е необходимо х кгзахар за 9 кгмалини Масата на малините и масата на захарта са право пропорционални величини: колко пъти по-малко са малините, толкова пъти по-малко захар е необходима. Следователно, съотношението на взетите малини (по тегло) ( 12:9 ) ще бъде равно на съотношението на взетата захар ( 8:x). Получаваме пропорцията:

12: 9=8: Х;

х=9 · 8: 12;

х=6. Отговор:На 9 кгтрябва да се вземат малини 6 кгСахара.

Решението на проблемаМоже да се направи така:

Нека 9 кгтрябва да се вземат малини х кгСахара.

(Стрелките на фигурата са насочени в една посока и нагоре или надолу нямат значение. Значение: колко пъти числото 12 повече брой 9 , същия брой пъти 8 повече брой х, т.е. тук има пряка връзка).

Отговор:На 9 кгТрябва да взема малко малини 6 кгСахара.

Задача 2.Кола за 3 часаизмина разстоянието 264 км. Колко време ще му отнеме пътуването? 440 км, ако кара със същата скорост?

Решение.

Нека за x часа колата ще минеразстояние 440 км.

Отговор:колата ще мине 440 км за 5 часа.

Пример

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т.н.

Фактор на пропорционалност

Постоянна връзка на пропорционалните величини се нарича фактор на пропорционалност. Коефициентът на пропорционалност показва колко единици от една величина са на единица от друга.

Пряка пропорционалност

Пряка пропорционалност- функционална зависимост, при която определено количество зависи от друго количество по такъв начин, че съотношението им остава постоянно. С други думи, тези променливи се променят пропорционално, в равни части, тоест, ако аргументът се промени два пъти в която и да е посока, тогава функцията също се променя два пъти в същата посока.

Математически пряката пропорционалност се записва като формула:

f(х) = ах,а = ° СонсT

Обратна пропорционалност

Обратна пропорционалност- това е функционална зависимост, при която нарастването на независимата стойност (аргумент) предизвиква пропорционално намаляване на зависимата стойност (функция).

Математически обратната пропорционалност се записва като формула:

Свойства на функцията:

Източници

Фондация Уикимедия. 2010 г.

§ 129. Предварителни уточнения.

Човек непрекъснато се занимава с голямо разнообразие от количества. Служител и работник се опитват да стигнат до определен час на работа, пешеходец бърза да стигне до определено място по най-краткия път, каминар на парно отопление се притеснява, че температурата в котела бавно се покачва, бизнес ръководител прави планове за намаляване на производствените разходи и т.н.

Човек може да даде безброй такива примери. Време, разстояние, температура, цена - всичко това са различни количества. В първата и втората част на тази книга се запознахме с някои особено често срещани величини: площ, обем, тегло. Сблъскваме се с много величини, когато изучаваме физика и други науки.

Представете си, че пътувате във влак. От време на време поглеждате часовника си и забелязвате колко време сте били на път. Казвате например, че са изминали 2, 3, 5, 10, 15 часа от тръгването на вашия влак и т.н. Тези числа представляват различни периоди от време; те се наричат ​​​​стойностите на това количество (време). Или гледате през прозореца и следвате стълбовете на пътя, за да видите разстоянието, което вашият влак изминава. Пред вас мигат цифрите 110, 111, 112, 113, 114 км. Тези числа представляват различните разстояния, които влакът е изминал от началната си точка. Те се наричат ​​още стойности, този път с различна величина (път или разстояние между две точки). Така едно количество, например време, разстояние, температура, може да поеме толкова много различни значения.

Моля, обърнете внимание, че човек почти никога не разглежда само едно количество, а винаги го свързва с някои други количества. Той трябва да се справи с две, три и Голям бройколичества Представете си, че трябва да стигнете до училище до 9 часа. Поглеждате часовника си и виждате, че имате 20 минути. След това бързо разбирате дали трябва да вземете трамвая или можете да отидете пеша до училище. След като помислите, решавате да се разходите. Забележете, че докато сте мислили, вие решавате някакъв проблем. Тази задача стана проста и позната, тъй като решавате такива проблеми всеки ден. В него бързо сравнихте няколко количества. Вие бяхте този, който погледна часовника, което означава, че сте взели предвид времето, след това мислено си представихте разстоянието от вашия дом до училището; Накрая сравнихте две стойности: скоростта на вашата стъпка и скоростта на трамвая и заключихте, че за дадено време (20 минути) ще имате време да вървите. От това прост примервиждате, че в нашата практика някои количества са взаимосвързани, тоест зависят едно от друго

В дванадесета глава се говори за връзката на хомогенните количества. Например, ако един сегмент е 12 m, а другият е 4 m, тогава съотношението на тези сегменти ще бъде 12: 4.

Казахме, че това е отношението на две еднородни величини. Друг начин да кажем това е, че това е отношението на две числа едно име.

Сега, след като сме по-запознати с количествата и въведохме концепцията за стойността на количеството, можем да изразим определението за съотношение по нов начин. Всъщност, когато разглеждахме два сегмента 12 m и 4 m, говорихме за една стойност - дължина, а 12 m и 4 m бяха само две различни значениятази стойност.

Следователно, в бъдеще, когато започнем да говорим за съотношения, ще разглеждаме две стойности на едно количество, а съотношението на една стойност на количество към друга стойност на същото количество ще се нарича коефициент на разделяне на първата стойност от секундата.

§ 130. Стойностите са правопропорционални.

Нека разгледаме задача, чието условие включва две величини: разстояние и време.

Задача 1.Тяло, което се движи праволинейно и равномерно изминава всяка секунда 12 см. Определете пътя, който тялото изминава за 2, 3, 4, ..., 10 секунди.

Нека създадем таблица, която може да се използва за проследяване на промените във времето и разстоянието.

Таблицата ни дава възможност да сравним тези две серии от стойности. От него виждаме, че когато стойностите на първата величина (времето) постепенно нарастват с 2, 3,..., 10 пъти, тогава стойностите на втората величина (разстоянието) също нарастват с 2, 3, ..., 10 пъти. Така, когато стойностите на едно количество се увеличат няколко пъти, стойностите на друго количество се увеличават със същото количество, а когато стойностите на едно количество намалят няколко пъти, стойностите на друго количество намаляват с същия номер.

Нека сега разгледаме проблем, който включва две такива количества: количеството материя и нейната цена.

Задача 2. 15 м плат струва 120 рубли. Изчислете цената на този плат за няколко други количества метри, посочени в таблицата.

Използвайки тази таблица, можем да проследим как постепенно се увеличава себестойността на даден продукт в зависимост от увеличаването на неговото количество. Въпреки факта, че този проблем включва напълно различни количества (в първия проблем - време и разстояние, а тук - количеството на стоките и тяхната стойност), въпреки това могат да се намерят големи прилики в поведението на тези количества.

Всъщност в горния ред на таблицата има цифри, показващи броя метри плат, под всяка от тях има число, изразяващо себестойността на съответното количество стоки. Дори един бърз поглед върху тази таблица показва, че числата както в горния, така и в долния ред се увеличават; при по-внимателно разглеждане на таблицата и при сравняване на отделни колони се открива, че във всички случаи стойностите на второто количество нарастват толкова пъти, колкото се увеличават стойностите на първото, т.е. ако стойността на първото количество се увеличава, да речем, 10 пъти, след това стойността на второто количество също се увеличава 10 пъти.

Ако разгледаме таблицата отдясно наляво, ще открием, че посочените стойности на количествата ще намалеят със същия брой пъти. В този смисъл между първата задача и втората има безусловно сходство.

Двойките величини, които срещнахме в първата и втората задача, се наричат право-пропорционален.

По този начин, ако две количества са свързани помежду си по такъв начин, че когато стойността на едното от тях се увеличава (намалява) няколко пъти, стойността на другото се увеличава (намалява) със същото количество, тогава такива количества се наричат ​​​​право пропорционални .

Твърди се също, че такива количества са свързани помежду си чрез пряко пропорционална връзка.

В природата и в живота около нас има много подобни количества. Ето няколко примера:

1. времеработа (ден, два дни, три дни и т.н.) и печалби, получени през това време с дневни възнаграждения.

2. Сила на звукавсеки предмет, изработен от хомогенен материал, и теглотози артикул.

§ 131. Свойство на правопропорционални величини.

Нека вземем задача, която включва следните две величини: работно времеи печалби. Ако дневната печалба е 20 рубли, тогава печалбата за 2 дни ще бъде 40 рубли и т.н. Най-удобно е да създадете таблица, в която определен бройдни ще отговарят на определен доход.

Разглеждайки тази таблица, виждаме, че и двете величини приемат 10 различни стойности. Всяка стойност на първата стойност съответства на определена стойност на втората стойност, например 2 дни съответстват на 40 рубли; 5 дни отговарят на 100 рубли. В таблицата тези числа са написани едно под друго.

Вече знаем, че ако две величини са правопропорционални, то всяка от тях в процеса на своето изменение се увеличава толкова пъти, колкото се увеличава другата. От това веднага следва: ако вземем съотношението на всеки две стойности на първото количество, тогава то ще бъде равно на съотношението на двете съответстващи стойности на второто количество. Наистина:

Защо се случва това? Но тъй като тези стойности са право пропорционални, т.е. когато една от тях (времето) се увеличи 3 пъти, тогава другата (печалбата) се увеличи 3 пъти.

Следователно стигнахме до следното заключение: ако вземем две стойности на първото количество и ги разделим една на друга, а след това разделим на едно съответните стойности на второто количество, тогава и в двата случая ще получим същото число, т.е. същата връзка. Това означава, че двете отношения, които написахме по-горе, могат да бъдат свързани със знак за равенство, т.е.

Няма съмнение, че ако вземем не тези отношения, а други, и то не в този, а в обратния ред, също ще получим равенство на отношенията. Всъщност ще разгледаме стойностите на нашите количества отляво надясно и ще вземем третата и деветата стойност:

60:180 = 1 / 3 .

Така че можем да напишем:

Това води до следния извод: ако две количества са правопропорционални, тогава съотношението на две произволно взети стойности на първото количество е равно на съотношението на двете съответни стойности на второто количество.

§ 132. Формула за права пропорционалност.

Нека направим таблица на цената на различни количества сладкиши, ако 1 кг от тях струва 10,4 рубли.

Сега нека го направим по този начин. Вземете произволно число от втория ред и го разделете на съответното число от първия ред. Например:

Виждате, че в частното се получава едно и също число през цялото време. Следователно, за дадена двойка правопропорционални величини частното от разделянето на която и да е стойност на едно количество на съответната стойност на друго количество е постоянно число (т.е. не се променя). В нашия пример този коефициент е 10,4. Това постоянно число се нарича фактор на пропорционалност. В този случай тя изразява цената на единица мярка, т.е. един килограм стока.

Как да намерите или изчислите коефициента на пропорционалност? За да направите това, трябва да вземете произволна стойност на едно количество и да го разделите на съответната стойност на другото.

Нека означим тази произволна стойност на една величина с буквата при , и съответната стойност на друга величина - буквата х , тогава коефициентът на пропорционалност (означаваме го ДА СЕ) намираме чрез деление:

В това равенство при - делим, х - делител и ДА СЕ- частно и тъй като по свойството на делението дивидентът е равен на делителя, умножен по частното, можем да напишем:

y=К х

Полученото равенство се нарича формула на пряка пропорционалност.Използвайки тази формула, можем да изчислим произволен брой стойности на една от пряко пропорционалните величини, ако знаем съответните стойности на другата величина и коефициента на пропорционалност.

Пример.От физиката знаем това тегло Рна всяко тяло е равно на неговото специфично тегло д , умножено по обема на това тяло V, т.е. Р = д V.

Да вземем пет железни пръта с различен обем; Познавайки специфичното тегло на желязото (7.8), можем да изчислим теглата на тези слитъци по формулата:

Р = 7,8 V.

Сравнявайки тази формула с формулата при = ДА СЕ х , виждаме това y = Р, x = V, и коефициентът на пропорционалност ДА СЕ= 7,8. Формулата е същата, само буквите са различни.

Използвайки тази формула, нека направим таблица: нека обемът на 1-вата заготовка е равен на 8 кубически метра. cm, тогава теглото му е 7,8 8 = 62,4 (g). Обемът на 2-рата заготовка е 27 кубични метра. см. Теглото му е 7,8 27 = 210,6 (g). Таблицата ще изглежда така:

Изчислете числата, които липсват в тази таблица, като използвате формулата Р= д V.

§ 133. Други методи за решаване на задачи с правопропорционални величини.

В предишния параграф решихме задача, чието условие включваше правопропорционални количества. За тази цел първо изведехме формулата за пряка пропорционалност и след това я приложихме. Сега ще покажем два други начина за решаване на подобни проблеми.

Нека създадем задача, използвайки числените данни, дадени в таблицата в предишния параграф.

Задача.Заготовка с обем 8 куб.м. см тежи 62,4 гр. Колко ще тежи заготовка с обем 64 куб.м? см?

Решение.Теглото на желязото, както е известно, е пропорционално на неговия обем. Ако 8 куб. cm тежат 62,4 g, след това 1 cu. cm ще тежи 8 пъти по-малко, т.е.

62,4:8 = 7,8 (g).

Заготовка с обем 64 куб.м. cm ще тежи 64 пъти повече от 1 кубичен метър заготовка. см, т.е.

7,8 64 = 499,2 (g).

Решихме нашия проблем чрез свеждане до единица. Значението на това име се оправдава от факта, че за да го решим, трябваше да намерим теглото на единица обем в първия въпрос.

2. Метод на пропорцията.Нека решим същата задача, като използваме метода на пропорцията.

Тъй като теглото на желязото и неговият обем са право пропорционални величини, съотношението на две стойности на едно количество (обем) е равно на съотношението на две съответни стойности на друго количество (тегло), т.е.

(писмо Рпосочихме неизвестното тегло на заготовката). Оттук:

(G).

Задачата е решена с помощта на метода на пропорциите. Това означава, че за решаването му е съставена пропорция от числата, включени в условието.

§ 134. Стойностите са обратно пропорционални.

Помислете за следния проблем: „Петима зидари могат да положат тухлените стени на къща за 168 дни. Определете за колко дни 10, 8, 6 и т.н. зидари могат да завършат същата работа.

Ако 5 зидари са положили стените на къща за 168 дни, тогава (при същата производителност на труда) 10 зидари биха могли да го направят за половината време, тъй като средно 10 души вършат два пъти повече работа от 5 души.

Нека съставим таблица, по която да следим промените в броя на работниците и работното време.

Например, за да разберете колко дни са необходими на 6 работници, първо трябва да изчислите колко дни са необходими на един работник (168 5 = 840), а след това колко дни са необходими на шестима работници (840: 6 = 140). Разглеждайки тази таблица, виждаме, че и двете величини приемат шест различни стойности. Всяка стойност на първата величина съответства на определена; стойността на втората стойност, например 10 съответства на 84, числото 8 съответства на числото 105 и т.н.

Ако разгледаме стойностите на двете величини отляво надясно, ще видим, че стойностите на горното количество се увеличават, а стойностите на долното количество намаляват. Увеличението и намалението се подчиняват на следния закон: стойностите на броя на работниците нарастват толкова пъти, колкото намаляват стойностите на прекараното работно време. Тази идея може да се изрази още по-просто по следния начин: колкото повече работници са ангажирани с дадена задача, толкова по-малко време им е необходимо, за да завършат определена работа. Двете величини, които срещнахме в тази задача, се наричат обратно порпорционален.

По този начин, ако две величини са свързани помежду си по такъв начин, че когато стойността на една от тях се увеличава (намалява) няколко пъти, стойността на другата намалява (увеличава) със същата сума, тогава такива количества се наричат ​​обратно пропорционални .

В живота има много подобни количества. Да дадем примери.

1. Ако за 150 рубли. Ако трябва да купите няколко килограма сладки, броят на сладките ще зависи от цената на един килограм. Колкото по-висока е цената, толкова по-малко стоки можете да купите с тези пари; това се вижда от таблицата:

Тъй като цената на бонбоните се увеличава няколко пъти, броят на килограмите бонбони, които могат да бъдат закупени за 150 рубли, намалява със същата сума. В този случай две количества (теглото на продукта и неговата цена) са обратно пропорционални.

2. Ако разстоянието между два града е 1200 км, то може да се измине различни временав зависимост от скоростта на движение. Съществуват различни начинитранспорт: пеша, на кон, с велосипед, с лодка, с кола, с влак, със самолет. Колкото по-ниска е скоростта, толкова повече време отнема движението. Това се вижда от таблицата:

С увеличаване на скоростта няколко пъти, времето за пътуване намалява със същата сума. Това означава, че при тези условия скоростта и времето са обратно пропорционални величини.

§ 135. Свойство на обратно пропорционални величини.

Нека вземем втория пример, който разгледахме в предишния параграф. Там се занимавахме с две величини – скорост и време. Ако погледнем таблицата със стойностите на тези количества отляво надясно, ще видим, че стойностите на първото количество (скорост) се увеличават, а стойностите на второто (време) намаляват и скоростта се увеличава със същото количество, с което времето намалява.Не е трудно да се разбере, че ако напишете съотношението на някои стойности на едно количество, то няма да бъде равно на съотношението на съответните стойности на друго количество. Всъщност, ако вземем съотношението на четвъртата стойност на горната стойност към седмата стойност (40: 80), то няма да бъде равно на съотношението на четвъртата и седмата стойност на долната стойност (30: 15). Може да се напише така:

40:80 не е равно на 30:15, или 40:80 =/=30:15.

Но ако вместо едно от тези отношения вземем противоположното, тогава получаваме равенство, т.е. от тези отношения ще бъде възможно да се създаде пропорция. Например:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Въз основа на гореизложеното можем да направим следното заключение: ако две количества са обратно пропорционални, тогава съотношението на две произволно взети стойности на едно количество е равно на обратното съотношение на съответните стойности на друго количество.

§ 136. Формула за обратна пропорционалност.

Помислете за проблема: „Има 6 парчета копринен плат с различни размери и различен клас. Всички части струват еднакво. Едно парче съдържа 100 м плат на цена от 20 рубли. на метър Колко метра има всяка от другите пет парчета, ако метър плат в тези парчета струва съответно 25, 40, 50, 80, 100 рубли? За да разрешим този проблем, нека създадем таблица:

Трябва да попълним празните клетки в горния ред на тази таблица. Нека първо се опитаме да определим колко метра има във второто парче. Това може да стане по следния начин. От условията на задачата е известно, че цената на всички части е еднаква. Цената на първото парче е лесно да се определи: съдържа 100 метра и всеки метър струва 20 рубли, което означава, че първото парче коприна струва 2000 рубли. Тъй като второто парче коприна съдържа същото количество рубли, тогава, разделяйки 2000 рубли. за цената на един метър, т.е. 25, намираме размера на второто парче: 2000: 25 = 80 (m). По същия начин ще намерим размера на всички останали парчета. Таблицата ще изглежда така:

Лесно се вижда, че има обратно пропорционална зависимост между броя на метри и цената.

Ако сами направите необходимите изчисления, ще забележите, че всеки път трябва да разделите числото 2000 на цената на 1 м. Напротив, ако сега започнете да умножавате размера на парчето в метри по цената на 1 м. , винаги ще получите числото 2000. Това и трябваше да изчакате, тъй като всяко парче струва 2000 рубли.

Оттук можем да направим следното заключение: за дадена двойка обратно пропорционални величини произведението на всяка стойност на едно количество от съответната стойност на друго количество е постоянно число (т.е. не се променя).

В нашата задача този продукт е равен на 2000. Проверете дали в предишната задача, която говореше за скоростта на движение и времето, необходимо за придвижване от един град в друг, също имаше постоянно число за тази задача (1200).

Като се вземе предвид всичко, лесно се извежда формулата за обратна пропорционалност. Нека означим определена стойност на една величина с буквата х , а съответната стойност на друго количество е представена с буквата при . Тогава, въз основа на горното, работата х На при трябва да е равна на някаква постоянна стойност, която означаваме с буквата ДА СЕ, т.е.

x y = ДА СЕ.

В това равенство х - кратно при - множител и К- работа. Според свойството на умножението множителят е равен на произведението, разделено на умножаващото. означава,

Това е формулата на обратната пропорционалност. Използвайки го, можем да изчислим произволен брой стойности на една от обратно пропорционалните величини, знаейки стойностите на другата и постоянното число ДА СЕ.

Нека разгледаме друг проблем: „Авторът на едно есе изчисли, че ако книгата му е в нормален формат, тогава ще има 96 страници, но ако е джобен формат, тогава ще има 300 страници. Той опита различни варианти, започна с 96 страници, а след това имаше 2500 писма на страница. След това той взе номерата на страниците, показани в таблицата по-долу, и отново изчисли колко букви ще има на страницата.

Нека се опитаме да изчислим колко букви ще има на страница, ако книгата има 100 страници.

В цялата книга има 240 000 букви, тъй като 2 500 96 = 240 000.

Като вземем предвид това, използваме формулата за обратна пропорционалност ( при - брой букви на страницата, х - брой страници):

В нашия пример ДА СЕ= 240 000 следователно

Така че на страницата има 2400 букви.

По същия начин научаваме, че ако една книга има 120 страници, тогава броят на буквите на страницата ще бъде:

Нашата маса ще изглежда така:

Попълнете останалите клетки сами.

§ 137. Други методи за решаване на задачи с обратно пропорционални величини.

В предишния параграф решихме задачи, чиито условия включваха обратно пропорционални величини. Първо изведехме формулата на обратната пропорционалност и след това я приложихме. Сега ще покажем две други решения за подобни проблеми.

1. Метод на свеждане до единица.

Задача. 5 стругари могат да свършат някаква работа за 16 дни. За колко дни 8 стругари могат да свършат тази работа?

Решение.Съществува обратна зависимост между броя на стругарите и работното време. Ако 5 стругари свършат работата за 16 дни, то на един човек ще му трябва 5 пъти повече време за това, т.е.

5 стругари завършват работата за 16 дни,

1 стругар ще го завърши за 16 5 = 80 дни.

Задачата пита колко дни ще са необходими на 8 стругари, за да завършат работата. Очевидно те ще се справят с работата 8 пъти по-бързо от 1 стругар, т.е

80: 8 = 10 (дни).

Това е решението на проблема чрез свеждането му до единица. Тук беше необходимо преди всичко да се определи времето, необходимо за извършване на работата от един работник.

2. Метод на пропорцията.Нека решим същата задача по втория начин.

Тъй като има обратно пропорционална връзка между броя на работниците и работното време, можем да запишем: продължителност на работа на 5 стругари нов брой стругари (8) продължителност на работа на 8 стругари предишен брой стругари (5) Нека означим изисквана продължителност на работа по писмо х и заменете необходимите числа в пропорцията, изразена с думи:

Същият проблем се решава по метода на пропорциите. За да го решим, трябваше да създадем пропорция от числата, включени в изложението на проблема.

Забележка.В предишните параграфи разгледахме въпроса за пряката и обратната пропорционалност. Природата и животът ни дават много примери за пряка и обратно пропорционална зависимост на количествата. Все пак трябва да се отбележи, че тези два вида зависимости са само най-простите. Наред с тях съществуват и други, по-сложни зависимости между величините. Освен това не трябва да се мисли, че ако две величини се увеличават едновременно, тогава между тях непременно има пряка пропорционалност. Това далеч не е вярно. Например пътни такси за железопътна линиясе увеличава в зависимост от разстоянието: колкото по-далеч пътуваме, толкова повече плащаме, но това не означава, че плащането е пропорционално на разстоянието.

Пример

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т.н.

Фактор на пропорционалност

Постоянна връзка на пропорционалните величини се нарича фактор на пропорционалност. Коефициентът на пропорционалност показва колко единици от една величина са на единица от друга.

Пряка пропорционалност

Пряка пропорционалност- функционална зависимост, при която определено количество зависи от друго количество по такъв начин, че съотношението им остава постоянно. С други думи, тези променливи се променят пропорционално, в равни части, тоест, ако аргументът се промени два пъти в която и да е посока, тогава функцията също се променя два пъти в същата посока.

Математически пряката пропорционалност се записва като формула:

f(х) = ах,а = ° СонсT

Обратна пропорционалност

Обратна пропорционалност- това е функционална зависимост, при която нарастването на независимата стойност (аргумент) предизвиква пропорционално намаляване на зависимата стойност (функция).

Математически обратната пропорционалност се записва като формула:

Свойства на функцията:

Източници

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Основни цели:

• въведе понятието пряка и обратнопропорционална зависимост на величините;
• научите как да решавате проблеми, като използвате тези зависимости;
• насърчаване на развитието на умения за решаване на проблеми;
• консолидират умението за решаване на уравнения с помощта на пропорции;
• повторете стъпките с обикновени и десетични знаци;
• развиват се логично мисленестуденти.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

аз Самоопределение за дейност(Време за организиране)

- Момчета! Днес в урока ще се запознаем със задачи, решавани с помощта на пропорции.

II. Актуализиране на знанията и записване на затруднения в дейностите

2.1. Устна работа (3 минути)

– Намерете значението на изразите и разберете думата, криптирана в отговорите.

14 – s; 0,1 – и; 7 – l; 0,2 – а; 17 – в; 25 – до

– Получената дума е сила. Много добре!
– Мотото на днешния ни урок: Силата е в знанието! Търся - значи уча!
– Съставете пропорция от получените числа. (14:7 = 0,2:0,1 и т.н.)

2.2. Нека разгледаме връзката между количествата, които знаем (7 минути)

– разстоянието, изминато от автомобила при постоянна скорост, и времето на неговото движение: S = v t (с увеличаване на скоростта (времето), разстоянието се увеличава);
– скорост на превозното средство и време, прекарано в пътуването: v=S:t(с увеличаване на времето за изминаване на пътя скоростта намалява);
– цената на стоките, закупени на една цена и тяхното количество: C = a · n (с увеличение (намаление) на цената, покупната цена се увеличава (намалява));
– цена на продукта и неговото количество: a = C: n (с увеличаване на количеството цената намалява)
– площ на правоъгълника и неговата дължина (ширина): S = a · b (с увеличаване на дължината (ширината), площта се увеличава;
– дължина и ширина на правоъгълник: a = S: b (с увеличаване на дължината ширината намалява;
– броят на работниците, които извършват някаква работа със същата производителност на труда, и времето, необходимо за извършване на тази работа: t = A: n (с увеличаване на броя на работниците времето, изразходвано за извършване на работата, намалява) и т.н. .

Получихме зависимости, при които при няколкократно увеличение на едно количество друго веднага се увеличава със същото (примерите са показани със стрелки) и зависимости, при които при няколкократно увеличение на едно количество второто количество намалява с същия брой пъти.
Такива зависимости се наричат ​​пряка и обратна пропорционалност.
Право пропорционална зависимост– връзка, при която една стойност се увеличава (намалява) няколко пъти, втората стойност се увеличава (намалява) със същото количество.
Обратно пропорционална връзка– връзка, при която една стойност се увеличава (намалява) няколко пъти, втората стойност намалява (увеличава) със същото количество.

III. Поставяне на учебна задача

– Какъв проблем стои пред нас? (Научете се да правите разлика между пряка и обратна зависимост)
- Това - мишенанашият урок. Сега формулирайте темаурок. (Права и обратно пропорционална зависимост).
- Много добре! Запишете темата на урока в тетрадките си. (Учителят записва темата на дъската.)

IV. „Откриване“ на нови знания(10 минути)

Нека разгледаме задача No199.

1. Принтерът отпечатва 27 страници за 4,5 минути. Колко време ще отнеме отпечатването на 300 страници?

27 страници – 4,5 мин.
300 страници - х?

2. Кутията съдържа 48 опаковки чай по 250гр. Колко опаковки от 150 г от този чай ще получите?

48 опаковки – 250гр.
Х? – 150 гр.

3. Колата е изминала 310 км, изразходвайки 25 литра бензин. Колко може да измине кола с пълен резервоар от 40 литра?

310 км – 25л
Х? – 40 л

4. Едното зъбно колело на съединителя има 32 зъба, а другото 40. Колко оборота ще направи второто зъбно колело, докато първото 215 оборота?

32 зъба – 315 об.
40 зъба – x?

За съставяне на пропорция е необходима една посока на стрелките, за това при обратна пропорционалност едно съотношение се заменя с обратното.

На дъската учениците откриват значението на количествата, а на място решават една задача по избор.

– Формулирайте правило за решаване на задачи с права и обратно пропорционална зависимост.

На дъската се появява таблица:

V. Първично затвърдяване във външна реч(10 минути)

Задачи на работния лист:

1. От 21 кг памучно семе се получават 5,1 кг масло. Колко масло ще се получи от 7 кг памучно семе?
2. За изграждането на стадиона 5 булдозера разчистиха площадката за 210 минути. Колко време ще отнеме на 7 булдозера да разчистят това място?

VI. Самостоятелна работасъс самотест спрямо стандарта(5 минути)

Двама ученици решават задача No 225 самостоятелно на скрити дъски, а останалите - в тетрадки. След това проверяват работата на алгоритъма и го сравняват с решението на дъската. Грешките се коригират и се установяват причините за тях. Ако задачата е изпълнена правилно, учениците поставят знак „+“ до тях.
Студентите, които допускат грешки при самостоятелна работа, могат да ползват консултанти.

VII. Включване в системата от знания и повторение№ 271, № 270.

На борда работят шест души. След 3-4 минути учениците, работещи на дъската, представят своите решения, а останалите проверяват задачите и участват в обсъждането им.

VIII. Рефлексия върху дейността (обобщение на урока)

– Какво ново научихте в урока?
- Какво повториха?
– Какъв е алгоритъмът за решаване на задачи с пропорции?
– Постигнахме ли целта си?
– Как оценявате работата си?