В това видео ще анализираме целия комплект линейни уравнения, които се решават по същия алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

Първо, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое се нарича най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички други линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Разгънете скобите, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Дайте подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато се получи нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е число, различно от нула. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

Сега нека видим как работи всичко това, използвайки примери от реалния живот.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да разширите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това комбинирайте подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. преместете всичко, свързано с променливата – термините, в които се съдържа – от едната страна и преместете всичко, което остава без нея, от другата страна.

След това, като правило, трябва да дадете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това всичко, което остава, е да разделим на коефициента на „x“ и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при изчисляване на „плюсовете“ и „минусите“.

Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще разгледаме тези тънкости в днешния урок. Но ние ще започнем, както вече разбрахте, със самото прости задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Първо, позволете ми още веднъж да напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разгънете скобите, ако има такива.
2. Ние изолираме променливите, т.е. Преместваме всичко, което съдържа „X“ от едната страна, а всичко без „X“ от другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента „х“.

Разбира се, тази схема не винаги работи, в нея има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача No1

Първата стъпка изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме тази стъпка. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Забележка: ние говорим засамо за отделни термини. Нека го запишем:

Представяме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделете на коефициента:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Така че получихме отговора.

Задача No2

Можем да видим скобите в този проблем, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително същия дизайн, но нека действаме според алгоритъма, т.е. разделяне на променливите:

Ето някои подобни:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача No3

Третото линейно уравнение е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто се предхождат от различни знаци. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека направим сметката:

Ние изпълняваме последна стъпка— разделете всичко на коефициента на „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, сред тях може да има нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите; не трябва да го дискриминирате по никакъв начин или да приемате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с отварянето на скоби. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим с помощта на стандартни алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирането на този прост факт ще ви помогне да избегнете глупави и болезнени грешки в гимназията, когато правенето на такива неща се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към повече сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и при извършване на различни трансформации ще се появи квадратична функция. Но не трябва да се страхуваме от това, защото ако, според плана на автора, решаваме линейно уравнение, тогава по време на процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, със сигурност ще се отменят.

Пример №1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега нека да разгледаме поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои подобни:

Очевидно това уравнение няма решения, така че ще напишем това в отговора:

\[\varnothing\]

или няма корени.

Пример №2

Извършваме същите действия. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои подобни:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че ще го запишем по следния начин:

\[\varnothing\],

или няма корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. Използвайки тези два израза като пример, ние отново се убедихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или един, или нито един, или безкрайно много корени. В нашия случай разгледахме две уравнения, като и двете просто нямат корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по „X“. Моля, обърнете внимание: умножава се всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и умножени.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, можете да отворите скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са завършени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко по-долу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Не случайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Тъй като решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно изпълнение прости стъпкиводи до факта, че гимназисти идват при мен и отново се учат да решават такива прости уравнения.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до степен на автоматизм. Вече няма да се налага да извършвате толкова много трансформации всеки път; ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача No1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Нека направим малко поверителност:

Ето някои подобни:

Нека завършим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, те взаимно се компенсират, което прави уравнението линейно, а не квадратно.

Задача No2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека внимателно изпълним първата стъпка: умножете всеки елемент от първата скоба по всеки елемент от втората. След трансформациите трябва да има общо четири нови термина:

Сега нека внимателно извършим умножението във всеки член:

Нека преместим термините с "X" наляво, а тези без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

За пореден път получихме окончателния отговор.

Нюанси на решението

Най-важната бележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, които съдържат повече от един член, това се прави съгласно следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от секундата; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това ще имаме четири мандата.

За алгебричната сума

С този последен пример бих искал да напомня на учениците какво алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: извадете седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Ето как алгебричната сума се различава от обикновената аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко добавяне и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

И накрая, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги разрешим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроби

За да решим такива задачи, ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо, нека ви напомня за нашия алгоритъм:

1. Отворете скобите.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на съотношението.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата си ефективност, се оказва не съвсем подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб както отляво, така и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се направи както преди, така и след първото действие, а именно да се отървете от дроби. Така че алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. Отворете скобите.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на съотношението.

Какво означава „да се отървете от дроби“? И защо това може да се направи както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числени в знаменателя си, т.е. Навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим двете страни на уравнението по това число, ще се отървем от дроби.

Пример №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка една по "четири". Нека запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека разширим:

Изключваме променливата:

Извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Получихме окончателното решение, нека преминем към второто уравнение.

Пример №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблемът е решен.

Това всъщност е всичко, което исках да ви кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно те ще бъдат намалени в процеса на по-нататъшни трансформации.
• Има три вида корени в линейните уравнения, дори и най-простите: един единствен корен, цялата числова линия е корен и никакви корени.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта и решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!

Тази част от уравнението е изразът в скобите. За да отворите скоби, погледнете знака пред скобите. Ако има знак плюс, отварянето на скобите в израза няма да промени нищо: просто премахнете скобите. Ако има знак минус, когато отваряте скобите, трябва да промените всички знаци, които първоначално са били в скобите, на противоположните. Например -(2x-3)=-2x+3.

Умножение на две скоби.
Ако уравнението съдържа произведението на две скоби, разгънете скобите според стандартното правило. Всеки член в първата скоба се умножава с всеки член във втората скоба. Получените числа се сумират. В този случай произведението на два „плюса“ или два „минуса“ дава на термина знак „плюс“, а ако факторите имат различни знаци, той получава знак „минус“.
Нека помислим.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Чрез отваряне на скоби, понякога повдигане на израз до . Формулите за повдигане на квадрат и куб трябва да се знаят наизуст и да се запомнят.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Формули за конструиране на израз, по-голям от три, могат да бъдат направени с помощта на триъгълника на Паскал.

източници:

• формула за разширяване на скоби

Оградено в скоби математически операцииможе да съдържа променливи и изрази различни степенитрудности. За да умножите такива изрази, ще трябва да потърсите решение в общ изглед, отваряне на скобите и опростяване на резултата. Ако скобите съдържат операции без променливи, само с числови стойности, тогава не е необходимо да отваряте скобите, тъй като ако имате компютър, неговият потребител има достъп до много значителни изчислителни ресурси - по-лесно е да ги използвате, отколкото да опростите израза.

Инструкции

Умножете последователно всеки (или умалено с ), съдържащ се в една скоба, по съдържанието на всички останали скоби, ако искате да получите резултата в обща форма. Например, нека оригиналният израз бъде записан по следния начин: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Тогава последователното умножение (т.е. отварянето на скобите) ще даде следния резултат: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Опростете резултата, като съкратите изразите. Например, изразът, получен в предишната стъпка, може да бъде опростен, както следва: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Използвайте калкулатор, ако трябва да умножите x равно на 4,75, което е (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). За да изчислите тази стойност, отидете на уебсайта на търсачката Google или Nigma и въведете израза в полето за заявка в оригиналната му форма (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google ще покаже 82.265625 веднага, без да натиска бутон, но Nigma трябва да изпрати данни до сървъра с едно натискане на бутон.

Сега ще преминем към отваряне на скоби в изрази, в които изразът в скоби се умножава по число или израз. Нека формулираме правило за отваряне на скоби, предхождани от знак минус: скобите заедно със знака минус се пропускат, а знаците на всички членове в скобите се заменят с противоположните.

Един вид трансформация на израз е разширяването на скоби. цифров, буквални изразии изрази с променливи могат да бъдат съставени с помощта на скоби, които могат да показват реда, в който се извършват действията, да съдържат отрицателно число и т.н. Да приемем, че в изразите, описани по-горе, вместо числа и променливи, може да има всякакви изрази.

И нека обърнем внимание на още един момент относно особеностите на писане на решение при отваряне на скоби. В предишния параграф разгледахме това, което се нарича отварящи скоби. За да направите това, има правила за отваряне на скоби, които сега ще прегледаме. Това правило е продиктувано от факта, че положителните числа обикновено се пишат без скоби; в този случай скоби не са необходими. Изразът (−3,7)−(−2)+4+(−9) може да бъде записан без скоби като −3,7+2+4−9.

И накрая, третата част от правилото се дължи просто на особеностите на записа отрицателни числавляво от израза (който споменахме в раздела за скоби за запис на отрицателни числа). Може да срещнете изрази, съставени от число, знаци минус и няколко двойки скоби. Ако отворите скобите, преминавайки от вътрешни към външни, тогава решението ще бъде както следва: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Как се отварят скоби?

Ето едно обяснение: −(−2 x) е +2 x и тъй като този израз е първи, +2 x може да се запише като 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x и −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Първата част от написаното правило за отваряне на скоби следва директно от правилото за умножение на отрицателни числа. Втората му част е следствие от правилото за умножение на числата с различни знаци. Нека да преминем към примери за отваряне на скоби в произведения и частни на две числа с различни знаци.

Отваряне на скоби: правила, примери, решения.

Горното правило взема предвид цялата верига от тези действия и значително ускорява процеса на отваряне на скоби. Същото правило ви позволява да отваряте скоби в изрази, които са произведения и частични изрази със знак минус, които не са сборове и разлики.

Нека да разгледаме примери за прилагането на това правило. Нека дадем съответното правило. По-горе вече срещнахме изрази от формата −(a) и −(−a), които без скоби се записват съответно като −a и a. Например −(3)=3 и. Това са специални случаи на посоченото правило. Сега нека разгледаме примери за отваряне на скоби, когато съдържат суми или разлики. Нека покажем примери за използване на това правило. Нека означим израза (b1+b2) като b, след което използваме правилото за умножаване на скобата по израза от предходния параграф, имаме (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Чрез индукция това твърдение може да се разшири до произволен брой членове във всяка скоба. Остава да отворим скобите в получения израз, използвайки правилата от предходните параграфи, в крайна сметка получаваме 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

Правилото в математиката е отваряне на скоби, ако има (+) и (-) пред скобите.

Този израз е произведение на три фактора (2+4), 3 и (5+7·8). Ще трябва да отворите скобите последователно. Сега използваме правилото за умножаване на скоба по число, имаме ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Степени, чиито основи са някои изрази, написани в скоби, с в натураможе да се разглежда като продукт на няколко скоби.

Например, нека трансформираме израза (a+b+c)2. Първо го записваме като произведение на две скоби (a+b+c)·(a+b+c), сега умножаваме скоба по скоба, получаваме a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Ще кажем също, че за повишаване на сумите и разликите на две числа до естествена степен е препоръчително да използвате биномната формула на Нютон. Например (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Не по-малко удобно е първо да замените делението с умножение и след това да използвате съответното правило за отваряне на скоби в произведение.

Остава да разберем реда на отваряне на скоби с помощта на примери. Нека вземем израза (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Заместваме тези резултати в оригиналния израз: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Остава само да отворим скобите, като резултат имаме −5+3·2:4+6·7. Това означава, че при преместване от лявата страна на равенството надясно е настъпило отварянето на скобите.

Обърнете внимание, че и в трите примера просто премахнахме скобите. Първо добавете 445 към 889. Това действие може да се извърши наум, но не е много лесно. Нека отворим скобите и да видим, че променената процедура значително ще опрости изчисленията.

Как да разширите скобите до друга степен

Илюстриращ пример и правило. Нека да разгледаме един пример: . Можете да намерите стойността на израз, като съберете 2 и 5 и след това вземете полученото число с обратен знак. Правилото не се променя, ако в скобите има не два, а три или повече термина. Коментирайте. Знаците са обърнати само пред термините. За да отворим скобите, в този случай трябва да запомним разпределителното свойство.

За единични числа в скоби

Грешката ти не е в знаците, а в неправилното боравене с дроби? В 6 клас учихме за положителните и отрицателните числа. Как ще решаваме примери и уравнения?

Колко е в скоби? Какво можете да кажете за тези изрази? Разбира се, резултатът от първия и втория пример е един и същ, което означава, че можем да поставим знак за равенство между тях: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Какво направихме със скобите?

Демонстрация на слайд 6 с правила за отваряне на скоби. Така правилата за отваряне на скоби ще ни помогнат да решаваме примери и да опростяваме изрази. След това учениците са помолени да работят по двойки: те трябва да използват стрелки, за да свържат израза, съдържащ скоби, със съответния израз без скоби.

Слайд 11 Веднъж в Слънчевия град, Знайка и Незнайко спореха кой от тях е решил правилно уравнението. След това учениците сами решават уравнението, като използват правилата за отваряне на скоби. Решаване на уравнения” Цели на урока: образователни (затвърдяване на знанията по темата: „Отваряне на скоби.

Тема на урока: „Отваряне на скоби. В този случай трябва да умножите всеки член от първите скоби с всеки член от вторите скоби и след това да добавите резултатите. Първо се вземат първите два фактора, затворени в още една скоба, а вътре в тези скоби скобите се отварят според едно от вече известните правила.

rawalan.freezeet.ru

Отваряне на скоби: правила и примери (7 клас)

Основната функция на скобите е да променят реда на действията при изчисляване на стойности числови изрази . Например, в числовия израз \(5·3+7\) първо ще се изчисли умножението, а след това събирането: \(5·3+7 =15+7=22\). Но в израза \(5·(3+7)\) първо ще се изчисли събирането в скоби и едва след това умножението: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Въпреки това, ако имаме работа с алгебричен израз съдържащи променлива- например така: \(2(x-3)\) - тогава е невъзможно да се изчисли стойността в скобата, променливата пречи. Следователно в този случай скобите се „отварят“ с помощта на съответните правила.

Правила за отваряне на скоби

Ако има знак плюс пред скобата, тогава скобата просто се премахва, изразът в нея остава непроменен. С други думи:

Тук е необходимо да уточним, че в математиката за съкращаване на обозначенията е прието знакът плюс да не се изписва, ако той се появява първи в израза. Например, ако съберем две положителни числа, например седем и три, тогава пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), въпреки факта, че седем също е положително число . По същия начин, ако видите например израза \((5+x)\) - знайте това пред скобата има плюс, който не се изписва.

Пример . Отворете скобата и дайте подобни членове: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Ако има знак минус пред скобата, тогава, когато скобата бъде премахната, всеки член на израза вътре в нея променя знака на противоположния:

Тук е необходимо да се изясни, че докато a беше в скобата, имаше знак плюс (просто не го написаха), а след премахване на скобата този плюс се промени на минус.

Пример : Опростете израза \(2x-(-7+x)\).
Решение : вътре в скобата има два члена: \(-7\) и \(x\), а преди скобата има минус. Това означава, че знаците ще се сменят - и седемте вече ще са плюс, а х ще е минус. Отворете скобата и представяме подобни условия .

Пример. Отворете скобата и дайте подобни членове \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Ако има множител пред скобата, тогава всеки член на скобата се умножава по него, тоест:

Пример. Разгънете скобите \(5(3-x)\).
Решение : В скобата имаме \(3\) и \(-x\), а преди скобата има петица. Това означава, че всеки член на скобата се умножава по \(5\) - напомням ви това Знакът за умножение между число и скоба не се пише в математиката, за да се намали размера на записите.

Пример. Разгънете скобите \(-2(-3x+5)\).
Решение : Както в предишния пример, \(-3x\) и \(5\) в скобите се умножават по \(-2\).

Остава да разгледаме последната ситуация.

При умножаване на скоба по скоба, всеки член на първата скоба се умножава с всеки член на втората:

Пример. Разгънете скобите \((2-x)(3x-1)\).
Решение : Имаме продукт от скоби и той може да бъде разширен незабавно с помощта на горната формула. Но за да не се объркаме, нека направим всичко стъпка по стъпка.
Стъпка 1. Премахнете първата скоба и умножете всеки член по втората скоба:

Стъпка 2. Разгънете продуктите на скобите и фактора, както е описано по-горе:
- Първо най-важното...

Стъпка 3. Сега умножаваме и представяме подобни термини:

Не е необходимо да описвате всички трансформации толкова подробно, можете да ги умножите веднага. Но ако просто се учите как да отваряте скоби, пишете подробно, ще има по-малък шанс да направите грешки.

Забележка към целия раздел.Всъщност не е нужно да помните всичките четири правила, трябва да запомните само едно, това: \(c(a-b)=ca-cb\) . Защо? Защото, ако замените едно вместо c, получавате правилото \((a-b)=a-b\) . И ако заместим минус едно, получаваме правилото \(-(a-b)=-a+b\) . Е, ако замените друга скоба вместо c, можете да получите последното правило.

Скоба в скоба

Понякога на практика има проблеми със скоби, вложени в други скоби. Ето пример за такава задача: опростете израза \(7x+2(5-(3x+y))\).

За успешно решаване на такива задачи е необходимо:
- внимателно разбирайте влагането на скоби - коя в коя е;
— отворете скобите последователно, като започнете например от най-вътрешната.

Важно е при отваряне на една от скобите не докосвайте останалата част от изражението, просто го пренаписвам както е.
Нека да разгледаме задачата, написана по-горе, като пример.

Пример. Отворете скобите и дайте подобни членове \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Нека започнем задачата, като отворим вътрешната скоба (тази вътре). Разширявайки го, ние се занимаваме само с това, което е пряко свързано с него - това е самата скоба и минусът пред нея (маркиран в зелено). Пренаписваме всичко останало (немаркирано) по същия начин, както беше.

Решаване на задачи по математика онлайн

Онлайн калкулатор.
Опростяване на полином.
Умножение на полиноми.

С тази математическа програма можете да опростите полином.
Докато програмата работи:
- умножава полиноми
— сумира мономи (дава подобни)
- отваря скоби
- повдига полином на степен

Програмата за опростяване на полиноми не само дава отговор на проблема, тя предоставя подробно решение с обяснения, т.е. показва процеса на решаване, така че да можете да проверите знанията си по математика и/или алгебра.

Тази програма може да бъде полезна за студенти средни училищав подготовка за тестовеи изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да си свършите домашното по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или свое обучение. по-малки братяили сестри, докато нивото на образование в областта на решаваните проблеми се повишава.

защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля, изчакайте секунда.

Малко теория.

Произведение на моном и многочлен. Концепцията за полином

Сред различните изрази, които се разглеждат в алгебрата са важно мястозаемат суми от мономи. Ето примери за такива изрази:

Сумата от мономи се нарича полином. Членовете в полинома се наричат ​​членове на полинома. Мономите също се класифицират като полиноми, като се счита, че мономът е полином, състоящ се от един член.

Нека представим всички членове под формата на мономи от стандартната форма:

Нека представим подобни членове в получения полином:

Резултатът е полином, всички членове на който са мономи от стандартната форма и сред тях няма подобни. Такива полиноми се наричат полиноми със стандартна форма.

Отзад степен на полиномот стандартна форма поемат най-високите правомощия на своите членове. Така биномът има трета степен, а триномът има втора.

Обикновено членовете на полиноми със стандартна форма, съдържащи една променлива, са подредени в низходящ ред на показатели. Например:

Сумата от няколко полинома може да се трансформира (опрости) в полином със стандартна форма.

Понякога членовете на полином трябва да бъдат разделени на групи, затваряйки всяка група в скоби. Тъй като затварянето на скоби е обратното преобразуване на отварящите скоби, лесно е да се формулира правила за отваряне на скоби:

Ако пред скобите е поставен знак „+“, то термините, поставени в скоби, се изписват със същите знаци.

Ако пред скобите е поставен знак „-“, то термините, поставени в скобите, се изписват с противоположни знаци.

Трансформация (опростяване) на произведението на моном и полином

Използвайки разпределителното свойство на умножението, можете да трансформирате (опростите) произведението на моном и полином в полином. Например:

Произведението на моном и полином е идентично равно на сумата от продуктите на този моном и всеки от членовете на полинома.

Този резултат обикновено се формулира като правило.

За да умножите моном по полином, трябва да умножите този моном по всеки от членовете на полинома.

Вече сме използвали това правило няколко пъти, за да умножим по сума.

Произведение на полиноми. Трансформация (опростяване) на произведението на два полинома

Като цяло произведението на два полинома е идентично равно на сумата от произведението на всеки член на един полином и всеки член на другия.

Обикновено се използва следното правило.

За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия и да добавите получените продукти.

Формули за съкратено умножение. Сбор на квадрати, разлики и разлика на квадрати

Трябва да се справяте с някои изрази в алгебричните трансформации по-често от други. Може би най-често срещаните изрази са u, т.е. квадратът на сбора, квадратът на разликата и разликата на квадратите. Забелязахте, че имената на тези изрази изглеждат непълни, например това, разбира се, не е просто квадратът на сумата, а квадратът на сумата от a и b. Квадратът на сумата от a и b обаче не се среща много често, като правило вместо буквите a и b съдържа различни, понякога доста сложни изрази.

Изразите могат лесно да бъдат преобразувани (опростени) в полиноми от стандартната форма; всъщност вече сте срещали такава задача при умножаване на полиноми:

Полезно е да запомните получените идентичности и да ги приложите без междинни изчисления. Кратките словесни формулировки помагат за това.

- квадрат на сумата равно на суматаквадрати и удвоете продукта.

— квадратът на разликата е равен на сумата от квадратите без двойното произведение.

- разликата на квадратите е равна на произведението на разликата и сбора.

Тези три идентичности позволяват да се заменят левите му части с десни при трансформации и обратно - десните части с леви. Най-трудното е да видите съответните изрази и да разберете как променливите a и b са заменени в тях. Нека да разгледаме няколко примера за използване на формули за съкратено умножение.

Книги (учебници) Резюме Единен държавен изпит и OGE тестове Онлайн игри, пъзели Изграждане на функционални графики Правописен речник на руския език Речник на младежкия жаргон Каталог на руските училища Каталог на средните учебни заведения на Русия Каталог на руските университети Списък със задачи Намиране на GCD и LCM Опростяване на полином (умножаване на полиноми) Разделяне на полином на a полином с колона Изчисление числови дробиРешаване на задачи, включващи проценти Комплексни числа: сбор, разлика, произведение и частно Системи от 2 линейни уравнения с две променливи Решение квадратно уравнениеИзолиране на квадрат от бином и факторизиране на квадратен трином Решаване на неравенства Решаване на системи от неравенства Построяване на графика квадратична функцияПострояване на графика на дробно-линейна функция Решаване на аритметика и геометрични прогресииРешаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични уравненияИзчисляване на граници, производна, допирателна Интеграл, първоизводна Решаване на триъгълници Изчисляване на действия с вектори Изчисляване на действия с прави и равнини Площ на геометрични фигури Периметър на геометрични фигури Обем на геометрични тела Повърхнина на геометрични тела
Конструктор на пътна обстановка
Времето - новини - хороскопи

www.mathsolution.ru

Разгъващи се скоби

Продължаваме да изучаваме основите на алгебрата. В този урок ще научим как да разширяваме скоби в изрази. Разгъването на скоби означава премахване на скоби от израз.

За да отворите скоби, трябва да запомните само две правила. С редовна практика можете да отворите скобите с затворени очи, а тези правила, които трябваше да бъдат запомнени, могат безопасно да бъдат забравени.

Първото правило за отваряне на скоби

Разгледайте следния израз:

Стойността на този израз е 2 . Нека отворим скобите в този израз. Разширяването на скобите означава премахването им, без да се засяга значението на израза. Тоест, след като се отървем от скобите, стойността на израза 8+(−9+3) пак трябва да е равно на две.

Първото правило за отваряне на скоби е следното:

При отваряне на скоби, ако има плюс пред скобите, тогава този плюс се пропуска заедно със скобите.

И така, виждаме това в израза 8+(−9+3) Преди скобите има знак плюс. Този плюс трябва да се пропусне заедно със скобите. С други думи, скобите ще изчезнат заедно с плюса, който стоеше пред тях. И това, което беше в скоби, ще бъде написано без промени:

8−9+3 . Този израз е равен на 2 , подобно на предишния израз със скоби, беше равно на 2 .

8+(−9+3) И 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Пример 2.Разгънете скобите в израза 3 + (−1 − 4)

Има плюс пред скобите, което означава, че този плюс е пропуснат заедно със скобите. Това, което беше в скобите, ще остане непроменено:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Пример 3.Разгънете скобите в израза 2 + (−1)

В този пример отварянето на скобите се превърна в един вид обратна операция на замяна на изваждане със събиране. Какво означава?

В израза 2−1 се получава изваждане, но то може да бъде заменено със събиране. Тогава получаваме израза 2+(−1) . Но ако в израза 2+(−1) отворите скобите, получавате оригинала 2−1 .

Следователно първото правило за отваряне на скоби може да се използва за опростяване на изрази след някои трансформации. Тоест, отървете го от скобите и го опростете.

Например, нека опростим израза 2a+a−5b+b .

За да се опрости този израз, могат да се дадат подобни термини. Нека си припомним, че за да намалите подобни термини, трябва да добавите коефициентите на подобни термини и да умножите резултата по общата буквена част:

Има израз 3a+(−4b). Нека премахнем скобите в този израз. Има плюс пред скобите, така че използваме първото правило за отваряне на скоби, тоест пропускаме скобите заедно с плюса, който идва преди тези скоби:

Така че изразът 2a+a−5b+bопростява до 3а-4б .

След като отворите някои скоби, може да срещнете други по пътя. Към тях прилагаме същите правила като към първите. Например, нека разширим скобите в следния израз:

Има две места, където трябва да отворите скобите. В този случай се прилага първото правило за отваряне на скоби, а именно пропускане на скобите заедно със знака плюс, който предхожда тези скоби:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Пример 3.Разгънете скобите в израза 6+(−3)+(−2)

И на двете места, където има скоби, те са предшествани от плюс. Тук отново важи първото правило за отваряне на скоби:

Понякога първият член в скоби се изписва без знак. Например в израза 1+(2+3−4) първият термин в скоби 2 написано без знак. Възниква въпросът какъв знак ще се появи пред двете след изпускане на скобите и плюса пред скобите? Отговорът се подсказва - пред двете ще има плюс.

Всъщност дори и в скоби има плюс пред двете, но ние не го виждаме, защото не е записано. Вече казахме, че пълната нотация на положителните числа изглежда така +1, +2, +3. Но според традицията плюсовете не се записват, поради което виждаме положителните числа, които са ни познати 1, 2, 3 .

Следователно, за да разширите скобите в израза 1+(2+3−4) , както обикновено, трябва да пропуснете скобите заедно със знака плюс пред тези скоби, но напишете първия термин, който беше в скобите със знак плюс:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Пример 4.Разгънете скобите в израза −5 + (2 − 3)

Пред скобите има плюс, така че прилагаме първото правило за отваряне на скоби, а именно пропускаме скобите заедно с плюса, който идва преди тези скоби. Но първият термин, който пишем в скоби със знак плюс:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Пример 5.Разгънете скобите в израза (−5)

Пред скобите има плюс, но не се записва, защото преди него не е имало други числа или изрази. Нашата задача е да премахнем скобите, като приложим първото правило за отваряне на скоби, а именно, пропуснете скобите заедно с този плюс (дори и да е невидим)

Пример 6.Разгънете скобите в израза 2a + (−6a + b)

Има плюс пред скобите, което означава, че този плюс е пропуснат заедно със скобите. Това, което беше в скобите, ще бъде написано непроменено:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Пример 7.Разгънете скобите в израза 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Има две места в този израз, където трябва да разширите скобите. И в двата раздела има плюс преди скобите, което означава, че този плюс е пропуснат заедно със скобите. Това, което беше в скобите, ще бъде написано непроменено:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Второто правило за отваряне на скоби

Сега нека разгледаме второто правило за отваряне на скоби. Използва се, когато има минус пред скобите.

Ако има минус преди скобите, тогава този минус се пропуска заедно със скобите, но членовете, които са били в скобите, променят знака си на противоположния.

Например, нека разширим скобите в следния израз

Виждаме, че има минус преди скобите. Това означава, че трябва да приложите второто правило за разширяване, а именно да пропуснете скобите заедно със знака минус пред тези скоби. В този случай термините, които са в скоби, ще променят знака си на противоположния:

Получихме израз без скоби 5+2+3 . Този израз е равен на 10, точно както предишният израз със скоби беше равен на 10.

Така между изразите 5−(−2−3) И 5+2+3 можете да поставите знак за равенство, тъй като те са равни на една и съща стойност:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Пример 2.Разгънете скобите в израза 6 − (−2 − 5)

Преди скобите има минус, така че прилагаме второто правило за отваряне на скоби, а именно пропускаме скобите заедно с минуса, който идва преди тези скоби. В този случай записваме термините, които са в скоби с противоположни знаци:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Пример 3.Разгънете скобите в израза 2 − (7 + 3)

Преди скобите има минус, затова прилагаме второто правило за отваряне на скоби:

Пример 4.Разгънете скобите в израза −(−3 + 4)

Пример 5.Разгънете скобите в израза −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Има две места, където трябва да отворите скобите. В първия случай трябва да приложите второто правило за отваряне на скоби, а когато става дума за израза +(−9−2) трябва да приложите първото правило:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Пример 6.Разгънете скобите в израза −(−a − 1)

Пример 7.Разгънете скобите в израза −(4a + 3)

Пример 8.Разгънете скобите в израза а − (4b + 3) + 15

Пример 9.Разгънете скобите в израза 2а + (3b − b) − (3c + 5)

Има две места, където трябва да отворите скобите. В първия случай трябва да приложите първото правило за отваряне на скоби, а когато става дума за израза −(3c+5)трябва да приложите второто правило:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Пример 10.Разгънете скобите в израза −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Има три места, където трябва да отворите скобите. Първо трябва да приложите второто правило за отваряне на скоби, след това първото и след това отново второто:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Механизъм за отваряне на скобата

Правилата за отваряне на скоби, които сега разгледахме, се основават на разпределителния закон на умножението:

Всъщност отваряне на скобие процедурата, при която общият множител се умножава по всеки член в скоби. В резултат на това умножение скобите изчезват. Например, нека разширим скобите в израза 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Следователно, ако трябва да умножите число по израз в скоби (или да умножите израз в скоби по число), трябва да кажете нека отворим скобите.

Но как законът за разпределение на умножението е свързан с правилата за отваряне на скоби, които разгледахме по-рано?

Факт е, че преди всяка скоба има общ делител. В примера 3×(4+5)общият фактор е 3 . И в примера a(b+c)общият фактор е променлива а.

Ако няма числа или променливи преди скобите, тогава общият множител е 1 или −1 , в зависимост от това какъв знак стои пред скобите. Ако има плюс пред скобите, тогава общият множител е 1 . Ако има минус преди скобите, тогава общият множител е −1 .

Например, нека разширим скобите в израза −(3b−1). Пред скобите има знак минус, така че трябва да използвате второто правило за отваряне на скоби, тоест да пропуснете скобите заедно със знака минус пред скобите. И напишете израза, който беше в скоби с противоположни знаци:

Разширихме скобите, използвайки правилото за разширяване на скоби. Но същите тези скоби могат да бъдат отворени с помощта на разпределителния закон на умножението. За да направите това, първо напишете преди скобите общия множител 1, който не е записан:

Знакът минус, който преди стоеше пред скобите, се отнасяше за тази единица. Сега можете да отворите скобите, като използвате закона за разпределение на умножението. За тази цел общият фактор −1 трябва да умножите по всеки член в скоби и да добавите резултатите.

За удобство заместваме разликата в скоби със сумата:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Както миналия път получихме израза −3b+1. Всеки ще се съгласи, че този път е отделено повече време за решаване на такъв прост пример. Ето защо е по-разумно да използвате готови правила за отваряне на скоби, които обсъдихме в този урок:

Но не е зле да знаете как работят тези правила.

В този урок научихме друга идентична трансформация. Заедно с отварянето на скобите, поставянето на общото извън скоби и въвеждането на подобни термини можете леко да разширите обхвата на проблемите, които трябва да бъдат решени. Например:

Тук трябва да извършите две действия - първо отворете скобите и след това въведете подобни условия. И така, по ред:

1) Отворете скобите:

2) Представяме подобни условия:

В получения израз −10b+(−1)можете да разширите скобите:

Пример 2.Отворете скобите и добавете подобни термини в следния израз:

1) Нека отворим скобите:

2) Нека представим подобни термини.Този път, за да спестим време и място, няма да записваме как се умножават коефициентите по общата буквена част

Пример 3.Опростете израз 8м+3ми намерете стойността му при m=−4

1) Първо, нека опростим израза. За да опростя израза 8м+3м, можете да извадите общия множител в него мизвън скоби:

2) Намерете стойността на израза m(8+3)при m=−4. За да направите това, в израза m(8+3)вместо променлива мзаменете числото −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Основната функция на скобите е да променят реда на действията при изчисляване на стойности. Например, в числовия израз \(5·3+7\) първо ще се изчисли умножението, а след това събирането: \(5·3+7 =15+7=22\). Но в израза \(5·(3+7)\) първо ще се изчисли събирането в скоби и едва след това умножението: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример. Разгънете скобата: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Отворете скобата и дайте подобни членове \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример. Разгънете скобите \(5(3-x)\).
Решение : В скобата имаме \(3\) и \(-x\), а преди скобата има петица. Това означава, че всеки член на скобата се умножава по \(5\) - напомням ви това Знакът за умножение между число и скоба не се пише в математиката, за да се намали размера на записите.

Пример. Разгънете скобите \(-2(-3x+5)\).
Решение : Както в предишния пример, \(-3x\) и \(5\) в скобите се умножават по \(-2\).

Пример. Опростете израза: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Остава да разгледаме последната ситуация.

При умножаване на скоба по скоба, всеки член на първата скоба се умножава с всеки член на втората:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Разгънете скобите \((2-x)(3x-1)\).
Решение : Имаме продукт от скоби и той може да бъде разширен незабавно с помощта на горната формула. Но за да не се объркаме, нека направим всичко стъпка по стъпка.
Стъпка 1. Премахнете първата скоба - умножете всеки от членовете й по втората скоба:

Стъпка 2. Разгънете продуктите на скобите и фактора, както е описано по-горе:
- Първо най-важното...

После второто.

Стъпка 3. Сега умножаваме и представяме подобни термини:

Не е необходимо да описвате всички трансформации толкова подробно, можете да ги умножите веднага. Но ако просто се учите как да отваряте скоби, пишете подробно, ще има по-малък шанс да направите грешки.

Забележка към целия раздел.Всъщност не е нужно да помните всичките четири правила, трябва да запомните само едно, това: \(c(a-b)=ca-cb\) . Защо? Защото, ако замените едно вместо c, получавате правилото \((a-b)=a-b\) . И ако заместим минус едно, получаваме правилото \(-(a-b)=-a+b\) . Е, ако замените друга скоба вместо c, можете да получите последното правило.

Скоба в скоба

Понякога на практика има проблеми със скоби, вложени в други скоби. Ето пример за такава задача: опростете израза \(7x+2(5-(3x+y))\).

За успешно решаване на такива задачи е необходимо:
- внимателно разбирайте влагането на скоби - коя в коя е;
- отворете скобите последователно, като започнете например от най-вътрешната.

Важно е при отваряне на една от скобите не докосвайте останалата част от изражението, просто го пренаписвам както е.
Нека да разгледаме задачата, написана по-горе, като пример.

Пример. Отворете скобите и дайте подобни членове \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример. Отворете скобите и дайте подобни членове \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Тук има тройно влагане на скоби. Да започнем с най-вътрешния (маркиран в зелено). Има плюс пред скобата, така че просто се отделя.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Сега трябва да отворите втората скоба, междинната. Но преди това ще опростим израза на подобните на призраци термини във втората скоба.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Сега отваряме втората скоба (маркирана в синьо). Преди скобата е фактор - така че всеки член в скобата се умножава по него.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		И отворете последната скоба. Има знак минус пред скобата, така че всички знаци са обърнати.

Разгъването на скоби е основно умение в математиката. Без това умение е невъзможно да имате оценка над C в 8 и 9 клас. Затова ви препоръчвам да разберете добре тази тема.

A+(b + c) може да се напише без скоби: a+(b + c)=a + b + c. Тази операция се нарича отваряне на скоби.

Пример 1.Нека отворим скобите в израза a + (- b + c).

Решение. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Ако има знак „+“ пред скобите, тогава можете да пропуснете скобите и този знак „+“, като запазите знаците на термините в скобите. Ако първият термин в скобите е написан без знак, тогава той трябва да бъде написан със знак „+“.

Пример 2.Нека намерим стойността на израза -2,87+ (2,87-7,639).

Решение.Отваряйки скобите, получаваме - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

За да намерите стойността на израза - (- 9 + 5), трябва да добавите числа-9 и 5 и намерете числото, противоположно на получения сбор: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Същата стойност може да се получи по друг начин: първо запишете числата срещу тези термини (т.е. променете знаците им) и след това добавете: 9 + (- 5) = 4. Така -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

За да напишете сума, противоположна на сумата от няколко члена, трябва да промените знаците на тези членове.

Това означава - (a + b) = - a - b.

Пример 3.Нека намерим стойността на израза 16 - (10 -18 + 12).

Решение. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

За да отворите скоби, предшествани от знак „-“, трябва да замените този знак с „+“, като промените знаците на всички термини в скобите на противоположни и след това отворете скобите.

Пример 4.Нека намерим стойността на израза 9,36-(9,36 - 5,48).

Решение. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Разгъване на скоби и прилагане на комутативни и асоциативни свойства допълнениеви позволяват да опростите изчисленията.

Пример 5.Нека намерим стойността на израза (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Решение.Първо, нека отворим скобите и след това намерим отделно сумата от всички положителни и отделно сумата от всички отрицателни числа и накрая сумираме резултатите:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Пример 6.Нека намерим стойността на израза

Решение.Първо, нека си представим всеки член като сбор от техните цели и дробни части, след това отворете скобите, след това добавете целите числа и отделно дробенчасти и накрая сумирайте резултатите:

Как се отварят скоби, предхождани от знак „+“? Как можете да намерите стойността на израз, който е противоположен на сбора от няколко числа? Как да разширим скоби, предшествани от знак „-“?

1218. Отворете скобите:

а) 3,4+(2,6+ 8,3); в) m+(n-k);

б) 4,57+(2,6 - 4,57); г) c+(-a + b).

1219. Намерете значението на израза:

1220. Отворете скобите:

а) 85+(7,8+ 98); г) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
б) (4,7 -17)+7,5; д) -а + (m-2,6); h) -(a-b + c);
в) 64-(90 + 100); д) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Отворете скобите и намерете значението на израза:

1222. Опростете израза:

1223. Напиши количестводва израза и ги опростете:

а) - 4 - m и m + 6,4; г) a+b и p - b
б) 1,1+а и -26-а; д) - m + n и -k - n;
в) a + 13 и -13 + b; д) m - n и n - m.

1224. Напишете разликата на два израза и я опростете:

1226. Използвайте уравнението, за да решите задачата:

а) На единия рафт има 42 книги, а на другия 34. От втория рафт са извадени няколко книги, а от първия са взети толкова книги, колкото са останали на втория. След това на първия рафт останаха 12 книги. Колко книги бяха извадени от втория рафт?

б) В първи клас има 42 ученици, във втори с 3 ученици по-малко, отколкото в трети. Колко ученици има в трети клас, ако в тези три класа има 125 ученици?

1227. Намерете значението на израза:

1228. Пресметнете устно:

1229. Намерете най-висока стойностизрази:

1230. Посочете 4 последователни цели числа, ако:

а) по-малкото от тях е -12; в) по-малкото от тях е n;
б) най-големият от тях е -18; г) по-голямото от тях е равно на k.

Съдържание на урока бележки към уроцитеподдържаща рамка презентация урок методи ускорение интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашна работа въпроси за дискусия риторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза година насокидискусионни програми Интегрирани уроци