С тази услуга можете намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцияедна променлива f(x) с решението, форматирано в Word. Следователно, ако е дадена функцията f(x,y), е необходимо да се намери екстремумът на функцията на две променливи. Можете също така да намерите интервалите на нарастващи и намаляващи функции.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

y =

на сегмента [ ;]

Включете теория

Правила за въвеждане на функции:

Необходимо условие за екстремума на функция на една променлива

Уравнението f" 0 (x *) = 0 е необходимо условиеекстремум на функция на една променлива, т.е. в точка x * първата производна на функцията трябва да се нулира. Той идентифицира стационарни точки x c, в които функцията не нараства или намалява.

Достатъчно условие за екстремум на функция на една променлива

Нека f 0 (x) е два пъти диференцируем по отношение на x, принадлежащ на множеството D. Ако в точка x * условието е изпълнено:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Тогава точка x * е локалната (глобална) минимална точка на функцията.

Ако в точка x * условието е изпълнено:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Тогава точка x * е локален (глобален) максимум.

Пример №1. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията: на сегмента.
Решение.

Критичната точка е 1 x 1 = 2 (f’(x)=0). Тази точка принадлежи на сегмента. (Точката x=0 не е критична, тъй като 0∉).
Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в критичната точка.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Отговор: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2. Използвайки производни от по-висок порядък, намерете екстремума на функцията y=x-2sin(x) .
Решение.
Намерете производната на функцията: y’=1-2cos(x) . Нека намерим критичните точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Намираме y’’=2sin(x), изчисляваме , което означава x= π / 3 +2πk, k∈Z са минималните точки на функцията; , което означава x=- π / 3 +2πk, k∈Z са максималните точки на функцията.

Пример №3. Изследвайте функцията екстремум в околността на точката x=0.
Решение. Тук е необходимо да се намерят екстремумите на функцията. Ако екстремумът x=0, тогава разберете неговия тип (минимум или максимум). Ако сред намерените точки няма x = 0, тогава се изчислява стойността на функцията f(x=0).
Трябва да се отбележи, че когато производната от всяка страна на дадена точка не променя знака си, възможните ситуации не са изчерпани дори за диференцируеми функции: може да се случи, че за произволно малък квартал от едната страна на точката x 0 или от двете страни производната променя знака. В тези точки е необходимо да се използват други методи за изследване на екстремни функции.

Стандартният алгоритъм за решаване на такива задачи включва, след намиране на нулите на функцията, определяне на знаците на производната на интервалите. След това се изчисляват стойностите в намерените максимални (или минимални) точки и на границата на интервала, в зависимост от това какъв въпрос е в условието.

Съветвам ви да правите нещата малко по-различно. Защо? Писах за това.

Предлагам да решавам такива проблеми, както следва:

1. Намерете производната.
2. Намерете нулите на производната.
3. Определете кои от тях принадлежат към този интервал.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в границите на интервала и точките на стъпка 3.
5. Правим заключение (отговорете на поставения въпрос).

При решаването на представените примери решението не е разгледано подробно квадратни уравнения, трябва да можете да направите това. Те също трябва да знаят.

Нека да разгледаме примери:

77422. Намерете най-голямата стойност на функцията y=x 3 –3x+4 върху сегмента [–2;0].

Нека намерим нулите на производната:

Точката x = –1 принадлежи на посочения в условието интервал.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки –2, –1 и 0:

Най-голямата стойност на функцията е 6.

Отговор: 6

77425. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – 3x 2 + 2 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната:

Точката x = 2 принадлежи на зададения в условието интервал.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки 1, 2 и 4:

Най-малката стойност на функцията е –2.

Отговор: –2

77426. Намерете най-голямата стойност на функцията y = x 3 – 6x 2 на отсечката [–3;3].

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната:

Интервалът, посочен в условието, съдържа точката x = 0.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки –3, 0 и 3:

Най-малката стойност на функцията е 0.

Отговор: 0

77429. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – 2x 2 + x +3 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Получаваме корените: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Интервалът, посочен в условието, съдържа само x = 1.

Нека намерим стойностите на функцията в точки 1 и 4:

Открихме, че най-малката стойност на функцията е 3.

Отговор: 3

77430. Намерете най-голямата стойност на функцията y = x 3 + 2x 2 + x + 3 върху отсечката [– 4; -1].

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната и решим квадратното уравнение:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Да вземем корените:

Интервалът, посочен в условието, съдържа корена x = –1.

Намираме стойностите на функцията в точки –4, –1, –1/3 и 1:

Открихме, че най-голямата стойност на функцията е 3.

Отговор: 3

77433. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – x 2 – 40x +3 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната и решим квадратното уравнение:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Да вземем корените:

Интервалът, посочен в условието, съдържа корена x = 4.

Намерете стойностите на функцията в точки 0 и 4:

Открихме, че най-малката стойност на функцията е –109.

Отговор: –109

Нека разгледаме метод за определяне на най-големия и най-ниска стойностфункции без производна. Този подход може да се използва, ако имате големи проблеми. Принципът е прост - заместваме всички цели числа от интервала във функцията (факт е, че във всички такива прототипи отговорът е цяло число).

77437. Намерете най-малката стойност на функцията y=7+12x–x 3 на отсечката [–2;2].

Заместете точки от –2 на 2: Вижте решението

77434. Намерете най-голямата стойност на функцията y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 на отсечката [–2;0].

Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Как да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция на сегмент?

За това следваме добре познат алгоритъм:

1 . Намиране на ODZ функциите.

2 . Намиране на производната на функцията

3 . Приравняване на производната на нула

4 . Намираме интервалите, през които производната запазва знака си, и от тях определяме интервалите на нарастване и намаляване на функцията:

Ако на интервал I производната на функцията е 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} се увеличава през този интервал.

Ако на интервала I производната на функцията , тогава функцията намалява през този интервал.

5 . Намираме максимални и минимални точки на функцията.

IN в максималната точка на функцията производната променя знака от “+” на “-”.

IN минимална точка на функциятапроизводната променя знака от "-" на "+".

6 . Намираме стойността на функцията в краищата на сегмента,

• след това сравняваме стойността на функцията в краищата на сегмента и в максималните точки, и изберете най-голямата от тях, ако трябва да намерите най-голямата стойност на функцията
• или сравнете стойността на функцията в краищата на сегмента и в минималните точки, и изберете най-малката от тях, ако трябва да намерите най-малката стойност на функцията

Въпреки това, в зависимост от това как функцията се държи на сегмента, този алгоритъм може да бъде значително намален.

Помислете за функцията . Графиката на тази функция изглежда така:

Нека да разгледаме няколко примера за решаване на проблеми от Open Task Bank за

1 . Задача B15 (№ 26695)

На сегмента.

1. Функцията е дефинирана за всички реални стойности на x

Очевидно това уравнение няма решения и производната е положителна за всички стойности на x. Следователно функцията нараства и приема най-голяма стойност в десния край на интервала, тоест при x=0.

Отговор: 5.

2 . Задача B15 (№ 26702)

Намерете най-голямата стойност на функцията на сегмента.

1. ODZ функции title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Производната е равна на нула при , но в тези точки не променя знака:

Следователно title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} нараства и приема най-голямата стойност в десния край на интервала, при .

За да стане ясно защо производната не променя знака, трансформираме израза за производната, както следва:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Отговор: 5.

3. Задача B15 (№ 26708)

Намерете най-малката стойност на функцията върху отсечката.

1. ODZ функции: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Нека поставим корените на това уравнение върху тригонометричната окръжност.

Интервалът съдържа две числа: и

Да сложим знаци. За да направим това, определяме знака на производната в точката x=0: . При преминаване през точки и производната променя знака.

Нека изобразим промяната на знаците на производната на функция върху координатната линия:

Очевидно точката е минимална точка (в която производната променя знака от „-“ на „+“) и за да намерите най-малката стойност на функцията в сегмента, трябва да сравните стойностите на функцията при минималната точка и в левия край на сегмента, .

В тази статия ще говоря за алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойностфункции, минимални и максимални точки.

От теория определено ще ни бъде полезно производна таблицаИ правила за диференциране. Всичко е на тази чиния:

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност.

По-удобно ми е да обясня конкретен пример. Обмисли:

Пример:Намерете най-голямата стойност на функцията y=x^5+20x^3–65x на отсечката [–4;0].

Етап 1.Вземаме производната.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Стъпка 2.Намиране на екстремни точки.

Екстремна точканаричаме онези точки, в които функцията достига своята най-голяма или минимална стойност.

За да намерите точките на екстремума, трябва да приравните производната на функцията на нула (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Сега решаваме това биквадратно уравнение и намерените корени са нашите екстремни точки.

Решавам такива уравнения, като замествам t = x^2, след това 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Нека намалим уравнението с 5, получаваме: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Правим обратната промяна x^2 = t:

X_(1 и 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 и 4) = ±sqrt(-13) (изключваме, не може да има отрицателни числа, освен ако разбира се не говорим за комплексни числа)

Общо: x_(1) = 1 и x_(2) = -1 - това са нашите точки на екстремум.

Стъпка 3.Определете най-голямата и най-малката стойност.

Метод на заместване.

В условието ни беше даден сегмент [b][–4;0]. Точката x=1 не е включена в тази отсечка. Така че не го обмисляме. Но в допълнение към точката x=-1, ние също трябва да разгледаме ляво и дясна границана нашия сегмент, т.е. точки -4 и 0. За да направим това, заместваме всички тези три точки в оригиналната функция. Обърнете внимание, че оригиналният е този, даден в условието (y=x^5+20x^3–65x), някои хора започват да го заместват в производното...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Това означава, че най-голямата стойност на функцията е [b]44 и се постига в точка [b]-1, която се нарича максимална точка на функцията върху отсечката [-4; 0].

Решихме и получихме отговор, страхотни сме, спокойно. Но спри! Не мислите ли, че изчисляването на y(-4) е някак твърде трудно? В условия на ограничено време е по-добре да използвате друг метод, аз го наричам така:

Чрез интервали на знакопостоянство.

Тези интервали се намират за производната на функцията, тоест за нашето биквадратно уравнение.

Аз го правя така. Чертая насочена отсечка. Поставям точките: -4, -1, 0, 1. Въпреки факта, че 1 не е включено в дадения сегмент, все пак трябва да се отбележи, за да се определят правилно интервалите на постоянство на знака. Нека вземем някакво число много пъти по-голямо от 1, да речем 100, и мислено го заместваме в нашето биквадратно уравнение 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Дори без да броим нищо, става очевидно, че в точка 100 функцията има знак плюс. Това означава, че за интервали от 1 до 100 има знак плюс. При преминаване през 1 (вървим отдясно наляво), функцията ще промени знака на минус. При преминаване през точка 0 функцията ще запази знака си, тъй като това е само границата на сегмента, а не корена на уравнението. При преминаване през -1, функцията отново ще промени знака на плюс.

От теорията знаем, че къде е производната на функцията (и го начертахме точно за нея) променя знака от плюс на минус (точка -1 в нашия случай)функция достига нейния локален максимум (y(-1)=44, както е изчислено по-рано)на този сегмент (това е логически много разбираемо, функцията спря да нараства, защото достигна своя максимум и започна да намалява).

Съответно, където производната на функцията променя знака от минус на плюс, е постигнат локален минимум на функция. Да, да, открихме също, че локалната минимална точка е 1, а y(1) е минималната стойност на функцията върху сегмента, да речем от -1 до +∞. Моля, обърнете внимание, че това е само ЛОКАЛЕН МИНИМУМ, т.е. минимум в определен сегмент. Тъй като реалният (глобален) минимум на функцията ще достигне някъде там, при -∞.

Според мен първият метод е по-прост теоретично, а вторият е по-прост от гледна точка на аритметичните операции, но много по-сложен от гледна точка на теорията. В края на краищата, понякога има случаи, когато функцията не променя знака при преминаване през корена на уравнението и като цяло можете да се объркате с тези локални, глобални максимуми и минимуми, въпреки че ще трябва да овладеете това така или иначе, ако планирайте да влезете в технически университет (и защо иначе вземете профилния Единен държавен изпит и решете тази задача). Но практиката и само практиката ще ви научи да решавате подобни проблеми веднъж завинаги. И можете да тренирате на нашия уебсайт. Тук .

Ако имате въпроси или нещо не е ясно, непременно питайте. Ще се радвам да ви отговоря и да направя промени и допълнения в статията. Не забравяйте, че правим този сайт заедно!

Често във физиката и математиката се изисква да се намери най-малката стойност на функция. Сега ще ви кажем как да направите това.

Как да намерите най-малката стойност на функция: инструкции

1. За изчисляване на най-малката стойност непрекъсната функцияна даден сегмент трябва да следвате следния алгоритъм:
2. Намерете производната на функцията.
3. Намерете на дадена отсечка точките, в които производната е равна на нула, както и всички критични точки. След това разберете стойностите на функцията в тези точки, т.е. решете уравнението, където x е равно на нула. Разберете коя стойност е най-малката.
4. Определете каква стойност има дадена функция в крайните точки. Определете най-малката стойност на функцията в тези точки.
5. Сравнете получените данни с най-ниската стойност. По-малкото от получените числа ще бъде най-малката стойност на функцията.

Обърнете внимание, че ако функция в сегмент няма най-малките точки, това означава, че в даден сегмент се увеличава или намалява. Следователно най-малката стойност трябва да се изчисли върху крайните сегменти на функцията.

Във всички останали случаи стойността на функцията се изчислява по зададен алгоритъм. Във всяка точка от алгоритъма ще трябва да решите проста линейно уравнениес един корен. Решете уравнението с помощта на картина, за да избегнете грешки.

Как да намерим най-малката стойност на функция на полуотворен сегмент? При полуотворен или отворен период на функцията най-малката стойност трябва да се намери, както следва. В крайните точки на стойността на функцията изчислете едностранната граница на функцията. С други думи, решете уравнение, в което клонящите точки са дадени от стойностите a+0 и b+0, където a и b са имената критични точки.

Сега знаете как да намерите най-малката стойност на функция. Основното е да правите всички изчисления правилно, точно и без грешки.