Дребна и хубава проста задачаот категорията на тези, които служат като спасителен пояс за плаващ ученик. В природата е средата на юли, така че е време да се настаните с лаптопа си на плажа. Рано сутринта слънчевият лъч на теорията започна да играе, за да се насочи скоро към практиката, която въпреки декларираната лекота съдържа парчета стъкло в пясъка. В тази връзка ви препоръчвам да разгледате съвестно няколкото примера на тази страница. За да решавате практически проблеми, трябва да можете намерете производнии разбират материала на статията Интервали на монотонност и екстремуми на функцията.

Първо, накратко за основното. В урока за непрекъснатост на функциятаДадох определението за непрекъснатост в точка и непрекъснатост в интервал. По подобен начин се формулира примерното поведение на функция върху сегмент. Една функция е непрекъсната на интервал, ако:

1) тя е непрекъсната на интервала ;
2) непрекъснато в точка на дяснои в точката наляво.

Във втория параграф говорихме за т.нар едностранна приемственостфункции в точка. Има няколко подхода за дефинирането му, но аз ще се придържам към линията, която започнах по-рано:

Функцията е непрекъсната в точката на дясно, ако е дефинирана в дадена точка и дясната й граница съвпада със стойността на функцията в дадена точка: . То е непрекъснато в точката наляво, ако е дефиниран в дадена точка и нейната лява граница равно на стойносттав този момент:

Представете си, че зелените точки са пирони с магическа еластична лента, прикрепена към тях:

Мислено вземете червената линия в ръцете си. Очевидно е, че колкото и да разтеглим графиката нагоре и надолу (по оста), функцията пак ще остане ограничен– ограда отгоре, ограда отдолу, а нашият продукт пасе в падока. По този начин, функция, непрекъсната на интервал, е ограничена върху него. В хода на математическия анализ този на пръв поглед прост факт се констатира и строго доказва. Първата теорема на Вайерщрас....Много хора се дразнят, че в математиката досадно се обосновават елементарни твърдения, но това има важно значение. Да предположим, че определен жител на средновековието е изтеглил графика в небето отвъд границите на видимост, това е вмъкнато. Преди изобретяването на телескопа, ограничената функция в космоса изобщо не беше очевидна! Наистина, откъде знаеш какво ни очаква зад хоризонта? Все пак Земята някога се е смятала за плоска, така че днес дори обикновеното телепортиране изисква доказателство =)

Според Втората теорема на Вайерщрас, непрекъснат на сегментфункцията достига своята точна горна границаа твоя? И твоя точен долен ръб .

Извиква се и номерът максималната стойност на функцията върху сегментаи са означени с , а числото е минималната стойност на функцията върху сегментаотбелязани.

В нашия случай:

Забележка : на теория записите са често срещани .

Грубо казано, най-голямата стойност е там, където най-много висока точкаграфика, а най-малката е там, където е най-ниската точка.

важно!Както вече беше подчертано в статията за екстремуми на функцията, най-голяма функционална стойностИ най-малката стойност на функцията – НЕ СЪЩОТО, Какво максимална функцияИ минимална функция. Така че в разглеждания пример числото е минимумът на функцията, но не и минималната стойност.

Между другото, какво се случва извън сегмента? Да, дори и наводнение, в контекста на разглеждания проблем, това изобщо не ни интересува. Задачата включва само намиране на две числа и това е!

Освен това решението е чисто аналитично, следователно няма нужда да правите чертеж!

Алгоритъмът лежи на повърхността и се подсказва от горната фигура:

1) Намерете стойностите на функцията в критични точки, които принадлежат към този сегмент.

Хванете още един бонус: тук няма нужда да проверявате достатъчното условие за екстремум, тъй като, както току-що беше показано, наличието на минимум или максимум все още не гарантира, каква е минималната или максималната стойност. Демонстрационната функция достига максимум и по волята на съдбата същото число е най-голямата стойност на функцията на сегмента. Но, разбира се, такова съвпадение не винаги се случва.

Така че в първата стъпка е по-бързо и по-лесно да се изчислят стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на сегмента, без да се притеснявате дали има екстремуми в тях или не.

2) Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента.

3) Сред стойностите на функцията, намерени в 1-ви и 2-ри параграф, изберете най-малката и най-много голямо число, запишете отговора.

Сядаме на брега синьо мореи ударихме плитката вода с петите си:

Пример 1

Намерете най-великите и най-малка стойностфункции на интервал

Решение:
1) Нека изчислим стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на този сегмент:

Нека изчислим стойността на функцията във втората критична точка:

2) Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента:

3) Получени са „удебелени“ резултати с експоненти и логаритми, което значително усложнява тяхното сравнение. Поради тази причина нека се въоръжим с калкулатор или Excel и да изчислим приблизителните стойности, като не забравяме, че:

Сега всичко е ясно.

Отговор:

Дробно-рационален пример за независимо решение:

Пример 6

Намерете максималните и минималните стойности на функция върху сегмент

Стандартният алгоритъм за решаване на такива задачи включва, след намиране на нулите на функцията, определяне на знаците на производната на интервалите. След това се изчисляват стойностите в намерените максимални (или минимални) точки и на границата на интервала, в зависимост от това какъв въпрос е в условието.

Съветвам ви да правите нещата малко по-различно. Защо? Писах за това.

Предлагам да решавам такива проблеми, както следва:

1. Намерете производната.
2. Намерете нулите на производната.
3. Определете кои от тях принадлежат към този интервал.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в границите на интервала и точките на стъпка 3.
5. Правим заключение (отговорете на поставения въпрос).

Докато решавате представените примери, решаването на квадратни уравнения не се обсъжда подробно; трябва да можете да правите това. Те също трябва да знаят.

Нека да разгледаме примери:

77422. Намерете най-голямата стойност на функцията y=x 3 –3x+4 върху сегмента [–2;0].

Нека намерим нулите на производната:

Точката x = –1 принадлежи на посочения в условието интервал.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки –2, –1 и 0:

Най-голямата стойност на функцията е 6.

Отговор: 6

77425. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – 3x 2 + 2 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната:

Точката x = 2 принадлежи на зададения в условието интервал.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки 1, 2 и 4:

Най-малката стойност на функцията е –2.

Отговор: –2

77426. Намерете най-голямата стойност на функцията y = x 3 – 6x 2 на отсечката [–3;3].

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната:

Интервалът, посочен в условието, съдържа точката x = 0.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки –3, 0 и 3:

Най-малката стойност на функцията е 0.

Отговор: 0

77429. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – 2x 2 + x +3 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Получаваме корените: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Интервалът, посочен в условието, съдържа само x = 1.

Нека намерим стойностите на функцията в точки 1 и 4:

Открихме, че най-малката стойност на функцията е 3.

Отговор: 3

77430. Намерете най-голямата стойност на функцията y = x 3 + 2x 2 + x + 3 върху отсечката [– 4; -1].

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната, решим квадратно уравнение:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Да вземем корените:

Интервалът, посочен в условието, съдържа корена x = –1.

Намираме стойностите на функцията в точки –4, –1, –1/3 и 1:

Открихме, че най-голямата стойност на функцията е 3.

Отговор: 3

77433. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – x 2 – 40x +3 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната и решим квадратното уравнение:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Да вземем корените:

Интервалът, посочен в условието, съдържа корена x = 4.

Намерете стойностите на функцията в точки 0 и 4:

Открихме, че най-малката стойност на функцията е –109.

Отговор: –109

Нека разгледаме начин за определяне на най-големите и най-малките стойности на функции без производна. Този подход може да се използва, ако имате големи проблеми. Принципът е прост - заместваме всички цели числа от интервала във функцията (факт е, че във всички такива прототипи отговорът е цяло число).

77437. Намерете най-малката стойност на функцията y=7+12x–x 3 на отсечката [–2;2].

Заместете точки от –2 на 2: Вижте решението

77434. Намерете най-голямата стойност на функцията y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 на отсечката [–2;0].

Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Нека функцията y =f(Х)е непрекъснат на интервала [ а, б]. Както е известно, такава функция достига своите максимални и минимални стойности на този сегмент. Функцията може да приеме тези стойности или във вътрешната точка на сегмента [ а, б] или на границата на сегмента.

За да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмента [ а, б] необходимо:

1) намерете критични точкифункции в интервала ( а, б);

2) изчисляване на стойностите на функцията в откритите критични точки;

3) изчислете стойностите на функцията в краищата на сегмента, т.е х=Аи x = b;

4) от всички изчислени стойности на функцията изберете най-голямата и най-малката.

Пример.Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

на сегмента.

Намиране на критични точки:

Тези точки лежат вътре в сегмента; г(1) = ‒ 3; г(2) = ‒ 4; г(0) = ‒ 8; г(3) = 1;

в точката х= 3 и в точката х= 0.

Изследване на функция за изпъкналост и инфлексна точка.

функция г = f (х) Наречен изпъкналмежду (а, b) , ако неговата графика лежи под допирателната, начертана във всяка точка от този интервал, и се нарича изпъкнал надолу (вдлъбнат), ако нейната графика лежи над тангентата.

Точката, през която изпъкналостта се заменя с вдлъбнатост или обратно, се нарича инфлексна точка.

Алгоритъм за изследване на изпъкналост и точка на инфлексия:

1. Намерете критични точки от втори род, т.е. точки, в които втората производна е равна на нула или не съществува.

2. Начертайте критични точки върху числовата права, като я разделите на интервали. Намерете знака на втората производна на всеки интервал; ако , тогава функцията е изпъкнала нагоре, ако, тогава функцията е изпъкнала надолу.

3. Ако при преминаване през критична точка от втори род знакът се промени и в тази точка втората производна е равна на нула, то тази точка е абсцисата на инфлексната точка. Намерете ординатата му.

Асимптоти на графиката на функция. Изследване на функция за асимптоти.

Определение.Асимптотата на графиката на функция се нарича прав, което има свойството, че разстоянието от всяка точка на графиката до тази линия клони към нула, тъй като точката на графиката се движи неограничено от началото.

Има три вида асимптоти: вертикални, хоризонтални и наклонени.

Определение.Правата се нарича вертикална асимптотафункционална графика y = f(x), ако поне една от едностранните граници на функцията в тази точка е равна на безкрайност, т.е.

където е точката на прекъсване на функцията, тоест тя не принадлежи към областта на дефиниция.

Пример.

Д ( г) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

х= 2 – точка на прекъсване.

Определение.Направо y =АНаречен хоризонтална асимптотафункционална графика y = f(x)при , ако

Пример.

х
г

Определение.Направо y =кx +b (к≠ 0) се извиква наклонена асимптотафункционална графика y = f(x)в , къде

Обща схема за изучаване на функции и построяване на графики.

Алгоритъм за изследване на функциятаy = f(x) :

1. Намерете домейна на функцията д (г).

2. Намерете (ако е възможно) точките на пресичане на графиката с координатните оси (ако х= 0 и при г = 0).

3. Разгледайте четността и нечетността на функцията ( г (‒ х) = г (х) ‒ паритет; г(‒ х) = ‒ г (х) ‒ странно).

4. Намерете асимптотите на графиката на функцията.

5. Намерете интервалите на монотонност на функцията.

6. Намерете екстремумите на функцията.

7. Намерете интервалите на изпъкналост (вдлъбнатост) и точки на инфлексия на графиката на функцията.

8. Въз основа на проведеното изследване постройте графика на функцията.

Пример.Разгледайте функцията и постройте нейната графика.

1) д (г) =

х= 4 – точка на прекъсване.

2) Кога х = 0,

(0; ‒ 5) – пресечна точка с ох.

При г = 0,

3) г(‒ х)= функция общ изглед(нито четно, нито нечетно).

4) Проверяваме за асимптоти.

а) вертикална

б) хоризонтална

в) намерете наклонените асимптоти, където

‒уравнение на наклонена асимптота

5) В това уравнение не е необходимо да се намират интервали на монотонност на функцията.

6)

Тези критични точки разделят цялата област на дефиниране на функцията на интервал (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) и (10; +∞). Удобно е получените резултати да бъдат представени под формата на следната таблица.

И за да го решите, ще ви трябват минимални познания по темата. Още една учебна година приключва, всички искат да отидат на почивка и за да доближа този момент, веднага ще премина към точката:

Да започнем с района. Посочената в условието площ е ограничен затворен набор от точки на равнина. Например множеството точки, ограничени от триъгълник, включително ЦЕЛИЯ триъгълник (ако от граници„извадете“ поне една точка, тогава регионът вече няма да бъде затворен). На практика има и области с правоъгълна, кръгла и малко по-сложна форма. Трябва да се отбележи, че в теорията на математическия анализ са дадени строги определения ограничения, изолация, граници и др., но мисля, че всеки е наясно с тези понятия на интуитивно ниво и сега не е необходимо нищо повече.

Плоската област стандартно се обозначава с буквата и като правило се определя аналитично - чрез няколко уравнения (не непременно линеен); по-рядко неравенства. Типично многословие: „затворена зона, ограничени с линии ».

Неразделна част от разглежданата задача е изграждането на площ в чертежа. Как да го направим? Трябва да начертаете всички изброени линии (в този случай 3 прав) и анализирайте случилото се. Търсената зона обикновено е леко засенчена, а границата й е маркирана с дебела линия:


Същата област също може да бъде зададена линейни неравенства: , които по някаква причина често се записват като изброен списък, а не като система.
Тъй като границата принадлежи на региона, тогава всички неравенства, разбира се, отпуснат.

А сега същността на задачата. Представете си, че оста излиза право към вас от началото. Помислете за функция, която непрекъснато във всекиобластна точка. Графиката на тази функция представлява някои повърхност, а малкото щастие е, че за да решим днешния проблем, не е нужно да знаем как изглежда тази повърхност. Тя може да бъде разположена по-високо, по-ниско, да пресича равнината - всичко това няма значение. А важно е следното: съгл Теореми на Вайерщрас, непрекъснато V ограничено затворенплощ функцията достига най-голямата си стойност (най-високата")и най-малкото („най-ниската“)стойности, които трябва да бъдат намерени. Такива стойности се постигат или V стационарни точки, принадлежащи към регионад , илив точки, които лежат на границата на тази област. Това води до прост и прозрачен алгоритъм за решение:

Пример 1

В ограничени затворена зона

Решение: Първо, трябва да изобразите областта на чертежа. За съжаление, за мен е технически трудно да направя интерактивен модел на проблема и затова веднага ще представя окончателната илюстрация, която показва всички „подозрителни“ точки, открити по време на изследването. Те обикновено са изброени един след друг, когато бъдат открити:

Въз основа на преамбюла решението може удобно да се раздели на две точки:

I) Намерете стационарни точки. Това е стандартно действие, което изпълнявахме многократно в клас. за екстремуми на няколко променливи:

Намерена неподвижна точка принадлежиобласти: (маркирайте го на чертежа), което означава, че трябва да изчислим стойността на функцията в дадена точка:

- както е в статията Най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент, ще подчертая важни резултати с удебелен шрифт. Удобно е да ги очертаете в тетрадка с молив.

Обърнете внимание на второто ни щастие - няма смисъл да проверявате достатъчно условие за екстремум. Защо? Дори ако в даден момент функцията достигне, напр. местен минимум, то това НЕ ОЗНАЧАВА, че получената стойност ще бъде минималенв целия регион (вижте началото на урока за безусловните крайности) .

Какво да направите, ако стационарната точка НЕ ​​принадлежи към областта? Почти нищо! Трябва да се отбележи това и да преминете към следващата точка.

II) Изследваме границата на региона.

Тъй като границата се състои от страни на триъгълник, е удобно изследването да се раздели на 3 подраздела. Но е по-добре да не го правите така или иначе. От моя гледна точка първо е по-изгодно да се разглеждат сегментите, успоредни на координатните оси, и преди всичко тези, които лежат на самите оси. За да разберете цялата последователност и логика на действията, опитайте се да изучите края „на един дъх“:

1) Нека се заемем с долната страна на триъгълника. За да направите това, заменете директно във функцията:

Като алтернатива можете да го направите по следния начин:

Геометрично това означава, че координатната равнина (което също е дадено от уравнението)"издълбава" от повърхности"пространствена" парабола, чийто връх веднага попада под съмнение. Нека разберем къде се намира тя:

– получената стойност „падна“ в зоната и може да се окаже, че в точката (отбелязано на чертежа)функцията достига най-голямата или най-малката стойност в целия регион. По един или друг начин, нека направим изчисленията:

Другите „кандидати” са, разбира се, края на сегмента. Нека изчислим стойностите на функцията в точки (отбелязано на чертежа):

Тук, между другото, можете да извършите устна мини-проверка, като използвате „съкратена“ версия:

2) За изследване правилната страназаместваме триъгълника във функцията и „подреждаме нещата“:

Тук веднага ще извършим груба проверка, „звънейки“ на вече обработения край на сегмента:
, Страхотен.

Геометричната ситуация е свързана с предходната точка:

– получената стойност също „попадна в сферата на нашите интереси“, което означава, че трябва да изчислим на какво е равна функцията в появилата се точка:

Нека разгледаме втория край на сегмента:

Използване на функцията , нека направим контролна проверка:

3) Вероятно всеки може да се досети как да изследва останалата страна. Ние го заместваме във функцията и извършваме опростявания:

Краища на сегмента вече са проучени, но в черновата все още проверяваме дали сме намерили функцията правилно :
– съвпадна с резултата от алинея 1;
– съвпадна с резултата от 2-ра алинея.

Остава да разберем дали има нещо интересно вътре в сегмента:

- Има! Замествайки правата линия в уравнението, получаваме ординатата на тази „интересност“:

Маркираме точка на чертежа и намираме съответната стойност на функцията:

Нека проверим изчисленията с помощта на „бюджетната“ версия :
, поръчка.

И последната стъпка: Ние ВНИМАТЕЛНО преглеждаме всички „удебелени“ числа, препоръчвам на начинаещите дори да направят един списък:

от които избираме най-голямата и най-малката стойност. ОтговорНека запишем в стила на задачата за намиране най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент:

За всеки случай пак ще коментирам геометричен смисълрезултат:
– тук е най-високата точка на повърхността в района;
– тук е най-ниската точка на повърхността в района.

В анализираната задача идентифицирахме 7 „съмнителни“ точки, но техният брой варира от задача до задача. За триъгълен регион минималният "набор за изследване" се състои от три точки. Това се случва, когато функцията например указва самолет– напълно ясно е, че стационарни точки няма и функцията може да достигне своите максимални/най-малки стойности само във върховете на триъгълника. Но има само един или два подобни примера - обикновено трябва да се справите с някои повърхност от 2-ри ред.

Ако се опитате да решите малко такива задачи, тогава триъгълниците могат да ви замаят главата и затова подготвих за вас необичайни примеритака че да стане квадрат :))

Пример 2

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена зона, ограничена с линии

Пример 3

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в ограничена затворена област.

Специално вниманиеОбърнете внимание на рационалния ред и техника на изучаване на границата на региона, както и на веригата от междинни проверки, които почти напълно ще избегнат изчислителните грешки. Най-общо казано, можете да го решите както искате, но в някои задачи, например в Пример 2, има всички шансове да направите живота си много по-труден. Приблизителна пробазавършване на задачите в края на урока.

Нека систематизираме алгоритъма за решение, иначе с моето старание като паяк някак си се изгуби в дългата нишка от коментари на 1-вия пример:

– На първата стъпка изграждаме зона, препоръчително е да я засенчваме и да подчертаем границата с удебелена линия. По време на решението ще се появят точки, които трябва да бъдат маркирани на чертежа.

– Намерете стационарни точки и изчислете стойностите на функцията само в тези от тяхкоито принадлежат към региона. Маркираме получените стойности в текста (например, кръгирайте ги с молив). Ако стационарна точка НЕ ​​принадлежи към региона, тогава отбелязваме този факт с икона или устно. Ако изобщо няма стационарни точки, тогава правим писмено заключение, че те липсват. Във всеки случай тази точка не може да бъде пропусната!

– Проучваме границата на региона. Първо, полезно е да разберете правите линии, които са успоредни на координатните оси (ако изобщо ги има). Ние също така подчертаваме стойностите на функцията, изчислени в „подозрителни“ точки. По-горе беше казано много за техниката на решение и още нещо ще бъде казано по-долу - четете, препрочитайте, задълбавайте в нея!

– От избраните числа изберете най-голямата и най-малката стойност и дайте отговора. Понякога се случва функцията да достигне такива стойности в няколко точки наведнъж - в този случай всички тези точки трябва да бъдат отразени в отговора. нека например и се оказа, че това е най-малката стойност. След това записваме това

Последните примери покриват други полезни идеи, които ще бъдат полезни на практика:

Пример 4

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена област .

Напомням ви, че с нелинейнисрещнахме неравенства и ако не разбирате геометричния смисъл на нотацията, моля, не отлагайте и изяснете ситуацията точно сега;-)

Решение, както винаги, започва с изграждането на област, която представлява един вид „подметка“:

Хм, понякога трябва да дъвчете не само гранита на науката...

I) Намерете стационарни точки:

Системата е мечта на идиот :)

Стационарна точка принадлежи на региона, а именно лежи на неговата граница.

И така, всичко е наред... урокът мина добре - ето какво означава да пиете правилния чай =)

II) Изследваме границата на региона. Без повече шум, нека започнем с оста x:

1) Ако , тогава

Нека намерим къде е върхът на параболата:
– ценете такива моменти – „уцелили“ сте точно до точката, от която вече всичко е ясно. Но все пак не забравяме проверката:

Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента:

2) Нека се справим с долната част на „подметката“ „на едно заседание“ - без никакви комплекси я заместваме във функцията и ще се интересуваме само от сегмента:

Контрол:

Това вече носи известно вълнение в монотонното шофиране по назъбената писта. Нека намерим критичните точки:

Нека решим квадратно уравнение, помниш ли още нещо по въпроса? ...Въпреки това, не забравяйте, разбира се, иначе нямаше да четете тези редове =) Ако в двата предишни примера изчисленията в десетични знаци(което, между другото, е рядкост), тогава тук ни очакват обичайните обикновени дроби. Намираме корените „X“ и използваме уравнението, за да определим съответните координати на „играта“ на точките „кандидат“:


Нека изчислим стойностите на функцията в намерените точки:

Проверете сами функцията.

Сега внимателно проучваме спечелените трофеи и ги записваме отговор:

Това са „кандидати“, това са „кандидати“!

За да го решите сами:

Пример 5

Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция в затворена зона

Запис с фигурни скоби гласи така: „набор от точки, такива, че.“

Понякога в такива примери те използват Метод на умножителя на Лагранж, но едва ли ще има реална нужда от използването му. Така например, ако е дадена функция със същата област „de“, то след заместване в нея – с производна от без затруднения; Освен това всичко е съставено в „един ред“ (със знаци), без да е необходимо да се разглеждат отделно горните и долните полукръгове. Но, разбира се, има и по-сложни случаи, където без функцията на Лагранж (където например е същото уравнение на кръг)Трудно е да минеш - както е трудно да минеш без добра почивка!

Приятно прекарване на всички и до скоро следващия сезон!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: Нека изобразим областта на чертежа:

Изявление на проблем 2:

Дадена е функция, която е дефинирана и непрекъсната на определен интервал. Трябва да намерите най-голямата (най-малката) стойност на функцията на този интервал.

Теоретична основа.
Теорема (втора теорема на Вайерщрас):

Ако една функция е дефинирана и непрекъсната в затворен интервал, тогава тя достига своите максимални и минимални стойности в този интервал.

Функцията може да достигне своите най-големи и най-малки стойности или във вътрешните точки на интервала, или в неговите граници. Нека илюстрираме всички възможни варианти.

Обяснение:
1) Функцията достига най-голямата си стойност на лявата граница на интервала в точка , а минималната си стойност в дясна границапразнина в точката.
2) Функцията достига най-голямата си стойност в точката (това е максималната точка), а минималната си стойност на дясната граница на интервала в точката.
3) Функцията достига максималната си стойност на лявата граница на интервала в точка , а минималната си стойност в точка (това е минималната точка).
4) Функцията е постоянна на интервала, т.е. тя достига своите минимални и максимални стойности във всяка точка от интервала, а минималните и максималните стойности са равни една на друга.
5) Функцията достига максималната си стойност в точка , а минималната си стойност в точка (въпреки факта, че функцията има както максимум, така и минимум на този интервал).
6) Функцията достига най-голямата си стойност в точка (това е максималната точка), а минималната си стойност в точка (това е минималната точка).
коментар:

„Максимум“ и „максимална стойност“ са различни неща. Това следва от определението за максимум и интуитивното разбиране на израза „максимална стойност“.

Алгоритъм за решаване на задача 2.



4) Изберете най-голямата (най-малката) от получените стойности и запишете отговора.

Пример 4:

Определете най-голямата и най-малката стойност на функция на сегмента.
Решение:
1) Намерете производната на функцията.

2) Намерете стационарни точки (и точки, предполагаеми екстремуми) чрез решаване на уравнението. Обърнете внимание на точките, в които няма двустранна крайна производна.

3) Изчислете стойностите на функцията в стационарни точки и в границите на интервала.

4) Изберете най-голямата (най-малката) от получените стойности и запишете отговора.

Функцията на този сегмент достига най-голямата си стойност в точката с координати .

Функцията на този сегмент достига минималната си стойност в точката с координати .

Можете да проверите правилността на изчисленията, като погледнете графиката на изследваната функция.


коментар:Функцията достига най-голямата си стойност в максималната точка, а минималната си на границата на отсечката.

Специален случай.

Да предположим, че трябва да намерите максималните и минималните стойности на някаква функция в сегмент. След завършване на първата точка от алгоритъма, т.е. изчислявайки производната, става ясно, че например тя приема само отрицателни стойности през целия разглеждан интервал. Не забравяйте, че ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява. Установихме, че функцията намалява в целия сегмент. Тази ситуация е показана на графика No1 в началото на статията.

Функцията намалява на сегмента, т.е. няма крайни точки. От снимката можете да видите, че функцията ще вземе най-малката стойност на дясната граница на сегмента и най-голямата стойност на лявата. ако производната на сегмента е положителна навсякъде, тогава функцията нараства. Най-малката стойност е на лявата граница на сегмента, най-голямата е на дясната.

---