Проблем 1(относно изчисляването на площ извит трапец).

В декартовата правоъгълна координатна система xOy е дадена фигура (виж фигурата), ограничена от оста x, прави линии x = a, x = b (a от криволинейна трапец. Необходимо е да се изчисли площта на криволинейна трапец.
Решение.Геометрията ни дава рецепти за изчисляване на площите на многоъгълници и някои части от кръг (сектор, сегмент). Използвайки геометрични съображения, можем да намерим само приблизителна стойност на необходимата площ, разсъждавайки по следния начин.

Нека разделим отсечката [a; b] (основа на извит трапец) на n равни части; това разделяне се извършва с помощта на точки x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Нека начертаем прави линии през тези точки, успоредни на оста y. Тогава дадения криволинеен трапец ще бъде разделен на n части, на n тесни колони. Площта на целия трапец е равна на сумата от площите на колоните.

Нека разгледаме k-тата колона отделно, т.е. извит трапец, чиято основа е сегмент. Нека го заменим с правоъгълник със същата основа и височина, равна на f(x k) (виж фигурата). Площта на правоъгълника е равна на \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), където \(\Delta x_k \) е дължината на сегмента; Естествено е полученият продукт да се разглежда като приблизителна стойност на площта на k-тата колона.

Ако сега направим същото с всички останали колони, ще стигнем до следния резултат: площта S на даден криволинеен трапец е приблизително равна на площта S n на стъпаловидна фигура, съставена от n правоъгълника (вижте фигурата):
\(S_n = f(x_0)\Делта x_0 + \dots + f(x_k)\Делта x_k + \dots + f(x_(n-1))\Делта x_(n-1) \)
Тук, с цел еднаквост на записа, приемаме, че a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - дължина на сегмента, \(\Delta x_1 \) - дължина на сегмента и т.н.; в този случай, както се съгласихме по-горе, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

И така, \(S \approx S_n \), и това приблизително равенство е по-точно, колкото по-голямо е n.
По дефиниция се смята, че необходимата площ на криволинейния трапец е равна на границата на последователността (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Проблем 2(относно преместването на точка)
Движи се по права линия материална точка. Зависимостта на скоростта от времето се изразява с формулата v = v(t). Намерете движението на точка за период от време [a; b].
Решение.Ако движението беше равномерно, тогава проблемът щеше да се реши много просто: s = vt, т.е. s = v(b-a). За неравномерно движение трябва да използвате същите идеи, на които се основава решението на предишния проблем.
1) Разделете интервала от време [a; b] на n равни части.
2) Помислете за период от време и приемете, че през този период от време скоростта е била постоянна, същата като в момента t k. Така че приемаме, че v = v(t k).
3) Нека намерим приблизителната стойност на движението на точката за период от време; ще обозначим тази приблизителна стойност като s k
\(s_k = v(t_k) \Делта t_k \)
4) Намерете приблизителната стойност на преместването s:
\(s \приблизително S_n \) където
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Необходимото изместване е равно на границата на последователността (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Нека да обобщим. Решенията на различни проблеми бяха сведени до един и същ математически модел. Много проблеми от различни области на науката и технологиите водят до един и същи модел в процеса на решаване. Така че това математически моделтрябва да бъдат специално проучени.

Понятието за определен интеграл

Нека дадем математическо описание на модела, който е изграден в трите разглеждани задачи за функцията y = f(x), непрекъсната (но не непременно неотрицателна, както се приемаше в разглежданите задачи) на интервала [a; b]:
1) разделете сегмента [a; b] на n равни части;
2) направете сумата $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) изчислете $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

В хода на математическия анализ беше доказано, че тази граница съществува в случай на непрекъсната (или частично непрекъсната) функция. Наричат ​​го определен интеграл от функцията y = f(x) върху отсечката [a; b]и се обозначава по следния начин:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числата a и b се наричат ​​граници на интегриране (съответно долна и горна).

Да се ​​върнем към задачите, разгледани по-горе. Дефиницията на площ, дадена в Задача 1, сега може да бъде пренаписана, както следва:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
тук S е площта на извития трапец, показан на фигурата по-горе. Това е геометричен смисъл на определен интеграл.

Дефиницията на преместването s на точка, движеща се по права линия със скорост v = v(t) за периода от време от t = a до t = b, дадено в задача 2, може да бъде пренаписано, както следва:

Формула на Нютон-Лайбниц

Първо, нека отговорим на въпроса: каква е връзката между определения интеграл и първоизводната?

Отговорът може да се намери в Задача 2. От една страна, преместването s на точка, движеща се по права линия със скорост v = v(t) за периода от време от t = a до t = b, се изчислява от формулата
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

От друга страна, координатата на движеща се точка е първоизводна за скоростта - нека я обозначим s(t); това означава, че преместването s се изразява с формулата s = s(b) - s(a). В резултат получаваме:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
където s(t) е първоизводната на v(t).

В хода на математическия анализ беше доказана следната теорема.
Теорема. Ако функцията y = f(x) е непрекъсната на интервала [a; b], тогава формулата е валидна
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
където F(x) е първоизводната на f(x).

Дадената формула обикновено се извиква Формула на Нютон-Лайбницв чест на английския физик Исак Нютон (1643-1727) и немски философГотфрид Лайбниц (1646-1716), които го получават независимо един от друг и почти едновременно.

На практика, вместо да пишат F(b) - F(a), те използват нотацията \(\left. F(x)\right|_a^b \) (понякога се нарича двойно заместване) и съответно пренапишете формулата на Нютон-Лайбниц в тази форма:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Когато изчислявате определен интеграл, първо намерете първоизводната и след това извършете двойно заместване.

Въз основа на формулата на Нютон-Лайбниц можем да получим две свойства на определения интеграл.

Имот 1.Интеграл от сумата на функциите равно на суматаинтеграли:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Имот 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Изчисляване на площите на равнинни фигури с помощта на определен интеграл

Използвайки интеграла, можете да изчислите площите не само на криволинейни трапеци, но и на плоски фигури повече сложен тип, например показаното на фигурата. Фигурата P е ограничена от прави x = a, x = b и графики на непрекъснати функции y = f(x), y = g(x), и върху отсечката [a; b] неравенството \(g(x) \leq f(x) \) е в сила. За да изчислим площта S на такава фигура, ще процедираме както следва:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

И така, площта S на фигура, ограничена от прави линии x = a, x = b и графики на функции y = f(x), y = g(x), непрекъснати на сегмента и такива, че за всяко x от сегмента [a; b] е изпълнено неравенството \(g(x) \leq f(x) \), изчислено по формулата
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблица с неопределени интеграли (антипроизводни) на някои функции

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Започваме да разглеждаме действителния процес на изчисляване на двойния интеграл и да се запознаем с неговия геометричен смисъл.

Двоен интеграл числено равна на площплоска фигура (регион на интеграция). Това е най-простата форма на двоен интеграл, когато функцията на две променливи е равна на единица: .

Първо, нека разгледаме проблема в обща форма. Сега ще бъдете доста изненадани колко просто е всъщност всичко! Нека изчислим площта на плоска фигура, ограничена от линии. За категоричност приемаме, че на отсечката . Площта на тази фигура е числено равна на:

Нека изобразим областта на чертежа:

Нека изберем първия начин за прекосяване на района:

По този начин:

И веднага важна техническа техника: итерираните интеграли могат да бъдат изчислени отделно. Първо вътрешният интеграл, след това външният интеграл. Този методГорещо го препоръчвам на начинаещи в темата.

1) Нека изчислим вътрешния интеграл, като интегрирането се извършва върху променливата "y":

Неопределеният интеграл тук е най-простият и тогава се използва баналната формула на Нютон-Лайбниц, с единствената разлика, че границите на интегрирането не са числа, а функции. Първо го поставят в "Y" ( противопроизводна функция) горна граница, след това долна граница

2) Резултатът, получен в първия параграф, трябва да бъде заменен във външния интеграл:

По-компактно представяне на цялото решение изглежда така:

Получената формула - точно така работеща формулаза изчисляване на площта на равнинна фигура с помощта на „обикновения“ определен интеграл! Гледайте урока Изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, има я на всяка крачка!

Това е, проблем за изчисляване на площ с помощта на двоен интеграл не много по-различноот задачата за намиране на площта с помощта на определен интеграл!Всъщност това е едно и също!

Съответно не трябва да възникват трудности! Няма да разглеждам много примери, тъй като всъщност многократно сте се сблъсквали с тази задача.

Пример 9

Решение:Нека изобразим областта на чертежа:

Нека изберем следния ред на обхождане на областта:

Тук и по-нататък няма да се спирам на това как да обходя района, тъй като в първия параграф бяха дадени много подробни обяснения.

По този начин:

Както вече отбелязах, по-добре е за начинаещите да изчисляват итерирани интеграли отделно и аз ще се придържам към същия метод:

1) Първо, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, се занимаваме с вътрешния интеграл:

2) Резултатът, получен в първата стъпка, се замества във външния интеграл:

Точка 2 всъщност е намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл.

Отговор:

Това е толкова глупава и наивна задача.

Интересен пример за самостоятелно решение:

Пример 10

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линиите , ,

Приблизителна пробафинализиране на решението в края на урока.

В примери 9-10 е много по-изгодно да се използва първият метод за преминаване на областта; любопитните читатели, между другото, могат да променят реда на преминаване и да изчислят площите, използвайки втория метод. Ако не направите грешка, тогава, естествено, ще получите същите стойности на площта.

Но в някои случаи вторият метод за преминаване на района е по-ефективен и в края на курса за млади маниаци нека да разгледаме още няколко примера по тази тема:

Пример 11

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линии,

Решение:Очакваме с нетърпение две параболи със странност, които лежат отстрани. Няма нужда да се усмихвате, подобни неща се случват доста често в множество интеграли.

Кой е най-лесният начин да направите рисунка?

Нека си представим парабола под формата на две функции:
– горния клон и – долния клон.

По същия начин си представете парабола под формата на горна и долна клонове.

След това точково начертаване на правилата на графиките, което води до такава странна фигура:

Изчисляваме площта на фигурата, използвайки двойния интеграл по формулата:

Какво се случва, ако изберем първия метод за прекосяване на района? Първо, тази област ще трябва да бъде разделена на две части. И второ, ще наблюдаваме тази тъжна картина: . Интегралите, разбира се, не са от свръхсложно ниво, но... има една стара математическа поговорка: който е близо до корените си, няма нужда от проверка.

Следователно, от недоразумението, дадено в условието, ние изразяваме обратните функции:

Обратни функциив този пример те имат предимството, че определят цялата парабола наведнъж без никакви листа, жълъди, клони и корени.

Според втория метод обхождането на площта ще бъде както следва:

По този начин:

Както се казва, усетете разликата.

1) Имаме работа с вътрешния интеграл:

Заместваме резултата във външния интеграл:

Интегрирането върху променливата "y" не трябва да е объркващо; ако имаше буква "zy", би било чудесно да се интегрира върху нея. Въпреки че кой прочете втория параграф от урока Как да изчислим обема на въртеливото тяло, той вече не изпитва ни най-малко неудобство при интегрирането по метода „Y“.

Обърнете внимание и на първата стъпка: интегрантът е четен и интервалът на интегриране е симетричен около нулата. Следователно сегментът може да бъде намален наполовина и резултатът може да бъде удвоен. Тази техника е коментирана подробно в урока. Ефективни методиизчисляване на определен интеграл.

Какво да добавя.... Всичко!

Отговор:

За да тествате вашата техника за интегриране, можете да опитате да изчислите . Отговорът трябва да е абсолютно същият.

Пример 12

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линии

Това е пример, който можете да решите сами. Интересно е да се отбележи, че ако се опитате да използвате първия метод за обхождане на района, фигурата вече няма да се разделя на две, а на три части! И съответно получаваме три двойки повтарящи се интеграли. Понякога се случва.

Майсторският клас приключи и е време да преминете към ниво гросмайстор - Как да изчислим двоен интеграл? Примери за решения. Ще се опитам да не бъда толкова маниакална във втората статия =)

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2:Решение: Нека изобразим района на чертежа:

Нека изберем следния ред на обхождане на областта:

По този начин:
Нека да преминем към обратните функции:


По този начин:
Отговор:

Пример 4:Решение: Нека да преминем към директните функции:


Да направим чертежа:

Нека променим реда на преминаване на района:

Отговор:

Нека да преминем към разглеждане на приложенията на интегралното смятане. В този урок ще анализираме типичната и най-често срещана задача изчисляване на площта на равнинна фигура с помощта на определен интеграл. Най-после всеки търси смисъл в висша математика- дано го намерят. Никога не знаеш. В реалния живот ще трябва да приближите парцел за дача с помощта на елементарни функции и да намерите неговата площ с помощта на определен интеграл.

За да усвоите успешно материала, трябва:

1) Разберете неопределен интегралпоне на средно ниво. Следователно манекените трябва първо да прочетат урока Не.

2) Да може да приложи формулата на Нютон-Лайбниц и да изчисли определения интеграл. Можете да установите топли приятелски отношения с определени интеграли на страницата Определен интеграл. Примери за решения. Задачата „изчисляване на площта с помощта на определен интеграл“ винаги включва изграждане на чертеж, така че вашите знания и умения за рисуване също ще бъдат от значение. Като минимум трябва да можете да конструирате права линия, парабола и хипербола.

Нека започнем с извит трапец. Извит трапец е плоска фигура, ограничена от графиката на някаква функция г = f(х), ос ОХи линии х = а; х = b.

Площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл

Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. На урока Определен интеграл. Примери за решенияказахме, че определен интеграл е число. И сега е време да заявя още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩ. Това е, определеният интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на определена фигура. Разгледайте определения интеграл

Интегранд

определя крива на равнината (може да бъде начертана, ако желаете), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

, , , .

Това е типично изявление за присвояване. Най-важният момент в решението е изграждането на чертежа. Освен това чертежът трябва да бъде конструиран ДЯСНО.

Когато конструирате чертеж, препоръчвам следния ред: първопо-добре е да се конструират всички прави линии (ако съществуват) и само Тогава– параболи, хиперболи, графики на други функции. Техниката на изграждане точка по точка може да се намери в референтния материал Графики и свойства елементарни функции . Там можете да намерите и много полезен материал за нашия урок - как бързо да построим парабола.

В този проблем решението може да изглежда така.

Нека направим чертежа (обърнете внимание, че уравнението г= 0 определя оста ОХ):

Няма да засенчваме извит трапец, тук е очевидно каква област ние говорим за. Решението продължава така:

На сегмента [-2; 1] функционална графика г = х 2 + 2 разположени над остаОХ, Ето защо:

Отговор: .

Който има затруднения с изчисляването на определения интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц

,

обърнете се към лекция Определен интеграл. Примери за решения. След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай ние броим броя на клетките в чертежа „на око“ - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии xy = 4, х = 2, х= 4 и ос ОХ.

Това е пример, който можете да решите сами. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под остаОХ?

Пример 3

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии г = д-х, х= 1 и координатни оси.

Решение: Да направим чертеж:

Ако извит трапец напълно разположени под оста ОХ , тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:

В такъв случай:

.

внимание! Не трябва да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакъв геометричен смисъл, тогава може да бъде отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и следователно от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линии г = 2х – х 2 , г = -х.

Решение: Първо трябва да направите чертеж. Когато конструираме чертеж в задачи с площи, ние се интересуваме най-много от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата г = 2х – х 2 и прав г = -х. Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен. Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интеграция а= 0, горна граница на интегриране b= 3. Често е по-изгодно и по-бързо да се конструират линии точка по точка и границите на интеграцията стават ясни „сами по себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). Нека се върнем към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Да направим чертежа:

Нека повторим, че при поточковото конструиране границите на интегриране най-често се определят „автоматично“.

А сега работната формула:

Ако на сегмента [ а; b] някаква непрекъсната функция f(х) по-голямо или равно нанякои непрекъсната функция ж(х), тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, но има значение коя графика е ПО-ВИСОКА(спрямо друга графика), и кое е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно от 2 х – х 2 трябва да се извади – х.

Завършеното решение може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола г = 2х – х 2 отгоре и прави г = -хПо-долу.

На сегмент 2 х – х 2 ≥ -х. Съгласно съответната формула:

Отговор: .

Всъщност, училищна формулаза площта на извит трапец в долната полуравнина (виж пример № 3) – специален случайформули

.

Тъй като оста ОХдадено от уравнението г= 0, и графиката на функцията ж(х), разположен под оста ОХ, Че

.

А сега няколко примера за вашето собствено решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигура, ограничена от линии

При решаване на задачи, включващи изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, понякога се случва забавна случка. Чертежът е направен правилно, изчисленията са правилни, но поради невнимание... Намерена е зоната на грешната фигура.

Пример 7

Първо нека направим чертеж:

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо(погледнете внимателно състоянието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, те често решават, че трябва да намерят областта на фигурата, която е засенчена зелено!

Този пример също е полезен, защото изчислява площта на фигура с помощта на два определени интеграла. Наистина ли:

1) На отсечката [-1; 1] над оста ОХграфиката е разположена права г = х+1;

2) На сегмент над оста ОХсе намира графиката на хипербола г = (2/х).

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

Отговор:

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Нека представим уравненията в "училищна" форма

и направете чертеж точка по точка:

От чертежа става ясно, че нашата горна граница е „добра“: b = 1.

Но каква е долната граница?! Ясно е, че това не е цяло число, но какво е?

Може би, а=(-1/3)? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може и да се окаже, че а=(-1/4). Ами ако построим графиката неправилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да изясните аналитично границите на интеграцията.

Нека намерим пресечните точки на графиките

За да направим това, решаваме уравнението:

.

следователно а=(-1/3).

По-нататъшното решение е тривиално. Основното нещо е да не се бъркате в заместванията и знаците. Изчисленията тук не са от най-простите. На сегмента

, ,

по съответната формула:

Отговор:

За да завършим урока, нека разгледаме още две трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Решение: Нека изобразим тази фигура на чертежа.

За да нарисувате чертеж точка по точка, трябва да знаете външен видсинусоиди. Като цяло е полезно да знаете графиките на всички елементарни функции, както и някои синусови стойности. Те могат да бъдат намерени в таблицата със стойности тригонометрични функции . В някои случаи (например в този случай) е възможно да се изгради схематичен чертеж, на който графиките и границите на интегриране трябва да бъдат принципно правилно показани.

Тук няма проблеми с границите на интегриране, те произтичат директно от условието:

– „x“ се променя от нула на „pi“. Нека вземем още едно решение:

На сегмент, графиката на функция г= грях 3 хразположен над оста ОХ, Ето защо:

(1) Можете да видите как синусите и косинусите са интегрирани в нечетни степени в урока Интеграли на тригонометрични функции. Прищипваме единия синус.

(2) Използваме основната тригонометрична идентичност във формуляра

(3) Нека променим променливата T=cos х, тогава: се намира над оста, следователно:

.

.

Забележка:забележете как се взема интегралът на допирателната в куб; тук се използва следствие от главния тригонометрична идентичност

.

а)

Решение.

Първо и най-важният моментрешения - чертеж чертеж.

Да направим чертежа:

Уравнението y=0 задава оста "x";

- х=-2 И х=1 - права, успоредна на оста OU;

- y=x 2 +2 - парабола, чиито клонове са насочени нагоре, с върха в точката (0;2).

Коментирайте.За да се изгради парабола, достатъчно е да се намерят точките на нейното пресичане с координатните оси, т.е. поставяне х=0 намерете пресечната точка с оста OU и съответно да вземе решение квадратно уравнение, намерете пресечната точка с оста о .

Върхът на парабола може да се намери с помощта на формулите:

Можете също така да изграждате линии точка по точка.

На интервала [-2;1] графиката на функцията y=x 2 +2 разположен над оста вол , Ето защо:

Отговор: С =9 кв. единици

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай „на око“ преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста О?

б)Изчислете площта на фигура, ограничена от линии y=-e x , х=1 и координатни оси.

Решение.

Да направим рисунка.

Ако извит трапец напълно разположени под оста о , тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:

Отговор: S=(e-1) кв. единици“ 1,72 кв. единици

внимание! Не трябва да се бъркат двата типа задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата е разположена както в горната, така и в долната полуравнина.

с)Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линии y=2x-x 2, y=-x.

Решение.

Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и прав Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен.

Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интеграция а=0 , горна граница на интеграция b=3 .

Построяваме дадените прави: 1. Парабола - връх в точка (1;1); пресичане на осите О-точки (0;0) и (0;2). 2. Права - ъглополовяща на 2-ри и 4-ти координатни ъгли. А сега Внимание! Ако на сегмента [ a;b] някаква непрекъсната функция f(x)по-голяма или равна на някаква непрекъсната функция g(x), тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата: . И няма значение къде се намира фигурата - над оста или под оста, но има значение коя графика е ПО-ВИСОКО (спрямо друга графика) и коя е ПО-ДОЛУ. В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Можете да конструирате линии точка по точка и границите на интеграцията стават ясни „сами по себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални).

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.

На сегмента , по съответната формула:

Отговор: С =4,5 кв. единици

Фигура, ограничена от графиката на непрекъсната неотрицателна функция $f(x)$ върху отсечката $$ и правите $y=0, \ x=a$ и $x=b$, се нарича криволинеен трапец.

Площта на съответния криволинеен трапец се изчислява по формулата:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Условно ще разделим задачите за намиране на площта на криволинейния трапец на $4$ типове. Нека разгледаме всеки тип по-подробно.

Тип I: извит трапец е посочен изрично.След това веднага приложете формулата (*).

Например, намерете площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функцията $y=4-(x-2)^(2)$ и правите $y=0, \ x=1$ и $x =3$.

Нека начертаем този извит трапец.

Използвайки формула (*), намираме площта на този криволинеен трапец.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (единици$^(2)$).

Тип II: извитият трапец е посочен имплицитно.В този случай правите линии $x=a, \ x=b$ обикновено не са посочени или са частично посочени. В този случай трябва да намерите пресечните точки на функциите $y=f(x)$ и $y=0$. Тези точки ще бъдат точки $a$ и $b$.

Например, намерете площта на фигура, ограничена от графиките на функциите $y=1-x^(2)$ и $y=0$.

Да намерим пресечните точки. За да направим това, приравняваме десните части на функциите.

Така $a=-1$ и $b=1$. Нека начертаем този извит трапец.

Нека намерим площта на този извит трапец.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (единици$^(2)$).

Тип III: площта на фигура, ограничена от пресечната точка на две непрекъснати неотрицателни функции.Тази фигура няма да бъде извит трапец, което означава, че не можете да изчислите площта му с формула (*). Как да бъдем?Оказва се, че площта на тази фигура може да се намери като разликата между площите на криволинейни трапеци, ограничени от горната функция и $y=0$ ($S_(uf)$), и по-ниска функцияи $y=0$ ($S_(lf)$), където ролята на $x=a, \ x=b$ играят $x$ координатите на пресечните точки на тези функции, т.е.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Най-важното при изчисляването на такива площи е да не „пропускате“ с избора на горната и долната функция.

Например, намерете площта на фигура, ограничена от функциите $y=x^(2)$ и $y=x+6$.

Нека намерим пресечните точки на тези графики:

Според теоремата на Виета,

$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$

Тоест $a=-2,\b=3$. Нека нарисуваме фигура:

По този начин горната функция е $y=x+6$, а долната функция е $y=x^(2)$. След това намираме $S_(uf)$ и $S_(lf)$ с помощта на формула (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (единици$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (единици$^(2)$).

Нека заместим това, което намерихме в (**) и да получим:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (единици$^(2)$).

Тип IV: площ на фигурата, ограничена функция(s), които не отговарят на условието за неотрицателност.За да намерите площта на такава фигура, трябва да сте симетрични спрямо оста $Ox$ ( с други думи,поставете „минуси“ пред функциите) покажете областта и, като използвате методите, описани в типове I – III, намерете площта на показаната област. Тази област ще бъде необходимата област. Първо, може да се наложи да намерите пресечните точки на функционалните графики.

Например, намерете площта на фигура, ограничена от графиките на функциите $y=x^(2)-1$ и $y=0$.

Нека намерим пресечните точки на графиките на функциите:

тези. $a=-1$ и $b=1$. Нека начертаем областта.

Нека да покажем областта симетрично:

$y=0 \ \Дясна стрелка \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Резултатът е криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията $y=1-x^(2)$ и $y=0$. Това е проблем да се намери извит трапец от втори тип. Вече го решихме. Отговорът беше: $S= 1\frac(1)(3)$ (единици $^(2)$). Това означава, че площта на необходимия криволинеен трапец е равна на:

$S=1\frac(1)(3)$ (единици$^(2)$).