Задача № 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничени от линии

Приложение на интеграла за решаване на приложни задачи

Изчисляване на площ

Определеният интеграл на непрекъсната неотрицателна функция f(x) е числено равен наплощта на криволинейния трапец, ограничен от кривата y = f(x), оста O x и правите линии x = a и x = b. В съответствие с това формулата за площ се записва, както следва:

Нека да разгледаме някои примери за изчисляване на площите на равнинни фигури.

Задача № 1. Да се ​​изчисли площта, ограничена от правите y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение.Нека построим фигура, чиято площ ще трябва да изчислим.

y = x 2 + 1 е парабола, чиито клонове са насочени нагоре и параболата е изместена нагоре с една единица спрямо оста O y (Фигура 1).

Фигура 1. Графика на функцията y = x 2 + 1

Задача № 2. Изчислете площта, ограничена от правите y = x 2 – 1, y = 0 в диапазона от 0 до 1.

Решение.Графиката на тази функция е парабола от клонове, които са насочени нагоре и параболата е изместена спрямо оста O y надолу с една единица (Фигура 2).

Фигура 2. Графика на функцията y = x 2 – 1

Задача № 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите

y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

Решение.Първата от тези две линии е парабола с клони, насочени надолу, тъй като коефициентът на x 2 е отрицателен, а втората линия е права линия, пресичаща двете координатни оси.

За да построим парабола, намираме координатите на нейния връх: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисата на върха; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 е неговата ордината, N(1;9) е върхът.

Сега нека намерим пресечните точки на параболата и правата, като решим системата от уравнения:

Приравняване на десните страни на уравнение, чиито леви страни са равни.

Получаваме 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откъдето .

И така, точките са пресечните точки на парабола и права линия (Фигура 1).

Фигура 3 Графики на функциите y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Да построим права линия y = 2x – 4. Тя минава през точките (0;-4), (2;0) на координатните оси.

За да конструирате парабола, можете също да използвате нейните пресечни точки с оста 0x, т.е. корените на уравнението 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. Използвайки теоремата на Виета, е лесно за да намерите неговите корени: x 1 = 2, x 2 = 4.

Фигура 3 показва фигура (параболичен сегмент M 1 N M 2), ограничена от тези линии.

Втората част от проблема е да се намери площта на тази фигура. Площта му може да се намери с помощта на определен интеграл по формулата .

Приложено към това състояние, получаваме интеграла:

2 Изчисляване на обема на ротационно тяло

Обемът на тялото, получен от въртенето на кривата y = f(x) около оста O x, се изчислява по формулата:

При завъртане около оста O y формулата изглежда така:

Задача No4. Определете обема на тялото, получено от въртенето на извит трапец, ограничен от прави x = 0 x = 3 и крива y = около оста O x.

Решение.Нека нарисуваме картина (Фигура 4).

Фигура 4. Графика на функцията y =

Необходимият обем е

Задача No5. Изчислете обема на тялото, получено от въртенето на извит трапец, ограничен от кривата y = x 2 и прави линии y = 0 и y = 4 около оста O y.

Решение.Ние имаме:

Въпроси за преглед

Нека функцията е неотрицателна и непрекъсната на интервала. Тогава, според геометричния смисъл на определен интеграл, площта на криволинейния трапец, ограничена отгоре от графиката на тази функция, отдолу от оста, отляво и отдясно от прави линии и (виж Фиг. 2) е изчислено по формулата

Пример 9.Намерете площта на фигура, ограничена от линия и ос.

Решение. Функционална графика е парабола, чиито клонове са насочени надолу. Нека го изградим (фиг. 3). За да определим границите на интегриране, намираме точките на пресичане на линията (парабола) с оста (права линия). За да направим това, решаваме системата от уравнения

Получаваме: , където , ; следователно, , .

Ориз. 3

Намираме площта на фигурата, използвайки формула (5):

Ако функцията е неположителна и непрекъсната на сегмента , тогава площта на криволинейния трапец, ограничена отдолу от графиката на тази функция, отгоре от оста, отляво и отдясно от прави линии и , се изчислява от формула

. (6)

Ако функцията е непрекъсната на сегмент и променя знака в краен брой точки, тогава площта на защрихованата фигура (фиг. 4) е равна на алгебрична сумасъответните определени интеграли:

Ориз. 4

Пример 10.Изчислете площта на фигурата, ограничена от оста и графиката на функцията при .

Ориз. 5

Решение. Да направим чертеж (фиг. 5). Търсената площ е сумата от площите и . Нека намерим всяка от тези области. Първо, ние определяме границите на интеграция чрез решаване на системата Получаваме , . Следователно:

;

.

По този начин площта на защрихованата фигура е

(кв. единици).

Ориз. 6

И накрая, нека криволинейният трапец е ограничен отгоре и отдолу от графиките на функции, непрекъснати на сегмента и ,
а отляво и отдясно - прави линии и (фиг. 6). След това неговата площ се изчислява по формулата

. (8)

Пример 11.Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите и.

Решение.Тази фигура е показана на фиг. 7. Нека изчислим неговата площ по формула (8). Решавайки системата от уравнения намираме, ; следователно, , . На сегмента имаме: . Това означава, че във формула (8) приемаме като х, а като качество – . Получаваме:

(кв. единици).

По-сложните проблеми с изчисляването на площите се решават чрез разделяне на фигурата на части, които не се припокриват и изчисляване на площта на цялата фигура като сума от площите на тези части.

Ориз. 7

Пример 12.Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите , , .

Решение. Да направим чертеж (фиг. 8). Тази фигура може да се разглежда като криволинеен трапец, ограничен отдолу от оста, отляво и отдясно - от прави линии и отгоре - от графики на функции и. Тъй като фигурата е ограничена отгоре от графиките на две функции, за да изчислим нейната площ, разделяме тази права линия на две части (1 е абсцисата на пресечната точка на линиите и ). Площта на всяка от тези части се намира с помощта на формула (4):

(кв. единици); (кв. единици). Следователно:

(кв. единици).

Ориз. 8

х= j( при)

Ориз. 9

В заключение отбелязваме, че ако криволинейният трапец е ограничен от прави линии и , ос и непрекъснат върху кривата (фиг. 9), тогава неговата площ се намира по формулата

Обем на ротационно тяло

Нека криволинеен трапец, ограничен от графиката на функция, непрекъсната на отсечка, от ос, от прави и , се върти около оста (фиг. 10). След това обемът на полученото тяло на въртене се изчислява по формулата

. (9)

Пример 13.Да се ​​изчисли обемът на тяло, получено при въртене около оста на криволинеен трапец, ограничен от хипербола, прави линии и ос.

Решение. Да направим чертеж (фиг. 11).

От условията на задачата следва, че , . От формула (9) получаваме

.

Ориз. 10

Ориз. единадесет

Обем на тяло, получен чрез въртене около ос OUкриволинеен трапец, ограничен от прави линии y = cИ y = d, ос OUи графика на функция, непрекъсната на отсечка (фиг. 12), определена по формулата

. (10)

х= j( при)

Ориз. 12

Пример 14. Изчислете обема на тяло, получено при въртене около ос OUкриволинеен трапец, ограничен от линии х 2 = 4при, y = 4, x = 0 (фиг. 13).

Решение. В съответствие с условията на задачата намираме границите на интегриране: , . Използвайки формула (10), получаваме:

Ориз. 13

Дължина на дъгата на равнинна крива

Нека кривата, дадена от уравнението , където , лежи в равнината (фиг. 14).

Ориз. 14

Определение. Дължината на дъгата се разбира като границата, към която се стреми дължината на счупена линия, вписана в тази дъга, когато броят на връзките на счупената линия клони към безкрайност, а дължината на най-голямата връзка клони към нула.

Ако функция и нейната производна са непрекъснати на сегмента, тогава дължината на дъгата на кривата се изчислява по формулата

. (11)

Пример 15. Изчислете дължината на дъгата на кривата, затворена между точките, за които .

Решение. От проблемните условия, които имаме . Използвайки формула (11), получаваме:

.

4. Неправилни интеграли
с безкрайни граници на интеграция

При въвеждането на концепцията за определен интеграл се приема, че са изпълнени следните две условия:

а) граници на интеграция Аи са крайни;

б) подинтегралната функция е ограничена на интервала.

Ако поне едно от тези условия не е изпълнено, тогава се извиква интеграл не твоя собствена.

Нека първо разгледаме неправилни интеграли с безкрайни граници на интегриране.

Определение. Тогава нека функцията е дефинирана и непрекъсната на интервалаи неограничен отдясно (фиг. 15).

Ако неправилният интеграл се сближава, тогава тази област е крайна; ако неправилният интеграл се разминава, тогава тази област е безкрайна.

Ориз. 15

Неправилен интеграл с безкрайна долна граница на интегриране се дефинира по подобен начин:

. (13)

Този интеграл се сближава, ако границата от дясната страна на равенството (13) съществува и е крайна; в противен случай се казва, че интегралът е дивергентен.

Неправилен интеграл с две безкрайни граници на интегриране се дефинира, както следва:

, (14)

където с е всяка точка от интервала. Интегралът се събира само ако и двата интеграла от дясната страна на равенство (14) се събират.

;

G) = [изберете пълен квадрат в знаменателя: ] = [замяна:

] =

Това означава, че неправилният интеграл се събира и стойността му е равна на .

В тази статия ще научите как да намерите площта на фигура, ограничена от линии, като използвате интегрални изчисления. За първи път се сблъскваме с формулирането на такава задача в гимназията, когато току-що сме завършили изучаването на определени интеграли и е време да започнем геометричната интерпретация на усвоените знания на практика.

И така, какво е необходимо за успешно решаване на проблема с намирането на площта на фигура с помощта на интеграли:

• Способност да прави компетентни чертежи;
• Способност за решаване на определен интеграл с помощта на добре познатата формула на Нютон-Лайбниц;
• Способността да "виждаш" повече печеливш вариантрешения - т.е. разберете как ще бъде по-удобно да се извърши интеграция в един или друг случай? По оста x (OX) или по оста y (OY)?
• Е, къде щяхме да бъдем без правилни изчисления?) Това включва разбиране как да се решава този друг тип интеграли и правилни числени изчисления.

Алгоритъм за решаване на проблема за изчисляване на площта на фигура, ограничена от линии:

1. Изграждаме чертеж. Препоръчително е да направите това на кариран лист хартия, в голям мащаб. Подписваме името на тази функция с молив над всяка графика. Подписването на графиките се извършва единствено за удобство на по-нататъшни изчисления. След като получите графика на желаната фигура, в повечето случаи веднага ще стане ясно кои граници на интегриране ще се използват. Така решаваме задачата графично. Случва се обаче стойностите на лимитите да са дробни или ирационални. Следователно можете да направите допълнителни изчисления, преминете към втора стъпка.

2. Ако границите на интегриране не са изрично посочени, тогава намираме точките на пресичане на графиките една с друга и виждаме дали нашето графично решение съвпада с аналитичното.

3. След това трябва да анализирате чертежа. В зависимост от това как са подредени графиките на функциите, има различни подходи за намиране на площта на фигура. Нека да разгледаме различни примери за намиране на площта на фигура с помощта на интеграли.

3.1. Най-класическата и най-проста версия на проблема е, когато трябва да намерите площта на извит трапец. Какво е извит трапец? Това е плоска фигура, ограничена от оста x (y = 0), направо x = a, x = bи всяка крива, непрекъсната на интервала от апреди b. Освен това тази цифра е неотрицателна и не се намира под оста x. В този случай площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл, изчислен по формулата на Нютон-Лайбниц:

Пример 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

С какви линии е ограничена фигурата? Имаме парабола y = x2 – 3x + 3, който се намира над ос ОХ, то е неотрицателно, защото всички точки на тази парабола имат положителни стойности. На следващо място, дадени прави линии х = 1И х = 3, които вървят успоредно на оста OU, са граничните линии на фигурата отляво и отдясно. добре y = 0, това е и оста x, която ограничава фигурата отдолу. Получената фигура е защрихована, както се вижда от фигурата вляво. В този случай можете веднага да започнете да решавате проблема. Пред нас е прост пример за извит трапец, който след това решаваме с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.

3.2. В предишния параграф 3.1 разгледахме случая, когато извит трапец е разположен над оста x. Сега разгледайте случая, когато условията на проблема са същите, с изключение на това, че функцията лежи под оста x. Към стандартната формула на Нютон-Лайбниц се добавя минус. Ще разгледаме как да разрешим такъв проблем по-долу.

Пример 2 . Изчислете площта на фигура, ограничена от линии y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

В този пример имаме парабола y = x2 + 6x + 2, която произхожда от ос ОХ, направо x = -4, x = -1, y = 0. Тук y = 0ограничава желаната фигура отгоре. Директен х = -4И х = -1това са границите, в които ще бъде изчислен определеният интеграл. Принципът на решаване на проблема за намиране на площта на фигура почти напълно съвпада с пример номер 1. Единствената разлика е, че дадена функцияне е положителен и все още непрекъснат в интервала [-4; -1] . Какво имаш предвид не положително? Както може да се види от фигурата, фигурата, която се намира в рамките на дадените x, има изключително „отрицателни“ координати, което трябва да видим и запомним, когато решаваме задачата. Търсим площта на фигурата, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, само със знак минус в началото.

Статията не е завършена.

а)

Решение.

Първо и най-важният моментрешения - чертеж чертеж.

Да направим чертежа:

Уравнението y=0 задава оста "x";

- х=-2 И х=1 - права, успоредна на оста OU;

- y=x 2 +2 - парабола, чиито клонове са насочени нагоре, с върха в точката (0;2).

Коментирайте.За да се изгради парабола, достатъчно е да се намерят точките на нейното пресичане с координатните оси, т.е. поставяне х=0 намерете пресечната точка с оста OU и съответно да вземе решение квадратно уравнение, намерете пресечната точка с оста о .

Върхът на парабола може да се намери с помощта на формулите:

Можете също така да изграждате линии точка по точка.

На интервала [-2;1] графиката на функцията y=x 2 +2 разположен над оста вол , Ето защо:

Отговор: С =9 кв. единици

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай „на око“ преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста О?

б)Изчислете площта на фигура, ограничена от линии y=-e x , х=1 и координатни оси.

Решение.

Да направим рисунка.

Ако извит трапец напълно разположен под оста о , тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:

Отговор: S=(e-1) кв. единици“ 1,72 кв. единици

внимание! Не трябва да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакъв геометричен смисъл, тогава може да бъде отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата е разположена както в горната, така и в долната полуравнина.

с)Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линии y=2x-x 2, y=-x.

Решение.

Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и прав Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен.

Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интеграция а=0 , горна граница на интеграция b=3 .

Построяваме дадените прави: 1. Парабола - връх в точка (1;1); пресичане на осите О-точки (0;0) и (0;2). 2. Права - ъглополовяща на 2-ри и 4-ти координатни ъгли. А сега Внимание! Ако на сегмента [ a;b] някаква непрекъсната функция f(x)по-голям или равен на някои непрекъсната функция g(x), тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата: . И няма значение къде се намира фигурата - над оста или под оста, но има значение коя графика е ПО-ВИСОКО (спрямо друга графика) и коя е ПО-ДОЛУ. В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Можете да конструирате линии точка по точка и границите на интеграцията стават ясни „сами по себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални).

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.

На сегмента , по съответната формула:

Отговор: С =4,5 кв. единици

Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура

Нека да преминем към разглеждане на приложенията на интегралното смятане. В този урок ще анализираме типичната и най-често срещана задача – как да използваме определен интеграл за изчисляване на площта на равнинна фигура. Най-накрая търси смисъл в висша математика- дано го намерят. Никога не знаеш. В реалния живот ще трябва да приближите парцел за дача с помощта на елементарни функции и да намерите неговата площ с помощта на определен интеграл.

За да усвоите успешно материала, трябва:

1) Разберете неопределен интегралпоне на средно ниво. Следователно манекените трябва първо да прочетат урока Не.

2) Да може да приложи формулата на Нютон-Лайбниц и да изчисли определения интеграл. Можете да установите топли приятелски отношения с определени интеграли на страницата Определен интеграл. Примери за решения.

Всъщност, за да намерите площта на фигура, нямате нужда от толкова много познания за неопределения и определен интеграл. Задачата „изчисляване на площта с помощта на определен интеграл“ винаги включва изграждане на чертеж, така че вашите знания и умения за рисуване ще бъдат много по-належащ проблем. В тази връзка е полезно да опресните паметта си на графиките на основните елементарни функции, и като минимум да могат да конструират права линия, парабола и хипербола. Това може да стане (за мнозина е необходимо) с помощта на методически материали статии за геометрични трансформации на графики.

Всъщност всеки е запознат със задачата за намиране на лицето с помощта на определен интеграл още от училище и няма да отидем много по-далеч от училищна програма. Тази статия може изобщо да не съществува, но факт е, че проблемът възниква в 99 от 100 случая, когато ученик страда от омразно училище и ентусиазирано усвоява курс по висша математика.

Материалите на този семинар са представени просто, подробно и с минимум теория.

Нека започнем с извит трапец.

Криволинеен трапеце плоска фигура, ограничена от ос, прави линии и графиката на функция, непрекъсната на интервал, който не променя знака на този интервал. Нека тази фигура се намира не по-малкоос x:

Тогава площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл. Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. На урока Определен интеграл. Примери за решенияКазах, че определен интеграл е число. И сега е време да заявя още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩ.

Това е, определеният интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на определена фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Подинтегралната функция определя крива на равнината, разположена над оста (желаещите могат да направят чертеж), а самият определен интеграл е числен равна на площсъответстващ извит трапец.

Пример 1

Това е типично изявление за присвояване. Първата и най-важна точка в решението е изграждането на чертеж. Освен това чертежът трябва да бъде конструиран ДЯСНО.

Когато конструирате чертеж, препоръчвам следния ред: първопо-добре е да се конструират всички прави линии (ако съществуват) и само Тогава– параболи, хиперболи, графики на други функции. По-изгодно е да се изграждат графики на функции точка по точка, техниката на изграждане точка по точка можете да намерите в референтния материал Графики и свойства на елементарни функции. Там можете да намерите и много полезен материал за нашия урок - как бързо да построим парабола.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека начертаем чертежа (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

Няма да щриховам крив трапец, тук се вижда каква е площта ние говорим за. Решението продължава така:

На сегмента е разположена графиката на функцията над оста, Ето защо:

Отговор:

Който има затруднения с изчисляването на определения интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц , вижте лекцията Определен интеграл. Примери за решения.

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай ние броим броя на клетките в чертежа „на око“ - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии , и ос

Това е пример, който можете да решите сами. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста?

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Да направим рисунка:

Ако се намира извит трапец под оста(или, от поне, не по-високададена ос), тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:
В такъв случай:

внимание! Не трябва да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и следователно от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линиите , .

Решение: Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен. Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интегриране е , а горната граница на интегриране е .
Ако е възможно, по-добре е да не използвате този метод..

Много по-изгодно и по-бързо е да се изграждат линии точка по точка, а границите на интеграция стават ясни „от само себе си“. Техниката за конструиране точка по точка за различни графики е разгледана подробно в помощта Графики и свойства на елементарни функции. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Нека се върнем към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Да направим чертежа:

Повтарям, че при поточковото конструиране границите на интеграция най-често се откриват „автоматично“.

И сега работеща формула : Ако има някаква непрекъсната функция на сегмента по-голямо или равно нанякаква непрекъсната функция , тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и линиите , , може да се намери с помощта на формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, и, грубо казано, има значение коя графика е ПО-ВИСОКА(спрямо друга графика), и кое е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършеното решение може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента, съгласно съответната формула:

Отговор:

Всъщност училищна формулаза площта на криволинейния трапец в долната полуравнина (виж прост пример № 3) – специален случайформули . Тъй като оста е зададена от уравнението, и графиката на функцията е разположена не по-високаоси, тогава

А сега няколко примера за вашето собствено решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите , .

При решаване на задачи, включващи изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, понякога се случва забавна случка. Чертежът е направен правилно, изчисленията са правилни, но поради невнимание... беше открита зоната на грешната фигура, точно така твоят смирен слуга се прецака няколко пъти. Тук истински случайот живота:

Пример 7

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Решение: Първо, нека направим чертеж:

...Ех, рисунката излезе скапана, но май всичко се чете.

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо(погледнете внимателно състоянието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често възниква „бъг“, че трябва да намерите областта на фигура, която е засенчена зелено!

Този пример е полезен и с това, че изчислява площта на фигура с помощта на два определени интеграла. Наистина ли:

1) На сегмента над оста има графика на права линия;

2) На сегмента над оста има графика на хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

Отговор:

Да преминем към друга смислена задача.

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,
Нека представим уравненията в "училищна" форма и да направим чертеж точка по точка:

От чертежа става ясно, че нашата горна граница е „добра“: .
Но каква е долната граница?! Ясно е, че това не е цяло число, но какво е? Може би ? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може да се окаже, че... Или корена. Ами ако построим графиката неправилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да изясните аналитично границите на интеграцията.

Нека намерим пресечните точки на права линия и парабола.
За да направим това, решаваме уравнението:


,

Наистина ли, .

По-нататъшното решение е тривиално, основното е да не се бъркате в заместванията и знаците, изчисленията тук не са най-простите.

На сегмента , по съответната формула:

Отговор:

Е, за да завършим урока, нека разгледаме още две трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , ,

Решение: Нека изобразим тази фигура на чертежа.

По дяволите, забравих да подпиша графика и, съжалявам, не исках да преработвам снимката. Не е ден за теглене, накратко, днес е денят =)

За изграждането точка по точка трябва да знаете външен видсинусоиди (и като цяло е полезно да се знае графики на всички елементарни функции), както и някои синусови стойности, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. В някои случаи (както в този случай) е възможно да се изгради схематичен чертеж, на който графиките и границите на интегриране трябва да бъдат фундаментално правилно показани.

Тук няма проблеми с границите на интегриране, те следват директно от условието: „x“ се променя от нула на „pi“. Нека вземем още едно решение:

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно: