Възможно е да се проследи динамиката на развитието на даден обект, вътрешната същност на връзките на неговите елементи и различни състояния в процеса на проектиране само с помощта на модели, които използват принципа на динамичната аналогия, т.е. математически модели.

Математически моделе система от математически зависимости, които описват процеса или явлението, което се изучава. За да съставите математически модел, можете да използвате всякакви математически средства - теория на множествата, математическа логика, език на диференциални или интегрални уравнения. Процесът на съставяне на математически модел се нарича математическо моделиране. Подобно на други видове модели, математическият модел представлява проблем в опростена форма и описва само свойствата и моделите, които са най-важни за даден обект или процес. Математическият модел позволява многостранен количествен анализ. Променяйки първоначалните данни, критерии и ограничения, всеки път можете да получите оптималното решение за дадените условия и да определите по-нататъшната посока на търсене.

Създаването на математически модели изисква от техните разработчици, в допълнение към познаването на формалните логически методи, задълбочен анализ на обекта, който се изучава, за да се формулират стриктно основните идеи и правила, както и да се идентифицира достатъчно количество надеждна фактология, статистически и регулаторни данни.

Трябва да се отбележи, че всички използвани в момента математически модели се отнасят до предписващ. Целта на разработването на предписващи модели е да се посочи посоката на намиране на решение, докато целта на разработването описващмоделите са отражение на действителните човешки мисловни процеси.

Има доста широко разпространена гледна точка, че с помощта на математиката е възможно да се получат само някои числени данни за обекта или процеса, който се изучава. „Разбира се, много математически дисциплини са насочени към получаване на краен числен резултат. Но да се сведат математическите методи само до проблема за получаване на число, означава безкрайно да се обеднява математиката, да се обеднява възможността за това мощно оръжие, което днес е в ръцете на изследователите...

Математическият модел, написан на един или друг частен език (например диференциални уравнения), отразява определени свойства на реални физически процеси. В резултат на анализа на математическите модели получаваме преди всичко качествени идеи за характеристиките на изследваните процеси, установяваме модели, които определят динамичната серия от последователни състояния, и получаваме възможност да прогнозираме хода на процеса и определяне на неговите количествени характеристики.”

Математическите модели се използват в много добре известни методи за моделиране. Сред тях са разработването на модели, които описват статичното и динамично състояние на обект, оптимизационни модели.

Пример за математически модели, които описват статичното и динамично състояние на даден обект, могат да бъдат различни методи за традиционни структурни изчисления. Процесът на изчисление, представен под формата на последователност от математически операции (алгоритъм), ни позволява да кажем, че е съставен математически модел за изчисляване на определена структура.

IN оптимизациямоделите съдържат три елемента:

Целева функция, отразяваща приетия критерий за качество;

Регулируеми параметри;

Наложени ограничения.

Всички тези елементи трябва да бъдат описани математически под формата на уравнения, логически условия и т.н. Решаването на оптимизационен проблем е процес на намиране на минималната (максималната) стойност на целевата функция при спазване на определени ограничения. Резултатът от решението се счита за оптимален, ако целевата функция достигне екстремната си стойност.

Пример за оптимизационен модел е математическо описание на критерия „дължина на връзката“ в метода за алтернативно проектиране на промишлени сгради.

Целевата функция отразява общата претеглена дължина на всички функционални връзки, която трябва да клони към минимум:

където е тегловната стойност на връзката на елемента с ;

– дължина на връзката между и елементи;

– общият брой поставени елементи.

Тъй като площите на разположените елементи на помещенията са еднакви във всички варианти на проектното решение, вариантите се различават един от друг само по различното разстояние между елементите и тяхното разположение един спрямо друг. Следователно регулируемите параметри в този случай са координатите на елементите, поставени върху етажните планове.

Наложени ограничения върху разположението на елементите (на предварително фиксирано място в плана, по външния периметър, един върху друг и т.н.) и върху дължината на връзките (дължините на връзките между елементите са строго определени, минимални или максималните граници на стойностите са посочени, границите на промяна са посочени стойности) са написани официално.

Една опция се счита за оптимална (според този критерий), ако стойността на целевата функция, изчислена за тази опция, е минимална.

Разнообразие от математически модели – икономико-математически модел– е модел на връзката между икономически характеристики и параметри на системата.

Пример за икономико-математически модели е математическото описание на разходните критерии в горепосочения метод за алтернативно проектиране на промишлени сгради. Математическите модели, получени въз основа на използването на методи на математическа статистика, отразяват зависимостта на цената на рамката, основите, земните работи на едноетажни и многоетажни промишлени сгради и тяхната височина, обхват и стъпка на носещи конструкции.

Въз основа на метода за отчитане на влиянието на случайни фактори върху вземането на решения, математическите модели се разделят на детерминистични и вероятностни. Детерминистиченмоделът не отчита влиянието на случайни фактори в процеса на функциониране на системата и се основава на аналитично представяне на моделите на функциониране. вероятностен (стохастичен)моделът отчита влиянието на случайни фактори по време на работата на системата и се основава на статистически, т.е. количествена оценка на масови явления, позволяваща да се вземе предвид тяхната нелинейност, динамика, случайни смущения, описани от различни закони на разпределение.

Използвайки горните примери, можем да кажем, че математическият модел, който описва критерия „дължина на връзките“, се отнася до детерминистични модели, а математическите модели, които описват групата от критерии „разходи“, се отнасят до вероятностни модели.

Езикови, семантични и информационни модели

Математическите модели имат очевидни предимства, тъй като количественото определяне на аспектите на даден проблем дава ясна картина на приоритетите на целите. Важно е специалистът винаги да може да обоснове приемането на конкретно решение, като представи съответните цифрови данни. Пълното математическо описание на проектантската дейност обаче е невъзможно, поради което повечето от проблемите, решени в началния етап на архитектурно-строителното проектиране, се отнасят до зле структуриран.

Една от характеристиките на полуструктурираните проблеми е словесното описание на критериите, използвани в тях. Въвеждане на критерии, описани на естествен език (такива критерии се наричат лингвистичен), ви позволява да използвате по-малко сложни методи за намиране на оптимални дизайнерски решения. При наличието на такива критерии проектантът взема решение на база обичайното, а не съмнителноизрази на целите.

Смисленото описание на всички аспекти на проблема въвежда систематизация в процеса на решаването му, от една страна, а от друга, значително улеснява работата на специалистите, които, без да изучават съответните клонове на математиката, могат да решават своите професионални проблеми повече рационално. На фиг. 5.2 е дадено лингвистичен модел, описващ възможностите за създаване на условия за естествена вентилация в различни варианти на оформление на пекарна.

Други предимства на смислените описания на проблеми включват:

Способността да се опишат всички критерии, които определят ефективността на дизайнерското решение. В същото време е важно в описанието да могат да бъдат въведени сложни понятия и зрителното поле на специалиста, наред с количествените, измерими фактори, ще включва и качествени, неизмерими. Така в момента на вземане на решение ще се използва цялата субективна и обективна информация;

Ориз. 5.2 Описание на съдържанието на критерия "вентилация" под формата на лингвистичен модел

Способността за недвусмислена оценка на степента на постигане на целта в опциите за този критерий въз основа на формулировките, приети от специалисти, което гарантира надеждността на получената информация;

Способността да се вземе предвид несигурността, свързана с непълно познаване на всички последствия от взетите решения, както и прогнозна информация.

Моделите, които използват естествен език, за да опишат обекта на изследване, също включват семантични модели.

Семантичен модел- има такова представяне на обект, което отразява степента на взаимосвързаност (близост) между различните компоненти, аспекти, свойства на обекта. Взаимосвързаността не означава относително пространствено разположение, а връзка по смисъл.

По този начин, в семантичен смисъл, връзката между коефициента на естествена осветеност и светлинната площ на прозрачните огради ще бъде представена като по-тясна от връзката между отворите на прозорците и съседните слепи участъци на стената.

Наборът от връзки на свързване показва какво представлява всеки елемент, избран в обект и обектът като цяло. В същото време семантичният модел отразява, освен степента на свързаност на различните аспекти в даден обект, съдържанието на понятията. Елементарните модели са концепции, изразени на естествен език.

Изграждането на семантични модели се основава на принципите, според които понятията и връзките не се променят през цялото време на използване на модела; съдържанието на едно понятие не се пренася върху друго; връзките между две понятия имат равностойно и неориентирано взаимодействие по отношение на тях.

Всеки анализ на модел има за цел да избере елементи от модела, които имат определено общо качество. Това дава основание за конструиране на алгоритъм, който отчита само директните връзки. При преобразуването на модел в неориентирана графика се намира път между два елемента, който проследява движението от един елемент към друг, използвайки всеки елемент само веднъж. Редът, в който се появяват елементите, се нарича последователност от двата елемента. Последователностите могат да имат различна дължина. Най-кратките от тях се наричат ​​елементни отношения. Поредица от два елемента съществува дори ако има пряка връзка между тях, но в този случай няма връзка.

Като пример за семантичен модел даваме описание на оформлението на апартамент заедно с комуникационните връзки. Концепцията е помещение на апартамент. Пряка връзка означава функционалната връзка на две стаи, например чрез врата (виж таблица 5.1).

Трансформирането на модела под формата на неориентиран граф ни позволява да получим последователност от елементи (фиг. 5.3).

Примери за последователност, образувана между елемент 2 (баня) и елемент 6 (килер) са дадени в табл. 5.2. Както може да се види от таблицата, последователност 3 представлява връзката на тези два елемента.

Таблица 5.1

Описание на разпределението на апартамента

Ориз. 5.3 Описание на плановото решение под формата на неориентирана графика

Математически модели

Математически модел - приблизителен opiзначението на моделиращия обект, изразено с помощта нана математическата символика.

Математическите модели се появиха заедно с математиката преди много векове. Появата на компютрите даде огромен тласък на развитието на математическото моделиране. Използването на компютри направи възможно анализирането и прилагането на практика на много математически модели, които преди това не бяха податливи на аналитични изследвания. Реализирано на компютър математическинебесен моделНаречен компютърен математически модел, А извършване на целеви изчисления с помощта на компютърен моделНаречен изчислителен експеримент.

Етапи на компютърната математикаразделениеса показани на фигурата. Първосцена - определяне на целите на моделирането.Тези цели могат да бъдат различни:

1. модел е необходим, за да се разбере как работи конкретен обект, каква е неговата структура, основните му свойства, законите на развитие и взаимодействие
   с външния свят (разбиране);
2. необходим е модел, за да се научите как да управлявате обект (или процес) и да определите най-добрите методи за управление за дадени цели и критерии (управление);
3. моделът е необходим за прогнозиране на преките и косвените последици от прилагането дадени методии форми на въздействие върху обекта (прогнозиране).

Нека обясним с примери. Нека обектът на изследване е взаимодействието на поток от течност или газ с тяло, което е пречка за този поток. Опитът показва, че силата на съпротивление на потока от страна на тялото нараства с увеличаване на скоростта на потока, но при някаква достатъчно висока скорост тази сила рязко намалява, така че при по-нататъшно увеличаване на скоростта отново се увеличава. Какво е причинило намаляването на съпротивителната сила? Математическото моделиране ни позволява да получим ясен отговор: в момента на рязко намаляване на съпротивлението вихрите, образувани в потока течност или газ зад обтекаемото тяло, започват да се откъсват от него и се отнасят от потока.

Пример от съвсем друга област: популациите на два вида индивиди, които са съжителствали мирно със стабилна численост и са имали общ хранителен запас, „внезапно“ започват рязко да променят числеността си. И тук математическото моделиране позволява (с известна степен на надеждност) да се установи причината (или понеопровергават определена хипотеза).

Разработването на концепция за управление на обект е друга възможна цел на моделирането. Кой режим на полет на самолета трябва да избера, за да гарантирам, че полетът е безопасен и икономически най-изгоден? Как да планирате стотици видове работи по изграждането на голямо съоръжение, така че да бъде завършено възможно най-бързо краткосрочен? Много такива проблеми систематично възникват пред икономисти, дизайнери и учени.

И накрая, прогнозирането на последствията от определени въздействия върху даден обект може да бъде както сравнително прост въпрос в прости физически системи, така и изключително сложен - на ръба на осъществимото - в биологични, икономически и социални системи. Ако е сравнително лесно да се отговори на въпроса за промените в начина на разпределение на топлината в тънък прът поради промени в съставната му сплав, тогава е сравнително лесно да се проследят (предскажат) екологичните и климатичните последици от изграждането на голям прът. водноелектрическа централа или социални последиципромените в данъчното законодателство са несравнимо по-трудни. Може би и тук методите за математическо моделиране ще осигурят по-съществена помощ в бъдеще.

Втора фаза:определяне на входни и изходни параметри на модела; разделяне на входните параметри според степента на важност на влиянието на техните промени върху изхода. Този процес се нарича класиране или разделяне по ранг (вж. „Формализацияция и моделиране").

Трети етап:изграждане на математически модел. На този етап има преход от абстрактна формулировка на модела към формулировка, която има конкретно математическо представяне. Математическият модел е уравнения, системи от уравнения, системи от неравенства, диференциални уравнения или системи от такива уравнения и др.

Четвърти етап:избор на метод за изследване на математически модел. Най-често тук се използват числени методи, които се поддават добре на програмиране. По правило за решаване на един и същ проблем са подходящи няколко метода, които се различават по точност, стабилност и др. Успехът на целия процес на моделиране често зависи от правилния избор на метод.

Пети етап:разработването на алгоритъм, компилирането и отстраняването на грешки в компютърна програма е труден процес за формализиране. Сред езиците за програмиране много професионалисти предпочитат FORTRAN за математическо моделиране: както поради традициите, така и поради ненадминатата ефективност на компилаторите (за изчислителна работа) и наличието на огромни, внимателно дебъгвани и оптимизирани библиотеки от стандартни програми за математически методи, написани в него . Езици като PASCAL, BASIC, C също се използват в зависимост от естеството на задачата и наклонностите на програмиста.

Шести етап:тестване на програмата. Работата на програмата се тества върху тестова задача с предварително известен отговор. Това е само началото на процедура за тестване, която е трудно да се опише по изчерпателен начин. Тестването обикновено приключва, когато потребителят по свой собствен начин професионални характеристикинамира програмата за правилна.

Седми етап:действителният изчислителен експеримент, по време на който се определя дали моделът съответства на реален обект (процес). Моделът е достатъчно адекватен на реалния процес, ако някои характеристики на процеса, получени на компютър, съвпадат с експериментално получените характеристики с определена степен на точност. Ако моделът не отговаря на реалния процес, се връщаме към един от предишните етапи.

Класификация на математическите модели

Класификацията на математическите модели може да се основава на различни принципи. Можете да класифицирате моделите по клонове на науката (математически модели във физиката, биологията, социологията и др.). Могат да бъдат класифицирани според използвания математически апарат (модели, базирани на използването на обикновени диференциални уравнения, частични диференциални уравнения, стохастични методи, дискретни алгебрични трансформации и др.). И накрая, въз основа на общи задачимоделиране в различни науки, независимо от математическия апарат, най-естествената класификация е:

• дескриптивни (дескриптивни) модели;
• оптимизационни модели;
• многокритериални модели;
• игрални модели.

Нека обясним това с примери.

Дескриптивни (дескриптивни) модели. Например, моделиране на движението на нахлуваща комета слънчева система, се прави с цел прогнозиране на траекторията му на полета, разстоянието, на което ще премине от Земята и др. В този случай целите на моделирането са описателни по природа, тъй като няма начин да се повлияе на движението на кометата или да се промени нещо в нея.

Оптимизационни моделисе използват за описание на процеси, които могат да бъдат повлияни в опит да се постигне дадена цел. В този случай моделът включва един или повече параметри, които могат да бъдат повлияни. Например, когато променяте топлинния режим в зърнохранилище, можете да си поставите за цел да изберете режим, който ще постигне максимална безопасност на зърното, т.е. оптимизиране на процеса на съхранение.

Многокритериални модели. Често се налага един процес да се оптимизира по няколко параметъра едновременно, а целите могат да бъдат доста противоречиви. Например, знаейки цените на храните и нуждата на човек от храна, трябва да организирате хранене големи групихора (в армията, детски летен лагер и т.н.) е физиологично правилно и в същото време възможно най-евтино. Ясно е, че тези цели изобщо не съвпадат, т.е. При моделирането ще се използват няколко критерия, между които трябва да се търси баланс.

Игрови моделиможе да се отнася не само до компютърни игри, но и до много сериозни неща. Например, преди битка командирът, ако има непълна информация за противниковата армия, трябва да разработи план: в какъв ред да въведе определени части в битка и т.н., като вземе предвид възможната реакция на противника. Има специален клон на съвременната математика - теория на игрите - който изучава методите за вземане на решения в условия на непълна информация.

В училищния курс по компютърни науки учениците получават първоначално разбиране за компютърно математическо моделиране като част от основния курс. В гимназията математическото моделиране може да се изучава задълбочено в общообразователния курс за часовете по физика и математика, както и като част от специализирана избираема дисциплина.

Основните форми на обучение по компютърно математическо моделиране в гимназията са лекции, лабораторни упражнения и контролни упражнения. Обикновено работата по създаването и подготовката за изучаване на всеки нов модел отнема 3-4 урока. По време на представянето на материала се поставят проблеми, които трябва да бъдат решени от учениците самостоятелно в бъдеще. общ контурса очертани начините за тяхното решаване. Формулират се въпроси, отговорите на които трябва да бъдат получени при изпълнение на задачите. Посочено допълнителна литература, което ви позволява да получите помощна информация за по-успешно изпълнение на задачите.

Формата на организация на часовете при изучаване на нов материал обикновено е лекция. След приключване на обсъждането на следващия модел студентиимат на разположение необходимата теоретична информация и набор от задачи за по-нататъшна работа. При подготовката за изпълнение на задача студентите избират подходящ метод за решение и тестват разработената програма, като използват известно частно решение. В случай на напълно възможни затруднения при изпълнение на задачи се дава консултация и се предлага по-подробно проучване на тези раздели в литературни източници.

Най-подходящ за практическата част от обучението по компютърно моделиране е методът на проектите. Задачата е формулирана за ученика под формата на образователен проект и се изпълнява в няколко урока, като основната организационна форма е компютърна лабораторни работи. Обучението по моделиране по метода на образователния проект може да се реализира на различни нива. Първият е проблемно представяне на процеса на изпълнение на проекта, който се ръководи от учителя. Вторият е изпълнението на проекта от ученици под ръководството на учител. Третият е студентите да завършат самостоятелно образователен изследователски проект.

Резултатите от работата трябва да бъдат представени в цифров вид, под формата на графики и диаграми. Ако е възможно, процесът се представя на екрана на компютъра в динамика. След приключване на изчисленията и получаване на резултатите, те се анализират, съпоставят с известни факти от теорията, потвърждава се достоверността и се извършва съдържателна интерпретация, която впоследствие се отразява в писмен доклад.

Ако резултатите удовлетворяват ученика и учителя, тогава работата броизавършен, като последният му етап е изготвяне на доклад. Докладът включва кратка теоретична информация по изучаваната тема, математическа формулировка на проблема, алгоритъм за решение и неговата обосновка, компютърна програма, резултати от програмата, анализ на резултатите и изводи, списък с литература.

Когато всички доклади са съставени, учениците представят своите кратки съобщенияза свършената работа, защитават своя проект. Това е ефективна форма на доклад от групата, изпълняваща проекта, пред класа, включително поставяне на проблема, изграждане на формален модел, избор на методи за работа с модела, внедряване на модела на компютър, работа с готовия модел, интерпретация резултатите и правенето на прогнози. В резултат на това студентите могат да получат две оценки: първата - за разработването на проекта и успеха на защитата му, втората - за програмата, оптималността на нейния алгоритъм, интерфейс и др. Учениците получават оценки и по време на теоретични тестове.

Съществен въпрос- какви инструменти трябва да се използват в училищен курс по информатика за математическо моделиране? Компютърното внедряване на модели може да се извърши:

• използване на процесор за електронни таблици (обикновено MS Excel);
• чрез създаване на програми на традиционни езици за програмиране (Pascal, BASIC и др.), както и в техните съвременни версии (Delphi, Visual
  Основен за приложение и др.);
• използване на специални пакети от приложения за решаване на математически задачи (MathCAD и др.).

На ниво основно училище първият метод изглежда по-предпочитан. Въпреки това, в гимназията, когато програмирането, заедно с моделирането, е ключова тема в компютърните науки, препоръчително е то да се използва като инструмент за моделиране. По време на процеса на програмиране подробности за математическите процедури стават достъпни за учениците; Освен това те просто са принудени да ги овладеят и това също допринася за математическото образование. Що се отнася до използването на специални софтуерни пакети, това е подходящо в специализиран курс по компютърни науки като допълнение към други инструменти.

Упражнение :

• Направете диаграма на ключови понятия.

За да изградите математически модел, трябва:

1. внимателно анализирайте реален обект или процес;
2. подчертават най-съществените му характеристики и свойства;
3. дефинирайте променливи, т.е. параметри, чиито стойности влияят върху основните характеристики и свойства на обекта;
4. описват зависимостта на основните свойства на обект, процес или система от стойностите на променливите, използвайки логико-математически връзки (уравнения, равенства, неравенства, логико-математически конструкции);
5. подчертават вътрешните връзки на обект, процес или система с помощта на ограничения, уравнения, равенства, неравенства, логически и математически конструкции;
6. дефинирам външни отношенияи ги описва с помощта на ограничения, уравнения, равенства, неравенства, логически и математически конструкции.

Математическото моделиране, в допълнение към изучаването на обект, процес или система и изготвянето на математическото му описание, също включва:

1. изграждане на алгоритъм, който моделира поведението на обект, процес или система;
2. проверка на адекватността на модела и обекта, процеса или системата въз основа на изчислителни и пълномащабни експерименти;
3. настройка на модела;
4. използване на модела.

Математическото описание на изследваните процеси и системи зависи от:

1. естеството на реален процес или система и се съставя въз основа на законите на физиката, химията, механиката, термодинамиката, хидродинамиката, електротехниката, теорията на пластичността, теорията на еластичността и др.
2. необходимата надеждност и точност на изследването и изследването на реални процеси и системи.

Изграждането на математически модел обикновено започва с изграждането и анализа на най-простия, груб математически модел на разглеждания обект, процес или система. В бъдеще, ако е необходимо, моделът се усъвършенства и съответствието му с обекта се прави по-пълно.

Да вземем един прост пример. Необходимо е да се определи площта на бюрото. Обикновено това се прави чрез измерване на неговата дължина и ширина и след това умножаване на получените числа. Тази елементарна процедура всъщност означава следното: реален обект (повърхност на маса) се заменя с абстрактен математически модел - правоъгълник. Размерите, получени чрез измерване на дължината и ширината на повърхността на масата, се присвояват на правоъгълника, а площта на такъв правоъгълник приблизително се приема за необходимата площ на масата. Въпреки това, правоъгълният модел за бюро е най-простият, най-груб модел. Ако подходите по-сериозно към проблема, преди да използвате правоъгълен модел за определяне на площта на масата, този модел трябва да бъде проверен. Проверките могат да се извършват по следния начин: измерете дължините на противоположните страни на масата, както и дължините на нейните диагонали и ги сравнете една с друга. Ако с необходимата степен на точност дължините на противоположните страни и дължините на диагоналите са равни по двойки, тогава повърхността на масата наистина може да се разглежда като правоъгълник. В противен случай правоъгълният модел ще трябва да бъде отхвърлен и заменен с четириъгълен модел общ изглед. При по-високи изисквания за точност може да се наложи моделът да се прецизира още повече, например да се вземе предвид закръгляването на ъглите на масата.

С помощта на това прост примербеше показано, че математическият модел не се определя еднозначно от обекта, процеса или система.

ИЛИ (ще бъде уточнено утре)

Начини за решаване на математика. Модели:

1, Изграждане на модел въз основа на законите на природата (аналитичен метод)

2. Формалният начин с използване на статистически методи. Обработка и резултати от измерване (статистически подход)

3. Изграждане на модел на базата на модел на елементи (сложни системи)

1, Аналитичен - използване с достатъчно проучване. Общата схема е известна. Модели.

2. експериментирам. При липса на информация.

3. Имитация м. - изследва свойствата на обекта. В общи линии.

Пример за конструиране на математически модел.

Математически моделе математическо представяне на реалността.

Математическо моделиранее процес на конструиране и изучаване на математически модели.

Всички природни и социални науки, които използват математиката, по същество се занимават с математическо моделиране: те заменят обект с неговия математически модел и след това изучават последния. Връзката между математическия модел и реалността се осъществява с помощта на верига от хипотези, идеализации и опростявания. Използвайки математически методи, като правило се описва идеален обект, конструиран на етапа на смислено моделиране.

Защо са необходими модели?

Много често при изучаването на всеки обект възникват трудности. Самият оригинал понякога не е наличен, или използването му не е препоръчително, или привличането на оригинала е скъпо. Всички тези проблеми могат да бъдат решени чрез симулация. В известен смисъл моделът може да замести обекта на изследване.

Най-простите примери за модели

§ Снимката може да се нарече модел на човек. За да разпознаете човек, достатъчно е да видите неговата снимка.

§ Архитектът създава модел на нов ж.к. Той може да премести висока сграда от една част в друга с движение на ръката си. В действителност това не би било възможно.

Видове модели

Моделите могат да бъдат разделени на материал"И перфектен. горните примери са материални модели. Идеалните модели често имат емблематични форми. Реалните понятия се заменят с някакви знаци, които лесно могат да бъдат записани на хартия, в паметта на компютъра и т.н.

Математическо моделиране

Математическото моделиране принадлежи към класа на символното моделиране. Освен това моделите могат да бъдат създадени от всякакви математически обекти: числа, функции, уравнения и др.

Изграждане на математически модел

§ Могат да се отбележат няколко етапа на конструиране на математически модел:

1. Разбиране на проблема, идентифициране на най-важните за нас качества, свойства, количества и параметри.

2. Въвеждане на нотация.

3. Изготвяне на система от ограничения, на които трябва да отговарят въведените стойности.

4. Формулиране и записване на условия, на които трябва да отговаря желаното оптимално решение.

Процесът на моделиране не завършва със създаването на модел, а само започва с него. След като съставят модел, те избират метод за намиране на отговора и решаване на проблема. след като се намери отговорът, той се сравнява с реалността. И е възможно отговорът да не е задоволителен, в който случай моделът се модифицира или дори се избира съвсем различен модел.

Пример за математически модел

Задача

Производственото обединение, което включва две мебелни фабрики, има нужда от обновяване на машинния си парк. Освен това първата мебелна фабрика трябва да подмени три машини, а втората - седем. Поръчки могат да се правят в два завода за металорежещи машини. Първият завод може да произведе не повече от 6 машини, а вторият завод ще приеме поръчка, ако има поне три от тях. Трябва да определите как да правите поръчки.

Според учебника на Советов и Яковлев: „моделът (лат. modulus - мярка) е заместващ обект на оригиналния обект, който осигурява изучаването на някои свойства на оригинала“. (стр. 6) „Замяната на един обект с друг, за да се получи информация за най-важните свойства на оригиналния обект с помощта на обект модел, се нарича моделиране.“ (стр. 6) „Под математическо моделиране ние разбираме процеса на установяване на съответствие на даден реален обект с определен математически обект, наречен математически модел, и изследването на този модел, което ни позволява да получим характеристиките на реалния разглеждан обект. Видът на математическия модел зависи както от естеството на реалния обект, така и от задачите за изучаване на обекта и необходимата надеждност и точност на решаването на този проблем.

И накрая, най-краткото определение на математически модел: „Уравнение, изразяващо идея».

Класификация на модела

Формална класификация на моделите

Формалната класификация на моделите се основава на класификацията на използваните математически инструменти. Често се изграждат под формата на дихотомии. Например, един от популярните набори от дихотомии:

и така нататък. Всеки конструиран модел е линеен или нелинеен, детерминистичен или стохастичен,... Естествено, смесени типове: в едно отношение концентрирани (по параметри), в друго - разпределени модели и т.н.

Класификация според начина на представяне на обекта

Наред с формалната класификация, моделите се различават по начина, по който представят даден обект:

• Структурни или функционални модели

Структурни моделипредставляват обект като система със собствена структура и механизъм на функциониране. Функционални моделине използвайте такива представяния и отразявайте само външно възприеманото поведение (функциониране) на обекта. В екстремния си израз те се наричат ​​още модели „черна кутия”. Възможни са и комбинирани видове модели, които понякога се наричат ​​„ сива кутия».

Съдържателни и формални модели

Почти всички автори, описващи процеса на математическо моделиране, посочват, че първо се изгражда специална идеална структура, модел на съдържание. Тук няма установена терминология и други автори наричат ​​това идеален обект концептуален модел , спекулативен моделили предмодел. В този случай се извиква крайната математическа конструкция формален моделили просто математически модел, получен в резултат на формализирането на даден смислен модел (предмодел). Изграждането на смислен модел може да се извърши с помощта на набор от готови идеализации, както в механиката, където идеалните пружини твърди вещества, идеални махала, еластични среди и т.н. предоставят готови структурни елементи за смислено моделиране. Въпреки това, в области на знанието, където няма напълно завършени формализирани теории (най-новото във физиката, биологията, икономиката, социологията, психологията и повечето други области), създаването на смислени модели става драматично по-трудно.

Съдържателна класификация на моделите

Нито една хипотеза в науката не може да бъде доказана веднъж завинаги. Ричард Файнман формулира това много ясно:

„Винаги имаме възможност да опровергаем една теория, но имайте предвид, че никога не можем да докажем, че тя е вярна. Да предположим, че сте изложили успешна хипотеза, изчислили сте накъде води тя и сте установили, че всички нейни последствия са потвърдени експериментално. Това означава ли, че теорията ви е вярна? Не, това просто означава, че не сте успели да го опровергаете.

Ако се изгради модел от първия тип, това означава, че той временно се приема за истина и човек може да се концентрира върху други проблеми. Това обаче не може да бъде точка в изследването, а само временна пауза: статусът на модел от първия тип може да бъде само временен.

Тип 2: Феноменологичен модел (ние се държим сякаш…)

Феноменологичният модел съдържа механизъм за описание на феномен. Този механизъм обаче не е достатъчно убедителен, не може да бъде достатъчно потвърден от наличните данни или не се вписва добре в съществуващите теории и натрупаните знания за обекта. Следователно феноменологичните модели имат статут на временни решения. Смята се, че отговорът все още е неизвестен и търсенето на „истинските механизми“ трябва да продължи. Пайърлс включва например калоричния модел и кварковия модел на елементарните частици като втори тип.

Ролята на модела в изследването може да се промени с течение на времето и може да се случи нови данни и теории да потвърдят феноменологичните модели и те да бъдат издигнати до статуса на хипотеза. По същия начин новите знания могат постепенно да влязат в конфликт с модели-хипотези от първия тип и те могат да бъдат преведени във втория. Така кварковият модел постепенно преминава в категорията на хипотезите; атомизмът във физиката възниква като временно решение, но с хода на историята става първият тип. Но етерните модели са си проправили път от тип 1 към тип 2 и сега са извън науката.

Идеята за опростяване е много популярна при изграждането на модели. Но опростяването идва под различни форми. Peierls идентифицира три вида опростявания в моделирането.

Тип 3: Приближение (считаме нещо много голямо или много малко)

Ако е възможно да се съставят уравнения, които описват изследваната система, това не означава, че те могат да бъдат решени дори с помощта на компютър. Често срещана техника в този случай е използването на приближения (модели тип 3). Между тях модели на линейна реакция. Уравненията се заменят с линейни. Стандартен пример е законът на Ом.

Тук идва тип 8, който е широко разпространен в математическите модели на биологични системи.

Тип 8: Демонстрация на функции (основното е да се покаже вътрешната последователност на възможността)

Това също са мисловни експериментис въображаеми същности, демонстриращи това предполагаемо явлениев съответствие с основните принципи и вътрешно последователно. Това е основната разлика от моделите от тип 7, които разкриват скрити противоречия.

Един от най-известните от тези експерименти е геометрията на Лобачевски (Лобачевски я нарича „въображаема геометрия“). Друг пример е масовото производство на формално кинетични модели на химически и биологични вибрации, автовълни и т.н. Парадоксът на Айнщайн-Подолски-Розен е замислен като модел от тип 7, за да демонстрира непоследователността на квантовата механика. По напълно непланиран начин в крайна сметка се превърна в модел от тип 8 - демонстрация на възможността за квантово телепортиране на информация.

Пример

Помислете за механична система, състояща се от пружина, фиксирана в единия край, и маса от маса, прикрепена към свободния край на пружината. Ще приемем, че товарът може да се движи само по посока на оста на пружината (например движението се извършва по пръта). Нека изградим математически модел на тази система. Ще опишем състоянието на системата чрез разстоянието от центъра на товара до неговото равновесно положение. Нека опишем взаимодействието на пружината и използваното натоварване Закон на Хук() и след това използвайте втория закон на Нютон, за да го изразите под формата на диференциално уравнение:

където означава втората производна на по отношение на времето: .

Полученото уравнение описва математическия модел на разглежданата физическа система. Този модел се нарича "хармоничен осцилатор".

Според формалната класификация този модел е линеен, детерминиран, динамичен, концентриран, непрекъснат. В процеса на изграждането му направихме много предположения (за липсата на външни сили, липсата на триене, малките отклонения и т.н.), които в действителност може да не са изпълнени.

По отношение на реалността най-често това е модел тип 4 опростяване(„ще пропуснем някои подробности за яснота“), тъй като някои основни универсални характеристики (например разсейване) са пропуснати. До известно приближение (да речем, докато отклонението на товара от равновесието е малко, с ниско триене, за не много време и при определени други условия), такъв модел описва реална механична система доста добре, тъй като отхвърлените фактори имат незначителен ефект върху поведението му. Моделът обаче може да бъде прецизиран, като се вземат предвид някои от тези фактори. Това ще доведе до нов модел, с по-широк (макар и отново ограничен) обхват на приложимост.

Въпреки това, при прецизиране на модела, сложността на неговото математическо изследване може да се увеличи значително и да направи модела практически безполезен. Често по-простият модел позволява по-добро и по-задълбочено изследване на реална система от по-сложния (и формално „по-правилен“).

Ако приложим модела на хармоничния осцилатор към обекти, далеч от физиката, неговият съществен статус може да бъде различен. Например, когато се прилага този модел към биологични популации, той най-вероятно трябва да бъде класифициран като тип 6 аналогия(„нека вземем предвид само някои характеристики“).

Твърди и меки модели

Хармоничният осцилатор е пример за така наречения „твърд“ модел. Получава се в резултат на силна идеализация на реална физическа система. За да разрешим въпроса за неговата приложимост, е необходимо да разберем колко значими са факторите, които сме пренебрегнали. С други думи, необходимо е да се изследва „мекият“ модел, който се получава чрез малко смущение на „твърдия“. Тя може да бъде дадена например чрез следното уравнение:

Ето някаква функция, която може да вземе предвид силата на триене или зависимостта на коефициента на твърдост на пружината от степента на нейното разтягане - някакъв малък параметър. В момента не се интересуваме от явната форма на функцията. Ако докажем, че поведението на мекия модел не се различава фундаментално от поведението на твърдия (независимо от изричния тип смущаващи фактори, ако те са достатъчно малки), проблемът ще бъде намален до изучаване на твърдия модел. В противен случай прилагането на резултатите, получени от изследването на твърдия модел, ще изисква допълнителни изследвания. Например, решението на уравнението на хармоничен осцилатор е функции от формата , тоест трептения с постоянна амплитуда. Следва ли от това, че реалният осцилатор ще трепти неограничено с постоянна амплитуда? Не, защото разглеждайки система с произволно малко триене (винаги присъстващо в реална система), получаваме затихнали трептения. Поведението на системата се промени качествено.

Ако една система поддържа своето качествено поведение при малки смущения, се казва, че е структурно стабилна. Хармоничният осцилатор е пример за структурно нестабилна (негруба) система. Този модел обаче може да се използва за изследване на процеси за ограничени периоди от време.

Универсалност на моделите

Най-важните математически модели обикновено имат важна собственост многофункционалност: Фундаментално различни реални явления могат да бъдат описани с един и същ математически модел. Например, хармоничният осцилатор описва не само поведението на натоварване върху пружина, но и други колебателни процеси, често от съвсем различно естество: малки колебания на махало, колебания в нивото на течност в съд с форма на А , или промяна в силата на тока в осцилаторна верига. Така, изучавайки един математически модел, ние веднага изучаваме цял клас явления, описани от него. Това е този изоморфизъм на законите, изразени чрез математически модели в различни сегменти научно познание, вдъхновение за Лудвиг фон Берталанфи да създаде „Общата теория на системите“.

Преки и обратни задачи на математическото моделиране

Има много проблеми, свързани с математическото моделиране. Първо, трябва да излезете с основна диаграма на моделирания обект, да го възпроизведете в рамките на идеализациите на тази наука. Така вагонът се превръща в система от плочи и по-сложни тела от различни материали, като всеки материал се определя като негова стандартна механична идеализация (плътност, модули на еластичност, стандартни якостни характеристики), след което се съставят уравнения и по пътя някои детайли се отхвърлят като маловажни, правят се изчисления, сравняват се с измервания, моделът се прецизира и т.н. Въпреки това, за да се разработят технологии за математическо моделиране, е полезно този процес да се раздели на основните му компоненти.

Традиционно има два основни класа проблеми, свързани с математически модели: директни и обратни.

Директна задача: структурата на модела и всички негови параметри се считат за известни, основната задача е да се проведе изследване на модела, за да се извлекат полезни знания за обекта. Какво статично натоварване ще издържи мостът? Как ще реагира на динамично натоварване (например на марш на рота войници или на преминаване на влак с различни скорости), как самолетът ще преодолее звуковата бариера, дали ще се разпадне от трептене - това са типични примери за директен проблем. Задаването на правилния пряк проблем (задаването на правилния въпрос) изисква специално умение. Ако не се задават правилните въпроси, един мост може да се срути, дори ако е изграден добър модел за неговото поведение. И така, през 1879 г. във Великобритания се срути метален мост през река Тей, чиито дизайнери построиха модел на моста, изчислиха, че има 20-кратен коефициент на безопасност за действието на полезния товар, но забравиха за ветровете постоянно духа на тези места. И след година и половина рухна.

В най-простия случай (например уравнение на един осцилатор) директният проблем е много прост и се свежда до явно решение на това уравнение.

Обратна задача: известни са много възможни модели, трябва да се избере конкретен модел въз основа на допълнителни данни за обекта. Най-често структурата на модела е известна и трябва да се определят някои неизвестни параметри. Допълнителната информация може да се състои от допълнителни емпирични данни или изисквания към обекта ( проблем с дизайна). Допълнителни данни могат да пристигнат независимо от процеса на решаване на обратната задача ( пасивно наблюдение) или да бъде резултат от експеримент, специално планиран по време на решението ( активно наблюдение).

Един от първите примери за майсторско решение на обратна задача с най-пълното използване на наличните данни беше методът, конструиран от И. Нютон за възстановяване на силите на триене от наблюдаваните затихнали трептения.

Друг пример е математическата статистика. Задачата на тази наука е да разработи методи за записване, описание и анализ на данни от наблюдения и експерименти с цел изграждане на вероятностни модели на масови случайни явления. Тези. наборът от възможни модели е ограничен до вероятностни модели. При конкретни задачи наборът от модели е по-ограничен.

Системи за компютърна симулация

За подпомагане на математическото моделиране са разработени системи за компютърна математика, например Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др. Те ви позволяват да създавате формални и блокови модели на прости и сложни процеси и устройства и лесно да променяте параметрите на модела по време на моделиране. Блокови моделиса представени от блокове (най-често графични), чийто набор и връзка се уточняват от схемата на модела.

Допълнителни примери

Моделът на Малтус

Темпът на растеж е пропорционален на текущия размер на населението. Описва се с диференциалното уравнение

където е определен параметър, определен от разликата между раждаемостта и смъртността. Решението на това уравнение е експоненциална функция. Ако раждаемостта надвишава смъртността (), размерът на населението се увеличава неограничено и много бързо. Ясно е, че реално това няма как да се случи поради ограничен ресурс. Когато се достигне определен критичен размер на популацията, моделът престава да бъде адекватен, тъй като не отчита ограничените ресурси. Усъвършенстване на модела на Малтус може да бъде логистичен модел, който се описва от диференциалното уравнение на Верхулст

където е „равновесният” размер на населението, при който раждаемостта точно се компенсира от смъртността. Размерът на популацията в такъв модел клони към равновесна стойност и това поведение е структурно стабилно.

Система хищник-жертва

Да кажем, че в даден район живеят два вида животни: зайци (ядат растения) и лисици (ядат зайци). Нека броят на зайците, броят на лисиците. Използвайки модела на Малтус с необходимите изменения, за да вземем предвид изяждането на зайци от лисици, стигаме до следната система, наречена модели Тави - Volterra:

Тази система има равновесно състояние, когато броят на зайците и лисиците е постоянен. Отклонението от това състояние води до флуктуации в броя на зайците и лисиците, подобни на флуктуациите на хармоничен осцилатор. Както при хармоничния осцилатор, това поведение не е структурно стабилно: малка промяна в модела (например, като се вземат предвид ограничените ресурси, необходими на зайците) може да доведе до качествена промяна в поведението. Например, равновесното състояние може да стане стабилно и колебанията в числата ще изчезнат. Възможна е и обратната ситуация, когато всяко малко отклонение от равновесното положение ще доведе до катастрофални последици, до пълното изчезване на един от видовете. Моделът Volterra-Lotka не отговаря на въпроса кой от тези сценарии се реализира: тук са необходими допълнителни изследвания.

Бележки

1. „Математическо представяне на реалността“ (Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б., По философските въпроси на кибернетичното моделиране. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарски А. А., Михайлов А. П.Математическо моделиране. Идеи. Методи. Примери. - 2-ро изд., рев. - М.: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Севостьянов, А.Г. Моделиране на технологични процеси: учебник / A.G. Севостьянов, П.А. Севостьянов. – М.: Лека и хранителна промишленост, 1984. – 344 с.
7. Уикиречник: математически модел
8. CliffsNotes.com. Речник на науката за Земята. 20 септември 2010 г
9. Подходи за намаляване на модела и грубо зърно за многомащабни явления, Springer, серия Complexity, Берлин-Хайделберг-Ню Йорк, 2006. XII+562 стр. ISBN 3-540-35885-4
10. „Една теория се счита за линейна или нелинейна в зависимост от вида на математическия апарат – линеен или нелинеен – и какъв вид линейни или нелинейни математически модели използва. ...без да отричам последното. Един съвременен физик, ако трябваше да пресъздаде дефиницията на толкова важна същност като нелинейността, най-вероятно би постъпил по различен начин и, давайки предпочитание на нелинейността като по-важната и широко разпространена от двете противоположности, би определил линейността като „не нелинейност." Данилов Ю. А., Лекции по нелинейна динамика. Елементарно въведение. Серия „Синергетика: от миналото към бъдещето“. издание 2. - М.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
11. « Динамични системи, моделирани чрез краен брой обикновени диференциални уравнения, се наричат ​​концентрирани или точкови системи. Те се описват с помощта на крайномерно фазово пространство и се характеризират с краен брой степени на свобода. Една и съща система при различни условия може да се счита за концентрирана или разпределена. Математически модели на разпределени системи са частични диференциални уравнения, интегрални уравнения или обикновени уравнения със закъснение. Броят на степените на свобода на една разпределена система е безкраен и са необходими безкраен брой данни, за да се определи нейното състояние. Анищенко В. С., Динамични системи, Сорос образователен журнал, 1997, № 11, стр. 77-84.
12. „В зависимост от характера на процесите, които се изучават в системата S, всички видове моделиране могат да бъдат разделени на детерминистично и стохастично, статично и динамично, дискретно, непрекъснато и дискретно-непрекъснато. Детерминистичното моделиране отразява детерминистични процеси, т.е. процеси, при които се предполага липсата на всякакви случайни влияния; стохастичното моделиране изобразява вероятностни процеси и събития. ... Статичното моделиране служи за описване на поведението на обект във всеки момент от времето, а динамичното моделиране отразява поведението на обект във времето. Дискретното моделиране се използва за описание на процеси, които се предполага, че са дискретни, съответно непрекъснатото моделиране ни позволява да отразяваме непрекъснати процеси в системите, а дискретно-непрекъснатото моделиране се използва за случаите, когато искат да подчертаят наличието както на дискретни, така и на непрекъснати процеси. ” Советов Б. Я., Яковлев С. А. ISBN 5-06-003860-2
13. Обикновено математическият модел отразява структурата (устройството) на моделирания обект, свойствата и връзките на компонентите на този обект, които са от съществено значение за целите на изследването; такъв модел се нарича структурен. Ако моделът отразява само как функционира обектът - например как реагира на външни въздействия - тогава той се нарича функционален или преносно черна кутия. Възможни са и комбинирани модели. Мишкис А. Д. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Очевидният, но най-важен начален етап от конструирането или избора на математически модел е получаването на възможно най-ясна картина за обекта, който се моделира, и усъвършенстването на неговия смислен модел въз основа на неформални дискусии. На този етап не трябва да пестите време и усилия, от това до голяма степен зависи успехът на цялото проучване. Неведнъж се е случвало значителна работа, изразходвана за решаване на математически проблем, да се окаже неефективна или дори напразно изразходвана поради недостатъчно внимание към тази страна на въпроса. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4, стр. 35.
15. « Описание на концептуалния модел на системата.На този подетап на изграждане на системен модел: а) концептуалният модел М се описва с абстрактни термини и концепции; б) дадено е описание на модела с помощта на стандартни математически схеми; в) хипотезите и предположенията се приемат окончателно; г) изборът на процедура за приближаване на реални процеси при конструиране на модел е обоснован. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2, стр. 93.
16. Блехман И. И., Мишкис А. Д., Пановко Н. Г., Приложна математика: Предмет, логика, особености на подходите. С примери от механиката: Урок. - 3-то издание, рев. и допълнителни - М.: URSS, 2006. - 376 с. ISBN 5-484-00163-3, Глава 2.

Видове математически модели

В зависимост от това с какви средства, при какви условия и по отношение на какви обекти на познание се реализира способността на моделите да отразяват действителността, възниква тяхното голямо разнообразие, а с това и класификации. Чрез обобщаване на съществуващите класификации ще идентифицираме основни модели въз основа на използвания математически апарат, въз основа на който се разработват специални модели (Фигура 8.1).

Фигура 8.1 - Формална класификация на моделите

Математическите модели показват изследваните обекти (процеси, системи) под формата на ясни функционални връзки: алгебрични равенства и неравенства, интегрални и диференциални, крайни разлики и др. математически изрази(закон за разпределение на случайна величина, регресионни модели и др.), както и отношения на математическата логика.

В зависимост от две фундаментални характеристикиконструиране на математически модел - вид описание на причинно-следствените връзки и техните промени във времето - разграничават детерминистични и стохастични, статични и динамични модели (Фигура 8.2).

Целта на диаграмата, представена на фигурата, е да покаже следните характеристики:

1) математическите модели могат да бъдат както детерминистични, така и стохастични;

2) детерминистичните и стохастичните модели могат да бъдат както статични, така и динамични.

Математическият модел се нарича детерминистичен (детерминиран), ако всички негови параметри и променливи са еднозначно определени величини и също така е изпълнено условието за пълна сигурност на информацията. В противен случай, при условия на информационна несигурност, когато параметрите и променливите на модела са случайни величини, моделът се нарича стохастичен (вероятностен).

Фигура 8.2 – Класове математически модели

Моделът се нарича динамичен, ако поне една променлива се променя през периоди от време, и статичен, ако се приеме хипотезата, че променливите не се променят през периодите от време.

В най-простия случай балансови модели действа под формата на уравнение на баланса, където от лявата страна е сумата на всички приходи, а отдясно е разходната част, също под формата на сума. Така например се представя годишният бюджет на една организация.

Въз основа на статистически данни могат да се изградят не само балансови модели, но и корелационни и регресионни модели.

Ако функцията Y зависи не само от променливите x 1, x 2, ... x n, но и от други фактори, връзката между Y и x 1, x 2, ... x n е неточна или корелационна, за разлика от точната или функционална връзка. Корелация, например, в повечето случаи са връзките, наблюдавани между изходните параметри на OPS и факторите на нейните вътрешни и външна среда(вижте тема 5).

Корелационно-регресионни моделисе получават чрез изследване на влиянието на цял комплекс от фактори върху стойността на дадена характеристика чрез използване на статистически апарат. В този случай задачата е не само да се установи корелационна връзка, но и да се изрази тази връзка аналитично, тоест да се изберат уравнения, които описват тази корелационна зависимост (регресионно уравнение).

Да намеря числова стойностЗа параметрите на регресионното уравнение се използва методът на най-малките квадрати. Същността на този метод е да се избере такава линия, че сумата от квадратите на отклоненията на Y ординатите на отделните точки от нея да бъде най-малка.

Корелационно-регресионните модели често се използват при изследване на явления, когато има нужда да се установи връзка между релевантни характеристики в две или повече серии. В този случай се използва главно сдвоена и множествена линейна регресия на формата

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.

В резултат на прилагането на метода на най-малките квадрати се установяват стойностите на параметрите a или a 1 , a 2 , ..., a n и b, а след това точността на приближението и значимостта на полученото регресионно уравнение се оценяват.

Отделя се специална група графично-аналитични модели . Те използват различни графични изображенияи следователно имат добра видимост.

Теорията на графите е една от теориите на дискретната математика, която изучава графики, които се разбират като набор от точки и линии, които ги свързват. Графикът е независим математически обект (въведен за първи път от Д. Кьониг). Дървовидните и мрежовите модели най-често се изграждат на основата на теорията на графите.

Дървовидният модел (дърво) е неориентиран свързан граф, който не съдържа цикли или цикли. Пример за такъв модел е дървото на целите.

Мрежовите модели са намерили широко приложение в управлението на работата. Мрежовите модели (графики) отразяват последователността на работа и продължителността на всяка работа (Фигура 8.3).

Фигура 8.3 - Мрежов модел на производство на работа

Всеки ред от мрежовата диаграма е някаква работа. Числото до него показва продължителността на неговото изпълнение.

Мрежовите модели позволяват да се намери така нареченият критичен път и да се оптимизира работният график във времето с ограничения за други ресурси.

Мрежовите модели могат да бъдат детерминистични или стохастични. В последния случай продължителността на работата се определя от законите за разпределение на случайните величини.

Оптимизационни моделислужат за определяне на оптималната траектория на системата за постигане на целта си, като същевременно налагат определени ограничения върху контрола на нейното поведение и движение. В този случай оптимизационните модели описват различни видовепроблемът за намиране на екстремума на някаква целева функция (критерий за оптимизация).

Да идентифицирам по най-добрия начинЗа постигане на целите на управлението в условия на ограничени ресурси - технически, материални, трудови и финансови - се използват методи за изследване на операциите. Те включват методи на математическото програмиране (линейно и нелинейно, целочислено, динамично и стохастично програмиране), аналитични и вероятностно-статистически методи, мрежови методи, методи на теорията на масовото обслужване, теория на игрите (теория на конфликтните ситуации) и др.

Оптимизационните модели се използват за планиране на обема и графика, управление на запасите, разпределение на ресурси и работа, подмяна, параметризиране и стандартизиране на оборудването, разпределение на потоците от стокови доставки по транспортната мрежа и други управленски задачи.

Едно от основните постижения на теорията за изследване на операциите е типизирането на моделите на управление и методите за решаване на проблеми. Например за решаване на транспортна задача в зависимост от нейната размерност са разработени стандартни методи – методът на Фогел, потенциалният метод, симплексният метод. Също така при решаването на проблема с управлението на запасите, в зависимост от неговата формулировка, могат да се използват аналитични и вероятностно-статистически методи, методи на динамично и стохастично програмиране.

В управлението особено значение се отдава на методите за мрежово планиране. Тези методи позволиха да се намери нов и много удобен езикза описване, моделиране и анализ на сложни многоетапни работи и проекти. В изследването на операциите се отделя значително място на подобряването на управлението на сложни системи с помощта на методите на теорията на масовото обслужване (вижте раздел 8.3) и апарата на марковските процеси.

Модели на марковски случайни процеси- система от диференциални уравнения, които описват функционирането на система или нейните процеси под формата на набор от подредени състояния по определена траектория на поведение на системата. Този клас модели се използва широко в математическото моделиране на функционирането на сложни системи.

Модели на теория на игритеслужат за избор на оптимална стратегия при условия на ограничена произволна информация или пълна несигурност.

Играта е математически модел на реална конфликтна ситуация, чието разрешаване се извършва съгласно определени правила и алгоритми, които описват определена стратегия на поведение на вземащия решение в условия на несигурност.

Има „игри с природата“ и „игри с врага“. Въз основа на ситуацията се определят методи и критерии за оценка на вземането на решения. По този начин, когато се „играе с природата“, се използват следните критерии: Лаплас, максимин (критерий на Валд) и минимакс, Хурвиц и Савидж и редица други алгоритмични правила. В „игри с опонент“ за вземане на решения се използват матрици на плащане, критерии за максимин и минимакс, както и специални математически трансформации, поради факта, че вземащият решение се сблъсква с неприятелски опонент.

Разгледаните видове математически модели не покриват цялото им възможно многообразие, а само характеризират отделни видове в зависимост от възприетия аспект на класификацията. V. A. Kardash се опита да създаде система за класифициране на модели според четири аспекта на детайлите (Фигура 8.4).

А - модели без пространствена диференциация на параметрите;

B - модели с пространствена диференциация на параметрите

Фигура 8.4 - Класификация на моделите според четири аспекта на детайлност

С развитието на изчислителните инструменти един от най-често срещаните методи за вземане на решения е бизнес игра, която е числен експеримент с активното участие на човек. Има стотици бизнес игри. Те се използват за изучаване на редица проблеми в управлението, икономиката, организационната теория, психологията, финансите и търговията.