Има три основни правила за намиране на първообразни функции. Те са много подобни на съответните правила за диференциация.

Правило 1

Ако F е антипроизводна за някаква функция f, а G е антипроизводна за някаква функция g, тогава F + G ще бъде антипроизводна за f + g.

По дефиниция на антипроизводно, F’ = f. G' = g. И тъй като тези условия са изпълнени, то според правилото за изчисляване на производната за сумата от функции ще имаме:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Правило 2

Ако F е антипроизводна за някаква функция f и k е някаква константа. Тогава k*F е първоизводната на функцията k*f. Това правило следва от правилото за изчисляване на производната на сложна функция.

Имаме: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Ако F(x) е някаква антипроизводна за функцията f(x) и k и b са някои константи и k не е равно на нула, тогава (1/k)*F*(k*x+b) ще бъде антипроизводна за функцията f (k*x+b).

Това правило следва от правилото за изчисляване на производната на сложна функция:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Нека да разгледаме няколко примера за това как се прилагат тези правила:

Пример 1. намирам обща формапървоизводни за функцията f(x) = x^3 +1/x^2. За функцията x^3 една от първопроизводните ще бъде функцията (x^4)/4, а за функцията 1/x^2 една от първопроизводните ще бъде функцията -1/x. Използвайки първото правило, имаме:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Пример 2. Нека намерим общата форма на първоизводните за функцията f(x) = 5*cos(x). За функцията cos(x) една от първоизводните ще бъде функцията sin(x). Ако сега използваме второто правило, ще имаме:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3.Намерете една от първоизводните за функцията y = sin(3*x-2). За функцията sin(x) една от първоизводните ще бъде функцията -cos(x). Ако сега използваме третото правило, получаваме израз за антипроизводното:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4. Намерете първоизводната за функцията f(x) = 1/(7-3*x)^5

Първоизводната за функцията 1/x^5 ще бъде функцията (-1/(4*x^4)). Сега, използвайки третото правило, получаваме.

Видяхме, че производната има многобройни приложения: производната е скоростта на движение (или, по-общо, скоростта на всеки процес); производно е наклондопирателна към графиката на функция; използвайки производната, можете да изследвате функция за монотонност и екстремуми; дериватът помага за решаването на проблеми с оптимизацията.

Но в Истински животОбратните задачи също трябва да бъдат решени: например, наред с проблема за намиране на скоростта по известен закон на движение, ние също се сблъскваме с проблема за възстановяване на закона за движение по известна скорост. Нека разгледаме един от тези проблеми.

Пример 1.Движи се по права линия материална точка, скоростта на движението му в момент t се дава по формулата u = tg. Намерете закона за движение.

Решение.Нека s = s(t) е желаният закон на движение. Известно е, че s"(t) = u"(t). Това означава, че за да разрешите проблема, трябва да изберете функция s = s(t), чиято производна е равна на tg. Не е трудно да се досетите за това

Нека веднага да отбележим, че примерът е решен правилно, но непълно. Открихме, че всъщност проблемът има безкрайно много решения: всяка функция на формата произволна константа може да служи като закон за движение, тъй като

За да направим задачата по-конкретна, трябваше да фиксираме първоначалната ситуация: да посочим координатата на движеща се точка в някакъв момент от времето, например при t=0. Ако, да речем, s(0) = s 0, тогава от равенството получаваме s(0) = 0 + C, т.е. S 0 = C. Сега законът на движението е еднозначно дефиниран:
В математиката на взаимно обратните операции се дават различни имена и се измислят специални обозначения: например повдигане на квадрат (x 2) и извличане корен квадратенсинус(sinх) и арксинус(arcsin x) и т.н. Процесът на намиране на производната по отношение на дадена функциясе нарича диференциране, а обратната операция, т.е. процесът на намиране на функция от дадена производна - интегриране.
Самият термин "производна" може да бъде оправдан "в ежедневието": функцията y - f(x) "ражда" нова функция y"= f"(x). Функцията y = f(x) действа като „родител“, но математиците, естествено, не го наричат ​​„родител“ или „производител“; те казват, че това, по отношение на функцията y"=f"(x), е първичното изображение, или, в накратко, антипроизводното.

Определение 1.Функцията y = F(x) се нарича първоизводна за функцията y = f(x) на даден интервал X, ако за всички x от X е изпълнено равенството F"(x)=f(x).

На практика интервалът X обикновено не се посочва, но се подразбира (като естествена област на дефиниране на функцията).

Ето няколко примера:

1) Функцията y = x 2 е противопроизводна на функцията y = 2x, тъй като за всички x равенството (x 2)" = 2x е вярно.
2) функцията y - x 3 е противопроизводна на функцията y-3x 2, тъй като за всички x равенството (x 3)" = 3x 2 е вярно.
3) Функцията y-sinх е първоизводна за функцията y = cosx, тъй като за всички x е вярно равенството (sinx)" = cosx.
4) Функцията е антипроизводна за функция на интервала, тъй като за всички x > 0 равенството е вярно
Като цяло, знаейки формулите за намиране на производни, не е трудно да се състави таблица с формули за намиране на антипроизводни.

Надяваме се, че разбирате как се съставя тази таблица: производната на функцията, която е записана във втората колона, е равна на функцията, която е записана в съответния ред на първата колона (проверете го, не бъдете мързеливи, много е полезно). Например за функцията y = x 5 първоизводната, както ще установите, е функцията (вижте четвъртия ред на таблицата).

Бележки: 1. По-долу ще докажем теоремата, че ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x), тогава функцията y = f(x) има безкрайно много първоизводни и всички те имат формата y = F(x ) + C. Следователно би било по-правилно да добавите термина C навсякъде във втората колона на таблицата, където C е произволно реално число.
2. За краткост понякога вместо фразата „функцията y = F(x) е антипроизводна на функцията y = f(x)“, те казват, че F(x) е антипроизводна на f(x) .”

2. Правила за намиране на противопроизводни

При намиране на противопроизводни, както и при намиране на производни, се използват не само формули (изброени са в таблицата на стр. 196), но и някои правила. Те са пряко свързани със съответните правила за изчисляване на деривати.

Знаем, че производната на една сума е равна на сумата от нейните производни. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 1.Първопроизводната на сбор е равна на сбора на първопроизводните.

Обръщаме внимание на известната „лекота“ на тази формула. Всъщност трябва да се формулира теоремата: ако функциите y = f(x) и y = g(x) имат първоизводни на интервала X, съответно y-F(x) и y-G(x), тогава сумата от функциите y = f(x)+g(x) има първоизводна на интервала X и тази първоизводна е функцията y = F(x)+G(x). Но обикновено, когато се формулират правила (не теореми), се оставят само ключови думи - това е по-удобно за прилагане на правилата на практика

Пример 2.Намерете първоизводната за функцията y = 2x + cos x.

Решение.Първоизводната за 2x е x"; първоизводната за cox е sin x. Това означава, че първоизводната за функцията y = 2x + cos x ще бъде функцията y = x 2 + sin x (и като цяло всяка функция от формата Y = x 1 + sinx + C).
Знаем, че постоянният множител може да бъде изваден от знака на производната. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 2.Константният фактор може да бъде изваден от знака на първоизводната.

Пример 3.

Решение.а) Първообразната за sin x е -soz x; Това означава, че за функцията y = 5 sin x първообразната функция ще бъде функцията y = -5 cos x.

b) Първоизводната за cos x е sin x; Това означава, че първоизводната на функция е функцията
в) Първоизводната за x 3 е първоизводната за x, първоизводната за функцията y = 1 е функцията y = x. Използвайки първото и второто правило за намиране на първоизводни, намираме, че първоизводната за функцията y = 12x 3 + 8x-1 е функцията
Коментирайте.Както е известно, производната на произведение не е равна на произведението на производните (правилото за диференциране на произведение е по-сложно), а производната на частното не е равно на частното на производните. Следователно няма правила за намиране на първоизводната на произведението или на първоизводната на частното на две функции. Бъди внимателен!
Нека получим още едно правило за намиране на противопроизводни. Знаем, че производната на функцията y = f(kx+m) се изчислява по формулата

Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.
Правило 3.Ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x), тогава първоизводната за функцията y=f(kx+m) е функцията

Наистина,

Това означава, че е първоизводна за функцията y = f(kx+m).
Смисълът на третото правило е следният. Ако знаете, че първоизводната на функцията y = f(x) е функцията y = F(x) и трябва да намерите първоизводната на функцията y = f(kx+m), тогава продължете по следния начин: вземете същата функция F, но вместо аргумента x, заместете израза kx+m; освен това не забравяйте да напишете „коефициент на корекция“ преди знака за функция
Пример 4.Намерете противопроизводни за дадени функции:

Решение, а) Първоизводната за sin x е -soz x; Това означава, че за функцията y = sin2x първоизводната ще бъде функцията
b) Първоизводната за cos x е sin x; Това означава, че първоизводната на функция е функцията

c) Първоизводната за x 7 означава, че за функцията y = (4-5x) 7 първоизводната ще бъде функцията

3. Неопределен интеграл

Вече отбелязахме по-горе, че проблемът за намиране на първоизводна за дадена функция y = f(x) има повече от едно решение. Нека обсъдим този въпрос по-подробно.

Доказателство. 1. Нека y = F(x) е първоизводната за функцията y = f(x) на интервала X. Това означава, че за всички x от X е валидно равенството x"(x) = f(x). Нека намерете производната на всяка функция от вида y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

И така, (F(x)+C) = f(x). Това означава, че y = F(x) + C е първоизводна за функцията y = f(x).
По този начин ние доказахме, че ако функцията y = f(x) има първоизводна y=F(x), тогава функцията (f = f(x) има безкрайно много първоизводни, например всяка функция от вида y = F(x) +C е антипроизводно.
2. Нека сега докажем, че посоченият тип функции изчерпва цялото множество от първоизводни.

Нека y=F 1 (x) и y=F(x) са две първоизводни за функцията Y = f(x) на интервала X. Това означава, че за всички x от интервала X са валидни следните отношения: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Нека разгледаме функцията y = F 1 (x) -.F(x) и да намерим нейната производна: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Известно е, че ако производната на функция на интервал X е идентично равна на нула, тогава функцията е постоянна на интервала X (виж теорема 3 от § 35). Това означава, че F 1 (x) - F (x) = C, т.е. Fx) = F(x)+C.

Теоремата е доказана.

Пример 5.Даден е законът за промяна на скоростта с времето: v = -5sin2t. Намерете закона за движение s = s(t), ако е известно, че в момент t=0 координатата на точката е била равна на числото 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).

Решение.Тъй като скоростта е производна на координатата като функция на времето, първо трябва да намерим антипроизводната на скоростта, т.е. първоизводна за функцията v = -5sin2t. Една от тези първоизводни е функцията , а наборът от всички първоизводни има формата:

За да намерим конкретната стойност на константата C, използваме началните условия, според които s(0) = 1,5. Замествайки стойностите t=0, S = 1.5 във формула (1), получаваме:

Замествайки намерената стойност на C във формула (1), получаваме закона за движение, който ни интересува:

Определение 2.Ако функция y = f(x) има първоизводна y = F(x) на интервал X, тогава множеството от всички първоизводни, т.е. множеството от функции във формата y = F(x) + C се нарича неопределен интеграл на функцията y = f(x) и се означава с:

(Прочети: " неопределен интеграл ef от x de x").
В следващия параграф ще разберем какво е скритото значение на това наименование.
Въз основа на таблицата с първоизводни, налични в този раздел, ще съставим таблица на основните неопределени интеграли:

Въз основа на горните три правила за намиране на антипроизводни, можем да формулираме съответните правила за интегриране.

Правило 1.Интеграл от сумата на функциите равно на суматаинтеграли на тези функции:

Правило 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

Правило 3.Ако

Пример 6.Намерете неопределени интеграли:

Решение, а) Използвайки първото и второто правило на интегриране, получаваме:

Сега нека използваме формулите за 3-та и 4-та интеграция:

В резултат получаваме:

б) Използвайки третото правило за интегриране и формула 8, получаваме:

в) За директно намиране на даден интеграл нямаме нито съответната формула, нито съответното правило. В такива случаи понякога помагат предварително извършени идентични трансформации на израза, съдържащ се под знака за интеграл.

Да се ​​възползваме тригонометрична формулаНамаляване на степента:

След това намираме последователно:

А.Г. Мордкович алгебра 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище

Документ

Някакъв интервал X. Ако Завсяко xХ F"(x) = f(x), тогава функцияЕ НареченантипроизводноЗафункции f на интервала X. АнтипроизводноЗафункцииможете да опитате да намерите...

Антипроизводно за функция

Документ

... . функция F(x) НареченантипроизводноЗафункции f(x) на интервала (a;b), ако Завсички x(a;b) е изпълнено равенството F(x) = f(x). Например, Зафункции x2 антипроизводноще функциях3...

Учебно ръководство по Основи на интегралното смятане

Урок

... ; 5. Намерете интеграла. ; Б) ; ° С) ; Д) ; 6. функцияНареченантипроизводноДа се функциина комплект, ако: Завсеки; в някакъв момент; Завсеки; на някакъв... интервал. Определение 1. функцияНареченантипроизводноЗафункциина много...

Първопроизводен Неопределен интеграл

Документ

Интеграция. Антипроизводно. Непрекъснато функция F(x) НареченантипроизводноЗафункции f (x) на интервала X ако Завсяко F’ (x) = f (x). ПРИМЕР функция F(x) = x 3 е антипроизводноЗафункции f(x) = 3x...

СПЕЦИАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ НА СССР Одобрено от Учебно-методическата дирекция за висше образование ВИСША МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИ ИНСТРУКЦИИ И КОНТРОЛНИ ЗАДАЧИ (С ПРОГРАМАТА) за задочни студенти по инженерни и технически специалности

Насоки

Въпроси Засамопроверка Определете антипроизводнофункции. Посочете геометричен смисълсъвкупност примитивенфункции. Какво Нареченнесигурно...

Неопределен интеграл

Основната задача на диференциалното смятане беше да се изчисли производната или диференциала на дадена функция. Интегралното смятане, към изучаването на което преминаваме, решава обратния проблем, а именно намирането на самата функция от нейната производна или диференциал. Тоест имайки dF(x)= f(x)d (7.1) или F ′(x)= f(x),

Където f(x)- известна функция, трябва да се намери функцията F(x).

определение:Извиква се функцията F(x). антипроизводнофункция f(x) на отсечката, ако равенството е в сила във всички точки на тази отсечка: F′(x) = f(x)или dF(x)= f(x)d.

Например, една от противопроизводните функции за функцията f(x)=3x 2ще F(x)= x 3, защото ( x 3)′=3x 2. Но прототип за функцията f(x)=3x 2ще има и функции и , тъй като .

Така че тази функция f(x)=3x 2има безкраен брой примитиви, всеки от които се различава само с постоянен член. Нека покажем, че този резултат е валиден и в общия случай.

Теорема Две различни първоизводни на една и съща функция, дефинирани в определен интервал, се различават една от друга в този интервал с постоянен член.

Доказателство

Нека функцията f(x) определени на интервала (a¸b)И F 1 (x) И F 2 (x) - антипроизводни, т.е. F 1 ′(x)= f(x) и F 2 ′(x)= f(x).

Тогава F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

Оттук, F 2 (x) = F 1 (x) + C

Където СЪС - константа (тук се използва следствие от теоремата на Лагранж).

Така теоремата е доказана.

Геометрична илюстрация. Ако при = F 1 (x) И при = F 2 (x) – антипроизводни със същата функция f(x), след това допирателната към техните графики в точки с обща абциса хуспоредни един на друг (фиг. 7.1).

В този случай разстоянието между тези криви по оста OUостава постоянна F 2 (x) - F 1 (x) = C , тоест тези криви в известно разбиране"успоредни" една на друга.

Последица .

Добавяне към някакво противопроизводно F(x) за тази функция f(x), определени на интервала х, всички възможни константи СЪС, получаваме всички възможни антипроизводни за функцията f(x).

Така че изразът F(x)+C , където , и F(x) – някаква първоизводна на функция f(x)включва всички възможни противопроизводни на f(x).

Пример 1.Проверете дали функциите са антипроизводни на функцията

Решение:

Отговор: антипроизводни за функция ще има функции И

определение: Ако функцията F(x) е някаква първоизводна на функцията f(x), тогава множеството от всички първоизводни F(x)+ C се нарича неопределен интеграл от f(x) и означават:

∫f(х)dх.

A-приори:

f(x) - интегрална функция,

f(х)dх - интегранд израз

От това следва, че неопределеният интеграл е функция от общ вид, чийто диференциал е равен на интегранта и чиято производна по отношение на променливата хе равно на подинтегралната функция във всички точки.

От геометрична гледна точканеопределен интеграл е семейство от криви, всяка от които се получава чрез преместване на една от кривите, успоредна на себе си, нагоре или надолу, тоест по протежение на оста OU(фиг. 7.2).

Операцията за изчисляване на неопределения интеграл на определена функция се нарича интеграция тази функция.

Имайте предвид, че ако производната на елементарна функциявинаги е елементарна функция, тогава първоизводната на елементарна функция може да не бъде представена от краен брой елементарни функции.

Нека сега да разгледаме свойства на неопределения интеграл.

От Определение 2 следва:

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта, т.е. ако F′(x) = f(x) , Че

2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта

. (7.4)

От определението за диференциал и свойство (7.3)

3. Неопределеният интеграл на диференциала на някаква функция е равен на тази функция до постоянен член, т.е. (7.5)

Нека разгледаме движението на точка по права линия. Нека отнеме време Tот началото на движението точката е изминала разстояние s(t).След това моментната скорост v(t)равно на производната на функцията s(t),това е v(t) = s"(t).

На практика се среща обратна задача: при дадена скорост на движение на точката v(t)намери пътя, по който е тръгнала s(t), тоест намерете такава функция s(t),чиято производна е равна на v(t). функция s(t),такова, че s"(t) = v(t), се нарича първоизводна на функцията v(t).

Например ако v(t) = аt, Където Ае дадено число, тогава функцията
s(t) = (аt 2) / 2v(t),защото
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

функция F(x)наречена първоизводна на функцията f(x)на някакъв интервал, ако за всички хот тази празнина F"(x) = f(x).

Например функцията F(x) = sin xе първоизводната на функцията f(x) = cos x,защото (sin x)" = cos x; функция F(x) = x 4 /4е първоизводната на функцията f(x) = x 3, защото (x 4 /4)" = x 3.

Нека разгледаме проблема.

Задача.

Докажете, че функциите x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 са първоизводни на същата функция f(x) = x 2.

Решение.

1) Нека означим F 1 (x) = x 3 /3, тогава F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( х).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Като цяло, всяка функция x 3 /3 + C, където C е константа, е антипроизводна на функцията x 2. Това следва от факта, че производната на константата е нула. Този пример показва, че за дадена функция нейната първоизводна се определя нееднозначно.

Нека F 1 (x) и F 2 (x) са две първоизводни на една и съща функция f(x).

Тогава F 1 "(x) = f(x) и F" 2 (x) = f(x).

Производната на тяхната разлика g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) е равна на нула, тъй като g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Ако g"(x) = 0 на определен интервал, тогава допирателната към графиката на функцията y = g(x) във всяка точка от този интервал е успоредна на оста Ox. Следователно графиката на функцията y = g(x) е права линия, успоредна на оста Ox, т.е. g(x) = C, където C е някаква константа. От равенствата g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) следва, че F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Така че, ако функцията F(x) е първоизводна на функцията f(x) на определен интервал, тогава всички първоизводни на функцията f(x) се записват във формата F(x) + C, където C е произволна константа.

Нека разгледаме графиките на всички първоизводни на дадена функция f(x). Ако F(x) е една от първоизводните на функцията f(x), тогава всяка първоизводна на тази функция се получава чрез добавяне към F(x) на някаква константа: F(x) + C. Графики на функции y = F( x) + C се получават от графиката y = F(x) чрез изместване по оста Oy. Като изберете C, можете да гарантирате, че графиката на първоизводната минава през дадена точка.

Нека обърнем внимание на правилата за намиране на антипроизводни.

Припомнете си, че операцията за намиране на производната за дадена функция се извиква диференциация. Обратната операция за намиране на първоизводната за дадена функция се нарича интеграция(от латинската дума "Възстанови").

Таблица на антипроизводнитеза някои функции може да се компилира с помощта на таблица с производни. Например, знаейки това (cos x)" = -sin x,получаваме (-cos x)" = sin x, от което следва, че всички антипроизводни функции грях хса записани във формата -cos x + C, Където СЪС– постоянен.

Нека да разгледаме някои от значенията на антипроизводните.

1) функция: x p, p ≠ -1. Антипроизводно: (x p+1) / (p+1) + C.

2) функция: 1/x, x > 0.Антипроизводно: ln x + C.

3) функция: x p, p ≠ -1. Антипроизводно: (x p+1) / (p+1) + C.

4) функция: e x. Антипроизводно: e x + C.

5) функция: грях х. Антипроизводно: -cos x + C.

6) функция: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0.Антипроизводно: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) функция: 1/(kx + b), k ≠ 0. Антипроизводно: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) функция: e kx + b, k ≠ 0. Антипроизводно: (1/k) e kx + b + C.

9) функция: sin (kx + b), k ≠ 0. Антипроизводно: (-1/k) cos (kx + b).

10) функция: cos (kx + b), k ≠ 0.Антипроизводно: (1/k) sin (kx + b).

Правила за интегриранеможе да се получи с помощта на правила за диференциране. Нека да разгледаме някои правила.

Позволявам F(x)И G(x)– първопроизводни на функции респ f(x)И g(x)на някакъв интервал. Тогава:

1) функция F(x) ± G(x)е първоизводната на функцията f(x) ± g(x);

2) функция аF(x)е първоизводната на функцията аf(x).

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.