Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0.
Нека приложим към квадратичния тричлен ax 2 + bx + c същите трансформации, които извършихме в § 13, когато доказахме теоремата, че графиката на функцията y = ax 2 + bx + c е парабола.
Ние имаме

Обикновено изразът b 2 - 4ac се обозначава с буквата D и се нарича дискриминант квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 (или дискриминанта на квадратния трином ax + bx + c).

По този начин

Това означава, че квадратното уравнение ax 2 + them + c = O може да бъде пренаписано във формата

Всяко квадратно уравнение може да се трансформира във форма (1), което е удобно, както ще видим сега, за да се определи броят на корените на квадратно уравнение и да се намерят тези корени.

Доказателство. Ако Д< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Пример 1.Решете уравнението 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Решение. Тук a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Тъй като Д< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Доказателство. Ако D = 0, тогава уравнение (1) приема формата

е единственият корен на уравнението.

Бележка 1. Помните ли, че x = - е абсцисата на върха на параболата, която служи за графика на функцията y = ax 2 + them + c? Защо това
стойността се оказа единственият корен на квадратното уравнение ax 2 + тях + c - 0? „Ковчегът“ се отваря просто: ако D е 0, тогава, както установихме по-рано,

Графика на същата функция е парабола с връх в точка (вижте например фиг. 98). Това означава, че абсцисата на върха на параболата и единственият корен на квадратното уравнение за D = 0 са едно и също число.

Пример 2.Решете уравнението 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Решение. Тук a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Тъй като D = 0, тогава по теорема 2 това квадратно уравнение има един корен. Този корен се намира по формулата

Отговор: 2.5.

Бележка 2. Имайте предвид, че 4x 2 - 20x +25 е перфектен квадрат: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Ако бяхме забелязали това веднага, щяхме да решим уравнението така: (2x - 5) 2 = 0, което означава 2x - 5 = 0, от което получаваме x = 2,5. Като цяло, ако D = 0, тогава

ax 2 + bx + c = - отбелязахме това по-рано в Забележка 1.
Ако D > 0, тогава квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0 има два корена, които се намират по формулите

Доказателство. Нека пренапишем квадратното уравнение ax 2 + b x + c = 0 във формата (1)

Да сложим
По условие D > 0, което означава, че дясната страна на уравнението е положително число. Тогава от уравнение (2) получаваме това

И така, даденото квадратно уравнение има два корена:

Бележка 3. В математиката рядко се случва въведеният термин да няма, образно казано, битова предистория. Да вземем нещо ново
понятие - дискриминант. Запомнете думата „дискриминация“. Какво означава? Означава унижение на едни и издигане на други, т.е. различно отношение
ция на различни хора. И двете думи (дискриминант и дискриминация) идват от латинското discriminans - „разграничаващ“. Дискриминантът разграничава квадратните уравнения по броя на корените.

Пример 3.Решете уравнението 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Решение. Тук a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Тъй като D > 0, то съгласно теорема 3 това квадратно уравнение има два корена. Тези корени се намират по формули (3)

Всъщност ние разработихме следното правило:

Правило за решаване на уравнението
ax 2 + bx + c = 0

Това правило е универсално; важи както за пълни, така и за непълни квадратни уравнения. Въпреки това, непълните квадратни уравнения обикновено не се решават с помощта на това правило; по-удобно е да ги решим, както направихме в предишния параграф.

Пример 4.Решете уравнения:

а) x 2 + 3x - 5 = 0; б) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; в) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Решение: а) Тук a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Тъй като D > 0, това квадратно уравнение има два корена. Намираме тези корени с помощта на формули (3)

Б) Както показва опитът, по-удобно е да се работи с квадратни уравнения, в които водещият коефициент е положителен. Следователно, първо умножаваме двете страни на уравнението по -1, получаваме

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Тук a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Тъй като D = 0, това квадратно уравнение има един корен. Този корен се намира по формулата x = -. означава,

Това уравнение може да бъде решено по различен начин: тъй като
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, тогава получаваме уравнението (Зх - I) 2 = 0, откъдето намираме Зх - 1 = 0, т.е. x = .

c) Тук a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Тъй като D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Математиците са практични, икономични хора. Защо, казват те, използвайте толкова дълго правило за решаване на квадратно уравнение, по-добре е веднага да напишете обща формула:

Ако се окаже, че дискриминантът D = b 2 - 4ac е отрицателно число, тогава написаната формула няма смисъл (под знака корен квадратене отрицателно число), което означава, че няма корени. Ако се окаже, че дискриминантът е равен на нула, тогава получаваме

Тоест един корен (те също така казват, че квадратното уравнение в този случай има два еднакви корена:

И накрая, ако се окаже, че b 2 - 4ac > 0, тогава получаваме два корена x 1 и x 2, които се изчисляват по същите формули (3), както е посочено по-горе.

Самото число в този случай е положително (като всеки квадратен корен от положително число), а двойният знак пред него означава, че в един случай (при намиране на x 1) това положително число се добавя към числото - b, и в друг случай (при намиране на x 2) това е положително число
прочетете от числото - b.

Имате свобода на избор. Искате ли да решите подробно квадратното уравнение, като използвате правилото, формулирано по-горе; Ако искате, запишете формула (4) веднага и я използвайте, за да направите необходимите изводи.

Пример 5. Решете уравнения:

Решение, а) Разбира се, можете да използвате формули (4) или (3), като вземете предвид, че в този случай Но защо да правите неща с дроби, когато е по-лесно и най-важното по-приятно да се справяте с цели числа? Нека се отървем от знаменателите. За да направите това, трябва да умножите двете страни на уравнението по 12, тоест по най-малкия общ знаменател на дробите, които служат като коефициенти на уравнението. Получаваме

откъдето 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Сега нека използваме формула (4)

B) Отново имаме уравнение с дробни коефициенти: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Нека умножим двете страни на уравнението по 100, тогава ще получим уравнение с цели коефициенти:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
След това използваме формула (4):

Едно просто изчисление показва, че дискриминантът (радикалният израз) е отрицателно число. Това означава, че уравнението няма корени.

Пример 6.Решете уравнението
Решение. Тук, за разлика от предишния пример, е за предпочитане да се действа по правилото, а не по съкратената формула (4).

Имаме a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Тъй като D > 0, квадратното уравнение има два корена, които ще търсим с помощта на формули (3)

Пример 7.Решете уравнението
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Решение. Това квадратно уравнение се различава от всички квадратни уравнения, разгледани досега по това, че коефициентите не са конкретни числа, а буквални изрази. Такива уравнения се наричат ​​уравнения с буквени коефициенти или уравнения с параметри. В този случай параметърът (буквата) p е включен във втория коефициент и свободния член на уравнението.
Нека намерим дискриминанта:

Пример 8. Решете уравнението px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Решение. Това също е уравнение с параметър p, но за разлика от предишния пример, то не може да бъде решено веднага с помощта на формули (4) или (3). Факт е, че посочените формули са приложими за квадратни уравнения, но все още не можем да кажем това за дадено уравнение. Наистина, какво ще стане, ако p = 0? Тогава
уравнението ще приеме формата 0. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, т.е. x - 1 = 0, от което получаваме x = 1. Сега, ако знаете със сигурност, че , тогава можете да приложите формулите за корените на квадратната уравнение:

Първо ниво

Квадратни уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

В термина „квадратно уравнение“ ключовата дума е „квадратично“. Това означава, че уравнението задължително трябва да съдържа променлива (същото x) на квадрат и не трябва да има x на трета (или по-голяма) степен.

Решаването на много уравнения се свежда до решаване на квадратни уравнения.

Нека се научим да определяме, че това е квадратно уравнение, а не някое друго уравнение.

Пример 1.

Нека да се отървем от знаменателя и да умножим всеки член на уравнението по

Нека преместим всичко на лява странаи подредете членовете в низходящ ред на степени на x

Сега можем да кажем с увереност, че това уравнение е квадратно!

Пример 2.

Нека умножим ляво и правилната странана:

Това уравнение, въпреки че първоначално е в него, не е квадратно!

Пример 3.

Нека умножим всичко по:

Страшен? Четвърта и втора степен... Ако обаче направим замяна, ще видим, че имаме просто квадратно уравнение:

Пример 4.

Изглежда, че е там, но нека го разгледаме по-отблизо. Нека преместим всичко отляво:

Виждате ли, тя се е свила - и сега е проста линейно уравнение!

Сега се опитайте да определите сами кои от следните уравнения са квадратни и кои не:

Примери:

Отговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не е квадратна;
4. не е квадратна;
5. не е квадратна;
6. квадрат;
7. не е квадратна;
8. квадрат.

Математиците условно разделят всички квадратни уравнения на следните типове:

• Пълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентите и, както и свободният член c, не са равни на нула (както в примера). В допълнение, сред пълните квадратни уравнения има дадено- това са уравнения, в които коефициентът (уравнението от пример едно е не само пълно, но и намалено!)

• Непълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

  Те са непълни, защото им липсва някакъв елемент. Но уравнението винаги трябва да съдържа x на квадрат!!! В противен случай това вече няма да е квадратно уравнение, а някакво друго уравнение.

Защо са измислили такова разделение? Изглежда, че има Х на квадрат и добре. Това разделение се определя от методите за решаване. Нека разгледаме всеки от тях по-подробно.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Първо, нека се съсредоточим върху решаването на непълни квадратни уравнения - те са много по-прости!

Има видове непълни квадратни уравнения:

1. , в това уравнение коефициентът е равен.
2. , в това уравнение свободният член е равен на.
3. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

1. i. Тъй като знаем как да извадим корен квадратен, нека изразим от това уравнение

Изразът може да бъде както отрицателен, така и положителен. Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число, така че: ако, тогава уравнението няма решения.

И ако, тогава получаваме два корена. Няма нужда да запомняте тези формули. Основното е, че трябва да знаете и винаги да помните, че не може да бъде по-малко.

Нека се опитаме да решим някои примери.

Пример 5:

Решете уравнението

Сега остава само да извлечете корена от лявата и дясната страна. В крайна сметка помните ли как се извличат корени?

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!!!

Пример 6:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 7:

Решете уравнението

о! Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени!

За такива уравнения, които нямат корени, математиците излязоха със специална икона - (празен набор). И отговорът може да бъде написан така:

Отговор:

По този начин това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като не сме извлекли корена.
Пример 8:

Решете уравнението

Нека извадим общия множител извън скобите:

По този начин,

Това уравнение има два корена.

Отговор:

Най-простият тип непълни квадратни уравнения (въпреки че всички те са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Тук ще се откажем от примерите.

Решаване на пълни квадратни уравнения

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение от вида уравнение където

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по-трудно (само малко) от тези.

Помня, Всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминант! Дори непълна.

Другите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратни уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминант.

Решаването на квадратни уравнения с помощта на този метод е много просто, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има корен. Специално вниманиенаправи крачка. Дискриминант () ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава формулата в стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
• Ако, тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека се върнем към нашите уравнения и да разгледаме някои примери.

Пример 9:

Решете уравнението

Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че уравнението има два корена.

Стъпка 3.

Отговор:

Пример 10:

Решете уравнението

Уравнението е представено в стандартна форма, така че Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11:

Решете уравнението

Уравнението е представено в стандартна форма, така че Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена на дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как правилно да записваме такива отговори.

Отговор:без корени

2. Решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Ако си спомняте, има вид уравнение, което се нарича намалено (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Vieta:

Сума от корени даденоквадратно уравнение е равно и произведението на корените е равно.

Пример 12:

Решете уравнението

Това уравнение може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета, защото .

Сборът от корените на уравнението е равен, т.е. получаваме първото уравнение:

И произведението е равно на:

Нека съставим и решим системата:

• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14:

Решете уравнението

Дадено е уравнението, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение от формата, където - неизвестното, - някои числа и.

Числото се нарича най-високото или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, А - безплатен член.

Защо? Защото, ако уравнението веднага стане линейно, защото ще изчезне.

В този случай и може да бъде равно на нула. В този стол уравнението се нарича непълно. Ако всички членове са налице, това означава, че уравнението е пълно.

Решения на различни видове квадратни уравнения

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:

Първо, нека разгледаме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по-прости.

Можем да различим следните видове уравнения:

I., в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега нека разгледаме решението за всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото когато умножите две отрицателни или две положителни числа, резултатът винаги ще бъде положително число. Ето защо:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Няма нужда да запомняте тези формули. Основното нещо, което трябва да запомните, е, че не може да бъде по-малко.

Примери:

Решения:

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени.

За да напишем накратко, че даден проблем няма решения, използваме иконата за празен набор.

Отговор:

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Нека извадим общия множител извън скобите:

Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

Пример:

Решете уравнението.

Решение:

Нека разложим лявата страна на уравнението и намерим корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения:

1. Дискриминант

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминант! Дори непълна.

Забелязахте ли корена от дискриминанта във формулата за корените? Но дискриминантът може да бъде отрицателен. Какво да правя? Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава уравнението има корени:
• Ако, тогава уравнението има едни и същи корени и всъщност един корен:

  Такива корени се наричат ​​двойни корени.

• Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо са възможни различен брой корени? Да се ​​обърнем към геометричен смисълквадратно уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В специален случай, който е квадратно уравнение, . Това означава, че корените на квадратното уравнение са точките на пресичане с абсцисната ос (ос). Една парабола може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

В допълнение, коефициентът е отговорен за посоката на клоновете на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - надолу.

Примери:

Решения:

Отговор:

Отговор: .

Отговор:

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Много е лесно да използвате теоремата на Vieta: просто трябва да изберете двойка числа, чийто продукт е равен на свободния член на уравнението, а сумата е равна на втория коефициент, взет с обратен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само в редуцирани квадратни уравнения ().

Нека да разгледаме няколко примера:

Пример #1:

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета, защото . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

И произведението е равно на:

Нека изберем двойки числа, чието произведение е равно и проверим дали сборът им е равен:

• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Така и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример #2:

Решение:

Нека изберем двойки числа, които дават в произведението, и след това проверим дали сборът им е равен:

и: дават общо.

и: дават общо. За да се получи, е достатъчно просто да се сменят знаците на предполагаемите корени: и в крайна сметка продуктът.

Отговор:

Пример #3:

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако единият от корените е отрицателен, а другият е положителен. Следователно сумата от корените е равна на разлики в техните модули.

Нека изберем двойки числа, които дават в произведението и чиято разлика е равна на:

и: разликата им е равна - не се вписва;

и: - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - подходящи. Остава само да запомним, че един от корените е отрицателен. Тъй като сборът им трябва да е равен, коренът с по-малкия модул трябва да е отрицателен: . Ние проверяваме:

Отговор:

Пример #4:

Решете уравнението.

Решение:

Дадено е уравнението, което означава:

Свободният член е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно. И това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Нека да изберем двойки числа, чийто продукт е равен, и след това да определим кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корените и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример #5:

Решете уравнението.

Решение:

Дадено е уравнението, което означава:

Сборът на корените е отрицателен, което означава, че според поне, един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двата корена имат знак минус.

Нека изберем двойки числа, чийто продукт е равен на:

Очевидно корените са числата и.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно да излезете с корени устно, вместо да броите този неприятен дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често.

Но теоремата на Виета е необходима, за да улесни и ускори намирането на корените. За да имате полза от използването му, трябва да доведете действията до автоматизъм. И за това решете още пет примера. Но не изневерявайте: не можете да използвате дискриминант! Само теоремата на Виета:

Решения на задачи за самостоятелна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме селекцията с парчето:

Не е подходящ, защото количеството;

: количеството е точно това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Задача 2.

И отново нашата любима теорема на Виета: сборът трябва да е равен и произведението трябва да е равно.

Но тъй като трябва да е не, но, променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Задача 3.

Хм... Къде е това?

Трябва да преместите всички условия в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Добре, спри! Уравнението не е дадено. Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения. Така че първо трябва да дадете уравнение. Ако не можете да водите, откажете се от тази идея и я решете по друг начин (например чрез дискриминант). Нека ви напомня, че да се даде квадратно уравнение означава водещият коефициент да бъде равен на:

Страхотен. Тогава сумата от корените е равна на и произведението.

Тук е толкова лесно, колкото да белите круши: все пак това е просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Задача 4.

Безплатният член е отрицателен. Какво е особеното на това? И факт е, че корените ще имат различни знаци. И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата на корените, а разликата в техните модули: тази разлика е равна, но продукт.

И така, корените са равни на и, но един от тях е минус. Теоремата на Виета ни казва, че сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, т.е. Това означава, че по-малкият корен ще има минус: и, тъй като.

Отговор: ; .

Задача 5.

Какво трябва да направите първо? Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да бъде равна на:

Корените са равни на и, но един от тях е минус. Който? Сборът им трябва да е равен, което означава, че минусът ще има по-голям корен.

Отговор: ; .

Нека да обобщя:

1. Теоремата на Vieta се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез избор, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или не е намерена подходяща двойка фактори на свободния член, тогава няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминант).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, са представени под формата на членове от съкратени формули за умножение - квадрат на сбора или разликата - тогава след замяна на променливи уравнението може да бъде представено под формата на непълно квадратно уравнение от типа.

Например:

Пример 1:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Пример 2:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

IN общ изгледтрансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Нищо не ти напомня? Това е нещо дискриминационно! Точно така получихме дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Квадратно уравнение- това е уравнение от вида, където - неизвестното, - коефициентите на квадратното уравнение, - свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, тоест: .

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

• ако коефициентът, уравнението изглежда така: ,
• ако има свободен член, уравнението има формата: ,
• ако и, уравнението изглежда така: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Нека изразим неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

• ако, тогава уравнението няма решения,
• ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Нека извадим общия множител извън скобите: ,

2) Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение от формата, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида where

2.1. Решение с помощта на дискриминант

1) Нека приведем уравнението в стандартна форма: ,

2) Нека изчислим дискриминанта по формулата: , която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• ако, тогава уравнението има корени, които се намират по формулата:
• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнение от вида където) е равна, а произведението на корените е равно, т.е. , А.

2.3. Решение по метода на избиране на пълен квадрат

Ако квадратно уравнение от формата има корени, тогава то може да бъде написано във формата: .

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за прием в колеж на бюджет и НАЙ-ВАЖНОТО - до живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - 499 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Тази тема може да изглежда сложна в началото поради многото не толкова прости формули. Не само, че самите квадратни уравнения имат дълги означения, но и корените се намират чрез дискриминанта. Получават се общо три нови формули. Не е много лесно за запомняне. Това е възможно само след често решаване на такива уравнения. Тогава всички формули ще бъдат запомнени сами.

Общ вид на квадратно уравнение

Тук предлагаме тяхното изрично записване, когато първо се записва най-голямата степен, а след това в низходящ ред. Често има ситуации, когато условията са непоследователни. Тогава е по-добре да пренапишете уравнението в низходящ ред на степента на променливата.

Нека въведем някои обозначения. Те са представени в таблицата по-долу.

Ако приемем тези обозначения, всички квадратни уравнения се свеждат до следното обозначение.

Освен това коефициентът a ≠ 0. Нека тази формула бъде обозначена с номер едно.

Когато е дадено уравнение, не е ясно колко корена ще има в отговора. Защото винаги е възможен един от трите варианта:

• решението ще има два корена;
• отговорът ще бъде едно число;
• уравнението изобщо няма да има корени.

И докато решението не бъде финализирано, е трудно да се разбере коя опция ще се появи в конкретен случай.

Видове записи на квадратни уравнения

Възможно е да има различни записи в задачите. Те не винаги ще изглеждат като формулата на общото квадратно уравнение. Понякога ще липсват някои термини. Написаното по-горе е пълното уравнение. Ако премахнете втория или третия член в него, получавате нещо друго. Тези записи се наричат ​​също квадратни уравнения, само непълни.

Освен това могат да изчезнат само термини с коефициенти "b" и "c". Числото "а" не може да бъде равно на нула при никакви обстоятелства. Защото в този случай формулата се превръща в линейно уравнение. Формулите за непълната форма на уравненията ще бъдат както следва:

И така, има само два вида; в допълнение към пълните, има и непълни квадратни уравнения. Нека първата формула е номер две, а втората - три.

Дискриминант и зависимост на броя на корените от неговата стойност

Трябва да знаете това число, за да изчислите корените на уравнението. Винаги може да се изчисли, независимо каква е формулата на квадратното уравнение. За да изчислите дискриминанта, трябва да използвате равенството, написано по-долу, което ще има номер четири.

След като замените стойностите на коефициента в тази формула, можете да получите числа с различни знаци. Ако отговорът е да, тогава отговорът на уравнението ще бъде два различни корена. Ако числото е отрицателно, няма да има корени на квадратното уравнение. Ако е равно на нула, ще има само един отговор.

Как да решим пълно квадратно уравнение?

Всъщност разглеждането на този въпрос вече е започнало. Защото първо трябва да намерите дискриминант. След като се установи, че има корени на квадратното уравнение и техният брой е известен, трябва да използвате формули за променливите. Ако има два корена, тогава трябва да приложите следната формула.

Тъй като съдържа знак „±“, ще има две значения. Изразът под знака за квадратен корен е дискриминантът. Следователно формулата може да бъде пренаписана по различен начин.

Формула номер пет. От същия запис става ясно, че ако дискриминантът е равен на нула, тогава и двата корена ще приемат еднакви стойности.

Ако решаването на квадратни уравнения все още не е разработено, тогава е по-добре да запишете стойностите на всички коефициенти, преди да приложите дискриминантните и променливите формули. По-късно този момент няма да създаде трудности. Но в самото начало има объркване.

Как да решим непълно квадратно уравнение?

Тук всичко е много по-просто. Дори няма нужда от допълнителни формули. И тези, които вече са записани за дискриминанта и неизвестното, няма да са необходими.

Нека първо разгледаме непълно уравнениена номер две. В това равенство е необходимо неизвестното количество да бъде извадено от скоби и да се реши линейното уравнение, което ще остане в скоби. Отговорът ще има два корена. Първият задължително е равен на нула, защото има множител, състоящ се от самата променлива. Второто ще бъде получено чрез решаване на линейно уравнение.

Непълно уравнение номер три се решава чрез преместване на числото от лявата страна на равенството в дясната. След това трябва да разделите на коефициента срещу неизвестното. Всичко, което остава, е да извлечете квадратния корен и да запомните да го запишете два пъти с противоположни знаци.

По-долу са дадени някои стъпки, които ще ви помогнат да научите как да решавате всички видове равенства, които се превръщат в квадратни уравнения. Те ще помогнат на ученика да избегне грешки поради невнимание. Тези недостатъци могат да доведат до слаби оценки при изучаване на обширната тема „Квадратни уравнения (8 клас)“. Впоследствие няма да е необходимо тези действия да се извършват постоянно. Защото ще се появи стабилно умение.

• Първо трябва да напишете уравнението в стандартна форма. Тоест, първо членът с най-голямата степен на променливата, а след това - без степен, и накрая - само число.

• Ако преди коефициента "а" се появи минус, това може да усложни работата за начинаещ, изучаващ квадратни уравнения. По-добре е да се отървете от него. За целта всички равенства трябва да се умножат по „-1“. Това означава, че всички термини ще сменят знака на противоположния.

• Препоръчително е да се отървете от фракциите по същия начин. Просто умножете уравнението с подходящия коефициент, така че знаменателите да се съкратят.

Примери

Необходимо е да се решат следните квадратни уравнения:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Първото уравнение: x 2 − 7x = 0. То е непълно, затова се решава, както е описано за формула номер две.

След като го извадим от скобите, се оказва: x (x - 7) = 0.

Първият корен приема стойността: x 1 = 0. Вторият ще бъде намерен от линейното уравнение: x - 7 = 0. Лесно е да се види, че x 2 = 7.

Второ уравнение: 5x 2 + 30 = 0. Отново непълно. Само тя се решава, както е описано за третата формула.

След като преместите 30 в дясната страна на уравнението: 5x 2 = 30. Сега трябва да разделите на 5. Оказва се: x 2 = 6. Отговорите ще бъдат числата: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Третото уравнение: 15 − 2x − x 2 = 0. Тук и по-нататък решаването на квадратни уравнения ще започне с пренаписването им в стандартна форма: − x 2 − 2x + 15 = 0. Сега е време да използваме второто полезни съветии умножете всичко по минус едно. Оказва се, че x 2 + 2x - 15 = 0. Използвайки четвъртата формула, трябва да изчислите дискриминанта: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Това е положително число. От казаното по-горе се оказва, че уравнението има два корена. Те трябва да се изчислят по петата формула. Оказва се, че x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогава x 1 = 3, x 2 = - 5.

Четвъртото уравнение x 2 + 8 + 3x = 0 се трансформира в това: x 2 + 3x + 8 = 0. Неговият дискриминант е равен на тази стойност: -23. Тъй като това число е отрицателно, отговорът на тази задача ще бъде следният запис: „Няма корени.“

Петото уравнение 12x + x 2 + 36 = 0 трябва да се пренапише, както следва: x 2 + 12x + 36 = 0. След прилагане на формулата за дискриминанта се получава числото нула. Това означава, че ще има един корен, а именно: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестото уравнение (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) изисква трансформации, които се състоят в това, че трябва да въведете подобни членове, като първо отворите скобите. На мястото на първия ще има следния израз: x 2 + 2x + 1. След равенството ще се появи този запис: x 2 + 3x + 2. След като се преброят подобни членове, уравнението ще приеме формата: x 2 - x = 0. Станал е непълен. Нещо подобно на това вече беше обсъдено малко по-горе. Корените на това ще бъдат числата 0 и 1.

Продължавайки темата „Решаване на уравнения“, материалът в тази статия ще ви запознае с квадратни уравнения.

Нека разгледаме всичко подробно: същността и записа на квадратното уравнение, дефинираме свързаните с него условия, анализираме схемата за решаване на непълни и пълни уравнения, ще се запознаем с формулата за корени и дискриминант, ще установим връзки между корени и коефициенти и разбира се ще дадем нагледно решение на практически примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратно уравнение, неговите видове

Определение 1

Квадратно уравнениее уравнение, написано като a x 2 + b x + c = 0, Където х– променлива, a , b и ° С– някои числа, докато ане е нула.

Често квадратните уравнения се наричат ​​също уравнения от втора степен, тъй като по същество квадратното уравнение е алгебрично уравнениевтора специалност.

Нека дадем пример, за да илюстрираме даденото определение: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 и т.н. Това са квадратни уравнения.

Определение 2

Числата a, b и ° Сса коефициентите на квадратното уравнение a x 2 + b x + c = 0, докато коеф асе нарича първи, или старши, или коефициент при x 2, b - вторият коефициент, или коефициент при х, А ° Снаречен безплатен член.

Например в квадратното уравнение 6 x 2 − 2 x − 11 = 0водещият коефициент е 6, вторият коефициент е − 2 , а свободният член е равен на − 11 . Нека обърнем внимание на факта, че когато коефициентите bи/или c са отрицателни, тогава използвайте кратка формазаписи като 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, но не 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Нека изясним и този аспект: ако коефициентите аи/или bравен 1 или − 1 , то те могат да не вземат изрично участие в записването на квадратното уравнение, което се обяснява с особеностите на записване на посочените числови коефициенти. Например в квадратното уравнение y 2 − y + 7 = 0водещият коефициент е 1, а вторият коефициент е − 1 .

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

Въз основа на стойността на първия коефициент квадратните уравнения се разделят на редуцирани и нередуцирани.

Определение 3

Редуцирано квадратно уравнениее квадратно уравнение, където водещият коефициент е 1. За други стойности на водещия коефициент квадратното уравнение е нередуцирано.

Да дадем примери: приведени са квадратни уравнения x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, във всяко от които водещият коефициент е 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- нередуцирано квадратно уравнение, където първият коефициент е различен от 1 .

Всяко нередуцирано квадратно уравнение може да бъде преобразувано в редуцирано уравнение чрез разделяне на двете страни на първия коефициент (еквивалентна трансформация). Трансформираното уравнение ще има същите корени като даденото нередуцирано уравнение или също няма да има никакви корени.

Разглеждане конкретен примерще ни позволи ясно да демонстрираме прехода от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример 1

Дадено е уравнението 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Необходимо е оригиналното уравнение да се преобразува в намалена форма.

Решение

Съгласно горната схема, ние разделяме двете страни на оригиналното уравнение на водещия коефициент 6. Тогава получаваме: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, и това е същото като: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0и по-нататък: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Оттук: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Така се получава уравнение, еквивалентно на даденото.

Отговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Пълни и непълни квадратни уравнения

Нека се обърнем към дефиницията на квадратно уравнение. В него уточнихме, че a ≠ 0. Подобно условие е необходимо за уравнението a x 2 + b x + c = 0беше точно квадрат, тъй като при а = 0по същество се трансформира в линейно уравнение b x + c = 0.

В случай, че коеф bИ ° Сса равни на нула (което е възможно, както поотделно, така и заедно), квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение 4

Непълно квадратно уравнение- такова квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0,където поне един от коефициентите bИ ° С(или и двете) е нула.

Пълно квадратно уравнение– квадратно уравнение, в което всички числени коефициенти не са равни на нула.

Нека обсъдим защо видовете квадратни уравнения са дадени точно с тези имена.

Когато b = 0, квадратното уравнение приема формата a x 2 + 0 x + c = 0, което е същото като a x 2 + c = 0. При c = 0квадратното уравнение се записва като a x 2 + b x + 0 = 0, което е еквивалентно a x 2 + b x = 0. При b = 0И c = 0уравнението ще приеме формата a x 2 = 0. Уравненията, които получихме, се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви части не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете. Всъщност този факт даде името на този тип уравнения – непълни.

Например, x 2 + 3 x + 4 = 0 и − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 са пълни квадратни уравнения; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Дефиницията, дадена по-горе, позволява да се разграничат следните видове непълни квадратни уравнения:

• a x 2 = 0, това уравнение съответства на коефициентите b = 0и с = 0;
• a · x 2 + c = 0 при b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 при c = 0.

Нека разгледаме последователно решението на всеки тип непълно квадратно уравнение.

Решение на уравнението a x 2 =0

Както бе споменато по-горе, това уравнение съответства на коефициентите bИ ° С, равно на нула. Уравнението a x 2 = 0може да се преобразува в еквивалентно уравнение х 2 = 0, което получаваме, като разделим двете страни на първоначалното уравнение на числото а, не е равно на нула. Очевидният факт е, че коренът на уравнението х 2 = 0това е нула, защото 0 2 = 0 . Това уравнение няма други корени, което може да се обясни със свойствата на степента: за всяко число п,не е равно на нула, неравенството е вярно p 2 > 0, от което следва, че когато p ≠ 0равенство p 2 = 0никога няма да бъде постигнато.

Определение 5

Така за непълното квадратно уравнение a x 2 = 0 има единствен корен х = 0.

Пример 2

Например, нека решим непълно квадратно уравнение − 3 x 2 = 0. То е еквивалентно на уравнението х 2 = 0, единственият му корен е х = 0, тогава първоначалното уравнение има един корен - нула.

Накратко решението е написано по следния начин:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Решаване на уравнението a x 2 + c = 0

Следващото по ред е решението на непълни квадратни уравнения, където b = 0, c ≠ 0, тоест уравнения от вида a x 2 + c = 0. Нека трансформираме това уравнение, като преместим член от едната страна на уравнението в другата, променим знака на противоположния и разделим двете страни на уравнението на число, което не е равно на нула:

• трансфер ° Св дясната страна, което дава уравнението a x 2 = − c;
• разделете двете страни на уравнението на а, завършваме с x = - c a .

Нашите трансформации са еквивалентни; съответно полученото уравнение също е еквивалентно на оригиналното и този факт позволява да се направят изводи за корените на уравнението. От това какви са стойностите аИ ° Сстойността на израза - c a зависи: може да има знак минус (например ако а = 1И c = 2, след това - c a = - 2 1 = - 2) или знак плюс (например, ако a = − 2И c = 6, тогава - c a = - 6 - 2 = 3); не е нула, защото c ≠ 0. Нека се спрем по-подробно на ситуации, когато - c a< 0 и - c a > 0 .

В случай, когато - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стрравенството p 2 = - c a не може да бъде вярно.

Всичко е различно, когато - c a > 0: запомнете квадратния корен и ще стане очевидно, че коренът на уравнението x 2 = - c a ще бъде числото - c a, тъй като - c a 2 = - c a. Не е трудно да се разбере, че числото - - c a също е коренът на уравнението x 2 = - c a: наистина, - - c a 2 = - c a.

Уравнението няма да има други корени. Можем да демонстрираме това с помощта на метода на противоречието. Като начало, нека дефинираме обозначенията за корените, намерени по-горе, като х 1И − x 1. Да приемем, че уравнението x 2 = - c a също има корен х 2, което е различно от корените х 1И − x 1. Знаем това чрез заместване в уравнението хнеговите корени, трансформираме уравнението в справедливо числово равенство.

За х 1И − x 1записваме: x 1 2 = - c a , и за х 2- x 2 2 = - c a . Въз основа на свойствата на числовите равенства, ние изваждаме един правилен член по член от друг, което ще ни даде: x 1 2 − x 2 2 = 0. Използваме свойствата на операциите с числа, за да пренапишем последното равенство като (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Известно е, че произведението на две числа е нула тогава и само ако поне едно от числата е нула. От горното следва, че x 1 − x 2 = 0и/или x 1 + x 2 = 0, което е същото x 2 = x 1и/или x 2 = − x 1. Възникна очевидно противоречие, тъй като първоначално беше договорено, че коренът на уравнението х 2се различава от х 1И − x 1. И така, доказахме, че уравнението няма други корени освен x = - c a и x = - - c a.

Нека обобщим всички аргументи по-горе.

Определение 6

Непълно квадратно уравнение a x 2 + c = 0е еквивалентно на уравнението x 2 = - c a, което:

• няма да има корени в - c a< 0 ;
• ще има два корена x = - c a и x = - - c a за - c a > 0.

Нека дадем примери за решаване на уравненията a x 2 + c = 0.

Пример 3

Дадено е квадратно уравнение 9 х 2 + 7 = 0.Необходимо е да се намери решение.

Решение

Нека преместим свободния член в дясната страна на уравнението, тогава уравнението ще приеме формата 9 x 2 = − 7.
Нека разделим двете страни на полученото уравнение на 9 , стигаме до x 2 = - 7 9 . От дясната страна виждаме число със знак минус, което означава: даденото уравнение няма корени. Тогава първоначалното непълно квадратно уравнение 9 х 2 + 7 = 0няма да има корени.

Отговор:уравнението 9 х 2 + 7 = 0няма корени.

Пример 4

Уравнението трябва да се реши − x 2 + 36 = 0.

Решение

Нека преместим 36 надясно: − x 2 = − 36.
Нека разделим двете части на − 1 , получаваме х 2 = 36. От дясната страна има положително число, от което можем да заключим, че x = 36 или x = - 36 .
Нека извлечем корена и запишем крайния резултат: непълно квадратно уравнение − x 2 + 36 = 0има два корена х=6или x = − 6.

Отговор: х=6или x = − 6.

Решение на уравнението a x 2 +b x=0

Нека анализираме третия тип непълни квадратни уравнения, когато c = 0. Да се ​​намери решение на непълно квадратно уравнение a x 2 + b x = 0, ще използваме метода на факторизиране. Нека факторизираме полинома, който е от лявата страна на уравнението, като извадим общия множител от скоби х. Тази стъпка ще направи възможно трансформирането на оригиналното непълно квадратно уравнение в негов еквивалент x (a x + b) = 0. И това уравнение от своя страна е еквивалентно на набор от уравнения х = 0И a x + b = 0. Уравнението a x + b = 0линеен и неговия корен: x = − b a.

Определение 7

По този начин непълното квадратно уравнение a x 2 + b x = 0ще има два корена х = 0И x = − b a.

Нека затвърдим материала с пример.

Пример 5

Необходимо е да се намери решение на уравнението 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Решение

Ще го извадим хизвън скобите получаваме уравнението x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Това уравнение е еквивалентно на уравненията х = 0и 2 3 x - 2 2 7 = 0. Сега трябва да решите полученото линейно уравнение: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Запишете накратко решението на уравнението, както следва:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или x = 3 3 7

Отговор: x = 0, x = 3 3 7.

Дискриминант, формула за корените на квадратно уравнение

За намиране на решения на квадратни уравнения има коренна формула:

Определение 8

x = - b ± D 2 · a, където D = b 2 − 4 a c– така нареченият дискриминант на квадратно уравнение.

Записването на x = - b ± D 2 · a по същество означава, че x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Би било полезно да разберете как е получена тази формула и как да я приложите.

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Нека се сблъскаме със задачата да решим квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0. Нека извършим няколко еквивалентни трансформации:

• разделете двете страни на уравнението на число а, различни от нула, получаваме следното квадратно уравнение: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Нека изберем пълния квадрат от лявата страна на полученото уравнение:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + в а
  След това уравнението ще приеме формата: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Сега е възможно да прехвърлим последните два члена от дясната страна, променяйки знака на противоположния, след което получаваме: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Накрая трансформираме израза, записан от дясната страна на последното равенство:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Така стигаме до уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , еквивалентно на първоначалното уравнение a x 2 + b x + c = 0.

Разгледахме решението на такива уравнения в предишните параграфи (решаване на непълни квадратни уравнения). Вече натрупаният опит позволява да се направи заключение относно корените на уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• с b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• когато b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, уравнението е x + b 2 · a 2 = 0, тогава x + b 2 · a = 0.

От тук единственият корен x = - b 2 · a е очевиден;

• за b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 ще бъде вярно следното: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 или x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , което е същото като x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 или x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , т.е. уравнението има два корена.

Възможно е да се заключи, че наличието или отсъствието на корени на уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (и следователно първоначалното уравнение) зависи от знака на израза b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, написани от дясната страна. И знакът на този израз се дава от знака на числителя (знаменател 4 а 2винаги ще бъде положителен), тоест знакът на израза b 2 − 4 a c. Този израз b 2 − 4 a cдадено е името - дискриминантът на квадратното уравнение и буквата D е определена като негово обозначение. Тук можете да запишете същността на дискриминанта - по стойността и знака му могат да направят извод дали квадратното уравнение ще има реални корени и ако да, какъв е броят на корените - един или два.

Нека се върнем към уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Нека го пренапишем с помощта на дискриминантна нотация: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Нека отново формулираме изводите си:

Определение 9

• при д< 0 уравнението няма реални корени;
• при D=0уравнението има един корен x = - b 2 · a ;
• при D > 0уравнението има два корена: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 или x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Въз основа на свойствата на радикалите тези корени могат да бъдат записани във формата: x = - b 2 · a + D 2 · a или - b 2 · a - D 2 · a. И когато отворим модулите и приведем дробите към общ знаменател, получаваме: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

И така, резултатът от нашите разсъждения беше извеждането на формулата за корените на квадратно уравнение:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, дискриминант дизчислено по формулата D = b 2 − 4 a c.

Тези формули позволяват да се определят и двата реални корена, когато дискриминантът е по-голям от нула. Когато дискриминантът е нула, прилагането на двете формули ще даде същия корен като единственото решение на квадратното уравнение. В случай, когато дискриминантът е отрицателен, ако се опитаме да използваме формулата за корен на квадратно уравнение, ще се сблъскаме с необходимостта да извлечем корен квадратен от отрицателно число, което ще ни отведе отвъд реалните числа. С отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма да има реални корени, но е възможна двойка комплексно спрегнати корени, определени от същите формули за корени, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

Възможно е да се реши квадратно уравнение чрез незабавно използване на формулата за корен, но това обикновено се прави, когато е необходимо да се намерят сложни корени.

В повечето случаи това обикновено означава търсене не на комплексни, а на реални корени на квадратно уравнение. Тогава е оптимално, преди да използвате формулите за корените на квадратно уравнение, първо да определите дискриминанта и да се уверите, че той не е отрицателен (в противен случай ще заключим, че уравнението няма реални корени) и след това да преминете към изчисляване на стойност на корените.

Разсъждението по-горе дава възможност да се формулира алгоритъм за решаване на квадратно уравнение.

Определение 10

За решаване на квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0, необходимо:

• според формулата D = b 2 − 4 a cнамиране на дискриминантната стойност;
• при Д< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• за D = 0, намерете единствения корен на уравнението по формулата x = - b 2 · a ;
• за D > 0, определете два реални корена на квадратното уравнение, като използвате формулата x = - b ± D 2 · a.

Имайте предвид, че когато дискриминантът е нула, можете да използвате формулата x = - b ± D 2 · a, тя ще даде същия резултат като формулата x = - b 2 · a.

Нека да разгледаме примерите.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Нека дадем решение на примерите за различни значениядискриминанта.

Пример 6

Трябва да намерим корените на уравнението x 2 + 2 x − 6 = 0.

Решение

Нека запишем числените коефициенти на квадратното уравнение: a = 1, b = 2 и c = − 6. След това продължаваме според алгоритъма, т.е. Нека започнем да изчисляваме дискриминанта, за който ще заместим коефициентите a, b И ° Свъв формулата на дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Така че получаваме D > 0, което означава, че оригиналното уравнение ще има два реални корена.
За да ги намерим, използваме коренната формула x = - b ± D 2 · a и, замествайки съответните стойности, получаваме: x = - 2 ± 28 2 · 1. Нека опростим получения израз, като извадим фактора от знака за корен и след това намалим дробта:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 или x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 или x = - 1 - 7

Отговор: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Пример 7

Трябва да се реши квадратно уравнение − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Решение

Нека дефинираме дискриминанта: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. При тази стойност на дискриминанта оригиналното уравнение ще има само един корен, определен по формулата x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Отговор: х = 3,5.

Пример 8

Уравнението трябва да се реши 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Решение

Числените коефициенти на това уравнение ще бъдат: a = 5, b = 6 и c = 2. Използваме тези стойности, за да намерим дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Изчисленият дискриминант е отрицателен, така че оригиналното квадратно уравнение няма реални корени.

В случай, че задачата е да посочим сложни корени, прилагаме формулата на корена, извършвайки действия с сложни числа:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 или x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i или x = - 3 5 - 1 5 · i.

Отговор:няма реални корени; сложните корени са както следва: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN училищна програмаНяма стандартно изискване за търсене на сложни корени, следователно, ако по време на решението дискриминантът е определен като отрицателен, веднага се записва отговорът, че няма реални корени.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Коренната формула x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) дава възможност да се получи друга формула, по-компактна, позволяваща да се намерят решения на квадратни уравнения с четен коефициент за x ( или с коефициент от формата 2 · n, например 2 3 или 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Нека покажем как се получава тази формула.

Нека се изправим пред задачата да намерим решение на квадратното уравнение a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Продължаваме според алгоритъма: определяме дискриминанта D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) и след това използваме коренната формула:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Нека изразът n 2 − a · c бъде означен като D 1 (понякога се обозначава с D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 · n ще приеме формата:

x = - n ± D 1 a, където D 1 = n 2 − a · c.

Лесно се вижда, че D = 4 · D 1, или D 1 = D 4. С други думи, D 1 е една четвърт от дискриминанта. Очевидно знакът на D 1 е същият като знака на D, което означава, че знакът на D 1 може също да служи като индикатор за наличието или отсъствието на корени на квадратно уравнение.

Определение 11

По този начин, за да се намери решение на квадратно уравнение с втори коефициент от 2 n, е необходимо:

• намерете D 1 = n 2 − a · c ;
• в D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• когато D 1 = 0, определете единствения корен на уравнението, като използвате формулата x = - n a;
• за D 1 > 0, определете два реални корена, като използвате формулата x = - n ± D 1 a.

Пример 9

Необходимо е да се реши квадратното уравнение 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Решение

Можем да представим втория коефициент на даденото уравнение като 2 · (− 3) . След това пренаписваме даденото квадратно уравнение като 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, където a = 5, n = − 3 и c = − 32.

Нека изчислим четвъртата част от дискриминанта: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Получената стойност е положителна, което означава, че уравнението има два реални корена. Нека ги определим с помощта на съответната коренна формула:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 или x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 или x = - 2

Би било възможно да се извършат изчисления, като се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай решението би било по-тромаво.

Отговор: x = 3 1 5 или x = - 2 .

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога е възможно да се оптимизира формата на оригиналното уравнение, което ще опрости процеса на изчисляване на корените.

Например, квадратното уравнение 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 очевидно е по-удобно за решаване от 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

По-често опростяването на формата на квадратно уравнение се извършва чрез умножаване или разделяне на двете му страни на определено число. Например, по-горе показахме опростено представяне на уравнението 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, получено чрез разделяне на двете страни на 100.

Такова преобразуване е възможно, когато коефициентите на квадратното уравнение не са взаимно прости числа. Тогава обикновено разделяме двете страни на уравнението на най-голямата общ делителабсолютни стойности на неговите коефициенти.

Като пример използваме квадратното уравнение 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Нека определим GCD на абсолютните стойности на неговите коефициенти: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Нека разделим двете страни на първоначалното квадратно уравнение на 6 и да получим еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Като умножите двете страни на квадратно уравнение, обикновено се отървавате от дробните коефициенти. В този случай те се умножават по най-малкото общо кратно на знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако всяка част от квадратното уравнение 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 се умножи с LCM (6, 3, 1) = 6, тогава то ще бъде написано в по-проста форма x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Накрая отбелязваме, че почти винаги се отърваваме от минуса при първия коефициент на квадратно уравнение, като променяме знаците на всеки член на уравнението, което се постига чрез умножаване (или деление) на двете страни по −1. Например от квадратното уравнение − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 можете да отидете до опростената му версия 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Връзка между корени и коефициенти

Формулата за корените на квадратните уравнения, която вече ни е известна, x = - b ± D 2 · a, изразява корените на уравнението чрез неговите числени коефициенти. Въз основа на тази формула имаме възможност да зададем други зависимости между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими формули са теоремата на Виета:

x 1 + x 2 = - b a и x 2 = c a.

По-специално, за даденото квадратно уравнение сумата от корените е вторият коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например, като разгледаме формата на квадратното уравнение 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, е възможно незабавно да определим, че сумата от неговите корени е 7 3, а произведението от корените е 22 3.

Можете също така да намерите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Например сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение може да бъде изразена чрез коефициенти:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

С тази математическа програма можете решаване на квадратно уравнение.

Програмата не само дава отговор на проблема, но също така показва процеса на решаване по два начина:
- използване на дискриминант
- използване на теоремата на Vieta (ако е възможно).

Освен това отговорът се показва като точен, а не приблизителен.
Например за уравнението \(81x^2-16x-1=0\) отговорът се показва в следната форма:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ и не по този начин: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията средни училищав подготовка за тестовеи изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да си свършите домашното по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или свое обучение. по-малки братяили сестри, докато нивото на образование в областта на решаваните проблеми се повишава.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на квадратен полином, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на квадратен многочлен

Всяка латинска буква може да действа като променлива.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) и т.н.

Числата могат да се въвеждат като цели или дробни числа.
Освен това, дробни числаможе да се въведе не само като десетична, но и като обикновена дроб.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
При десетичните дроби дробната част може да бъде отделена от цялата част с точка или запетая.
Например можете да въведете десетични знацитака: 2,5x - 3,5x^2

Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от дроб.

Знаменателят не може да бъде отрицателен.

При влизане числова дробЧислителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Цялата част е отделена от дробта със знака амперсанд: &
Вход: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Резултат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

При въвеждане на израз можете да използвате скоби. В този случай при решаване на квадратно уравнение въведеният израз първо се опростява.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Реши

Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

JavaScript е деактивиран във вашия браузър.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Квадратно уравнение и неговите корени. Непълни квадратни уравнения

Всяко от уравненията
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
изглежда като
\(ax^2+bx+c=0, \)
където x е променлива, a, b и c са числа.
В първото уравнение a = -1, b = 6 и c = 1,4, във второто a = 8, b = -7 и c = 0, в третото a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такива уравнения се наричат квадратни уравнения.

Определение.
Квадратно уравнениесе нарича уравнение от формата ax 2 +bx+c=0, където x е променлива, a, b и c са някои числа и \(a \neq 0 \).

Числата a, b и c са коефициентите на квадратното уравнение. Числото a се нарича първи коефициент, числото b е втори коефициент, а числото c е свободен член.

Във всяко от уравненията под формата ax 2 +bx+c=0, където \(a\neq 0\), най-голямата степен на променливата x е квадрат. Оттук и името: квадратно уравнение.

Обърнете внимание, че квадратното уравнение се нарича още уравнение от втора степен, тъй като лявата му страна е полином от втора степен.

Нарича се квадратно уравнение, в което коефициентът на x 2 е равен на 1 дадено квадратно уравнение. Например дадените квадратни уравнения са уравненията
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ако в квадратно уравнение ax 2 +bx+c=0 поне един от коефициентите b или c е равен на нула, тогава такова уравнение се нарича непълно квадратно уравнение. Така уравненията -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 са непълни квадратни уравнения. В първия от тях b=0, във втория c=0, в третия b=0 и c=0.

Има три вида непълни квадратни уравнения:
1) ax 2 +c=0, където \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, където \(b \neq 0 \);
3) брадва 2 =0.

Нека разгледаме решаването на уравнения от всеки от тези типове.

За да решите непълно квадратно уравнение от формата ax 2 +c=0 за \(c \neq 0 \), преместете неговия свободен член в дясната страна и разделете двете страни на уравнението на a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Тъй като \(c \neq 0 \), тогава \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ако \(-\frac(c)(a)>0\), тогава уравнението има два корена.

Ако \(-\frac(c)(a) За решаване на непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +bx=0 с \(b \neq 0 \) факторизираме лявата му страна и получаваме уравнението
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (масив)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(масив) \right. \)

Това означава, че едно непълно квадратно уравнение от формата ax 2 +bx=0 за \(b \neq 0 \) винаги има два корена.

Непълно квадратно уравнение от вида ax 2 =0 е еквивалентно на уравнението x 2 =0 и следователно има един корен 0.

Формула за корените на квадратно уравнение

Нека сега разгледаме как да решаваме квадратни уравнения, в които както коефициентите на неизвестните, така и свободният член са различни от нула.

Нека решим квадратното уравнение в общ вид и в резултат ще получим формулата за корените. След това тази формула може да се използва за решаване на всяко квадратно уравнение.

Решете квадратното уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделяйки двете страни на a, получаваме еквивалентното намалено квадратно уравнение
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Нека трансформираме това уравнение, като изберем квадрата на бинома:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Стрелка надясно \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Коренният израз се нарича дискриминант на квадратно уравнение ax 2 +bx+c=0 ("дискриминант" на латински - дискриминатор). Обозначава се с буквата D, т.е.
\(D = b^2-4ac\)

Сега, използвайки дискриминантната нотация, пренаписваме формулата за корените на квадратното уравнение:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), където \(D= b^2-4ac \)

Очевидно е, че:
1) Ако D>0, тогава квадратното уравнение има два корена.
2) Ако D=0, тогава квадратното уравнение има един корен \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ако D По този начин, в зависимост от стойността на дискриминанта, едно квадратно уравнение може да има два корена (за D > 0), един корен (за D = 0) или да няма корени (за D Когато решавате квадратно уравнение, използвайки това формула, препоръчително е да направите следния начин:
1) изчислете дискриминанта и го сравнете с нула;
2) ако дискриминантът е положителен или равен на нула, използвайте формулата на корена; ако дискриминантът е отрицателен, тогава запишете, че няма корени.

Теорема на Виета

Даденото квадратно уравнение ax 2 -7x+10=0 има корени 2 и 5. Сумата от корените е 7, а произведението е 10. Виждаме, че сумата от корените е равна на втория коефициент, взет с противоположния знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Всяко редуцирано квадратно уравнение, което има корени, има това свойство.

Сумата от корените на горното квадратно уравнение е равна на втория коефициент, взет с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.

Тези. Теоремата на Виета гласи, че корените x 1 и x 2 на редуцираното квадратно уравнение x 2 +px+q=0 имат свойството:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)