Най-големият общ делител и най-малкото общо кратно са ключови аритметични понятия, които ви позволяват да работите без усилие обикновени дроби. LCM и най-често се използват за намиране на общия знаменател на няколко дроби.

Основни понятия

Делителят на цяло число X е друго цяло число Y, на което X се дели без остатък. Например делителят на 4 е 2, а 36 е 4, 6, 9. Кратно на цяло число X е число Y, което се дели на X без остатък. Например 3 е кратно на 15, а 6 е кратно на 12.

За всяка двойка числа можем да намерим техните общи делители и кратни. Например за 6 и 9 общото кратно е 18, а общият делител е 3. Очевидно двойките могат да имат няколко делителя и кратни, така че изчисленията използват най-големия делител НОД и най-малкото кратно НОК.

Най-малкият делител е безсмислен, тъй като за всяко число винаги е едно. Най-голямото кратно също е безсмислено, тъй като последователността от кратни отива до безкрайност.

Намиране на gcd

Има много методи за намиране на най-голям общ делител, най-известните от които са:

• последователно търсене на делители, избор на общи за двойка и търсене на най-големия от тях;
• разлагане на числата на неделими множители;
• Евклидов алгоритъм;
• двоичен алгоритъм.

Днес в образователните институции най-популярните методи са разлагането на прости множители и алгоритъмът на Евклид. Последното от своя страна се използва при решаване на диофантови уравнения: търсенето на GCD е необходимо, за да се провери уравнението за възможността за разделяне в цели числа.

Намиране на НОК

Най-малкото общо кратно също се определя чрез последователно търсене или разлагане на неделими множители. Освен това е лесно да се намери LCM, ако най-големият делител вече е определен. За числата X и Y LCM и GCD са свързани със следната връзка:

LCD(X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).

Например, ако GCM(15,18) = 3, тогава LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Най-очевидният пример за използване на LCM е намирането на общия знаменател, който е най-малкото общо кратно на дадени дроби.

Взаимопрости числа

Ако една двойка числа няма общи делители, тогава такава двойка се нарича взаимнопроста. НОД за такива двойки винаги е равен на едно и въз основа на връзката между делители и кратни, НОД за взаимнопрости двойки е равен на техния продукт. Например числата 25 и 28 са относително прости, тъй като нямат общи делители и LCM(25, 28) = 700, което съответства на произведението им. Всякакви две неделими числа винаги ще бъдат относително прости.

Общ делител и множествен калкулатор

С помощта на нашия калкулатор можете да изчислите GCD и LCM за произволен брой числа, от които да избирате. Задачи за пресмятане на общи делители и кратни се намират в аритметиката за 5 и 6 клас, но GCD и LCM са ключови понятия в математиката и се използват в теорията на числата, планиметрията и комуникативната алгебра.

Примери от реалния живот

Общ знаменател на дроби

Най-малкото общо кратно се използва при намиране на общия знаменател на няколко дроби. Да кажем, че в аритметична задача трябва да сумирате 5 дроби:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

За да добавите дроби, изразът трябва да бъде намален до общ знаменател, което свежда до проблема за намиране на LCM. За да направите това, изберете 5 числа в калкулатора и въведете стойностите на знаменателите в съответните клетки. Програмата ще изчисли LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Сега трябва да изчислите допълнителни фактори за всяка дроб, които се дефинират като съотношението на LCM към знаменателя. Така че допълнителните множители ще изглеждат така:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

След това умножаваме всички дроби по съответния допълнителен фактор и получаваме:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Можем лесно да сумираме такива дроби и да получим резултата като 159/360. Намаляваме дробта с 3 и виждаме крайния отговор - 53/120.

Решаване на линейни диофантови уравнения

Линейните диофантови уравнения са изрази от формата ax + by = d. Ако съотношението d / gcd(a, b) е цяло число, тогава уравнението е разрешимо в цели числа. Нека проверим няколко уравнения, за да видим дали имат цяло число. Първо, нека проверим уравнението 150x + 8y = 37. С помощта на калкулатор намираме НОД (150,8) = 2. Разделете 37/2 = 18,5. Числото не е цяло число, следователно уравнението няма цели числа.

Нека проверим уравнението 1320x + 1760y = 10120. Използвайте калкулатор, за да намерите GCD(1320, 1760) = 440. Разделете 10120/440 = 23. В резултат на това получаваме цяло число, следователно диофантовото уравнение е разрешимо с цели коефициенти .

Заключение

GCD и LCM играят голяма роля в теорията на числата, а самите концепции се използват широко в голямо разнообразие от области на математиката. Използвайте нашия калкулатор, за да изчислите най-големите делители и най-малките кратни на произволен брой числа.

Нека разгледаме три начина за намиране на най-малкото общо кратно.

Намиране чрез разлагане на множители

Първият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез разлагане на дадените числа на прости множители.

Да кажем, че трябва да намерим LCM на числата: 99, 30 и 28. За да направим това, нека разложим всяко от тези числа на прости множители:

За да може желаното число да се дели на 99, 30 и 28, е необходимо и достатъчно то да включва всички прости множители на тези делители. За да направим това, трябва да вземем всички прости множители на тези числа до възможно най-голямата степен и да ги умножим заедно:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Така LCM (99, 30, 28) = 13 860. Никое друго число, по-малко от 13 860, не се дели на 99, 30 или 28.

За да намерите най-малкото общо кратно на дадени числа, вие ги разлагате върху техните прости множители, след това взимате всеки прост множител с най-големия показател, в който се появява, и умножавате тези множители заедно.

Тъй като е взаимно прости числанямат общи прости множители, тогава тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например три числа: 20, 49 и 33 са относително прости. Ето защо

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Същото трябва да се направи, когато се намира най-малкото общо кратно на различни прости числа. Например LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Намиране чрез подбор

Вторият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез избор.

Пример 1. Когато най-голямото от дадените числа се раздели на друго дадено число, тогава LCM на тези числа е равен на най-голямото от тях. Например дадени са четири числа: 60, 30, 10 и 6. Всяко от тях се дели на 60, следователно:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

В други случаи, за да се намери най-малкото общо кратно, се използва следната процедура:

1. Определете най-голямото число от дадените числа.
2. След това намираме числата, които са кратни на най-голямото число, като го умножаваме по естествени числа във възходящ ред и проверяваме дали полученият продукт се дели на останалите дадени числа.

Пример 2. Дадени са три числа 24, 3 и 18. Определяме най-голямото от тях - това е числото 24. След това намираме числата, кратни на 24, като проверяваме дали всяко от тях се дели на 18 и 3:

24 · 1 = 24 - дели се на 3, но не се дели на 18.

24 · 2 = 48 - дели се на 3, но не се дели на 18.

24 · 3 = 72 - дели се на 3 и 18.

Така LCM (24, 3, 18) = 72.

Намиране чрез последователно намиране на LCM

Третият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез последователно намиране на LCM.

LCM на две дадени числа е равен на произведението на тези числа, делено на техния най-голям общ делител.

Пример 1. Намерете LCM на две дадени числа: 12 и 8. Определете техния най-голям общ делител: НОД (12, 8) = 4. Умножете тези числа:

Разделяме продукта на техния gcd:

Така LCM (12, 8) = 24.

За да намерите LCM на три или повече числа, използвайте следната процедура:

1. Първо, намерете LCM на произволни две от тези числа.
2. След това LCM на намереното най-малко общо кратно и третото дадено число.
3. След това LCM на полученото най-малко общо кратно и четвъртото число и т.н.
4. Така търсенето на LCM продължава, докато има числа.

Пример 2. Нека намерим НОК на три дадени числа: 12, 8 и 9. Вече намерихме НОК на числата 12 и 8 в предишния пример (това е числото 24). Остава да намерим най-малкото общо кратно на числото 24 и третото дадено число - 9. Определяме техния най-голям общ делител: НОД (24, 9) = 3. Умножаваме НОК с числото 9:

Разделяме продукта на техния gcd:

Така LCM (12, 8, 9) = 72.

За да разберете как да изчислите LCM, първо трябва да определите значението на термина „множество“.

Кратно на A е естествено число, което се дели без остатък на A. По този начин числата, кратни на 5, могат да се считат за 15, 20, 25 и т.н.

Може да има ограничен брой делители на определено число, но има безкраен брой кратни.

Общо кратно естествени числа- число, което се дели на тях без остатък.

Как да намерим най-малкото общо кратно на числа

Най-малкото общо кратно (НОК) на числа (две, три или повече) е най-малкото естествено число, което се дели на всички тези числа.

За да намерите LOC, можете да използвате няколко метода.

За малки числа е удобно да запишете всички кратни на тези числа на ред, докато намерите нещо общо сред тях. Множествата се означават с главна буква K.

Например, кратни на 4 могат да бъдат записани така:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Така можете да видите, че най-малкото общо кратно на числата 4 и 6 е числото 24. Тази нотация се прави по следния начин:

LCM(4, 6) = 24

Ако числата са големи, намерете общото кратно на три или повече числа, тогава е по-добре да използвате друг метод за изчисляване на LCM.

За да изпълните задачата, трябва да разложите дадените числа на прости множители.

Първо трябва да запишете разлагането на най-голямото число на ред, а под него - останалите.

Разлагането на всяко число може да съдържа различен брой фактори.

Например, нека разложим числата 50 и 20 на прости множители.

При разширяването на по-малкото число е необходимо да се подчертаят факторите, които отсъстват при разширяването на първото. голямо числои след това ги добавете към него. В представения пример липсва двойка.

Сега можете да изчислите най-малкото общо кратно на 20 и 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

По този начин произведението на простите множители на по-голямото число и множителите на второто число, които не са включени в разгръщането на по-голямото число, ще бъде най-малкото общо кратно.

За да намерите LCM на три или повече числа, трябва да ги разделите на прости множители, както в предишния случай.

Като пример можете да намерите най-малкото общо кратно на числата 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Така само две двойки от разширението на шестнадесет не са включени в разлагането на по-голямо число (едно е в разширението на двадесет и четири).

Следователно те трябва да бъдат добавени към разширяването на по-голям брой.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Има специални случаи за определяне на най-малкото общо кратно. Така че, ако едно от числата може да се раздели без остатък на друго, тогава по-голямото от тези числа ще бъде най-малкото общо кратно.

Например LCM на дванадесет и двадесет и четири е двадесет и четири.

Ако е необходимо да се намери най-малкото общо кратно на взаимно прости числа, които нямат еднакви делители, тогава техният LCM ще бъде равен на техния продукт.

Например LCM (10, 11) = 110.

Кратно е число, което се дели на дадено число без остатък. Най-малкото общо кратно (LCM) на група числа е най-малкото число, което се дели на всяко число в групата, без да оставя остатък. За да намерите най-малкото общо кратно, трябва да намерите простите множители на дадени числа. LCM може също да се изчисли с помощта на редица други методи, които се прилагат към групи от две или повече числа.

стъпки

Серии от кратни

Вижте тези числа.Описаният тук метод се използва най-добре, когато са дадени две числа, всяко от които е по-малко от 10. Ако са дадени големи числа, използвайте друг метод.

• Например, намерете най-малкото общо кратно на 5 и 8. Това са малки числа, така че можете да използвате този метод.

1. Кратно е число, което се дели на дадено число без остатък. Множествата могат да бъдат намерени в таблицата за умножение.

   • Например числата, кратни на 5, са: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишете поредица от числа, кратни на първото число.Направете това под кратни на първото число, за да сравните два набора от числа.

   • Например числата, кратни на 8, са: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

3. Намерете най-малкото число, което присъства и в двата набора от кратни.Може да се наложи да напишете дълги серии от кратни, за да намерите общ брой. Най-малкото число, което присъства и в двата набора от кратни, е най-малкото общо кратно.

   • Например, най-малкото число, което присъства в поредицата от кратни на 5 и 8, е числото 40. Следователно 40 е най-малкото общо кратно на 5 и 8.

   Разлагане на прости множители

   1. Вижте тези числа.Описаният тук метод се използва най-добре, когато са дадени две числа, всяко от които е по-голямо от 10. Ако са дадени по-малки числа, използвайте различен метод.

      • Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 20 и 84. Всяко от числата е по-голямо от 10, така че можете да използвате този метод.

   2. Разложете на прости множителипърво число.Тоест, трябва да намерите такива прости числа, които при умножаване ще дадат дадено число. След като намерите простите множители, запишете ги като равенства.

      • Например, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\умножено по 10=20)И 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\пъти (\mathbf (5) )=10). Така простите множители на числото 20 са числата 2, 2 и 5. Запишете ги като израз: .

   3. Разложете второто число на прости множители.Направете това по същия начин, както разложихте първото число, тоест намерете такива прости числа, които, когато се умножат, ще дадат даденото число.

      • Например, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)И 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). И така, простите множители на числото 84 са числата 2, 7, 3 и 2. Запишете ги като израз: .

   4. Запишете множителите, общи за двете числа.Запишете такива множители като операция за умножение. Докато пишете всеки множител, задраскайте го и в двата израза (изрази, които описват разлагане на числа на прости множители).

      • Например, двете числа имат общ множител 2, така че напишете 2 × (\displaystyle 2\times )и задраскайте 2 в двата израза.
      • Общото между двете числа е друг множител на 2, така че пишете 2 × 2 (\displaystyle 2\пъти 2)и задраскайте второто 2 в двата израза.

   5. Добавете останалите множители към операцията за умножение.Това са фактори, които не са зачеркнати и в двата израза, тоест фактори, които не са общи за двете числа.

      • Например в израза 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\пъти 2\пъти 5)Двете две (2) са зачеркнати, защото са общи множители. Коефициентът 5 не е зачеркнат, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\пъти 2\пъти 5)
      • В израза 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\пъти 7\пъти 3\пъти 2)и двете две (2) също са зачеркнати. Коефициентите 7 и 3 не са зачеркнати, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Изчислете най-малкото общо кратно.За да направите това, умножете числата в операцията за писмено умножение.

      • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\пъти 2\пъти 5\пъти 7\пъти 3=420). Така че най-малкото общо кратно на 20 и 84 е 420.

   Намиране на общи множители

   1. Начертайте решетка като за игра на тик-так-палец.Такава мрежа се състои от две успоредни линии, които се пресичат (под прав ъгъл) с други две успоредни линии. Това ще ви даде три реда и три колони (мрежата изглежда много като иконата #). Напишете първото число в първия ред и втората колона. Напишете второто число в първия ред и третата колона.

      • Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 18 и 30. Напишете числото 18 на първия ред и втората колона и напишете числото 30 на първия ред и третата колона.

   2. Намерете общия делител на двете числа.Запишете го в първия ред и първата колона. По-добре е да търсите основни множители, но това не е изискване.

      • Например 18 и 30 са четни числа, така че общият им множител е 2. Затова напишете 2 в първия ред и първата колона.

   3. Разделете всяко число на първия делител.Запишете всяко частно под съответното число. Частното е резултат от разделянето на две числа.

      • Например, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), така че напишете 9 под 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), така че запишете 15 под 30.

   4. Намерете делителя, общ за двете частни.Ако няма такъв делител, пропуснете следващите две стъпки. В противен случай напишете делителя във втория ред и първата колона.

      • Например 9 и 15 се делят на 3, така че напишете 3 във втория ред и първата колона.

   5. Разделете всяко частно на неговия втори делител.Запишете всеки резултат от деленето под съответното частно.

      • Например, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), така че напишете 3 под 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), така че напишете 5 под 15.

   6. Ако е необходимо, добавете допълнителни клетки към мрежата.Повторете описаните стъпки, докато частните имат общ делител.

   7. Оградете числата в първата колона и последния ред на мрежата.След това запишете избраните числа като операция за умножение.

      • Например, числата 2 и 3 са в първата колона, а числата 3 и 5 са ​​в последния ред, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\пъти 3\пъти 3\пъти 5).

   8. Намерете резултата от умножението на числа.Това ще изчисли най-малкото общо кратно на две дадени числа.

      • Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\пъти 3\пъти 3\пъти 5=90). Така че най-малкото общо кратно на 18 и 30 е 90.

   Алгоритъм на Евклид

   1. Запомнете терминологията, свързана с операцията деление.Дивидентът е числото, което се разделя. Делителят е числото, на което се дели. Частното е резултат от разделянето на две числа. Остатъкът е числото, което остава, когато две числа се делят.

      • Например в израза 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)ост. 3:
        15 е дивидентът
        6 е делител
        2 е частно
        3 е остатъкът.