T тип урок:ОНЗ (откриване на нови знания – по технологията на дейностния метод на обучение).

Основни цели:

1. Изведете техники за деление на дроби на естествено число;
2. Развиват способността да делят дроб на естествено число;
3. Повторете и затвърдете деленето на дроби;
4. Тренирайте способността за намаляване на дроби, анализиране и решаване на проблеми.

Материал за демонстрация на оборудването:

1. Задачи за актуализиране на знанията:

Сравнете изразите:

Справка:

2. Пробна (самостоятелна) задача.

1. Извършете разделяне:

2. Извършете разделяне, без да извършвате цялата верига от изчисления: .

Стандарти:

• Когато разделяте дроб на естествено число, можете да умножите знаменателя по това число, но да оставите числителя същия.

• Ако числителят се дели на естествено число, тогава когато разделяте дроб на това число, можете да разделите числителя на числото и да оставите знаменателя същия.

По време на часовете

I. Мотивация (самоопределение) към образователни дейности.

Цел на етапа:

1. Организирайте актуализирането на изискванията към ученика по отношение на учебната дейност („трябва“);
2. Организиране на дейности на учениците за създаване на тематични рамки („Аз мога“);
3. Създайте условия у ученика да развие вътрешна потребност от включване в образователни дейности („искам”).

Организация учебен процесна етап I.

Здравейте! Радвам се да ви видя всички на урока по математика. Надявам се да е взаимно.

Момчета, какви нови знания придобихте в последния урок? (Разделете дроби).

вярно Какво ви помага при деленето на дроби? (Правило, свойства).

Къде са ни нужни тези знания? (В примери, уравнения, задачи).

Много добре! Справихте се добре със задачите в последния урок. Искате ли сами да откриете нови знания днес? (Да).

Тогава - да вървим! И мотото на урока ще бъде твърдението „Не можете да научите математика, като гледате как съседът ви го прави!“

II. Актуализиране на знанията и отстраняване на индивидуални затруднения в пробно действие.

Цел на етапа:

1. Организирайте актуализирането на научените методи на действие, достатъчни за изграждане на нови знания. Запишете тези методи устно (в речта) и символично (стандартно) и ги обобщете;
2. Организирайте актуализирането на умствените операции и когнитивни процеси, достатъчни за изграждане на нови знания;
3. Мотивира за пробно действие и самостоятелното му изпълнение и обосновка;
4. Представят индивидуална задача за пробно действие и я анализират с цел идентифициране на ново учебно съдържание;
5. Организирайте фиксирането на образователната цел и темата на урока;
6. Организиране на изпълнението на пробно действие и отстраняване на затруднението;
7. Организирайте анализ на получените отговори и запишете индивидуалните трудности при извършване на пробно действие или обосноваването му.

Организация на учебния процес на II етап.

Фронтално, с помощта на таблети (индивидуални дъски).

1. Сравнете изразите:

(Тези изрази са равни)

Какви интересни неща забелязахте? (Числителят и знаменателят на делителя, числителят и знаменателят на делителя във всеки израз са увеличени с еднакъв брой пъти. Така делителите и делителите в изразите са представени с дроби, които са равни помежду си).

Намерете значението на израза и го запишете на таблета си. (2)

Как мога да запиша това число като дроб?

Как извършихте действието разделяне? (Децата рецитират правилото, учителят го окачва на дъската буквени обозначения)

2. Изчислете и запишете само резултатите:

3. Съберете резултатите и запишете отговора. (2)

Как се нарича числото, получено в задача 3? (естествен)

Мислите ли, че можете да разделите дроб на естествено число? (Да, ще опитаме)

Опитайте тази.

4. Индивидуална (пробна) задача.

Извършете деление: (само пример a)

Какво правило използвахте за разделяне? (Според правилото за деление на дроби по дроби)

Сега разделете дробта на естествено число, по-голямо от по прост начин, без извършване на цялата верига от изчисления: (пример b). Ще ви дам 3 секунди за това.

Кой не успя да изпълни задачата за 3 секунди?

Кой го направи? (няма такива)

Защо? (Не знаем пътя)

Какво получи? (трудност)

Какво мислите, че ще правим в клас? (Делите дроби на естествени числа)

Точно така, отворете си тетрадките и запишете темата на урока: „Деление на дроб с естествено число“.

Защо тази тема звучи ново, когато вече знаете как да разделяте дроби? (Има нужда от нов начин)

вярно Днес ще установим техника, която опростява делението на дроб на естествено число.

III. Идентифициране на местоположението и причината за проблема.

Цел на етапа:

1. Организирайте възстановяването на завършени операции и записвайте (словесно и символично) мястото – стъпка, операция – където е възникнало затруднението;
2. Организирайте съпоставянето на действията на учениците с използвания метод (алгоритъм) и фиксирането във външната реч на причината за затруднението - онези специфични знания, умения или способности, които липсват за решаване на първоначалния проблем от този тип.

Организация на учебния процес в III етап.

Каква задача трябваше да изпълните? (Разделете дроб на естествено число, без да преминавате през цялата верига от изчисления)

Какво ви причини затруднение? (Не можах да реша за кратко времебърз начин)

Каква цел си поставяме в урока? (Намирам бърз начинделение на дроб на естествено число)

Какво ще ви помогне? (Вече известно правило за деление на дроби)

IV. Изграждане на проект за излизане от проблем.

Цел на етапа:

1. Изясняване на целта на проекта;
2. Избор на метод (изясняване);
3. Определяне на средни стойности (алгоритъм);
4. Изграждане на план за постигане на целта.

Организация на учебния процес в IV етап.

Да се ​​върнем към тестовата задача. Казахте, че сте разделили според правилото за деление на дроби? (да)

За да направите това, заменете естественото число с дроб? (да)

Коя стъпка (или стъпки) според вас може да се пропусне?

(Веригата на решението е отворена на дъската:

Анализирайте и направете заключение. (Етап 1)

Ако няма отговор, тогава ще ви преведем през въпроси:

Къде отиде естественият делител? (В знаменателя)

Променил ли се е числителят? (Не)

И така, коя стъпка можете да „пропуснете“? (Етап 1)

План за действие:

• Умножете знаменателя на дроб по естествено число.
• Ние не променяме числителя.
• Получаваме нова фракция.

V. Изпълнение на изградения обект.

Цел на етапа:

1. Организирайте комуникативно взаимодействиеза реализиране на изградения проект, насочен към усвояване на липсващите знания;
2. Организирайте записа на изградения метод на действие в речта и знаците (с помощта на стандарт);
3. Организирайте решението на първоначалния проблем и запишете как да преодолеете затруднението;
4. Организирайте изясняване общнови знания.

Организация на учебния процес на V етап.

Сега бързо стартирайте тестовия случай по нов начин.

Сега успяхте ли да изпълните задачата бързо? (да)

Обяснете как го направихте? (Деца говорят)

Това означава, че получихме нови знания: правилото за деление на дроб на естествено число.

Много добре! Кажете го по двойки.

След това един ученик говори на класа. Ние фиксираме алгоритъма-правило устно и под формата на стандарт на дъската.

Сега въведете обозначенията на буквите и запишете формулата за нашето правило.

Ученикът пише на дъската, като казва правилото: когато разделяте дроб на естествено число, можете да умножите знаменателя по това число, но оставете числителя същия.

(Всеки записва формулата в тетрадките си).

Сега отново анализирайте веригата на решаване на тестовата задача, като обърнете специално внимание на отговора. Какво направи? (Числителят на дробта 15 беше разделен (намален) на числото 3)

Какво е това число? (Естествен, делител)

И така, как иначе можете да разделите дроб на естествено число? (Проверете: ако числителят на дроб се дели на това естествено число, можете да разделите числителя на това число, да запишете резултата в числителя на новата дроб и да оставите знаменателя същия)

Запишете този метод като формула. (Ученикът записва правилото на дъската, докато го произнася. Всеки записва формулата в тетрадките си.)

Да се ​​върнем към първия метод. Можете да го използвате, ако a:n? (Да то общ метод)

И кога е удобно да използвате втория метод? (Когато числителят на дроб се дели на естествено число без остатък)

VI. Първична консолидация с произношение във външна реч.

Цел на етапа:

1. Организирайте усвояването от деца на нов метод на действие при решаване на стандартни проблеми с тяхното произношение във външна реч (фронтално, по двойки или групи).

Организация на учебния процес в VI етап.

Изчислете по нов начин:

• № 363 (a; d) - изпълнява се на дъската, произнасяйки правилото.
• № 363 (д; е) - по двойки с проверка по образец.

VII. Самостоятелна работа със самопроверка по стандарт.

Цел на етапа:

1. Организирайте самостоятелно изпълнение на задачи от учениците за нов начин на действие;
2. Организиране на самотест въз основа на сравнение със стандарта;
3. Въз основа на резултатите от изпълнението самостоятелна работаорганизирайте размисъл върху усвояването на нов начин на действие.

Организация на учебния процес на VII етап.

Изчислете по нов начин:

• № 363 (b; c)

Учениците проверяват стандарта и отбелязват правилността на изпълнението. Причините за грешките се анализират и грешките се коригират.

Учителят пита тези ученици, които са направили грешки, каква е причината?

На този етап е важно всеки ученик самостоятелно да проверява работата си.

VIII. Включване в системата от знания и повторение.

Цел на етапа:

1. Организира идентифицирането на границите на приложение на нови знания;
2. Организирайте повторение на учебното съдържание, необходимо за осигуряване на смислена приемственост.

Организация на учебния процес в VIII етап.

Организирайте записването на неразрешените трудности в урока като насока за бъдещи образователни дейности;

Организирайте дискусия и записване на домашните.

Организация на учебния процес в ІХ етап.

1. Диалог:

Момчета, какви нови знания открихте днес? (Научих как да разделя дроб на естествено число по прост начин)

Формулирайте общ метод. (Те казват)

По какъв начин и в какви случаи можете да го използвате? (Те казват)

Какво е предимството на новия метод?

Постигнахме ли целта на урока? (да)

Какви знания използвахте, за да постигнете целта си? (Те казват)

Всичко получи ли се при вас?

Какви бяха трудностите?

2. Домашна работа:точка 3.2.4.; № 365(l, n, o, p); № 370.

3. Учител:Радвам се, че днес всички бяха активни и успяха да намерят изход от затруднението. И най-важното, не са били съседи при откриването на нов и основаването му. Благодаря за урока, деца!

Съдържание на урока

Събиране на дроби с еднакви знаменатели

Има два вида събиране на дроби:

1. Събиране на дроби с еднакви знаменатели
2. Събиране на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим събирането на дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен. Например, нека съберем дробите и . Добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако добавите пица към пица, получавате пица:

Пример 2.Добавете дроби и .

Отговорът се оказа неправилна дроб. Когато дойде краят на задачата, обичайно е да се отървете от неправилните дроби. За да се отървете от неправилна дроб, трябва да изберете цялата част от нея. В нашия случай цялата част се изолира лесно - две делено на две е равно на едно:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си спомним за пица, която е разделена на две части. Ако добавите още пица към пицата, получавате една цяла пица:

Пример 3. Добавете дроби и .

Отново събираме числителите и оставяме знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако добавите още пица към пицата, получавате пица:

Пример 4.Намерете стойността на израз

Този пример се решава точно по същия начин като предишните. Числителите трябва да се добавят, а знаменателят да се остави непроменен:

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пици към една пица и добавите още пици, получавате 1 цяла пица и повече пици.

Както можете да видите, няма нищо сложно в събирането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да добавите дроби с еднакъв знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;

Събиране на дроби с различни знаменатели

Сега нека научим как да събираме дроби с различни знаменатели. При събиране на дроби знаменателите на дробите трябва да са еднакви. Но те не винаги са еднакви.

Например, дроби могат да се добавят, защото имат еднакви знаменатели.

Но дробите не могат да се добавят веднага, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.

Има няколко начина за намаляване на дроби до един и същи знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като другите методи може да изглеждат сложни за начинаещ.

Същността на този метод е, че първо се търси LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб, за да се получи първият допълнителен фактор. Те правят същото и с втората дроб - LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител.

След това числителите и знаменателите на дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби.

Пример 1. Нека съберем дробите и

Първо, намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6

LCM (2 и 3) = 6

Сега да се върнем към дробите и . Първо, разделете LCM на знаменателя на първата дроб и вземете първия допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме 2.

Полученото число 2 е първият допълнителен множител. Записваме го до първата дроб. За да направите това, направете малка наклонена линия над фракцията и запишете допълнителния фактор, намерен над нея:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб и получаваме втория допълнителен множител. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме 3.

Полученото число 3 е вторият допълнителен множител. Записваме го до втората дроб. Отново правим малка наклонена линия над втората дроб и записваме допълнителния фактор, намерен над нея:

Сега имаме всичко готово за добавяне. Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители:

Погледнете внимателно до какво сме стигнали. Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби. Нека вземем този пример до края:

Това завършва примера. Оказва се да добавите .

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пица към пица, получавате една цяла пица и още една шеста от пица:

Намаляването на дроби до един и същ (общ) знаменател може също да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки дробите и до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица. Единствената разлика ще бъде, че този път те ще бъдат разделени на равни части (приведени към един знаменател).

Първият чертеж представлява дроб (четири части от шест), а вторият чертеж представлява дроб (три части от шест). Като добавим тези парчета, получаваме (седем парчета от шест). Тази дроб е неправилна, затова подчертахме цялата й част. В резултат на това получихме (една цяла пица и още една шеста пица).

Моля, обърнете внимание, че сме описали този пример твърде подробно. В учебните заведения не е прието да се пише толкова подробно. Трябва да можете бързо да намерите LCM на двата знаменателя и допълнителните множители към тях, както и бързо да умножите намерените допълнителни множители по вашите числители и знаменатели. Ако бяхме в училище, трябваше да напишем този пример по следния начин:

Но има и друга страна на монетата. Ако не си водите подробни бележки в първите етапи на изучаване на математика, тогава започват да се появяват въпроси от този сорт. „Откъде идва това число?“, „Защо дробите изведнъж се превръщат в напълно различни дроби? «.

За да улесните събирането на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:

1. Намерете LCM на знаменателите на дробите;
2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб;
3. Умножете числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители;
4. Съберете дроби с еднакви знаменатели;
5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, изберете цялата й част;

Пример 2.Намерете стойността на израз .

Нека използваме инструкциите, дадени по-горе.

Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дробите

Намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателите на дробите са числата 2, 3 и 4

Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб

Разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 12 на 2, получаваме 6. Получихме първия допълнителен множител 6. Записваме го над първата дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Получаваме втория допълнителен множител 4. Записваме го над втората дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Получаваме третия допълнителен множител 3. Записваме го над третата дроб:

Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по техните допълнителни множители

Умножаваме числителите и знаменателите по техните допълнителни множители:

Стъпка 4. Добавете дроби с еднакви знаменатели

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Всичко, което остава, е да съберем тези дроби. Добавете го:

Добавката не се побираше на един ред, така че преместихме оставащия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато израз не се побира на един ред, той се премества на следващия ред, като е необходимо да се постави знак за равенство (=) в края на първия ред и в началото на новия ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който беше на първия ред.

Стъпка 5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава изберете цялата част от нея

Нашият отговор се оказа неправилна дроб. Трябва да подчертаем цяла част от него. Подчертаваме:

Получихме отговор

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели

Има два вида изваждане на дроби:

1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим как да изваждаме дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб, но да оставите знаменателя същия.

Например, нека намерим стойността на израза. За да решите този пример, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен. Да го направим:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 2.Намерете стойността на израза.

Отново от числителя на първата дроб извадете числителя на втората дроб и оставете знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Този пример се решава точно по същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:

Както можете да видите, няма нищо сложно в изваждането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен;
2. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава трябва да подчертаете цялата част от нея.

Изваждане на дроби с различни знаменатели

Например, можете да извадите дроб от дроб, защото дробите имат еднакви знаменатели. Но не можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.

Общият знаменател се намира по същия принцип, който използвахме при събиране на дроби с различни знаменатели. Първо, намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Тогава LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител, който се записва над първата дроб. По същия начин LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител, който се записва над втората дроб.

След това дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се преобразуват в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби.

Пример 1.Намерете значението на израза:

Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.

Първо намираме LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12

LCM (3 и 4) = 12

Сега да се върнем към дробите и

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Напишете четири над първата дроб:

Правим същото с втората фракция. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Напишете тройка върху втората дроб:

Сега сме готови за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека вземем този пример до края:

Получихме отговор

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако изрежете пица от пица, ще получите пица

Това е подробната версия на решението. Ако бяхме в училище, щяхме да решаваме този пример по-кратко. Такова решение би изглеждало така:

Намаляването на дробите до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки тези дроби до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица, но този път ще бъдат разделени на равни части (намалени до същия знаменател):

Първата снимка показва дроб (осем части от дванадесет), а втората картина показва дроб (три части от дванадесет). Като изрежем три парчета от осем парчета, получаваме пет парчета от дванадесет. Дробта описва тези пет части.

Пример 2.Намерете стойността на израз

Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.

Нека намерим LCM на знаменателите на тези дроби.

Знаменателите на дробите са числата 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Сега намираме допълнителни множители за всяка дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на всяка дроб.

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е числото 10. Разделяме 30 на 10, получаваме първия допълнителен множител 3. Записваме го над първата дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за втората дроб. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 30 на 3, получаваме втория допълнителен множител 10. Записваме го над втората дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за третата дроб. Разделете LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е числото 5. Разделяме 30 на 5, получаваме третия допълнителен множител 6. Записваме го над третата дроб:

Сега всичко е готово за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.

Продължението на примера няма да се побере на един ред, затова преместваме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (=) на новия ред:

Отговорът се оказа обикновена дроб и изглежда, че всичко ни подхожда, но е твърде тромаво и грозно. Трябва да го направим по-просто. Какво може да се направи? Можете да съкратите тази фракция.

За да намалите дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на (НОД) на числата 20 и 30.

И така, намираме gcd на числата 20 и 30:

Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на дробта на намерения gcd, тоест на 10

Получихме отговор

Умножение на дроб по число

За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на дадения дроб по това число и да оставите знаменателя същия.

Пример 1. Умножете дроб по числото 1.

Умножете числителя на дробта по числото 1

Записът може да се разбира като отнемащ половин 1 път. Например, ако вземете пица веднъж, ще получите пица

От законите на умножението знаем, че ако умножаемото и множителят се разменят, произведението няма да се промени. Ако изразът е записан като , тогава произведението пак ще бъде равно на . Отново правилото за умножение на цяло число и дроб работи:

Тази нотация може да се разбира като вземане на половината от едно. Например, ако има 1 цяла пица и вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на дробта по 4

Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:

Изразът може да се разбира като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако вземете 4 пици, ще получите две цели пици

И ако разменим множителя и множителя, получаваме израза . То също ще бъде равно на 2. Този израз може да се разбира като вземане на две пици от четири цели пици:

Умножение на дроби

За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, трябва да подчертаете цялата част от нея.

Пример 1.Намерете стойността на израза.

Получихме отговор. Препоръчително е тази фракция да се намали. Дробта може да се намали с 2. Тогава окончателното решение ще приеме следната форма:

Изразът може да се разбира като вземане на пица от половин пица. Да кажем, че имаме половин пица:

Как да вземем две трети от тази половина? Първо трябва да разделите тази половина на три равни части:

И вземете две от тези три части:

Ще направим пица. Припомнете си как изглежда пицата, разделена на три части:

Едно парче от тази пица и двете парчета, които взехме, ще имат еднакви размери:

С други думи, ние говорим заприблизително същия размер пица. Следователно стойността на израза е

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът се оказа обикновена дроб, но би било добре да бъде съкратен. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-голямата общ делител(GCD) номера 105 и 450.

И така, нека намерим gcd на числата 105 и 450:

Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на gcd, който намерихме сега, тоест на 15

Представяне на цяло число като дроб

Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като . Това няма да промени значението на пет, тъй като изразът означава "числото пет, разделено на едно", а това, както знаем, е равно на пет:

Реципрочни числа

Сега ще се запознаем с много интересна темапо математика. Нарича се "обратни числа".

Определение. Обратно на номера е число, което, когато се умножи поа дава едно.

Нека заместим в това определение вместо променливата аномер 5 и се опитайте да прочетете определението:

Обратно на номер 5 е число, което, когато се умножи по 5 дава едно.

Възможно ли е да се намери число, което, умножено по 5, дава единица? Оказва се, че е възможно. Нека си представим пет като дроб:

След това умножете тази дроб сама по себе си, просто разменете числителя и знаменателя. С други думи, нека умножим дробта сама по себе си, само с главата надолу:

Какво ще се случи в резултат на това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме един:

Това означава, че обратното на числото 5 е числото , тъй като когато умножите 5 по, получавате едно.

Реципрочната стойност на число може да се намери и за всяко друго цяло число.

Можете също така да намерите реципрочната стойност на всяка друга дроб. За да направите това, просто го обърнете.

Деление на дроб на число

Да кажем, че имаме половин пица:

Нека го разделим поравно между две. Колко пица ще получи всеки човек?

Вижда се, че след разделянето на половината пица се получават две еднакви парчета, всяко от които представлява пица. Така че всеки получава пица.

Разделянето на дроби се извършва с помощта на реципрочни числа. Реципрочните числа ви позволяват да замените делението с умножение.

За да разделите дроб на число, трябва да умножите дробта по обратното на делителя.

Използвайки това правило, ще запишем разделянето на нашата половина от пица на две части.

И така, трябва да разделите дроба на числото 2. Тук дивидентът е дробта, а делителят е числото 2.

За да разделите дроб на числото 2, трябва да умножите тази дроб по реципрочната стойност на делителя 2. Реципрочната стойност на делителя 2 е дробта. Така че трябва да умножите по

Последния път научихме как да събираме и изваждаме дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на дроби“). Най-трудната част от тези действия беше привеждането на дроби към общ знаменател.

Сега е време да се занимаваме с умножение и деление. Добрата новина е, че тези операции са дори по-прости от събирането и изваждането. Първо, нека разгледаме най-простия случай, когато има две положителни дроби без отделена цяла част.

За да умножите две дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели поотделно. Първото число ще бъде числителят на новата дроб, а второто ще бъде знаменателят.

За да разделите две дроби, трябва да умножите първата дроб по „обърнатата“ втора дроб.

Обозначаване:

От определението следва, че деленето на дроби се свежда до умножение. За да „обърнете“ дроб, просто разменете числителя и знаменателя. Затова през целия урок ще разглеждаме основно умножението.

В резултат на умножението може да възникне редуцируема дроб (и често възниква) - тя, разбира се, трябва да бъде намалена. Ако след всички съкращения дробта се окаже неправилна, цялата част трябва да бъде маркирана. Но това, което определено няма да се случи с умножението, е редукция до общ знаменател: без кръстосани методи, най-големи множители и най-малко общи кратни.

По дефиниция имаме:

Умножение на дроби с цели части и отрицателни дроби

Ако дробите съдържат цяло число, те трябва да бъдат преобразувани в неправилни - и едва след това да се умножат според схемите, описани по-горе.

Ако има минус в числителя на дроб, в знаменателя или пред него, той може да бъде изваден от умножението или напълно премахнат съгласно следните правила:

1. Плюс с минус дава минус;
2. Две отрицания правят утвърдително.

Досега тези правила са се срещали само при събиране и изваждане. отрицателни дробикогато е било необходимо да се отървем от цяла част. За една работа те могат да бъдат обобщени, за да „изгорят“ няколко недостатъка наведнъж:

1. Зачеркваме негативите по двойки, докато изчезнат напълно. В краен случай може да оцелее един минус - този, за който нямаше половинка;
2. Ако няма останали минуси, операцията е завършена - можете да започнете да умножавате. Ако последният минус не е зачеркнат, защото за него няма двойка, го извеждаме извън границите на умножението. Резултатът е отрицателна дроб.

Задача. Намерете значението на израза:

Преобразуваме всички дроби в неправилни и след това премахваме минусите от умножението. Умножаваме останалото според обичайните правила. Получаваме:

Още веднъж напомням, че минусът, който се появява пред дроб с подчертана цяла част, се отнася именно за цялата дроб, а не само за цялата й част (това се отнася за последните два примера).

Също така имайте предвид отрицателни числа: При умножение се ограждат в скоби. Това се прави, за да се отделят минусите от знаците за умножение и да се направи цялата нотация по-точна.

Намаляване на дроби в движение

Умножението е много трудоемка операция. Числата тук се оказват доста големи и за да опростите проблема, можете да опитате да намалите фракцията допълнително преди умножение. Наистина, по същество числителите и знаменателите на дробите са обикновени множители и следователно могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. Разгледайте примерите:

Задача. Намерете значението на израза:

По дефиниция имаме:

Във всички примери с червено са отбелязани числата, които са били намалени и това, което е останало от тях.

Моля, обърнете внимание: в първия случай множителите бяха напълно намалени. На тяхно място остават единици, които най-общо казано не е необходимо да се изписват. Във втория пример не беше възможно да се постигне пълно намаление, но общият размер на изчисленията все пак намаля.

Никога обаче не използвайте тази техника, когато събирате и изваждате дроби! Да, понякога има подобни числа, които просто искате да намалите. Ето вижте:

Не можете да направите това!

Грешката възниква, защото при събиране числителят на дроб произвежда сума, а не произведение на числа. Следователно е невъзможно да се приложи основното свойство на дроб, тъй като това свойство се занимава конкретно с умножението на числа.

Просто няма други причини за намаляване на дроби, така че правилното решение на предишния проблем изглежда така:

Правилно решение:

Както можете да видите, правилният отговор се оказа не толкова красив. Като цяло, бъдете внимателни.

Умножение и деление на дроби.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Тази операция е много по-хубава от събиране-изваждане! Защото е по-лесно. Като напомняне, за да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителите (това ще бъде числителят на резултата) и знаменателите (това ще бъде знаменателят). Това е:

Например:

Всичко е изключително просто. И моля, не търсете общ знаменател! Тук няма нужда от него...

За да разделите дроб на дроб, трябва да обърнете второ(това е важно!) дроб и ги умножете, т.е.:

Например:

Ако срещнете умножение или деление с цели числа и дроби, всичко е наред. Както при събирането, правим дроб от цяло число с единица в знаменателя - и давай! Например:

В гимназията често трябва да се справяте с триетажни (или дори четириетажни!) фракции. Например:

Как мога да направя тази дроб да изглежда прилична? Да, много просто! Използвайте разделяне на две точки:

Но не забравяйте за реда на разделяне! За разлика от умножението, тук това е много важно! Разбира се, няма да бъркаме 4:2 или 2:4. Но е лесно да се направи грешка в триетажна част. Моля, обърнете внимание например:

В първия случай (израз вляво):

Във втория (израз вдясно):

Усещате ли разликата? 4 и 1/9!

Какво определя реда на разделяне? Или със скоби, или (както тук) с дължината на хоризонталните линии. Развийте окото си. И ако няма скоби или тирета, като:

след това разделете и умножете по ред, отляво надясно!

И още една много проста и важна техника. В действия със степени ще ви бъде толкова полезно! Нека разделим едно на произволна дроб, например на 13/15:

Кадърът се обърна! И това винаги се случва. Когато разделите 1 на която и да е дроб, резултатът е същата дроб, само обърната.

Това е всичко за операциите с дроби. Нещото е доста просто, но дава повече от достатъчно грешки. Забележка практически съвети, и ще има по-малко от тях (грешки)!

Практически съвети:

1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Това не са общи думи, не са добри пожелания! Това е крайна необходимост! Направете всички изчисления на Единния държавен изпит като пълноценна задача, фокусирана и ясна. По-добре е да напишете два допълнителни реда в черновата си, отколкото да се объркате, когато правите умствени изчисления.

2. В примерите със различни видовефракции - отидете на обикновени дроби.

3. Намаляваме всички дроби, докато спрат.

4. Редуцираме многостепенните дробни изрази до обикновени, като използваме разделяне през две точки (следваме реда на разделяне!).

5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.

Ето задачите, които определено трябва да изпълните. След всички задачи се дават отговори. Използвайте материалите по тази тема и практически съвети. Преценете колко примера сте успели да решите правилно. Първият път! Без калкулатор! И си направи правилните изводи...

Запомнете - верният отговор е получено от втори (особено трети) път не се брои!Такъв е суровият живот.

Така, решаване в изпитен режим ! Това между другото вече е подготовка за Единния държавен изпит. Решаваме примера, проверяваме го, решаваме следващия. Решихме всичко - проверихме отново от първия до последния. Но само Тогававижте отговорите.

Изчисли:

Реши ли?

Търсим отговори, които отговарят на вашите. Нарочно ги записах безредно, далеч от изкушението, така да се каже... Ето ги и отговорите, написани с точка и запетая.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Сега правим изводи. Ако всичко се получи, радвам се за вас! Основните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можете да правите по-сериозни неща. Ако не...

Така че имате един от двата проблема. Или и двете наведнъж.) Липса на знания и (или) невнимание. Но това разрешими проблеми.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва обект не като цяло, а на отделни части. Започнете да изучавате тази тема - споделя. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи обект. В края на краищата не винаги е възможно да се изрази например дължината или цената на даден продукт като цяло число; трябва да се вземат предвид части или дроби от някаква мярка. Образувана от глагола „разделяне“ - разделяне на части и имаща арабски корени, самата дума „фракция“ възниква на руски език през 8 век.

Дробните изрази отдавна се смятат за най-трудния дял от математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат ​​„счупени числа“, което е много трудно за разбиране от хората.

Модерна визияпрости дробни остатъци, чиито части са разделени с хоризонтална линия, са били насърчавани за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се умножават смесени дроби с различни знаменатели.

Умножение на дроби с различни знаменатели

Първоначално си струва да се определи видове дроби:

• правилно;
• неправилно;
• смесен.

След това трябва да запомните как се умножават дробни числа с еднакви знаменатели. Самото правило на този процес е лесно да се формулира независимо: резултатът от умножението прости дробис еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби. Тоест всъщност новият знаменател е квадрат на един от първоначално съществуващите.

При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:

а/b * ° С/д = а*в / b*d.

Единствената разлика е, че полученото число под дробната линия ще бъде произведението на различни числа и, естествено, квадрат на едно числено изражениеневъзможно е да го назовем.

Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Примерите използват методи за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителя с числата на знаменателя; съседните множители над или под дробната линия не могат да бъдат намалени.

Заедно с простите дробни числа, има концепция за смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как работи умножението?

Дадени са няколко примера за разглеждане.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Примерът използва умножение на число по обикновена дробна част, правилото за това действие може да се запише като:

а* б/° С = а*б/° С.

Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Има друго решение за умножаване на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:

д* д/f = д/е: г.

Тази техника е полезна за използване, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, на цяло число.

Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Този пример включва метода на представяне смесена фракциянеправилно, може да се представи и като обща формула:

а b° С = а*б+ c / c, където знаменателят на новата дроб се образува чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му с числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.

Този процес работи и в обратна страна. За да разделите цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на нейния знаменател с помощта на „ъгъл“.

Умножение на неправилни дробипроизведени по общоприет начин. Когато пишете под една дробна линия, трябва да намалите дробите, ако е необходимо, за да намалите числата с помощта на този метод и да улесните изчисляването на резултата.

В интернет има много помощници за решаване дори на сложни математически задачи в различни варианти на програми. Достатъчен брой такива услуги предлагат своята помощ при броене на умножение на дроби с различни числав знаменатели – т. нар. онлайн калкулатори за пресмятане на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции обикновени дробии смесени числа. С него се работи лесно, попълвате съответните полета на страницата на сайта и избирате знака математическа операцияи щракнете върху „изчисли“. Програмата изчислява автоматично.

Темата за аритметичните действия с дроби е актуална за цялото обучение на учениците от средните и средните класове. В гимназията вече не разглеждат най-простите видове, но цели дробни изрази, но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре усвоените основни познания дават пълна увереност при успешното решаване на най-сложните проблеми.

В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е част. Не е във властта на човек да увеличи своя числител - своите заслуги - но всеки може да намали своя знаменател - своето мнение за себе си, и с това намаляване да се доближи до своето съвършенство.