През пети век пр.н.е древногръцки философЗенон от Елея формулира своите известни апории, най-известната от които е апорията „Ахил и костенурката“. Ето как звучи:

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждат апориите на Зенон по един или друг начин. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и до днес; научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... математическият анализ, теорията на множествата, нови физически и философски подходи бяха включени в изследването на въпроса ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че се заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.

От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на нашата обичайна логика ни води в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне на времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да надбяга костенурката.

Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.

Как да избегнем този логически капан? Остани вътре постоянни единицивремеви измервания и не отивайте на реципрочни. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но не е така цялостно решениепроблеми. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки един момент една летяща стрела е в покой в ​​различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали колата се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка в различни точки във времето, но не можете да определите разстоянието от тях. За да определите разстоянието до кола, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството в един момент във времето, но от тях не можете да определите факта на движение (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне ). Това, което искам да отбележа Специално внимание, е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не трябва да се бъркат, защото предоставят различни възможности за изследване.

Сряда, 4 юли 2018 г

Разликите между набор и мултимножество са описани много добре в Wikipedia. Да видим.

Както можете да видите, "не може да има два еднакви елемента в набор", но ако има идентични елементи в набор, такъв набор се нарича "мултисет". Разумните същества никога няма да разберат такава абсурдна логика. Това е нивото на говорещите папагали и дресираните маймуни, които нямат интелигентност от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.

Имало едно време инженерите, които построили моста, били в лодка под моста, докато тествали моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.

Колкото и да се крият математиците зад фразата „имайте предвид, аз съм в къщата“ или по-скоро „математиката изучава абстрактни понятия“, има една пъпна връв, която ги свързва неразривно с реалността. Тази пъпна връв е пари. Нека приложим математическата теория на множествата към самите математици.

Учихме много добре математика и сега седим на касата и даваме заплати. И така, един математик идва при нас за парите си. Ние му преброяваме цялата сума и я поставяме на масата си в различни купчини, в които поставяме банкноти от една и съща деноминация. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и даваме на математика неговия „математически набор от заплата“. Нека обясним на математика, че той ще получи останалите сметки едва когато докаже, че множество без еднакви елементи не е равно на множество с еднакви елементи. Тук започва забавлението.

На първо място ще работи логиката на депутатите: „Това може да се приложи към другите, но не и към мен!“ След това ще започнат да ни уверяват, че банкнотите с една и съща номинална стойност имат различни номера на банкнотите, което означава, че не могат да се считат за едни и същи елементи. Добре, да броим заплатите в монети - на монетите няма цифри. Тук математикът ще започне трескаво да си спомня физиката: различните монети имат различно количество мръсотия, кристалната структура и разположението на атомите е уникално за всяка монета...

А сега имам най-много интерес Питай: къде е линията, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, тук науката дори не лъже.

Вижте тук. Избираме футболни стадиони с еднаква площ. Площите на полетата са еднакви - което означава, че имаме мултимножество. Но ако погледнем имената на същите тези стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е едновременно множество и мултимножество. Кое е вярно? И ето че математикът-шаман-шарпист вади асо коз от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.

За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво „мислимо като неединно цяло“ или „немислимо като единно цяло“.

Неделя, 18 март 2018 г

Сумата от цифрите на едно число е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сумата от цифрите на числото и да го използваме, но те затова са шамани, за да учат потомците на своите умения и мъдрост, иначе шаманите просто ще измрат.

Имате ли нужда от доказателство? Отворете Wikipedia и се опитайте да намерите страницата „Сума от цифри на число“. Тя не съществува. Няма формула в математиката, която може да се използва за намиране на сумата от цифрите на произволно число. В края на краищата числата са графични символи, с които пишем числа, а на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сумата от графични символи, представляващи произволно число.“ Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат да го направят лесно.

Нека да разберем какво и как правим, за да намерим сумата от цифрите на дадено число. И така, нека имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.

1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме Преобразуваме числото в графичен числов символ. Това не е математическа операция.

2. Разрязваме една получена картина на няколко картинки, съдържащи отделни числа. Изрязването на картина не е математическа операция.

3. Преобразувайте отделни графични символи в числа. Това не е математическа операция.

4. Съберете получените числа. Сега това е математика.

Сумата от цифрите на числото 12345 е 15. Това са „курсовете по кроене и шиене“, преподавани от шамани, които математиците използват. Но това не е всичко.

От математическа гледна точка няма значение в коя бройна система записваме числото. И така, в различни системиВ смятането сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като долен индекс отдясно на числото. СЪС Голям брой 12345 Не искам да си заблуждавам главата, нека погледнем числото 26 от статията за . Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройни системи. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп; вече го направихме. Нека да видим резултата.

Както можете да видите, в различните бройни системи сумата от цифрите на едно и също число е различна. Този резултат няма нищо общо с математиката. Това е същото, както ако определите площта на правоъгълник в метри и сантиметри, ще получите напълно различни резултати.

Нулата изглежда еднакво във всички бройни системи и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че. Въпрос към математиците: как в математиката се обозначава нещо, което не е число? Какво, за математиците не съществува нищо освен числата? За шаманите мога да го позволя, но не и за учените. Реалността не е само в числа.

Полученият резултат трябва да се счита за доказателство, че бройните системи са мерни единици за числа. В крайна сметка не можем да сравняваме числа с различни мерни единици. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултати след сравняването им, то това няма нищо общо с математиката.

Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът математическа операцияне зависи от размера на числото, използваната мерна единица и кой извършва действието.

Знак на вратата Той отваря вратата и казва:

о! Това не е ли женската тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изследване на бездефилната святост на душите по време на възнесението им на небето! Ореол отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?

Жена... Ореолът отгоре и стрелката надолу са мъжки.

Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,

Тогава не е изненадващо, че изведнъж намирате странна икона в колата си:

Лично аз полагам усилия да видя минус четири градуса в акащ човек (една снимка) (композиция от няколко снимки: знак минус, числото четири, обозначение на градуси). И не мисля, че това момиче е глупачка, която не знае физика. Тя просто има силен стереотип за възприемане на графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.

1А не е „минус четири градуса“ или „едно а“. Това е "какащият човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетична системаОтчитане. Тези хора, които постоянно работят в тази бройна система, автоматично възприемат число и буква като един графичен символ.

Степенуването е операция, тясно свързана с умножението; тази операция е резултат от многократно умножаване на число само по себе си. Нека го представим с формулата: a1 * a2 * … * an = an.

Например a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

По принцип степенуването често се използва в различни формули в математиката и физиката. Тази функция има по-научна цел от четирите основни: събиране, изваждане, умножение, деление.

Повдигане на число на степен

Повишаването на число на степен не е сложна операция. Свързано е с умножението по подобен начин на връзката между умножение и събиране. Нотацията an е кратка нотация на n-тия брой числа „a“, умножени едно по друго.

Помислете най-много за степенуване прости примери, преминавайки към сложни.

Например 42. 42 = 4 * 4 = 16. Четири на квадрат (на втора степен) е равно на шестнадесет. Ако не разбирате умножението 4 * 4, прочетете нашата статия за умножението.

Нека да разгледаме друг пример: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Пет на куб (на трета степен) е равно на сто двадесет и пет.

Друг пример: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Девет на куб се равнява на седемстотин двадесет и девет.

Формули за степенуване

За да повдигнете правилно на степен, трябва да запомните и знаете формулите, дадени по-долу. В това няма нищо особено естествено, основното е да разберете същността и тогава те не само ще бъдат запомнени, но и ще изглеждат лесни.

Повдигане на моном на степен

Какво е моном? Това е произведение на числа и променливи във всяко количество. Например две е моном. И тази статия е точно за повдигането на такива мономи на степени.

Използвайки формулите за степенуване, няма да е трудно да се изчисли степенуването на моном.

Например, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ако повдигнете моном на степен, тогава всеки компонент на монома се повдига на степен.

Чрез повишаване на променлива, която вече има степен, на степен, степените се умножават. Например (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Повдигане на отрицателна степен

Отрицателната степен е реципрочната стойност на число. Какво е реципрочното число? Реципрочната стойност на всяко число X е 1/X. Тоест X-1=1/X. Това е същността на отрицателния градус.

Разгледайте примера (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Защо така? Тъй като има минус в степента, ние просто прехвърляме този израз в знаменателя и след това го повдигаме на трета степен. Просто, нали?

Повдигане на дробна степен

Нека започнем да разглеждаме въпроса от конкретен пример. 43/2. Какво означава степен 3/2? 3 – числител, означава повдигане на число (в случая 4) до куб. Числото 2 е знаменателят; това е извличането на втория корен от число (в този случай 4).

След това получаваме корен квадратен от 43 = 2^3 = 8. Отговор: 8.

И така, знаменателят на дробна степен може да бъде 3 или 4 или произволно число до безкрайност и това число определя степента корен квадратен, извлечено от дадено число. Разбира се, знаменателят не може да бъде нула.

Издигане на корен до степен

Ако коренът се повдигне до степен, равна на степента на самия корен, тогава отговорът ще бъде радикален израз. Например (√x)2 = x. И така във всеки случай степента на корена и степента на издигане на корена са равни.

Ако (√x)^4. Тогава (√x)^4=x^2. За да проверим решението, преобразуваме израза в израз с дробна степен. Тъй като коренът е квадратен, знаменателят е 2. И ако коренът е повдигнат на четвърта степен, тогава числителят е 4. Получаваме 4/2=2. Отговор: x = 2.

Така или иначе най-добрият вариантпросто преобразувайте израза в израз с дробна степен. Ако дробта не се съкращава, тогава това е отговорът, при условие че коренът на даденото число не е изолиран.

Повдигане на комплексно число на степен

Какво е комплексно число? Комплексно число е израз, който има формулата a + b * i; a, b са реални числа. i е число, което, когато се повдигне на квадрат, дава числото -1.

Нека разгледаме един пример. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Запишете се за курса „Ускорете менталната аритметика, НЕ менталната аритметика“, за да научите как бързо и правилно да събирате, изваждате, умножавате, разделяте, квадратирате числа и дори да извличате корени. След 30 дни ще научите как да използвате лесни трикове за опростяване на аритметичните операции. Всеки урок съдържа нови техники, ясни примери и полезни задачи.

Степенене онлайн

С помощта на нашия калкулатор можете да изчислите повишаването на число на степен:

Степенуване 7 клас

Учениците започват да се издигат на степен едва в седми клас.

Степенуването е операция, тясно свързана с умножението; тази операция е резултат от многократно умножаване на число само по себе си. Нека го представим с формулата: a1 * a2 * … * an=an.

Например, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Примери за решение:

Представяне на степенуване

Презентация за издигане на степени, предназначена за седмокласници. Презентацията може да изясни някои неясни точки, но тези точки вероятно няма да бъдат изяснени благодарение на нашата статия.

Долен ред

Разгледахме само върха на айсберга, за да разберете по-добре математиката - запишете се за нашия курс: Ускоряване на менталната аритметика - НЕ на менталната аритметика.

От курса вие не само ще научите десетки техники за опростени и бързо умножение, събиране, умножение, деление, изчисляване на проценти, но ще ги упражнявате и в специални задачи и образователни игри! Менталната аритметика също изисква много внимание и концентрация, които се тренират активно при решаване на интересни задачи.

Една от основните характеристики в алгебрата и в цялата математика е степента. Разбира се, в 21 век всички изчисления могат да се правят на онлайн калкулатор, но е по-добре за развитието на мозъка да се научите как да го правите сами.

В тази статия ще разгледаме най-много важни въпросисвързани с това определение. А именно, нека разберем какво е това като цяло и какви са основните му функции, какви свойства има в математиката.

Нека да разгледаме примери как изглежда изчислението и какви са основните формули. Нека да разгледаме основните типове количества и как те се различават от другите функции.

Нека разберем как да решаваме различни проблеми, използвайки това количество. Ще покажем с примери как да повдигнем на нулева степен, ирационално, отрицателно и т.н.

Онлайн калкулатор за степенуване

Какво е степен на число

Какво се има предвид с израза „повишаване на число на степен“?

Степента n на число е произведение на множители с големина a n пъти подред.

Математически изглежда така:

a n = a * a * a * …a n .

Например:

• 2 3 = 2 на трета степен. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 към стъпка. две = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 за стъпка. четири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 в 5 стъпки. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 = 10 в 4 стъпки. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

По-долу има таблица с квадратчета и кубчета от 1 до 10.

Таблица на градусите от 1 до 10

По-долу са резултатите от строителството естествени числана положителни степени – „от 1 до 100”.

Ч-ло	2-ри ст.	3-ти етап
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства на степените

Какво е характерно за такава математическа функция? Нека да разгледаме основните свойства.

Учените са установили следното признаци, характерни за всички степени:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Нека проверим с примери:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. От друга страна, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

По същия начин: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. В противен случай 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ами ако е различно? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Както можете да видите, правилата работят.

Но какво да кажем за със събиране и изваждане? Просто е. Първо се извършва степенуване, а след това събиране и изваждане.

Нека да разгледаме примери:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Моля, обърнете внимание: правилото няма да е в сила, ако първо извадите: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Но в този случай първо трябва да изчислите добавянето, тъй като в скоби има действия: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Как да произвеждаме изчисления в по-сложни случаи? Редът е същият:

• ако има скоби, трябва да започнете с тях;
• след това степенуване;
• след това изпълнява операциите умножение и деление;
• след събиране, изваждане.

Има специфични свойства, които не са характерни за всички степени:

1. Коренът n-ти от числото a на степен m ще бъде записан като: a m / n.
2. При повдигане на дроб на степен: както числителят, така и знаменателят му са предмет на тази процедура.
3. При изграждане на произведение различни числана степен, изразът ще съответства на произведението на тези числа на дадената степен. Тоест: (a * b) n = a n * b n.
4. Когато повдигате число на отрицателна степен, трябва да разделите 1 на число от същия век, но със знак „+“.
5. Ако знаменателят на дроб е на отрицателна степен, тогава този израз е равен на произведението на числителя и знаменателя на положителна степен.
6. Произволно число на степен 0 = 1 и на степен. 1 = към себе си.

Тези правила са важни в някои случаи, ще ги разгледаме по-подробно по-долу.

Степен с отрицателен показател

Какво да правим, когато минус градус, т.е. когато индикаторът е отрицателен?

Въз основа на свойства 4 и 5(виж точката по-горе), Оказва се:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

И обратно:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Ами ако е дроб?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Степен с натурален показател

Разбира се като степен с показатели, равни на цели числа.

Неща, които трябва да запомните:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...и т.н.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...и т.н.

В допълнение, ако (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...тогава резултатът ще бъде със знак "+". Ако отрицателно число се повдигне на нечетна степен, тогава обратното.

За тях са характерни и общи свойства, както и всички специфични характеристики, описани по-горе.

Дробна степен

Този тип може да бъде написан като схема: A m / n. Прочетете като: корен n-ти от числото A на степен m.

Можете да правите каквото искате с дробен индикатор: да го намалите, да го разделите на части, да го повишите на друга степен и т.н.

Степен с ирационален показател

Нека α е ирационално число и A ˃ 0.

За да разберете същността на степента с такъв показател, Нека разгледаме различни възможни случаи:

• A = 1. Резултатът ще бъде равен на 1. Тъй като има аксиома - 1 във всички степени е равно на единица;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рационални числа;

• 0˂А˂1.

В този случай е обратното: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 при същите условия като във втория параграф.

Например показателят е числото π.Това е рационално.

r 1 – в този случай е равно на 3;

r 2 – ще бъде равно на 4.

Тогава за A = 1, 1 π = 1.

A = 2, след това 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, след това (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Такива степени се характеризират с всички математически операции и специфични свойства, описани по-горе.

Заключение

Нека обобщим - за какво са необходими тези количества, какви са предимствата на подобни функции? Разбира се, на първо място, те опростяват живота на математиците и програмистите при решаване на примери, тъй като им позволяват да минимизират изчисленията, да съкратят алгоритмите, да систематизират данни и много други.

Къде другаде могат да бъдат полезни тези знания? Във всяка работна специалност: медицина, фармакология, стоматология, строителство, технология, инженерство, дизайн и др.

може да се намери чрез умножение. Например: 5+5+5+5+5+5=5x6. За такъв израз се казва, че сборът от равни членове се сгъва в произведение. И обратното, ако прочетем това равенство отдясно наляво, откриваме, че сме разширили сбора от равни членове. По същия начин можете да свиете произведението на няколко равни множителя 5x5x5x5x5x5=5 6.

Тоест, вместо да умножат шест еднакви множителя 5x5x5x5x5x5, те пишат 5 6 и казват „пет на шеста степен”.

Изразът 5 6 е степен на число, където:

5 - степен база;

6 - експонент.

Наричат ​​се действия, чрез които произведението на равни множители се свежда до степен издигане на степен.

IN общ изгледстепен с основа "а" и показател "n" се записва така

Повишаването на числото a на степен n означава намиране на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a

Ако основата на степента "а" е равна на 1, тогава стойността на степента за всяко естествено число n ще бъде равна на 1. Например 1 5 =1, 1 256 =1

Ако увеличите числото „а“ до първа степен, тогава получаваме самото число a: a 1 = a

Ако повишите произволно число до нулева степен, тогава в резултат на изчисленията получаваме едно. а 0 = 1

Втората и третата степен на число се считат за специални. Те измислиха имена за тях: втората степен се нарича квадрат на числото, трето - кубтози номер.

Всяко число може да бъде повдигнато на степен - положителна, отрицателна или нула. В този случай не се прилагат следните правила:

При намиране на степента на положително число резултатът е положително число.

Когато изчисляваме нула към естествената степен, получаваме нула.

x m · x n = x m + n

например: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Да се споделям степени с на същото основание Не променяме основата, а изваждаме степените:

x m / x n = x m - n , Където, m > n,

например: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

При изчисляване издигане на степен на степенНе променяме основата, а умножаваме степенните степени един по друг.

(при м ) н = y m н

например: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(Х · y) n = x n · y m ,

например:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

При извършване на изчисления съгл повишаване на дроб на степенповдигаме числителя и знаменателя на дробта на дадена степен

(x/y)n = x n / y n

например: (2/5) 3 = (2/5) · (2 ​​​​/ 5) · (2 ​​​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Последователността на изчисленията при работа с изрази, съдържащи степен.

При извършване на изчисления на изрази без скоби, но съдържащи степени, те първо извършват степенуване, след това умножение и деление и едва след това операции събиране и изваждане.

Ако трябва да изчислите израз, съдържащ скоби, първо направете изчисленията в скобите в реда, посочен по-горе, а след това останалите действия в същия ред отляво надясно.

Много широко в практическите изчисления се използват готови таблици на мощностите за опростяване на изчисленията.

Както знаете, в математиката има не само положителни числа, но и отрицателни. Ако запознаването с положителните сили започва с определяне на площта на квадрат, тогава с отрицателните сили всичко е малко по-сложно.

Това трябва да знаете:

1. Като увеличим числото до естествена степенсе нарича умножение на число (в статията ще разгледаме понятията число и еквивалент на цифра) само по себе си в такава сума като експонента (в бъдеще ще използваме успоредно и просто думата експонента). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. Най-общо изглежда така: m^n = m*m*m*…*m (n пъти).
2. Трябва да се има предвид, че когато отрицателно число се повдигне на естествена степен, то ще стане положително, ако показателят е четен.
3. Повишаването на число до степен 0 дава единица, при условие че не е равно на нула. От нула до нулева степен се счита за недефинирано. 17^0 = 1.
4. Извличането на корен на определена степен от число означава намиране на число, което, когато бъде повдигнато до подходящия показател, ще даде желаната стойност. И така, кубичният корен от 125 е 5, тъй като 5^3 = 125.
5. Ако искате да повишите число на положителна дробна степен, тогава трябва да повишите числото до степента на знаменателя и да извлечете корена на степента на числителя от него. 6^5/7 = корен седми от произведението 6*6*6*6*6.
6. Ако искате да повишите число до отрицателна степен, тогава трябва да намерите обратната на даденото число. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Повишаване на число по модул нула до едно на отрицателна степен

Първо трябва да си спомним какво е модул. Това е разстоянието по координатната линия от стойността, която сме избрали до началото (нулата на координатната линия). По дефиниция той никога не може да бъде отрицателен.

Стойност, по-голяма от нула

Когато стойността на една цифра е между нула и едно, отрицателен индикатор дава увеличение на самата цифра. Това се случва, защото знаменателят намалява, като остава положителен.

Нека да разгледаме примери:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Освен това, колкото по-голям е модулът на индикатора, толкова по-активно расте цифрата. Тъй като знаменателят клони към нула, самата дроб клони към плюс безкрайност.

Стойност по-малка от нула

Сега нека да разгледаме как да го повдигнем на отрицателна степен, ако числото по-малко от нула. Принципът е същият като в предишната част, но тук има значение знакът на индикатора.

Нека да разгледаме отново примерите:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

В този случай виждаме това модулът продължава да расте, но знакът зависи от това дали индикаторът е четен или нечетен.

Трябва да се отбележи, че ако изградим единица, тя винаги ще остане сама по себе си. Ако трябва да повишите число минус едно, тогава с четен показател ще се превърне в едно, а с нечетен показател ще остане минус едно.

Повдигане на отрицателна цяло число, ако модулът е по-голям от едно

За числа, чийто модул е ​​по-голям от едно,има свои собствени особености на действие. На първо място, трябва да преобразувате цялата част от дробта в числителя, тоест да я преобразувате в неправилна дроб. Ако имаме десетичен знак, тогава трябва да се преобразува в нормален. Това се прави по следния начин:

• 6 цели числа 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Сега нека разгледаме как да повдигнем число на отрицателна степен при тези условия. Вече от горното можем да предположим какво можем да очакваме от резултата от изчисленията. Тъй като двойна дроб се обръща по време на опростяване, модулът на фигурата ще намалява толкова по-бързо, колкото по-голям е модулът на експонентата.

Първо, нека разгледаме ситуацията, когато даденото число в задачата е положително.

Първо, става ясно, че крайният резултат ще бъде по-голям от нула, тъй като разделянето на две положителни винаги дава положително. Нека отново да разгледаме примери как се прави това:

• 6 цели числа 1/20 на минус пета степен = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 ,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Както можете да видите, действията не създават особени затруднения и всички наши първоначални предположения се оказаха верни.

Сега да се обърнем към случая с отрицателна цифра.

Като начало можем да предположим, че ако индикаторът е четен, тогава резултатът ще бъде положителен, ако индикаторът е нечетен, тогава резултатът ще бъде отрицателен. Всички наши предишни изчисления в тази част ще се считат за валидни сега. Нека отново да разгледаме примерите:

• -3 цяло 1/2 на минус шеста степен = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Така всички наши разсъждения се оказаха верни.

Конструкция в случай на отрицателен дробен показател

Тук трябва да запомните, че такава конструкция съществува извличане на корена на степента на знаменателя от число на степен на числителя. Всички наши предишни разсъждения остават верни този път. Нека обясним нашите действия с пример:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

В този случай трябва да имате предвид, че извличането на корени високо нивое възможно само в специално избрана форма и най-вероятно няма да можете да се отървете от знака на радикала (корен квадратен, корен кубичен и т.н.) с точни изчисления.

Въпреки това, след като сте проучили подробно предишните глави, не трябва да очаквате трудности при училищните изчисления.

Трябва да се отбележи, че описанието на тази глава също включва конструкция с умишлено нерационален показател, например, ако индикаторът е равен на минус PI. Трябва да действате според принципите, описани по-горе. Изчисленията в такива случаи обаче стават толкова сложни, че само мощни електронни компютри могат да го направят.

Заключение

Действието, което изучавахме е една от най-трудните задачи в математиката(особено в случай на дробно-рационално или ирационално значение). Въпреки това, след като проучи подробно и стъпка по стъпка тези инструкции, можете да се научите да правите това напълно автоматично без никакви проблеми.