Логаритмични изрази, решаване на примери. В тази статия ще разгледаме проблеми, свързани с решаването на логаритми. Задачите поставят въпроса за намиране на значението на израз. Трябва да се отбележи, че понятието логаритъм се използва в много задачи и разбирането на значението му е изключително важно. Що се отнася до Единния държавен изпит, логаритъмът се използва при решаване на уравнения, в приложни задачи, а също и в задачи, свързани с изучаването на функции.

Нека дадем примери, за да разберем самото значение на логаритъма:

Основна логаритмична идентичност:

Свойства на логаритмите, които винаги трябва да се запомнят:

*Логаритъм на произведението равно на суматалогаритми от фактори.

* * *

*Логаритъм на частното (фракция) равно на разликаталогаритми от фактори.

* * *

*Логаритъмът на степенна степен е равен на произведението на степенната степен и логаритъма на нейната основа.

* * *

*Преминаване към нова основа

* * *

Още имоти:

* * *

Изчисляването на логаритми е тясно свързано с използването на свойствата на показателите.

Нека изброим някои от тях:

Същността на това свойство е, че когато числителят се прехвърли в знаменателя и обратно, знакът на степента се променя на противоположния. Например:

Следствие от това свойство:

* * *

При повишаване на степен на степен основата остава същата, но показателите се умножават.

* * *

Както видяхте, самата концепция за логаритъм е проста. Основното е, че имате нужда от добра практика, която ви дава определено умение. Разбира се, изисква се познаване на формулите. Ако умението за преобразуване на елементарни логаритми не е развито, тогава при решаване на прости задачи лесно можете да направите грешка.

Практикувайте, решавайте първо най-простите примери от курса по математика, след това преминете към по-сложните. В бъдеще определено ще покажа как се решават „грозни“ логаритми; няма да има такива на Единния държавен изпит, но представляват интерес, не го пропускайте!

Това е всичко! Късмет!

С уважение, Александър Крутицких

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране определено лицеили връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Инструкции

Запишете даденото логаритмичен израз. Ако изразът използва логаритъм от 10, тогава записът му се съкращава и изглежда така: lg b е десетичният логаритъм. Ако основата на логаритъма е числото e, тогава напишете израза: ln b – натурален логаритъм. Разбираемо е, че резултатът от any е степента, на която трябва да се повдигне основното число, за да се получи числото b.

Когато намирате сумата на две функции, просто трябва да ги разграничите една по една и да съберете резултатите: (u+v)" = u"+v";

Когато намирате производната на произведението на две функции, е необходимо да умножите производната на първата функция по втората и да добавите производната на втората функция, умножена по първата функция: (u*v)" = u"*v +v"*u;

За да се намери производната на частното на две функции, е необходимо да се извади от произведението на производната на дивидента, умножено по функцията делител, произведението на производната на делителя, умножено по функцията на делителя, и да се раздели всичко това чрез функцията делител на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ако се даде сложна функция, тогава е необходимо да се умножи производната на вътрешна функцияи производната на външната. Нека y=u(v(x)), тогава y"(x)=y"(u)*v"(x).

Използвайки резултатите, получени по-горе, можете да разграничите почти всяка функция. Така че нека да разгледаме няколко примера:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *х));
Има и проблеми, свързани с изчисляването на производната в точка. Нека е дадена функцията y=e^(x^2+6x+5), трябва да намерите стойността на функцията в точката x=1.
1) Намерете производната на функцията: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Изчислете стойността на функцията в дадена точка y"(1)=8*e^0=8

Видео по темата

Полезен съвет

Научете таблицата на елементарните производни. Това значително ще спести време.

източници:

• производна на константа

И така, каква е разликата между рационално уравнениеот рационалното? Ако неизвестната променлива е под знака корен квадратен, тогава уравнението се счита за ирационално.

Инструкции

Основният метод за решаване на такива уравнения е методът за конструиране на двете страни уравненияв квадрат. Въпреки това. това е естествено, първото нещо, което трябва да направите, е да се отървете от знака. Този метод не е технически труден, но понякога може да доведе до проблеми. Например, уравнението е v(2x-5)=v(4x-7). Като повдигнете двете страни на квадрат, получавате 2x-5=4x-7. Решаването на такова уравнение не е трудно; х=1. Но номер 1 няма да бъде даден уравнения. Защо? Заместете едно в уравнението вместо стойността на x. И дясната и лявата страна ще съдържат изрази, които нямат смисъл, т.е. Тази стойност не е валидна за квадратен корен. Следователно 1 е външен корен и следователно това уравнение няма корени.

Така, ирационално уравнениесе решава чрез метода на повдигане на квадрат на двете му части. И след като се реши уравнението, е необходимо да се отрежат външни корени. За да направите това, заменете намерените корени в оригиналното уравнение.

Помислете за друг.
2х+vх-3=0
Разбира се, това уравнение може да бъде решено с помощта на същото уравнение като предишното. Преместване на съединения уравнения, които нямат квадратен корен, в правилната странаи след това използвайте метода на повдигане на квадрат. решаване на полученото рационално уравнение и корени. Но и друг, по-елегантен. Въведете нова променлива; vх=y. Съответно ще получите уравнение от формата 2y2+y-3=0. Тоест обичайното квадратно уравнение. Намерете корените му; y1=1 и y2=-3/2. След това решете две уравнения vх=1; vх=-3/2. Второто уравнение няма корени; от първото намираме, че x=1. Не забравяйте да проверите корените.

Разрешаването на идентичности е доста просто. За да направите това, е необходимо да се извършват идентични трансформации, докато се постигне поставената цел. Така с помощта на прости аритметични действия поставеният проблем ще бъде решен.

Ще имаш нужда

• - хартия;
• - химилка.

Инструкции

Най-простите от тези трансформации са алгебричните съкратени умножения (като квадрат на сумата (разликата), разликата на квадратите, сумата (разликата), кубът на сумата (разликата)). Освен това има много и тригонометрични формули, които по същество са едни и същи самоличности.

Наистина, квадратът на сбора от два члена е равен на квадрата на първия плюс два пъти произведението на първия по втория и плюс квадрата на втория, тоест (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Опростете и двете

Общи принципи на решението

Повторете учебника по математически анализ или висша математика, което е определен интеграл. Както е известно, решението на определен интеграл е функция, чиято производна ще даде интеграл. Тази функция се нарича антипроизводна. Въз основа на този принцип се конструират основните интеграли.
Определете според вида на интегранта кой от табличните интеграли е подходящ в този случай. Не винаги е възможно да се определи това веднага. Често табличната форма става забележима само след няколко трансформации за опростяване на интегранта.

Метод за заместване на променливи

Ако функцията интегранд е тригонометрична функция, чийто аргумент съдържа някакъв полином, опитайте да използвате метода за заместване на променлива. За да направите това, заменете полинома в аргумента на интегранта с нова променлива. Въз основа на връзката между новите и старите променливи, определете новите граници на интегриране. Като диференцирате този израз, намерете новия диференциал в . Така че ще получите новият видна предишния интеграл, близък или дори съответстващ на всеки табличен.

Решаване на интеграли от втори род

Ако интегралът е интеграл от втори вид, векторна форма на интегранта, тогава ще трябва да използвате правилата за преход от тези интеграли към скаларни. Едно такова правило е отношението на Остроградски-Гаус. Този закон ни позволява да преминем от роторния поток на определена векторна функция към тройния интеграл върху дивергенцията на дадено векторно поле.

Замяна на интеграционни граници

След намиране на антипроизводното е необходимо да се заменят границите на интегриране. Първо, заместете стойността на горната граница в израза за антипроизводното. Ще получите някакъв номер. След това извадете от полученото число друго число, получено от долната граница в антипроизводното. Ако една от границите на интегриране е безкрайност, тогава при заместването й в противопроизводна функциянеобходимо е да се стигне до границата и да се намери това, към което се стреми изразът.
Ако интегралът е двуизмерен или триизмерен, тогава ще трябва да представите границите на интеграцията геометрично, за да разберете как да оцените интеграла. Наистина, в случая на, да речем, триизмерен интеграл, границите на интегриране могат да бъдат цели равнини, които ограничават обема, който се интегрира.

Днес ще говорим за логаритмични формулии ще дадем ориентировъчно примери за решение.

Самите те предполагат модели на решение според основните свойства на логаритмите. Преди да приложим логаритмични формули за решаване, нека ви напомним всички свойства:

Сега, въз основа на тези формули (свойства), ще покажем примери за решаване на логаритми.

Примери за решаване на логаритми по формули.

Логаритъмположително число b по основа a (означено с log a b) е показател, до който a трябва да се повдигне, за да се получи b, с b > 0, a > 0 и 1.

Според дефиницията log a b = x, което е еквивалентно на a x = b, следователно log a a x = x.

Логаритми, примери:

log 2 8 = 3, защото 2 3 = 8

log 7 49 = 2, защото 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, защото 5 -1 = 1/5

Десетичен логаритъм- това е обикновен логаритъм, чиято основа е 10. Означава се като lg.

log 10 100 = 2, защото 10 2 = 100

Натурален логаритъм- също обикновен логаритъм, логаритъм, но с основа e (e = 2,71828... - ирационално число). Означава се като ln.

Препоръчително е да запомните формулите или свойствата на логаритмите, защото ще ни трябват по-късно при решаването на логаритми, логаритмични уравненияи неравенства. Нека да разгледаме всяка формула отново с примери.

• Основно логаритмично тъждество
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Логаритъмът на частното е равен на разликата на логаритмите
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Свойства на степента на логаритмично число и основата на логаритъма

  Показател на логаритъм регистрационни номера a b m = mlog a b

  Основен показател логаритмичен дневник a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ако m = n, получаваме log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Преход към нова основа
  log a b = log c b/log c a,

  ако c = b, получаваме log b b = 1

  тогава log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Както можете да видите, формулите за логаритми не са толкова сложни, колкото изглеждат. Сега, след като разгледахме примери за решаване на логаритми, можем да преминем към логаритмични уравнения. Ще разгледаме по-подробно примери за решаване на логаритмични уравнения в статията: "". Не пропускайте!

Ако все още имате въпроси относно решението, напишете ги в коментарите към статията.

Забележка: решихме да получим различен клас образование и да учим в чужбина като опция.

1.1. Определяне на експонента за цяло число

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N пъти

1.2. Нулева степен.

По дефиниция е общоприето, че нулевата степен на всяко число е 1:

1.3. Отрицателна степен.

X -N = 1/X N

1.4. Дробна степен, корен.

X 1/N = N корен от X.

Например: X 1/2 = √X.

1.5. Формула за събиране на мощности.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Формула за изваждане на степени.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Формула за умножение на степени.

X N*M = (X N) M

1.8. Формула за повишаване на дроб на степен.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Число e.

Стойността на числото e е равна на следната граница:

E = lim(1+1/N), като N → ∞.

С точност до 17 цифри числото e е 2,71828182845904512.

3. Равенство на Ойлер.

Това равенство свързва пет числа, които играят специална роля в математиката: 0, 1, e, pi, въображаема единица.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Експоненциална функция exp(x)

exp(x) = e x

5. Производна на експоненциална функция

Експоненциалната функция има забележително свойство: производната на функцията е равна на самата експоненциална функция:

(exp(x))" = exp(x)

6. Логаритъм.

6.1. Дефиниция на функцията логаритъм

Ако x = b y, тогава логаритъма е функцията

Y = Log b(x).

Логаритъмът показва на каква степен трябва да се повдигне дадено число - основата на логаритъма (b), за да се получи дадено число (X). Логаритъмната функция е дефинирана за X, по-голямо от нула.

Например: Дневник 10 (100) = 2.

6.2. Десетичен логаритъм

Това е логаритъма при основа 10:

Y = Log 10 (x) .

Означава се с Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Пример за използване на десетичен логаритъм е децибел.

6.3. Децибел

Елементът е маркиран на отделна страница Децибел

6.4. Двоичен логаритъм

Това е логаритъм с основа 2:

Y = Log 2 (x).

Означава се с Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Натурален логаритъм

Това е логаритъма при основа e:

Y = Log e (x).

Означава се с Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Натуралният логаритъм е обратната функция на експоненциалната функция exp(X).

6.6. Характерни точки

Лога(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Формула за логаритъм на произведение

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Формула за логаритъм на частното

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Формула за логаритъм на степента

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Формула за преобразуване в логаритъм с различна основа

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Пример:

Дневник 2 (8) = Дневник 10 (8)/Дневник 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Формули полезни в живота

Често има проблеми с преобразуването на обема в площ или дължина и обратна задача-- преобразуване на площ в обем. Например, дъските се продават на кубчета (кубични метри) и трябва да изчислим колко площ на стената може да бъде покрита с дъски, съдържащи се в определен обем, вижте изчисляване на дъски, колко дъски има в куб. Или, ако размерите на стената са известни, трябва да изчислите броя на тухлите, вижте изчислението на тухлите.

Разрешено е използването на материали от сайта, при условие че е инсталирана активна връзка към източника.