Но много естествени числа се делят и на други естествени числа.

Например:

Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числата, на които числото се дели на цяло (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат делители на числата. Делител на естествено число а- е естествено число, което дели дадено число абез следа. Нарича се естествено число, което има повече от два делителя композитен .

Моля, обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи множители. Тези числа са: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общият делител на тези две числа аИ b- това е числото, на което се делят без остатък и двете дадени числа аИ b.

Общи кратниняколко числа е число, което се дели на всяко от тези числа. Например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 също са техните общи кратни. Сред всички общи кратни винаги има най-малкото, в този случай това е 90. Това число се нарича най-малкиятобщо кратно (CMM).

LCM винаги е естествено число, което трябва да е по-голямо от най-голямото от числата, за които е дефинирано.

Най-малко общо кратно (LCM). Имоти.

Комутативност:

Асоциативност:

По-специално, ако и са взаимно прости числа, тогава:

Най-малкото общо кратно на две цели числа мИ не делител на всички други общи кратни мИ н. Освен това, набор от общи кратни м, нсъвпада с множеството кратни на LCM( м, н).

Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретични функции.

Така, Функция на Чебишев. И:

Това следва от определението и свойствата на функцията на Ландау g(n).

Какво следва от закона за разпределение на простите числа.

Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

НОК( а, б) може да се изчисли по няколко начина:

1. Ако е известен най-големият общ делител, можете да използвате връзката му с LCM:

2. Нека е известно каноничното разлагане на двете числа на прости множители:

Където p 1 ,...,p k- различни прости числа и d 1 ,...,d kИ e 1 ,...,e k— неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нули, ако съответното просто число не е в разширението).

Тогава NOC ( а,b) се изчислява по формулата:

С други думи, разлагането на LCM съдържа всички прости множители, включени в поне едно от разлаганията на числа а, б, и се взема най-големият от двата показателя на този множител.

Пример:

Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да се сведе до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:

правило.За да намерите LCM на поредица от числа, трябва:

- разлагат числата на прости множители;

- прехвърлете най-голямото разширение (произведението на факторите на желания продукт) във факторите на желания продукт голямо числоот дадените) и след това добавете фактори от разширяването на други числа, които не се появяват в първото число или се появяват в него по-малко пъти;

— полученото произведение на прости множители ще бъде LCM на дадените числа.

Всякакви две или повече естествени числаимат собствен НОК. Ако числата не са кратни едно на друго или нямат еднакви множители в разширението, тогава техният LCM е равен на произведението на тези числа.

Простите множители на числото 28 (2, 2, 7) се допълват с множителя 3 (числото 21), полученият продукт (84) ще бъде най-малкото число, което се дели на 21 и 28.

Простите множители на най-голямото число 30 се допълват с множителя 5 на числото 25, полученият продукт 150 е по-голям от най-голямото число 30 и се дели на всички дадени числа без остатък. Това най-малко продуктот възможните (150, 250, 300...), на които всички дадени числа са кратни.

Числата 2,3,11,37 са прости числа, така че техният LCM е равен на произведението на дадените числа.

правило. За да изчислите LCM на прости числа, трябва да умножите всички тези числа заедно.

Друг вариант:

За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, трябва:

1) представя всяко число като произведение на неговите прости множители, например:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) запишете степените на всички прости множители:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) запишете всички прости делители (множители) на всяко от тези числа;

4) изберете най-голямата степен на всяко от тях, намираща се във всички разширения на тези числа;

5) умножете тези правомощия.

Пример. Намерете LCM на числата: 168, 180 и 3024.

Решение. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Записваме най-големите степени на всички прости делители и ги умножаваме:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Нека разгледаме разрешаването на следния проблем. Стъпката на момчето е 75 см, а на момичето 60 см. Необходимо е да се намери най-малкото разстояние, на което двамата правят цял ​​брой крачки.

Решение.Целият път, който децата ще изминат, трябва да се дели на 60 и 70, тъй като всяко от тях трябва да направи цял брой стъпки. С други думи, отговорът трябва да е кратен както на 75, така и на 60.

Първо ще запишем всички кратни на числото 75. Получаваме:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Сега нека запишем числата, които ще бъдат кратни на 60. Получаваме:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Сега намираме числата, които са в двата реда.

• Общите кратни на числата биха били 300, 600 и т.н.

Най-малкото от тях е числото 300. В този случай ще се нарича най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Връщайки се към условието на проблема, най-малкото разстояние, на което момчетата ще направят цял ​​брой стъпки, ще бъде 300 см. Момчето ще измине този път в 4 стъпки, а момичето ще трябва да направи 5 стъпки.

Определяне на най-малкото общо кратно

• Най-малкото общо кратно на две естествени числа a и b е най-малкото естествено число, което е кратно и на a, и на b.

За да намерите най-малкото общо кратно на две числа, не е необходимо да записвате всички кратни на тези числа подред.

Можете да използвате следния метод.

Как да намерим най-малкото общо кратно

Първо трябва да разложите тези числа на прости множители.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Сега нека запишем всички множители, които са в разширението на първото число (2,2,3,5) и добавим към него всички липсващи множители от разширението на второто число (5).

В резултат на това получаваме поредица от прости числа: 2,2,3,5,5. Произведението на тези числа ще бъде най-малко общият множител за тези числа. 2*2*3*5*5 = 300.

Обща схема за намиране на най-малкото общо кратно

• 1. Разделете числата на прости множители.
• 2. Запишете простите множители, които са част от един от тях.
• 3. Добавете към тези фактори всички, които са в експанзията на другите, но не и в избрания.
• 4. Намерете произведението на всички записани множители.

Този метод е универсален. Може да се използва за намиране на най-малкото общо кратно на произволен брой естествени числа.

Определение.Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител (НОД)тези числа.

Нека намерим най-големия общ делителномера 24 и 35.
Делителите на 24 са числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 са числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно прости.

Определение.Естествените числа се наричат взаимно прости, ако техният най-голям общ делител (НОД) е 1.

Най-голям общ делител (НОД)може да се намери, без да се изписват всички делители на дадените числа.

Разлагайки числата 48 и 36 на множители, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разширяването на първото от тези числа, задраскваме онези, които не са включени в разширяването на второто число (т.е. две двойки).
Останалите множители са 2 * 2 * 3. Тяхното произведение е равно на 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Намерен е и най-големият общ делител на три или повече числа.

Да намеря най-голям общ делител

2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете онези, които не са включени в разширяването на други числа;
3) намерете произведението на останалите множители.

Ако всички дадени числа се делят на едно от тях, то това число е най-голям общ делителдадени числа.
Например най-големият общ делител на числата 15, 45, 75 и 180 е числото 15, тъй като на него се делят всички останали числа: 45, 75 и 180.

Най-малко общо кратно (LCM)

Определение. Най-малко общо кратно (LCM)естествените числа a и b е най-малкото естествено число, което е кратно на a и b. Най-малкото общо кратно (LCM) на числата 75 и 60 може да се намери, без да се записват кратните на тези числа подред. За да направите това, нека разложим 75 и 60 на прости множители: 75 = 3 * 5 * 5 и 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Нека запишем факторите, включени в разгръщането на първото от тези числа, и добавим към тях липсващите фактори 2 и 2 от разширяването на второто число (т.е. комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чийто продукт е 300. Това число е най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Те също намират най-малкото общо кратно на три или повече числа.

Да се намерете най-малкото общо кратноняколко естествени числа, трябва:
1) разложете ги на прости множители;
2) запишете факторите, включени в разширяването на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.

Обърнете внимание, че ако едно от тези числа се дели на всички други числа, тогава това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например най-малкото общо кратно на числата 12, 15, 20 и 60 е 60, защото се дели на всички тези числа.

Питагор (VI в. пр. н. е.) и неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. номер, равно на суматаТе нарекоха всички негови делители (без самото число) перфектно число. Например числата 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. н. д. Петият - 33 550 336 - е намерен през 15 век. До 1983 г. вече са известни 27 съвършени числа. Но учените все още не знаят дали има нечетни съвършени числа или има най-голямо съвършено число.
Интересът на древните математици към простите числа се дължи на факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като произведение на прости числа, т.е. простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в редицата от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части на редицата са повече, в други - по-малко. Но колкото по-нататък се движим по редицата от числа, толкова по-рядко срещани са простите числа. Възниква въпросът: има ли последно (най-голямо) просто число? Древногръцкият математик Евклид (3 век пр. н. е.) в книгата си „Елементи“, която е основният учебник по математика в продължение на две хиляди години, доказва, че има безкрайно много прости числа, т.е. зад всяко просто число има още по-голямо просто число. номер.
За да намери прости числа, друг гръцки математик от същото време, Ератостен, излезе с този метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това задраска едно, което не е нито просто, нито съставно число, след което задраска през едно всички числа, идващи след 2 (числа, кратни на 2, т.е. 4, 6, 8 и т.н.). Първото останало число след 2 беше 3. След това, след две, всички числа, идващи след 3 (числа, кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.), бяха зачеркнати. накрая само простите числа останаха незачертани.

Общи кратни

Просто казано, всяко цяло число, което се дели на всяко от дадените числа, е общо кратнодадени цели числа.

Можете да намерите общото кратно на две или повече цели числа.

Пример 1

Изчислете общото кратно на две числа: $2$ и $5$.

Решение.

По дефиниция общото кратно на $2$ и $5$ е $10$, защото то е кратно на числото $2$ и числото $5$:

Общи кратни на числата $2$ и $5$ ще бъдат и числата $–10, 20, –20, 30, –30$ и т.н., т.к. всички те са разделени на числа $2$ и $5$.

Бележка 1

Нулата е общо кратно на произволен брой ненулеви цели числа.

Според свойствата на делимостта, ако определено число е общо кратно на няколко числа, то противоположното по знак число също ще бъде общо кратно на дадените числа. Това се вижда от разгледания пример.

За дадени цели числа винаги можете да намерите тяхното общо кратно.

Пример 2

Изчислете общото кратно на $111$ и $55$.

Решение.

Нека умножим дадените числа: $111\div 55=6105$. Лесно се проверява, че числото $6105$ се дели на числото $111$ и на числото $55$:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111.

Така $6105$ е общо кратно на $111$ и $55$.

Отговор: Общото кратно на $111$ и $55$ е $6105$.

Но, както вече видяхме от предишния пример, това общо кратно не е единица. Други общи кратни биха били $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ и т.н. Така стигнахме до следния извод:

Бележка 2

Всеки набор от цели числа има безкраен брой общи кратни.

На практика те се ограничават до намиране на общи кратни само на положителни цели (естествени) числа, т.к множествата кратни на дадено число и противоположното му съвпадат.

Определяне на най-малкото общо кратно

От всички кратни на дадени числа най-често се използва най-малкото общо кратно (LCM).

Определение 2

Най-малкото положително общо кратно на дадени цели числа е най-малко общо кратнотези числа.

Пример 3

Изчислете LCM на числата $4$ и $7$.

Решение.

защото тези числа нямат общи делители, тогава $LCM(4,7)=28$.

Отговор: $NOK (4,7)=28$.

Намиране на NOC чрез GCD

защото има връзка между LCM и GCD, с негова помощ можете да изчислите LCM на две положителни цели числа:

Бележка 3

Пример 4

Изчислете LCM на числата $232$ и $84$.

Решение.

Нека използваме формулата, за да намерим LCM чрез GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Нека намерим НОД на числата $232$ и $84$ с помощта на евклидовия алгоритъм:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Тези. $НОД(232, 84)=4$.

Нека намерим $LCC (232, 84)$:

$NOK (232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Отговор: $NOK (232,84)=$4872.

Пример 5

Изчислете $LCD(23, 46)$.

Решение.

защото $46$ се дели на $23$, тогава $gcd (23, 46)=23$. Да намерим LOC:

$NOK (23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Отговор: $NOK (23,46)=$46.

Така може да се формулира правило:

Бележка 4

Най-малкото общо кратно на две числа е пряко свързано с най-големия общ делител на тези числа. Това връзка между GCD и NOCсе определя от следната теорема.

Теорема.

Най-малкото общо кратно на две цели положителни числа a и b е равно на произведението от a и b, делено на най-големия общ делител на a и b, т.е. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Доказателство.

Позволявам M е някакво кратно на числата a и b. Тоест, M се дели на a и според определението за делимост има някакво цяло число k, така че равенството M=a·k да е вярно. Но M също се дели на b, тогава a·k се дели на b.

Нека обозначим gcd(a, b) като d. Тогава можем да запишем равенствата a=a 1 ·d и b=b 1 ·d, и a 1 =a:d и b 1 =b:d ще бъдат относително прости числа. Следователно условието, получено в предходния параграф, че a · k се дели на b, може да бъде преформулирано, както следва: a 1 · d · k се дели на b 1 · d и това, поради свойствата на делимост, е еквивалентно на условието че a 1 · k се дели на b 1 .

Трябва също така да запишете две важни следствия от разглежданата теорема.

Общите кратни на две числа са същите като кратните на тяхното най-малко общо кратно.

Това наистина е така, тъй като всяко общо кратно на M на числата a и b се определя от равенството M=LMK(a, b)·t за някакво цяло число t.

Най-малкото общо кратно на взаимно прости положителни числа a и b е равно на тяхното произведение.

Обосновката на този факт е съвсем очевидна. Тъй като a и b са относително прости, тогава gcd(a, b)=1, следователно, НОД(a, b)=a b: НОД(a, b)=a b:1=a b.

Най-малко общо кратно на три или повече числа

Намирането на най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се сведе до последователно намиране на LCM на две числа. Как се прави това е показано в следната теорема: a 1 , a 2 , …, a k съвпадат с общите кратни на числата m k-1 и a k , следователно съвпадат с общите кратни на числото m k . И тъй като най-малкото положително кратно на числото m k е самото число m k, тогава най-малкото общо кратно на числата a 1, a 2, ..., a k е m k.

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и др.Математика. 6 клас: учебник за общообразователните институции.
• Виноградов I.M. Основи на теорията на числата.
• Михелович Ш.Х. Теория на числата.
• Куликов Л.Я. и др.Сборник задачи по алгебра и теория на числата: Урокза студенти по физика и математика. специалности на педагогически институти.