Дребна и хубава проста задачаот категорията на тези, които служат като спасителен пояс за плаващ ученик. В природата е средата на юли, така че е време да се настаните с лаптопа си на плажа. Рано сутринта слънчевият лъч на теорията започна да играе, за да се насочи скоро към практиката, която въпреки декларираната лекота съдържа парчета стъкло в пясъка. В тази връзка ви препоръчвам да разгледате съвестно няколкото примера на тази страница. За да решавате практически проблеми, трябва да можете намерете производнии разбират материала на статията Интервали на монотонност и екстремуми на функцията.

Първо, накратко за основното. В урока за непрекъснатост на функциятаДадох определението за непрекъснатост в точка и непрекъснатост в интервал. По подобен начин се формулира примерното поведение на функция върху сегмент. Една функция е непрекъсната на интервал, ако:

1) тя е непрекъсната на интервала ;
2) непрекъснато в точка на дяснои в точката наляво.

Във втория параграф говорихме за т.нар едностранна приемственостфункции в точка. Има няколко подхода за дефинирането му, но аз ще се придържам към линията, която започнах по-рано:

Функцията е непрекъсната в точката на дясно, ако е дефинирана в дадена точка и дясната й граница съвпада със стойността на функцията в дадена точка: . То е непрекъснато в точката наляво, ако е дефиниран в дадена точка и нейната лява граница равно на стойносттав този момент:

Представете си, че зелените точки са пирони с магическа еластична лента, прикрепена към тях:

Мислено вземете червената линия в ръцете си. Очевидно е, че колкото и да разтеглим графиката нагоре и надолу (по оста), функцията пак ще остане ограничен– ограда отгоре, ограда отдолу, а нашият продукт пасе в падока. По този начин, функция, непрекъсната на интервал, е ограничена върху него. В хода на математическия анализ този на пръв поглед прост факт се констатира и строго доказва. Първата теорема на Вайерщрас....Много хора се дразнят, че в математиката досадно се обосновават елементарни твърдения, но това има важно значение. Да предположим, че определен жител на средновековието е изтеглил графика в небето отвъд границите на видимост, това е вмъкнато. Преди изобретяването на телескопа, ограничената функция в космоса изобщо не беше очевидна! Наистина, откъде знаеш какво ни очаква зад хоризонта? Все пак Земята някога се е смятала за плоска, така че днес дори обикновеното телепортиране изисква доказателство =)

Според Втората теорема на Вайерщрас, непрекъснат на сегментфункцията достига своята точна горна границаа твоя? И твоя точен долен ръб .

Извиква се и номерът максималната стойност на функцията върху сегментаи са означени с , а числото е минималната стойност на функцията върху сегментаотбелязани.

В нашия случай:

Забележка : на теория записите са често срещани .

Грубо казано, най-висока стойностсе намира там, където най висока точкаграфика, а най-малката е там, където е най-ниската точка.

важно!Както вече беше подчертано в статията за екстремуми на функцията, най-голяма функционална стойностИ най-малката стойност на функцията – НЕ СЪЩОТО, Какво максимална функцияИ минимална функция. Така че в разглеждания пример числото е минимумът на функцията, но не и минималната стойност.

Между другото, какво се случва извън сегмента? Да, дори и наводнение, в контекста на разглеждания проблем, това изобщо не ни интересува. Задачата включва само намиране на две числа и това е!

Освен това решението е чисто аналитично, следователно няма нужда да правите чертеж!

Алгоритъмът лежи на повърхността и се подсказва от горната фигура:

1) Намерете стойностите на функцията в критични точки, които принадлежат към този сегмент.

Хванете още един бонус: тук няма нужда да проверявате достатъчното условие за екстремум, тъй като, както току-що беше показано, наличието на минимум или максимум все още не гарантира, каква е минималната или максималната стойност. Демонстрационната функция достига максимум и по волята на съдбата същото число е най-голямата стойност на функцията на сегмента. Но, разбира се, такова съвпадение не винаги се случва.

Така че в първата стъпка е по-бързо и по-лесно да се изчислят стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на сегмента, без да се притеснявате дали има екстремуми в тях или не.

2) Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента.

3) Сред стойностите на функцията, намерени в 1-ви и 2-ри параграф, изберете най-малката и най-много голямо число, запишете отговора.

Сядаме на брега синьо мореи ударихме плитката вода с петите си:

Пример 1

Намерете най-великите и най-малка стойностфункции на интервал

Решение:
1) Нека изчислим стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на този сегмент:

Нека изчислим стойността на функцията във втората критична точка:

2) Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента:

3) Получени са „удебелени“ резултати с експоненти и логаритми, което значително усложнява тяхното сравнение. Поради тази причина нека се въоръжим с калкулатор или Excel и да изчислим приблизителните стойности, като не забравяме, че:

Сега всичко е ясно.

Отговор:

Дробно-рационален пример за независимо решение:

Пример 6

Намерете максималните и минималните стойности на функция върху сегмент

Най-голяма и най-малка стойност на функция

Най-голямата стойност на функцията е най-голямата, най-малката стойност е най-малката от всички нейни стойности.

Една функция може да има само една най-голяма и само една най-малка стойност или може да няма никаква. Намиране на най-голямата и най-малката стойност непрекъснати функциисе основава на следните свойства на тези функции:

1) Ако в даден интервал (краен или безкраен) функцията y=f(x) е непрекъсната и има само един екстремум и ако това е максимум (минимум), то това ще бъде най-голямата (най-малката) стойност на функцията в този интервал.

2) Ако функцията f(x) е непрекъсната на определен сегмент, тогава тя задължително има най-големите и най-малките стойности на този сегмент. Тези стойности се достигат или в екстремни точки, разположени вътре в сегмента, или в границите на този сегмент.

За да намерите най-големите и най-малките стойности на сегмент, се препоръчва да използвате следната схема:

1. Намерете производната.

2. Намерете критични точки на функцията, при които =0 или не съществува.

3. Намерете стойностите на функцията в критични точки и в краищата на сегмента и изберете от тях най-големия f max и най-малкия f max.

При решаването на приложни проблеми, по-специално оптимизационни, са важни проблемите за намиране на най-големите и най-малките стойности (глобален максимум и глобален минимум) на функция в интервала X. За решаването на такива проблеми трябва, въз основа на условието , изберете независима променлива и изразете изследваната стойност чрез тази променлива. След това намерете желаната най-голяма или най-малка стойност на получената функция. В този случай интервалът на промяна на независимата променлива, който може да бъде краен или безкраен, също се определя от условията на задачата.

Пример.Резервоарът, който има формата на отворен отгоре правоъгълен паралелепипед с квадратно дъно, трябва да бъде калайдисан отвътре с калай. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара, ако капацитетът му е 108 литра? вода, така че разходите за калайдисването й да са минимални?

Решение.Цената за покриване на резервоар с калай ще бъде минимална, ако за даден капацитет повърхността му е минимална. Нека означим с a dm страната на основата, b dm височината на резервоара. Тогава площта S на неговата повърхност е равна на

И

Получената връзка установява връзката между повърхността на резервоара S (функция) и страната на основата a (аргумент). Нека разгледаме функцията S за екстремум. Нека намерим първата производна, приравним я към нула и решим полученото уравнение:

Следователно a = 6. (a) > 0 за a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Пример. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция на интервала.

Решение: Определена функциянепрекъсната на цялата числова ос. Производна на функция

Производна за и за . Нека изчислим стойностите на функцията в тези точки:

.

Стойностите на функцията в краищата на дадения интервал са равни. Следователно най-голямата стойност на функцията е равна на at , най-малката стойност на функцията е равна на at .

Въпроси за самопроверка

1. Формулирайте правилото на L'Hopital за разкриване на несигурности на формата. Избройте различните видове несигурности, за разрешаването на които може да се използва правилото на L'Hopital.

2. Формулирайте признаците на нарастваща и намаляваща функция.

3. Дефинирайте максимума и минимума на функция.

4. Формулирайте необходимо условиеналичие на екстремум.

5. Какви стойности на аргумента (кои точки) се наричат ​​критични? Как да намерите тези точки?

6. Кои са достатъчни признаци за съществуването на екстремум на функция? Очертайте схема за изследване на функция при екстремум, използвайки първата производна.

7. Очертайте схема за изследване на функция при екстремум с помощта на втората производна.

8. Дефиниране на изпъкналост и вдлъбнатост на крива.

9. Какво се нарича инфлексна точка на графиката на функция? Посочете метод за намиране на тези точки.

10. Формулирайте необходимите и достатъчни признаци за изпъкналост и вдлъбнатост на крива върху даден сегмент.

11. Дефинирайте асимптотата на крива. Как да намерим вертикалната, хоризонталната и наклонената асимптота на графиката на функция?

12. Контур обща схемаизследване на функция и построяване на нейната графика.

13. Формулирайте правило за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция на даден интервал.

Процесът на търсене на най-малките и най-големите стойности на функция в сегмент напомня на завладяващ полет около обект (функционална графика) в хеликоптер, стрелба в определени точки от оръдие с голям обсег и избиране на много специални точки от тези точки за контролни изстрели. Точките се избират по определен начин и според определени правила. По какви правила? Ще говорим за това по-нататък.

Ако функцията г = f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b] , тогава достига до този сегмент най-малко И най-високи стойности . Това може да се случи или в екстремни точки, или в краищата на сегмента. Следователно, за да намерите най-малко И най-големите стойности на функцията , непрекъснато на интервала [ а, b], трябва да изчислите стойностите му във всички критични точкии в краищата на сегмента, след което изберете най-малкия и най-големия от тях.

Нека, например, искате да определите най-голямата стойност на функцията f(х) на сегмента [ а, b] . За да направите това, трябва да намерите всички негови критични точки, лежащи на [ а, b] .

Критична точка наречена точката, в която дефинирана функция, и тя производнаили е равно на нула, или не съществува. След това трябва да изчислите стойностите на функцията в критичните точки. И накрая, трябва да сравните стойностите на функцията в критични точки и в краищата на сегмента ( f(а) И f(b)). Най-голямото от тези числа ще бъде най-голямата стойност на функцията върху сегмента [а, b] .

Проблеми с намирането най-малките стойности на функцията .

Търсим най-малката и най-голямата стойност на функцията заедно

Пример 1. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента [-1, 2] .

Решение. Намерете производната на тази функция. Нека приравним производната към нула () и да получим две критични точки: и . За да намерите най-малката и най-голямата стойност на функция на даден сегмент, достатъчно е да изчислите нейните стойности в краищата на сегмента и в точката, тъй като точката не принадлежи на сегмента [-1, 2]. Тези стойности на функцията са: , , . Следва, че най-малката стойност на функцията(обозначено в червено на графиката по-долу), равно на -7, се постига в десния край на сегмента - в точка , и най велик(също червено на графиката), е равно на 9, - в критичната точка.

Ако една функция е непрекъсната в определен интервал и този интервал не е сегмент (но е, например, интервал; разликата между интервал и сегмент: граничните точки на интервала не са включени в интервала, но граничните точки на сегмента са включени в сегмента), тогава сред стойностите на функцията може да няма най-малката и най-голямата. Така например функцията, показана на фигурата по-долу, е непрекъсната върху ]-∞, +∞[ и няма най-голямата стойност.

Въпреки това, за всеки интервал (затворен, отворен или безкраен), следното свойство на непрекъснатите функции е вярно.

Пример 4. Намерете най-малките и най-големите стойности на функция на сегмента [-1, 3] .

Решение. Намираме производната на тази функция като производна на частното:

.

Приравняваме производната на нула, което ни дава единица критична точка: . Принадлежи към сегмента [-1, 3] . За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Нека сравним тези стойности. Заключение: равно на -5/13, в точка и най-висока стойностравно на 1 в точка .

Продължаваме да търсим най-малката и най-голямата стойност на функцията заедно

Има учители, които по темата за намиране на най-малката и най-голямата стойност на функция не дават на учениците примери за решаване, които са по-сложни от току-що обсъдените, тоест тези, в които функцията е полином или дроб, чиито числител и знаменател са полиноми. Но ние няма да се ограничим до такива примери, тъй като сред учителите има такива, които обичат да принуждават учениците да мислят изцяло (таблицата на производните). Следователно ще се използват логаритъм и тригонометрична функция.

Пример 6. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намираме производната на тази функция като производно на продукта :

Приравняваме производната на нула, което дава една критична точка: . Принадлежи към сегмента. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Резултат от всички действия: функцията достига минималната си стойност, равно на 0, в точката и в точката и най-висока стойност, равен д², в точката.

Пример 7. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намерете производната на тази функция:

Приравняваме производната на нула:

Единствената критична точка принадлежи на сегмента. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Заключение: функцията достига минималната си стойност, равно на , в точката и най-висока стойност, равен , в точката .

В приложните екстремални проблеми намирането на най-малките (максимални) стойности на функция, като правило, се свежда до намиране на минимума (максимум). Но не самите минимуми или максимуми са от по-голям практически интерес, а тези стойности на аргумента, при които те са постигнати. При решаването на приложни задачи възниква допълнителна трудност - съставяне на функции, които описват разглежданото явление или процес.

Пример 8.Резервоар с вместимост 4, имащ формата на паралелепипед с квадратна основа и отворен отгоре, трябва да бъде калайдисан. Какъв размер трябва да бъде резервоарът, така че да се използва най-малко количество материал за покриването му?

Решение. Позволявам х- основна страна, ч- височина на резервоара, С- неговата повърхност без покритие, V- обемът му. Площта на резервоара се изразява с формулата, т.е. е функция на две променливи. Да изразя Скато функция на една променлива използваме факта, че , от където . Заместване на намерения израз чвъв формулата за С:

Нека разгледаме тази функция до нейния екстрем. Той е дефиниран и диференцируем навсякъде в ]0, +∞[ и

.

Приравняваме производната на нула () и намираме критичната точка. Освен това, когато производната не съществува, но тази стойност не е включена в областта на дефиниция и следователно не може да бъде точка на екстремум. Така че това е единствената критична точка. Нека го проверим за наличие на екстремум, като използваме втория достатъчен знак. Нека намерим втората производна. Когато втората производна е по-голяма от нула (). Това означава, че когато функцията достигне минимум . Тъй като това minimum е единственият екстремум на тази функция, това е нейната най-малка стойност. Така че страната на основата на резервоара трябва да бъде 2 m, а височината му трябва да бъде .

Пример 9.От точка Анамиращ се на жп линията, до пункта СЪС, разположен на разстояние от него л, товарът трябва да бъде транспортиран. Разходите за транспортиране на единица тегло на единица разстояние с железопътен транспорт са равни на , а по магистрала са равни на . До кой момент Млинии железопътна линиятрябва да се построи магистрала за превоз на товари А V СЪСбеше най-икономичният (раздел ABжелезопътната линия се приема за права)?

Как да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция на сегмент?

За това следваме добре познат алгоритъм:

1 . Намиране на ODZ функциите.

2 . Намиране на производната на функцията

3 . Приравняване на производната на нула

4 . Намираме интервалите, през които производната запазва знака си, и от тях определяме интервалите на нарастване и намаляване на функцията:

Ако на интервал I производната на функцията е 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} се увеличава през този интервал.

Ако на интервала I производната на функцията , тогава функцията намалява през този интервал.

5 . Намираме максимални и минимални точки на функцията.

IN в максималната точка на функцията производната променя знака от “+” на “-”.

IN минимална точка на функциятапроизводната променя знака от "-" на "+".

6 . Намираме стойността на функцията в краищата на сегмента,

• след това сравняваме стойността на функцията в краищата на сегмента и в максималните точки, и изберете най-голямата от тях, ако трябва да намерите най-голямата стойност на функцията
• или сравнете стойността на функцията в краищата на сегмента и в минималните точки, и изберете най-малката от тях, ако трябва да намерите най-малката стойност на функцията

Въпреки това, в зависимост от това как функцията се държи на сегмента, този алгоритъм може да бъде значително намален.

Помислете за функцията . Графиката на тази функция изглежда така:

Нека да разгледаме няколко примера за решаване на проблеми от Open Task Bank за

1 . Задача B15 (№ 26695)

На сегмента.

1. Функцията е дефинирана за всички реални стойности на x

Очевидно това уравнение няма решения и производната е положителна за всички стойности на x. Следователно функцията нараства и приема най-голяма стойност в десния край на интервала, тоест при x=0.

Отговор: 5.

2 . Задача B15 (№ 26702)

Намерете най-голямата стойност на функцията на сегмента.

1. ODZ функции title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Производната е равна на нула при , но в тези точки не променя знака:

Следователно title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} нараства и приема най-голямата стойност в десния край на интервала, при .

За да стане ясно защо производната не променя знака, трансформираме израза за производната, както следва:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Отговор: 5.

3. Задача B15 (№ 26708)

Намерете най-малката стойност на функцията върху отсечката.

1. ODZ функции: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Нека поставим корените на това уравнение върху тригонометричната окръжност.

Интервалът съдържа две числа: и

Да сложим знаци. За да направим това, определяме знака на производната в точката x=0: . При преминаване през точки и производната променя знака.

Нека изобразим промяната на знаците на производната на функция върху координатната линия:

Очевидно точката е минимална точка (в която производната променя знака от „-“ на „+“) и за да намерите най-малката стойност на функцията в сегмента, трябва да сравните стойностите на функцията при минималната точка и в левия край на сегмента, .

Стандартният алгоритъм за решаване на такива задачи включва, след намиране на нулите на функцията, определяне на знаците на производната на интервалите. След това се изчисляват стойностите в намерените максимални (или минимални) точки и на границата на интервала, в зависимост от това какъв въпрос е в условието.

Съветвам ви да правите нещата малко по-различно. Защо? Писах за това.

Предлагам да решавам такива проблеми, както следва:

1. Намерете производната.
2. Намерете нулите на производната.
3. Определете кои от тях принадлежат към този интервал.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в границите на интервала и точките на стъпка 3.
5. Правим заключение (отговорете на поставения въпрос).

При решаването на представените примери решението не е разгледано подробно квадратни уравнения, трябва да можете да направите това. Те също трябва да знаят.

Нека да разгледаме примери:

77422. Намерете най-голямата стойност на функцията y=x 3 –3x+4 върху сегмента [–2;0].

Нека намерим нулите на производната:

Точката x = –1 принадлежи на посочения в условието интервал.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки –2, –1 и 0:

Най-голямата стойност на функцията е 6.

Отговор: 6

77425. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – 3x 2 + 2 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната:

Точката x = 2 принадлежи на зададения в условието интервал.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки 1, 2 и 4:

Най-малката стойност на функцията е –2.

Отговор: –2

77426. Намерете най-голямата стойност на функцията y = x 3 – 6x 2 на отсечката [–3;3].

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната:

Интервалът, посочен в условието, съдържа точката x = 0.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки –3, 0 и 3:

Най-малката стойност на функцията е 0.

Отговор: 0

77429. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – 2x 2 + x +3 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Получаваме корените: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Интервалът, посочен в условието, съдържа само x = 1.

Нека намерим стойностите на функцията в точки 1 и 4:

Открихме, че най-малката стойност на функцията е 3.

Отговор: 3

77430. Намерете най-голямата стойност на функцията y = x 3 + 2x 2 + x + 3 върху отсечката [– 4; -1].

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната и решим квадратното уравнение:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Да вземем корените:

Интервалът, посочен в условието, съдържа корена x = –1.

Намираме стойностите на функцията в точки –4, –1, –1/3 и 1:

Открихме, че най-голямата стойност на функцията е 3.

Отговор: 3

77433. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – x 2 – 40x +3 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната и решим квадратното уравнение:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Да вземем корените:

Интервалът, посочен в условието, съдържа корена x = 4.

Намерете стойностите на функцията в точки 0 и 4:

Открихме, че най-малката стойност на функцията е –109.

Отговор: –109

Нека разгледаме начин за определяне на най-големите и най-малките стойности на функции без производна. Този подход може да се използва, ако имате големи проблеми. Принципът е прост - заместваме всички цели числа от интервала във функцията (факт е, че във всички такива прототипи отговорът е цяло число).

77437. Намерете най-малката стойност на функцията y=7+12x–x 3 на отсечката [–2;2].

Заместете точки от –2 на 2: Вижте решението

77434. Намерете най-голямата стойност на функцията y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 на отсечката [–2;0].

Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.