Дребна и хубава проста задачаот категорията на тези, които служат като спасителен пояс за плаващ ученик. В природата е средата на юли, така че е време да се настаните с лаптопа си на плажа. Рано сутринта слънчевият лъч на теорията започна да играе, за да се насочи скоро към практиката, която въпреки декларираната лекота съдържа парчета стъкло в пясъка. В тази връзка ви препоръчвам да разгледате съвестно няколкото примера на тази страница. За да решавате практически проблеми, трябва да можете намерете производнии разбират материала на статията Интервали на монотонност и екстремуми на функцията.

Първо, накратко за основното. В урока за непрекъснатост на функциятаДадох определението за непрекъснатост в точка и непрекъснатост в интервал. По подобен начин се формулира примерното поведение на функция върху сегмент. Една функция е непрекъсната на интервал, ако:

1) тя е непрекъсната на интервала ;
2) непрекъснато в точка на дяснои в точката наляво.

Във втория параграф говорихме за т.нар едностранна приемственостфункции в точка. Има няколко подхода за дефинирането му, но аз ще се придържам към линията, която започнах по-рано:

Функцията е непрекъсната в точката на дясно, ако е дефинирана в дадена точка и дясната й граница съвпада със стойността на функцията в дадена точка: . То е непрекъснато в точката наляво, ако е дефиниран в дадена точка и нейната лява граница равно на стойносттав този момент:

Представете си, че зелените точки са пирони с магическа еластична лента, прикрепена към тях:

Мислено вземете червената линия в ръцете си. Очевидно е, че колкото и да разтеглим графиката нагоре и надолу (по оста), функцията пак ще остане ограничен– ограда отгоре, ограда отдолу, а нашият продукт пасе в падока. По този начин, функция, непрекъсната на интервал, е ограничена върху него. В хода на математическия анализ този на пръв поглед прост факт се констатира и строго доказва. Първата теорема на Вайерщрас....Много хора се дразнят, че в математиката досадно се обосновават елементарни твърдения, но това има важно значение. Да предположим, че определен жител на средновековието е изтеглил графика в небето отвъд границите на видимост, това е вмъкнато. Преди изобретяването на телескопа, ограничената функция в космоса изобщо не беше очевидна! Наистина, откъде знаеш какво ни очаква зад хоризонта? Все пак Земята някога се е смятала за плоска, така че днес дори обикновеното телепортиране изисква доказателство =)

Според Втората теорема на Вайерщрас, непрекъснат на сегментфункцията достига своята точна горна границаа твоя? И твоя точен долен ръб .

Извиква се и номерът максималната стойност на функцията върху сегментаи са означени с , а числото е минималната стойност на функцията върху сегментаотбелязани.

В нашия случай:

Забележка : на теория записите са често срещани .

Грубо казано, най-висока стойностсе намира там, където най висока точкаграфика, а най-малката е там, където е най-ниската точка.

важно!Както вече беше подчертано в статията за екстремуми на функцията, най-голяма функционална стойностИ най-малката стойност на функцията – НЕ СЪЩОТО, Какво максимална функцияИ минимална функция. Така че в разглеждания пример числото е минимумът на функцията, но не и минималната стойност.

Между другото, какво се случва извън сегмента? Да, дори и наводнение, в контекста на разглеждания проблем, това изобщо не ни интересува. Задачата включва само намиране на две числа и това е!

Освен това решението е чисто аналитично, следователно няма нужда да правите чертеж!

Алгоритъмът лежи на повърхността и се подсказва от горната фигура:

1) Намерете стойностите на функцията в критични точки, които принадлежат към този сегмент.

Хванете още един бонус: тук няма нужда да проверявате достатъчното условие за екстремум, тъй като, както току-що беше показано, наличието на минимум или максимум все още не гарантира, каква е минималната или максималната стойност. Демонстрационната функция достига максимум и по волята на съдбата същото число е най-голямата стойност на функцията на сегмента. Но, разбира се, такова съвпадение не винаги се случва.

Така че в първата стъпка е по-бързо и по-лесно да се изчислят стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на сегмента, без да се притеснявате дали има екстремуми в тях или не.

2) Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента.

3) Сред стойностите на функцията, намерени в 1-ви и 2-ри параграф, изберете най-малката и най-много голямо число, запишете отговора.

Сядаме на брега синьо мореи ударихме плитката вода с петите си:

Пример 1

Намерете най-великите и най-малка стойностфункции на интервал

Решение:
1) Нека изчислим стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на този сегмент:

Нека изчислим стойността на функцията във втората критична точка:

2) Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента:

3) Получени са „удебелени“ резултати с експоненти и логаритми, което значително усложнява тяхното сравнение. Поради тази причина нека се въоръжим с калкулатор или Excel и да изчислим приблизителните стойности, като не забравяме, че:

Сега всичко е ясно.

Отговор:

Дробно-рационален пример за независимо решение:

Пример 6

Намерете максималните и минималните стойности на функция върху сегмент

Нека функцията $z=f(x,y)$ е дефинирана и непрекъсната в някои граници затворена зона$D$. Нека дадената функция в тази област има крайни частични производни от първи ред (освен, може би, за краен брой точки). За да се намерят най-големите и най-малките стойности на функция от две променливи в дадена затворена област, са необходими три стъпки от прост алгоритъм.

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=f(x,y)$ в затворена област $D$.

1. Намерете критичните точки на функцията $z=f(x,y)$, принадлежащи към областта $D$. Изчислете стойностите на функцията в критични точки.
2. Изследвайте поведението на функцията $z=f(x,y)$ на границата на област $D$, намирайки точките на възможни максимални и минимални стойности. Изчислете стойностите на функцията в получените точки.
3. От стойностите на функцията, получени в предишните два параграфа, изберете най-голямата и най-малката.

Какво представляват критичните точки? Покажи скрий

Под критични точкипредполагат точки, в които и двете частични производни от първи ред са равни на нула (т.е. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ и $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) или поне една частична производна не съществува.

Често се наричат ​​точките, в които частните производни от първи ред са равни на нула стационарни точки. По този начин стационарните точки са подмножество от критични точки.

Пример №1

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=x^2+2xy-y^2-4x$ в затворена област, ограничени от линии$x=3$, $y=0$ и $y=x+1$.

Ще следваме горното, но първо ще се заемем с изчертаването на дадена област, която ще обозначим с буквата $D$. Ние сме дадени уравнения на триправи линии, които ограничават тази област. Правата $x=3$ минава през точката $(3;0)$ успоредно на ординатната ос (ос Oy). Правата $y=0$ е уравнението на абсцисната ос (ос Ox). Е, за да построим правата $y=x+1$, ще намерим две точки, през които ще прекараме тази права. Можете, разбира се, да замените няколко произволни стойности вместо $x$. Например, замествайки $x=10$, получаваме: $y=x+1=10+1=11$. Намерихме точката $(10;11)$, лежаща на правата $y=x+1$. По-добре е обаче да се намерят точките, в които правата $y=x+1$ пресича правите $x=3$ и $y=0$. Защо това е по-добре? Защото ще убием няколко птици с един камък: ще получим две точки, за да построим правата линия $y=x+1$ и в същото време ще разберем в кои точки тази права линия пресича други линии, ограничаващи дадената област. Правата $y=x+1$ пресича правата $x=3$ в точката $(3;4)$, а правата $y=0$ се пресича в точката $(-1;0)$. За да не затрупвам хода на решението със спомагателни обяснения, ще поставя въпроса за получаването на тези две точки в бележка.

Как са получени точките $(3;4)$ и $(-1;0)$? Покажи скрий

Да започнем от пресечната точка на правите $y=x+1$ и $x=3$. Координатите на желаната точка принадлежат както на първата, така и на втората права линия, следователно, за да намерите неизвестните координати, трябва да решите системата от уравнения:

$$ \left \( \begin(подравнено) & y=x+1;\\ & x=3. \end(подравнено) \right. $$

Решението на такава система е тривиално: замествайки $x=3$ в първото уравнение, ще имаме: $y=3+1=4$. Точката $(3;4)$ е желаната пресечна точка на правите $y=x+1$ и $x=3$.

Сега нека намерим пресечната точка на правите $y=x+1$ и $y=0$. Нека отново съставим и решим системата от уравнения:

$$ \left \( \begin(подравнено) & y=x+1;\\ & y=0. \end(подравнено) \right. $$

Като заместим $y=0$ в първото уравнение, получаваме: $0=x+1$, $x=-1$. Точката $(-1;0)$ е желаната пресечна точка на правите $y=x+1$ и $y=0$ (ос x).

Всичко е готово за изграждане на чертеж, който ще изглежда така:

Въпросът за бележката изглежда очевиден, защото всичко се вижда на снимката. Въпреки това си струва да запомните, че рисунката не може да служи като доказателство. Чертежът е само с илюстративна цел.

Нашата област беше дефинирана с помощта на уравнения на прави линии, които я ограничаваха. Очевидно тези линии определят триъгълник, нали? Или не е съвсем очевидно? Или може би ни е дадена различна област, ограничена от същите линии:

Разбира се, условието гласи, че зоната е затворена, така че показаната снимка е неправилна. Но за да се избегнат подобни неясноти, е по-добре да се дефинират регионите чрез неравенства. Интересува ли ни частта от равнината, разположена под правата $y=x+1$? Добре, значи $y ≤ x+1$. Трябва ли нашата област да се намира над линията $y=0$? Чудесно, това означава $y ≥ 0$. Между другото, последните две неравенства могат лесно да се комбинират в едно: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Тези неравенства определят областта $D$ и я определят еднозначно, без да допускат двусмислие. Но как това ни помага с въпроса, зададен в началото на бележката? Това също ще помогне :) Трябва да проверим дали точката $M_1(1;1)$ принадлежи на областта $D$. Нека заместим $x=1$ и $y=1$ в системата от неравенства, които определят тази област. Ако и двете неравенства са изпълнени, тогава точката е вътре в областта. Ако поне едно от неравенствата не е изпълнено, тогава точката не принадлежи на областта. Така:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

И двете неравенства са валидни. Точка $M_1(1;1)$ принадлежи на област $D$.

Сега е време да проучим поведението на функцията на границата на региона, т.е. Хайде да отидем до . Нека започнем с правата $y=0$.

Правата $y=0$ (абсцисната ос) ограничава областта $D$ при условие $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека заместим $y=0$ в дадената функция $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Функцията на една променлива $x$, получена в резултат на заместване, означаваме като $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Сега за функцията $f_1(x)$ трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност в интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека намерим производната на тази функция и я приравним към нула:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Стойността $x=2$ принадлежи на сегмента $-1 ≤ x ≤ 3$, така че ще добавим $M_2(2;0)$ към списъка с точки. Освен това нека изчислим стойностите на функцията $z$ в краищата на сегмента $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. в точки $M_3(-1;0)$ и $M_4(3;0)$. Между другото, ако точката $M_2$ не принадлежи на разглеждания сегмент, тогава, разбира се, няма да има нужда да се изчислява стойността на функцията $z$ в нея.

И така, нека изчислим стойностите на функцията $z$ в точки $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можете, разбира се, да замените координатите на тези точки в оригиналния израз $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Например за точка $M_2$ получаваме:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Изчисленията обаче могат да бъдат малко опростени. За да направите това, си струва да запомните, че на сегмента $M_3M_4$ имаме $z(x,y)=f_1(x)$. Ще напиша това подробно:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \край (подравнено)

Разбира се, обикновено няма нужда от толкова подробни записи и в бъдеще ще запишем всички изчисления накратко:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Сега нека се обърнем към правата $x=3$. Тази права линия ограничава областта $D$ при условие $0 ≤ y ≤ 4$. Нека заместим $x=3$ в дадената функция $z$. В резултат на това заместване получаваме функцията $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

За функцията $f_2(y)$ трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност на интервала $0 ≤ y ≤ 4$. Нека намерим производната на тази функция и я приравним към нула:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Стойността $y=3$ принадлежи на сегмента $0 ≤ y ≤ 4$, така че ще добавим $M_5(3;3)$ към предварително намерените точки. Освен това е необходимо да се изчисли стойността на функцията $z$ в точките в краищата на отсечката $0 ≤ y ≤ 4$, т.е. в точки $M_4(3;0)$ и $M_6(3;4)$. В точка $M_4(3;0)$ вече сме изчислили стойността на $z$. Нека изчислим стойността на функцията $z$ в точки $M_5$ и $M_6$. Нека ви напомня, че на отсечката $M_4M_6$ имаме $z(x,y)=f_2(y)$, следователно:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \край (подравнено)

И накрая, разгледайте последната граница на региона $D$, т.е. права линия $y=x+1$. Тази права линия ограничава областта $D$ при условие $-1 ≤ x ≤ 3$. Замествайки $y=x+1$ във функцията $z$, ще имаме:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Отново имаме функция на една променлива $x$. И отново трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност на тази функция в интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека намерим производната на функцията $f_(3)(x)$ и я приравним към нула:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Стойността $x=1$ принадлежи на интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Ако $x=1$, тогава $y=x+1=2$. Нека добавим $M_7(1;2)$ към списъка с точки и да разберем каква е стойността на функцията $z$ в тази точка. Точките в краищата на отсечката $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. точки $M_3(-1;0)$ и $M_6(3;4)$ бяха разгледани по-рано, вече намерихме стойността на функцията в тях.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Втората стъпка от решението е завършена. Получихме седем стойности:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Да се ​​обърнем към. Избирайки най-големите и най-малките стойности от числата, получени в третия параграф, ще имаме:

$$z_(мин)=-4; \; z_(макс.)=6.$$

Задачата е решена, остава само да запиша отговора.

Отговор: $z_(мин)=-4; \; z_(max)=6$.

Пример №2

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=x^2+y^2-12x+16y$ в областта $x^2+y^2 ≤ 25$.

Първо, нека изградим чертеж. Уравнението $x^2+y^2=25$ (това е граничната линия на дадена област) определя окръжност с център в началото (т.е. в точката $(0;0)$) и радиус от 5. Неравенството $x^2 +y^2 ≤ $25 удовлетворява всички точки вътре и върху споменатата окръжност.

Ние ще действаме според. Нека намерим частни производни и да открием критичните точки.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Няма точки, в които намерените частни производни да не съществуват. Нека разберем в кои точки и двете частни производни са едновременно равни на нула, т.е. нека намерим стационарни точки.

$$ \left \( \begin(подравнено) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned)\right.$$

Получихме стационарна точка $(6;-8)$. Намерената точка обаче не принадлежи към областта $D$. Това е лесно да се покаже, без дори да се прибягва до рисуване. Нека проверим дали е в сила неравенството $x^2+y^2 ≤ 25$, което определя нашата област $D$. Ако $x=6$, $y=-8$, тогава $x^2+y^2=36+64=100$, т.е. неравенството $x^2+y^2 ≤ 25$ не е в сила. Извод: точка $(6;-8)$ не принадлежи на област $D$.

Така че няма критични точки вътре в региона $D$. Да преминем към... Трябва да изследваме поведението на функция на границата на даден регион, т.е. върху окръжността $x^2+y^2=25$. Можем, разбира се, да изразим $y$ чрез $x$ и след това да заместим получения израз в нашата функция $z$. От уравнението на окръжност получаваме: $y=\sqrt(25-x^2)$ или $y=-\sqrt(25-x^2)$. Като заместим например $y=\sqrt(25-x^2)$ в дадената функция, ще имаме:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

По-нататъшното решение ще бъде напълно идентично с изследването на поведението на функцията на границата на областта в предишния пример № 1. Струва ми се обаче по-разумно в тази ситуация да се приложи методът на Лагранж. Ще се интересуваме само от първата част на този метод. След прилагане на първата част от метода на Лагранж ще получим точки, в които ще изследваме функцията $z$ за минимални и максимални стойности.

Съставяме функцията на Лагранж:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Намираме частните производни на функцията на Лагранж и съставяме съответната система от уравнения:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (подравнено) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \край (подравнено) \ вдясно. \;\; \наляво \( \begin(подравнено) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( подравнено)\дясно.$$

За да решим тази система, нека веднага да посочим, че $\lambda\neq -1$. Защо $\lambda\neq -1$? Нека се опитаме да заместим $\lambda=-1$ в първото уравнение:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; х-х=6; \; 0=6. $$

Полученото противоречие $0=6$ показва, че стойността $\lambda=-1$ е неприемлива. Изход: $\lambda\neq -1$. Нека изразим $x$ и $y$ чрез $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ламбда)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \край (подравнено)

Вярвам, че тук става очевидно защо специално поставихме условието $\lambda\neq -1$. Това беше направено, за да се побере изразът $1+\lambda$ в знаменателите без намеса. Тоест, за да сте сигурни, че знаменателят $1+\lambda\neq 0$.

Нека заместим получените изрази за $x$ и $y$ в третото уравнение на системата, т.е. в $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\ламбда)^2=4. $$

От полученото равенство следва, че $1+\lambda=2$ или $1+\lambda=-2$. Следователно имаме две стойности на параметъра $\lambda$, а именно: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Съответно получаваме две двойки стойности $x$ и $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \край (подравнено)

И така, получихме две точки от възможен условен екстремум, т.е. $M_1(3;-4)$ и $M_2(-3;4)$. Нека намерим стойностите на функцията $z$ в точки $M_1$ и $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \край (подравнено)

Трябва да изберем най-големите и най-малките стойности от получените в първата и втората стъпка. Но в този случай изборът е малък :) Имаме:

$$ z_(мин)=-75; \; z_(max)=125. $$

Отговор: $z_(мин)=-75; \; z_(макс.)=$125.

От практическа гледна точка най-голям интерес представлява използването на производната за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция. С какво е свързано това? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването... С други думи, в много области на живота ни се налага да решаваме проблеми с оптимизирането на някои параметри. И това са задачите за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция.

Трябва да се отбележи, че най-големите и най-малките стойности на функция обикновено се търсят на определен интервал X, който е или цялата област на функцията, или част от областта на дефиниция. Самият интервал X може да бъде сегмент, отворен интервал , безкраен интервал.

В тази статия ще говорим за намирането на най-големите и най-малките стойности изрично дадена функцияедна променлива y=f(x) .

Навигация в страницата.

Най-голяма и най-малка стойност на функция - определения, илюстрации.

Нека разгледаме накратко основните определения.

Най-голямата стойност на функцията че за всеки неравенството е вярно.

Най-малката стойност на функцията y=f(x) на интервала X се нарича такава стойност че за всеки неравенството е вярно.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) приета стойност на разглеждания интервал на абсцисата.

Стационарни точки– това са стойностите на аргумента, при които производната на функцията става нула.

Защо се нуждаем от стационарни точки, когато намираме най-големите и най-малките стойности? Отговор на този въпрос дава теоремата на Ферма. От тази теорема следва, че ако диференцируема функция има екстремум (локален минимум или локален максимум) в дадена точка, тогава тази точка е неподвижна. По този начин функцията често приема своята най-голяма (най-малка) стойност на интервала X в една от стационарните точки от този интервал.

Също така, една функция често може да приеме своите най-големи и най-малки стойности в точки, в които първата производна на тази функция не съществува и самата функция е дефинирана.

Нека веднага да отговорим на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: „Винаги ли е възможно да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция“? Не винаги. Понякога границите на интервала X съвпадат с границите на областта на дефиниране на функцията или интервалът X е безкраен. И някои функции в безкрайност и на границите на областта на дефиницията могат да приемат както безкрайно големи, така и безкрайно малки стойности. В тези случаи не може да се каже нищо за най-голямата и най-малката стойност на функцията.

За яснота ще дадем графична илюстрация. Вижте снимките и много неща ще ви станат по-ясни.

На сегмента

На първата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в сегмента [-6;6].

Разгледайте случая, изобразен на втората фигура. Нека променим сегмента на . В този пример най-малката стойност на функцията се постига в стационарна точка, а най-голямата в точката с абсцисата, съответстваща на дясна границаинтервал.

На фигура 3 граничните точки на сегмента [-3;2] са абсцисите на точките, съответстващи на най-голямата и най-малката стойност на функцията.

На отворен интервал

На четвъртата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в отворения интервал (-6;6).

На интервала не могат да се направят изводи за най-голямата стойност.

В безкрайност

В примера, представен на седмата фигура, функцията приема най-голямата стойност (max y) в стационарна точка с абциса x=1, а най-малката стойност (min y) се постига на дясната граница на интервала. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3.

През интервала функцията не достига нито най-малката, нито най-голямата стойност. Тъй като x=2 се приближава отдясно, стойностите на функцията клонят към минус безкрайност (правата x=2 е вертикална асимптота), и тъй като абсцисата клони към плюс безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3. Графична илюстрация на този пример е показана на фигура 8.

Алгоритъм за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент.

Нека напишем алгоритъм, който ни позволява да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент.

1. Намираме домейна на дефиниция на функцията и проверяваме дали съдържа целия сегмент.
2. Намираме всички точки, в които първата производна не съществува и които се съдържат в сегмента (обикновено такива точки се намират във функции с аргумент под знака на модула и в мощностни функциис дробно-рационален показател). Ако няма такива точки, преминете към следващата точка.
3. Определяме всички неподвижни точки, попадащи в сегмента. За да направите това, ние го приравняваме към нула, решаваме полученото уравнение и избираме подходящи корени. Ако няма стационарни точки или нито една от тях не попада в сегмента, преминете към следващата точка.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в избрани стационарни точки (ако има такива), в точки, в които първата производна не съществува (ако има такава), както и при x=a и x=b.
5. От получените стойности на функцията избираме най-голямата и най-малката - те ще бъдат съответно необходимите най-големи и най-малки стойности на функцията.

Нека анализираме алгоритъма за решаване на пример за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

• на сегмента;
• на отсечката [-4;-1] .

Решение.

Областта на дефиниране на функция е цялото множество от реални числа, с изключение на нулата, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намерете производната на функцията по отношение на:

Очевидно производната на функцията съществува във всички точки на отсечките и [-4;-1].

Определяме стационарни точки от уравнението. Единственият истински корен е x=2. Тази неподвижна точка попада в първия сегмент.

За първия случай изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка, т.е. за x=1, x=2 и x=4:

Следователно най-голямата стойност на функцията се постига при x=1 и най-малката стойност – при х=2.

За втория случай изчисляваме стойностите на функцията само в краищата на сегмента [-4;-1] (тъй като не съдържа нито една неподвижна точка):

Нека видим как да изследваме функция с помощта на графика. Оказва се, че като погледнем графиката, можем да разберем всичко, което ни интересува, а именно:

• област на функция
• функционален диапазон
• функционални нули
• интервали на нарастване и намаляване
• максимални и минимални точки
• най-голямата и най-малката стойност на функция върху сегмент.

Нека изясним терминологията:

Абцисае хоризонталната координата на точката.
Ордината- вертикална координата.
Абсцисната ос- хоризонталната ос, най-често наричана ос.
Y ос- вертикална ос или ос.

Аргумент- независима променлива, от която зависят стойностите на функцията. Най-често се посочва.
С други думи, избираме , заместваме функции във формулата и получаваме .

Домейнфункции - набор от тези (и само тези) стойности на аргументи, за които съществува функцията.
Обозначава се с: или .

В нашата фигура областта на дефиниране на функцията е сегментът. На този сегмент е начертана графиката на функцията. Това е единственото място, където съществува тази функция.

Функционален диапазоне набор от стойности, които една променлива приема. В нашата фигура това е сегмент - от най-ниската до най-високата стойност.

Функционални нули- точки, където стойността на функцията е нула, т.е. В нашата фигура това са точки и .

Функционалните стойности са положителникъдето . На нашата фигура това са интервалите и .
Стойностите на функциите са отрицателникъдето . За нас това е интервалът (или интервалът) от до .

Най-важните понятия - нарастваща и намаляваща функцияна някакъв комплект. Като набор можете да вземете сегмент, интервал, обединение на интервали или цялата числова линия.

функция се увеличава

С други думи, колкото повече, толкова повече, тоест графиката върви надясно и нагоре.

функция намалявана множество, ако за всяко и принадлежащи на множеството, неравенството предполага неравенството .

За намаляваща функция по-висока стойностсъответства на по-малката стойност. Графиката върви надясно и надолу.

На нашата фигура функцията нараства на интервала и намалява на интервалите и .

Нека да дефинираме какво е това максимални и минимални точки на функцията.

Максимална точка- това е вътрешна точка на областта на дефиниране, така че стойността на функцията в нея е по-голяма, отколкото във всички точки, достатъчно близки до нея.
С други думи, максималната точка е точка, в която стойността на функцията Повече ▼отколкото в съседните. Това е местен „хълм“ на диаграмата.

В нашата фигура има максимална точка.

Минимална точка- вътрешна точка на дефиниционната област, така че стойността на функцията в нея е по-малка, отколкото във всички точки, достатъчно близки до нея.
Тоест минималната точка е такава, че стойността на функцията в нея е по-малка от тази в нейните съседи. Това е локална „дупка“ на графиката.

В нашата фигура има минимална точка.

Точката е границата. Това не е вътрешна точка на домейна на дефиниция и следователно не отговаря на определението за максимална точка. В крайна сметка тя няма съседи отляво. По същия начин на нашата диаграма не може да има минимална точка.

Максималните и минималните точки заедно се извикват екстремни точки на функцията. В нашия случай това е и .

Какво да направите, ако трябва да намерите напр. минимална функцияна сегмента? В този случай отговорът е:. защото минимална функцияе неговата стойност в минималната точка.

По подобен начин максимумът на нашата функция е . Достига се в точка .

Можем да кажем, че екстремумите на функцията са равни на и .

Понякога проблемите изискват намиране най-голямата и най-малката стойност на функцияна даден сегмент. Не е задължително те да съвпадат с крайностите.

В нашия случай най-малката стойност на функциятана отсечката е равна и съвпада с минимума на функцията. Но най-голямата му стойност в този сегмент е равна на . Достига се в левия край на сегмента.

Във всеки случай най-големите и най-малките стойности непрекъсната функцияна сегмент се постигат или в екстремни точки, или в краищата на сегмента.

Какво е екстремум на функция и какво е необходимото условие за екстремум?

Екстремумът на функция е максимумът и минимумът на функцията.

ПредпоставкаМаксимумът и минимумът (екстремумът) на една функция са както следва: ако функцията f(x) има екстремум в точката x = a, тогава в тази точка производната е или нула, или безкрайна, или не съществува.

Това условие е необходимо, но не достатъчно. Производната в точката x = a може да стигне до нула, безкрайност или да не съществува, без функцията да има екстремум в тази точка.

Какво е достатъчно условие за екстремума на функция (максимум или минимум)?

Първо условие:

Ако в достатъчна близост до точката x = a, производната f?(x) е положителна отляво на a и отрицателна отдясно на a, тогава в точката x = a функцията f(x) има максимум

Ако в достатъчна близост до точката x = a, производната f?(x) е отрицателна отляво на a и положителна отдясно на a, тогава в точката x = a функцията f(x) има минимумпри условие че функцията f(x) тук е непрекъсната.

Вместо това можете да използвате второто достатъчно условие за екстремума на функция:

Нека в точката x = a първата производна f?(x) е нулева; ако втората производна f??(a) е отрицателна, тогава функцията f(x) има максимум в точката x = a, ако е положителна, тогава има минимум.

Каква е критичната точка на функция и как да я намерим?

Това е стойността на аргумента на функцията, при която функцията има екстремум (т.е. максимум или минимум). За да го намерите трябва намерете производнатафункция f?(x) и приравнявайки я на нула, реши уравнението f?(x) = 0. Корените на това уравнение, както и онези точки, в които производната на тази функция не съществува, са критични точки, т.е. стойности на аргумента, при които може да има екстремум. Те могат лесно да бъдат идентифицирани, като се вгледат производна графика: интересуваме се от тези стойности на аргумента, при които графиката на функцията пресича абсцисната ос (ос Ox) и тези, при които графиката претърпява прекъсвания.

Например, да намерим екстремум на парабола.

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производна на функцията: y?(x) = 6x + 2

Решете уравнението: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

В този случай критичната точка е x0=-1/3. Функцията има тази стойност на аргумента екстремум. На него намирам, заменете намереното число в израза за функцията вместо „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как да определим максимума и минимума на една функция, т.е. неговите най-големи и най-малки стойности?

Ако знакът на производната при преминаване през критичната точка x0 се промени от "плюс" на "минус", тогава x0 е максимална точка; ако знакът на производната се промени от минус на плюс, тогава x0 е минимална точка; ако знакът не се променя, то в точката x0 няма нито максимум, нито минимум.

За разглеждания пример:

Вземете произволна стойност на аргумент вляво от критична точка: x = -1

При x = -1, стойността на производната ще бъде y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знакът е „минус“).

Сега вземаме произволна стойност на аргумента вдясно от критичната точка: x = 1

При x = 1, стойността на производната ще бъде y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знакът е „плюс“).

Както можете да видите, производната промени знака от минус на плюс при преминаване през критичната точка. Това означава, че при критичната стойност x0 имаме минимална точка.

Най-голяма и най-малка стойност на функция на интервала(на сегмент) се намират с помощта на същата процедура, само като се вземе предвид фактът, че може би не всички критични точки ще лежат в определения интервал. Онези критични точки, които са извън интервала, трябва да бъдат изключени от разглеждане. Ако има само една критична точка в интервала, тя ще има или максимум, или минимум. В този случай, за да определим най-големите и най-малките стойности на функцията, ние също вземаме предвид стойностите на функцията в края на интервала.

Например, нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

на интервали:

И така, производната на функцията е

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Решаваме уравнението 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Намираме критични точки на интервала [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (не е включено в интервала)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не е включено в интервала)

Намираме стойностите на функцията при критични стойности на аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Вижда се, че на интервала [-9; 9] функцията има най-голяма стойност при x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

и най-малката - при x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

На интервала [-6; -3] имаме само една критична точка: x = -4,88. Стойността на функцията при x = -4,88 е равна на y = 5,398.

Намерете стойността на функцията в краищата на интервала:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

На интервала [-6; -3] имаме най-голямата стойност на функцията

y = 5,398 при x = -4,88

най-малка стойност -

y = 1,077 при x = -3

Как да намерим точките на инфлексия на графика на функция и да определим изпъкналите и вдлъбнатите страни?

За да намерите всички точки на огъване на линията y = f(x), трябва да намерите втората производна, да я приравните към нула (решете уравнението) и да тествате всички тези стойности на x, за които втората производна е нула, безкраен или не съществува. Ако при преминаване през една от тези стойности втората производна промени знака, тогава графиката на функцията има инфлексия в тази точка. Ако не се промени, значи няма завой.

Корените на уравнението f? (x) = 0, както и възможните точки на прекъсване на функцията и втората производна, разделят областта на дефиниране на функцията на няколко интервала. Изпъкналостта на всеки техен интервал се определя от знака на втората производна. Ако втората производна в точка от изследвания интервал е положителна, тогава линията y = f(x) е вдлъбната нагоре, а ако е отрицателна, тогава надолу.

Как да намерим екстремумите на функция на две променливи?

За да намерите екстремумите на функцията f(x,y), диференцируема в областта на нейната спецификация, трябва:

1) намерете критичните точки и за това - решете системата от уравнения

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) за всяка критична точка P0(a;b) проучете дали знакът на разликата остава непроменен

за всички точки (x;y), достатъчно близки до P0. Ако разликата остане положителна, тогава в точка P0 имаме минимум, ако е отрицателна, тогава имаме максимум. Ако разликата не запазва знака си, тогава няма екстремум в точка P0.

Екстремумите на функцията се определят по подобен начин за Повече ▼аргументи.

За какво е анимационният филм "Шрек завинаги"?
Анимационен филм: “Shrek Forever After” Година на излизане: 2010 г. Премиера (Руска федерация): 20 май 2010 г. Държава: САЩ Режисьор: Майкъл Питчъл Сценарий: Джош Клаузнер, Дарън Лемке Жанр: семейна комедия, фентъзи, приключение Официален уебсайт: www.shrekforeverafter .com Парцел за муле

Възможно ли е да се дарява кръв по време на менструация?
Лекарите не препоръчват кръводаряване по време на менструация, тъй като... загубата на кръв, макар и не в значителни количества, е изпълнена с намаляване на нивата на хемоглобина и влошаване на благосъстоянието на жената. По време на процедурата за кръводаряване ситуацията с вашето здраве може да се влоши до кървене. Ето защо жените трябва да се въздържат от кръводаряване по време на менструация. И още на 5-ия ден след приключването им

Колко ккал/час се изразходват при миене на подове?
Видове физическа дейностКонсумация на енергия, kcal/час Готвене 80 Обличане 30 Шофиране 50 Избърсване на прах 80 Хранене 30 Градинарство 135 Гладене 45 Оправяне на леглото 130 Пазаруване 80 Заседнала работа 75 Цепене на дърва 300 Миене на подове 130 Секс 100-150 Нискоинтензивни аеробни танци

Какво означава думата "мошеник"?
Мошеникът е крадец, който се занимава с дребни кражби, или хитър човек, склонен към измамни трикове. Потвърждение на това определение се съдържа в етимологичния речник на Крилов, според който думата „измамник“ се образува от думата „жал“ (крадец, измамник), свързана с глагола &la

Как се казва последният публикуван разказ на братя Стругацки?
Разказът на Аркадий и Борис Стругацки „По въпроса за циклотацията“ е публикуван за първи път през април 2008 г. в антологията на художествената литература „Пладне. XXI век“ (притурка към списанието „Около света“, публикувано под редакцията на Борис Стругацки). Публикацията беше посветена на 75-годишнината на Борис Стругацки.

Къде можете да прочетете истории от участници в програмата Work And Travel USA?
Работа и пътуване в САЩ (работа и пътуване в САЩ) е популярна програма за обмен на студенти, по която можете да прекарате лятото в Америка, законно работейки в сектора на услугите и пътувайки. История на програмата Work & Travel е включена в междуправителствената програма за обмен Cultural Exchange Pro

Ухо. Кулинарна и историческа предистория Повече от два века и половина думата „уха” се използва за обозначаване на супи или отвара от прясна риба. Но имаше време, когато тази дума се тълкуваше по-широко. Това означаваше супа - не само рибна, но и месна, грахова и дори сладка. Така че в историческия документ - „

Информационни и портали за набиране на персонал Superjob.ru - порталът за набиране на персонал Superjob.ru работи на руския онлайн пазар за набиране на персонал от 2000 г. и е лидер сред ресурсите, предлагащи работа и търсене на персонал. Всеки ден в базата данни на сайта се добавят повече от 80 000 автобиографии на специалисти и повече от 10 000 свободни работни места.

Какво е мотивация
Определение за мотивация Мотивация (от лат. moveo - движа се) - подтик към действие; динамичен физиологичен и психологически процес, който контролира човешкото поведение, определяйки неговата насоченост, организираност, активност и устойчивост; способността на човек да задоволява нуждите си чрез работа. Motivac

Кой е Боб Дилън
Боб Дилън (на английски Bob Dylan, истинско име - Робърт Алън Цимерман на английски. Robert Allen Zimmerman; роден на 24 май 1941 г.) е американски автор на песни, който според анкета на списание Rolling Stone е вторият (

Как да транспортирате стайни растения
След закупуването на стайни растения, градинарят е изправен пред задачата как да достави закупените екзотични цветя невредими. Познаването на основните правила за опаковане и транспортиране на стайни растения ще помогне за решаването на този проблем. Растенията трябва да бъдат опаковани, за да бъдат пренасяни или транспортирани. Колкото и кратко разстояние да се транспортират растенията, те могат да се повредят, да изсъхнат, а през зимата &m