Тази статия е колекция от подробна информация, която се отнася до темата за свойствата на корените. Разглеждайки темата, ще започнем със свойствата, ще проучим всички формулировки и ще предоставим доказателства. За да консолидираме темата, ще разгледаме свойства от n-та степен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Свойства на корените

Ще говорим за имоти.

1. Имот умножени числа аИ b, което се представя като равенството a · b = a · b. Тя може да бъде представена под формата на фактори, положителни или равни на нула a 1 , a 2 , … , a kкато a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. от частното a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, може да се запише и в този вид a b = a b;
3. Свойство от степен на число ас четен степенен показател a 2 m = a m за произволно число а, например свойството от квадрат на число a 2 = a.

Във всяко от представените уравнения можете да размените частите преди и след тире, например равенството a · b = a · b се трансформира като a · b = a · b. Свойствата за равенство често се използват за опростяване на сложни уравнения.

Доказателството на първите свойства се основава на дефиницията на квадратния корен и свойствата на степените с естествен показател. За да се обоснове третото свойство, е необходимо да се обърнем към дефиницията на модула на числото.

Преди всичко е необходимо да се докажат свойствата на квадратния корен a · b = a · b. Според дефиницията е необходимо да се има предвид, че a b е число, положително или равно на нула, което ще бъде равно на а бпо време на строителството в квадрат. Стойността на израза a · b е положителна или равна на нула като произведение на неотрицателни числа. Свойството на степените на умножените числа ни позволява да представим равенството във формата (a · b) 2 = a 2 · b 2 . По дефиницията на квадратния корен a 2 = a и b 2 = b, тогава a · b = a 2 · b 2 = a · b.

По подобен начин може да се докаже това от продукта кумножители a 1 , a 2 , … , a kще бъде равно на произведението квадратни корениот тези фактори. Наистина, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

От това равенство следва, че a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Нека да разгледаме няколко примера, за да подсилим темата.

Пример 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 и 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Необходимо е да се докаже свойството на аритметичния корен квадратен от частното: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Свойството ни позволява да запишем равенството a: b 2 = a 2: b 2 и a 2: b 2 = a: b, докато a: b е положително число или равно на нула. Този израз ще стане доказателство.

Например 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 и 30.121 = 30.121.

Нека разгледаме свойството на квадратния корен от квадрата на число. Може да се запише като равенство като a 2 = a За да докажем това свойство, е необходимо да разгледаме подробно няколко равенства за a ≥ 0и при а< 0 .

Очевидно е, че за a ≥ 0 равенството a 2 = a е вярно. При а< 0 ще бъде вярно равенството a 2 = - a. Всъщност в този случай − a > 0и (− a) 2 = a 2 . Можем да заключим, че a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 2

5 2 = 5 = 5 и - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Доказаното свойство ще помогне да се обоснове a 2 m = a m, където а– истински и м –естествено число. Наистина, свойството за повишаване на степен ни позволява да заменим степента на 2 мизразяване (a m) 2, тогава a 2 m = (a m) 2 = a m.

Пример 3

3 8 = 3 4 = 3 4 и (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Свойства на корена n-та

Първо, трябва да разгледаме основните свойства на n-ти корени:

1. Свойство от произведението на числата аИ b, които са положителни или равни на нула, могат да бъдат изразени като равенството a · b n = a n · b n , това свойство е валидно за продукта кчисла a 1 , a 2 , … , a kкато a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. от дробно числоима свойството a b n = a n b n , където ае всяко реално число, което е положително или равно на нула, и b– положително реално число;
3. За всякакви аи дори индикатори n = 2 m a 2 · m 2 · m = a е вярно, а за нечетни n = 2 m − 1важи равенството a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Свойство на извличане от a m n = a n m , където а– всяко число, положително или равно на нула, нИ мса естествени числа, това свойство може да бъде представено и във формата. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. За всяко неотрицателно a и произволно нИ м, които са естествени, можем да дефинираме и справедливото равенство a m n · m = a n ;
6. Свойство степен нот степента на число а, което е положително или равно на нула, към естествената степен м, дефинирана от равенството a m n = a n m ;
7. Свойство за сравнение, което има еднакви показатели: за всякакви положителни числа аИ bтакова, че а< b , неравенството a n< b n ;
8. Свойство за сравнение, което има еднакви числа под корена: if мИ н -естествени числа, които m > n, след това при 0 < a < 1 неравенството a m > a n е вярно и кога а > 1изпълни m< a n .

Дадените по-горе равенства са валидни, ако частите преди и след знака за равенство са разменени. Те могат да се използват и в този вид. Това често се използва при опростяване или трансформиране на изрази.

Доказателството за горните свойства на корен се основава на дефиницията, свойствата на степента и дефиницията на модула на число. Тези свойства трябва да бъдат доказани. Но всичко е наред.

1. Първо, нека докажем свойствата на n-тия корен от произведението a · b n = a n · b n . За аИ b , коетоса положителен или равен на нула , стойността a n · b n също е положителна или равна на нула, тъй като е следствие от умножаване на неотрицателни числа. Свойството на произведението да е естествена степен ни позволява да запишем равенството a n · b n n = a n n · b n n. По дефиниция на корен н-та степен a n n = a и b n n = b , следователно a n · b n n = a · b . Полученото равенство е точно това, което трябваше да се докаже.

Това свойство може да се докаже по подобен начин за продукта кмножители: за неотрицателни числа a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Ето примери за използване на свойството root н-та степен от произведението: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 и 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Нека докажем свойството на корена на частното a b n = a n b n . При a ≥ 0И b > 0условието a n b n ≥ 0 е изпълнено и a n b n n = a n n b n n = a b .

Да покажем примери:

Пример 4

8 27 3 = 8 3 27 3 и 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. За следващата стъпка е необходимо да се докажат свойствата на n-та степен от числото към степента н. Нека си представим това като равенството a 2 m 2 m = a и a 2 m - 1 2 m - 1 = a за всяко реално аи естествено м. При a ≥ 0получаваме a = a и a 2 m = a 2 m, което доказва равенството a 2 m 2 m = a, а равенството a 2 m - 1 2 m - 1 = a е очевидно. При а< 0 получаваме съответно a = - a и a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Последната трансформация на число е валидна според свойството степен. Точно това доказва равенството a 2 m 2 m = a и a 2 m - 1 2 m - 1 = a ще бъде вярно, тъй като се разглежда нечетната степен - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 за произволен номер ° С ,положителен или равен на нула.

За да консолидираме получената информация, нека разгледаме няколко примера, използвайки свойството:

Пример 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 и (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Нека докажем следното равенство a m n = a n m . За да направите това, трябва да размените числата преди и след знака за равенство a n · m = a m n. Това ще означава, че въведеното е правилно. За а,което е положително или равно на нула , от вида a m n е число положително или равно на нула. Нека се обърнем към свойството за повдигане на степен на степен и нейното определение. С тяхна помощ можете да преобразувате равенства във вида a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Това доказва свойството на корена на разглеждания корен.

Други свойства се доказват по подобен начин. Наистина ли, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Например 7 3 5 = 7 5 3 и 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Нека докажем следното свойство a m n · m = a n . За да направите това, е необходимо да се покаже, че n е число, положително или равно на нула. Когато се повдигне на степен n m е равно на a m. Ако броят ае положително или равно на нула, тогава н-та степен измежду ае положително число или равно на 0. В този случай a n · m n = a n n m , което трябваше да се докаже.

За да консолидираме придобитите знания, нека разгледаме няколко примера.

1. Нека докажем следното свойство – свойството корен на степен от вида a m n = a n m . Очевидно е, че когато a ≥ 0степента a n m е неотрицателно число. Освен това, тя нстепента th е равна на a m, наистина, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Това доказва свойството на разглежданата степен.

Например 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Необходимо е да се докаже, че за всякакви положителни числа аи b условието е изпълнено а< b . Да разгледаме неравенството a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b . Следователно, a n< b n при а< b .

Например, нека дадем 12 4< 15 2 3 4 .

1. Разгледайте свойството на корена н-та степен. Необходимо е първо да разгледаме първата част от неравенството. При m > nИ 0 < a < 1 вярно a m > a n. Да приемем, че a m ≤ a n. Свойствата ще ви позволят да опростите израза до a n m · n ≤ a m m · n. Тогава, според свойствата на степен с естествен показател, е в сила неравенството a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, т.е. a n ≤ a m. Получената стойност при m > nИ 0 < a < 1 не отговаря на посочените по-горе свойства.

По същия начин може да се докаже, че когато m > nИ а > 1условието a m е вярно< a n .

За да консолидирате горните свойства, помислете за няколко конкретни примери. Нека разгледаме неравенствата, използвайки конкретни числа.

Пример 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Видео урок 2: Свойства на корените от степен n > 1

Лекция: Корен от степен n > 1 и неговите свойства

корен

Да предположим, че имате уравнение от вида:

Решението на това уравнение е x 1 = 2 и x 2 = (-2). И двете решения са подходящи като отговор, тъй като числата с еднакви модули, когато са повдигнати на четна степен, дават същия резултат.

Това беше прост пример, но какво можем да направим, ако напр.

Нека се опитаме да начертаем графика на функцията y=x 2 . Графиката му е парабола:

На графиката трябва да намерите точки, които съответстват на стойността y = 3. Тези точки са:

Това означава, че тази стойност не може да се нарече цяло число, но може да бъде представена като корен квадратен.

Всеки корен е ирационално число. Ирационалните числа включват корени и непериодични безкрайни дроби.

Корен квадратен- това е неотрицателно число "а", чийто радикален израз е равен на даденото число "а" на квадрат.

Например,

Тоест в резултат ще получим само положителна стойност. Въпреки това, като решение квадратно уравнениемил

Решението е x 1 = 4, x 2 = (-4).

Свойства на квадратния корен

1. Каквато и стойност да приема x, този израз е верен при всички случаи:

2. Сравняване на числа, съдържащи квадратни корени. За да сравните тези числа, трябва да въведете едното и второто число под знака на корена. Броят ще бъде по-голям, чийто радикален израз е по-голям.

Въведете числото 2 под знака за корен

Сега нека поставим числото 4 под знака за корен. В резултат на това получаваме

И едва сега двата получени израза могат да бъдат сравнени:

3. Премахване на множителя изпод корена.

Ако един радикален израз може да бъде разложен на два фактора, единият от които може да бъде изваден от под знака на корена, тогава е необходимо да се използва това правило.

4. Има свойство, което е обратното на това - въвеждане на множител под корена. Очевидно използвахме това свойство във второто свойство.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране определено лицеили връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Дадени са основните свойства на степенната функция, включително формули и свойства на корените. Представени са производна, интеграл, разширение в степенни редове и комплексно числово представяне на степенна функция.

Определение

Определение
Степенна функция с показател pе функцията f (x) = xp, чиято стойност в точка x е равна на стойността на експоненциалната функция с основа x в точка p.
В допълнение, f (0) = 0 p = 0за p > 0 .

За естествени стойности на степента степенната функция е произведението на n числа, равни на x:
.
Дефинира се за всички валидни .

За положителни рационални стойности на експонента, степенната функция е произведението на n корени от степен m на числото x:
.
За нечетно m то е определено за всички реални x. За четни m, степенната функция е дефинирана за неотрицателни.

За отрицателна степенната функция се определя по формулата:
.
Следователно не е дефиниран в точката.

За ирационални стойности на експонента p, степенната функция се определя по формулата:
,
където a е произволно положително число, което не е равно на единица: .
Когато , то е определено за .
Когато , мощностната функция е дефинирана за .

Приемственост. Степенната функция е непрекъсната в своята област на дефиниция.

Свойства и формули на степенни функции при x ≥ 0

Тук ще разгледаме свойствата на степенната функция за неотрицателни стойности на аргумента x. Както беше посочено по-горе, за определени стойности на експонента p, степенната функция също е дефинирана за отрицателни стойности на x. В този случай неговите свойства могат да бъдат получени от свойствата на , като се използват четни или нечетни. Тези случаи са обсъдени и илюстрирани подробно на страницата "".

Степенна функция, y = x p, с показател p има следните свойства:
(1.1) определени и непрекъснати на множеството
в ,
в ;
(1.2) има много значения
в ,
в ;
(1.3) стриктно нараства с ,
стриктно намалява като ;
(1.4) в ;
в ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказателство за свойства е дадено на страницата „Степенна функция (доказателство за непрекъснатост и свойства)“

Корени - определение, формули, свойства

Определение
Корен на число x от степен nе числото, което, когато се повдигне на степен n, дава x:
.
Тук n = 2, 3, 4, ... - естествено число, по-голямо от едно.

Можете също така да кажете, че коренът на число x от степен n е коренът (т.е. решението) на уравнението
.
Обърнете внимание, че функцията е обратна на функцията.

Корен квадратен от xе корен от степен 2: .

Корен кубичен от xе корен от степен 3: .

Дори степен

За четни степени n = 2 м, коренът е дефиниран за x ≥ 0 . Една често използвана формула е валидна както за положителен, така и за отрицателен x:
.
За корен квадратен:
.

Редът, в който се извършват операциите, е важен тук - тоест първо се извършва квадратът, което води до неотрицателно число, а след това се взема корен от него (квадратният корен може да се вземе от неотрицателно число ). Ако променим реда: , тогава за отрицателно x коренът ще бъде недефиниран, а с него и целият израз ще бъде недефиниран.

Странна степен

За нечетни степени коренът е дефиниран за всички x:
;
.

Свойства и формули на корените

Коренът на x е степенна функция:
.
Когато x ≥ 0 се прилагат следните формули:
;
;
, ;
.

Тези формули могат да се прилагат и за отрицателни стойности на променливи. Просто трябва да се уверите, че радикалният израз на четните степени не е отрицателен.

Частни ценности

Коренът на 0 е 0: .
Корен 1 е равен на 1: .
Корен квадратен от 0 е 0: .
Корен квадратен от 1 е 1: .

Пример. Корен на корените

Нека да разгледаме пример за квадратен корен от корени:
.
Нека трансформираме вътрешния квадратен корен, използвайки формулите по-горе:
.
Сега нека трансформираме оригиналния корен:
.
Така,
.

y = x p за различни стойности на експонента p.

Ето графики на функцията за неотрицателни стойности на аргумента x. Графиките на степенна функция, дефинирана за отрицателни стойности на x, са дадени на страницата „Степенна функция, нейните свойства и графики“

Обратна функция

Обратната на степенна функция с показател p е степенна функция с показател 1/p.

Ако, тогава.

Производна на степенна функция

Производна от n-ти ред:
;

Извличане на формули >>>

Интеграл на степенна функция

P ≠ - 1 ;
.

Разширение на степенни редове

на - 1 < x < 1 се извършва следното разлагане:

Изрази, използващи комплексни числа

Разгледайте функцията на комплексната променлива z:
f (z) = z t.
Нека изразим комплексната променлива z по отношение на модула r и аргумента φ (r = |z|):
z = r e i φ.
Представяме комплексното число t под формата на реални и имагинерни части:
t = p + i q .
Ние имаме:

След това вземаме предвид, че аргументът φ не е еднозначно дефиниран:
,

Нека разгледаме случая, когато q = 0 , тоест показателят е реално число, t = p. Тогава
.

Ако p е цяло число, тогава kp е цяло число. Тогава, поради периодичността на тригонометричните функции:
.
Това е експоненциална функцияза цяло число, за даден z, има само една стойност и следователно е недвусмислен.

Ако p е ирационално, тогава продуктите kp за всяко k не произвеждат цяло число. Тъй като k преминава през безкрайна серия от стойности k = 0, 1, 2, 3, ..., тогава функцията z p има безкрайно много стойности. Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2π(един ход), преминаваме към нов клон на функцията.

Ако p е рационално, то може да бъде представено като:
, Където м, н- цели, несъдържащи общи делители. Тогава
.
Първи n стойности, с k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, давам n различни значения kp:
.
Следващите стойности обаче дават стойности, които се различават от предишните с цяло число. Например, когато k = k 0+nние имаме:
.
Тригонометрични функции, чиито аргументи се различават по стойности, кратни на 2π, имам равни стойности. Следователно, с по-нататъшно увеличаване на k, получаваме същите стойности на z p, както за k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

По този начин експоненциална функция с рационален показател е многозначна и има n стойности (клонове). Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2π(един ход), преминаваме към нов клон на функцията. След n такива оборота се връщаме към първия клон, от който е започнало обратното броене.

По-специално, корен от степен n има n стойности. Като пример, разгледайте n-тия корен от реално положително число z = x. В този случай φ 0 = 0, z = r = |z| = х, .
.
И така, за квадратен корен, n = 2 ,
.
За дори k, (- 1) k = 1. За нечетно k, (- 1) k = - 1.
Тоест квадратният корен има две значения: + и -.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Урок и презентация на тема: "Свойства на корен n-та. Теореми"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин Интеграл за 11 клас
Интерактивно помагало за 9–11 клас „Тригонометрия“
Интерактивно ръководство за 10–11 клас „Логаритми“

Свойства на корена n-та. Теореми

Момчета, продължаваме да изучаваме корените n-та на реално число. Както почти всички математически обекти, корените от n-та степен имат определени свойства, днес ще ги изучаваме.
Всички свойства, които ще разгледаме, са формулирани и доказани само за неотрицателни стойности на променливите, съдържащи се под знака на корена.
В случай на степен на нечетен корен, те се изпълняват и за отрицателни променливи.

Теорема 1. Коренът n-ти от произведението на две неотрицателни числа е равен на произведението от корените n-ти на тези числа: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b)$.

Нека докажем теоремата.
Доказателство. Момчета, за да докажем теоремата, нека въведем нови променливи, означим ги:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Трябва да докажем, че $x=y*z$.
Имайте предвид, че следните идентичности също са валидни:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Тогава е валидно следното тъждество: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Степените на две неотрицателни числа и техните показатели са равни, тогава основите на самите степени са равни. Това означава $x=y*z$, което трябваше да се докаже.

Теорема 2. Ако $a≥0$, $b>0$ и n е естествено число, по-голямо от 1, тогава е валидно следното равенство: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Тоест, коренът n-ти от частното е равен на частното от корените n-ти.

Доказателство.
За да докажем това, ще използваме опростена диаграма под формата на таблица:

Примери за изчисляване на корен n-та

Пример.
Изчислете: $\sqrt(16*81*256)$.
Решение. Нека използваме теорема 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Пример.
Изчислете: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Решение. Нека си представим радикалния израз като неправилна дроб: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Нека използваме теорема 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Пример.
Изчисли:
а) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
б) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Решение:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
б) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Теорема 3. Ако $a≥0$, k и n са естествени числа, по-големи от 1, тогава е валидно равенството: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

За да издигнете един корен до естествена сила, достатъчно е да издигнете радикалния израз до тази сила.

Доказателство.
нека помислим специален случайза $k=3$. Нека използваме теорема 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Същото може да се докаже и за всеки друг случай. Момчета, докажете го сами за случая, когато $k=4$ и $k=6$.

Теорема 4. Ако $a≥0$ b n,k са естествени числа, по-големи от 1, тогава е валидно равенството: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

За да извлечете корен от корен, достатъчно е да умножите показателите на корените.

Доказателство.
Нека го докажем накратко отново с помощта на таблица. За да докажем това, ще използваме опростена диаграма под формата на таблица:

Пример.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Теорема 5. Ако показателите на корена и радикалния израз се умножат по едно и също естествено число, тогава стойността на корена няма да се промени: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .

Доказателство.
Принципът на доказване на нашата теорема е същият като в други примери. Нека въведем нови променливи:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (по дефиниция).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (по дефиниция).
Нека повдигнем последното равенство на степен p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Има:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Тоест $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, което трябваше да бъде доказано.

Примери:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (разделено на индикаторите на 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (разделено на индикаторите на 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (индикатори, умножени по 3).

Пример.
Извършване на действия: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Решение.
Коренните индикатори са различни числа, така че не можем да използваме теорема 1, но чрез прилагане на теорема 5 можем да получим равни показатели.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (индикатори, умножени по 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (индикатори, умножени по 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Проблеми за самостоятелно решаване

1. Изчислете: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Изчислете: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Изчислете:
а) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
б) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Опростете:
а) $\sqrt(\sqrt(a))$.
б) $\sqrt(\sqrt(a))$.
в) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Изпълнете действия: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.