Определение.Нека функцията \(y = f(x)\) е дефинирана в определен интервал, съдържащ точката \(x_0\). Нека дадем на аргумента увеличение \(\Delta x \), така че да не напуска този интервал. Нека намерим съответното нарастване на функцията \(\Delta y \) (при преместване от точка \(x_0 \) до точка \(x_0 + \Delta x \)) и съставим отношението \(\frac(\Delta y)(\Делта x) \). Ако има ограничение за това съотношение при \(\Delta x \rightarrow 0\), тогава определеното ограничение се извиква производна на функция\(y=f(x) \) в точката \(x_0 \) и означете \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Символът y често се използва за обозначаване на производната. Имайте предвид, че y" = f(x) е нова функция, но естествено свързана с функцията y = f(x), дефинирана във всички точки x, в които съществува горната граница. Тази функция се нарича така: производна на функцията y = f(x).

Геометрично значение на производнатае както следва. Ако е възможно да се начертае допирателна към графиката на функцията y = f(x) в точката с абсцисата x=a, която не е успоредна на оста y, тогава f(a) изразява наклона на допирателната :
\(k = f"(a)\)

Тъй като \(k = tg(a) \), тогава равенството \(f"(a) = tan(a) \) е вярно.

Сега нека тълкуваме дефиницията на производната от гледна точка на приблизителните равенства. Нека функцията \(y = f(x)\) има производна в определена точка \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Това означава, че близо до точката x приблизителното равенство \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), т.е. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Делта x\). Значението на полученото приблизително равенство е следното: увеличението на функцията е „почти пропорционално“ на увеличението на аргумента, а коефициентът на пропорционалност е стойността на производната в дадена точкаХ. Например за функцията \(y = x^2\) е валидно приблизителното равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ако анализираме внимателно дефиницията на производна, ще открием, че тя съдържа алгоритъм за намирането й.

Нека го формулираме.

Как да намеря производната на функцията y = f(x)?

1. Фиксирайте стойността на \(x\), намерете \(f(x)\)
2. Дайте на аргумента \(x\) увеличение \(\Delta x\), отидете до нова точка \(x+ \Delta x \), намерете \(f(x+ \Delta x) \)
3. Намерете нарастването на функцията: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Създайте релацията \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Изчислете $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Тази граница е производната на функцията в точка x.

Ако функция y = f(x) има производна в точка x, тогава тя се нарича диференцируема в точка x. Извиква се процедурата за намиране на производната на функцията y = f(x). диференциацияфункции y = f(x).

Нека обсъдим следния въпрос: как са свързани помежду си непрекъснатостта и диференцируемостта на функция в дадена точка?

Нека функцията y = f(x) е диференцируема в точката x. Тогава може да се начертае допирателна към графиката на функцията в точка M(x; f(x)) и, припомнете си, ъгловият коефициент на допирателната е равен на f "(x). Такава графика не може да се „счупи“ в точка M, т.е. функцията трябва да е непрекъсната в точка x.

Това бяха „практически“ аргументи. Нека дадем по-строги аргументи. Ако функцията y = f(x) е диференцируема в точката x, тогава е валидно приблизителното равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Ако в това равенство \(\Delta x \) клони към нула, тогава \(\Delta y \) ще клони към нула и това е условието за непрекъснатост на функцията в точка.

Така, ако една функция е диференцируема в точка x, тогава тя е непрекъсната в тази точка.

Обратното твърдение не е вярно. Например: функция y = |x| е непрекъсната навсякъде, по-специално в точката x = 0, но допирателната към графиката на функцията в „точката на свързване“ (0; 0) не съществува. Ако в даден момент допирателната не може да бъде начертана към графиката на функция, тогава производната не съществува в тази точка.

Още един пример. Функцията \(y=\sqrt(x)\) е непрекъсната на цялата числова ос, включително в точката x = 0. А допирателната към графиката на функцията съществува във всяка точка, включително в точката x = 0 , Но в тази точка допирателната съвпада с оста y, т.е., тя е перпендикулярна на абсцисната ос, нейното уравнение има формата x = 0. Коефициент на наклонтакъв ред няма, което означава, че \(f"(0) \) също не съществува

И така, ние се запознахме с ново свойство на функция - диференцируемост. Как може да се заключи от графиката на функция, че тя е диференцируема?

Отговорът всъщност е даден по-горе. Ако в дадена точка е възможно да се начертае допирателна към графиката на функция, която не е перпендикулярна на абсцисната ос, тогава в тази точка функцията е диференцируема. Ако в дадена точка допирателната към графиката на функция не съществува или е перпендикулярна на абсцисната ос, тогава в тази точка функцията не е диференцируема.

Правила за диференциране

Операцията за намиране на производната се нарича диференциация. Когато извършвате тази операция, често трябва да работите с частни, суми, произведения на функции, както и „функции на функции“, тоест сложни функции. Въз основа на определението за производна можем да изведем правила за диференциране, които улесняват тази работа. Ако C е постоянно число и f=f(x), g=g(x) са някои диференцируеми функции, тогава следните са верни правила за диференциране:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Производна сложна функция:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Таблица с производни на някои функции

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
Дата: 05/10/2015

Как да намерим производната?

Правила за диференциране.

За да намерите производната на която и да е функция, трябва да овладеете само три концепции:

2. Правила за диференциране.

3. Производна на сложна функция.

Точно в този ред. Това е намек.)

Разбира се, би било хубаво да имате представа за производните като цяло). Какво е производна и как се работи с таблицата с производни е ясно обяснено в предишния урок. Тук ще разгледаме правилата за диференциация.

Диференцирането е операция за намиране на производната. Зад този термин не се крие нищо повече. Тези. изрази "намерете производната на функция"И "диференциране на функция"- Същото е.

Изразяване "правила за диференциация"се отнася до намиране на производната от аритметични операции.Това разбиране помага много да избегнете объркване в главата си.

Нека се концентрираме и запомним всички, всички, всички аритметични операции. Има четири от тях). Събиране (сума), изваждане (разлика), умножение (продукт) и деление (частно). Ето ги, правилата за разграничаване:

Плочата показва петправила за четириаритметични операции. Не съм подведен.) Просто правило 4 е елементарно следствие от правило 3. Но е толкова популярно, че има смисъл да го напишете (и запомните!) като независима формула.

Под обозначенията UИ Vнякои (абсолютно всякакви!) функции се подразбират U(x)И V(x).

Нека да разгледаме няколко примера. Първо - най-простите.

Намерете производната на функцията y=sinx - x 2

Тук имаме разликадве елементарни функции. Прилагаме правило 2. Ще приемем, че sinx е функция U, а x 2 е функцията V.Имаме пълното право да напишем:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Това е по-добре, нали?) Всичко, което остава, е да намерим производните на синус и квадрат на x. За тази цел има таблица с производни. Ние просто търсим функциите, от които се нуждаем в таблицата ( sinxИ х 2), вижте какви производни имат и запишете отговора:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Това е. Правило 1 за диференциране на сбора работи точно по същия начин.

Ами ако имаме няколко термина? Няма проблем.) Разделяме функцията на термини и търсим производната на всеки член независимо от останалите. Например:

Намерете производната на функцията y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Пишем смело:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

В края на урока ще дам съвети, които да улеснят живота при разграничаване.)

Практически съвети:

1. Преди диференциране вижте дали е възможно да опростите оригиналната функция.

2. В сложни примери ние описваме решението подробно, с всички скоби и тирета.

3. Когато диференцираме дроби с постоянно число в знаменателя, превръщаме делението в умножение и използваме правило 4.

Производните изчисления често се срещат в Задачи за единен държавен изпит. Тази страница съдържа списък с формули за намиране на производни.

Правила за диференциране

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Производна на сложна функция. Ако y=F(u) и u=u(x), тогава функцията y=f(x)=F(u(x)) се нарича сложна функция на x. Равно на y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Производна на неявна функция. Функцията y=f(x) се нарича неявна функция, дефинирана от релацията F(x,y)=0, ако F(x,f(x))≡0.
6. Производна на обратната функция. Ако g(f(x))=x, тогава се извиква функцията g(x). обратна функцияза функцията y=f(x).
7. Производна на параметрично дефинирана функция. Нека x и y са определени като функции на променливата t: x=x(t), y=y(t). Те казват, че y=y(x) параметрично дадена функцияна интервала x∈ (a;b), ако на този интервал уравнението x=x(t) може да се изрази като t=t(x) и функцията y=y(t(x))=y(x) може да се определи.
8. Производна на мощност експоненциална функция. Намира се чрез взимане на логаритми към основата на натуралния логаритъм.

Съветваме ви да запазите връзката, тъй като тази таблица може да ви е необходима много пъти.

Извеждане на производната формула степенна функция(х на степен а). Разглеждат се производни от корени на x. Формула за производната на степенна функция от по-висок порядък. Примери за изчисляване на производни.

Производната на x на степен a е равна на a по x на степен минус едно:
(1) .

Производната на n-тия корен от x на m-та степен е:
(2) .

Извеждане на формулата за производна на степенна функция

Случай x > 0

Да разгледаме степенна функция на променливата x с експонента a:
(3) .
Тук a е произволно реално число. Нека първо разгледаме случая.

За да намерим производната на функция (3), използваме свойствата на степенна функция и я трансформираме в следната форма:
.

Сега намираме производната, използвайки:
;
.
Тук .

Формула (1) е доказана.

Извеждане на формулата за производна на корен от степен n от x на степен m

Сега разгледайте функция, която е корен на следната форма:
(4) .

За да намерим производната, трансформираме корена в степенна функция:
.
Сравнявайки с формула (3), виждаме, че
.
Тогава
.

Използвайки формула (1), намираме производната:
(1) ;
;
(2) .

На практика не е необходимо да запомняте формула (2). Много по-удобно е първо да трансформирате корените в степенни функции и след това да намерите техните производни, като използвате формула (1) (вижте примерите в края на страницата).

Случай x = 0

Ако , тогава степенната функция е дефинирана за стойността на променливата x = 0 . Нека намерим производната на функция (3) при x = 0 . За да направим това, използваме определението за производно:
.

Нека заместим x = 0 :
.
В този случай под производна имаме предвид дясната граница, за която .

Така открихме:
.
От това става ясно, че за , .
В , .
В , .
Този резултат се получава и от формула (1):
(1) .
Следователно формула (1) е валидна и за x = 0 .

Случай x< 0

Разгледайте отново функция (3):
(3) .
За определени стойности на константата a се определя и за отрицателни стойности на променливата x. А именно нека бъде рационално число. Тогава може да се представи като несъкратима дроб:
,
където m и n са цели числа без общ делител.

Ако n е нечетно, тогава степенната функция също е дефинирана за отрицателни стойности на променливата x. Например, когато n = 3 и m = 1 имаме кубичен корен от x:
.
Дефинира се и за отрицателни стойности на променливата x.

Нека намерим производната на степенната функция (3) за и за рационални стойности на константата a, за която е дефинирана. За да направите това, нека представим x в следната форма:
.
Тогава ,
.
Намираме производната, като поставим константата извън знака на производната и приложим правилото за диференциране на сложна функция:

.
Тук . Но
.
От тогава
.
Тогава
.
Тоест формула (1) е валидна и за:
(1) .

Производни от по-висок порядък

Сега нека намерим производни от по-висок порядък на степенната функция
(3) .
Вече намерихме производната от първи ред:
.

Като вземем константата a извън знака на производната, намираме производната от втори ред:
.
По същия начин намираме производни от трети и четвърти ред:
;

.

От това става ясно, че производна от произволен n-ти редима следната форма:
.

забележи това ако е естествено число , тогава n-тата производна е константа:
.
Тогава всички следващи производни са равни на нула:
,
при .

Примери за изчисляване на производни

Пример

Намерете производната на функцията:
.

Решение

Нека преобразуваме корените в степени:
;
.
Тогава оригиналната функция приема формата:
.

Намиране на производни на степени:
;
.
Производната на константата е нула:
.

Доказателство и извеждане на формулите за производната на експоненциалната (e на x степен) и експоненциалната функция (a на x степен). Примери за изчисляване на производни на e^2x, e^3x и e^nx. Формули за производни от по-високи разряди.

Производната на степен е равна на самата степен (производната на e на степен x е равна на e на степен x):
(1) (e x )′ = e x.

Производната на експоненциална функция с основа от степен a е равна на самата функция, умножена по натурален логаритъмот:
(2) .

Извеждане на формулата за производната на експоненциала, e на степен x

Експоненциалът е експоненциална функция, чиято основа е равна на числото e, което е следната граница:
.
Тук може да бъде или естествено число, или реално число. След това извеждаме формула (1) за производната на експонентата.

Извеждане на формулата за експоненциална производна

Помислете за експоненциала, e на степен x:
y = e x.
Тази функция е дефинирана за всички. Нека намерим неговата производна по отношение на променливата x. По дефиниция производната е следната граница:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за ​​да го редуцираме до известни математически свойства и правила. За целта се нуждаем от следните факти:
а)Експонентно свойство:
(4) ;
Б)Свойство на логаритъма:
(5) ;
IN)Непрекъснатост на логаритъма и свойството на границите за непрекъсната функция:
(6) .
Ето една функция, която има граница и тази граница е положителна.
G)Значението на втората забележителна граница:
(7) .

Нека приложим тези факти към нашия лимит (3). Използваме свойство (4):
;
.

Да направим замяна. Тогава ; .
Поради непрекъснатостта на експоненциала,
.
Следователно, когато , . В резултат получаваме:
.

Да направим замяна. Тогава . В , . И имаме:
.

Нека приложим свойството логаритъм (5):
. Тогава
.

Нека приложим свойство (6). Тъй като има положителна граница и логаритъма е непрекъснат, тогава:
.
Тук също използвахме втората забележителна граница (7). Тогава
.

Така получихме формула (1) за производната на експонентата.

Извеждане на формулата за производна на експоненциална функция

Сега извеждаме формула (2) за производната на експоненциалната функция с основа от степен a. Ние вярваме, че и. След това експоненциалната функция
(8)
Определено за всеки.

Нека трансформираме формула (8). За това ще използваме свойства на експоненциалната функцияи логаритъм.
;
.
И така, трансформирахме формула (8) в следния вид:
.

Производни от по-висок порядък на e на степен x

Сега нека намерим производни от по-високи разряди. Нека първо да разгледаме експонентата:
(14) .
(1) .

Виждаме, че производната на функция (14) е равна на самата функция (14). Диференцирайки (1), получаваме производни от втори и трети ред:
;
.

Това показва, че производната от n-ти ред също е равна на оригиналната функция:
.

Производни от по-висок порядък на експоненциалната функция

Сега разгледайте експоненциална функция с основа степен a:
.
Открихме неговата производна от първи ред:
(15) .

Диференцирайки (15), получаваме производни от втори и трети ред:
;
.

Виждаме, че всяко диференциране води до умножаване на оригиналната функция с . Следователно производната от n-ти ред има следната форма:
.