Хипербола е геометричното място на точките, чиято разлика в разстоянието до две дадени точки, наречени фокуси, е постоянна стойност (тази константа трябва да е положителна и по-малка от разстоянието между фокусите).

Нека означим тази константа с 2a, разстоянието между фокусите с и изберем координатните оси по същия начин, както в § 3. Нека е произволна точка от хиперболата.

По дефиниция на хипербола

От дясната страна на равенството трябва да изберете знак плюс ако и знак минус ако

Тъй като последното равенство може да се запише като:

Това е уравнението на хиперболата в избраната координатна система.

Като се освободим от радикалите в това уравнение (както в § 3), можем да редуцираме уравнението до най-простата му форма.

Прехвърляне на първия радикал към правилната странаравенство и повдигане на квадрат на двете страни, след очевидни трансформации получаваме:

Още веднъж повдигайки на квадрат двете страни на равенството, привеждайки подобни членове и разделяйки на свободния член, получаваме:

Тъй като , стойността е положителна. Означавайки го чрез , т.е

получаваме каноничното уравнение на хиперболата.

Нека изследваме формата на хипербола.

1) Симетрии на хипербола. Тъй като уравнение (3) съдържа само квадратите на текущите координати, координатните оси са осите на симетрия на хиперболата (вижте подобно твърдение за елипсата). Оста на симетрия на хиперболата, върху която са разположени фокусите, се нарича фокална ос. Пресечната точка на осите на симетрия - центърът на симетрия - се нарича център на хиперболата. За хиперболата, дадена от уравнение (3), фокалната ос съвпада с оста Ox, а центърът е началото.

2) Точки на пресичане с оси на симетрия. Да намерим пресечните точки на хиперболата с осите на симетрия - върховете на хиперболата. Ако приемем в уравнението, намираме абсцисите на точките на пресичане на хиперболата с оста

Следователно точките са върховете на хиперболата (фиг. 51); разстоянието между тях е 2a. За да намерим точките на пресичане с оста Oy, поставяме уравнението. За да определим ординатите на тези точки, получаваме уравнението

тоест за y получихме имагинерни стойности; това означава, че оста Oy не пресича хиперболите.

В съответствие с това оста на симетрия, която пресича хиперболата, се нарича реална ос на симетрия (фокална ос), оста на симетрия, която не пресича хиперболата, се нарича въображаема ос на симетрия. За хипербола, дадена от уравнение (3), реалната ос на симетрия е оста, въображаемата ос на симетрия е оста. Отсечката, свързваща върховете на хиперболата, както и нейната дължина 2а, се наричат ​​реална ос на хиперболата. Ако върху въображаемата ос на симетрия на хипербола нанесем отсечки OB и дължина b от двете страни на нейния център O, тогава отсечката и нейната дължина се наричат ​​въображаема ос на хиперболата. Величините a и b се наричат ​​съответно реална и имагинерна полуос на хиперболата.

3) Форма на хипербола. Когато изучавате формата на хипербола, достатъчно е да вземете предвид положителните стойности на x и y, тъй като кривата е разположена симетрично спрямо координатните оси.

Тъй като от уравнение (3) следва, че 1, тогава може да се промени от а на Когато нараства от а на тогава Y също се увеличава от 0 на Кривата има формата, показана на фиг. 51. Разположен е извън ивицата, ограничена от прави линии, и се състои от два отделни клона. За всяка точка M от един от тези клонове (десен клон), за всяка точка M от друг клон (ляв клон).

4) Асимптоти на хипербола. За да си представите по-ясно типа хипербола, помислете за две прави линии, тясно свързани с нея - така наречените асимптоти.

Ако приемем, че x и y са положителни, ние решаваме уравнение (3) на хиперболата по отношение на ординатата y:

Нека сравним уравнението с уравнението на права линия, наричайки съответни две точки, разположени съответно на тази права линия и на хиперболата и имащи една и съща абциса (фиг. 51). Очевидно разликата Y - y на ординатите на съответните точки изразява разстоянието между тях, т.е.

Нека покажем, че при неограничено нарастване разстоянието MN, убиване, клони към нула. Наистина,

След опростяване получаваме:

От последната формула виждаме, че при неограничено нарастване на абсцисата разстоянието MN намалява и клони към нула. От това следва, че когато точка М, движеща се по хиперболата в първи квадрант, се движи до безкрайност, тогава нейното разстояние до правата намалява и клони към нула. Същото обстоятелство ще се случи, когато точка M се движи по хипербола в третия квадрант (поради симетрия по отношение на началото O).

И накрая, поради симетрията на хиперболата спрямо оста Oy, ще получим втора права линия, симетрично разположена на правата линия, към която точката M също ще се приближава неограничено, докато се движи по хиперболата и се отдалечава до безкрайност (в втори и четвърти квадранти).

Тези две прави линии се наричат ​​асимптоти на хипербола и, както видяхме, те имат уравненията:

Очевидно асимптотите на хиперболата са разположени по диагоналите на правоъгълник, едната страна на който е успоредна на оста Ox и е равна на 2a, другата е успоредна на оста Oy и е равна на , а центърът лежи на начало на координатите (виж Фиг. 51).

Когато чертаете хипербола, използвайки нейното уравнение, се препоръчва първо да конструирате нейните асимптоти.

Равностранна хипербола. В случай на хипербола се нарича равностранна; неговото уравнение се получава от (3) и има формата:

Очевидно ъгловите коефициенти на асимптотите за равностранна хипербола ще бъдат. Следователно асимптотите на равностранна хипербола са перпендикулярни една на друга и разполовяват ъглите между нейните оси на симетрия.

Как да вмъкнете математически формули в уебсайт?

Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които се генерират автоматично от Wolfram Alpha . Освен простотата, това универсален методще помогне за подобряване на видимостта на уебсайта търсачки. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.

Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax - специална JavaScript библиотека, която показва математическа нотация в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.

Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия уебсайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) изтеглете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод - по-сложен и отнемащ време - ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте примера ми и само след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.

Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да следите актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте в него първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Всеки фрактал се конструира според определено правило, който се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.

Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 куба, съседни на него по стените. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба Menger.

Определение. Асимптотата на графиката на функция е права линия, която има свойството, че разстоянието от точка на графиката на функция до тази права линия клони към нула, когато точката на графиката се движи за неопределено време от началото..

Според методите за намирането им се разграничават три вида асимптоти: вертикални, хоризонтални, наклонени.

Очевидно хоризонталните са специални случаи на наклонените (при ).

Намирането на асимптотите на графиката на функция се основава на следните твърдения.

Теорема 1. Нека функцията е дефинирана поне в някаква полуоколност на точка и поне една от нейните едностранни граници в тази точка е безкрайна, т.е. изравнени. Тогава правата линия е вертикалната асимптота на графиката на функцията.

По този начин вертикалните асимптоти на графиката на функция трябва да се търсят в точките на прекъсване на функцията или в краищата на нейната област на дефиниране (ако това са крайни числа).

Теорема 2. Нека функцията е дефинирана за стойности на аргументи, достатъчно големи по абсолютна стойност, и има крайна граница на функцията . Тогава правата линия е хоризонталната асимптота на графиката на функцията.

Може да се случи така , А , и са крайни числа, тогава графиката има две различни хоризонтални асимптоти: лява и дясна. Ако само една от крайните граници или съществува, тогава графиката има или една лява, или една дясна хоризонтална асимптота.

Теорема 3. Нека функцията е дефинирана за стойности на аргумента, които са достатъчно големи по абсолютна стойност и има крайни граници И . Тогава правата е наклонената асимптота на графиката на функцията.

Обърнете внимание, че ако поне една от тези граници е безкрайна, тогава няма наклонена асимптота.

Наклонената асимптота, подобно на хоризонталната, може да бъде едностранна.

Пример. Намерете всички асимптоти на графиката на функцията.

Решение .

Функцията е дефинирана в . Нека намерим неговите едностранни граници в точки.

защото И (другите две едностранни граници може вече да не се намират), тогава правите линии са вертикални асимптоти на графиката на функцията.

Нека изчислим

(приложете правилото на L'Hopital) = .

Това означава, че правата е хоризонтална асимптота.

Тъй като хоризонталната асимптота съществува, вече не търсим наклонени (те не съществуват).

Отговор: Графиката има две вертикални асимптоти и една хоризонтална.

Общи функционални изследвания г = f(х).

Обхватът на функцията. Намерете неговата област на дефиниция д(f) . Ако не е много трудно, полезно е да намерите и диапазона д(f) . (В много случаи обаче въпросът за намирането д(f) се отлага до намиране на екстремумите на функцията.)

Специални свойства на функцията. Разберете общите свойства на функцията: четност, нечетност, периодичност и др. Не всяка функция има свойства като четно или нечетно. Една функция очевидно не е нито четна, нито нечетна, ако нейната област на дефиниция е асиметрична по отношение на точка 0 на оста вол. По същия начин за всяка периодична функция областта на дефиниция се състои или от цялата реална ос, или от обединението на периодично повтарящи се системи от интервали.

Вертикални асимптоти. Разберете как се държи функцията, когато аргументът се доближи до граничните точки на областта на дефиницията д(f), ако съществуват такива гранични точки. В този случай могат да се появят вертикални асимптоти. Ако дадена функция има точки на прекъсване, в които не е дефинирана, тогава тези точки също трябва да бъдат проверени за наличието на вертикални асимптоти на функцията.

Наклонени и хоризонтални асимптоти. Ако домейнът на дефиницията д(f) включва лъчи от формата (a;+) или (−;b), тогава можете да опитате да намерите наклонени асимптоти (или хоризонтални асимптоти) съответно за x+ или x−, т.е. намерете limxf(x). Наклонени асимптоти: г = kx + б,където k=limx+xf(x) и b=limx+(f(x)−x). Асимптотите са хоризонтални: г = б,където limxf(x)=b.

Намиране на пресечните точки на графиката с осите. Намиране на пресечната точка на графиката с оста Ой. За да направите това, трябва да изчислите стойността f(0). Намерете и точките на пресичане на графиката с оста вол, защо да намерим корените на уравнението f(х) = 0 (или се уверете, че няма корени). Уравнението често може да бъде решено само приблизително, но разделянето на корените помага да се разбере по-добре структурата на графиката. След това трябва да определите знака на функцията на интервалите между корените и точките на прекъсване.

Намиране на пресечните точки на графиката с асимптотата. В някои случаи може да е необходимо да се намерят характерни точки на графиката, които не са споменати в предишните параграфи. Например, ако функция има наклонена асимптота, тогава можете да опитате да разберете дали графиката има пресечни точки с тази асимптота.

Намиране на интервали на изпъкналост и вдлъбнатост. Това се прави чрез изследване на знака на втората производна f(x). Намерете точките на инфлексия в кръстовищата на изпъкналите и вдлъбнатите интервали. Изчислете стойността на функцията в точките на инфлексия. Ако една функция има други точки на непрекъснатост (освен инфлексни точки), при които втората производна е равна на 0 или не съществува, тогава в тези точки също е полезно да се изчисли стойността на функцията. След като намерихме f(x), решаваме неравенството f(x)0. На всеки от интервалите на решение функцията ще бъде изпъкнала надолу. Чрез решаване на обратното неравенство f(x)0 намираме интервалите, на които функцията е изпъкнала нагоре (т.е. вдлъбната). Ние дефинираме точките на инфлексия като онези точки, в които функцията променя посоката на изпъкналост (и е непрекъсната).

Асимптоти на графиката на функция

Призракът на една асимптота броди из сайта дълго време, за да се материализира в отделна статия и да достави особена наслада на читателите, озадачени от пълното изследване на функцията. Намирането на асимптотите на графиката е една от малкото части на посочената задача, която се разглежда в училищния курс само като общ преглед, тъй като събитията се въртят около изчисляването на границите на функциите и те все още се отнасят до висша математика. За посетители, които имат малко разбиране от математически анализ, мисля, че подсказката е ясна ;-) ...стоп, спри, къде отиваш? Ограниченията са лесни!

Примери за асимптоти бяха открити веднага в първия урок за графики на елементарни функции и сега темата се разглежда подробно.

И така, какво е асимптота?

Представете си променлива точка, която “пътува” по графиката на функцията. Асимптотата е права линия, към която за неопределено време близографиката на функция се приближава, когато нейната променлива точка се движи към безкрайност.

Забележка : Дефиницията е смислена, ако имате нужда от формулировка в математическа нотация, моля, вижте учебника.

В равнината асимптотите се класифицират според естественото им местоположение:

1) Вертикални асимптоти, които са дадени от уравнение от формата , където „алфа“ е реално число. Популярен представител определя самата ординатна ос,
с леко чувство на гадене си спомняме хиперболата.

2) Наклонените асимптоти традиционно се записват чрез уравнението на права линия с наклон. Понякога отделна групаразпределя специален случай– хоризонтални асимптоти. Например същата хипербола с асимптота.

Да тръгваме бързо, да ударим темата с кратък залп от картечница:

Колко асимптоти може да има графиката на една функция?

Не едно, едно, две, три,... или безкрайно много. Няма да отиваме далеч за примери, нека си припомним елементарните функции. Парабола, кубична парабола и синусоида изобщо нямат асимптоти. Графиката на експоненциална логаритмична функция има една асимптота. Арктангенсът и арккотангенсът имат два от тях, а тангенсът и котангенсът имат безкрайно много. Не е необичайно една графика да има хоризонтални и вертикални асимптоти. Хипербола, винаги ще те обичам.

Какво означава ? Вертикални асимптоти на графиката на функция

Вертикалната асимптота на графиката, като правило, се намира в точката на безкрайно прекъсване на функцията. Просто е: ако в дадена точка функцията претърпи безкрайно прекъсване, тогава правата линия, определена от уравнението, е вертикалната асимптота на графиката.

Забележка : Обърнете внимание, че записът се използва за обозначаване на две напълно различни концепции. Дали се подразбира точка или уравнение на права зависи от контекста.

По този начин, за да се установи наличието на вертикална асимптота в точка, е достатъчно да се покаже, че поне една от едностранните граници безкраен. Най-често това е точката, в която знаменателят на функцията е нула. По същество вече намерихме вертикални асимптоти в последните примери от урока за непрекъснатост на функция. Но в някои случаи има само една едностранна граница и ако е безкрайна, тогава отново - обичайте и предпочитайте вертикалната асимптота. Най-простата илюстрация: и ординатната ос (вижте Графики и свойства на елементарни функции).

От горното следва и очевиден факт: ако функцията е непрекъсната на , тогава няма вертикални асимптоти. По някаква причина ми хрумна една парабола. Наистина, къде можете да "залепите" права линия тук? ...да... разбирам... Последователите на чичо Фройд изпаднаха в истерия =)

Обратното твърдение обикновено е невярно: например функцията не е дефинирана на цялата числова линия, но е напълно лишена от асимптоти.

Наклонени асимптоти на графиката на функция

Наклонени (като специален случай - хоризонтални) асимптоти могат да бъдат начертани, ако аргументът на функцията клони към "плюс безкрайност" или към "минус безкрайност". Следователно графиката на една функция не може да има повече от две наклонени асимптоти. Например диаграма експоненциална функцияима една хоризонтална асимптота при , а графиката на арктангенса при има две такива асимптоти, при това различни.

Когато графиката и на двете места се доближи до една наклонена асимптота, тогава „безкрайностите“ обикновено се комбинират в един запис. Например, ...познахте правилно: .

Общо правило:

Ако са две финаллимит , тогава правата е наклонената асимптота на графиката на функцията при . Ако поне една от изброените граници е безкрайна, тогава няма наклонена асимптота.

Забележка : формулите остават валидни, ако “x” клони само към “плюс безкрайност” или само към “минус безкрайност”.

Нека покажем, че параболата няма наклонени асимптоти:

Границата е безкрайна, което означава, че няма наклонена асимптота. Имайте предвид, че при намирането на границата необходимостта е отпаднала, тъй като отговорът вече е получен.

Забележка : Ако имате (или ще имате) затруднения с разбирането на знаците плюс-минус, минус-плюс, моля, вижте помощта в началото на урока
относно безкрайно малките функции, където говорих за това как правилно да тълкувам тези знаци.

Очевидно за всяко квадратно, кубична функция, полином 4-ти и по-високи степенисъщо няма наклонени асимптоти.

Сега нека се уверим, че графиката също няма наклонена асимптота. За да разкрием несигурността, използваме правилото на L'Hopital:
, което трябваше да се провери.

Когато функцията расте неограничено, но няма права линия, към която нейната графика да се приближи безкрайно близо.

Да преминем към практическата част на урока:

Как да намерим асимптотите на графиката на функция?

Точно така е формулирана типичната задача и тя включва намиране на ВСИЧКИ асимптоти на графиката (вертикална, наклонена/хоризонтална). Въпреки че, за да бъдем по-точни в поставянето на въпроса, говорим за изследване за наличие на асимптоти (все пак може и да няма такива). Да започнем с нещо просто:

Пример 1

Намерете асимптоти на графиката на функция

Решението може удобно да се раздели на две точки:

1) Първо проверяваме дали има вертикални асимптоти. Знаменателят отива до нула при и веднага става ясно, че в този момент функцията страда от безкрайно прекъсване и правата линия, определена от уравнението, е вертикалната асимптота на графиката на функцията. Но преди да се направи такова заключение, е необходимо да се намерят едностранчиви граници:

Напомням ви за техниката на изчисление, върху която също се спрях в статията Непрекъснатост на функция. Преломни точки. В израза под знака за граница заместваме . Няма нищо интересно в числителя:
.

Но в знаменателя се оказва безкрайно малък отрицателно число :
, то определя съдбата на лимита.

Лявата граница е безкрайна и по принцип вече е възможно да се направи присъда за наличието на вертикална асимптота. Но едностранните граници са необходими не само за това - те ПОМАГАТ ДА РАЗБЕРЕТЕ КАК се намира графиката на функцията и да я конструирате ПРАВИЛНО. Следователно трябва да изчислим и дясната граница:

Заключение: едностранните граници са безкрайни, което означава, че правата линия е вертикалната асимптота на графиката на функцията при .

Първо ограничение краен, което означава, че е необходимо да „продължите разговора“ и да намерите второто ограничение:

Второто ограничение също краен.

Така нашата асимптота е:

Заключение: правата, определена от уравнението, е хоризонталната асимптота на графиката на функцията при .

Да се ​​намери хоризонталната асимптота
можете да използвате опростена формула:

Ако съществува краенграница, тогава правата линия е хоризонталната асимптота на графиката на функцията при .

Лесно се забелязва, че числителят и знаменателят на функцията са от един и същи ред на нарастване, което означава, че търсената граница ще бъде крайна:

Отговор :

Според условието не е необходимо да се прави чертеж, но ако сме в разгара на изследване на функция, тогава веднага правим скица върху черновата:

Въз основа на трите намерени граници, опитайте се да разберете сами как може да бъде разположена графиката на функцията. Изобщо трудно ли е? Намерете 5-6-7-8 точки и ги маркирайте на чертежа. Въпреки това, графиката на тази функция е конструирана с помощта на трансформации на графиката на елементарна функция и читателите, които внимателно са разгледали пример 21 от горната статия, могат лесно да познаят какъв вид крива е това.

Пример 2

Намерете асимптоти на графиката на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Нека ви напомня, че е удобно да разделим процеса на две точки – вертикални асимптоти и наклонени асимптоти. В примерния разтвор хоризонталната асимптота се намира с помощта на опростена схема.

На практика най-често се срещат дробно-рационални функции и след обучение върху хиперболи ще усложним задачата:

Пример 3

Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение: Едно, две и готово:

1) Вертикалните асимптоти са в точки на безкрайно прекъсване, така че трябва да проверите дали знаменателят отива на нула. Нека решим квадратното уравнение:

Дискриминантът е положителен, така че уравнението има два реални корена и работата се увеличава значително =)

За по-нататъшно намиране на едностранни граници е удобно да факторизираме квадратния трином:
(за компактно записване „минусът“ беше включен в първата скоба). За по-сигурно нека проверим, като отворим скобите мислено или на чернова.

Нека пренапишем функцията във формата

Нека намерим едностранните ограничения в точката:

И по въпроса:

По този начин правите линии са вертикални асимптоти на графиката на въпросната функция.

2) Ако погледнете функцията , тогава е съвсем очевидно, че границата ще бъде крайна и имаме хоризонтална асимптота. Нека покажем накратко присъствието му:

Така правата линия (абсцисната ос) е хоризонталната асимптота на графиката на тази функция.

Отговор :

Намерените граници и асимптоти предоставят много информация за графиката на функцията. Опитайте се мислено да си представите рисунката, като вземете предвид следните факти:

Скицирайте вашата версия на графиката върху черновата си.

Разбира се, намерените граници не определят ясно външния вид на графиката и може да направите грешка, но самото упражнение ще ви окаже безценна помощ в хода на пълното изследване на функцията. Правилната снимка е в края на урока.

Пример 4

Намерете асимптоти на графиката на функция

Пример 5

Намерете асимптоти на графиката на функция

Това са задачи за самостоятелно решаване. И двете графики отново имат хоризонтални асимптоти, които веднага се откриват от следните характеристики: в пример 4, редът на нарастване на знаменателя Повече ▼, отколкото реда на нарастване на числителя, а в пример 5 числителят и знаменателят са от същия ред на нарастване. В примерния разтвор първата функция се изследва за наличие на наклонени асимптоти изцяло, а втората – през границата.

Хоризонталните асимптоти според моето субективно впечатление са забележимо по-често срещани от тези, които са „истински наклонени“. Дългоочакваният общ случай:

Пример 6

Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение: класика на жанра:

1) Тъй като знаменателят е положителен, функцията е непрекъсната по цялата числова ос и няма вертикални асимптоти. …Добро е? Не точната дума - отлично! Пункт №1 е закрит.

2) Нека проверим наличието на наклонени асимптоти:

Първо ограничение краен, така че да продължим. Когато изчисляваме втората граница, за да елиминираме несигурността „безкрайност минус безкрайност“, свеждаме израза до общ знаменател:

Второто ограничение също краенСледователно графиката на въпросната функция има наклонена асимптота:

Заключение:

По този начин, когато графиката на функцията безкрайно близосе доближава до права линия:

Имайте предвид, че той пресича своята наклонена асимптота в началото и такива пресечни точки са напълно приемливи - важно е "всичко да е нормално" в безкрайността (всъщност тук говорим за асимптоти).

Пример 7

Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение: няма какво специално да коментирам, така че ще го формализирам приблизителна пробакрайно решение:

1) Вертикални асимптоти. Нека проучим въпроса.

Правата линия е вертикалната асимптота за графиката при .

2) Наклонени асимптоти:

Правата линия е наклонената асимптота за графиката при .

Отговор :

Намерените едностранни граници и асимптоти ни позволяват да предскажем с голяма увереност как изглежда графиката на тази функция. Правилно рисуване в края на урока.

Пример 8

Намерете асимптоти на графиката на функция

Това е пример за независимо решение; за удобство при изчисляване на някои граници можете да разделите числителя на знаменателя термин по термин. Отново, когато анализирате резултатите си, опитайте се да начертаете графика на тази функция.

Очевидно собствениците на „реални“ наклонени асимптоти са графиките на тези дробни рационални функции, в които водещата степен на числителя е с една по-голяма от водещата степен на знаменателя. Ако е повече, няма да има наклонена асимптота (например ).

Но в живота се случват и други чудеса:

Пример 9

Пример 11

Разгледайте графиката на функция за наличие на асимптоти

Решение: очевидно , следователно разглеждаме само дясната полуравнина, където има графика на функцията.

Така правата линия (ординатната ос) е вертикалната асимптота за графиката на функцията при .

2) Изследването на наклонената асимптота може да се извърши по пълната схема, но в статията Правилата на L'Hopital открихме, че линейна функцияпо-висок ред на нарастване от логаритмичен, следователно: (Вижте Пример 1 от същия урок).

Заключение: оста x е хоризонталната асимптота на графиката на функцията при .

Отговор :
, Ако ;
, Ако .

Чертеж за яснота:

Интересно е, че една на пръв поглед подобна функция изобщо няма асимптоти (които желаят могат да проверят това).

две крайни примериЗа самоподготовка:

Пример 12

Разгледайте графиката на функция за наличие на асимптоти

В много случаи построяването на графика на функция е по-лесно, ако първо построите асимптотите на кривата.

Определение 1. Асимптотите са тези прави линии, до които графиката на функция се приближава произволно близо, когато променливата клони към плюс безкрайност или минус безкрайност.

Определение 2. Права линия се нарича асимптота на графиката на функция, ако разстоянието от променливата точка Мграфиката на функцията до тази линия клони към нула, когато точката се отдалечава за неопределено време Мот началото по всяко разклонение на функционалната графика.

Има три вида асимптоти: вертикални, хоризонтални и наклонени.

Вертикални асимптоти

Определение . Направо х = ае вертикална асимптота на графиката на функцията, ако точка х = ае точка на прекъсване от втори род за тази функция.

От определението следва, че правата х = ае вертикалната асимптота на графиката на функцията f(х), ако е изпълнено поне едно от условията:

В този случай функцията f(х) може изобщо да не се определя, съответно кога х ≥ аИ х ≤ а .

коментар:

Пример 1. Графика на функция г=вн хима вертикална асимптота х= 0 (т.е. съвпадащ с оста Ой) на границата на областта на дефиниране, тъй като границата на функцията, когато x клони към нула отдясно, е равна на минус безкрайност:

(снимката по-горе).

себе си и след това вижте решенията

Пример 2. Намерете асимптоти на графиката на функцията.

Пример 3. Намерете асимптоти на графиката на функция

Хоризонтални асимптоти

Ако (границата на функция, когато аргументът клони към плюс или минус безкрайност, е равна на определена стойност b), Че г = b – хоризонтална асимптотакрив г = f(х) (дясно, когато X клони към плюс безкрайност, ляво, когато X клони към минус безкрайност, и двустранно, ако границите, когато X клони към плюс или минус безкрайност, са равни).

Пример 5. Графика на функция

при а> 1 има лява хоризонтална асимпотота г= 0 (т.е. съвпадащ с оста вол), тъй като границата на функцията като "x" клони към минус безкрайност е нула:

Кривата няма дясна хоризонтална асимптота, тъй като границата на функцията като "x" клони към плюс безкрайност е равна на безкрайност:

Наклонени асимптоти

Вертикалните и хоризонталните асимптоти, които разгледахме по-горе, са успоредни на координатните оси, така че за да ги конструираме ни трябваше само определен брой- точка на абсцисната или ординатната ос, през която минава асимптотата. За наклонена асимптота е необходим по-голям наклон к, който показва ъгъла на наклона на линията и свободния член b, което показва колко линията е над или под началото. Тези, които не са забравили аналитичната геометрия и от нея уравненията на права линия, ще забележат, че за наклонена асимптота намират уравнение на права линия с ъглов коефициент. Съществуването на наклонена асимптота се определя от следната теорема, въз основа на която се намират току-що споменатите коефициенти.

Теорема. За да направите кривата г = f(х) имаше асимптота г = kx + b, е необходимо и достатъчно да има крайни граници кИ bна разглежданата функция, тъй като променливата клони хдо плюс безкрайност и минус безкрайност:

(1)

(2)

Намерените по този начин числа кИ bи са коефициентите на наклонената асимптота.

В първия случай (когато x клони към плюс безкрайност) се получава наклонена надясно асимптота, във втория (когато x клони към минус безкрайност) се получава лява наклонена асимптота. Дясната наклонена асимптота е показана на фиг. По-долу.

При намиране на уравнението за наклонена асимптота е необходимо да се вземе предвид тенденцията на X както към плюс безкрайност, така и към минус безкрайност. За някои функции, например дробни рационални, тези граници съвпадат, но за много функции тези граници са различни и може да съществува само една от тях.

Ако границите съвпадат и х клони към плюс безкрайност и минус безкрайност, правата линия г = kx + bе двустранната асимптота на кривата.

Ако поне една от границите, определящи асимптотата г = kx + b, не съществува, тогава графиката на функцията няма наклонена асимптота (но може да има вертикална).

Лесно се вижда, че хоризонталната асимптота г = bе частен случай на наклонен г = kx + bпри к = 0 .

Следователно, ако в която и да е посока кривата има хоризонтална асимптота, тогава няма наклон в тази посока и обратното.

Пример 6. Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение. Функцията е дефинирана на цялата числова ос с изключение на х= 0, т.е.

Следователно, в точката на счупване х= 0 кривата може да има вертикална асимптота. Наистина, границата на функцията, когато x клони към нула отляво, е равна на плюс безкрайност:

следователно х= 0 – вертикална асимптота на графиката на тази функция.

Графиката на тази функция няма хоризонтална асимптота, тъй като границата на функцията, когато x клони към плюс безкрайност, е равна на плюс безкрайност:

Нека разберем наличието на наклонена асимптота:

Има ограничени граници к= 2 и b= 0 . Направо г = 2хе двупосочната наклонена асимптота на графиката на тази функция (фигура в примера).

Пример 7. Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение. Функцията има една точка на прекъсване х= −1 . Нека изчислим едностранните граници и да определим вида на прекъсването:

Заключение: х= −1 е точка на прекъсване от втори род, така че правата линия х= −1 е вертикалната асимптота на графиката на тази функция.

Търсим наклонени асимптоти. Тъй като тази функция е дробно-рационална, границите при и при ще съвпадат. Така намираме коефициентите за заместване на правата линия - наклонена асимптота в уравнението:

Замествайки намерените коефициенти в уравнението на правата линия с коефициента на наклона, получаваме уравнението на наклонената асимптота:

г = −3х + 5 .

На фигурата графиката на функцията е означена в бордо, а асимптотите са означени в черно.

Пример 8. Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение. Тъй като тази функция е непрекъсната, нейната графика няма вертикални асимптоти. Търсим наклонени асимптоти:

.

По този начин графиката на тази функция има асимптота г= 0 при и няма асиптото при .

Пример 9. Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение. Първо търсим вертикални асимптоти. За да направим това, намираме областта на дефиниция на функцията. Функция е дефинирана, когато неравенството и . Знак на променливата хсъответства на знака. Следователно, разгледайте еквивалентното неравенство. От това получаваме домейна на дефиниция на функцията: . Вертикална асимптота може да бъде само на границата на областта на дефиниране на функцията. Но х= 0 не може да бъде вертикална асимптота, тъй като функцията е дефинирана при х = 0 .

Помислете за дясната граница при (няма лява граница):

.

Точка х= 2 е точка на прекъсване от втори род, така че правата линия х= 2 - вертикална асимптота на графиката на тази функция.

Търсим наклонени асимптоти:

Така, г = х+ 1 - наклонена асимптота на графиката на тази функция при . Търсим наклонена асимптота при:

Така, г = −х− 1 - наклонена асимптота при .

Пример 10. Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение. Функцията има дефиниционна област . Тъй като вертикалната асимптота на графиката на тази функция може да бъде само на границата на областта на дефиниция, намираме едностранните граници на функцията при .