Всички сме запознати с уравненията начални класове. Там се научихме да решаваме и най-простите примери и трябва да признаем, че те намират своето приложение дори в висша математика. Всичко е просто с уравненията, включително квадратните уравнения. Ако имате проблеми с тази тема, горещо ви препоръчваме да я прегледате.

Вероятно вече сте преминали и през логаритми. Въпреки това смятаме за важно да кажем какво е това за тези, които все още не знаят. Логаритъмът се равнява на степента, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи числото вдясно от знака на логаритъма. Нека дадем пример, въз основа на който всичко ще ви стане ясно.

Ако повдигнете 3 на четвърта степен, получавате 81. Сега заместете числата по аналогия и най-накрая ще разберете как се решават логаритми. Сега остава само да комбинираме двете обсъждани концепции. Първоначално ситуацията изглежда изключително сложна, но при по-внимателно разглеждане тежестта си идва на мястото. Сигурни сме, че след тази кратка статия няма да имате проблеми в тази част от Единния държавен изпит.

Днес има много начини за решаване на такива структури. Ще ви разкажем за най-простите, най-ефективните и най-приложимите в случай на задачи за единен държавен изпит. Решаването на логаритмични уравнения трябва да започне от самото начало. прост пример. Най-простите логаритмични уравнения се състоят от функция и една променлива в нея.

Важно е да се отбележи, че x е вътре в аргумента. A и b трябва да са числа. В този случай можете просто да изразите функцията чрез число на степен. Изглежда така.

Разбира се, решаването на логаритмично уравнение с помощта на този метод ще ви доведе до правилния отговор. Проблемът за по-голямата част от учениците в случая е, че не разбират какво идва откъде. В резултат на това трябва да се примирите с грешки и да не получите желаните точки. Най-обидната грешка ще бъде, ако объркате буквите. За да решите уравнение по този начин, трябва да запомните този стандарт училищна формулазащото е трудно за разбиране.

За да улесните, можете да прибегнете до друг метод - каноничната форма. Идеята е изключително проста. Насочете вниманието си обратно към проблема. Не забравяйте, че буквата a е число, а не функция или променлива. А не е равно на едно и не е по-голямо от нула. Няма ограничения за b. Сега, от всички формули, нека си спомним една. B може да се изрази по следния начин.

От това следва, че всички оригинални уравнения с логаритми могат да бъдат представени във формата:

Сега можем да изпуснем логаритмите. Резултатът е прост дизайн, който вече видяхме по-рано.

Удобството на тази формула се крие във факта, че може да се използва в голямо разнообразие от случаи, а не само за най-простите дизайни.

Не се притеснявайте за OOF!

Много опитни математици ще забележат, че не сме обърнали внимание на областта на дефиницията. Правилото се свежда до факта, че F(x) непременно е по-голямо от 0. Не, не сме пропуснали тази точка. Сега говорим за друго сериозно предимство на каноничната форма.

Тук няма да има допълнителни корени. Ако една променлива ще се появи само на едно място, тогава обхват не е необходим. Извършва се автоматично. За да потвърдите това решение, опитайте да разрешите няколко прости примера.

Как се решават логаритмични уравнения с различни бази

Това вече са сложни логаритмични уравнения и подходът към решаването им трябва да е специален. Тук рядко е възможно да се ограничим до прословутата канонична форма. Нека започнем нашата подробна история. Имаме следната конструкция.

Обърнете внимание на фракцията. Съдържа логаритъма. Ако видите това в задача, струва си да си припомните един интересен трик.

Какво означава? Всеки логаритъм може да бъде представен като частно от два логаритма с удобна основа. И тази формула има специален случай, което е приложимо с този пример (което означава, че c=b).

Точно това е фракцията, която виждаме в нашия пример. По този начин.

По същество обърнахме дробта и получихме по-удобен израз. Запомнете този алгоритъм!

Сега имаме нужда логаритмичното уравнение да не съдържа различни причини. Нека представим основата като дроб.

В математиката има правило, въз основа на което можете да извлечете степен от база. Следните резултати от строителството.

Изглежда какво ни пречи сега да превърнем нашия израз в канонична форма и просто да го разрешим? Не толкова просто. Не трябва да има дроби преди логаритъма. Нека оправим тази ситуация! Допуска се дробите да се използват като градуси.

Съотв.

Ако основите са еднакви, можем да премахнем логаритмите и да приравним самите изрази. По този начин ситуацията ще стане много по-проста, отколкото беше. Това, което ще остане, е елементарно уравнение, което всеки от нас е знаел как да реши още в 8-ми или дори 7-ми клас. Можете сами да направите изчисленията.

Получихме единствения истински корен на това логаритмично уравнение. Примерите за решаване на логаритмично уравнение са доста прости, нали? Сега ще можете самостоятелно да се справяте дори с най-сложните задачи за подготовка и полагане на Единния държавен изпит.

какъв е резултатът

В случай на всякакви логаритмични уравнения, ние започваме от едно много важно правило. Необходимо е да се действа по такъв начин, че да се сведе изразът до възможно най-простата форма. В този случай ще имате по-голям шанс не само да решите задачата правилно, но и да я направите по възможно най-простия и логичен начин. Точно така винаги работят математиците.

Силно не ви препоръчваме да търсите трудни пътища, особено в този случай. Спомнете си няколко прости правила, което ще ви позволи да трансформирате всеки израз. Например, редуцирайте два или три логаритма към една и съща основа или извлечете степен от основата и спечелете от това.

Също така си струва да запомните, че решаването на логаритмични уравнения изисква постоянна практика. Постепенно ще преминете към повече и повече сложни структури, и това ще ви доведе до уверено решаване на всички варианти на задачи на Единния държавен изпит. Подгответе се предварително за изпитите си и успех!

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране определено лицеили връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Инструкции

Напишете дадения логаритмичен израз. Ако изразът използва логаритъм от 10, тогава записът му се съкращава и изглежда така: lg b е десетичен логаритъм. Ако основата на логаритъма е числото e, тогава напишете израза: ln b – натурален логаритъм. Разбираемо е, че резултатът от any е степента, на която трябва да се повдигне основното число, за да се получи числото b.

Когато намирате сумата на две функции, просто трябва да ги разграничите една по една и да съберете резултатите: (u+v)" = u"+v";

Когато намирате производната на произведението на две функции, е необходимо да умножите производната на първата функция по втората и да добавите производната на втората функция, умножена по първата функция: (u*v)" = u"*v +v"*u;

За да се намери производната на частното на две функции, е необходимо да се извади от произведението на производната на дивидента, умножено по функцията делител, произведението на производната на делителя, умножено по функцията на делителя, и да се раздели всичко това чрез функцията делител на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ако се даде сложна функция, тогава е необходимо да се умножи производната на вътрешна функцияи производната на външната. Нека y=u(v(x)), тогава y"(x)=y"(u)*v"(x).

Използвайки резултатите, получени по-горе, можете да разграничите почти всяка функция. Така че нека да разгледаме няколко примера:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *х));
Има и проблеми, свързани с изчисляването на производната в точка. Нека е дадена функцията y=e^(x^2+6x+5), трябва да намерите стойността на функцията в точката x=1.
1) Намерете производната на функцията: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Изчислете стойността на функцията в дадена точка y"(1)=8*e^0=8

Видео по темата

Полезен съвет

Научете таблицата на елементарните производни. Това значително ще спести време.

източници:

• производна на константа

И така, каква е разликата? ir рационално уравнениеот рационалното? Ако неизвестната променлива е под знака корен квадратен, тогава уравнението се счита за ирационално.

Инструкции

Основният метод за решаване на такива уравнения е методът за конструиране на двете страни уравненияв квадрат. Въпреки това. това е естествено, първото нещо, което трябва да направите, е да се отървете от знака. Този метод не е технически труден, но понякога може да доведе до проблеми. Например, уравнението е v(2x-5)=v(4x-7). Като повдигнете двете страни на квадрат, получавате 2x-5=4x-7. Решаването на такова уравнение не е трудно; х=1. Но номер 1 няма да бъде даден уравнения. Защо? Заместете едно в уравнението вместо стойността на x. И дясната и лявата страна ще съдържат изрази, които нямат смисъл, т.е. Тази стойност не е валидна за квадратен корен. Следователно 1 е външен корен и следователно това уравнение няма корени.

И така, ирационално уравнение се решава с помощта на метода на повдигане на квадрат на двете му страни. И след като се реши уравнението, е необходимо да се отрежат външни корени. За да направите това, заменете намерените корени в оригиналното уравнение.

Помислете за друг.
2х+vх-3=0
Разбира се, това уравнение може да бъде решено с помощта на същото уравнение като предишното. Преместване на съединения уравнения, които нямат квадратен корен, в правилната странаи след това използвайте метода на повдигане на квадрат. решаване на полученото рационално уравнение и корени. Но и друг, по-елегантен. Въведете нова променлива; vх=y. Съответно ще получите уравнение от формата 2y2+y-3=0. Тоест обичайното квадратно уравнение. Намерете корените му; y1=1 и y2=-3/2. След това решете две уравнения vх=1; vх=-3/2. Второто уравнение няма корени; от първото намираме, че x=1. Не забравяйте да проверите корените.

Разрешаването на идентичности е доста просто. За да направите това, е необходимо да се извършват идентични трансформации, докато се постигне поставената цел. Така с помощта на прости аритметични действия поставеният проблем ще бъде решен.

Ще имаш нужда

• - хартия;
• - химилка.

Инструкции

Най-простите от тези трансформации са алгебричните съкратени умножения (като квадрат на сумата (разликата), разликата на квадратите, сумата (разликата), кубът на сумата (разликата)). Освен това има много и тригонометрични формули, които по същество са едни и същи самоличности.

Наистина, квадратът на сбора от два члена е равен на квадрата на първия плюс два пъти произведението на първия по втория и плюс квадрата на втория, тоест (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Опростете и двете

Общи принципи на решението

Повторете от учебник по математически анализ или висша математика какво е определен интеграл. Както е известно, решението на определен интеграл е функция, чиято производна ще даде интеграл. Тази функция се нарича антипроизводна. Въз основа на този принцип се конструират основните интеграли.
Определете според вида на интегранта кой от табличните интеграли е подходящ в този случай. Не винаги е възможно да се определи това веднага. Често табличната форма става забележима само след няколко трансформации за опростяване на интегранта.

Метод за заместване на променливи

Ако функцията интегранд е тригонометрична функция, чийто аргумент съдържа някакъв полином, опитайте да използвате метода за заместване на променлива. За да направите това, заменете полинома в аргумента на интегранта с нова променлива. Въз основа на връзката между новите и старите променливи, определете новите граници на интегриране. Като диференцирате този израз, намерете новия диференциал в . Така че ще получите новият видна предишния интеграл, близък или дори съответстващ на всеки табличен.

Решаване на интеграли от втори род

Ако интегралът е интеграл от втори вид, векторна форма на интегранта, тогава ще трябва да използвате правилата за преход от тези интеграли към скаларни. Едно такова правило е отношението на Остроградски-Гаус. Този закон ни позволява да преминем от роторния поток на определена векторна функция към тройния интеграл върху дивергенцията на дадено векторно поле.

Замяна на интеграционни граници

След намиране на антипроизводното е необходимо да се заменят границите на интегриране. Първо, заместете стойността на горната граница в израза за антипроизводното. Ще получите някакъв номер. След това извадете от полученото число друго число, получено от долната граница в антипроизводното. Ако една от границите на интегриране е безкрайност, тогава при заместването й в антипроизводната функция е необходимо да отидете до границата и да намерите към какво клони изразът.
Ако интегралът е двуизмерен или триизмерен, тогава ще трябва да представите границите на интеграцията геометрично, за да разберете как да оцените интеграла. Наистина, в случая на, да речем, триизмерен интеграл, границите на интегриране могат да бъдат цели равнини, които ограничават обема, който се интегрира.

Алгебра 11 клас

Тема: “Методи за решаване на логаритмични уравнения”

Цели на урока:

образователни: формиране на знания за по различни начинирешаване на логаритмични уравнения, умения за прилагането им във всяко конкретна ситуацияи изберете произволен метод за решаване;

развиващи: развиване на умения за наблюдение, сравняване, прилагане на знания в нова ситуация, идентифициране на модели, обобщаване; развиване на умения за взаимен контрол и самоконтрол;

образователни: насърчаване на отговорно отношение към образователната работа, внимателно възприемане на материала в урока и внимателно водене на бележки.

Тип урок: урок за въвеждане на нов материал.

„Изобретяването на логаритмите, макар и да намалява работата на астронома, удължава живота му.“
Френският математик и астроном P.S. Лаплас

По време на часовете

I. Поставяне на целта на урока

Изученото определение за логаритъм, свойствата на логаритмите и логаритмичната функция ще ни позволят да решаваме логаритмични уравнения. Всички логаритмични уравнения, независимо колко сложни са, се решават с помощта на единни алгоритми. Ще разгледаме тези алгоритми в днешния урок. Не са много от тях. Ако ги усвоите, тогава всяко уравнение с логаритми ще бъде изпълнимо за всеки от вас.

Запишете темата на урока в тетрадката си: „Методи за решаване на логаритмични уравнения“. Каня всички за съдействие.

II. Актуализиране на справочните знания

Нека се подготвим за изучаване на темата на урока. Решавате всяка задача и записвате отговора, не е нужно да пишете условието. Работете по двойки.

1) За какви стойности на x функцията има смисъл:

(Отговорите се проверяват за всеки слайд и грешките се сортират)

2) Съвпадат ли графиките на функциите?

3) Препишете равенствата като логаритмични равенства:

4) Запишете числата като логаритми с основа 2:

5) Изчислете:

6) Опитайте се да възстановите или допълните липсващите елементи в тези равенства.

III. Въведение в новия материал

На екрана се показва следното изявление:

„Уравнението е златният ключ, който отваря всички математически сусами.“
Съвременният полски математик С. Ковал

Опитайте се да формулирате дефиницията на логаритмично уравнение. (Уравнение, съдържащо неизвестно под знака на логаритъма).

Нека помислим най-простото логаритмично уравнение:дневникАx = b(където a>0, a ≠ 1). Тъй като логаритмичната функция нараства (или намалява) върху множеството от положителни числа и приема всички реални стойности, тогава от теоремата за корена следва, че за всяко b това уравнение има само едно решение, и то положително.

Запомнете дефиницията на логаритъм. (Логаритъмът на число x при основа a е показател за степента, на която трябва да се повдигне основата a, за да се получи числото x). От дефиницията на логаритъм веднага следва, че АVе такова решение.

Запишете заглавието: Методи за решаване на логаритмични уравнения

1. По дефиниция на логаритъм.

Така се решават най-простите уравнения от вида.

Нека помислим № 514(a)): Решете уравнението

Как предлагате да го разрешите? (По дефиниция на логаритъм)

Решение. , Следователно 2x - 4 = 4; х = 4.

В тази задача 2x - 4 > 0, тъй като > 0, така че не могат да се появят външни корени и няма нужда да се проверява. В тази задача няма нужда да изписваме условието 2x - 4 > 0.

2. Потенциране(преход от логаритъм на даден израз към самия израз).

Нека помислим № 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Каква функция забелязахте? (Основите са еднакви и логаритмите на двата израза са равни.) Какво може да се направи? (Потенцира).

Трябва да се има предвид, че всяко решение се съдържа сред всички x, за които логаритмичните изрази са положителни.

Решение: ODZ:

X2+8>0 е ненужно неравенство

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Нека потенцираме първоначалното уравнение

получаваме уравнението x2+8= 8x+8

Нека го решим: x2-8x=0

Отговор: 0; 8

Общо взето преминаване към еквивалентна система:

Уравнението

(Системата съдържа излишно условие - едно от неравенствата не трябва да се разглежда).

Въпрос към класа: Кое от тези три решения ви хареса най-много? (Обсъждане на методите).

Имате право да решавате по какъвто и да е начин.

3. Въвеждане на нова променлива.

Нека помислим № 520(g). .

Какво забелязахте? (Това е квадратно уравнение по отношение на log3x) Някакви предложения? (Въведете нова променлива)

Решение. ODZ: x > 0.

Нека , тогава уравнението приема формата:. Дискриминант D > 0. Корени според теоремата на Виета:.

Да се ​​върнем към замяната: или.

След като решихме най-простите логаритмични уравнения, получаваме:

Отговор: 27;

4. Логаритмирайте двете страни на уравнението.

Решете уравнението:.

Решение: ODZ: x>0, вземете логаритъма на двете страни на уравнението при основа 10:

Нека приложим свойството на логаритъм от степен:

(logx + 3) logx = 4

Нека logx = y, тогава (y + 3)y = 4

, (D > 0) корени съгласно теоремата на Виета: y1 = -4 и y2 = 1.

Да се ​​върнем към замяната, получаваме: lgx = -4,; lgx = 1, .

Отговор: 0,0001; 10.

5. Намаляване до една база.

№ 523(c). Решете уравнението:

Решение: ODZ: x>0. Да преминем към основа 3.

6. Функционално-графичен метод.

№ 509(d).Решете графично уравнението: = 3 - x.

Как предлагате да се реши? (Постройте графики на две функции y = log2x и y = 3 - x с помощта на точки и потърсете абсцисата на точките на пресичане на графиките).

Вижте вашето решение на слайда.

Има начин да избегнете правенето на графики . Тя е следната : ако една от функциите y = f(x) увеличава, а другият y = g(x) намалява на интервала X, след това уравнението f(x)=g(x) има най-много един корен на интервала X.

Ако има корен, значи може да се познае.

В нашия случай функцията нараства за x>0, а функцията y = 3 - x намалява за всички стойности на x, включително за x>0, което означава, че уравнението има не повече от един корен. Обърнете внимание, че при x = 2 уравнението се превръща в истинско равенство, тъй като .

« Правилна употребаметоди могат да бъдат научени
само като ги прилагаме към различни примери.“
Датският историк на математиката G. G. Zeiten

азV. Домашна работа

С. 39 разгледайте пример 3, решете № 514(b), № 529(b), № 520(b), № 523(b)

V. Обобщаване на урока

Какви методи за решаване на логаритмични уравнения разгледахме в клас?

В следващите уроци ще разгледаме повече сложни уравнения. За решаването им ще бъдат полезни изучените методи.

Последен показан слайд:

„Какво е повече от всичко на света?
пространство.
Кое е най-мъдрото нещо?
време.
Коя е най-добрата част?
Постигни това, което искаш."
Талес

Пожелавам на всеки да постигне това, което иска. Благодарим ви за съдействието и разбирането.

Както знаете, когато се умножават изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b *a c = a b+c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8-ми век, математикът Вирасен създава таблица с цели показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където трябва да опростите тромавото умножение чрез просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. На прост и достъпен език.

Дефиниция в математиката

Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) „b“ спрямо основата му „a“ се счита за степен „c“ ”, до която трябва да се повдигне основата „a”, за да се получи в крайна сметка стойността „b”. Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направим някои изчисления наум, получаваме числото 3! И това е вярно, защото 2 на степен 3 дава отговора като 8.

Видове логаритми

За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три отделни видовелогаритмични изрази:

1. Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
2. Десетично a, където основата е 10.
3. Логаритъм на произволно число b при основа a>1.

Всяка от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редукция и последваща редукция до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и последователността от действия, когато ги решавате.

Правила и някои ограничения

В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат като аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са истината. Например, невъзможно е да се разделят числа на нула и също така е невъзможно да се извлече четен корен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да се научите да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:

• Основата „а“ винаги трябва да е по-голяма от нула и да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби значението си, тъй като „1“ и „0“ във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
• ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че „c” също трябва да е по-голямо от нула.

Как се решават логаритми?

Например, дадена е задачата да намерите отговора на уравнението 10 x = 100. Това е много лесно, трябва да изберете степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 = 100.

Сега нека представим този израз в логаритмична форма. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се събират, за да се намери степента, на която е необходимо да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да се научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:

Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате технически ум и познаване на таблицата за умножение. Въпреки това за големи стойностище ви трябва таблица с градуси. Може да се използва дори от тези, които не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степен c, на която е повдигнато числото a. В пресечната точка клетките съдържат числовите стойности, които са отговорът (a c =b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числови изрази могат да бъдат записани като логаритмично равенство. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм с основа 3 от 81, равен на четири (log 3 81 = 4). За отрицателни силиправилата са същите: 2 -5 = 1/32, записваме го като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения по-долу, веднага след изучаването на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.

Даден е израз със следната форма: log 2 (x-1) > 3 - така е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност "x" е под знака на логаритъма. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (пример - логаритъм 2 x = √9) предполагат една или повече конкретни числени стойности в отговора, докато при решаване на неравенства те се определят като област приемливи стойностии точките на прекъсване на тази функция. Вследствие на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнение, а непрекъсната серия или набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става дума за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще разгледаме примери за уравнения; нека първо разгледаме всяко свойство по-подробно.

1. Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само когато a е по-голямо от 0, не е равно на единица, и B е по-голямо от нула.
2. Логаритъмът на продукта може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай задължителното условие е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази логаритмична формула с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, тогава a f1 = s 1, a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства на градуса ), и след това по дефиниция: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
3. Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теоремата под формата на формула приема следния вид: log a q b n = n/q log a b.

Тази формула се нарича „свойство на степента на логаритъм“. Той прилича на свойствата на обикновените градуси и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на естествени постулати. Нека да разгледаме доказателството.

Нека log a b = t, оказва се, че a t = b. Ако повдигнем двете части на степен m: a tn = b n ;

но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.

Примери за задачи и неравенства

Най-често срещаните видове задачи за логаритми са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички сборници със задачи, а също така са задължителна част от изпитите по математика. За да влезете в университет или да преминете приемни изпити по математика, трябва да знаете как правилно да решавате такива задачи.

За съжаление няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но може да се приложи към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение определени правила. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или да доведе до общ вид. Опростете дългите логаритмични изразивъзможно, ако използвате правилно свойствата им. Нека бързо да ги опознаем.

Когато решаваме логаритмични уравнения, трябва да определим какъв тип логаритъм имаме: примерен израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.

Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че те трябва да определят степента, на която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения естествени логаритмитрябва да кандидатствате логаритмични тъждестваили техните свойства. Нека да разгледаме примери за решаване на логаритмични задачи от различни видове.

Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения

И така, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритмите.

1. Свойството логаритъм на произведение може да се използва в задачи, където е необходимо разширяване голямо значениечисла b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъм, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Просто трябва да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задачи от Единния държавен изпит

Логаритмите често се срещат в приемните изпити, особено много логаритмични задачи в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-сложните и обемни задачи). Изпитът изисква точни и завършени познания по темата “Натурални логаритми”.

Примерите и решенията на проблемите са взети от официални Опции за единен държавен изпит. Да видим как се решават такива задачи.

Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2, по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4, следователно 2x = 17; х = 8,5.

• Най-добре е да намалите всички логаритми до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
• Всички изрази под знака за логаритъм са посочени като положителни, следователно, когато показателят на израз, който е под знака за логаритъм и като негова основа е изваден като множител, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.