В математиката има безкраен брой функции. И всеки има свой собствен характер.) За да работите с голямо разнообразие от функции, от които се нуждаете единиченподход. Иначе каква математика е това?!) И такъв подход има!

Когато работим с всяка функция, ние я представяме с стандартен комплектвъпроси. И първият, най-много важен въпрос- Това област на дефиниция на функцията.Понякога тази област се нарича набор от валидни стойности на аргументи, област, където е определена функция и т.н.

Какво представлява домейнът на функция? Как да го намерите? Тези въпроси често изглеждат сложни и неразбираеми... Въпреки че всъщност всичко е изключително просто. Можете да се убедите сами, като прочетете тази страница. Отивам?)

Е, какво да кажа... Просто уважение.) Да! Естественият домейн на функция (която се обсъжда тук) мачовес ODZ на изрази, включени във функцията. Съответно те се търсят по същите правила.

Сега нека да разгледаме една не съвсем естествена област на дефиниция.)

Допълнителни ограничения върху обхвата на функция.

Тук ще говорим за ограниченията, които налага задачата. Тези. Задачата съдържа някои допълнителни условия, които компилаторът измисли. Или ограниченията произтичат от самия метод на дефиниране на функцията.

Що се отнася до ограниченията в задачата, всичко е просто. Обикновено не е необходимо да търсите нищо, всичко вече е казано в задачата. Нека ви напомня, че ограниченията, написани от автора на задачата, не отменят фундаментални ограничения на математиката.Просто трябва да запомните да вземете предвид условията на задачата.

Например тази задача:

Намерете домейна на функция:

върху множеството от положителни числа.

Открихме естествената област на дефиниция на тази функция по-горе. Тази област:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

При вербалния метод за уточняване на функция трябва внимателно да прочетете условието и да намерите там ограничения върху X-овете. Понякога очите търсят формули, но думите свистят покрай съзнанието, да...) Пример от предишния урок:

Функцията се определя от условието: всяка стойност на естествения аргумент x е свързана със сумата от цифрите, които съставляват стойността на x.

Тук трябва да се отбележи, че говорим самоза естествените стойности на X. Тогава D(f)незабавно записано:

D(f): x ∈ н

Както можете да видите, обхватът на функцията не е такъв сложна концепция. Намирането на тази област се свежда до изследване на функцията, записване на система от неравенства и решаване на тази система. Разбира се, има всякакви системи, прости и сложни. Но...

аз ще го отворя малка тайна. Понякога функция, за която трябва да намерите домейна на дефиницията, изглежда просто плашеща. Искам да пребледня и да заплача.) Но щом напиша системата от неравенства... И изведнъж системата се оказва елементарна! Освен това често колкото по-ужасна е функцията, толкова по-проста е системата...

Морал: очите се страхуват, главата решава!)

Разбрахме, че има х- множество, върху което формулата, която определя функцията, има смисъл. В математическия анализ това множество често се означава като д (област на функция ). На свой ред мн Yозначен като д (функционален диапазон ) и при което дИ днаречени подмножества Р(набор от реални числа).

Ако функцията е дефинирана с формула, тогава, при липса на специални резерви, домейнът на нейната дефиниция се счита за най-големият набор, върху който тази формула има смисъл, тоест най-големият набор от стойности на аргументи, които водят до реални стойности на функцията . С други думи, наборът от стойности на аргументи, върху които работи „функцията“.

За общо разбиране примерът все още няма формула. Функцията е посочена като двойки отношения:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Намерете областта на дефиниране на тези функции.

Отговор. Първият елемент от двойката е променлива х. Тъй като спецификацията на функцията съдържа и вторите елементи на двойките - стойностите на променливата г, тогава функцията има смисъл само за тези стойности на X, които съответстват на определена стойност на Y. Тоест, ние вземаме всички X на тези двойки във възходящ ред и получаваме от тях домейна на дефиниция на функцията:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Същата логика работи, ако функцията е дадена с формула. Само вторите елементи по двойки (т.е. стойностите на i) се получават чрез заместване на определени x стойности във формулата. Въпреки това, за да намерим домейна на функция, не е необходимо да минаваме през всички двойки X и Y.

Пример 0.Как да намерим домейна на дефиниция на функцията i е равно на корен квадратен от x минус пет (радикален израз x минус пет) ()? Просто трябва да решите неравенството

х - 5 ≥ 0 ,

тъй като, за да получим реалната стойност на играта, радикалният израз трябва да е по-голям или равен на нула. Получаваме решението: областта на дефиниране на функцията е всички стойности на x, по-големи или равни на пет (или x принадлежи към интервала от пет включително до плюс безкрайност).

На чертежа по-горе е фрагмент от числовата ос. На него областта на дефиниране на разглежданата функция е защрихована, докато в посока „плюс“ щриховката продължава безкрайно по самата ос.

Ако използвате компютърни програми, които произвеждат някакъв отговор въз основа на въведените данни, може да забележите, че за някои стойности на въведените данни програмата извежда съобщение за грешка, тоест, че с такива данни отговорът не може да бъде изчислен. Такова съобщение се предоставя от авторите на програмата, ако изразът за изчисляване на отговора е доста сложен или се отнася до някаква тясна предметна област, или се предоставя от авторите на езика за програмиране, ако се отнася до общоприети норми, например, че не може да се дели на нула.

Но и в двата случая отговорът (стойността на някакъв израз) не може да бъде изчислен поради причината, че изразът няма смисъл за някои стойности на данни.

Пример (все още не съвсем математически): ако програмата изведе името на месеца въз основа на номера на месеца в годината, тогава при въвеждане на „15“ ще получите съобщение за грешка.

Най-често изчисляваният израз е просто функция. Следователно такива невалидни стойности на данни не са включени в област на функция . И при ръчни изчисления е също толкова важно да се представи домейнът на функция. Например изчислявате определен параметър на определен продукт, като използвате формула, която е функция. За някои стойности на входния аргумент няма да получите нищо на изхода.

Област на дефиниране на константа

Определена константа (константа). за всякакви реални стойности х Р реални числа. Това може да се запише и така: областта на дефиниране на тази функция е цялата числова ос ]- ∞; + ∞[ .

Пример 1. Намерете домейна на функция г = 2 .

Решение. Областта на дефиниране на функцията не е посочена, което означава, че по силата на горната дефиниция се има предвид естествената област на дефиниция. Изразяване f(х) = 2, дефинирани за всякакви реални стойности х, следователно тази функция е дефинирана върху цялото множество Р реални числа.

Следователно на горния чертеж числовата линия е защрихована по целия път от минус безкрайност до плюс безкрайност.

Зона за определяне на корена нта степен

В случая, когато функцията е дадена с формулата и н- естествено число:

Пример 2. Намерете домейна на функция .

Решение. Както следва от дефиницията, корен от четна степен има смисъл, ако радикалният израз е неотрицателен, т.е. ако - 1 ≤ х≤ 1. Следователно областта на дефиниране на тази функция е [- 1; 1] .

Защрихованата област на числовата линия на чертежа по-горе е областта на дефиниране на тази функция.

Област на степенна функция

Област на степенна функция с цяло число

Ако а- положителен, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството от всички реални числа, т.е. ]- ∞; + ∞[ ;

Ако а- отрицателни, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , тоест цялата числова линия с изключение на нулата.

В съответния чертеж по-горе цялата числова линия е защрихована и точката, съответстваща на нулата, е изчертана (не е включена в областта на дефиниране на функцията).

Пример 3. Намерете домейна на функция .

Решение. Първият член е цяла степен на x, равна на 3, а степента на x във втория член може да бъде представена като единица - също цяло число. Следователно областта на дефиниране на тази функция е цялата числова ос, т.е. ]- ∞; + ∞[ .

Област на степенна функция с дробен показател

В случай, че функцията е дадена по формулата:

ако е положителен, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството 0; + ∞[ .

Пример 4. Намерете домейна на функция .

Решение. И двата члена в израза на функцията са мощностни функциис положителни дробни показатели. Следователно областта на дефиниране на тази функция е множеството - ∞; + ∞[ .

Област на експоненциални и логаритмични функции

Област на експоненциалната функция

В случай, че функцията е дадена с формула, областта на дефиниране на функцията е цялата числова ос, т.е. ] - ∞; + ∞[ .

Област на логаритмичната функция

Логаритмичната функция е дефинирана при условие, че нейният аргумент е положителен, т.е. нейната област на дефиниране е множеството ]0; + ∞[ .

Намерете сами домейна на функцията и след това вижте решението

Област на тригонометрични функции

Функционален домейн г= cos( х) - също много Р реални числа.

Функционален домейн г= tg( х) - няколко Р реални числа, различни от числа .

Функционален домейн г= ctg( х) - няколко Р реални числа, с изключение на числата.

Пример 8. Намерете домейна на функция .

Решение. Външна функция - десетичен логаритъми областта на неговата дефиниция е предмет на условията на областта на дефиниция на логаритмичната функция като цяло. Тоест нейният аргумент трябва да е положителен. Аргументът тук е синус от "х". Завъртайки въображаем компас около кръг, виждаме, че условието sin х> 0 се нарушава, когато “x” е равно на нула, “pi”, две, умножено по “pi” и обикновено равно на произведението на “pi” и всяко четно или нечетно цяло число.

По този начин областта на дефиниране на тази функция е дадена от израза

,

Където к- цяло число.

Област на дефиниране на обратни тригонометрични функции

Функционален домейн г= arcsin( х) - набор [-1; 1] .

Функционален домейн г= arccos( х) - също множеството [-1; 1] .

Функционален домейн г= арктан( х) - няколко Р реални числа.

Функционален домейн г= arcctg( х) - също много Р реални числа.

Пример 9. Намерете домейна на функция .

Решение. Да решим неравенството:

Така получаваме областта на дефиниция на тази функция - отсечката [- 4; 4] .

Пример 10. Намерете домейна на функция .

Решение. Нека да решим две неравенства:

Решение на първото неравенство:

Решение на второто неравенство:

Така получаваме областта на дефиниране на тази функция - сегмента.

Обхват на фракцията

Ако функцията е дадена чрез дробен израз, в който променливата е в знаменателя на дробта, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството Р реални числа, с изключение на тези х, при което знаменателят на дробта става нула.

Пример 11. Намерете домейна на функция .

Решение. Решавайки равенството на знаменателя на дробта на нула, намираме областта на дефиниране на тази функция - множеството ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Как да намеря домейна на функция? Учениците от средното училище често трябва да се справят с тази задача.

Родителите трябва да помогнат на децата си да разберат този проблем.

Задаване на функция.

Нека си припомним основните термини на алгебрата. В математиката функцията е зависимостта на една променлива от друга. Можем да кажем, че това е строг математически закон, който свързва две числа по определен начин.

В математиката, когато се анализират формули, числовите променливи се заменят с буквени символи. Най-често използваните са x („x“) и y („y“). Променливата x се нарича аргумент, а променливата y се нарича зависима променлива или функция от x.

Съществуват различни начинизадаване на зависимости на променливи.

Нека ги изброим:

1. Аналитичен тип.
2. Табличен изглед.
3. Графичен дисплей.

Аналитичният метод е представен с формулата. Нека да разгледаме примерите: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Формулата y=2x+3 е типична за линейна функция. Замествайки числовата стойност на аргумента в дадената формула, получаваме стойността на y.

Табличният метод е таблица, състояща се от две колони. Първата колона е предназначена за стойностите X, а в следващата колона се записват данните на играча.

Графичният метод се счита за най-визуален. Графиката е показване на множеството от всички точки на равнина.

За построяване на графика се използва декартова координатна система. Системата се състои от две перпендикулярни линии. Върху осите са положени еднакви единични сегменти. Обратното броене се прави от Централна точкапресичане на прави линии.

Независимата променлива е посочена на хоризонтална линия. Нарича се абсцисната ос. Вертикалната линия (ос y) показва числената стойност на зависимата променлива. В пресечната точка на перпендикулярите на тези оси се отбелязват точки. Свързвайки точките една с друга, получаваме плътна линия. Тя е в основата на графика.

Видове зависимости на променливи

Определение.

IN общ изгледзависимостта се представя като уравнение: y=f(x). От формулата следва, че за всяка стойност на числото x има определен брой u. Стойността на играта, която съответства на числото x, се нарича стойност на функцията.

Всички възможни стойности, които независимата променлива придобива, формират областта на дефиниране на функцията. Съответно, целият набор от числа на зависимата променлива определя диапазона от стойности на функцията. Домейнът на дефиницията е всички стойности на аргумента, за които f(x) има смисъл.

Първоначалната задача при изучаването на математическите закони е да се намери областта на дефиницията. Този термин трябва да бъде правилно дефиниран. В противен случай всички по-нататъшни изчисления ще бъдат безполезни. В крайна сметка обемът от стойности се формира въз основа на елементите на първия набор.

Обхватът на функцията е пряко зависим от ограниченията. Ограниченията са причинени от невъзможността за извършване на определени операции. Има и ограничения за използването на числени стойности.

При липса на ограничения, домейнът на дефиниция е цялото числово пространство. Знакът за безкрайност има хоризонтален символ на осем. Целият набор от числа се записва така: (-∞; ∞).

В определени случаи наборът от данни се състои от няколко подмножества. Обхватът на числовите интервали или интервали зависи от вида на закона за промяна на параметъра.

Ето списък с фактори, които влияят върху ограниченията:

• обратна пропорционалност;
• аритметичен корен;
• степенуване;
• логаритмична зависимост;
• тригонометрични форми.

Ако има няколко такива елемента, тогава търсенето на ограничения е разделено за всеки от тях. Най-големият проблем е идентифицирането критични точкии интервали. Решението на проблема ще бъде да се обединят всички числени подмножества.

Множество и подмножество от числа

Относно комплектите.

Областта на дефиниция се изразява като D(f), а знакът на обединението е представен от символа ∪. Всички цифрови интервали са оградени в скоби. Ако границата на обекта не е включена в комплекта, тогава се поставя полукръгла скоба. В противен случай, когато число е включено в подмножество, се използват квадратни скоби.

Обратната пропорционалност се изразява с формулата y=k/x. Функционалната графика е крива линия, състояща се от два клона. Обикновено се нарича хипербола.

Тъй като функцията се изразява като дроб, намирането на домейна на дефиницията се свежда до анализ на знаменателя. Известно е, че в математиката делението с нула е забранено. Решаването на задачата се свежда до изравняване на знаменателя на нула и намиране на корените.

Ето един пример:

Дадено е: y=1/(x+4). Намерете областта на дефиницията.

1. Приравняваме знаменателя на нула.
   х+4=0
2. Намиране на корена на уравнението.
   х=-4
3. Ние определяме набора от всички възможни стойности на аргумента.
   D(f)=(-∞; -4)∪(-4; +∞)

Отговор: Домейнът на функцията е всички реални числа с изключение на -4.

Значението на числото под знака корен квадратенне може да бъде отрицателен. В този случай дефинирането на функция с корен се свежда до решаване на неравенство. Радикалният израз трябва да е по-голям от нула.

Областта на определяне на корена е свързана с паритета на коренния индикатор. Ако индикаторът се дели на 2, тогава изразът има смисъл само ако е положителен. Нечетен номер на индикатора показва допустимостта на всяка стойност на радикалния израз: както положителен, така и отрицателен.

Неравенствата се решават по същия начин като уравненията. Има само една разлика. След умножаване на двете страни на неравенството по отрицателно числознакът трябва да е обърнат.

Ако квадратният корен е в знаменателя, тогава трябва да се наложи допълнително условие. Числовата стойност не трябва да е нула. Неравенството преминава в категорията на строгите неравенства.

Логаритмични и тригонометрични функции

Логаритмичната форма има смисъл за положителни числа. По този начин областта на логаритмичната функция е подобна на функцията квадратен корен, с изключение на нулата.

Нека разгледаме пример за логаритмична зависимост: y=log(2x-6). Намерете областта на дефиницията.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Отговор: (3; +∞).

Областта на дефиниране на y=sin x и y=cos x е множеството от всички реални числа. Има ограничения за тангенс и котангенс. Те са свързани с деление на косинус или синус на ъгъл.

Тангенсът на ъгъл се определя от съотношението на синус към косинус. Нека посочим стойностите на ъглите, при които стойността на тангенса не съществува. Функцията y=tg x има смисъл за всички стойности на аргумента с изключение на x=π/2+πn, n∈Z.

Областта на дефиниране на функцията y=ctg x е цялото множество от реални числа, с изключение на x=πn, n∈Z. Ако аргументът е равен на числото π или кратно на π, синусът на ъгъла е нула. В тези точки (асимптоти) котангенсът не може да съществува.

Първите задачи за идентифициране на областта на дефиницията започват в часовете в 7. клас. Когато за първи път се запознае с този раздел от алгебрата, ученикът трябва ясно да разбере темата.

Трябва да се отбележи, че този термин ще придружава ученика, а след това и студента през целия период на обучение.

\(\frac(x)(x-1)\) стойността на променливата ще бъде равна на 1, правилото е нарушено: Не можеш да делиш на нула. Следователно тук \(x\) не може да бъде единица и ODZ се записва по следния начин: \(x\neq1\);

Ако в израза \(\sqrt(x-2)\) стойността на променливата е \(0\), правилото е нарушено: радикалният израз не трябва да е отрицателен. Това означава, че тук \(x\) не може да бъде \(0\), както и \(1, -3, -52.7\) и т.н. Тоест x трябва да е по-голямо или равно на 2 и ODZ ще бъде: \(x\geq2\);

Но в израза \(4x+1\) можем да заменим произволно число вместо X и никакви правила няма да бъдат нарушени. Следователно диапазонът от приемливи стойности тук е цялата цифрова ос. В такива случаи ДЗ не се записва, защото не съдържа полезна информация.

Можете да намерите всички правила, които трябва да се спазват.

ODZ в уравнения

Важно е да запомните диапазона от приемливи стойности, когато решавате и, защото Там просто търсим стойностите на променливите и можем случайно да намерим такива, които нарушават правилата на математиката.

За да разберем важността на ODZ, нека сравним две решения на уравнението: с ODZ и без ODZ.

Пример: Решете уравнението
Решение :

Без ODZ:		С ODZ:
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)		\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)
		ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2·1)\)\(=-3\) - не отговаря на условията за ОДЗ
Отговор : \(4; -3\)		Отговор : \(4\)

Виждате ли разликата? В първото решение имахме неправилен, допълнителен ! в нашия отговор! Защо погрешно? Нека се опитаме да го заместим в първоначалното уравнение.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

Виждате ли, получихме неизчислими, безсмислени изрази както отляво, така и отдясно (все пак не можете да делите на нула). И фактът, че те са еднакви, вече не играе роля, тъй като тези ценности не съществуват. По този начин "\(-3\)" е неподходящ, външен корен и диапазонът от приемливи стойности ни предпазва от такива сериозни грешки.

Ето защо за първото решение ще получите D, а за второто - A. И това не са скучни приказки на учителя, защото неотчитането на ODS не е дреболия, а много специфична грешка, същата като загубен знак или прилагане на грешна формула. В крайна сметка крайният отговор е грешен!

Намирането на диапазона от приемливи стойности често води до необходимостта от решаване на уравнения, така че трябва да можете да го правите добре.

Пример : Намерете домейна на израз \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)

Решение : В израза има два корена, единият от които е в знаменателя. Който не си спомня ограниченията, наложени в случая, е... Който помни, записва, че изразът под първия корен е по-голям или равен на нула, а под втория корен е по-голям от нула. Разбирате ли защо ограниченията са такива, каквито са?

Отговор : \((-2;2,5]\)