Когато изобразяваме графика на функция, е важно да идентифицираме интервалите на изпъкналост и точките на инфлексия. Имаме нужда от тях, заедно с интервалите на намаляване и увеличаване, за да представим ясно функцията в графична форма.

Разбирането на тази тема изисква знания за това какво е производната на функция и как да я оцените в някакъв ред, както и способността за решаване различни видовенеравенства

В началото на статията са дефинирани основните понятия. След това ще покажем каква връзка съществува между посоката на изпъкналостта и стойността на втората производна за определен интервал. След това ще посочим условията, при които могат да се определят точките на инфлексия на графиката. Всички аргументи ще бъдат илюстрирани с примери за решения на проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

В посока надолу през определен интервал в случай, че неговата графика е разположена не по-ниско от допирателната към нея във всяка точка от този интервал.

Определение 2

Функцията, която трябва да се диференцира, е изпъкналанагоре през определен интервал, ако графиката на дадена функция е разположена не по-високо от допирателната към нея във всяка точка от този интервал.

Изпъкнала надолу функция може също да се нарече вдлъбната функция. И двете определения са ясно показани на графиката по-долу:

Определение 3

Инфлексна точка на функция– това е точка M (x 0 ; f (x 0)), в която има допирателна към графиката на функцията, при наличие на производна в околността на точката x 0, където отляво и правилната странаграфиката на функцията има различни посоки на изпъкналост.

Казано по-просто, инфлексната точка е място на графиката, където има допирателна, и посоката на изпъкналостта на графиката при преминаване през това място ще промени посоката на изпъкналостта. Ако не си спомняте при какви условия е възможно съществуването на вертикална и невертикална допирателна, препоръчваме да повторите раздела за тангентата на графиката на функция в точка.

По-долу има графика на функция, която има няколко инфлексни точки, които са маркирани в червено. Нека уточним, че наличието на инфлексни точки не е задължително. На графиката на една функция може да има една, две, няколко, безкрайно много или нито една.

В този раздел ще говорим за теорема, с която можете да определите интервалите на изпъкналост на графиката на определена функция.

Определение 4

Графиката на функция ще бъде изпъкнала надолу или нагоре, ако съответната функция y = f (x) има втора крайна производна на посочения интервал x, при условие че неравенството f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) ще бъде вярно.

Използвайки тази теорема, можете да намерите интервалите на вдлъбнатост и изпъкналост на всяка графика на функция. За да направите това, просто трябва да решите неравенствата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 в областта на дефиниране на съответната функция.

Нека изясним, че тези точки, в които втората производна не съществува, но функцията y = f (x) е дефинирана, ще бъдат включени в интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост.

Нека да разгледаме пример за конкретен проблем, за да видим как правилно да приложим тази теорема.

Пример 1

Състояние:дадена е функцията y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Определете на какви интервали неговата графика ще има изпъкналост и вдлъбнатост.

Решение

Областта на дефиниране на тази функция е цялото множество от реални числа. Нека започнем с изчисляване на втората производна.

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Виждаме, че областта на дефиниране на втората производна съвпада с областта на самата функция. Това означава, че за да идентифицираме интервалите на изпъкналост, трябва да решим неравенствата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x ) ≤ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Имаме този график дадена функцияще има вдлъбнатина на сегмента [ 2 ; + ∞) и изпъкналост на сегмента (- ∞; 2 ] .

За по-голяма яснота нека начертаем графика на функцията и да маркираме изпъкналата част в синьо, а вдлъбнатата част в червено.

Отговор:графиката на дадената функция ще има вдлъбнатина на отсечката [ 2 ; + ∞) и изпъкналост на сегмента (- ∞; 2 ] .

Но какво да направите, ако областта на дефиниция на втората производна не съвпада с областта на дефиниция на функцията? Тук ще ни бъде полезна забележката, направена по-горе: ще включим и онези точки, в които крайната втора производна не съществува във вдлъбнатия и изпъкналия сегмент.

Пример 2

Състояние:дадена е функцията y = 8 x x - 1 . Определете в кои интервали нейната графика ще бъде вдлъбната и в кои ще бъде изпъкнала.

Решение

Първо, нека открием домейна на дефиницията на функцията.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Сега изчисляваме втората производна:

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

Областта на дефиниране на втората производна е множеството x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Виждаме, че х равно на нула ще принадлежи към домейна на оригиналната функция, но не и към домейна на втората производна. Тази точка трябва да бъде включена във вдлъбнатия или изпъкналия сегмент.

След това трябва да решим неравенствата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 в областта на дефиниране на дадената функция. За това използваме метода на интервала: с x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 или x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 числител 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 става 0 и знаменателят е 0, когато x е нула или едно.

Нека да начертаем получените точки върху графиката и да определим знака на израза на всички интервали, които ще бъдат включени в областта на дефиниране на оригиналната функция. Тази област е обозначена със засенчване на графиката. Ако стойността е положителна, маркираме интервала с плюс, ако е отрицателна, тогава с минус.

следователно

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) и f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Включваме предварително маркираната точка x = 0 и получаваме желания отговор. Графиката на оригиналната функция ще бъде изпъкнала надолу при 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , а нагоре – за x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Нека начертаем графика, маркирайки изпъкналата част в синьо и вдлъбната част в червено. Вертикалната асимптота е маркирана с черна пунктирана линия.

Отговор:Графиката на оригиналната функция ще бъде изпъкнала надолу при 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , а нагоре – за x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Условия за инфлексия на графика на функция

Нека започнем с формулирането на необходимото условие за огъване на графиката на определена функция.

Определение 5

Да кажем, че имаме функция y = f (x), чиято графика има инфлексна точка. При x = x 0 той има непрекъсната втора производна, следователно равенството f "" (x 0) = 0 ще бъде в сила.

Имайки в предвид това състояние, трябва да търсим точки на инфлексия сред тези, при които втората производна ще се превърне в 0. Това условие няма да е достатъчно: не всички такива точки са подходящи за нас.

Също така имайте предвид, че според обща дефиниция, ще ни трябва допирателна, вертикална или невертикална. На практика това означава, че за да намерите точки на инфлексия, трябва да вземете тези, при които втората производна на дадена функция се превръща в 0. Следователно, за да намерим абсцисата на точките на инфлексия, трябва да вземем всички x 0 от областта на дефиниране на функцията, където lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ и lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞. Най-често това са точки, в които знаменателят на първата производна става 0.

Първото достатъчно условие за наличието на инфлексна точка в графиката на функция

Намерихме всички стойности на x 0, които могат да се приемат като абсциси на инфлексните точки. След това трябва да приложим първото достатъчно условие за инфлексия.

Определение 6

Да кажем, че имаме функция y = f (x), която е непрекъсната в точка M (x 0 ; f (x 0)). Освен това, тя има допирателна в тази точка, а самата функция има втора производна в близост до тази точка x 0. В този случай, ако от лявата и дясната страна втората производна придобие противоположни знаци, тогава тази точка може да се счита за инфлексна точка.

Виждаме, че това условие не изисква непременно да съществува втора производна в тази точка; присъствието й в близост до точката x 0 е достатъчно.

Удобно е да представите всичко казано по-горе под формата на последователност от действия.

1. Първо трябва да намерите всички абсциси x 0 на възможните точки на инфлексия, където f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Нека разберем в кои точки производната ще промени знака. Тези стойности са абсцисите на точките на инфлексия, а точките M (x 0 ; f (x 0)), съответстващи на тях, са самите точки на инфлексия.

За по-голяма яснота ще анализираме два проблема.

Пример 3

Състояние:при дадена функция y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Определете къде графиката на тази функция ще има точки на инфлексия и точки на изпъкналост.

Решение

Посочената функция е дефинирана върху цялото множество от реални числа. Изчисляваме първата производна:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 х + 2

Сега нека намерим областта на дефиниция на първата производна. Това е и набор от всички реални числа. Това означава, че равенствата lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ и lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ не могат да бъдат изпълнени за никакви стойности на x 0 .

Изчисляваме втората производна:

y " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

Намерихме абсцисата на две възможни инфлексни точки - 2 и 3. Всичко, което трябва да направим, е да проверим в кой момент производната променя знака си. Нека да начертаем числова права и да нанесем тези точки върху нея, след което ще поставим знаците на втората производна върху получените интервали.

Дъгите показват посоката на изпъкналостта на графиката във всеки интервал.

Втората производна променя знака на противоположния (от плюс на минус) в точката с абциса 3, преминавайки през нея отляво надясно, и също прави това (от минус на плюс) в точката с абциса 3. Това означава, че можем да заключим, че x = - 2 и x = 3 са абсцисите на инфлексните точки на графиката на функцията. Те ще съответстват на графични точки - 2; - 4 3 и 3; - 15 8 .

Нека отново да разгледаме изображението на числовата ос и получените знаци на интервалите, за да направим изводи за местата на вдлъбнатост и изпъкналост. Оказва се, че изпъкналостта ще бъде разположена на сегмента - 2; 3, и вдлъбнатината на сегментите (- ∞; - 2 ] и [ 3; + ∞).

Решението на проблема е ясно изобразено в графиката: Син цвят– изпъкналост, червено – вдлъбнатост, черният цвят означава точки на инфлексия.

Отговор:изпъкналостта ще бъде разположена на сегмента - 2; 3, и вдлъбнатината на сегментите (- ∞; - 2 ] и [ 3; + ∞).

Пример 4

Състояние:изчислете абсцисата на всички инфлексни точки на графиката на функцията y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

Решение

Областта на дефиниране на дадена функция е множеството от всички реални числа. Изчисляваме производната:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

За разлика от функцията, нейната първа производна няма да бъде дефинирана при стойност на x, равна на 3, а:

lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Това означава, че през тази точка ще минава вертикална допирателна към графиката. Следователно 3 може да бъде абсцисата на инфлексната точка.

Изчисляваме втората производна. Също така намираме домейна на неговата дефиниция и точките, в които тя се превръща в 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0,4675

Сега имаме още две възможни инфлексни точки. Нека ги начертаем всички на числовата ос и отбележим получените интервали със знаци:

Знакът ще се променя при преминаване през всяка посочена точка, което означава, че всички те са инфлексни точки.

Отговор:Нека начертаем графика на функцията, маркирайки вдлъбнатините в червено, изпъкналостите в синьо и точките на инфлексия в черно:

Познавайки първото достатъчно условие за инфлексията, можем да определим необходимите точки, в които не е необходимо наличието на втората производна. Въз основа на това първото условие може да се счита за най-универсално и подходящо за решаване различни видовезадачи.

Имайте предвид, че има още две условия на инфлексия, но те могат да бъдат приложени само когато има крайна производна в определената точка.

Ако имаме f "" (x 0) = 0 и f """ (x 0) ≠ 0, тогава x 0 ще бъде абсцисата на инфлексната точка на графиката y = f (x).

Пример 5

Състояние:дадена е функцията y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Определете дали графиката на функцията ще има инфлексна точка в точка 3; 4 5 .

Решение

Първото нещо, което трябва да направите, е да се уверите, че тази точка като цяло ще принадлежи на графиката на тази функция.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Дадената функция е дефинирана за всички аргументи, които са реални числа. Нека изчислим първата и втората производни:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Открихме, че втората производна ще отиде до 0, ако х е равно на 0. Това означава, че необходимото условие за инфлексия за тази точка ще бъде изпълнено. Сега използваме второто условие: намерете третата производна и разберете дали ще се превърне в 0 при 3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Третата производна няма да изчезне за никаква стойност на x. Следователно можем да заключим, че тази точка ще бъде инфлексната точка на графиката на функцията.

Отговор:Нека покажем решението на илюстрацията:

Да приемем, че f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 и f (n + 1) (x 0) ≠ 0 В този случай, за четно n, получаваме, че x 0 е абсцисата на инфлексната точка на графиката y = f (x).

Пример 6

Състояние:дадена е функцията y = (x - 3) 5 + 1. Изчислете точките на инфлексия на неговата графика.

Решение

Тази функция е дефинирана върху цялото множество от реални числа. Изчисляваме производната: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Тъй като той също ще бъде дефиниран за всички реални стойности на аргумента, във всяка точка на неговата графика ще съществува невертикална допирателна.

Сега нека изчислим при какви стойности втората производна ще се превърне в 0:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Открихме, че при x = 3 графиката на функцията може да има инфлексна точка. Нека използваме третото условие, за да потвърдим това:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Имаме n = 4 по третото достатъчно условие. Това е четно число, което означава, че x = 3 ще бъде абсцисата на инфлексната точка и точката на графиката на функцията (3; 1) съответства на нея.

Отговор:Ето графика на тази функция с отбелязани изпъкналости, вдлъбнатини и инфлексна точка:

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Инструкции

Точки инфлексия функциитрябва да принадлежи към домейна на неговата дефиниция, който трябва да бъде намерен първо. График функциие линия, която може да бъде непрекъсната или да има прекъсвания, монотонно да намалява или да нараства, да има минимум или максимум точки(асимптоти), да бъдат изпъкнали или вдлъбнати. Рязка смяна на две най-новите състоянияи се нарича флексия.

Предпоставкасъществуване инфлексия функциисе състои в равенството на секундата на нула. По този начин, като диференцираме функцията два пъти и приравняваме получения израз на нула, можем да намерим абсцисата на възможните точки инфлексия.

Това условие следва от дефиницията на свойствата на изпъкналост и вдлъбнатост на графиката функции, т.е. отрицателни и положителни стойности на втората производна. В точката инфлексиярязка промяна в тези свойства означава, че производната преминава нулевата марка. Равно на нула обаче все още не е достатъчно, за да посочи инфлексия.

Има две достатъчни условия, че абсцисата, намерена на предишния етап, принадлежи на точката инфлексия: През тази точка можете да начертаете допирателна към функции. Втората производна има различни знацивдясно и вляво от очакваното точки инфлексия. Така не е необходимо наличието му в самата точка, достатъчно е да се установи, че в нея той променя знака Втора производна функциие равно на нула, а третата не е.

Решение: Намерете. В този случай няма ограничения, следователно това е цялото пространство на реални числа. Изчислете първата производна: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Обръщам внимание на . От това следва, че областта на дефиниране на производната е ограничена. Точката x = 5 е пробита, което означава, че през нея може да минава допирателна, което отчасти съответства на първия знак за достатъчност инфлексия.

Определете получения израз за x → 5 – 0 и x → 5 + 0. Те са равни на -∞ и +∞. Доказахте, че през точката x=5 минава вертикална допирателна. Тази точка може да се окаже точка инфлексия, но първо изчислете втората производна: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

Пропуснете знаменателя, тъй като вече сте взели предвид точката x = 5. Решете уравнението 2 x – 22 = 0. То има един корен x = 11. Последната стъпка е да потвърдите, че точки x=5 и x=11 са точки инфлексия. Анализирайте поведението на втората производна в тяхната близост. Очевидно в точката x = 5 той сменя знака от „+“ на „-“, а в точката x = 11 – обратно. Заключение: и двете точкиса точки инфлексия. Първото достатъчно условие е изпълнено.

Графика на функция г=f(x)Наречен изпъкнална интервала (а; б), ако се намира под някоя от неговите допирателни на този интервал.

Графика на функция г=f(x)Наречен вдлъбнатна интервала (а; б), ако се намира над някоя от своите допирателни на този интервал.

Фигурата показва крива, която е изпъкнала при (а; б)и вдлъбнат на (б; в).

Примери.

Нека разгледаме достатъчен критерий, който ни позволява да определим дали графиката на функция в даден интервал ще бъде изпъкнала или вдлъбната.

Теорема. Позволявам г=f(x)диференцируеми по (а; б). Ако във всички точки на интервала (а; б)втора производна на функцията г = f(x)отрицателна, т.е. f ""(х) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(х) > 0 – вдлъбнат.

Доказателство. Да приемем със сигурност, че f""(х) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Нека вземем функциите на графиката y = f(x)произволна точка M0с абсцисата х 0 Î ( а; b) и начертайте през точката M0допирателна. Нейното уравнение. Трябва да покажем, че графиката на функцията на (а; б)лежи под тази допирателна, т.е. на същата стойност хордината на кривата y = f(x)ще бъде по-малка от ординатата на тангентата.

И така, уравнението на кривата е y = f(x). Нека означим ординатата на тангентата, съответстваща на абсцисата х. Тогава . Следователно разликата между ординатите на кривата и допирателната за една и съща стойност хще .

Разлика f(x) – f(x 0)трансформира според теоремата на Лагранж, където ° Смежду хИ х 0.

По този начин,

Отново прилагаме теоремата на Лагранж към израза в квадратни скоби: , където c 1между c 0И х 0. Според условията на теоремата f ""(х) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Така всяка точка от кривата лежи под допирателната към кривата за всички стойности хИ х 0 Î ( а; b), което означава, че кривата е изпъкнала. Втората част на теоремата се доказва по подобен начин.

Примери.

Точка на графиката непрекъсната функция, отделяща изпъкналата му част от вдлъбната част, се нарича инфлексна точка.

Очевидно в точката на инфлексия допирателната, ако съществува, пресича кривата, т.к. от едната страна на тази точка кривата лежи под допирателната, а от другата страна - над нея.

Нека определим достатъчни условия за факта, че дадена точка от кривата е инфлексна точка.

Теорема. Нека кривата е определена от уравнението y = f(x). Ако f ""(х 0) = 0 или f ""(х 0) не съществува дори при преминаване през стойността х = х 0производна f ""(х) променя знака, след това точката в графиката на функцията с абсцисата х = х 0има инфлексна точка.

Доказателство. Позволявам f ""(х) < 0 при х < х 0И f ""(х) > 0 при х > х 0. След това при х < х 0кривата е изпъкнала, а когато х > х 0– вдлъбнат. Следователно точката А, лежащ на кривата, с абсциса х 0има инфлексна точка. Вторият случай може да се разглежда по подобен начин, когато f ""(х) > 0 при х < х 0И f ""(х) < 0 при х > х 0.

По този начин точките на инфлексия трябва да се търсят само сред тези точки, където втората производна изчезва или не съществува.

Примери.Намерете точките на инфлексия и определете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на кривите.

АСИМПТОТИ НА ГРАФИКАТА НА ФУНКЦИЯТА

При изучаване на функция е важно да се установи формата на нейната графика на неограничено разстояние от точката на графиката от началото.

От особен интерес е случаят, когато графиката на функция, когато нейната променлива точка е отстранена до безкрайност, се приближава за неопределено време до определена права линия.

Правата се нарича асимптотафункционална графика г = f(x), ако разстоянието от променливата точка Мграфики към този ред при премахване на точка Мкъм безкрайност клони към нула, т.е. точка от графиката на функция, тъй като клони към безкрайност, трябва неограничено да се доближава до асимптото.

Една крива може да се доближи до своята асимптота, оставайки от едната й страна или от различни страни, пресичайки асимптото безкраен брой пъти и премествайки се от едната страна на другата.

Ако означим с d разстоянието от точката Мкрива към асимптотата, тогава е ясно, че d клони към нула, когато точката се отдалечава Мдо безкрайност.

По-нататък ще правим разлика между вертикални и наклонени асимптоти.

ВЕРТИКАЛНИ АСИМПТОТИ

Нека при х→ х 0от всяка странична функция г = f(x)нараства неограничено по абсолютна стойност, т.е. или или . Тогава от определението за асимптота следва, че правата х = х 0е асимптота. Обратното също е очевидно, ако линията х = х 0е асимптота, т.е. .

Така вертикалната асимптота на графиката на функцията y = f(x)се нарича права, ако f(x)→ ∞ при поне едно от условията х→ х 0– 0 или х → х 0 + 0, х = х 0

Следователно, за да намерите вертикалните асимптоти на графиката на функцията г = f(x)трябва да намерите тези стойности х = х 0, при което функцията отива в безкрайност (претърпява безкраен прекъсване). Тогава вертикална асимптотаима уравнението х = х 0.

Примери.

КОСИ АСИМПТОТИ

Тъй като асимптотата е права линия, тогава ако кривата г = f(x)има наклонена асимптота, тогава уравнението му ще бъде г = kx + b. Нашата задача е да намерим коефициентите кИ b.

Теорема. Направо г = kx + bслужи като наклонена асимптота при х→ +∞ за графиката на функцията г = f(x)тогава и само когато . Подобно твърдение е вярно за х → –∞.

Доказателство. Позволявам MP– дължина на отсечка, равна на разстоянието от точката Мкъм асимптота. По условие. Нека означим с φ ъгъла на наклона на асимптотота спрямо оста вол. Тогава от ΔMNPследва това. Тъй като φ е постоянен ъгъл (φ ≠ π/2), тогава , но

Остава да се помисли изпъкналост, вдлъбнатост и извивки на графиката. Нека започнем със сайтовете, които посетителите харесват толкова много физически упражнения. Моля, изправете се и се наведете напред или назад. Това е подутина. Сега протегнете ръцете си пред себе си с дланите нагоре и си представете, че държите голямо дънерче на гърдите си... ...е, ако не ви харесва дънерчето, оставете нещо/някой друг да го направи = ) Това е вдлъбнатост. Редица източници съдържат термини-синоними издувам сеИ издувам се надолу, но аз съм фен на кратките заглавия.

! внимание : някои автори определят изпъкналостта и вдлъбнатостта точно обратното. Това също е математически и логически правилно, но често е напълно неправилно от гледна точка по същество, включително на ниво разбиране на термините от нашите лаици. Така например леща с туберкули се нарича двойно изпъкнала леща, но не и с вдлъбнатини (биконкавна).
И, да речем, „вдлъбнато“ легло - все още очевидно не „стърчи“ =) (обаче, ако се изкачите под него, тогава вече ще говорим за изпъкналост; =)) Придържам се към подход, който съответства на естествения човешки асоциации.

Формалната дефиниция на изпъкналост и вдлъбнатост на графика е доста трудна за чайник, така че ще се ограничим до геометрична интерпретация на концепцията на конкретни примери. Помислете за графиката на функция, която непрекъснатона цялата числова ос:

С него се строи лесно геометрични трансформации, и вероятно много читатели знаят как се получава от кубична парабола.

Да се ​​обадим акордсвързваща линия две различни точкиграфични изкуства.

Графиката на функция е изпъкнална някакъв интервал, ако се намира не по-малковсеки акорд от даден интервал. Експерименталната линия е изпъкнала на , и очевидно тук всяка част от графиката е разположена НАД нейната акорд. За да илюстрирам определението, нарисувах три черни линии.

Графичните функции са вдлъбнатна интервала, ако се намира не по-високавсеки акорд от този интервал. В разглеждания пример пациентът е вдлъбнат в интервала . Двойка кафяви сегменти убедително демонстрира, че тук всяка част от графиката се намира ПОД нейната акорд.

Точката на графиката, в която се променя от изпъкнал на вдлъбнат иливдлъбнатост към изпъкналост се нарича инфлексна точка. Имаме го в един екземпляр (първият случай) и на практика под инфлексна точка можем да разбираме както зелената точка, принадлежаща на самата линия, така и стойността „X“.

ВАЖНО!Извивките на графиката трябва да се начертаят внимателно и много гладко. Всякакви „нередности“ и „грапавини“ са неприемливи. Нужно е само малко обучение.

Вторият подход за определяне на изпъкналост/вдлъбнатост на теория е даден чрез допирателни:

Изпъкнална интервала, на който се намира графиката не по-високадопирателна, прекарана към него в произволна точка от даден интервал. Вдлъбнатна интервалната графика – не по-малковсяка допирателна на този интервал.

Хиперболата е вдлъбната на интервала и изпъкнала на:

При преминаване през началото на координатите вдлъбнатината се променя в изпъкналост, но точката НЕ СЕ БРОИинфлексна точка, тъй като функцията неопределенв него.

По-строги твърдения и теореми по темата можете да намерите в учебника, а ние преминаваме към интензивната практическа част:

Как да намерите интервали на изпъкналост, интервали на вдлъбнатост
и инфлексни точки на графиката?

Материалът е семпъл, шаблонен и структурно повтарящ се изследване на функция за екстремум.

Изпъкналостта/вдлъбнатостта на графиката характеризиравтора производна функции.

Нека функцията е два пъти диференцируема на някакъв интервал. Тогава:

– ако втората производна е на интервал, то графиката на функцията е изпъкнала на този интервал;

– ако втората производна е на интервал, то графиката на функцията е вдлъбната на този интервал.

По отношение на знаците на втората производна, праисторическа асоциация се разхожда из учебните заведения: „–“ показва, че „не можете да налеете вода в графиката на функция“ (изпъкналост),
и “+” – “дава такава възможност” (вдлъбнатост).

Необходимо условие за флексия

Ако в дадена точка има инфлексна точка в графиката на функцията, Че:
или стойността не съществува(нека го подредим, прочетете!).

Тази фраза предполага, че функцията непрекъснатов точка и в случая – е два пъти диференцируема в някаква нейна близост.

Необходимостта от условието предполага, че обратното не винаги е вярно. Тоест от равенство (или несъществуване на стойност) все още не трябваналичието на инфлексия в графиката на функция в точка . Но и в двете ситуации се обаждат критична точка на втората производна.

Достатъчно условие за флексия

Ако втората производна промени знака при преминаване през точка, тогава в тази точка има инфлексия в графиката на функцията.

Възможно е изобщо да няма инфлексни точки (пример вече е срещан) и в този смисъл някои елементарни примери са показателни. Нека анализираме втората производна на функцията:

Получава се положителна константна функция, т.е за всяка стойност на "x". Факти, лежащи на повърхността: параболата е вдлъбната навсякъде област на дефиниция, няма инфлексни точки. Лесно е да се забележи, че отрицателният коефициент при „обръща“ параболата и я прави изпъкнала (както ще ни каже втората производна, отрицателна постоянна функция).

Експоненциална функциясъщо вдлъбнат при:

за всяка стойност на "x".

Разбира се, графиката няма инфлексни точки.

Разглеждаме графиката на логаритмичната функция за изпъкналост/вдлъбнатост:

Така клонът на логаритъма е изпъкнал на интервала. Втората производна също е дефинирана на интервала, но го разгледайте ЗАБРАНЕНО Е, тъй като този интервал не е включен в домейнфункции Изискването е очевидно - тъй като там няма графика на логаритъм, тогава, естествено, не може да се говори за изпъкналост/вдлъбнатост/инфлексии.

Както можете да видите, всичко наистина много напомня на историята с нарастване, намаляване и екстремуми на функцията. Подобен на себе си алгоритъм за изследване на графиката на функцияза изпъкналост, вдлъбнатост и наличие на прегъвания:

2) Търсим критични стойности. За да направите това, вземете втората производна и решете уравнението. Точките, в които няма 2-ра производна, но които са включени в областта на дефиниране на самата функция, също се считат за критични!

3) Маркирайте на числовата права всички намерени точки на прекъсване и критични точки (може да няма нито едното, нито другото - тогава няма нужда да рисувате нищо (както в твърде простия случай), достатъчно е да се ограничите до писмен коментар). Интервален методопределят знаците на получените интервали. Както току-що беше обяснено, човек трябва да вземе предвид само тезиинтервали, които са включени в областта на дефиниране на функцията. Правим изводи за изпъкналостта/вдлъбнатостта и точките на инфлексия на графиката на функцията. Ние даваме отговора.

Опитайте устно да приложите алгоритъма към функции . Във втория случай, между другото, има пример, когато в критичната точка на графиката няма инфлексна точка. Нека обаче започнем с малко по-трудни задачи:

Пример 1

Решение:
1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос. Много добре.

2) Нека намерим втората производна. Първо можете да извършите изграждане на куб, но е много по-изгодно да се използва правило за диференциране на сложни функции:

Моля, имайте предвид, че , което означава, че функцията е ненамаляващ. Въпреки че това не е от значение за задачата, винаги е препоръчително да се обръща внимание на такива факти.

Нека намерим критичните точки на втората производна:

- критична точка

3) Нека проверим дали е изпълнено достатъчното условие за инфлексия. Нека определим знаците на втората производна върху получените интервали.

внимание!Сега работим с втората производна (а не с функция!)

В резултат се получава една критична точка: .

3) Маркирайте две точки на прекъсване на числовата линия, критична точка и определете знаците на втората производна на получените интервали:

Напомням ви една важна техника интервален метод, което ви позволява значително да ускорите решението. Втора производна се оказа много тромаво, така че не е необходимо да се изчисляват стойностите му, достатъчно е да се направи „оценка“ на всеки интервал. Нека изберем например точка, принадлежаща на левия интервал,
и извършете заместването:

Сега нека анализираме множителите:

Две „минус“ и „плюс“ дават „плюс“, следователно, което означава, че втората производна е положителна за целия интервал.

Коментираните действия са лесни за вербално изпълнение. Освен това е изгодно факторът да се игнорира напълно - той е положителен за всяко „x“ и не влияе върху знаците на нашата втора производна.

И така, каква информация ни предоставихте?

Отговор: Графиката на функцията е вдлъбната при и изпъкнал на . В началото (ясно е че)има инфлексна точка в графиката.

При преминаване през точки втората производна също променя знака, но те не се считат за инфлексни точки, тъй като функцията страда в тях безкрайни почивки.

В анализирания пример първата производна ни информира за растежа на функцията навсякъде област на дефиниция. Винаги ще има такава безплатна =) Освен това е очевидно, че има три асимптота. Получени са много данни, които позволяват висока степеннастоящата надеждност външен видграфични изкуства. За купчината функцията също е странна. Въз основа на установените факти се опитайте да направите груба скица. Снимка в края на урока.

Задача за самостоятелно решение:

Пример 6

Разгледайте графиката на функция за изпъкналост, вдлъбнатост и намерете инфлексни точки на графиката, ако съществуват.

В извадката няма рисунка, но не е забранено да се излага хипотеза;)

Ние смиламе материала, без да номерираме точките на алгоритъма:

Пример 7

Разгледайте графиката на функция за изпъкналост, вдлъбнатост и намерете инфлексни точки, ако съществуват.

Решение: функция толерира безкрайна празнинав точка .

Както обикновено, при нас всичко е наред:

Производните не са най-трудните, основното е да внимавате с тяхната „прическа“.
В индуцирания маратон се разкриват две критични точки на втората производна:

Нека определим знаците на получените интервали:

В графиката има инфлексна точка в точка; нека намерим ординатата на точката:

При преминаване през точка втората производна не променя знака, следователно НЯМА инфлексия в графиката.

Отговор: интервали на изпъкналост: ; интервал на вдлъбнатина: ; инфлексна точка: .

Нека помислим крайни примерис допълнителни звънци и свирки:

Пример 8

Намерете интервалите на изпъкналост, вдлъбнатост и точки на инфлексия на графиката

Решение: с констатация област на дефиницияНяма специални проблеми:
, докато функцията страда от прекъсвания в точки.

Да тръгнем по утъпкания път:

- критична точка.

Нека дефинираме знаците и да разгледаме интервалите само от функционалната област:

В графиката има инфлексна точка в точка; нека изчислим ординатата: