Най-голяма и най-малка стойност на функция

Най-голямата стойност на функцията е най-голямата, най-малката стойност е най-малката от всички нейни стойности.

Една функция може да има само една най-голяма и само една най-малка стойност или може да няма никаква. Намирането на най-големите и най-малките стойности на непрекъснати функции се основава на следните свойства на тези функции:

1) Ако в даден интервал (краен или безкраен) функцията y=f(x) е непрекъсната и има само един екстремум и ако това е максимум (минимум), то това ще бъде най-голямата (най-малката) стойност на функцията в този интервал.

2) Ако функцията f(x) е непрекъсната на някакъв интервал, то тя задължително има най-голямото и най-малка стойност. Тези стойности се достигат или в екстремни точки, разположени вътре в сегмента, или в границите на този сегмент.

За да намерите най-големите и най-малките стойности на сегмент, се препоръчва да използвате следната схема:

1. Намерете производната.

2. Намерете критични точки на функцията, при които =0 или не съществува.

3. Намерете стойностите на функцията в критични точки и в краищата на сегмента и изберете от тях най-големия f max и най-малкия f max.

При решаването на приложни проблеми, по-специално оптимизационни, са важни проблемите за намиране на най-големите и най-малките стойности (глобален максимум и глобален минимум) на функция в интервала X. За решаването на такива проблеми трябва, въз основа на условието , изберете независима променлива и изразете изследваната стойност чрез тази променлива. След това намерете желаната най-голяма или най-малка стойност на получената функция. В този случай интервалът на промяна на независимата променлива, който може да бъде краен или безкраен, също се определя от условията на задачата.

Пример.Резервоарът, който има формата на отворен отгоре правоъгълен паралелепипед с квадратно дъно, трябва да бъде калайдисан отвътре с калай. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара, ако капацитетът му е 108 литра? вода, така че разходите за калайдисването й да са минимални?

Решение.Цената за покриване на резервоар с калай ще бъде минимална, ако за даден капацитет повърхността му е минимална. Нека означим с a dm страната на основата, b dm височината на резервоара. Тогава площта S на неговата повърхност е равна на

И

Получената връзка установява връзката между повърхността на резервоара S (функция) и страната на основата a (аргумент). Нека разгледаме функцията S за екстремум. Нека намерим първата производна, приравним я към нула и решим полученото уравнение:

Следователно a = 6. (a) > 0 за a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Пример. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция на интервала.

Решение: Дадената функция е непрекъсната по цялата числова ос. Производна на функция

Производна за и за . Нека изчислим стойностите на функцията в тези точки:

.

Стойностите на функцията в краищата на дадения интервал са равни. Следователно най-голямата стойност на функцията е равна на at , най-малката стойност на функцията е равна на at .

Въпроси за самопроверка

1. Формулирайте правилото на L'Hopital за разкриване на несигурности на формата. Избройте различните видове несигурности, за разрешаването на които може да се използва правилото на L'Hopital.

2. Формулирайте признаците на нарастваща и намаляваща функция.

3. Дефинирайте максимума и минимума на функция.

4. Формулирайте необходимо условие за съществуването на екстремум.

5. Какви стойности на аргумента (кои точки) се наричат ​​критични? Как да намерите тези точки?

6. Кои са достатъчни признаци за съществуването на екстремум на функция? Очертайте схема за изследване на функция при екстремум, използвайки първата производна.

7. Очертайте схема за изследване на функция при екстремум с помощта на втората производна.

8. Дефиниране на изпъкналост и вдлъбнатост на крива.

9. Какво се нарича инфлексна точка на графиката на функция? Посочете метод за намиране на тези точки.

10. Формулирайте необходимите и достатъчни признаци за изпъкналост и вдлъбнатост на крива върху даден сегмент.

11. Дефинирайте асимптотата на крива. Как да намерим вертикалната, хоризонталната и наклонената асимптота на графиката на функция?

12. Контур обща схемаизследване на функция и построяване на нейната графика.

13. Формулирайте правило за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция на даден интервал.

От практическа гледна точка най-голям интерес представлява използването на производната за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция. С какво е свързано това? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването... С други думи, в много области на живота ни се налага да решаваме проблеми с оптимизирането на някои параметри. И това са задачите за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция.

Трябва да се отбележи, че най-големите и най-малките стойности на функция обикновено се търсят на определен интервал X, който е или цялата област на функцията, или част от областта на дефиниция. Самият интервал X може да бъде сегмент, отворен интервал , безкраен интервал.

В тази статия ще говорим за намирането на най-големите и най-малките стойности изрично дадена функцияедна променлива y=f(x) .

Навигация в страницата.

Най-голяма и най-малка стойност на функция - определения, илюстрации.

Нека разгледаме накратко основните определения.

Най-голямата стойност на функцията че за всеки неравенството е вярно.

Най-малката стойност на функцията y=f(x) на интервала X се нарича такава стойност че за всеки неравенството е вярно.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) приета стойност на разглеждания интервал на абсцисата.

Стационарни точки– това са стойностите на аргумента, при които производната на функцията става нула.

Защо се нуждаем от стационарни точки, когато намираме най-големите и най-малките стойности? Отговор на този въпрос дава теоремата на Ферма. От тази теорема следва, че ако диференцируема функция има екстремум (локален минимум или локален максимум) в дадена точка, тогава тази точка е неподвижна. По този начин функцията често приема своята най-голяма (най-малка) стойност на интервала X в една от стационарните точки от този интервал.

Също така, една функция често може да приеме своите най-големи и най-малки стойности в точки, в които първата производна на тази функция не съществува и самата функция е дефинирана.

Нека веднага да отговорим на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: „Винаги ли е възможно да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция“? Не винаги. Понякога границите на интервала X съвпадат с границите на областта на дефиниране на функцията или интервалът X е безкраен. И някои функции в безкрайност и на границите на областта на дефиницията могат да приемат както безкрайно големи, така и безкрайно малки стойности. В тези случаи не може да се каже нищо за най-голямата и най-малката стойност на функцията.

За яснота ще дадем графична илюстрация. Вижте снимките и много неща ще ви станат по-ясни.

На сегмента

На първата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в сегмента [-6;6].

Разгледайте случая, изобразен на втората фигура. Нека променим сегмента на . В този пример най-малката стойност на функцията се постига в стационарна точка, а най-голямата в точката с абсцисата, съответстваща на дясна границаинтервал.

На фигура 3 граничните точки на сегмента [-3;2] са абсцисите на точките, съответстващи на най-голямата и най-малката стойност на функцията.

На отворен интервал

На четвъртата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в отворения интервал (-6;6).

На интервала не могат да се направят изводи за най-голямата стойност.

В безкрайност

В примера, представен на седмата фигура, функцията приема най-голямата стойност (max y) в стационарна точка с абциса x=1, а най-малката стойност (min y) се постига на дясната граница на интервала. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3.

През интервала функцията не достига нито най-малката, нито най-голямата стойност. Тъй като x=2 се приближава отдясно, стойностите на функцията клонят към минус безкрайност (правата x=2 е вертикална асимптота), и тъй като абсцисата клони към плюс безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3. Графична илюстрация на този пример е показана на фигура 8.

Алгоритъм за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент.

Нека напишем алгоритъм, който ни позволява да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент.

1. Намираме домейна на дефиниция на функцията и проверяваме дали съдържа целия сегмент.
2. Намираме всички точки, в които първата производна не съществува и които се съдържат в сегмента (обикновено такива точки се намират във функции с аргумент под знака на модула и в мощностни функциис дробно-рационален показател). Ако няма такива точки, преминете към следващата точка.
3. Определяме всички неподвижни точки, попадащи в сегмента. За да направите това, ние го приравняваме към нула, решаваме полученото уравнение и избираме подходящи корени. Ако няма стационарни точки или нито една от тях не попада в сегмента, преминете към следващата точка.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в избрани стационарни точки (ако има такива), в точки, в които първата производна не съществува (ако има такава), както и при x=a и x=b.
5. От получените стойности на функцията избираме най-голямата и най-малката - те ще бъдат съответно необходимите най-големи и най-малки стойности на функцията.

Нека анализираме алгоритъма за решаване на пример за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

• на сегмента;
• на отсечката [-4;-1] .

Решение.

Областта на дефиниране на функция е цялото множество от реални числа, с изключение на нулата, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намерете производната на функцията по отношение на:

Очевидно производната на функцията съществува във всички точки на отсечките и [-4;-1].

Определяме стационарни точки от уравнението. Единственият истински корен е x=2. Тази неподвижна точка попада в първия сегмент.

За първия случай изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка, т.е. за x=1, x=2 и x=4:

Следователно най-голямата стойност на функцията се постига при x=1 и най-малката стойност – при х=2.

За втория случай изчисляваме стойностите на функцията само в краищата на сегмента [-4;-1] (тъй като не съдържа нито една неподвижна точка):

Понякога в задачи B15 има „лоши“ функции, за които е трудно да се намери производна. Преди това се случваше само по време на примерни тестове, но сега тези задачи са толкова често срещани, че вече не могат да бъдат пренебрегнати при подготовката за истинския Единен държавен изпит.

В този случай работят други техники, една от които е монотонен.

Казва се, че функция f (x) е монотонно нарастваща върху сегмента, ако за произволни точки x 1 и x 2 от този сегмент е валидно следното:

х 1< x 2 ⇒ f (х 1) < f (х 2).

Казва се, че функция f (x) е монотонно намаляваща върху сегмента, ако за произволни точки x 1 и x 2 от този сегмент е валидно следното:

х 1< x 2 ⇒ f (х 1) > f ( х 2).

С други думи, за нарастваща функция, колкото по-голямо е x, толкова по-голямо е f(x). За намаляваща функция е вярно обратното: колкото по-голямо е x, толкова по-малко f(x).

Например, логаритъмът нараства монотонно, ако основата a > 1, и монотонно намалява, ако 0< a < 1. Не забывайте про область приемливи стойностилогаритъм: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Аритметичният квадратен (и не само квадратен) корен нараства монотонно в цялата област на дефиниция:

Експоненциалната функция се държи подобно на логаритъма: тя нараства за a > 1 и намалява за 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, експоненциална функциядефиниран за всички числа, не само за x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

И накрая, градуси с отрицателен показател. Можете да ги напишете като дроб. Те имат точка на прекъсване, където се нарушава монотонността.

Всички тези функции никога не се намират в чиста форма. Събират полиноми, дроби и други глупости, което затруднява изчисляването на производната. Нека да видим какво се случва в този случай.

Координати на върха на парабола

Най-често аргументът на функцията се заменя с квадратен тричленпод формата y = ax 2 + bx + c. Нейната графика е стандартна парабола, от която се интересуваме:

1. Клоните на парабола могат да вървят нагоре (за a > 0) или надолу (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Върхът на парабола е екстремалната точка на квадратична функция, в която тази функция взема своя минимум (за a > 0) или максимум (a< 0) значение.

Най-голям интерес представлява връх на парабола, чиято абциса се изчислява по формулата:

И така, намерихме екстремната точка на квадратичната функция. Но ако първоначалната функция е монотонна, за нея точката x 0 също ще бъде точка на екстремум. И така, нека формулираме основното правило:

Точки на екстремум на квадратен трином и сложна функция, в които е включен, съвпадат. Следователно можете да търсите x 0 за квадратен тричлен и да забравите за функцията.

От горните разсъждения остава неясно коя точка получаваме: максимална или минимална. Задачите обаче са специално разработени, така че това да няма значение. Преценете сами:

1. Няма сегмент в изложението на проблема. Следователно не е необходимо да се изчисляват f(a) и f(b). Остава да се разгледат само екстремните точки;
2. Но има само една такава точка - това е върхът на параболата x 0, чиито координати се изчисляват буквално устно и без никакви производни.

По този начин решаването на проблема е значително опростено и се свежда само до две стъпки:

1. Напишете уравнението на параболата y = ax 2 + bx + c и намерете нейния връх по формулата: x 0 = −b /2a ;
2. Намерете стойността на оригиналната функция в тази точка: f (x 0). Ако няма допълнителни условия, това ще бъде отговорът.

На пръв поглед този алгоритъм и неговата обосновка може да изглеждат сложни. Умишлено не публикувам „гола“ диаграма на решение, тъй като необмисленото прилагане на такива правила е изпълнено с грешки.

Нека да разгледаме реалните проблеми от пробен единен държавен изпитв математиката - това е мястото, където тази техника се среща най-често. В същото време ще се уверим, че по този начин много проблеми с B15 стават почти орални.

Под корен стои квадратична функция y = x 2 + 6x + 13. Графиката на тази функция е парабола с клонове нагоре, тъй като коефициентът a = 1 > 0.

Върхът на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Тъй като клоните на параболата са насочени нагоре, в точката x 0 = −3 функцията y = x 2 + 6x + 13 приема минималната си стойност.

Коренът нараства монотонно, което означава, че x 0 е минималната точка на цялата функция. Ние имаме:

Задача. Намерете най-малката стойност на функцията:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логаритъма отново има квадратична функция: y = x 2 + 2x + 9. Графиката е парабола с разклонения нагоре, т.к. а = 1 > 0.

Върхът на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

И така, в точката x 0 = −1 квадратната функция приема минималната си стойност. Но функцията y = log 2 x е монотонна, така че:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Показателят съдържа квадратичната функция y = 1 − 4x − x 2 . Нека го пренапишем в нормална форма: y = −x 2 − 4x + 1.

Очевидно графиката на тази функция е парабола, разклонена надолу (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Първоначалната функция е експоненциална, тя е монотонна, така че най-голямата стойност ще бъде в намерената точка x 0 = −2:

Внимателният читател вероятно ще забележи, че не сме написали диапазона от допустими стойности на корена и логаритъма. Но това не се изисква: вътре има функции, чиито стойности винаги са положителни.

Следствия от областта на функция

Понякога просто намирането на върха на параболата не е достатъчно за решаване на задача B15. Стойността, която търсите, може да лъже в края на сегмента, а не в крайната точка. Ако проблемът изобщо не показва сегмент, погледнете диапазон от приемливи стойностиоригинална функция. а именно:

Моля, обърнете внимание отново: нулата може да е под корена, но никога в логаритъма или знаменателя на дроб. Нека да видим как работи това с конкретни примери:

Задача. Намерете най-голямата стойност на функцията:

Под корена отново е квадратна функция: y = 3 − 2x − x 2 . Неговата графика е парабола, но се разклонява надолу, защото a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Корен квадратенна отрицателно число не съществува.

Изписваме обхвата на допустимите стойности (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Сега нека намерим върха на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точката x 0 = −1 принадлежи на сегмента ODZ - и това е добре. Сега изчисляваме стойността на функцията в точката x 0, както и в краищата на ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

И така, имаме числата 2 и 0. От нас се иска да намерим най-голямото - това е числото 2.

Задача. Намерете най-малката стойност на функцията:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Вътре в логаритъма има квадратична функция y = 6x − x 2 − 5. Това е парабола с разклонения надолу, но в логаритъм не може да има отрицателни числа, така че изписваме ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Моля, обърнете внимание: неравенството е строго, така че краищата не принадлежат към ODZ. Това различава логаритъма от корена, където краищата на сегмента ни подхождат доста добре.

Търсим върха на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Върхът на параболата се вписва според ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но тъй като не се интересуваме от краищата на сегмента, изчисляваме стойността на функцията само в точката x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Дребна и хубава проста задачаот категорията на тези, които служат като спасителен пояс за плаващ ученик. В природата е средата на юли, така че е време да се настаните с лаптопа си на плажа. Рано сутринта слънчевият лъч на теорията започна да играе, за да се насочи скоро към практиката, която въпреки декларираната лекота съдържа парчета стъкло в пясъка. В тази връзка ви препоръчвам да разгледате съвестно няколкото примера на тази страница. За да решавате практически проблеми, трябва да можете намерете производнии разбират материала на статията Интервали на монотонност и екстремуми на функцията.

Първо, накратко за основното. В урока за непрекъснатост на функциятаДадох определението за непрекъснатост в точка и непрекъснатост в интервал. По подобен начин се формулира примерното поведение на функция върху сегмент. Една функция е непрекъсната на интервал, ако:

1) тя е непрекъсната на интервала ;
2) непрекъснато в точка на дяснои в точката наляво.

Във втория параграф говорихме за т.нар едностранна приемственостфункции в точка. Има няколко подхода за дефинирането му, но аз ще се придържам към линията, която започнах по-рано:

Функцията е непрекъсната в точката на дясно, ако е дефинирана в дадена точка и дясната й граница съвпада със стойността на функцията в дадена точка: . То е непрекъснато в точката наляво, ако е дефиниран в дадена точка и нейната лява граница равно на стойносттав този момент:

Представете си, че зелените точки са пирони с магическа еластична лента, прикрепена към тях:

Мислено вземете червената линия в ръцете си. Очевидно е, че колкото и да разтеглим графиката нагоре и надолу (по оста), функцията пак ще остане ограничен– ограда отгоре, ограда отдолу, а нашият продукт пасе в падока. По този начин, функция, непрекъсната на интервал, е ограничена върху него. В хода на математическия анализ този на пръв поглед прост факт се констатира и строго доказва. Първата теорема на Вайерщрас....Много хора се дразнят, че в математиката досадно се обосновават елементарни твърдения, но това има важно значение. Да предположим, че определен жител на средновековието е изтеглил графика в небето отвъд границите на видимост, това е вмъкнато. Преди изобретяването на телескопа, ограничената функция в космоса изобщо не беше очевидна! Наистина, откъде знаеш какво ни очаква зад хоризонта? Все пак Земята някога се е смятала за плоска, така че днес дори обикновеното телепортиране изисква доказателство =)

Според Втората теорема на Вайерщрас, непрекъснат на сегментфункцията достига своята точна горна границаа твоя? И твоя точен долен ръб .

Извиква се и номерът максималната стойност на функцията върху сегментаи са означени с , а числото е минималната стойност на функцията върху сегментаотбелязани.

В нашия случай:

Забележка : на теория записите са често срещани .

Грубо казано, най-голямата стойност е там, където най-много висока точкаграфика, а най-малката е там, където е най-ниската точка.

важно!Както вече беше подчертано в статията за екстремуми на функцията, най-голяма функционална стойностИ най-малката стойност на функцията – НЕ СЪЩОТО, Какво максимална функцияИ минимална функция. Така че в разглеждания пример числото е минимумът на функцията, но не и минималната стойност.

Между другото, какво се случва извън сегмента? Да, дори и наводнение, в контекста на разглеждания проблем, това изобщо не ни интересува. Задачата включва само намиране на две числа и това е!

Освен това решението е чисто аналитично, следователно няма нужда да правите чертеж!

Алгоритъмът лежи на повърхността и се подсказва от горната фигура:

1) Намерете стойностите на функцията в критични точки, които принадлежат към този сегмент.

Хванете още един бонус: тук няма нужда да проверявате достатъчното условие за екстремум, тъй като, както току-що беше показано, наличието на минимум или максимум все още не гарантира, каква е минималната или максималната стойност. Демонстрационната функция достига максимум и по волята на съдбата същото число е най-голямата стойност на функцията на сегмента. Но, разбира се, такова съвпадение не винаги се случва.

Така че в първата стъпка е по-бързо и по-лесно да се изчислят стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на сегмента, без да се притеснявате дали има екстремуми в тях или не.

2) Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента.

3) Сред стойностите на функцията, намерени в 1-ви и 2-ри параграф, изберете най-малката и най-много голямо число, запишете отговора.

Сядаме на брега синьо мореи ударихме плитката вода с петите си:

Пример 1

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция върху сегмент

Решение:
1) Нека изчислим стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на този сегмент:

Нека изчислим стойността на функцията във втората критична точка:

2) Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента:

3) Получени са „удебелени“ резултати с експоненти и логаритми, което значително усложнява тяхното сравнение. Поради тази причина нека се въоръжим с калкулатор или Excel и да изчислим приблизителните стойности, като не забравяме, че:

Сега всичко е ясно.

Отговор:

Дробно-рационален пример за независимо решение:

Пример 6

Намерете максималните и минималните стойности на функция върху сегмент

Какво е екстремум на функция и какво е необходимото условие за екстремум?

Екстремумът на функция е максимумът и минимумът на функцията.

ПредпоставкаМаксимумът и минимумът (екстремумът) на една функция са както следва: ако функцията f(x) има екстремум в точката x = a, тогава в тази точка производната е или нула, или безкрайна, или не съществува.

Това условие е необходимо, но не достатъчно. Производната в точката x = a може да стигне до нула, безкрайност или да не съществува, без функцията да има екстремум в тази точка.

Кое е достатъчното условие за екстремума на функция (максимум или минимум)?

Първо условие:

Ако в достатъчна близост до точката x = a, производната f?(x) е положителна отляво на a и отрицателна отдясно на a, тогава в точката x = a функцията f(x) има максимум

Ако в достатъчна близост до точката x = a, производната f?(x) е отрицателна отляво на a и положителна отдясно на a, тогава в точката x = a функцията f(x) има минимумпри условие че функцията f(x) тук е непрекъсната.

Вместо това можете да използвате второто достатъчно условие за екстремума на функция:

Нека в точката x = a първата производна f?(x) е нулева; ако втората производна f??(a) е отрицателна, тогава функцията f(x) има максимум в точката x = a, ако е положителна, тогава има минимум.

Каква е критичната точка на функция и как да я намерим?

Това е стойността на аргумента на функцията, при която функцията има екстремум (т.е. максимум или минимум). За да го намерите трябва намерете производнатафункция f?(x) и приравнявайки я на нула, реши уравнението f?(x) = 0. Корените на това уравнение, както и онези точки, в които производната на тази функция не съществува, са критични точки, т.е. стойности на аргумента, при които може да има екстремум. Те могат лесно да бъдат идентифицирани, като се вгледат производна графика: интересуваме се от тези стойности на аргумента, при които графиката на функцията пресича абсцисната ос (ос Ox) и тези, при които графиката претърпява прекъсвания.

Например, да намерим екстремум на парабола.

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производна на функцията: y?(x) = 6x + 2

Решете уравнението: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

В този случай критичната точка е x0=-1/3. Функцията има тази стойност на аргумента екстремум. На него намирам, заменете намереното число в израза за функцията вместо „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как да определим максимума и минимума на една функция, т.е. неговите най-големи и най-малки стойности?

Ако знакът на производната при преминаване през критичната точка x0 се промени от "плюс" на "минус", тогава x0 е максимална точка; ако знакът на производната се промени от минус на плюс, тогава x0 е минимална точка; ако знакът не се променя, то в точката x0 няма нито максимум, нито минимум.

За разглеждания пример:

Вземете произволна стойност на аргумент вляво от критична точка: x = -1

При x = -1, стойността на производната ще бъде y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знакът е „минус“).

Сега вземаме произволна стойност на аргумента вдясно от критичната точка: x = 1

При x = 1, стойността на производната ще бъде y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знакът е „плюс“).

Както можете да видите, производната промени знака от минус на плюс при преминаване през критичната точка. Това означава, че при критичната стойност x0 имаме минимална точка.

Най-голяма и най-малка стойност на функция на интервала(на сегмент) се намират с помощта на същата процедура, само като се вземе предвид фактът, че може би не всички критични точки ще лежат в определения интервал. Онези критични точки, които са извън интервала, трябва да бъдат изключени от разглеждане. Ако има само една критична точка в интервала, тя ще има или максимум, или минимум. В този случай, за да определим най-големите и най-малките стойности на функцията, ние също вземаме предвид стойностите на функцията в края на интервала.

Например, нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

на интервали:

И така, производната на функцията е

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Решаваме уравнението 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Намираме критични точки на интервала [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (не е включено в интервала)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не е включено в интервала)

Намираме стойностите на функцията при критични стойности на аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Вижда се, че на интервала [-9; 9] функцията има най-голяма стойност при x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

и най-малката - при x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

На интервала [-6; -3] имаме само една критична точка: x = -4,88. Стойността на функцията при x = -4,88 е равна на y = 5,398.

Намерете стойността на функцията в краищата на интервала:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

На интервала [-6; -3] имаме най-голямата стойност на функцията

y = 5,398 при x = -4,88

най-малка стойност -

y = 1,077 при x = -3

Как да намерим точките на инфлексия на графика на функция и да определим изпъкналите и вдлъбнатите страни?

За да намерите всички точки на огъване на линията y = f(x), трябва да намерите втората производна, да я приравните към нула (решете уравнението) и да тествате всички тези стойности на x, за които втората производна е нула, безкраен или не съществува. Ако при преминаване през една от тези стойности втората производна промени знака, тогава графиката на функцията има инфлексия в тази точка. Ако не се промени, значи няма завой.

Корените на уравнението f? (x) = 0, както и възможните точки на прекъсване на функцията и втората производна, разделят областта на дефиниране на функцията на няколко интервала. Изпъкналостта на всеки техен интервал се определя от знака на втората производна. Ако втората производна в точка от изследвания интервал е положителна, тогава линията y = f(x) е вдлъбната нагоре, а ако е отрицателна, тогава надолу.

Как да намерим екстремумите на функция на две променливи?

За да намерите екстремумите на функцията f(x,y), диференцируема в областта на нейната спецификация, трябва:

1) намерете критичните точки и за това - решете системата от уравнения

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) за всяка критична точка P0(a;b) проучете дали знакът на разликата остава непроменен

за всички точки (x;y), достатъчно близки до P0. Ако разликата остане положителна, тогава в точка P0 имаме минимум, ако е отрицателна, тогава имаме максимум. Ако разликата не запазва знака си, тогава няма екстремум в точка P0.

Екстремумите на функцията се определят по подобен начин за Повече ▼аргументи.