The методически материале само за справка и се отнася за широк кръг от теми. Статията предоставя преглед на графики на основни елементарни функции и ги обсъжда най-важният въпрос – как да изградите графика правилно и БЪРЗО. По време на изследването висша математикабез познаване на основните графици елементарни функцииЩе бъде трудно, така че е много важно да запомните как изглеждат графиките на парабола, хипербола, синус, косинус и т.н. и да запомните някои от стойностите на функцията. Ще говорим и за някои свойства на основните функции.

Не претендирам за изчерпателност и научна изчерпателност на материалите, акцентът ще бъде поставен преди всичко върху практиката - онези неща, с които човек се среща буквално на всяка крачка, във всяка тема от висшата математика. Графики за манекени? Може да се каже така.

Поради многобройни искания от читатели съдържание, върху което може да се кликне:

Освен това има ултра кратък синопсис по темата
– овладейте 16 вида диаграми, като изучавате ШЕСТ страници!

Сериозно, шест, дори аз бях изненадан. Това резюме съдържа подобрена графика и се предлага срещу номинална такса; може да се види демо версия. Удобно е да отпечатате файла, така че графиките да са винаги под ръка. Благодаря за подкрепата на проекта!

И да започнем веднага:

Как правилно да конструираме координатни оси?

На практика контролните работи почти винаги се попълват от учениците в отделни тетрадки, подредени в квадрат. Защо се нуждаете от карирана маркировка? В крайна сметка работата по принцип може да се извърши на листове А4. И клетката е необходима само за висококачествено и точно проектиране на чертежи.

Всеки чертеж на функционална графика започва с координатни оси.

Чертежите могат да бъдат двуизмерни и триизмерни.

Нека първо разгледаме двумерния случай Декартова правоъгълна координатна система:

1) Начертайте координатни оси. Оста се нарича ос х , а оста е у-ос . Винаги се опитваме да ги нарисуваме чист и не крив. Стрелките също не трябва да приличат на брадата на татко Карло.

2) Подписваме осите с големи букви „X“ и „Y“. Не забравяйте да обозначите осите.

3) Задайте скалата по осите: нарисувайте нула и две единици. При рисуване най-удобният и често използван мащаб е: 1 единица = 2 клетки (чертеж вляво) – при възможност се придържайте към него. От време на време обаче се случва чертежът да не се побира на листа на тетрадката - тогава намаляваме мащаба: 1 единица = 1 клетка (чертеж вдясно). Рядко, но се случва, че мащабът на чертежа трябва да бъде намален (или увеличен) още повече

НЯМА НУЖДА от „картечница“ …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Защото координатната равнина не е паметник на Декарт, а ученикът не е гълъб. Ние поставяме нулаИ две единици по осите. Понякога вместоединици, удобно е да „маркирате“ други стойности, например „две“ по абсцисната ос и „три“ по ординатната ос - и тази система (0, 2 и 3) също ще дефинира еднозначно координатната мрежа.

По-добре е да прецените приблизителните размери на чертежа ПРЕДИ да конструирате чертежа. Така, например, ако задачата изисква начертаване на триъгълник с върхове , , , тогава е напълно ясно, че популярният мащаб 1 единица = 2 клетки няма да работи. Защо? Нека да разгледаме точката - тук ще трябва да измерите петнадесет сантиметра надолу и, очевидно, рисунката няма да се побере (или едва се побере) на лист от тетрадка. Затова веднага избираме по-малък мащаб: 1 единица = 1 клетка.

Между другото, за сантиметри и клетки от тетрадка. Вярно ли е, че 30 клетки от тетрадка съдържат 15 сантиметра? За забавление измерете 15 сантиметра в тетрадката си с линийка. В СССР това може би е било вярно... Интересно е да се отбележи, че ако измерите същите тези сантиметри хоризонтално и вертикално, резултатите (в клетките) ще бъдат различни! Строго погледнато, съвременните тетрадки не са карирани, а правоъгълни. Това може да изглежда глупост, но рисуването, например, на кръг с компас в такива ситуации е много неудобно. Честно казано, в такива моменти започвате да мислите за правотата на другаря Сталин, който беше изпратен в лагери за халтура в производството, да не говорим за местната автомобилна индустрия, падащи самолети или експлодиращи електроцентрали.

Говорейки за качество, или кратка препоръка за канцеларски материали. Днес повечето преносими компютри се продават, лоши думида не кажа пълен боклук. Поради причината, че се мокрят и то не само от гел химикалки, но и от химикалки! Те спестяват пари на хартия. За регистрация тестовеПрепоръчвам да използвате тетрадки от Архангелската целулозно-хартиена фабрика (18 листа, мрежа) или „Pyaterochka“, въпреки че е по-скъпо. Препоръчително е да изберете гел химикал, дори най-евтиният китайски гел пълнител е много по-добър от химикалка, която или размазва, или къса хартията. Единствената „конкурентна“ химикалка, която мога да си спомня, е Erich Krause. Тя пише ясно, красиво и последователно – независимо дали с пълно ядро ​​или с почти празно.

Допълнително: Визията за правоъгълна координатна система през очите на аналитичната геометрия е разгледана в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите, подробна информацияотносно координатните четвъртини можете да намерите във втория параграф на урока Линейни неравенства.

3D калъф

Тук е почти същото.

1) Начертайте координатни оси. Стандартен: прилагане на ос – насочена нагоре, ос – насочена надясно, ос – насочена надолу наляво строгопод ъгъл от 45 градуса.

2) Маркирайте осите.

3) Задайте скалата по осите. Мащабът по оста е два пъти по-малък от мащаба по другите оси. Също така имайте предвид, че в десния чертеж използвах нестандартен "прорез" по оста (тази възможност вече беше спомената по-горе). От моя гледна точка това е по-точно, по-бързо и по-естетически приятно - няма нужда да търсите средата на клетката под микроскоп и да „извайвате“ единица, близка до началото на координатите.

Когато правите 3D чертеж, отново дайте приоритет на мащаба
1 единица = 2 клетки (чертеж вляво).

За какво са всички тези правила? Правилата са създадени за да се нарушават. Това ще направя сега. Факт е, че следващите чертежи на статията ще бъдат направени от мен в Excel и координатните оси ще изглеждат неправилни от гледна точка правилен дизайн. Бих могъл да начертая всички графики на ръка, но всъщност е страшно да ги начертая, тъй като Excel не желае да ги начертае много по-точно.

Графики и основни свойства на елементарни функции

Линейна функциясе дава от уравнението. Графиката на линейните функции е директен. За да се построи права линия, е достатъчно да се познават две точки.

Пример 1

Постройте графика на функцията. Нека намерим две точки. Изгодно е да изберете нула като една от точките.

Ако , тогава

Да вземем друга точка, например 1.

Ако , тогава

При изпълнение на задачи координатите на точките обикновено се обобщават в таблица:

А самите стойности се изчисляват устно или на чернова, калкулатор.

Намерени са две точки, нека направим чертежа:

Когато изготвяме чертеж, ние винаги подписваме графиките.

Би било полезно да си припомним специални случаи на линейна функция:

Забележете как поставих подписите, подписите не трябва да позволяват несъответствия при изучаване на чертежа. В този случай беше изключително нежелателно да се постави подпис до точката на пресичане на линиите или долу вдясно между графиките.

1) Линейна функция от формата () се нарича пряка пропорционалност. Например, . Графиката на правата пропорционалност винаги минава през началото. Така конструирането на права линия е опростено - достатъчно е да се намери само една точка.

2) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията се изгражда веднага, без да се намират точки. Това означава, че записът трябва да се разбира по следния начин: „y винаги е равно на –4 за всяка стойност на x.“

3) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията също се начертава веднага. Записът трябва да се разбира по следния начин: „x винаги, за всяка стойност на y, е равно на 1.“

Някои ще попитат, защо да помним 6 клас?! Така е, може би е така, но през годините на практика срещнах добра дузина студенти, които бяха объркани от задачата да построят графика като или.

Изграждането на права линия е най-често срещаното действие при правене на чертежи.

Правата е разгледана подробно в курса по аналитична геометрия, а интересуващите се могат да се обърнат към статията Уравнение на права на равнина.

Графика на квадратна, кубична функция, графика на полином

Парабола. Графика на квадратична функция () представлява парабола. Помислете за известния случай:

Нека си припомним някои свойства на функцията.

И така, решението на нашето уравнение: – в тази точка се намира върхът на параболата. Защо това е така може да се намери в теоретичната статия за производната и урока за екстремуми на функцията. Междувременно нека изчислим съответната стойност „Y“:

Така върхът е в точката

Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията – не е дори, но въпреки това никой не е отменил симетрията на параболата.

В какъв ред да намерите останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната маса:

Този алгоритъмКонструкциите образно могат да бъдат наречени „совалка” или принцип „напред и назад” при Анфиса Чехова.

Да направим чертежа:

От разгледаните графики идва на ум още една полезна функция:

За квадратична функция () вярно е следното:

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени нагоре.

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени надолу.

Задълбочени знания за кривата могат да се получат в урока Хипербола и парабола.

Кубична парабола е дадена от функцията. Ето рисунка, позната от училище:

Нека изброим основните свойства на функцията

Графика на функция

Представлява един от клоновете на парабола. Да направим чертежа:

Основни свойства на функцията:

В този случай оста е вертикална асимптота за графиката на хипербола при .

Би било ГРУБА грешка, ако при съставяне на чертеж небрежно позволите графиката да се пресече с асимптота.

Също така едностранните граници ни казват, че хиперболата не се ограничава отгореИ не се ограничава отдолу.

Нека разгледаме функцията в безкрайност: , тоест, ако започнем да се движим по оста наляво (или надясно) до безкрайност, тогава „игрите“ ще бъдат в подредена стъпка безкрайно близоприближават нулата и съответно клоновете на хиперболата безкрайно близоприближете се до оста.

Така че оста е хоризонтална асимптота за графиката на функция, ако „x“ клони към плюс или минус безкрайност.

Функцията е странно, и следователно хиперболата е симетрична спрямо началото. Този факт е очевиден от чертежа, освен това лесно се проверява аналитично: .

Графиката на функция от формата () представлява два клона на хипербола.

Ако , тогава хиперболата се намира в първата и третата координатна четвърт(вижте снимката по-горе).

Ако , тогава хиперболата се намира във втората и четвъртата координатна четвърт.

Посоченият модел на пребиваване на хипербола е лесен за анализ от гледна точка на геометрични трансформации на графики.

Пример 3

Конструирайте десния клон на хиперболата

Използваме метода на точково конструиране и е изгодно да изберете стойностите така, че да се делят на цяло:

Да направим чертежа:

Няма да е трудно да се изгради и ляв клонхиперболи, странността на функцията ще помогне тук. Грубо казано, в таблицата на точковата конструкция ние мислено добавяме минус към всяко число, поставяме съответните точки и рисуваме втория клон.

Подробна геометрична информация за разглежданата права можете да намерите в статията Хипербола и парабола.

Графика на експоненциална функция

В този раздел веднага ще разгледам експоненциалната функция, тъй като в проблемите на висшата математика в 95% от случаите се появява експоненциалната.

Нека ви напомня, че това е ирационално число: , това ще се изисква при изграждането на графика, която всъщност ще изградя без церемонии. Три точки, може би това е достатъчно:

Нека засега оставим графиката на функцията, повече за нея по-късно.

Основни свойства на функцията:

Функционалните графики и т.н. изглеждат фундаментално еднакви.

Трябва да кажа, че вторият случай се среща по-рядко в практиката, но се среща, затова сметнах за необходимо да го включа в тази статия.

Графика на логаритмична функция

Помислете за функция с натурален логаритъм.
Нека направим чертеж точка по точка:

Ако сте забравили какво е логаритъм, вижте учебниците си.

Основни свойства на функцията:

Домейн:

Диапазон от стойности: .

Функцията не е ограничена отгоре: , макар и бавно, но клонът на логаритъма се издига до безкрайност.
Нека разгледаме поведението на функцията близо до нула вдясно: . Така че оста е вертикална асимптота за графиката на функция като "x" клони към нула отдясно.

Задължително е да знаете и запомните типичната стойност на логаритъма: .

По принцип графиката на логаритъма при основа изглежда по същия начин: , , (десетичен логаритъм при основа 10) и т.н. Освен това, колкото по-голяма е основата, толкова по-плоска ще бъде графиката.

Няма да разглеждаме делото, не помня кога последен пътНа тази основа изградих графика. А логаритъмът изглежда е много рядък гост в задачите на висшата математика.

В края на този параграф ще кажа още един факт: Експоненциална функцияи логаритмична функция- двете са взаимни обратни функции . Ако погледнете внимателно графиката на логаритъма, можете да видите, че това е същият показател, просто е разположен малко по-различно.

Графики на тригонометрични функции

Откъде започват тригонометричните мъки в училище? вярно От синуса

Нека начертаем функцията

Тази линия се нарича синусоида.

Нека ви напомня, че „пи“ е ирационално число: , а в тригонометрията ви заслепява очите.

Основни свойства на функцията:

Тази функция е периодиченс точка . Какво означава? Нека да разгледаме сегмента. Вляво и вдясно от нея безкрайно се повтаря точно една и съща част от графиката.

Домейн: , тоест за всяка стойност на „x“ има синусова стойност.

Диапазон от стойности: . Функцията е ограничен: , тоест всички „игри“ се намират строго в сегмента .
Това не се случва: или, по-точно, случва се, но тези уравнения нямат решение.

Как да изградим парабола? Има няколко начина за начертаване на графика на квадратична функция. Всеки от тях има своите плюсове и минуси. Нека разгледаме два начина.

Нека започнем с начертаване на квадратна функция от формата y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Начертайте графика на функцията y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 е квадратна функция. Графиката е парабола с разклонения нагоре. Координати на върха на парабола

От върха (-1;-4) изграждаме графика на параболата y=x² (като от началото на координатите. Вместо (0;0) - връх (-1;-4). От (-1; -4) отиваме надясно с 1 единица и нагоре с 1 единица, след това наляво с 1 и нагоре с 1; по-нататък: 2 - надясно, 4 - нагоре, 2 - наляво, 4 - нагоре; 3 - надясно, 9 - нагоре, 3 - наляво, 9 - нагоре.Ако тези 7 точки не са достатъчни, тогава 4 надясно, 16 нагоре и т.н.).

Графиката на квадратната функция y= -x²+bx+c е парабола, чиито клонове са насочени надолу. За да построим графика, търсим координатите на върха и от тях построяваме парабола y= -x².

Пример.

Начертайте графика на функцията y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 е квадратна функция. Графиката е парабола с клонове надолу. Координати на върха на парабола

Отгоре изграждаме парабола y= -x² (1 - надясно, 1 - надолу; 1 - наляво, 1 - надолу; 2 - надясно, 4 - надолу; 2 - наляво, 4 - надолу и т.н.):

Този метод ви позволява бързо да изградите парабола и не създава затруднения, ако знаете как да начертаете графики на функциите y=x² и y= -x². Недостатък: ако координатите на върха са дробни числа, изграждането на графика не е много удобно. Ако трябва да знаете точни стойноститочки на пресичане на графиката с оста Ox, ще трябва допълнително да решите уравнението x²+bx+c=0 (или -x²+bx+c=0), дори ако тези точки могат да бъдат директно определени от чертежа.

Друг начин за конструиране на парабола е чрез точки, т.е. можете да намерите няколко точки на графиката и да начертаете парабола през тях (като се има предвид, че правата x=xₒ е нейната ос на симетрия). Обикновено за това те вземат върха на параболата, точките на пресичане на графиката с координатните оси и 1-2 допълнителни точки.

Начертайте графика на функцията y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 е квадратна функция. Графиката е парабола с разклонения нагоре. Координати на върха на парабола

това означава, че върхът на параболата е точката (-2,5; -2,25).

Търсят . В точката на пресичане с оста Ox y=0: x²+5x+4=0. корени квадратно уравнение x1=-1, x2=-4, тоест имаме две точки на графиката (-1; 0) и (-4; 0).

В точката на пресичане на графиката с оста Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Разбрахме точката (0; 4).

За да изясните графиката, можете да намерите допълнителна точка. Да вземем x=1, тогава y=1²+5∙1+4=10, тоест друга точка на графиката е (1; 10). Отбелязваме тези точки на координатната равнина. Като вземем предвид симетрията на параболата спрямо линията, минаваща през нейния връх, маркираме още две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и начертаваме парабола през тях:

Начертайте графика на функцията y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x е квадратна функция. Графиката е парабола с клонове надолу. Координати на върха на парабола

Върхът (-1,5; 2,25) е първата точка на параболата.

В точките на пресичане на графиката с оста x y=0, тоест решаваме уравнението -x²-3x=0. Корените му са x=0 и x=-3, тоест (0;0) и (-3;0) - още две точки на графиката. Точката (o; 0) е и пресечната точка на параболата с ординатната ос.

При x=1 y=-1²-3∙1=-4, тоест (1; -4) е допълнителна точка за чертане.

Конструирането на парабола от точки е по-трудоемък метод в сравнение с първия. Ако параболата не пресича оста Ox, ще са необходими повече допълнителни точки.

Преди да продължим да конструираме графики на квадратични функции от формата y=ax²+bx+c, нека разгледаме изграждането на графики на функции с помощта на геометрични трансформации. Също така е най-удобно да се построят графики на функции от вида y=x²+c, като се използва една от тези трансформации - паралелна транслация.

Категория: |

Извиква се функция от формата where квадратична функция.

Графика на квадратична функция – парабола.

Нека разгледаме случаите:

I СЛУЧАЙ, КЛАСИЧЕСКА ПАРАБОЛА

Това е , ,

За да конструирате, попълнете таблицата, като замените стойностите x във формулата:

Маркирайте точките (0;0); (1;1); (-1;1) и т.н. в координатната равнина (колкото по-малка е стъпката, която вземаме стойностите x (в този случай стъпка 1) и колкото повече стойности x вземаме, толкова по-гладка ще бъде кривата), получаваме парабола:

Лесно е да се види, че ако вземем случая , , , т.е. тогава получаваме парабола, която е симетрична спрямо оста (oh). Лесно е да проверите това, като попълните подобна таблица:

II СЛУЧАЙ, „а“ Е РАЗЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦА

Какво ще стане, ако вземем , , ? Как ще се промени поведението на параболата? Със заглавие="Предадено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

На първата снимка (виж по-горе) ясно се вижда, че точките от таблицата за параболата (1;1), (-1;1) са трансформирани в точки (1;4), (1;-4), тоест при еднакви стойности ординатата на всяка точка се умножава по 4. Това ще се случи с всички ключови точки от оригиналната таблица. Разсъждаваме по подобен начин в случаите на снимки 2 и 3.

И когато параболата "стане по-широка" от параболата:

Нека обобщим:

1)Знакът на коефициента определя посоката на клоните. Със заглавие="Предадено от QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Абсолютна стойносткоефициент (модул) е отговорен за "разширяването" и "компресията" на параболата. Колкото по-голямо е, толкова по-тясна е параболата; колкото по-малко е |a|, толкова по-широка е параболата.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЯВА СЕ “C”.

Сега нека въведем в играта (т.е. да разгледаме случая, когато), ще разгледаме параболи от формата . Не е трудно да се досетите (винаги можете да се обърнете към таблицата), че параболата ще се измести нагоре или надолу по оста в зависимост от знака:

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЯВА СЕ “b”.

Кога параболата ще се "откъсне" от оста и най-накрая ще "ходи" по цялата координатна равнина? Кога ще спре да е равно?

Ето, за да построим парабола, от която се нуждаем формула за изчисляване на върха: , .

Така че в този момент (както в точка (0;0) нова системакоординати) ще изградим парабола, която вече можем да направим. Ако се занимаваме със случая, тогава от върха поставяме един единичен сегмент надясно, един нагоре, - получената точка е наша (по същия начин стъпка наляво, стъпка нагоре е нашата точка); ако имаме работа, например, тогава от върха поставяме един единичен сегмент надясно, два - нагоре и т.н.

Например върхът на парабола:

Сега основното нещо, което трябва да разберем е, че в този връх ще изградим парабола според модела на парабола, защото в нашия случай.

При построяването на парабола след намиране на координатите на върха многоУдобно е да се вземат предвид следните точки:

1) парабола определено ще мине през точката . Наистина, замествайки x=0 във формулата, получаваме, че . Тоест ординатата на пресечната точка на параболата с оста (oy) е . В нашия пример (по-горе) параболата пресича ординатата в точка , тъй като .

2) ос на симетрия параболи е права линия, така че всички точки на параболата ще бъдат симетрични спрямо нея. В нашия пример веднага вземаме точката (0; -2) и я изграждаме симетрично спрямо оста на симетрия на параболата, получаваме точката (4; -2), през която ще премине параболата.

3) Приравнявайки се към , намираме точките на пресичане на параболата с оста (oh). За да направим това, решаваме уравнението. В зависимост от дискриминанта ще получим едно (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . В предишния пример нашият корен на дискриминанта не е цяло число; когато конструираме, няма много смисъл да намираме корените, но ясно виждаме, че ще имаме две точки на пресичане с оста (о) (от title="Предадено от QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Така че нека да го решим

Алгоритъм за построяване на парабола, ако е дадена във формата

1) определете посоката на клоните (a>0 – нагоре, a<0 – вниз)

2) намираме координатите на върха на параболата по формулата , .

3) ние намираме точката на пресичане на параболата с оста (oy), използвайки свободния термин, конструираме точка, симетрична на тази точка по отношение на оста на симетрия на параболата (трябва да се отбележи, че се случва, че е нерентабилно да се маркира тази точка, например, защото стойността е голяма... пропускаме тази точка...)

4) В намерената точка - върха на параболата (като в точката (0;0) на новата координатна система) построяваме парабола. If title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Намираме точките на пресичане на параболата с оста (oy) (ако все още не са "изплували") чрез решаване на уравнението

Пример 1

Пример 2

Бележка 1.Ако първоначално параболата ни бъде дадена във формата , където са някои числа (например ), тогава ще бъде още по-лесно да я конструираме, тъй като вече са ни дадени координатите на върха . Защо?

Нека вземем квадратен трином и изолираме пълния квадрат в него: Вижте, имаме това , . Вие и аз преди това наричахме върха на парабола, тоест сега,.

Например, . Маркираме върха на параболата в равнината, разбираме, че клоните са насочени надолу, параболата е разширена (спрямо ). Тоест изпълняваме точки 1; 3; 4; 5 от алгоритъма за конструиране на парабола (виж по-горе).

Бележка 2.Ако параболата е дадена във форма, подобна на тази (т.е. представена като произведение на два линейни фактора), тогава веднага виждаме точките на пресичане на параболата с оста (ox). В случая – (0;0) и (4;0). За останалото действаме според алгоритъма, отваряйки скобите.

В часовете по математика в училище вече сте се запознали с най-простите свойства и графика на функция y = x 2. Нека разширим знанията си върху квадратична функция.

Упражнение 1.

Графика на функцията y = x 2. Мащаб: 1 = 2 см. Маркирайте точка върху оста Oy Е(0; 1/4). С помощта на компас или хартиена лента измерете разстоянието от точката Едо някакъв момент Мпараболи. След това закачете лентата в точка M и я завъртете около тази точка, докато стане вертикална. Краят на лентата ще падне малко под оста x (Фиг. 1). Маркирайте върху лентата колко далеч се простира отвъд оста x. Сега вземете друга точка на параболата и повторете измерването отново. Доколко ръбът на лентата е паднал под оста x?

Резултат:независимо коя точка от параболата y = x 2 вземете, разстоянието от тази точка до точката F(0; 1/4) ще бъде по-голямо от разстоянието от същата точка до абсцисната ос с винаги едно и също число - 1/4.

Можем да го кажем по различен начин: разстоянието от всяка точка на параболата до точката (0; 1/4) е равно на разстоянието от същата точка на параболата до правата линия y = -1/4. Тази чудесна точка F(0; 1/4) се нарича фокуспараболи y = x 2 и права линия y = -1/4 – директоркатази парабола. Всяка парабола има директриса и фокус.

Интересни свойства на парабола:

1. Всяка точка от параболата е на еднакво разстояние от някаква точка, наречена фокус на параболата, и някаква права линия, наречена нейна директриса.

2. Ако завъртите парабола около оста на симетрия (например парабола y = x 2 около оста Oy), ще получите много интересна повърхност, наречена параболоид на въртене.

Повърхността на течността във въртящ се съд има формата на параболоид на въртене. Можете да видите тази повърхност, ако разбъркате енергично с лъжица в непълна чаша чай и след това извадете лъжицата.

3. Ако хвърлите камък в празнотата под определен ъгъл спрямо хоризонта, той ще лети в парабола (фиг. 2).

4. Ако пресечете повърхността на конус с равнина, успоредна на някоя от неговите образуващи, тогава напречното сечение ще доведе до парабола (фиг. 3).

5. Увеселителни паркове понякога имат забавно пътуване, наречено Paraboloid of Wonders. На всеки, който стои вътре във въртящия се параболоид, изглежда, че той стои на пода, докато останалите хора по някакъв чуден начин се държат на стените.

6. В рефлекторните телескопи се използват и параболични огледала: светлината на далечна звезда, идваща в паралелен лъч, падайки върху огледалото на телескопа, се събира във фокус.

7. Прожекторите обикновено имат огледало във формата на параболоид. Ако поставите източник на светлина във фокуса на параболоид, тогава лъчите, отразени от параболичното огледало, образуват паралелен лъч.

Графика на квадратична функция

В уроците по математика сте учили как да получите графики на функции от формата от графиката на функцията y = x 2:

1) y = брадва 2– разтягане на графиката y = x 2 по оста Oy в |a| пъти (с |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ориз. 4).

2) y = x 2 + n– изместване на графиката с n единици по оста Oy, като ако n > 0, то изместването е нагоре, а ако n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– изместване на графиката с m единици по оста Ox: ако m< 0, то вправо, а если m >0, след това наляво, (фиг. 5).

4) y = -x 2– симетрично изобразяване спрямо оста Ox на графиката y = x 2 .

Нека разгледаме по-подробно изобразяването на функцията y = a(x – m) 2 + n.

Квадратна функция от формата y = ax 2 + bx + c винаги може да бъде намалена до формата

y = a(x – m) 2 + n, където m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Нека го докажем.

Наистина ли,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Нека въведем нови обозначения.

Позволявам m = -b/(2a), А n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

тогава получаваме y = a(x – m) 2 + n или y – n = a(x – m) 2.

Нека направим още няколко замествания: нека y – n = Y, x – m = X (*).

Тогава получаваме функцията Y = aX 2, чиято графика е парабола.

Върхът на параболата е в началото. X = 0; Y = 0.

Замествайки координатите на върха в (*), получаваме координатите на върха на графиката y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

По този начин, за да се начертае квадратична функция, представена като

y = a(x – m) 2 + n

чрез трансформации можете да продължите по следния начин:

а)начертайте функцията y = x 2 ;

б)чрез паралелно преместване по оста Ox с m единици и по оста Oy с n единици - прехвърляне на върха на параболата от началото до точката с координати (m; n) (фиг. 6).

Записване на трансформации:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Пример.

С помощта на трансформации постройте графика на функцията y = 2(x – 3) 2 в декартовата координатна система – 2.

Решение.

Верига от трансформации:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Графиката е показана в ориз. 7.

Можете да упражнявате сами да рисувате графики на квадратични функции. Например, изградете графика на функцията y = 2(x + 3) 2 + 2 в една координатна система с помощта на трансформации.Ако имате въпроси или искате да получите съвет от учител, тогава имате възможност да проведете безплатен 25-минутен урок с онлайн учителслед регистрация. За по-нататъшна работа с учителя можете да изберете тарифния план, който ви подхожда.

Все още имате въпроси? Не знаете как да начертаете графика на квадратична функция?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.