Намерете дефиницията на всяка матрица 2x2.Всеки елемент от всяка матрица, включително транспонираната, е свързан със съответна матрица 2x2. За да намерите матрица 2x2, която отговаря на определен елемент, задраскайте реда и колоната, в които се намира дадения елемент, тоест трябва да зачеркнете пет елемента от оригиналната матрица 3x3. Четири елемента ще останат незачертани, които са елементи от съответната матрица 2x2.

• Например, за да намерите матрица 2x2 за елемента, който се намира в пресечната точка на втория ред и първата колона, зачеркнете петте елемента, които са във втория ред и първата колона. Останалите четири елемента са елементи от съответната матрица 2x2.
• Намерете детерминантата на всяка матрица 2x2. За да направите това, извадете произведението на елементите на вторичния диагонал от продукта на елементите на главния диагонал (вижте фигурата).
• Подробна информация за матрици 2x2, съответстващи на конкретни елементи от матрица 3x3, можете да намерите в Интернет.

Създайте кофакторна матрица.Запишете резултатите, получени по-рано, под формата на нова кофакторна матрица. За да направите това, запишете намерената детерминанта на всяка матрица 2x2, където се намира съответният елемент от матрицата 3x3. Например, ако обмисляте матрица 2x2 за елемент (1,1), запишете детерминантата му в позиция (1,1). След това сменете знаците на съответните елементи по определена схема, която е показана на фигурата.

• Схема за промяна на знаците: знакът на първия елемент от първия ред не се променя; знакът на втория елемент от първия ред е обърнат; знакът на третия елемент от първия ред не се променя и така нататък ред по ред. Моля, имайте предвид, че знаците „+“ и „-“, които са показани на диаграмата (вижте фигурата), не означават, че съответният елемент ще бъде положителен или отрицателен. В този случай знакът "+" показва, че знакът на елемента не се променя, а знакът "-" показва промяна в знака на елемента.
• Подробна информация за кофакторните матрици може да се намери в Интернет.
• По този начин ще намерите присъединената матрица на оригиналната матрица. Понякога се нарича комплексно спрегната матрица. Такава матрица се обозначава като adj(M).

Разделете всеки елемент от присъединената матрица на неговия детерминант.Детерминантата на матрицата M беше изчислена в самото начало, за да се провери това обратна матрицасъществува. Сега разделете всеки елемент от присъединената матрица на този детерминант. Запишете резултата от всяка операция деление, където се намира съответният елемент. По този начин ще намерите матрицата, обратна на оригиналната.

• Детерминантата на матрицата, която е показана на фигурата, е 1. По този начин тук присъединената матрица е обратната матрица (защото, когато което и да е число е разделено на 1, то не се променя).
• В някои източници операцията деление се заменя с операцията умножение по 1/det(M). Крайният резултат обаче не се променя.

Напишете обратната матрица.Запишете елементите, разположени в дясната половина на голямата матрица, като отделна матрица, която е обратната матрица.

Въведете оригиналната матрица в паметта на калкулатора.За да направите това, щракнете върху бутона Матрица, ако е наличен. За калкулатор на Texas Instruments може да се наложи да натиснете бутоните 2nd и Matrix.

Изберете менюто Редактиране.Направете това с помощта на бутоните със стрелки или съответния функционален бутон, разположен в горната част на клавиатурата на калкулатора (местоположението на бутона варира в зависимост от модела на калкулатора).

Въведете нотацията на матрицата.Повечето графични калкулатори могат да работят с 3-10 матрици, които могат да бъдат обозначени букви A-J. Обикновено просто изберете [A], за да обозначите оригиналната матрица. След това натиснете бутона Enter.

Въведете размера на матрицата.Тази статия говори за 3x3 матрици. Но графичните калкулатори могат да работят с матрици големи размери. Въведете броя на редовете, натиснете Enter, след това въведете броя на колоните и натиснете Enter отново.

Въведете всеки матричен елемент.На екрана на калкулатора ще се покаже матрица. Ако преди това сте въвели матрица в калкулатора, тя ще се появи на екрана. Курсорът ще маркира първия елемент от матрицата. Въведете стойността за първия елемент и натиснете Enter. Курсорът автоматично ще се премести до следващия матричен елемент.

Определение 1:матрица се нарича сингулярна, ако нейният детерминант е нула.

Определение 2:матрица се нарича неособена, ако нейният детерминант не е равен на нула.

Матрица "А" се нарича обратна матрица, ако условието A*A-1 = A-1 *A = E (единична матрица) е изпълнено.

Квадратната матрица е обратима само ако не е сингулярна.

Схема за изчисляване на обратната матрица:

1) Изчислете детерминантата на матрица "A", ако ∆ A = 0, тогава обратната матрица не съществува.

2) Намерете всички алгебрични допълнения на матрица "А".

3) Създайте матрица от алгебрични добавки (Aij)

4) Транспонирайте матрицата на алгебричните допълнения (Aij )T

5) Умножете транспонираната матрица по обратната на детерминантата на тази матрица.

6) Извършете проверка:

На пръв поглед може да изглежда сложно, но всъщност всичко е много просто. Всички решения се основават на прости аритметични операции, основното при решаването е да не се бъркате със знаците „-“ и „+“ и да не ги губите.

Сега нека заедно да решим една практическа задача, като изчислим обратната матрица.

Задача: намерете обратната матрица "А", показана на снимката по-долу:

1. Първото нещо, което трябва да направите, е да намерите детерминантата на матрица "A":

Обяснение:

Опростихме нашия детерминант, използвайки основните му функции. Първо добавихме към 2-ри и 3-ти ред елементите от първия ред, умножени по едно число.

Второ, сменихме 2-ра и 3-та колона на детерминантата и според нейните свойства сменихме знака пред нея.

Трето, извадихме общия множител (-1) на втория ред, като по този начин отново променихме знака и той стана положителен. Също така опростихме ред 3 по същия начин, както в самото начало на примера.

Имаме триъгълен детерминант, чиито елементи под диагонала са равни на нула, а по свойство 7 той е равен на произведението на диагоналните елементи. В крайна сметка получихме ∆ A = 26, следователно обратната матрица съществува.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Следващата стъпка е да се състави матрица от получените добавки:

5. Умножете тази матрица по обратната на детерминантата, т.е. по 1/26:

6. Сега просто трябва да проверим:

По време на теста получихме матрица за идентичност, следователно решението беше изпълнено абсолютно правилно.

2 начин за изчисляване на обратната матрица.

1. Елементарна матрична трансформация

2. Обратна матрица чрез елементарен преобразувател.

Елементарната матрична трансформация включва:

1. Умножение на низ по число, което не е равно на нула.

2. Добавяне към всеки ред на друг ред, умножен по число.

3. Разменете редовете на матрицата.

4. Прилагайки верига от елементарни трансформации, получаваме друга матрица.

А -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Нека да разгледаме това практически примерс реални числа.

Упражнение:Намерете обратната матрица.

Решение:

Да проверим:

Малко пояснение за решението:

Първо пренаредихме редове 1 и 2 на матрицата, след което умножихме първия ред по (-1).

След това умножихме първия ред по (-2) и го добавихме към втория ред на матрицата. След това умножихме ред 2 по 1/4.

Последният етап от трансформацията беше умножаването на втория ред по 2 и добавянето му към първия. В резултат на това имаме матрицата на идентичността отляво, следователно обратната матрица е матрицата отдясно.

След проверка се убедихме, че решението е правилно.

Както можете да видите, изчисляването на обратната матрица е много просто.

В края на тази лекция бих искал да отделя малко време и на свойствата на такава матрица.

Обратната матрица за дадена матрица е такава матрица, умножавайки оригиналната, по която се получава единичната матрица: Задължително и достатъчно условие за наличието на обратна матрица е детерминантата на оригиналната матрица да е не е равно на нула (което от своя страна предполага, че матрицата трябва да е квадратна). Ако детерминантата на матрица е равна на нула, тогава тя се нарича сингулярна и такава матрица няма обратна. IN висша математикаобратните матрици са важни и се използват за решаване на редица проблеми. Например на намиране на обратната матрицае конструиран матричен метод за решаване на системи от уравнения. Нашият сервизен сайт позволява изчислете обратна матрица онлайндва метода: методът на Гаус-Джордан и използването на матрицата на алгебричните добавки. Прекъсването предполага голям бройелементарни трансформации вътре в матрицата, втората е изчисляването на детерминанта и алгебрични добавки към всички елементи. За да изчислите детерминанта на матрица онлайн, можете да използвате другата ни услуга - Изчисляване на детерминанта на матрица онлайн

Намерете обратната матрица за сайта

уебсайтви позволява да намерите обратна матрица онлайнбързо и безплатно. На сайта се правят изчисления с помощта на нашата услуга и се дава резултатът с подробно решение за намиране обратна матрица. Сървърът винаги дава само точен и правилен отговор. В задачи по определение обратна матрица онлайн, необходимо е детерминантата матрицибеше различно от нула, иначе уебсайтще отчете невъзможността за намиране на обратната матрица поради факта, че детерминантата на оригиналната матрица е равна на нула. Задачата за намиране обратна матрицанамира се в много клонове на математиката, като е една от най-основните концепции на алгебрата и математически инструмент в приложни проблеми. Независим дефиниция на обратна матрицаизисква значителни усилия, много време, изчисления и голямо внимание, за да се избегнат правописни грешки или дребни грешки в изчисленията. Следователно нашата услуга намиране на обратната матрица онлайнще улесни значително задачата ви и ще се превърне в незаменим инструмент за решаване на математически задачи. Дори ако ти намерете обратната матрицасами, препоръчваме да проверите вашето решение на нашия сървър. Въведете оригиналната си матрица на нашия уебсайт Изчислете обратна матрица онлайн и проверете отговора си. Нашата система никога не прави грешки и намира обратна матрицададено измерение в режим на линиямоментално! На сайта уебсайтвписванията на символи са разрешени в елементи матрици, в такъв случай обратна матрица онлайнще бъдат представени в обща символна форма.

Подобно на обратното в много свойства.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Как да намерите обратното на матрица - bezbotvy

✪ Обратна матрица (2 начина за намиране)

✪ Обратна матрица №1

✪ 2015-01-28. Обратна матрица 3x3

✪ 2015-01-27. Обратна матрица 2x2

субтитри

Свойства на обратна матрица

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Където det (\displaystyle \\det )обозначава детерминантата.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))за две квадратни обратими матрици A (\displaystyle A)И B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Където (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))обозначава транспонирана матрица.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))за всеки коефициент k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Ако е необходимо да се реши система от линейни уравнения, (b е ненулев вектор), където x (\displaystyle x)е желаният вектор и ако A − 1 (\displaystyle A^(-1))съществува, тогава x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). В противен случай или размерността на пространството на решенията е по-голяма от нула, или изобщо няма решения.

Методи за намиране на обратната матрица

Ако матрицата е обратима, тогава за намиране на обратната матрица можете да използвате един от следните методи:

Точни (директни) методи

Метод на Гаус-Джордан

Нека вземем две матрици: Аи единични д. Нека представим матрицата Акъм матрицата на идентичност, използвайки метода на Гаус-Джордан, като прилагате трансформации по редовете (можете също да прилагате трансформации по колоните, но не смесени). След като приложите всяка операция към първата матрица, приложете същата операция към втората. Когато редуцирането на първата матрица до единична форма е завършено, втората матрица ще бъде равна на A−1.

Когато използвате метода на Гаус, първата матрица ще бъде умножена отляво по една от елементарните матрици Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(трансвекционна или диагонална матрица с единици на главния диагонал, с изключение на една позиция):

Втората матрица след прилагане на всички операции ще бъде равна на Λ (\displaystyle \Lambda), тоест ще е желаната. Сложност на алгоритъма - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Използване на матрицата на алгебричното допълнение

Матрица, обратна на матрица A (\displaystyle A), могат да бъдат представени във формата

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Където adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- съединена матрица;

Сложността на алгоритъма зависи от сложността на алгоритъма за изчисляване на детерминантата O det и е равна на O(n²)·O det.

Използване на LU/LUP декомпозиция

Матрично уравнение A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))за обратната матрица X (\displaystyle X)може да се разглежда като колекция n (\displaystyle n)системи на формата A x = b (\displaystyle Ax=b). Нека обозначим i (\displaystyle i)та колона на матрицата X (\displaystyle X)през X i (\displaystyle X_(i)); Тогава A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), тъй като i (\displaystyle i)та колона на матрицата I n (\displaystyle I_(n))е единичният вектор e i (\displaystyle e_(i)). с други думи, намирането на обратната матрица се свежда до решаване на n уравнения с една и съща матрица и различни десни части. След извършване на декомпозицията на LUP (O(n³) време), решаването на всяко от n уравнения отнема O(n²) време, така че тази част от работата също изисква O(n³) време.

Ако матрицата A е неособена, тогава LUP декомпозицията може да бъде изчислена за нея PA = L U (\displaystyle PA=LU). Позволявам P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Тогава от свойствата на обратната матрица можем да запишем: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Ако умножите това равенство по U и L, можете да получите две равенства на формата U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))И D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Първото от тези равенства представлява система от n² линейни уравненияЗа n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))от които са известни десните части (от свойствата на триъгълните матрици). Второто също представлява система от n² линейни уравнения за n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))от които са известни десните части (също и от свойствата на триъгълните матрици). Заедно те представляват система от n² равенства. Използвайки тези равенства, можем рекурсивно да определим всички n² елементи на матрицата D. Тогава от равенството (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. получаваме равенството A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

В случай на използване на LU декомпозиция не се изисква пермутация на колоните на матрицата D, но решението може да се разминава дори ако матрицата A е неособена.

Сложността на алгоритъма е O(n³).

Итеративни методи

Методи на Шулц

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Оценка на грешката

Избор на начално приближение

Проблемът с избора на първоначално приближение в процесите на итеративна инверсия на матрицата, разгледани тук, не ни позволява да ги третираме като независими универсални методи, които се конкурират с методите на директна инверсия, базирани например на LU декомпозицията на матрици. Има някои препоръки за избор U 0 (\displaystyle U_(0)), гарантиращи изпълнението на условието ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектралният радиус на матрицата е по-малък от единица), което е необходимо и достатъчно за конвергенцията на процеса. В този случай обаче, първо, се изисква да се знае отгоре оценката за спектъра на обратимата матрица A или матрицата A A T (\displaystyle AA^(T))(а именно, ако A е симетрична положително определена матрица и ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), тогава можете да вземете U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Където ; ако A е произволна неособена матрица и ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), тогава вярват U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), където също α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Можете, разбира се, да опростите ситуацията и да се възползвате от факта, че ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), слагам U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Второ, когато се указва първоначалната матрица по този начин, няма гаранция, че ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ще бъде малко (може би дори ще се окаже ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), и висок порядък на степента на конвергенция няма да бъде открит веднага.

Примери

Матрица 2х2

Обръщането на матрица 2x2 е възможно само при условие, че a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).