Ще започнем изучаването на тригонометрията с правоъгълния триъгълник. Нека да определим какво са синус и косинус, както и тангенс и котангенс на остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.

Нека ви го напомним прав ъгъле ъгъл, равен на 90 градуса. С други думи, половин завъртян ъгъл.

Остър ъгъл- по-малко от 90 градуса.

Тъп ъгъл- повече от 90 градуса. Във връзка с такъв ъгъл, "тъп" не е обида, а математически термин :-)

Нека начертаем правоъгълен триъгълник. Правият ъгъл обикновено се означава с . Моля, обърнете внимание, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. По този начин страната срещу ъгъл A е обозначена.

Ъгълът се обозначава със съответната гръцка буква.

хипотенузана правоъгълен триъгълник е страната срещу правия ъгъл.

Крака- противоположни страни остри ъгли.

Кракът, лежащ срещу ъгъла, се нарича противоположност(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи на една от страните на ъгъла, се нарича съседен.

синуситеОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:

Косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - отношението на съседния крак към хипотенузата:

Допирателнаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на противоположната страна към съседната:

Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е отношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседната страна към противоположната (или, което е същото, съотношението на косинус към синус):

Обърнете внимание на основните отношения за синус, косинус, тангенс и котангенс по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаване на проблеми.

Нека докажем някои от тях.

Добре, дадохме определения и записахме формули. Но защо все още се нуждаем от синус, косинус, тангенс и котангенс?

Ние знаем това сумата от ъглите на всеки триъгълник е равна на.

Знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е Питагоровата теорема: .

Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки двете страни на правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. Това означава, че ъглите имат свое съотношение, а страните имат свое собствено. Но какво трябва да направите, ако в правоъгълен триъгълник знаете един ъгъл (с изключение на правия ъгъл) и една страна, но трябва да намерите другите страни?

С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на местността и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.

Синус, косинус и тангенс - те също се наричат функции на тригонометричен ъгъл- дават връзки между партииИ ъглитриъгълник. Познавайки ъгъла, можете да намерите всичките му тригонометрични функции, като използвате специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангенсите на ъглите на триъгълник и една от страните му, можете да намерите останалите.

Ще начертаем и таблица със стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за „добри“ ъгли от до.

Моля, обърнете внимание на двете червени тирета в таблицата. При подходящи стойности на ъгъл тангенс и котангенс не съществуват.

Нека да разгледаме няколко тригонометрични задачи от банката задачи на FIPI.

1. В триъгълник ъгълът е , . Намирам .

Проблемът се решава за четири секунди.

Тъй като , .

2. В триъгълник ъгълът е , , . Намирам .

Нека го намерим с помощта на Питагоровата теорема.

Проблемът е решен.

Често в задачи има триъгълници с ъгли и или с ъгли и. Запомнете наизуст основните съотношения за тях!

За триъгълник с ъгли и катет срещу ъгъла при е равно на половината от хипотенузата.

Триъгълник с ъгли и е равнобедрен. При него хипотенузата е пъти по-голяма от катета.

Разгледахме задачи за решаване на правоъгълни триъгълници – тоест намиране на неизвестни страни или ъгли. Но това не е всичко! IN Опции за единен държавен изпитв математиката има много задачи, в които се появява синус, косинус, тангенс или котангенс на външния ъгъл на триъгълник. Повече за това в следващата статия.

В тази статия ще ви покажем как да давате дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл и число в тригонометрията. Тук ще говорим за нотации, ще дадем примери за записи и ще дадем графични илюстрации. В заключение, нека направим паралел между дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрията и геометрията.

Навигация в страницата.

Дефиниция на синус, косинус, тангенс и котангенс

Нека да видим как се формира идеята за синус, косинус, тангенс и котангенс в училищен курс по математика. В уроците по геометрия се дава определението за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник. И по-късно се изучава тригонометрията, която говори за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане и число. Нека представим всички тези определения, да дадем примери и да дадем необходимите коментари.

Остър ъгъл в правоъгълен триъгълник

От курса по геометрия знаем дефинициите за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник. Те са дадени като отношение на страните на правоъгълен триъгълник. Нека дадем техните формулировки.

Определение.

Синус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике отношението на срещуположната страна към хипотенузата.

Определение.

Косинус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике отношението на съседния катет към хипотенузата.

Определение.

Тангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник– това е отношението на противоположната страна към съседната страна.

Определение.

Котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник- това е отношението на съседната страна към противоположната страна.

Там са въведени и обозначенията за синус, косинус, тангенс и котангенс - съответно sin, cos, tg и ctg.

Например, ако ABC е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C, тогава синусът на острия ъгъл A е равен на отношението на противоположната страна BC към хипотенузата AB, тоест sin∠A=BC/AB.

Тези определения ви позволяват да изчислите стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл от известните дължини на страните на правоъгълен триъгълник, както и от известните стойности на синус, косинус, тангенс, котангенс и дължината на една от страните, за да намерите дължините на другите страни. Например, ако знаем, че в правоъгълен триъгълник катетът AC е равен на 3, а хипотенузата AB е равна на 7, тогава бихме могли да изчислим стойността на косинуса на острия ъгъл A по дефиниция: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Ъгъл на завъртане

В тригонометрията започват да разглеждат ъгъла по-широко - въвеждат понятието ъгъл на завъртане. Големината на ъгъла на завъртане, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена до 0 до 90 градуса; ъгълът на завъртане в градуси (и в радиани) може да бъде изразен с всяко реално число от −∞ до +∞.

В тази светлина дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс са дадени не на остър ъгъл, а на ъгъл с произволна големина - ъгълът на завъртане. Те са дадени чрез координатите x и y на точката A 1, към която т. нар. начална точка A(1, 0) отива след завъртането й на ъгъл α около точка O - началото на правоъгълната декартова координатна система и центъра на единичната окръжност.

Определение.

Синус на ъгъла на завъртанеα е ординатата на точка A 1, тоест sinα=y.

Определение.

Косинус на ъгъла на завъртанеα се нарича абсцисата на точка A 1, тоест cosα=x.

Определение.

Тангенс на ъгъла на завъртанеα е отношението на ординатата на точка A 1 към нейната абциса, т.е. tanα=y/x.

Определение.

Котангенс на ъгъла на завъртанеα е отношението на абсцисата на точка A 1 към нейната ордината, т.е. ctgα=x/y.

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α, тъй като винаги можем да определим абсцисата и ординатата на точката, която се получава чрез завъртане на началната точка под ъгъл α. Но тангенсът и котангенсът не са определени за нито един ъгъл. Тангентата не е дефинирана за ъгли α, при които началната точка отива към точка с нулева абциса (0, 1) или (0, −1), и това се случва при ъгли 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Наистина, при такива ъгли на въртене изразът tgα=y/x няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Що се отнася до котангенса, той не е дефиниран за ъгли α, при които началната точка отива към точката с нулева ордината (1, 0) или (−1, 0), и това се случва за ъгли 180° k, k ∈Z (π·k рад).

И така, синус и косинус са дефинирани за всички ъгли на завъртане, тангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), а котангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Дефинициите включват вече познатите ни обозначения sin, cos, tg и ctg, те се използват и за обозначаване на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на въртене (понякога можете да намерите обозначенията tan и cot, съответстващи на тангенса и котангенса) . Така че синусът на ъгъл на въртене от 30 градуса може да бъде записан като sin30°, записите tg(−24°17′) и ctgα съответстват на тангенса на ъгъла на въртене −24 градуса 17 минути и котангенса на ъгъла на въртене α . Спомнете си, че когато пишете радианова мярка на ъгъл, обозначението „рад“ често се пропуска. Например, косинусът на ъгъл на завъртане от три pi rad обикновено се означава с cos3·π.

В заключение на тази точка си струва да се отбележи, че когато се говори за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на въртене, фразата „ъгъл на въртене“ или думата „въртене“ често се пропуска. Тоест, вместо фразата „синус на ъгъла на завъртане алфа“, обикновено се използва фразата „синус на ъгъла алфа“ или дори по-кратко „синус алфа“. Същото се отнася за косинус, тангенс и котангенс.

Ще кажем също, че дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник са в съответствие с току-що дадените дефиниции за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл на завъртане, вариращ от 0 до 90 градуса. Ние ще оправдаем това.

Числа

Определение.

Синус, косинус, тангенс и котангенс на число t е число, равно на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане в t радиани, съответно.

Например косинусът на числото 8 π по дефиниция е числото равно на косинусъгъл от 8·π rad. А косинусът на ъгъл от 8·π rad е равен на едно, следователно косинусът на числото 8·π е равен на 1.

Има друг подход за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Състои се в поставяне на точка на всяко реално число t единична окръжностс център в началото на правоъгълната координатна система, а синус, косинус, тангенс и котангенс се определят чрез координатите на тази точка. Нека разгледаме това по-подробно.

Нека покажем как се установява съответствие между реални числа и точки от окръжност:

• на числото 0 се задава начална точка A(1, 0);
• положителното число t е свързано с точка от единичната окръжност, до която ще стигнем, ако се движим по окръжността от началната точка в посока обратна на часовниковата стрелка и изминем път с дължина t;
• отрицателно число t е свързан с точката от единичната окръжност, до която ще стигнем, ако се движим по окръжността от началната точка по посока на часовниковата стрелка и извървим път с дължина |t| .

Сега преминаваме към дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на числото t. Да приемем, че числото t съответства на точка от окръжността A 1 (x, y) (например числото &pi/2; съответства на точка A 1 (0, 1)).

Определение.

Синус от числото t е ординатата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест sint=y.

Определение.

Косинус на числото t се нарича абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест cost=x.

Определение.

Тангенс на числото t е отношението на ординатата към абсцисата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото t, т.е. tgt=y/x. В друга еквивалентна формулировка тангенсът на число t е отношението на синуса на това число към косинуса, т.е. tgt=sint/cost.

Определение.

Котангенс на числото t е отношението на абсцисата към ординатата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест ctgt=x/y. Друга формулировка е следната: тангенсът на числото t е отношението на косинуса на числото t към синуса на числото t: ctgt=cost/sint.

Тук отбелязваме, че току-що дадените определения са в съответствие с определението, дадено в началото на този параграф. Наистина, точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, съвпада с точката, получена чрез завъртане на началната точка на ъгъл от t радиана.

Все още си струва да се изясни тази точка. Да кажем, че имаме запис sin3. Как да разберем дали говорим за синус на числото 3 или за синус на ъгъла на завъртане от 3 радиана? Това обикновено е ясно от контекста, в противен случай вероятно не е от фундаментално значение.

Тригонометрични функции на ъглов и числов аргумент

Съгласно дефинициите, дадени в предходния параграф, всеки ъгъл на завъртане α съответства на много специфична стойност sinα, както и на стойността cosα. В допълнение, всички ъгли на въртене, различни от 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) съответстват на стойностите на tgα, а стойностите, различни от 180°k, k∈Z (πk rad ) – стойности ​​на ctgα. Следователно sinα, cosα, tanα и ctgα са функции на ъгъла α. С други думи, това са функции на ъгловия аргумент.

Можем да говорим по подобен начин за функциите синус, косинус, тангенс и котангенс на числов аргумент. Наистина, всяко реално число t съответства на много специфична стойност sint, както и цена. Освен това всички числа, различни от π/2+π·k, k∈Z, съответстват на стойности tgt, а числата π·k, k∈Z - стойности ctgt.

Функциите синус, косинус, тангенс и котангенс се наричат основни тригонометрични функции.

Обикновено от контекста става ясно дали имаме работа с тригонометрични функции на ъглов аргумент или числен аргумент. В противен случай можем да мислим за независимата променлива както като мярка на ъгъла (ъглов аргумент), така и като числов аргумент.

В училище обаче изучаваме главно числови функции, тоест функции, чиито аргументи, както и съответните им стойности на функциите, са числа. Следователно, ако ние говорим заспециално за функциите, препоръчително е тригонометричните функции да се разглеждат като функции на числови аргументи.

Връзка между определения от геометрията и тригонометрията

Ако разгледаме ъгъла на завъртане α в диапазона от 0 до 90 градуса, тогава дефинициите за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане в контекста на тригонометрията са напълно съвместими с определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, които са дадени в курса по геометрия. Нека оправдаем това.

Нека изобразим единичната окръжност в правоъгълната декартова координатна система Oxy. Нека отбележим началната точка A(1, 0) . Нека го завъртим на ъгъл α, вариращ от 0 до 90 градуса, получаваме точка A 1 (x, y). Нека пуснем перпендикуляра A 1 H от точка A 1 към оста Ox.

Лесно е да се види, че в правоъгълен триъгълник ъгълът A 1 OH е равен на ъгъла на въртене α, дължината на крака OH, съседен на този ъгъл, е равна на абсцисата на точка A 1, т.е. | OH |=x, дължината на катета A 1 H срещу ъгъла е равна на ординатата на точка A 1, т.е. |A 1 H|=y, а дължината на хипотенузата OA 1 е равна на единица, тъй като е радиусът на единичната окръжност. Тогава, по дефиниция от геометрията, синусът на остър ъгъл α в правоъгълен триъгълник A 1 OH е равен на отношението на противоположния катет към хипотенузата, тоест sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. И по дефиниция от тригонометрията, синусът на ъгъла на завъртане α е равен на ординатата на точка A 1, тоест sinα=y. Това показва, че определянето на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е еквивалентно на определянето на синуса на ъгъла на завъртане α, когато α е от 0 до 90 градуса.

По подобен начин може да се покаже, че дефинициите на косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл α са в съответствие с дефинициите на косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане α.

Библиография.

1. Геометрия. 7-9 клас: учебник за общо образование институции / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-то изд. М.: Образование, 2010. - 384 с.: ил. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Погорелов А.В.Геометрия: Учебник. за 7-9 клас. общо образование институции / А. В. Погорелов. - 2-ро изд. - М.: Образование, 2001. - 224 с.: ил. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Алгебра и елементарни функции : Урокза ученици от 9 клас гимназия/ Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; Под редакцията на доктора на физико-математическите науки О. Н. Головин - 4-то изд. М.: Образование, 1969.
4. Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. Теляковски С. А. - М.: Образование, 1990. - 272 с.: ил. - ISBN 5-09-002727-7
5. Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров - 14 изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Мордкович А. Г.Алгебра и началото на анализа. 10 клас. В 2 части Част 1: учебник за общообразователни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 с.: ил. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива /[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - I.: Образование, 2010.- 368 с.: ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Ако конструираме единична окръжност с център в началото и зададем произволна стойност за аргумента х 0и брои от оста волъгъл х 0, тогава този ъгъл върху единичната окръжност съответства на определена точка А(Фиг. 1) и неговата проекция върху оста още има точка М. Дължина на секцията ОМравна на абсолютната стойност на абсцисата на точката А. Дадена стойност на аргумента х 0картографирана стойност на функцията г=cos х 0 като абсцисни точки А. Съответно точка IN(х 0 ;при 0) принадлежи на графиката на функцията при=cos х(фиг. 2). Ако точката Аразположен вдясно от оста OU, Текущият синус ще бъде положителен, но ако е наляво, ще бъде отрицателен. Но както и да е, точка Ане може да напусне кръга. Следователно косинусът е в диапазона от –1 до 1:

–1 = cos х = 1.

Допълнително завъртане под произволен ъгъл, кратен на 2 стр, връща точка Ана същото място. Следователно функцията y = cos хстр:

защото ( х+ 2стр) = cos х.

Ако вземем две стойности на аргумента, равни по абсолютна стойност, но противоположни по знак, хИ - х, намерете съответните точки на окръжността A xИ A -x. Както може да се види на фиг. 3 тяхната проекция върху оста ое същата точка М. Ето защо

cos(– х) = cos ( х),

тези. косинус – дори функция, f(–х) = f(х).

Това означава, че можем да изследваме свойствата на функцията г=cos хна сегмента , и след това вземете предвид неговия паритет и периодичност.

При х= 0 точки Алежи на оста о, неговата абциса е 1 и следователно cos 0 = 1. С нарастване хточка Асе движи около кръга нагоре и наляво, неговата проекция, естествено, е само наляво, а при x = стр/2 косинус става равен на 0. Точка Ав този момент се издига до максималната си височина и след това продължава да се движи наляво, но вече надолу. Абсцисата му продължава да намалява, докато достигне най-ниска стойност, равно на –1 at х= стр. По този начин, на интервала функцията при=cos хнамалява монотонно от 1 до –1 (фиг. 4, 5).

От четността на косинуса следва, че на интервала [– стр, 0] функцията нараства монотонно от –1 до 1, като приема нулева стойност при x =–стр/2. Ако вземете няколко периода, ще получите вълнообразна крива (фиг. 6).

Така че функцията г=cos хприема нулеви стойности в точки х= стр/2 + kp, Където к –всяко цяло число. В точки се постигат максимуми, равни на 1 х= 2kp, т.е. на стъпки от 2 стри минимуми, равни на –1 в точки х= стр + 2kp.

Функция y = sin x.

В ъгъла на единичния кръг х 0 съответства на точка А(фиг. 7), и неговата проекция върху оста OUще има точка н.Зстойност на функцията y 0 =грях х 0определена като ордината на точка А. Точка IN(ъгъл х 0 ,при 0) принадлежи на графиката на функцията г= грях х(фиг. 8). Ясно е, че функцията y =грях хпериодичен, периодът му е 2 стр:

грях( х+ 2стр) = грях ( х).

За две стойности на аргумент, хИ - , проекции на съответните им точки A xИ A -xна ос OUразположени симетрично спрямо точката ОТНОСНО. Ето защо

грях (– х) = –грех ( х),

тези. синус е нечетна функция, f(– х) = –f( х) (фиг. 9).

Ако точката Азавъртане спрямо точка ОТНОСНОпод ъгъл стр/2 обратно на часовниковата стрелка (с други думи, ако ъгълът хувеличаване с стр/2), тогава неговата ордината в новата позиция ще бъде равна на абсцисата в старата. Което означава

грях( х+ стр/2) = cos х.

В противен случай синусът е косинус „закъснял“ от стр/2, тъй като всяка стойност на косинус ще бъде „повторена“ в синуса, когато аргументът се увеличи с стр/2. И за да изградите синусова графика, достатъчно е да изместите косинусовата графика с стр/2 вдясно (фиг. 10). Изключително важна собственостсинус се изразява с равенство

Геометричният смисъл на равенството може да се види от фиг. 11. Тук Х -това е половин дъга AB, грях Х -половината от съответния акорд. Очевидно е, че с приближаването на точките АИ INдължината на хордата все повече се доближава до дължината на дъгата. От същата фигура е лесно да се извлече неравенството

| грях х| x|, вярно за всяко х.

Математиците наричат ​​формулата (*) забележителна граница. От него в частност следва, че грех х» хна малки х.

Функции при= tg x, y=ctg х. Другите две тригонометрични функции, тангенс и котангенс, се определят най-лесно като съотношенията на синуса и косинуса, които вече са ни известни:

Подобно на синус и косинус, тангенсът и котангенсът са периодични функции, но техните периоди са равни стр, т.е. те са половината от размера на синуса и косинуса. Причината за това е ясна: ако и синусът, и косинусът променят знаците си, тогава съотношението им няма да се промени.

Тъй като знаменателят на тангенса съдържа косинус, тангенсът не е дефиниран в тези точки, където косинусът е 0 - когато х= стр/2 +kp. Във всички останали точки тя нараства монотонно. Директен х= стр/2 + kpза тангенс са вертикални асимптоти. По точки kpдопирателна и наклонса съответно 0 и 1 (фиг. 12).

Котангенсът не е дефиниран, когато синусът е 0 (когато x = kp). В други точки тя намалява монотонно и прави линии x = kp – неговият вертикални асимптоти. По точки x = p/2 +kpкотангенсът става 0, а наклонът в тези точки е равен на –1 (фиг. 13).

Паритет и периодичност.

Функция се извиква дори ако f(–х) = f(х). Функциите косинус и секанс са четни, а функциите синус, тангенс, котангенс и косеканс са нечетни:

sin (–α) = – sin α	tan (–α) = – tan α
cos (–α) = cos α	ctg (–α) = – ctg α
sec (–α) = sec α	cosec (–α) = – cosec α

Паритетните свойства следват от симетрията на точките Па и Р-а (фиг. 14) спрямо оста х. При такава симетрия ординатата на точката променя знака (( х;при) отива ( х; –у)). Всички функции - периодична, синус, косинус, секанс и косеканс имат период 2 стр, и тангенс и котангенс - стр:

грях (α + 2 kπ) = sin α	cos(α+2 kπ) = cos α
tg(α+ kπ) = tan α	легло (α+ kπ) = cotg α
сек (α + 2 kπ) = сек α	cosec(α+2 kπ) = cosec α

Периодичността на синуса и косинуса следва от факта, че всички точки Па+2 kp, Където к= 0, ±1, ±2,…, съвпадат, а периодичността на тангенса и котангенса се дължи на факта, че точките Па+ kpпоследователно попадат в две диаметрално противоположни точки на окръжността, давайки една и съща точка на допирателната ос.

Основни свойства тригонометрични функциимогат да бъдат представени в таблица:

функция	Домейн	Множество значения	Паритет	Области на монотонност ( к= 0, ± 1, ± 2,...)
грях х	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	странно	увеличава с х O((4 к – 1) стр /2, (4к + 1) стр/2), намалява при х O((4 к + 1) стр /2, (4к + 3) стр/2)
cos х	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	дори	Увеличава се с х O((2 к – 1) стр, 2kp), намалява при х O(2 kp, (2к + 1) стр)
tg х	х № стр/2 + p k	(–Ґ , +Ґ )	странно	увеличава с х O((2 к – 1) стр /2, (2к + 1) стр /2)
ctg х	х № p k	(–Ґ , +Ґ )	странно	намалява при хОТНОСНО ( kp, (к + 1) стр)
сек х	х № стр/2 + p k	(–Ґ , –1] И [+1, +Ґ )	дори	Увеличава се с х O(2 kp, (2к + 1) стр), намалява при х O((2 к– 1) p , 2 kp)
cosec х	х № p k	(–Ґ , –1] И [+1, +Ґ )	странно	увеличава с х O((4 к + 1) стр /2, (4к + 3) стр/2), намалява при х O((4 к – 1) стр /2, (4к + 1) стр /2)

Формули за намаляване.

Според тези формули стойността на тригонометричната функция на аргумента a, където стр/2 a p , може да се редуцира до стойността на аргументната функция a , където 0 a p /2, същата или допълваща я.

Аргумент b	-а	+a	стр-а	стр+a	+a	+a	2стр-а
грях b	защото а	защото а	грях а	– грях а	– защото а	– защото а	– грях а
защото б	грях а	– грях а	– защото а	– защото а	– грях а	грях а	защото а

Следователно в таблиците на тригонометричните функции се дават стойности само за остри ъгли и е достатъчно да се ограничим, например, до синус и допирателна. Таблицата показва само най-често използваните формули за синус и косинус. От тях е лесно да се получат формули за тангенс и котангенс. При кастинг на функция от аргумент на формата kp/2 ± a, където к– цяло число към функция на аргумента a:

1) името на функцията се запазва, ако кдори, и се променя на "допълнителен", ако кстранно;

2) знакът от дясната страна съвпада със знака на редуцируемата функция в точката kp/2 ± a, ако ъгъл a е остър.

Например, когато хвърляте ctg (a – стр/2) гарантираме, че a – стр/2 при 0 a p /2 се намира в четвъртия квадрант, където котангенсът е отрицателен, и съгласно правило 1 променяме името на функцията: ctg (a – стр/2) = –tg a .

Формули за добавяне.

Формули за множество ъгли.

Тези формули се извличат директно от формулите за добавяне:

sin 2a = 2 sin a cos a;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a ;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

Формулата за cos 3a е използвана от Франсоа Виете при решаването на кубичното уравнение. Той беше първият, който намери изрази за cos на и грях н a, които по-късно са получени по по-прост начин от формулата на Моавър.

Ако замените a с /2 във формули с двоен аргумент, те могат да бъдат преобразувани във формули за половин ъгъл:

Универсални формули за заместване.

Използвайки тези формули, израз, включващ различни тригонометрични функции на един и същи аргумент, може да бъде пренаписан като рационален израз на една функция tg (a /2), това може да бъде полезно при решаването на някои уравнения:

Формули за превръщане на сборовете в произведения и произведенията в сборове.

Преди появата на компютрите тези формули се използват за опростяване на изчисленията. Изчисленията бяха направени с помощта на логаритмични таблици, а по-късно - слайд правило, т.к логаритмите са най-подходящи за умножаване на числа, така че всички оригинални изрази бяха приведени във форма, удобна за логаритмиране, т.е. да работи, например:

2 грях а sin b = cos ( а–б) – cos ( a+b);

2cos а cos b=cos( а–б) + cos ( a+b);

2 грях а cos b= грях ( а–б) + грях ( a+b).

Формули за функциите тангенс и котангенс могат да бъдат получени от горното.

Формули за намаляване на степента.

От формулите с множество аргументи се извличат следните формули:

sin 2 a = (1 – cos 2a)/2;	cos 2 a = (1 + cos 2a )/2;
sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4;	cos 3 a = (3 cos a + cos 3а )/4.

Използвайки тези формули, тригонометричните уравнения могат да бъдат сведени до уравнения с по-ниска степен. По същия начин можем да изведем формули за намаляване на повече високи градусисинус и косинус.

Производни и интеграли на тригонометрични функции
(грях х)` = cos х;	(тъй като х)` = – грях х;
(tg х)` = ;	(ctg х)` = – ;
t грях x dx= –cos х + ° С;	t cos x dx= грях х + ° С;
t tg x dx= –ln|cos х| + ° С;	t ctg x dx =В|грях х| + ° С;

Всяка тригонометрична функция във всяка точка от своята дефиниционна област е непрекъсната и безкрайно диференцируема. Освен това производните на тригонометрични функции са тригонометрични функции и при интегриране се получават и тригонометрични функции или техни логаритми. Интегралите на рационални комбинации от тригонометрични функции винаги са елементарни функции.

Представяне на тригонометрични функции под формата на степенни редове и безкрайни произведения.

Всички тригонометрични функции могат да бъдат разширени в степенни редове. В този случай функциите sin х bcos хса представени в редове. сходни за всички стойности х:

Тези серии могат да се използват за получаване на приблизителни изрази за грях хи cos хпри малки стойности х:

в | x| p/2;

при 0 x| стр

(б n – числата на Бернули).

грях функции хи cos хмогат да бъдат представени като безкрайни продукти:

Тригонометрична система 1, cos х, грях х, защото 2 х, грях 2 х,¼,cos nx, грях nx, ¼, формира върху сегмента [– стр, стр] ортогонална система от функции, която дава възможност да се представят функции под формата на тригонометрични серии.

се определят като аналитични продължения на съответните тригонометрични функции на реалния аргумент в комплексната равнина. Да, грях zи cos zможе да се дефинира с помощта на серия за грях хи cos х, ако вместо това хслагам z:

Тези серии се събират по цялата равнина, така че грях zи cos z- цели функции.

Тангенсът и котангенсът се определят по формулите:

tg функции zи ctg z– мероморфни функции. tg стълбове zи сек z– прости (1-ви ред) и разположени на точки z = p/2 + pn,полюси ctg zи cosec z– също прости и разположени на точки z = p n, n = 0, ±1, ±2,...

Всички формули, които са валидни за тригонометрични функции на реален аргумент, са валидни и за комплексен. В частност,

грях (– z) = – грях z,

cos(– z) = cos z,

tg(– z) = –tg z,

ctg(– z) = –ctg z,

тези. четен и нечетен паритет се запазват. Формулите също се запазват

грях( z + 2стр) = грях z, (z + 2стр) = cos z, (z + стр) = tg z, (z + стр) = ctg z,

тези. периодичността също се запазва, а периодите са същите като при функции на реален аргумент.

Тригонометричните функции могат да бъдат изразени чрез експоненциална функция на чисто въображаем аргумент:

Обратно, e изизразено чрез cos zи грях zпо формулата:

e из=cos z + азгрях z

Тези формули се наричат ​​формули на Ойлер. Леонхард Ойлер ги разработва през 1743 г.

Тригонометричните функции също могат да бъдат изразени чрез хиперболични функции:

z = –азш из, cos z = ch iz, z = –i th iz.

където sh, ch и th са хиперболични синус, косинус и тангенс.

Тригонометрични функции на сложен аргумент z = x + iy, Където хИ г– реални числа, могат да бъдат изразени чрез тригонометрични и хиперболични функции на реални аргументи, например:

грях( x + iy) = грях хгл г + аз cos хш г;

защото ( x + iy) = cos хгл г + азгрях хш г.

Синусът и косинусът на сложен аргумент могат да приемат реални стойности, по-големи от 1 като абсолютна стойност. Например:

Ако неизвестен ъгъл влиза в уравнение като аргумент на тригонометрични функции, тогава уравнението се нарича тригонометрично. Такива уравнения са толкова често срещани, че техните методи решенията са много подробни и внимателно разработени. СЪСс помощ различни техникии формулите редуцират тригонометричните уравнения до уравнения от вида f(х)= а, Където f– всяка от най-простите тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс или котангенс. След това изразете аргумента хтази функция чрез известната й стойност А.

Тъй като тригонометричните функции са периодични, същото Аот диапазона от стойности има безкрайно много стойности на аргумента и решенията на уравнението не могат да бъдат записани като една единствена функция на А. Следователно в областта на дефиниране на всяка от основните тригонометрични функции е избрана секция, в която тя приема всичките си стойности, всяка само веднъж, и обратната на нея функция се намира в тази секция. Такива функции се обозначават чрез добавяне на префикса дъга (дъга) към името на оригиналната функция и се наричат ​​обратни тригонометрични функции или просто дъгови функции.

Обратни тригонометрични функции.

За грях х, cos х, tg хи ctg хможе да се определи обратни функции. Те се означават съответно с arcsin х(прочетете "арксинус" х“), аркос х, арктан хи arcctg х. По дефиниция, arcsin хима такъв номер y,Какво

грях при = х.

По същия начин за други обратни тригонометрични функции. Но това определение страда от известна неточност.

Ако отразявате грях х, cos х, tg хи ctg хспрямо ъглополовящата на първия и третия квадрант на координатната равнина, тогава функциите, поради тяхната периодичност, стават двусмислени: безкраен брой ъгли съответстват на един и същ синус (косинус, тангенс, котангенс).

За да се отървете от двусмислието, участък от кривата с ширина от стр, в този случай е необходимо да се поддържа едно-към-едно съответствие между аргумента и стойността на функцията. Избират се области в близост до началото на координатите. За синус в Като „интервал едно към едно“ приемаме сегмента [– стр/2, стр/2], на който синусът нараства монотонно от –1 до 1, за косинуса – отсечката, за тангенса и котангенса съответно интервалите (– стр/2, стр/2) и (0, стр). Всяка крива на интервала се отразява спрямо ъглополовящата и сега могат да се определят обратни тригонометрични функции. Например нека бъде дадена стойността на аргумента x 0,така че 0 Ј х 0 Ј 1. След това стойността на функцията г 0 = arcsin х 0 ще има само едно значение при 0 , така че - стр/2 Ј при 0 Ј стр/2 и х 0 = грях г 0 .

Следователно арксинус е функция на арксинус А, определени на интервала [–1, 1] и равни за всеки Ана такава стойност, – стр/2 a p /2 че sin a = А.Много удобно е да го представите с единична окръжност (фиг. 15). Когато | a| 1 на окръжност има две точки с ордината а, симетричен спрямо оста u.Един от тях съответства на ъгъла а= arcsin А, а другият е ъгълът p - a. СЪСотчитане на периодичността на синуса, решаване на уравнението sin х= Асе записва по следния начин:

x =(–1)н arcsin а + 2p n,

Където н= 0, ±1, ±2,...

Други прости тригонометрични уравнения могат да бъдат решени по същия начин:

cos х = а, –1 =а= 1;

x =±аркос а + 2p n,

Където П= 0, ±1, ±2,... (фиг. 16);

tg х = а;

х= арктан а + стрн,

Където n = 0, ±1, ±2,... (фиг. 17);

ctg х= А;

х= arcctg а + стрн,

Където n = 0, ±1, ±2,... (фиг. 18).

Основни свойства на обратните тригонометрични функции:

arcsin х(фиг. 19): област на дефиниране – сегмент [–1, 1]; диапазон – [– стр/2, стр/2], монотонно нарастваща функция;

arccos х(Фиг. 20): област на дефиниране – сегмент [–1, 1]; диапазон – ; монотонно намаляваща функция;

arctg х(фиг. 21): област на дефиниция – всички реални числа; диапазон от стойности – интервал (– стр/2, стр/2); монотонно нарастваща функция; прав при= –стр/2 и y = p /2 –хоризонтални асимптоти;

arcctg х(фиг. 22): област на дефиниция – всички реални числа; диапазон от стойности – интервал (0, стр); монотонно намаляваща функция; прав г= 0 и y = p– хоризонтални асимптоти.

,

За всеки z = x + iy, Където хИ гса реални числа, важат неравенствата

½| e\e y–e-y| ≤|грях z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

от които при г® Ґ следват асимптотични формули (равномерно по отношение на х)

| грях z| » 1/2 д |y| ,

|cos z| » 1/2 д |y| .

Тригонометричните функции се появяват за първи път във връзка с изследвания в областта на астрономията и геометрията. Съотношенията на сегментите в триъгълник и кръг, които по същество са тригонометрични функции, се срещат още през 3-ти век. пр.н.е д. в трудовете на математиците от Древна Гърция – Евклид, Архимед, Аполоний от Перга и други, но тези отношения не са били независим обект на изследване, така че те не са изучавали тригонометричните функции като такива. Първоначално те са били разглеждани като сегменти и в тази форма са били използвани от Аристарх (края на 4 - 2-ра половина на 3-ти век пр.н.е.), Хипарх (2-ри век пр.н.е.), Менелай (1-ви век сл.н.е.) и Птолемей (2-ри век сл.н.е.), когато решаване на сферични триъгълници. Птолемей съставя първата таблица на акордите за остри ъгли на всеки 30" с точност до 10 –6. Това е първата таблица на синусите. Като съотношение функцията sin a се среща още в Арябхата (края на 5 век). Функциите tg a и ctg a се срещат при ал-Батани (2-ра половина на 9-ти - началото на 10-ти век) и Абул-Вефа (10-ти век), който също използва sec a и cosec a... Aryabhata вече знаеше формулата ( sin 2 a + cos 2 a) = 1, както и формули за sin и cos на половин ъгъл, с помощта на които построих таблици на синусите за ъгли през 3°45"; базиран известни стойноститригонометрични функции за най-простите аргументи. Бхаскара (12-ти век) дава метод за конструиране на таблици по отношение на 1, използвайки формули за добавяне. Формули за преобразуване на сумата и разликата на тригонометричните функции на различни аргументи в произведение са получени от Regiomontanus (15 век) и J. Napier във връзка с изобретението на последния за логаритми (1614). Regiomontan даде таблица със синусови стойности в 1". Разширяването на тригонометричните функции в степенни серии е получено от I. Newton (1669). В модерна форматеорията на тригонометричните функции е въведена от Л. Ойлер (18 век). Той притежава тяхната дефиниция за реални и сложни аргументи, приетата в момента символика, установяването на връзки с експоненциална функцияи ортогоналност на системата от синуси и косинуси.

Най-простото решение тригонометрични уравнения.

Решаването на тригонометрични уравнения с всякакво ниво на сложност в крайна сметка се свежда до решаването на най-простите тригонометрични уравнения. И в това тригонометричният кръг отново се оказва най-добрият помощник.

Нека си припомним дефинициите на косинус и синус.

Косинусът на ъгъл е абсцисата (т.е. координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане през даден ъгъл.

Синусът на ъгъл е ординатата (т.е. координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане през даден ъгъл.

Положителната посока на движение върху тригонометричния кръг е обратно на часовниковата стрелка. Завъртане от 0 градуса (или 0 радиана) съответства на точка с координати (1;0)

Използваме тези определения за решаване на прости тригонометрични уравнения.

1. Решете уравнението

Това уравнение се удовлетворява от всички стойности на ъгъла на завъртане, които съответстват на точки от окръжността, чиято ордината е равна на .

Нека отбележим точка с ордината върху ординатната ос:

Начертайте хоризонтална линия, успоредна на оста x, докато се пресече с кръга. Получаваме две точки, лежащи на окръжността и имащи ордината. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани:

Ако, излизайки от точката, съответстваща на ъгъла на въртене на радиан, обиколим цял кръг, тогава ще стигнем до точка, съответстваща на ъгъла на въртене на радиан и имаща същата ордината. Тоест, този ъгъл на завъртане също удовлетворява нашето уравнение. Можем да направим толкова „неактивни“ обороти, колкото желаем, връщайки се към същата точка и всички тези ъглови стойности ще задоволят нашето уравнение. Броят на оборотите на празен ход ще бъде обозначен с буквата (или). Тъй като можем да направим тези революции както в положителна, така и в отрицателна посока, (или) можем да приемем всякакви цели числа.

Тоест, първата серия от решения на оригиналното уравнение има формата:

, , - набор от цели числа (1)

По същия начин втората серия от решения има формата:

, Където , . (2)

Както може би се досещате, тази поредица от решения се основава на точката от окръжността, съответстваща на ъгъла на въртене от .

Тези две серии от решения могат да бъдат комбинирани в един запис:

Ако вземем (т.е. дори) в този запис, тогава ще получим първата поредица от решения.

Ако вземем (т.е. нечетно) в този запис, тогава получаваме втората серия от решения.

2. Сега нека решим уравнението

Тъй като това е абсцисата на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на ъгъл, отбелязваме точката с абсцисата на оста:

Начертайте вертикална линия, успоредна на оста, докато се пресече с кръга. Ще получим две точки, лежащи на окръжността и имащи абциса. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани. Спомнете си, че при движение по посока на часовниковата стрелка получаваме отрицателен ъгъл на въртене:

Нека запишем две серии от решения:

,

,

(Стигаме до желаната точка, като тръгнем от основния пълен кръг, т.е.

Нека комбинираме тези две серии в един запис:

3. Решете уравнението

Допирателната минава през точката с координати (1,0) на единичната окръжност, успоредна на оста OY

Нека отбележим точка върху него с ордината равна на 1 (търсим тангенса на кои ъгли е равна на 1):

Нека свържем тази точка с началото на координатите с права линия и да отбележим пресечните точки на правата с единичната окръжност. Пресечните точки на правата и окръжността съответстват на ъглите на завъртане на и :

Тъй като точките, съответстващи на ъглите на въртене, които удовлетворяват нашето уравнение, лежат на разстояние радиани една от друга, можем да напишем решението по следния начин:

4. Решете уравнението

Правата на котангенсите минава през точката с координати на единичната окръжност, успоредна на оста.

Нека отбележим точка с абсцисата -1 на правата на котангенсите:

Нека свържем тази точка с началото на правата линия и я продължим, докато се пресече с окръжността. Тази права линия ще пресича окръжността в точки, съответстващи на ъглите на въртене в и радиани:

Тъй като тези точки са разделени една от друга на разстояние, равно на , тогава общо решениеМожем да напишем това уравнение така:

В дадените примери, илюстриращи решението на най-простите тригонометрични уравнения, са използвани таблични стойности на тригонометрични функции.

Ако обаче дясната страна на уравнението съдържа нетаблична стойност, тогава заместваме стойността в общото решение на уравнението:

СПЕЦИАЛНИ РЕШЕНИЯ:

Нека отбележим точките на окръжността, чиято ордината е 0:

Нека отбележим една точка на окръжността, чиято ордината е 1:

Нека отбележим една точка на окръжността, чиято ордината е равна на -1:

Тъй като е обичайно да се посочват стойности, най-близки до нула, ние записваме решението, както следва:

Нека отбележим точките на окръжността, чиято абциса е равна на 0:

5.
Нека отбележим една точка на окръжността, чиято абциса е равна на 1:

Нека отбележим една точка на окръжността, чиято абциса е равна на -1:

И малко по-сложни примери:

1.

Синусът е равен на едно, ако аргументът е равен на

Аргументът на нашия синус е равен, така че получаваме:

Нека разделим двете страни на равенството на 3:

Отговор:

2.

Косинусът е нула, ако аргументът косинус е равен

Аргументът на нашия косинус е равен на , така че получаваме:

Нека изразим , за да направим това, първо се преместваме надясно с противоположния знак:

Нека опростим дясната страна:

Разделете двете страни на -2:

Обърнете внимание, че знакът пред члена не се променя, тъй като k може да приеме произволна цяло число.

Отговор:

И накрая, гледайте видео урока „Избиране на корени в тригонометрично уравнение с помощта на тригонометрична окръжност“

Това приключва нашия разговор за решаването на прости тригонометрични уравнения. Следващият път ще говорим как да решим.

Една от областите на математиката, с които учениците се борят най-много, е тригонометрията. Не е изненадващо: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способността да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси с помощта на формули, да опростявате изрази и да можете да използвате числото pi в изчисления. Освен това трябва да можете да използвате тригонометрията, когато доказвате теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.

Произход на тригонометрията

Запознаването с тази наука трябва да започне с дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.

Исторически основният обект на изследване в този раздел математическа наукабяха правоъгълни триъгълници. Наличието на ъгъл от 90 градуса дава възможност за извършване различни операции, което ви позволява да определите стойностите на всички параметри на въпросната фигура, като използвате две страни и един ъгъл или два ъгъла и една страна. В миналото хората забелязали този модел и започнали активно да го използват в строителството на сгради, навигацията, астрономията и дори в изкуството.

Първи етап

Първоначално хората говореха за връзката между ъгли и страни изключително чрез примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на употреба в Ежедневиетотози клон на математиката.

Изучаването на тригонометрия в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което учениците използват придобитите знания по физика и решаване на абстрактни тригонометрични уравнения, които започват в гимназията.

Сферична тригонометрия

По-късно, когато науката достигна следващото ниво на развитие, формулите със синус, косинус, тангенс и котангенс започнаха да се използват в сферичната геометрия, където важат различни правила, а сборът от ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този раздел не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му поне защото земната повърхност, а повърхността на всяка друга планета е изпъкнала, което означава, че всяка повърхностна маркировка ще бъде „с форма на дъга“ в триизмерното пространство.

Вземете глобуса и конеца. Прикрепете конеца към произволни две точки на земното кълбо, така че да е опънат. Моля, обърнете внимание - тя е придобила формата на дъга. Сферичната геометрия се занимава с такива форми, които се използват в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области.

Правоъгълен триъгълник

След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да използвате.

Първата стъпка е да разберете понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната срещу ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема нейната числова стойностравен на корена от сбора на квадратите на другите две страни.

Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.

Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети. Освен това трябва да помним, че сумата от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е равна на 180 градуса.

Определение

И накрая, с твърдо разбиране на геометричната основа, човек може да се обърне към дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл.

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния катет (т.е. страната, противоположна на желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъл е отношението на съседната страна към хипотенузата.

Не забравяйте, че нито синус, нито косинус могат да бъдат по-големи от едно! Защо? Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата.Без значение колко дълъг е катетът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното отношение винаги ще бъде по-малко от едно. Така, ако в отговора си на задача получите синус или косинус със стойност, по-голяма от 1, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор е очевидно неправилен.

И накрая, тангенса на ъгъл е съотношението на срещуположната страна към съседната страна. Разделянето на синуса на косинуса ще даде същия резултат. Вижте: според формулата разделяме дължината на страната на хипотенузата, след това разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. Така получаваме същата връзка като в дефиницията на допирателната.

Котангенсът, съответно, е съотношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим едно на тангенса.

И така, разгледахме дефинициите за това какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да преминем към формулите.

Най-простите формули

В тригонометрията не можете без формули - как да намерите синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? Но точно това се изисква при решаването на проблеми.

Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на ъгъл е равна на едно. Тази формула е пряко следствие от Питагоровата теорема, но спестява време, ако трябва да знаете размера на ъгъла, а не на страната.

Много ученици не могат да запомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищни задачи: сумата от едно и квадрата на тангенса на ъгъл е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: това е същото твърдение като в първата формула, само че двете страни на тъждеството бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометрична формуланапълно неузнаваем. Запомнете: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правилата за трансформация и няколко основни формули, можете по всяко време независимо да извлечете необходимото повече сложни формуливърху лист хартия.

Формули за двойни ъгли и събиране на аргументи

Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сбора и разликата на ъглите. Те са представени на фигурата по-долу. Моля, обърнете внимание, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория се добавя произведението по двойки на синус и косинус.

Има и формули, свързани с аргументи с двоен ъгъл. Те са напълно извлечени от предишните - като тренировка се опитайте да ги получите сами, като вземете алфа ъгъла равен на ъгълабета.

И накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да бъдат пренаредени, за да се намали степента на синус, косинус, тангенс алфа.

Теореми

Двете основни теореми в основната тригонометрия са синусовата теорема и косинусовата теорема. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса и следователно площта на фигурата и размера на всяка страна и т.н.

Синусовата теорема гласи, че разделянето на дължината на всяка страна на триъгълник на противоположния ъгъл води до същото число. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки на даден триъгълник.

Косинусовата теорема обобщава Питагоровата теорема, проектирайки я върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сумата на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на съседния ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така Питагоровата теорема се оказва частен случай на косинусовата теорема.

Грешки от невнимание

Дори да знаете какво са синус, косинус и тангенс, лесно е да направите грешка поради разсеяност или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека да разгледаме най-популярните.

Първо, не трябва да преобразувате дроби в десетични, докато не получите крайния резултат - можете да оставите отговора като обикновена дроб, освен ако не е посочено друго в условията. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от проблема могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще си загубите времето в ненужни математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или корен от две, защото те се намират в проблеми на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на „грозните“ числа.

Освен това имайте предвид, че косинусовата теорема се прилага за всеки триъгълник, но не и за Питагоровата теорема! Ако по погрешка забравите да извадите два пъти произведението на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълна липса на разбиране на темата. Това е по-лошо от грешка по невнимание.

Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синус от 30 градуса е равен на косинус от 60 и обратно. Лесно е да ги объркате, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.

Приложение

Много ученици не бързат да започнат да изучават тригонометрия, защото не разбират нейния практически смисъл. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, с които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит или да изпратите изследователска сонда до друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира автомобил, да се изчисли натоварването върху повърхност или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията под една или друга форма се използва навсякъде, от музиката до медицината.

Накрая

Така че вие ​​сте синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате в изчисления и да решавате успешно училищни задачи.

Целият смисъл на тригонометрията се свежда до факта, че с помощта на известните параметри на триъгълник трябва да изчислите неизвестните. Има общо шест параметъра: дължината на трите страни и размера на трите ъгъла. Единствената разлика в задачите е, че се дават различни входни данни.

Вече знаете как да намерите синус, косинус, тангенс въз основа на известните дължини на катетите или хипотенузата. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основната цел на тригонометричен проблем е да се намерят корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук ще ви помогне обикновената училищна математика.