Ще продължим да усъвършенстваме нашата технология елементарни трансформацииНа хомогенна система линейни уравнения
.
Въз основа на първите параграфи материалът може да изглежда скучен и посредствен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното развитие на техническите техники, ще има много нова информация, затова се опитайте да не пренебрегвате примерите в тази статия.
Какво е хомогенна система от линейни уравнения?
Отговорът се подсказва сам. Система от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член всекиуравнението на системата е нула. Например:
Това е абсолютно ясно хомогенната система винаги е последователна, тоест винаги има решение. И, на първо място, това, което хваща окото е т.нар тривиаленрешение 
. Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава без показност. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ...Защо да се лутаме, нека да разберем дали тази система има други решения:
Пример 1
Решение: за решаване на хомогенна система е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го приведете в стъпаловидна форма. Моля, обърнете внимание, че тук не е необходимо да записвате вертикалната лента и нулевата колона с безплатни термини - в крайна сметка, без значение какво правите с нули, те ще останат нули: 
(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –3.
(2) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.
Разделянето на третия ред на 3 няма много смисъл.
В резултат на елементарни преобразувания се получава еквивалентна хомогенна система 
и, използвайки обратния метод на Гаус, е лесно да се провери, че решението е уникално.
Отговор: 
Нека формулираме един очевиден критерий: хомогенна система от линейни уравнения има просто тривиално решение, Ако ранг на системната матрица(в случая 3) е равен на броя на променливите (в случая – 3 броя).
Нека загреем и настроим нашето радио на вълната от елементарни трансформации:
Пример 2
Решете хомогенна система от линейни уравнения 
За да консолидираме окончателно алгоритъма, нека анализираме последната задача:
Пример 7
Решете хомогенна система, запишете отговора във векторна форма. 
Решение: нека напишем матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма: 
(1) Променен е знакът на първия ред. Още веднъж обръщам внимание на техника, която е била срещана много пъти, което ви позволява значително да опростите следващото действие.
(1) Първият ред беше добавен към 2-ри и 3-ти ред. Първият ред, умножен по 2, беше добавен към 4-тия ред.
(3) Последните три реда са пропорционални, два от тях са премахнати.
В резултат на това се получава стандартна стъпкова матрица и решението продължава по набраздената писта:
– основни променливи;
– свободни променливи.
Нека изразим основните променливи чрез свободни променливи. От второто уравнение:
– заместване в 1-вото уравнение:
Така че общото решение е:
Тъй като в разглеждания пример има три свободни променливи, фундаменталната система съдържа три вектора.
Нека заместим тройка от стойности 
в общото решение и да получим вектор, чиито координати удовлетворяват всяко уравнение на хомогенната система. И отново повтарям, че е силно препоръчително да проверявате всеки получен вектор - няма да отнеме много време, но напълно ще ви предпази от грешки.
За тройка ценности 
намерете вектора
И накрая за тримата 
получаваме третия вектор:
Отговор: , Където
Тези, които желаят да избегнат дробни стойности, могат да обмислят тройки 
и да получите отговор в еквивалентна форма:
Говорейки за дроби. Нека разгледаме матрицата, получена в задачата 
и нека се запитаме: възможно ли е да се опрости по-нататъшното решение? В крайна сметка тук първо изразихме основната променлива чрез дроби, след това чрез дроби основната променлива и, трябва да кажа, този процес не беше най-простият и не най-приятният.
Второ решение:
Идеята е да се опита изберете други базисни променливи. Нека погледнем матрицата и забележим две единици в третата колона. Така че защо да няма нула в горната част? Нека извършим още една елементарна трансформация:
Решениенамерете с помощта на калкулатор. Алгоритъмът за решение е същият като при системите с линейно не хомогенни уравнения.
Работейки само с редове, намираме ранга на матрицата, основен минор; Декларираме зависими и свободни неизвестни и намираме общо решение.
Първият и вторият ред са пропорционални, нека зачеркнем един от тях:
.
Зависими променливи – x 2, x 3, x 5, свободни – x 1, x 4. От първото уравнение 10x 5 = 0 намираме x 5 = 0, тогава
; .
Общото решение е:
Намираме фундаментална система от решения, която се състои от (n-r) решения. В нашия случай n=5, r=3, следователно фундаменталната система от решения се състои от две решения и тези решения трябва да бъдат линейно независими. За да бъдат редовете линейно независими, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата, съставена от елементите на редовете, да бъде равен на броя на редовете, тоест 2. Достатъчно е да дадем свободните неизвестни x 1 и x 4 стойности от редовете на детерминанта от втори ред, различни от нула, и изчислете x 2 , x 3 , x 5 . Най-простият ненулев детерминант е .
Така че първото решение е:
, второ – 
.
Тези две решения представляват основна система за вземане на решения. Обърнете внимание, че фундаменталната система не е уникална (можете да създадете толкова ненулеви детерминанти, колкото искате).
Пример 2. Намерете общото решение и фундаменталната система от решения на системата 
Решение.
,
следва, че рангът на матрицата е 3 и равно на числотонеизвестен. Това означава, че системата няма свободни неизвестни и следователно има уникално решение - тривиално.
Упражнение . Изследвайте и решавайте система от линейни уравнения.
Пример 4
Упражнение . Намерете общите и частните решения на всяка система.
Решение.Нека напишем основната матрица на системата:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 |
Нека редуцираме матрицата до триъгълна форма. Ще работим само с редове, тъй като умножаването на матричен ред с число, различно от нула и добавянето му към друг ред за системата означава умножаване на уравнението по същото число и добавянето му с друго уравнение, което не променя решението на система.
Умножете втория ред по (-5). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Нека умножим втория ред по (6). Умножете 3-тия ред по (-1). Нека добавим третия ред към втория:
Нека намерим ранга на матрицата.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 |
Избраният минор има най-висок ред (от възможните минори) и е различен от нула (равен е на произведението на елементите на обратния диагонал), следователно rang(A) = 2.
Този минор е основен. Той включва коефициенти за неизвестните x 1 , x 2 , което означава, че неизвестните x 1 , x 2 са зависими (основни), а x 3 , x 4 , x 5 са свободни.
Нека трансформираме матрицата, оставяйки само базисния минор отляво.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| х 1 | х 2 | х 4 | х 3 | х 5 |
Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Използвайки метода за елиминиране на неизвестни, намираме нетривиално решение:
Получихме отношения, изразяващи зависимите променливи x 1 , x 2 чрез свободните x 3 , x 4 , x 5 , т.е. намерихме общо решение:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Намираме фундаментална система от решения, която се състои от (n-r) решения.
В нашия случай n=5, r=2, следователно фундаменталната система от решения се състои от 3 решения и тези решения трябва да бъдат линейно независими.
За да бъдат редовете линейно независими, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата, съставена от елементи на ред, да бъде равен на броя на редовете, тоест 3.
Достатъчно е да зададете свободните неизвестни x 3 , x 4 , x 5 стойности от редовете на детерминанта от 3-ти ред, различни от нула, и да изчислите x 1 , x 2 .
Най-простият ненулев детерминант е единичната матрица.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Задача . Намерете фундаментален набор от решения на хомогенна система от линейни уравнения.
Дадени матрици
Намерете: 1) aA - bB,
Решение: 1) Намираме го последователно, като използваме правилата за умножаване на матрица по число и събиране на матрици..
2. Намерете A*B if
Решение: Използваме правилото за умножение на матрици
Отговор: 
3. За дадена матрица намерете второстепенното M 31 и изчислете детерминантата.
Решение: Малък M 31 е детерминантата на матрицата, която се получава от A
след задраскване на ред 3 и колона 1. Намираме
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Нека трансформираме матрица A, без да променяме детерминантата й (нека направим нули в ред 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Сега изчисляваме детерминантата на матрица A чрез разширяване по ред 1
Отговор: M 31 = 0, detA = 0
Решете с помощта на метода на Гаус и метода на Крамер.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Решение: Да проверим
Можете да използвате метода на Cramer
Решение на системата: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Нека приложим метода на Гаус.
Нека редуцираме разширената матрица на системата до триъгълна форма.
За по-лесно изчисление, нека разменим редовете:
Умножете втория ред по (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) и добавете към 3-то:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Умножете първия ред по (k = -2 / 2 = -1 ) и добавете към 2-ро:
Сега оригиналната система може да бъде написана като:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
От 2-ри ред изразяваме
От 1-ви ред изразяваме
Решението е същото.
Отговор: (2; -5; 3)
Намерете общото решение на системата и FSR
13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Решение: Нека приложим метода на Гаус. Нека редуцираме разширената матрица на системата до триъгълна форма.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 |
Умножете първия ред по (-11). Умножете втория ред по (13). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
| -2 | -2 | -3 | ||
Умножете втория ред по (-5). Нека умножим 3-тия ред по (11). Нека добавим третия ред към втория:
Умножете 3-тия ред по (-7). Нека умножим 4-тия ред по (5). Нека добавим 4-тия ред към 3-тия:
Второто уравнение е линейна комбинация от останалите
Нека намерим ранга на матрицата.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 |
Избраният минор има най-висок ред (от възможните минори) и е различен от нула (равен е на произведението на елементите на обратния диагонал), следователно rang(A) = 2.
Този минор е основен. Той включва коефициенти за неизвестните x 1 , x 2 , което означава, че неизвестните x 1 , x 2 са зависими (основни), а x 3 , x 4 , x 5 са свободни.
Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Използвайки метода за елиминиране на неизвестни, намираме общо решение:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1/3 x 3
Намираме фундаментална система от решения (FSD), която се състои от (n-r) решения. В нашия случай n=5, r=2, следователно фундаменталната система от решения се състои от 3 решения и тези решения трябва да бъдат линейно независими.
За да бъдат редовете линейно независими, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата, съставена от елементи на ред, да бъде равен на броя на редовете, тоест 3.
Достатъчно е да зададете свободните неизвестни x 3 , x 4 , x 5 стойности от редовете на детерминанта от 3-ти ред, различни от нула, и да изчислите x 1 , x 2 .
Най-простият ненулев детерминант е единичната матрица.
Но е по-удобно да се вземе тук
Ние намираме с помощта на общото решение:
а) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ
I решение на FSR: (-2; -4; 6; 0;0)
б) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ
II FSR решение: (0; -6; 0; 6;0)
в) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
III решение на FSR: (0; - 9; 0; 0;6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)
6. Дадено е: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Намерете: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2
Решение: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Отговор: а) -3i б) 12+26i в) -1,4 – 0,3i
Линейното уравнение се нарича хомогенен, ако неговият свободен член е равен на нула, и нееднороден в противен случай. Система, състояща се от еднородни уравнения, се нарича хомогенна и има обща форма:
Очевидно е, че всяка хомогенна система е непротиворечива и има нулево (тривиално) решение. Следователно, когато се прилага към хомогенни системи от линейни уравнения, често трябва да се търси отговор на въпроса за съществуването на ненулеви решения. Отговорът на този въпрос може да се формулира като следната теорема.
Теорема . Една хомогенна система от линейни уравнения има ненулево решение тогава и само ако нейният ранг по-малко числонеизвестен .
Доказателство: Нека приемем, че система с равен ранг има ненулево решение. Очевидно не надвишава. В случай, че системата има уникално решение. Тъй като система от хомогенни линейни уравнения винаги има нулево решение, тогава нулевото решение ще бъде това уникално решение. Следователно ненулеви решения са възможни само за .
Следствие 1 : Хомогенна система от уравнения, в която броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните, винаги има ненулево решение.
Доказателство: Ако система от уравнения има , то рангът на системата не надвишава броя на уравненията, т.е. . По този начин условието е изпълнено и следователно системата има ненулево решение.
Следствие 2 : Хомогенна система от уравнения с неизвестни има ненулево решение тогава и само ако нейният детерминант е нула.
Доказателство: Да приемем, че система от линейни еднородни уравнения, чиято матрица с детерминанта , има ненулево решение. Тогава, според доказаната теорема, и това означава, че матрицата е сингулярна, т.е. .
Теорема на Кронекер-Капели: SLU е последователен тогава и само ако рангът на системната матрица е равен на ранга на разширената матрица на тази система. Една система ur се нарича последователна, ако има поне едно решение.Хомогенна система от линейни алгебрични уравнения.
Система от m линейни уравнения с n променливи се нарича система от линейни хомогенни уравнения, ако всички свободни членове са равни на 0. Система от линейни хомогенни уравнения винаги е последователна, тъй като тя винаги е имала поне, нулево решение. Система от линейни хомогенни уравнения има ненулево решение тогава и само ако рангът на нейната матрица от коефициенти за променливи е по-малък от броя на променливите, т.е. за ранг A (n. Всяка линейна комбинация
Lin системни решения. хомогенен. ur-ii също е решение на тази система.
Система от линейни независими решения e1, e2,...,еk се нарича фундаментална, ако всяко решение на системата е линейна комбинация от решения. Теорема: ако рангът r на матрицата от коефициенти за променливите на система от линейни хомогенни уравнения е по-малък от броя на променливите n, тогава всяка фундаментална система от решения на системата се състои от n-r разтвори. Следователно общото решение на линейната система. един ден ur-th има формата: c1e1+c2e2+...+skek, където e1, e2,..., ek е всяка фундаментална система от решения, c1, c2,...,ck са произволни числа и k=n-r. Общото решение на система от m линейни уравнения с n променливи е равно на сумата
общо решениесъответната система е хомогенна. линейни уравнения и произволно частно решение на тази система.
7. Линейни пространства. Подпространства. Основа, измерение. Линейна обвивка. Линейно пространство се нарича n-мерен, ако в нея има система от линейно независими вектори, а всяка система от по-голям брой вектори е линейно зависима. Номерът се нарича измерение (брой измерения)линейно пространство и се означава с . С други думи, размерността на едно пространство е максималния брой линейно независими вектори на това пространство. Ако такова число съществува, тогава пространството се нарича крайномерно. Ако за някой естествено число n в пространството има система, състояща се от линейно независими вектори, тогава такова пространство се нарича безкрайномерно (написано: ). В това, което следва, освен ако не е посочено друго, ще се разглеждат крайномерни пространства.
Основата на n-мерното линейно пространство е подредена колекция от линейно независими вектори ( базисни вектори).
Теорема 8.1 за разлагането на вектор по базис. Ако е основата на n-мерно линейно пространство, тогава всеки вектор може да бъде представен като линейна комбинация от базисни вектори:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
и освен това по единствения начин, т.е. коефициентите се определят еднозначно.С други думи, всеки вектор на пространството може да бъде разширен в основа и освен това по уникален начин.
Всъщност измерението на пространството е . Системата от вектори е линейно независима (това е базис). След като добавим всеки вектор към основата, получаваме линейно зависима система (тъй като тази система се състои от вектори от n-мерно пространство). Използвайки свойството на 7 линейно зависими и линейно независими вектора, получаваме заключението на теоремата.
Хомогенна система от линейни уравнения над поле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаменталната система от решения на системата от уравнения (1) се нарича непразно линейно независима системанеговите решения, чийто линеен обхват съвпада с множеството от всички решения на система (1).
Имайте предвид, че хомогенна система от линейни уравнения, която има само нулево решение, няма фундаментална система от решения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Всякакви две фундаментални системи от решения на хомогенна система от линейни уравнения се състоят от еднакъв брой решения.
Доказателство. Всъщност, всеки две основни системи от решения на хомогенната система от уравнения (1) са еквивалентни и линейно независими. Следователно, съгласно предложение 1.12, техните рангове са равни. Следователно, броят на решенията, включени в една фундаментална система, е равен на броя на решенията, включени във всяка друга фундаментална система от решения.
Ако основната матрица A на хомогенната система от уравнения (1) е нула, тогава всеки вектор от е решение на система (1); в този случай всеки набор от линейно независими вектори от е фундаментална система от решения. Ако колонният ранг на матрица A е равен на , то системата (1) има само едно решение – нула; следователно в този случай системата от уравнения (1) няма фундаментална система от решения.
ТЕОРЕМА 3.12. Ако рангът на основната матрица на хомогенна система от линейни уравнения (1) е по-малък от броя на променливите, тогава системата (1) има фундаментална система от решения, състояща се от решения.
Доказателство. Ако рангът на главната матрица A на хомогенната система (1) е равен на нула или , тогава беше показано по-горе, че теоремата е вярна. Следователно по-долу се приема, че Ако приемем , ще приемем, че първите колони на матрица A са линейно независими. В този случай матрица A е редово еквивалентна на намалената стъпкова матрица, а системата (1) е еквивалентна на следната редуцирана стъпкова системауравнения:
Лесно е да се провери, че всяка система от стойности на свободни променливи на система (2) съответства на едно и само едно решение на система (2) и следователно на система (1). По-специално, само нулевото решение на система (2) и система (1) съответства на система от нулеви стойности.
В система (2) ще присвоим един от свободните стойност на променливите, равно на 1, а останалите променливи имат нулеви стойности. В резултат на това получаваме решения на системата от уравнения (2), които записваме под формата на редове от следната матрица C:
Системата от редове на тази матрица е линейно независима. Наистина, за всякакви скалари от равенството
следва равенството
и следователно равенство
Нека докажем, че линейният обхват на системата от редове на матрицата C съвпада с множеството от всички решения на система (1).
Произволно решение на система (1). След това векторът
също е решение на система (1) и
