синусите остър ъгълα на правоъгълен триъгълник е отношението противоположносткатет към хипотенуза.
Означава се по следния начин: sin α.
КосинусОстрият ъгъл α на правоъгълен триъгълник е отношението на прилежащия катет към хипотенузата.
Означава се както следва: cos α.
Допирателнаостър ъгъл α е отношението на срещуположната страна към съседната страна.
Означава се както следва: tg α.
Котангенсостър ъгъл α е отношението на съседната страна към противоположната страна.
Означава се както следва: ctg α.
Синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на ъгъла зависят само от размера на ъгъла.
правила:
Основни тригонометрични идентичности в правоъгълен триъгълник:
(α – остър ъгъл срещу крака b и в съседство с крака а . отстрани с – хипотенуза. β – втори остър ъгъл).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
а | 1 | |
b | 1 | |
а | 1 1 | |
грях α |
С нарастването на острия ъгълsin α иtan α увеличение, иcos α намалява.
За всеки остър ъгъл α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Пример-обяснение:
Пуснете правоъгълен триъгълник ABC
AB = 6,
BC = 3,
ъгъл A = 30º.
Нека намерим синуса на ъгъл A и косинуса на ъгъл B.
Решение .
1) Първо намираме стойността на ъгъл B. Тук всичко е просто: тъй като в правоъгълен триъгълник сумата от острите ъгли е 90º, тогава ъгъл B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Нека изчислим sin A. Знаем, че синусът е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата. За ъгъл A противоположната страна е страната BC. Така:
пр. н. е. 3 1
грях А = -- = - = -
AB 6 2
3) Сега нека изчислим cos B. Знаем, че косинусът е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата. За ъгъл B, съседният катет е същата страна BC. Това означава, че отново трябва да разделим BC на AB - тоест да извършим същите действия, както при изчисляването на синуса на ъгъл A:
пр. н. е. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Резултатът е:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
От това следва, че в правоъгълен триъгълник синусът на един остър ъгъл е равно на косинусдруг остър ъгъл - и обратно. Точно това означават нашите две формули:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Нека се уверим в това отново:
1) Нека α = 60º. Замествайки стойността на α във формулата за синус, получаваме:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Нека α = 30º. Замествайки стойността на α във формулата за косинус, получаваме:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(За повече информация относно тригонометрията вижте раздела Алгебра)
Когато се разглеждаха задачи за решаване на правоъгълен триъгълник, обещах да представя техника за запомняне на дефинициите на синус и косинус. Използвайки го, винаги бързо ще запомните коя страна принадлежи на хипотенузата (съседна или противоположна). Реших да не го отлагам дълго време, необходимият материал е по-долу, моля, прочетете го 😉
Факт е, че многократно съм наблюдавал как учениците от 10-11 клас трудно запомнят тези определения. Много добре помнят, че катетът се отнася за хипотенузата, но коя- забравят и объркан. Цената на грешката, както знаете на изпита, е загубена точка.
Информацията, която ще изложа директно няма нищо общо с математиката. Тя е свързана с въображаемо мислене, и с методи на вербално-логическа комуникация. Точно така го помня, веднъж завинагиданни за дефиниция. Ако все пак ги забравите, винаги можете лесно да си ги спомните, като използвате представените техники.
Нека ви напомня дефинициите на синус и косинус в правоъгълен триъгълник:
КосинусОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:
синуситеОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:
И така, какви асоциации имате с думата косинус?
Вероятно всеки има своя собствена 😉Запомнете връзката:
Така изразът веднага ще се появи в паметта ви -
«… съотношение на ПРИЛЕЖАЩИЯ катет към хипотенузата».
Проблемът с определянето на косинус е решен.
Ако трябва да запомните дефиницията на синус в правоъгълен триъгълник, тогава като си спомните дефиницията на косинус, можете лесно да установите, че синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположната страна към хипотенузата. В крайна сметка има само два крака; ако съседният катет е „зает“ от косинуса, тогава само срещуположният катет остава със синуса.
Какво ще кажете за тангенса и котангенса? Объркването е същото. Учениците знаят, че това е връзка на катети, но проблемът е да се запомни кой към кой се отнася - или противоположното на съседното, или обратното.
Дефиниции:
ДопирателнаОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на срещуположната страна към съседната страна:
КотангенсОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на съседната страна към противоположната:
Как да запомните? Има два начина. Единият също използва словесно-логическа връзка, другият използва математическа.
МАТЕМАТИЧЕСКИ МЕТОД
Има такова определение - тангенсът на остър ъгъл е съотношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:
* След като запомните формулата, винаги можете да определите, че тангенса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната страна.
По същия начин.Котангенсът на остър ъгъл е отношението на косинуса на ъгъла към неговия синус:
Така! Като запомните тези формули, винаги можете да определите, че:
- тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната
— котангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на съседната страна към противоположната страна.
СЛОВОЛОГИЧЕСКИ МЕТОД
Относно допирателната. Запомнете връзката:
Тоест, ако трябва да запомните дефиницията на допирателната, използвайки тази логическа връзка, можете лесно да си спомните какво е
„... съотношението на противоположната страна към съседната страна“
Ако говорим за котангенс, тогава спомняйки си определението за тангенс, лесно можете да изразите определението за котангенс -
„... съотношението на съседната страна към противоположната страна“
В сайта има интересен трик за запомняне на тангенс и котангенс " Математически тандем " , виж.
УНИВЕРСАЛЕН МЕТОД
Можете просто да го запомните.Но както показва практиката, благодарение на вербално-логическите връзки човек помни информация за дълго време, а не само математическа.
Надявам се материалът да ви е бил полезен.
С уважение, Александър Крутицких
P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.
Синусът е една от основните тригонометрични функции, чието използване не се ограничава само до геометрията. Таблиците за изчисляване на тригонометрични функции, като инженерните калкулатори, не винаги са под ръка и понякога е необходимо изчисляването на синуса за решаване на различни проблеми. Като цяло, изчисляването на синуса ще помогне за консолидиране на уменията за рисуване и знанията за тригонометричните идентичности.
Игри с линийка и молив
Проста задача: как да намерите синуса на ъгъл, начертан на хартия? За да решите, ще ви трябва обикновена линийка, триъгълник (или пергел) и молив. Най-простият начин за изчисляване на синуса на ъгъл е чрез разделяне на далечния крак на триъгълник с прав ъгъл на дългата страна - хипотенузата. По този начин първо трябва да завършите острия ъгъл до формата на правоъгълен триъгълник, като начертаете линия, перпендикулярна на един от лъчите на произволно разстояние от върха на ъгъла. Ще трябва да поддържаме ъгъл от точно 90 °, за което се нуждаем от чиновнически триъгълник.
Използването на компас е малко по-точно, но ще отнеме повече време. На един от лъчите трябва да маркирате 2 точки на определено разстояние, да зададете радиус на компаса, приблизително равен на разстоянието между точките, и да нарисувате полукръгове с центрове в тези точки, докато се получат пресечните точки на тези линии. Свързвайки пресечните точки на нашите кръгове една с друга, получаваме строг перпендикуляр към лъча на нашия ъгъл; остава само да удължим линията, докато се пресече с друг лъч.
В получения триъгълник трябва да използвате линийка, за да измерите страната срещу ъгъла и дългата страна на един от лъчите. Съотношението на първото измерение към второто ще бъде желаната стойност на синуса на острия ъгъл.
Намерете синуса за ъгъл, по-голям от 90°
За тъп ъгъл задачата не е много по-трудна. Трябва да начертаете лъч от върха до противоположната странас помощта на линийка образуваме права линия с един от лъчите на ъгъла, който ни интересува. Полученият остър ъгъл трябва да се третира, както е описано по-горе, синуси съседни ъгли, образуващи заедно обратен ъгъл от 180°, са равни.
Изчисляване на синус с помощта на други тригонометрични функции
Също така, изчисляването на синуса е възможно, ако са известни стойностите на други тригонометрични функции на ъгъла или поне дължините на страните на триъгълника. Тригонометричните идентичности ще ни помогнат с това. Нека да разгледаме общи примери.
Как да намерим синуса с известен косинус на ъгъл? Първата тригонометрична идентичност, основана на Питагоровата теорема, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на един и същ ъгъл е равна на единица.
Как да намерим синуса с известен тангенс на ъгъл? Тангенсът се получава чрез разделяне на далечната страна на близката страна или разделяне на синуса на косинуса. Така синусът ще бъде произведението на косинуса и тангенса, а квадратът на синуса ще бъде квадратът на този продукт. Заменяме квадратния косинус с разликата между единица и квадратния синус според първия тригонометрична идентичности чрез прости манипулации намаляваме уравнението до изчисляването на квадратния синус през тангенса; съответно, за да изчислите синуса, ще трябва да извлечете корена на получения резултат.
Как да намерим синуса с известен котангенс на ъгъл? Стойността на котангенса може да се изчисли чрез разделяне на дължината на най-близкия до ъгъла крак на дължината на далечния, както и разделяне на косинуса на синуса, т.е. котангенсът е функция, обратна на тангенса относително към числото 1. За да изчислите синуса, можете да изчислите тангенса по формулата tg α = 1 / ctg α и да използвате формулата във втората опция. Можете също да изведете директна формула по аналогия с тангенса, която ще изглежда така.
Как да намерите синуса на трите страни на триъгълник
Има формула за намиране на дължината на неизвестната страна на всеки триъгълник, не само на правоъгълен триъгълник, от две известни страни, като се използва тригонометричната функция на косинуса на противоположния ъгъл. Тя изглежда така.
Какво е синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл ще ви помогне да разберете правоъгълен триъгълник.
Как се наричат страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенуза и катети: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната \(AC\)); краката са двете останали страни \(AB\) и \(BC\) (тези, които са съседни на прав ъгъл), и ако разгледаме катетите спрямо ъгъла \(BC\), тогава катетът \(AB\) е съседният катет, а катетът \(BC\) е противоположният. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?
Синус от ъгъл– това е съотношението на срещуположния (далечен) катет към хипотенузата.
В нашия триъгълник:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Косинус на ъгъл– това е отношението на съседния (близък) катет към хипотенузата.
В нашия триъгълник:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Тангенс на ъгъла– това е съотношението на срещуположната (далечната) страна към съседната (близката).
В нашия триъгълник:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Котангенс на ъгъл– това е съотношението на съседния (близкия) крак към срещуположния (далечния).
В нашия триъгълник:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Тези определения са необходими помня! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаИ котангенсседят само краката, а хипотенузата се появява само в синуситеИ косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:
Косинус→докосване→докосване→съседно;
Котангенс→докосване→докосване→съседно.
Преди всичко трябва да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (при един и същи ъгъл). Не вярвайте? Тогава се уверете, като погледнете снимката:
Помислете, например, за косинуса на ъгъла \(\beta \) . По дефиниция от триъгълник \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), но можем да изчислим косинуса на ъгъла \(\beta \) от триъгълника \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.
Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги консолидирайте!
За триъгълника \(ABC \), показан на фигурата по-долу, намираме \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\край (масив) \)
Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла \(\beta \) .
Отговори: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Единична (тригонометрична) окръжност
Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на \(1\) . Такъв кръг се нарича единичен. Ще бъде много полезно при изучаване на тригонометрия. Затова нека го разгледаме малко по-подробно.
Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото на координатите, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста \(x\) (в нашия пример това е радиусът \(AB\)).
Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата по оста \(x\) и координатата по оста \(y\). Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, трябва да си спомним за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Разгледайте триъгълника \(ACG\) . Тя е правоъгълна, защото \(CG\) е перпендикулярна на оста \(x\).
Колко е \(\cos \ \alpha \) от триъгълника \(ACG \)? Това е вярно \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Освен това знаем, че \(AC\) е радиусът на единичната окръжност, което означава \(AC=1\) . Нека заместим тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
На какво е равно \(\sin \ \alpha \) от триъгълника \(ACG \)? Добре, разбира се, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Заместете стойността на радиуса \(AC\) в тази формула и получете:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
И така, можете ли да кажете какви координати има точката \(C\), принадлежаща на окръжността? Е, няма начин? Какво ще стане, ако разберете, че \(\cos \ \alpha \) и \(\sin \alpha \) са просто числа? На коя координата съответства \(\cos \alpha \)? Е, разбира се, координатата \(x\)! И на коя координата съответства \(\sin \alpha \)? Точно така, координати \(y\)! Така че точката \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Тогава на какво са равни \(tg \alpha \) и \(ctg \alpha \)? Точно така, нека използваме съответните определения за тангенс и котангенс и да получим това \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), А \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Ами ако ъгълът е по-голям? Например, като на тази снимка:
Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, нека се обърнем отново към правоъгълен триъгълник. Да разгледаме правоъгълен триъгълник \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ъгъл (като съседен на ъгъл \(\бета \) ). Каква е стойността на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгъл \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\бета \ \)? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ъгъл ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ъгъл ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ъгъл ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(масив) \)
Е, както можете да видите, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата \(y\) ; стойността на косинуса на ъгъла - координата \(x\) ; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения се прилагат за всяка ротация на радиус вектора.
Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста \(x\). Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена стойност, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка – отрицателен.
И така, знаем, че цялото завъртане на радиус вектора около окръжността е \(360()^\circ \) или \(2\pi \) . Възможно ли е да завъртите радиус вектора с \(390()^\circ \) или с \(-1140()^\circ \)? Е, разбира се, че можете! В първия случай, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), по този начин радиус-векторът ще направи един пълен оборот и ще спре на позиция \(30()^\circ \) или \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Във втория случай, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), тоест радиус-векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре на позиция \(-60()^\circ \) или \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Така от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с \(360()^\circ \cdot m \) или \(2\pi \cdot m \) (където \(m \) е всяко цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.
Фигурата по-долу показва ъгъла \(\beta =-60()^\circ \) . Същото изображение съответства на ъгъла \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани по общата формула \(\beta +360()^\circ \cdot m\)или \(\beta +2\pi \cdot m \) (където \(m \) е произволно цяло число)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(масив) \)
Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единична окръжност, опитайте се да отговорите какви са стойностите:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\текст(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\текст(tg)\ 180()^\circ =\текст(tg)\ \pi =?\\\текст(ctg)\ 180()^\circ =\текст(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\текст (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\текст (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(масив) \)
Ето единичен кръг, за да ви помогне:
Имате затруднения? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\край (масив)\)
От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени ъглови мерки. Е, нека започнем по ред: ъгълът в \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)съответства на точка с координати \(\left(0;1 \right) \) , следователно:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- не съществува;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )отговарят на точки с координати \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \вдясно) \), съответно. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами и след това проверете отговорите.
Отговори:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- не съществува
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- не съществува
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- не съществува
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- не съществува
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Така можем да направим следната таблица:
Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Трябва да запомните или да можете да го покажете!! \) !}
Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)дадени в таблицата по-долу, трябва да запомните:
Не се страхувайте, сега ще ви покажем един пример за доста просто запаметяване на съответните стойности:
За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки за ъгъл ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), както и стойността на тангенса на ъгъла в \(30()^\circ \) . Познавайки тези \(4\) стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинуса се прехвърлят в съответствие със стрелките, т.е.
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \край (масив) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), като знаете това, можете да възстановите стойностите за \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Числителят "\(1 \)" ще съответства на \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), а знаменателят "\(\sqrt(\text(3)) \)" ще съответства на \(\текст (tg)\ 60()^\circ \ \) . Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, посочени на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелките, тогава ще бъде достатъчно да запомните само \(4\) стойности от таблицата.
Координати на точка върху окръжност
Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, знаейки координатите на центъра на окръжността, нейния радиус и ъгъл на въртене? Е, разбира се, че можете! Нека изведем обща формула за намиране на координатите на точка. Например, ето кръг пред нас:
Тази точка ни е дадена \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- център на кръга. Радиусът на окръжността е \(1,5\) . Необходимо е да се намерят координатите на точката \(P\), получени чрез завъртане на точката \(O\) с \(\delta \) градуса.
Както може да се види от фигурата, координатата \(x\) на точката \(P\) съответства на дължината на сегмента \(TP=UQ=UK+KQ\) . Дължината на отсечката \(UK\) съответства на координатата \(x\) на центъра на окръжността, тоест тя е равна на \(3\) . Дължината на сегмента \(KQ\) може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Тогава имаме това за точката \(P\) координатата \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Използвайки същата логика, намираме стойността на y координатата за точката \(P\) . По този начин,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
И така, в общ изгледкоординатите на точките се определят по формулите:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \делта \край (масив) \), Където
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - координати на центъра на кръга,
\(r\) - радиус на окръжността,
\(\delta \) - ъгъл на завъртане на радиуса на вектора.
Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са равни на нула, а радиусът е равен на едно:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript е деактивиран във вашия браузър.За да извършвате изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!
Понятията синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () са неразривно свързани с понятието ъгъл. За да разберете добре тези, на пръв поглед, сложни понятия(които предизвикват състояние на ужас у много ученици) и за да сме сигурни, че „дяволът не е толкова страшен, колкото го рисуват“, нека започнем от самото начало и разберем концепцията за ъгъл.
Концепция за ъгъл: радиан, градус
Нека погледнем снимката. Векторът се е „завъртял“ спрямо точката с определена стойност. Така че мярката на това завъртане спрямо началната позиция ще бъде ъгъл.
Какво още трябва да знаете за понятието ъгъл? Е, разбира се, ъглови единици!
Ъгълът, както в геометрията, така и в тригонометрията, може да бъде измерен в градуси и радиани.
Ъгъл от (един градус) се нарича централен ъгълв кръг, базиран на кръгова дъга, равна на част от кръга. Така цялата окръжност се състои от „парчета“ от кръгови дъги или ъгълът, описан от окръжността, е равен.
Тоест фигурата по-горе показва ъгъл, равен на, тоест този ъгъл лежи върху дъга от окръжност с размера на обиколката.
Ъгъл в радиани е централният ъгъл в окръжност, сключен от окръжна дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността. Е, разбрахте ли? Ако не, тогава нека го разберем от чертежа.
И така, фигурата показва ъгъл, равен на радиан, тоест този ъгъл се опира на кръгла дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността (дължината е равна на дължината или радиусът е равен на дължина на дъгата). Така дължината на дъгата се изчислява по формулата:
Къде е централният ъгъл в радиани.
Е, като знаете това, можете ли да отговорите колко радиана се съдържат в ъгъла, описан от окръжността? Да, за това трябва да запомните формулата за обиколка. Ето я:
Е, сега нека съпоставим тези две формули и да открием, че ъгълът, описан от окръжността, е равен. Тоест, като съпоставим стойността в градуси и радиани, получаваме това. Съответно,. Както можете да видите, за разлика от "градуси", думата "радиан" е пропусната, тъй като мерната единица обикновено е ясна от контекста.
Колко радиана има? Това е вярно!
Схванах го? След това продължете напред и го поправете:
Имате затруднения? Тогава погледнете отговори:
Правоъгълен триъгълник: синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл
И така, разбрахме концепцията за ъгъл. Но какво е синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл? Нека да го разберем. За да направим това, ще ни помогне правоъгълен триъгълник.
Как се наричат страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенуза и катети: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната); катетите са двете останали страни и (тези, които са съседни на правия ъгъл), и ако разгледаме катетите спрямо ъгъла, тогава катетът е съседният катет, а катетът е противоположният. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?
Синус от ъгъл- това е отношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.
В нашия триъгълник.
Косинус на ъгъл- това е отношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.
В нашия триъгълник.
Тангенс на ъгъла- това е съотношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка).
В нашия триъгълник.
Котангенс на ъгъл- това е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).
В нашия триъгълник.
Тези определения са необходими помня! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаИ котангенсседят само краката, а хипотенузата се появява само в синуситеИ косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:
Косинус→докосване→докосване→съседно;
Котангенс→докосване→докосване→съседно.
Преди всичко трябва да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (при един и същи ъгъл). Не вярвайте? Тогава се уверете, като погледнете снимката:
Помислете, например, за косинуса на ъгъл. По дефиниция от триъгълник: , но можем да изчислим косинуса на ъгъл от триъгълник: . Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.
Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги консолидирайте!
За триъгълника, показан на фигурата по-долу, намираме.
Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла.
Единична (тригонометрична) окръжност
Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на. Такъв кръг се нарича единичен. Ще бъде много полезно при изучаване на тригонометрия. Затова нека го разгледаме малко по-подробно.
Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото на координатите, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).
Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата на оста и координатата на оста. Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, трябва да си спомним за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Тя е правоъгълна, защото е перпендикулярна на оста.
На какво е равен триъгълникът? Това е вярно. Освен това знаем, че това е радиусът на единичната окръжност, което означава . Нека заместим тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:
На какво е равен триъгълникът? Добре, разбира се, ! Заменете стойността на радиуса в тази формула и получете:
И така, можете ли да кажете какви координати има точка, принадлежаща на окръжност? Е, няма начин? Ами ако осъзнаете това и сте само числа? На коя координата отговаря? Е, разбира се, координатите! И на коя координата отговаря? Точно така, координати! Така точка.
На какво тогава са равни и ? Точно така, нека използваме съответните определения за тангенс и котангенс и да получим това, a.
Ами ако ъгълът е по-голям? Например, като на тази снимка:
Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, нека се обърнем отново към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Какви са стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:
Е, както виждате, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения се прилагат за всяка ротация на радиус вектора.
Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена стойност, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.
И така, ние знаем, че цяло завъртане на радиус вектора около окръжност е или. Възможно ли е радиус векторът да се завърти на или на? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус-векторът ще направи един пълен оборот и ще спре в позиция или.
Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция или.
По този начин от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.
Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани по общата формула или (където е цяло число)
Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите какви са стойностите:
Ето единичен кръг, за да ви помогне:
Имате затруднения? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:
От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени ъглови мерки. Е, нека започнем по ред: ъгълът при съответства на точка с координати, следователно:
Не съществува;
Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват съответно на точки с координати. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами и след това проверете отговорите.
Отговори:
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Така можем да направим следната таблица:
Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:
Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:
Не се страхувайте, сега ще ви покажем един пример доста лесно да запомните съответните стойности:
За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки на ъгъл (), както и стойността на тангенса на ъгъла. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинуса се прехвърлят в съответствие със стрелките, т.е.
Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят „ “ ще съвпада, а знаменателят „ “ ще съвпада. Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, посочени на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелките, тогава ще бъде достатъчно да запомните всички стойности от таблицата.
Координати на точка върху окръжност
Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, познаване на координатите на центъра на кръга, неговия радиус и ъгъл на въртене?
Е, разбира се, че можете! Нека го извадим обща формула за намиране на координатите на точка.
Например, ето кръг пред нас:
Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точка, получена чрез завъртане на точката на градуси.
Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на сегмента. Дължината на сегмента съответства на координатата на центъра на кръга, тоест е равна. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:
Тогава имаме това за координатата на точката.
Използвайки същата логика, намираме стойността на y координатата за точката. По този начин,
Така че, като цяло, координатите на точките се определят по формулите:
Координати на центъра на кръга,
радиус на кръга,
Ъгълът на завъртане на радиуса на вектора.
Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са равни на нула, а радиусът е равен на едно:
Е, нека изпробваме тези формули, като се упражняваме да намираме точки в окръжност?
1. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.
2. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.
3. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.
4. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.
5. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.
Имате проблеми с намирането на координатите на точка от окръжност?
Решете тези пет примера (или станете добри в решаването им) и ще се научите да ги намирате!
1.
Можете да забележите това. Но знаем какво отговаря на пълно завъртане на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:
2. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Можете да забележите това. Знаем какво съответства на два пълни оборота на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:
Синус и косинус са таблични стойности. Припомняме си значенията и получаваме:
Така желаната точка има координати.
3. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Можете да забележите това. Нека изобразим въпросния пример на фигурата:
Радиусът образува ъгли, равни на и с оста. Знаейки, че стойностите на таблицата на косинус и синус са равни и след като определихме, че косинусът тук приема отрицателна стойност, а синусът приема положителна стойност, имаме:
Такива примери се обсъждат по-подробно при изучаване на формулите за намаляване на тригонометричните функции в темата.
Така желаната точка има координати.
4.
Ъгъл на въртене на радиуса на вектора (по условие)
За да определим съответните знаци на синус и косинус, конструираме единична окръжност и ъгъл:
Както можете да видите, стойността е положителна, а стойността е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:
Нека заместим получените стойности в нашата формула и намерим координатите:
Така желаната точка има координати.
5. За да разрешим този проблем, използваме формули в общ вид, където
Координати на центъра на кръга (в нашия пример,
Радиус на окръжност (по условие)
Ъгъл на завъртане на радиуса на вектора (по условие).
Нека заместим всички стойности във формулата и да получим:
и - таблични стойности. Нека запомним и ги заместим във формулата:
Така желаната точка има координати.
ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ
Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.
Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.
Тангенсът на ъгъл е отношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка) страна.
Котангенсът на ъгъл е отношението на съседната (близка) страна към противоположната (далечна) страна.
