Ъгълмежду редовете в пространството ще наречем произволен от съседни ъгли, образувана от две прави линии, прекарани през произволна точка, успоредна на данните.

Нека в пространството са дадени два реда:

Очевидно ъгълът φ между прави линии може да се приеме като ъгъл между техните насочващи вектори и . Тъй като , тогава използвайки формулата за косинус на ъгъла между векторите, получаваме

Условията на успоредност и перпендикулярност на две прави линии са еквивалентни на условията на успоредност и перпендикулярност на техните насочващи вектори и:

Две прави паралелентогава и само ако съответните им коефициенти са пропорционални, т.е. л 1 паралел л 2 ако и само ако са успоредни .

Две прави перпендикулярентогава и само ако сумата от произведенията на съответните коефициенти е равна на нула: .

U гол между права и равнина

Нека е направо д- не е перпендикулярна на равнината θ;
д′− проекция на права дкъм равнината θ;
Най-малкият ъгъл между прави линии дИ д„ще се обадим ъгъл между права линия и равнина.
Нека го означим като φ=( д,θ)
Ако д⊥θ, тогава ( д,θ)=π/2

Ой→й→к→− правоъгълна координатна система.
Уравнение на равнината:

θ: брадва+от+Cz+д=0

Приемаме, че правата линия е дефинирана от точка и насочващ вектор: д[М 0,стр→]
вектор н→(А,б,° С)⊥θ
След това остава да разберете ъгъла между векторите н→ и стр→, нека го обозначим като γ=( н→,стр→).

Ако ъгълът γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ако ъгълът е γ>π/2, тогава желаният ъгъл е φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Тогава, ъгъл между права и равнинаможе да се изчисли по формулата:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ап 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √А 2+б 2+° С 2√стр 21+стр 22+стр 23

Въпрос 29. Концепцията за квадратна форма. Знакова определеност на квадратни форми.

Квадратична форма j (x 1, x 2, …, x n) n реални променливи x 1, x 2, …, x nсе нарича сбор от формата
, (1)

Където a ij – някои числа, наречени коефициенти. Без загуба на общост можем да приемем, че a ij = а джи.

Квадратната форма се нарича валиден,Ако a ij Î GR. Матрица с квадратна формасе нарича матрица, съставена от нейните коефициенти. Квадратната форма (1) съответства на единствената симетрична матрица
Това е A T = A. Следователно, квадратичната форма (1) може да бъде записана в матрична форма j ( х) = x T Ah, Където х Т = (х 1 х 2 … x n). (2)

И обратно, всяка симетрична матрица (2) съответства на уникална квадратична форма до записа на променливи.

Ранг на квадратична формасе нарича ранг на неговата матрица. Квадратната форма се нарича неизроден,ако неговата матрица е неособена А. (припомнете си, че матрицата Асе нарича неизроден, ако неговият детерминант не е равен на нула). В противен случай квадратичната форма е изродена.

положително определено(или строго положително), ако

j ( х) > 0 , за всеки х = (х 1 , х 2 , …, x n), с изключение х = (0, 0, …, 0).

Матрица Аположително определена квадратна форма j ( х) се нарича още положително определен. Следователно положително определена квадратна форма съответства на уникална положително определена матрица и обратно.

Квадратната форма (1) се нарича отрицателно определени(или строго отрицателно), ако

j ( х) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n), с изключение х = (0, 0, …, 0).

Подобно на горното, матрица с отрицателно определена квадратична форма също се нарича отрицателно определена.

Следователно положителната (отрицателно) определена квадратна форма j ( х) достига минималната (максималната) стойност j ( Х*) = 0 ат Х* = (0, 0, …, 0).

Забележи, че повечето отквадратичните форми не са знакоопределени, тоест не са нито положителни, нито отрицателни. Такива квадратни форми изчезват не само в началото на координатната система, но и в други точки.

Кога н> 2 са необходими специални критерии за проверка на знака на квадратична форма. Нека да ги разгледаме.

Големи непълнолетниквадратична форма се наричат ​​незначителни:

тоест това са второстепенни от порядъка на 1, 2, ..., нматрици А, разположен в горния ляв ъгъл, последният от тях съвпада с детерминантата на матрицата А.

Критерий за положителна определеност (Критерий на Силвестър)

х) = x T Ahе положително определен, е необходимо и достатъчно всички главни второстепенни на матрицата Абяха положителни, т.е. М 1 > 0, М 2 > 0, …, Мн > 0. Критерий за отрицателна сигурност За да може квадратната форма j ( х) = x T Ahе бил отрицателно определен, е необходимо и достатъчно главните му минори от четен ред да са положителни, а от нечетен – отрицателни, т.е. М 1 < 0, М 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1)н

О-о-о-о-о-о... е, трудно е, сякаш си четеше изречение =) Но релаксът ще помогне по-късно, особено след като днес купих подходящите аксесоари. Затова нека да продължим към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще поддържам весело настроение.

Относителното положение на две прави линии

Такъв е случаят, когато публиката пее в хор. Две прави линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : моля, запомнете математически знаккръстовища, това ще се случва много често. Нотацията означава, че правата се пресича с правата в точка .

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има число „ламбда“, така че равенствата да са изпълнени

Нека разгледаме правите линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по –1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалено с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти на променливите са пропорционални: , Но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Съвсем очевидно е обаче, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на „ламбда“, че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще създадем система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , което означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите на променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

IN практически проблемиа, можете да използвате току-що обсъдената схема за решение. Между другото, много напомня на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в клас Концепцията за линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите. Но има по-цивилизована опаковка:

Пример 1

Разберете относителната позиция на линиите:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, което означава, че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък със знаци на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и следват по-нататък, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат еднакъв насочващ вектор, което означава, че са успоредни или съвпадащи. Тук няма нужда да броим детерминантата.

Очевидно е, че коефициентите на неизвестните са пропорционални и .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадащи.

Коефициентът на пропорционалност „ламбда“ е лесно да се види директно от съотношението на колинеарните вектори на посоката. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число като цяло го удовлетворява).

Така линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате устно обсъждания проблем буквално за секунди. В тази връзка не виждам смисъл да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставите друга важна тухла в геометричната основа:

Как да построим права, успоредна на дадена?

Заради невежеството на това най-простата задачаСлавея Разбойника наказва сурово.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Нека означим неизвестния ред с буквата . Какво казва състоянието за нея? Правата минава през точката. И ако линиите са успоредни, тогава е очевидно, че векторът на посоката на правата линия "tse" също е подходящ за конструиране на правата линия "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Примерната геометрия изглежда проста:

Аналитичното тестване се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е опростено правилно, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

В повечето случаи аналитичното изследване може лесно да се извърши устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще определят успоредността на линиите без никакъв чертеж.

Примерите за независими решения днес ще бъдат креативни. Защото все пак ще трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не толкова рационален начин за решаването му. Повечето пряк път- в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че нека разгледаме проблем, който ви е познат от училищна програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точка , тогава неговите координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето геометричен смисълсистеми от две линейни уравненияс две неизвестни- това са две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният метод е просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на линията, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решение на системата. По същество разгледахме графично решение системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават по този начин, въпросът е, че ще отнеме време, за да се създаде правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои прави линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да се намира някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка аналитичен метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете подходящи умения, вземете урок Как се решава система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример, който можете да решите сами. Удобно е задачата да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Запишете уравнението на правата линия.
2) Запишете уравнението на правата линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Цялостно решениеи отговорът в края на урока:

Дори чифт обувки не бяха износени, преди да стигнем до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстояние от точка до права.
Ъгъл между прави

Да започнем с една типична и много важна задача. В първата част се научихме как да изградим права линия, успоредна на тази, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да построим права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение, перпендикулярно на правата, минаваща през точката.

Решение: По условие е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Нека съставим уравнението на права линия, използвайки точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разширим геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Изваждаме векторите на посоката от уравненията и с помощта скаларно произведение на вектористигаме до извода, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Тестът отново е лесен за изпълнение устно.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример, който можете да решите сами. В проблема има няколко действия, така че е удобно решението да се формулира точка по точка.

Нашето вълнуващо пътешествие продължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да стигнем до нея по най-краткия път. Няма препятствия и най-оптималният маршрут ще бъде да се движите по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се означава с гръцката буква “rho”, например: – разстоянието от точката “em” до правата линия “de”.

Разстояние от точка до линия изразено с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, което трябва да направите, е внимателно да замените числата във формулата и да извършите изчисленията:

Отговор:

Да направим чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако начертаете чертеж върху карирана хартия в мащаб 1 единица. = 1 см (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Нека разгледаме друга задача, базирана на същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точка, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам сами да изпълните стъпките, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на правата.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на отсечканамираме .

Би било добра идея да проверите дали разстоянието също е 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но микрокалкулаторът е голяма помощ в кулата, позволявайки ви да изчислите обикновени дроби. Съветвал съм ви много пъти и ще ви препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример, който можете да решите сами. Ще ви дам малък намек: има безкрайно много начини за решаване на това. Разбор в края на урока, но е по-добре да се опитате да познаете сами, мисля, че вашата изобретателност е добре развита.

Ъгъл между две прави

Всеки ъгъл е преграда:


В геометрията ъгълът между две прави линии се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащи се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентираникът "малина".

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, от основно значение е посоката, в която ъгълът се „превърта“. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например ако .

Защо ти казах това? Изглежда, че можем да се справим с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че формулите, по които ще намираме ъгли, лесно могат да дадат отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа, за отрицателен ъгъл, не забравяйте да посочите ориентацията му със стрелка (по часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

РешениеИ Метод първи

Помислете за две прави линии, дадени от уравненията в общ изглед:

Ако прав не перпендикулярно, Че ориентиранЪгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем внимание на знаменателя - това е точно така скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата става нула и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще са перпендикулярни. Ето защо беше направена резерва за неперпендикулярността на правите линии във формулировката.

Въз основа на горното е удобно решението да се формализира в две стъпки:

1) Нека изчислим скаларното произведение на насочващите вектори на линиите:
, което означава, че линиите не са перпендикулярни.

2) Намерете ъгъла между прави линии по формулата:

Като се използва обратна функцияЛесно е да намерите самия ъгъл. В този случай използваме нечетността на арктангенса (вижте. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочваме точна стойност, както и приблизителна стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, минус, нищо страшно. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в постановката на задачата първото число е права линия и "развиването" на ъгъла започва точно с него.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените линиите, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Определение.Ако са дадени две линии y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава остър ъгълмежду тези прави линии ще бъдат определени като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/ k 2.

Теорема.Правите Ax + Bу + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A 1 = λA, B 1 = λB са пропорционални. Ако също C 1 = λC, тогава правите съвпадат. Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнение на права, преминаваща през тази точка

Перпендикулярно на дадена права

Определение.Права линия, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата линия y = kx + b, е представена от уравнението:

Разстояние от точка до линия

Теорема.Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Bу + C = 0 се определя като

.

Доказателство.Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точка M към дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

(1)

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на минаващата права дадена точка M 0 е перпендикулярна на дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример. Определете ъгъла между правите: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Пример. Покажете, че правите 3x – 5y + 7 = 0 и 10x + 6y – 3 = 0 са перпендикулярни.

Решение. Намираме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следователно, линиите са перпендикулярни.

Пример. Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението на височината, изтеглена от върха C.

Решение. Намираме уравнението на страната AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Необходимото уравнение на височината има формата: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогава y = . защото височината минава през точка С, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: от където b = 17. Общо: .

Отговор: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка в дадена посока. Уравнение на права, минаваща през две дадени точки. Ъгълът между две прави. Условието за успоредност и перпендикулярност на две прави. Определяне на пресечната точка на две прави

1. Уравнение на права, минаваща през дадена точка А(х 1 , г 1) в дадена посока, определена от наклона к,

г - г 1 = к(х - х 1). (1)

Това уравнение дефинира молив от прави, минаващи през точка А(х 1 , г 1), който се нарича център на лъча.

2. Уравнение на права, минаваща през две точки: А(х 1 , г 1) и б(х 2 , г 2), написано така:

Ъгловият коефициент на права линия, минаваща през две дадени точки, се определя по формулата

3. Ъгъл между прави АИ бе ъгълът, на който трябва да се завърти първата права линия Аоколо точката на пресичане на тези линии обратно на часовниковата стрелка, докато съвпадне с втората линия б. Ако две прави линии са дадени чрез уравнения с наклон

г = к 1 х + б 1 ,

г = к 2 х + б 2 , (4)

тогава ъгълът между тях се определя по формулата

Трябва да се отбележи, че в числителя на дробта наклонът на първия ред се изважда от наклона на втория ред.

Ако уравненията на една права са дадени в общ вид

А 1 х + б 1 г + ° С 1 = 0,

А 2 х + б 2 г + ° С 2 = 0, (6)

ъгълът между тях се определя по формулата

4. Условия за успоредност на две прави:

а) Ако линиите са дадени с уравнения (4) с ъглов коефициент, то необходимото и достатъчно условие за тяхната паралелност е равенството на техните ъглови коефициенти:

к 1 = к 2 . (8)

б) За случая, когато линиите са дадени с уравнения в общ вид (6), необходимо и достатъчно условие за тяхната успоредност е коефициентите за съответните текущи координати в техните уравнения да са пропорционални, т.е.

5. Условия за перпендикулярност на две прави:

а) В случай, когато линиите са дадени с уравнения (4) с ъглов коефициент, необходимо и достатъчно условие за тяхната перпендикулярност е ъгловите им коефициенти да са обратни по големина и противоположни по знак, т.е.

Това условие може да бъде записано и във формуляра

к 1 к 2 = -1. (11)

б) Ако уравненията на правите са дадени в общ вид (6), то условието за тяхната перпендикулярност (необходима и достатъчна) е да се изпълнява равенството

А 1 А 2 + б 1 б 2 = 0. (12)

6. Координатите на пресечната точка на две прави се намират чрез решаване на системата от уравнения (6). Прави (6) се пресичат тогава и само ако

1. Напишете уравненията на прави, минаващи през точка M, едната от които е успоредна, а другата перпендикулярна на дадената права l.

Този материал е посветен на такава концепция като ъгъла между две пресичащи се линии. В първия параграф ще обясним какво представлява и ще го покажем в илюстрации. След това ще разгледаме начините, по които можете да намерите синуса, косинуса на този ъгъл и самия ъгъл (отделно ще разгледаме случаите с равнина и триизмерно пространство), ще дадем необходимите формули и ще покажем с примери точно как се използват на практика.

Yandex.RTB R-A-339285-1

За да разберем какъв е ъгълът, образуван при пресичането на две прави, трябва да запомним самата дефиниция на ъгъл, перпендикулярност и точка на пресичане.

Определение 1

Наричаме две прави пресичащи се, ако имат такава обща точка. Тази точка се нарича точка на пресичане на две прави.

Всяка права линия е разделена от пресечна точка на лъчи. Двете прави образуват 4 ъгъла, два от които са вертикални, а два са съседни. Ако знаем мярката на един от тях, тогава можем да определим останалите.

Да кажем, че знаем, че един от ъглите е равен на α. В този случай ъгълът, който е вертикален спрямо него, също ще бъде равен на α. За да намерим останалите ъгли, трябва да изчислим разликата 180 ° - α. Ако α е равно на 90 градуса, тогава всички ъгли ще бъдат прави. Линиите, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат ​​перпендикулярни (отделна статия е посветена на концепцията за перпендикулярност).

Разгледайте снимката:

Нека да преминем към формулирането на основното определение.

Определение 2

Ъгълът, образуван от две пресичащи се прави, е мярката на по-малкия от 4-те ъгъла, които образуват тези две прави.

От дефиницията трябва да се направи важен извод: размерът на ъгъла в този случай ще бъде изразен с всяко реално число в интервала (0, 90]. Ако линиите са перпендикулярни, тогава ъгълът между тях във всеки случай ще бъде равен на 90 градуса.

Способността да се намери мярката на ъгъла между две пресичащи се прави е полезна за решаването на много практически проблеми. Методът на решение може да бъде избран от няколко опции.

Като начало можем да вземем геометрични методи. Ако знаем нещо за допълнителните ъгли, тогава можем да ги свържем с ъгъла, от който се нуждаем, използвайки свойствата на равни или подобни фигури. Например, ако знаем страните на триъгълник и трябва да изчислим ъгъла между линиите, на които са разположени тези страни, тогава косинусовата теорема е подходяща за нашето решение. Ако имаме условието правоъгълен триъгълник, тогава за изчисления ще ни трябват и знания за синус, косинус и тангенс на ъгъл.

Координатният метод също е много удобен за решаване на задачи от този тип. Нека обясним как да го използваме правилно.

Имаме правоъгълна (декартова) координатна система O x y, в която са дадени две прави линии. Нека ги обозначим с буквите a и b. Правите линии могат да бъдат описани с помощта на някои уравнения. Оригиналните линии имат пресечна точка М. Как да определим търсения ъгъл (нека го обозначим с α) между тези прави линии?

Нека започнем с формулирането на основния принцип за намиране на ъгъл при дадени условия.

Знаем, че понятието права линия е тясно свързано с такива понятия като насочващ вектор и нормален вектор. Ако имаме уравнение на определена права, можем да вземем координатите на тези вектори от нея. Можем да направим това за две пресичащи се прави наведнъж.

Ъгълът, сключен от две пресичащи се прави, може да се намери, като се използва:

• ъгъл между насочващите вектори;
• ъгъл между нормалните вектори;
• ъгълът между нормалния вектор на едната права и вектора на посоката на другата.

Сега нека разгледаме всеки метод поотделно.

1. Да приемем, че имаме права a с насочващ вектор a → = (a x, a y) и права b с насочващ вектор b → (b x, b y). Сега нека начертаем два вектора a → и b → от пресечната точка. След това ще видим, че всеки от тях ще бъде разположен на собствена права линия. Тогава имаме четири варианта за тях относителна позиция. Вижте илюстрацията:

Ако ъгълът между два вектора не е тъп, тогава това ще бъде ъгълът, от който се нуждаем между пресичащите се прави a и b. Ако е тъп, тогава желаният ъгъл ще бъде равен на ъгъла, съседен на ъгъла a →, b → ^. Така α = a → , b → ^ ако a → , b → ^ ≤ 90 ° , и α = 180 ° - a → , b → ^ ако a → , b → ^ > 90 ° .

Въз основа на факта, че косинусите равни ъглиса равни, можем да пренапишем получените равенства, както следва: cos α = cos a → , b → ^ , ако a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ако a →, b → ^ > 90 °.

Във втория случай бяха използвани формули за редукция. По този начин,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Нека запишем последната формула с думи:

Определение 3

Косинусът на ъгъла, образуван от две пресичащи се прави линии, ще бъде равен на модула на косинуса на ъгъла между неговите насочващи вектори.

Общата форма на формулата за косинуса на ъгъла между два вектора a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) изглежда така:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

От него можем да изведем формулата за косинус на ъгъла между две дадени прави:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Тогава самият ъгъл може да се намери по следната формула:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Тук a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) са насочващите вектори на дадените прави.

Нека дадем пример за решаване на проблема.

Пример 1

В правоъгълна координатна система на равнина са дадени две пресичащи се прави a и b. Те могат да бъдат описани с параметричните уравнения x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R и x 5 = y - 6 - 3. Изчислете ъгъла между тези прави.

Решение

Имаме параметрично уравнение в нашето условие, което означава, че за тази права можем незабавно да запишем координатите на нейния насочен вектор. За да направим това, трябва да вземем стойностите на коефициентите за параметъра, т.е. правата x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ще има насочващ вектор a → = (4, 1).

Вторият ред е описан с помощта на каноничното уравнение x 5 = y - 6 - 3. Тук можем да вземем координатите от знаменателите. Така тази права има насочващ вектор b → = (5 , - 3) .

След това преминаваме директно към намирането на ъгъла. За да направите това, просто заменете съществуващите координати на двата вектора в горната формула α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Получаваме следното:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Отговор: Тези прави линии образуват ъгъл от 45 градуса.

Можем да решим подобна задача, като намерим ъгъла между нормалните вектори. Ако имаме права a с нормален вектор n a → = (n a x , n a y) и права b с нормален вектор n b → = (n b x , n b y), тогава ъгълът между тях ще бъде равен на ъгъла между n a → и n b → или ъгълът, който ще бъде съседен на n a →, n b → ^. Този метод е показан на снимката:

Формулите за изчисляване на косинуса на ъгъла между пресичащите се линии и самия този ъгъл, използвайки координатите на нормалните вектори, изглеждат така:

cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Тук n a → и n b → означават нормалните вектори на две дадени прави.

Пример 2

В правоъгълна координатна система две прави линии са дадени с помощта на уравненията 3 x + 5 y - 30 = 0 и x + 4 y - 17 = 0. Намерете синуса и косинуса на ъгъла между тях и големината на самия ъгъл.

Решение

Оригиналните линии се определят с помощта на уравнения на нормални линии във формата A x + B y + C = 0. Означаваме нормалния вектор като n → = (A, B). Нека намерим координатите на първия нормален вектор за един ред и ги запишем: n a → = (3, 5) . За втория ред x + 4 y - 17 = 0 нормалният вектор ще има координати n b → = (1, 4). Сега нека добавим получените стойности към формулата и изчислим общата сума:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ако знаем косинуса на ъгъл, тогава можем да изчислим неговия синус, като използваме основния тригонометрична идентичност. Тъй като ъгълът α, образуван от прави линии, не е тъп, тогава sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

В този случай α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Отговор: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Нека анализираме последния случай - намиране на ъгъла между прави, ако знаем координатите на насочващия вектор на едната права линия и нормалния вектор на другата.

Нека приемем, че правата a има насочващ вектор a → = (a x , a y) , а правата b има нормален вектор n b → = (n b x , n b y) . Трябва да поставим тези вектори настрани от пресечната точка и да разгледаме всички опции за относителните им позиции. Вижте на снимката:

Ако ъгълът между дадените вектори е не повече от 90 градуса, се оказва, че той ще допълни ъгъла между a и b до прав ъгъл.

a → , n b → ^ = 90 ° - α ако a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ако е по-малко от 90 градуса, тогава получаваме следното:

a → , n b → ^ > 90 ° , тогава a → , n b → ^ = 90 ° + α

Използвайки правилото за равенство на косинусите на равни ъгли, пишем:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α за a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α за a → , n b → ^ > 90 ° .

По този начин,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Нека формулираме заключение.

Определение 4

За да намерите синуса на ъгъла между две прави, пресичащи се в равнина, трябва да изчислите модула на косинуса на ъгъла между насочващия вектор на първата линия и нормалния вектор на втората.

Нека запишем необходимите формули. Намиране на синуса на ъгъл:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Намиране на самия ъгъл:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Тук a → е насочващият вектор на първата линия, а n b → е нормалният вектор на втората.

Пример 3

Две пресичащи се прави са дадени от уравненията x - 5 = y - 6 3 и x + 4 y - 17 = 0. Намерете ъгъла на пресичане.

Решение

Взимаме координатите на водещия и нормален вектор от дадените уравнения. Оказва се, че a → = (- 5, 3) и n → b = (1, 4). Взимаме формулата α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 и изчисляваме:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Моля, обърнете внимание, че взехме уравненията от предишния проблем и получихме абсолютно същия резултат, но по различен начин.

Отговор:α = a r c sin 7 2 34

Нека представим друг начин за намиране на желания ъгъл с помощта на ъгловите коефициенти на дадени прави линии.

Имаме права a, която е дефинирана в правоъгълна координатна система с помощта на уравнението y = k 1 x + b 1, и права b, дефинирана като y = k 2 x + b 2. Това са уравнения на прави с наклони. За да намерим ъгъла на пресичане, използваме формулата:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, където k 1 и k 2 са ъглови коефициентидадени прави линии. За да се получи този запис, бяха използвани формули за определяне на ъгъла през координатите на нормалните вектори.

Пример 4

Има две прави, пресичащи се в равнина, дадени от уравненията y = - 3 5 x + 6 и y = - 1 4 x + 17 4. Изчислете стойността на ъгъла на пресичане.

Решение

Ъгловите коефициенти на нашите линии са равни на k 1 = - 3 5 и k 2 = - 1 4. Нека ги добавим към формулата α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 и изчислим:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Отговор:α = a r c cos 23 2 34

В заключенията на този параграф трябва да се отбележи, че формулите за намиране на ъгъла, даден тук, не трябва да се учат наизуст. За да направите това, достатъчно е да знаете координатите на направляващите и/или нормалните вектори на дадени линии и да можете да ги определяте чрез различни видовеуравнения. Но е по-добре да запомните или запишете формулите за изчисляване на косинуса на ъгъл.

Как да изчислим ъгъла между пресичащите се прави в пространството

Изчисляването на такъв ъгъл може да се сведе до изчисляване на координатите на векторите на посоката и определяне на големината на ъгъла, образуван от тези вектори. За такива примери се използват същите разсъждения, които дадохме преди.

Да приемем, че имаме правоъгълна координатна система, разположена в триизмерното пространство. Съдържа две прави a и b с пресечна точка M. За да изчислим координатите на насочващите вектори, трябва да знаем уравненията на тези линии. Нека означим насочващите вектори a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . За да изчислим косинуса на ъгъла между тях, използваме формулата:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

За да намерим самия ъгъл, имаме нужда от тази формула:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Пример 5

Имаме линия, дефинирана в триизмерно пространство с помощта на уравнението x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Известно е, че тя се пресича с оста O z. Изчислете ъгъла на пресичане и косинуса на този ъгъл.

Решение

Нека обозначим ъгъла, който трябва да се изчисли с буквата α. Нека запишем координатите на насочващия вектор за първата права – a → = (1, - 3, - 2) . За приложената ос можем да вземем координатния вектор k → = (0, 0, 1) като ориентир. Получихме необходимите данни и можем да ги добавим към желаната формула:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

В резултат на това установихме, че ъгълът, от който се нуждаем, ще бъде равен на a r c cos 1 2 = 45 °.

Отговор: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Ще бъде полезно за всеки ученик, който се подготвя за Единния държавен изпит по математика, да повтори темата „Намиране на ъгъл между прави линии“. Както показва статистиката, при преминаване на сертификационния тест задачите в този раздел на стереометрията създават трудности голямо количествостуденти. В същото време задачи, които изискват намиране на ъгъла между прави линии, се намират в Единния държавен изпит както на основно, така и на специализирано ниво. Това означава, че всеки трябва да може да ги реши.

Основни моменти

Има 4 вида взаимно разположение на линиите в пространството. Те могат да съвпадат, да се пресичат, да са успоредни или да се пресичат. Ъгълът между тях може да бъде остър или прав.

За да намерят ъгъла между линиите в Единния държавен изпит или, например, при решаването, учениците в Москва и други градове могат да използват няколко начина за решаване на задачи в този раздел на стереометрията. Можете да изпълните задачата, като използвате класически конструкции. За да направите това, си струва да научите основните аксиоми и теореми на стереометрията. Ученикът трябва да може да разсъждава логически и да създава чертежи, за да доведе задачата до планиметричен проблем.

Можете също да използвате метода на координатния вектор, като използвате прости формули, правила и алгоритми. Основното нещо в този случай е да извършите всички изчисления правилно. Образователният проект Школково ще ви помогне да усъвършенствате уменията си за решаване на проблеми в стереометрията и други раздели от училищния курс.