В този урок ще разгледаме как да използваме детерминанта за създаване уравнение на равнината. Ако не знаете какво е детерминанта, преминете към първата част на урока - „Матрици и детерминанти“. В противен случай рискувате да не разберете нищо от днешния материал.

Уравнение на равнина с помощта на три точки

Защо изобщо се нуждаем от уравнение на равнина? Просто е: знаейки го, можем лесно да изчисляваме ъгли, разстояния и други глупости в задача C2. Като цяло не можете без това уравнение. Затова формулираме проблема:

Задача. В пространството са дадени три точки, които не лежат на една права. Техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Трябва да създадете уравнение за равнината, минаваща през тези три точки. Освен това уравнението трябва да изглежда така:

Ax + By + Cz + D = 0

където числата A, B, C и D са коефициентите, които всъщност трябва да бъдат намерени.

Е, как да получа уравнението на равнина, ако са известни само координатите на точките? Най-лесният начин е да замените координатите в уравнението Ax + By + Cz + D = 0. Получавате система от три уравнения, които могат лесно да бъдат решени.

Много студенти намират това решение за изключително досадно и ненадеждно. Миналогодишният Единен държавен изпит по математика показа, че вероятността от извършване на изчислителна грешка е наистина висока.

Ето защо най-напредналите учители започнаха да търсят по-прости и по-елегантни решения. И го намериха! Вярно е, че полученото приемане по-скоро се отнася за висша математика. Лично аз трябваше да се ровя из целия федерален списък на учебниците, за да се уверя, че имаме право да използваме тази техника без никаква обосновка или доказателство.

Уравнение на равнина чрез детерминанта

Стига с текстовете, да се заемем с работата. Като начало, теорема за това как са свързани детерминантата на матрица и уравнението на равнината.

Теорема. Нека са дадени координатите на три точки, през които трябва да се прекара равнината: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Тогава уравнението на тази равнина може да бъде написано чрез детерминантата:

Като пример, нека се опитаме да намерим двойка равнини, които действително се срещат в задачи C2. Вижте колко бързо се изчислява всичко:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Съставяме детерминанта и я приравняваме към нула:

Разширяваме детерминантата:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Както можете да видите, когато изчислявах числото d, аз „сресах“ уравнението малко, така че променливите x, y и z да бяха в правилната последователност. Това е всичко! Уравнението на равнината е готово!

Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Веднага заместваме координатите на точките в детерминанта:

Отново разширяваме детерминантата:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

И така, отново се получава уравнението на равнината! Отново, на последна стъпкаТрябваше да променя знаците в него, за да получа по-красива формула. Изобщо не е необходимо да правите това в това решение, но все пак се препоръчва - за да се опрости по-нататъшното решение на проблема.

Както можете да видите, съставянето на уравнение на равнина вече е много по-лесно. Заместваме точките в матрицата, изчисляваме детерминантата - и това е, уравнението е готово.

Това може да сложи край на урока. Много ученици обаче постоянно забравят какво има вътре в детерминантата. Например кой ред съдържа x 2 или x 3 и кой ред съдържа само x. За да премахнем това наистина от пътя, нека да видим откъде идва всяко число.

Откъде идва формулата с определителя?

И така, нека разберем откъде идва такова грубо уравнение с детерминанта. Това ще ви помогне да го запомните и да го приложите успешно.

Всички равнини, които се появяват в задача C2, се определят от три точки. Тези точки винаги са отбелязани на чертежа или дори са посочени директно в текста на задачата. Във всеки случай, за да създадем уравнение, ще трябва да запишем техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Нека разгледаме друга точка от нашата равнина с произволни координати:

T = (x, y, z)

Вземете произволна точка от първите три (например точка M) и начертайте вектори от нея към всяка от останалите три точки. Получаваме три вектора:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Сега нека съставим квадратна матрица от тези вектори и да приравним нейния детерминант на нула. Координатите на векторите ще станат редове на матрицата - и ще получим самата детерминанта, посочена в теоремата:

Тази формула означава, че обемът на паралелепипед, изграден върху векторите MN, MK и MT, е равен на нула. Следователно и трите вектора лежат в една и съща равнина. По-специално, произволна точка T = (x, y, z) е точно това, което търсихме.

Замяна на точки и прави на детерминанта

Детерминантите имат няколко страхотни свойства, които го правят още по-лесно решение на задача C2. Например, за нас няма значение от коя точка рисуваме векторите. Следователно следните детерминанти дават същото уравнение на равнината като горното:

Можете също така да размените редовете на определителя. Уравнението ще остане непроменено. Например, много хора обичат да пишат линия с координатите на точката T = (x; y; z) в самия връх. Моля, ако Ви е удобно:

Някои хора са объркани от факта, че една от линиите съдържа променливи x, y и z, които не изчезват при заместване на точки. Но те не трябва да изчезват! Замествайки числата в детерминанта, трябва да получите тази конструкция:

След това детерминантата се разширява според диаграмата, дадена в началото на урока, и се получава стандартното уравнение на равнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Разгледайте един пример. Това е последното в днешния урок. Съзнателно ще разменя редовете, за да съм сигурен, че отговорът ще даде същото уравнение на равнината.

Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

И така, ние разглеждаме 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Първо, нека създадем стандартна детерминанта и да я приравним към нула:

Разширяваме детерминантата:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Това е всичко, получихме отговора: x + y + z − 2 = 0.

Сега нека пренаредим няколко реда в определителя и да видим какво ще се случи. Например, нека напишем ред с променливите x, y, z не отдолу, а отгоре:

Отново разширяваме получената детерминанта:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Получихме абсолютно същото уравнение на равнината: x + y + z − 2 = 0. Това означава, че то наистина не зависи от реда на редовете. Остава само да напиша отговора.

И така, убедени сме, че уравнението на равнината не зависи от последователността на правите. Можем да извършим подобни изчисления и да докажем, че уравнението на равнината не зависи от точката, чиито координати изваждаме от други точки.

В проблема, разгледан по-горе, използвахме точката B 1 = (1, 0, 1), но беше напълно възможно да вземем C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). Като цяло всяка точка с известни координати, лежаща на желаната равнина.

За да бъде начертана една равнина през всякакви три точки в пространството, е необходимо тези точки да не лежат на една и съща права линия.

Разгледайте точките M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) в общата декартова координатна система.

За да може произволна точка M(x, y, z) да лежи в една равнина с точките M 1, M 2, M 3, е необходимо векторите да са копланарни.

(
) = 0

По този начин,

Уравнение на равнина, минаваща през три точки:

Уравнение на равнина, дадени две точки и вектор, колинеарен на равнината.

Нека са дадени точките M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) и векторът
.

Нека създадем уравнение за равнина, минаваща през дадените точки M 1 и M 2 и произволна точка M (x, y, z), успоредна на вектора .

Вектори
и вектор
трябва да е копланарна, т.е.

(
) = 0

Уравнение на равнината:

Уравнение на равнина, използващо една точка и два вектора,

колинеарна на равнината.

Нека са дадени два вектора
И
, колинеарни равнини. Тогава за произволна точка M(x, y, z), принадлежаща на равнината, векторите
трябва да е копланарна.

Уравнение на равнината:

Уравнение на равнина чрез точка и нормален вектор .

Теорема. Ако в пространството е дадена точка M 0 (Х 0 , г 0 , z 0 ), тогава уравнението на равнината, минаваща през точка М 0 перпендикулярно на нормалния вектор (А, б, ° С) има формата:

А(х – х 0 ) + б(г – г 0 ) + ° С(z – z 0 ) = 0.

Доказателство. За произволна точка M(x, y, z), принадлежаща на равнината, съставяме вектор. защото вектор е нормалният вектор, тогава той е перпендикулярен на равнината и, следователно, перпендикулярен на вектора
. След това скаларното произведение

= 0

Така получаваме уравнението на равнината

Теоремата е доказана.

Уравнение на равнина в отсечки.

Ако в общото уравнение Ax + Bi + Cz + D = 0 разделим двете страни на (-D)

,

заместване
, получаваме уравнението на равнината в сегменти:

Числата a, b, c са пресечните точки на равнината съответно с осите x, y, z.

Уравнение на равнина във векторна форма.

Където

- радиус вектор на текущата точка M(x, y, z),

Единичен вектор с посока на перпендикуляр, пуснат върху равнина от началото.

,  и  са ъглите, образувани от този вектор с осите x, y, z.

p е дължината на този перпендикуляр.

В координати това уравнение изглежда така:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Разстояние от точка до равнина.

Разстоянието от произволна точка M 0 (x 0, y 0, z 0) до равнината Ax+By+Cz+D=0 е:

Пример.Намерете уравнението на равнината, като знаете, че точка P(4; -3; 12) е основата на перпендикуляра, пуснат от началото към тази равнина.

Така че A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, използваме формулата:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Пример.Намерете уравнението на равнина, минаваща през две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3) перпендикулярно на равнината 3x + 2y – z + 5 = 0.

Нормален вектор към равнината 3x + 2y – z + 5 = 0
успоредна на желаната равнина.

Получаваме:

Пример.Намерете уравнението на равнината, минаваща през точки A(2, -1, 4) и

B(3, 2, -1) перпендикулярна на равнината х + при + 2z – 3 = 0.

Търсеното уравнение на равнината има вида: А х+Б г+C z+ D = 0, нормален вектор към тази равнина (A, B, C). вектор
(1, 3, -5) принадлежи на равнината. Дадената ни равнина, перпендикулярна на желаната, има нормален вектор (1, 1, 2). защото точки A и B принадлежат на двете равнини и равнините са взаимно перпендикулярни, тогава

И така, нормалният вектор (11, -7, -2). защото точка А принадлежи на желаната равнина, тогава нейните координати трябва да удовлетворяват уравнението на тази равнина, т.е. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Като цяло получаваме уравнението на равнината: 11 х - 7г – 2z – 21 = 0.

Пример.Намерете уравнението на равнината, като знаете, че точка P(4, -3, 12) е основата на перпендикуляра, пуснат от началото към тази равнина.

Намиране на координатите на нормалния вектор
= (4, -3, 12). Търсеното уравнение на равнината има вида: 4 х – 3г + 12z+ D = 0. За да намерим коефициента D, заместваме координатите на точка P в уравнението:

16 + 9 + 144 + D = 0

Като цяло получаваме необходимото уравнение: 4 х – 3г + 12z – 169 = 0

Пример.Дадени са координатите на върховете на пирамидата A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Намерете дължината на ръба A 1 A 2.

Намерете ъгъла между ръбовете A 1 A 2 и A 1 A 4.

Намерете ъгъла между ръба A 1 A 4 и лицето A 1 A 2 A 3.

Първо намираме нормалния вектор към лицето A 1 A 2 A 3 като кръстосано произведение на вектори
И
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Нека намерим ъгъла между нормалния вектор и вектора
.

-4 – 4 = -8.

Желаният ъгъл  между вектора и равнината ще бъде равен на  = 90 0 - .

Намерете площта на лицето A 1 A 2 A 3.

Намерете обема на пирамидата.

Намерете уравнението на равнината A 1 A 2 A 3.

Нека използваме формулата за уравнението на равнина, минаваща през три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Когато използвате компютърната версия “ Курс по висша математика” можете да стартирате програма, която ще реши горния пример за всякакви координати на върховете на пирамидата.

За да стартирате програмата, щракнете двукратно върху иконата:

В прозореца на програмата, който се отваря, въведете координатите на върховете на пирамидата и натиснете Enter. По този начин всички точки за решение могат да бъдат получени една по една.

Забележка: За да стартирате програмата, програмата Maple ( Waterloo Maple Inc.) от всяка версия, започваща с MapleV Release 4, трябва да бъде инсталирана на вашия компютър.

Уравнение на равнина. Как да напиша уравнение на равнина?
Взаимна договореностсамолети. Задачи

Пространствената геометрия не е много по-сложна от „плоската“ геометрия и нашите полети в космоса започват с тази статия. За да овладеете темата, трябва да имате добро разбиране на вектори, освен това е препоръчително да сте запознати с геометрията на равнината - ще има много прилики, много аналогии, така че информацията ще се усвоява много по-добре. В поредица от мои уроци 2D светът започва със статия Уравнение на права на равнина. Но сега Батман напусна плоския телевизионен екран и се изстрелва от космодрума Байконур.

Да започнем с чертежи и символи. Схематично равнината може да бъде начертана под формата на успоредник, което създава впечатление за пространство:

Самолетът е безкраен, но имаме възможност да изобразим само парче от него. На практика освен успоредника се рисува и овал или дори облак. По технически причини ми е по-удобно да изобразя самолета точно по този начин и точно в тази позиция. Истински самолети, които ще разгледаме в практически примери, може да се позиционира по всякакъв начин - мислено вземете чертежа в ръцете си и го завъртете в пространството, придавайки на равнината всякакъв наклон, всякакъв ъгъл.

Наименования: самолетите обикновено се обозначават с малки гръцки букви, очевидно за да не се бъркат с права линия в равнинаили със права линия в пространството. Свикнал съм да използвам писмото. На чертежа това е буквата "сигма", а не дупка изобщо. Въпреки че, дупчестият самолет със сигурност е доста забавен.

В някои случаи е удобно да се използват едни и същи гръцки букви с долни индекси за обозначаване на равнини, например .

Очевидно е, че равнината е еднозначно определена от три различни точки, които не лежат на една права. Следователно трибуквените обозначения на равнините са доста популярни - чрез принадлежащите им точки, например и т.н. Често буквите са оградени в скоби: , за да не объркате равнината с друга геометрична фигура.

За опитни читатели ще дам меню за бърз достъп:

• Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и два вектора?
• Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и нормален вектор?

и няма да изнемогваме в дълго чакане:

Общо уравнение на равнината

Общото уравнение на равнината има формата , където коефициентите не са равни на нула едновременно.

Редица теоретични изчисления и практически проблемивалидни както за обичайната ортонормална база, така и за афинната основа на пространството (ако маслото е масло, върнете се към урока Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите). За простота ще приемем, че всички събития се случват в ортонормална основа и декартова правоъгълна координатна система.

Сега нека упражним малко нашето пространствено въображение. Добре е, ако вашият е лош, сега ще го развием малко. Дори играта на нерви изисква обучение.

В най-общия случай, когато числата не са равни на нула, равнината пресича и трите координатни оси. Например така:

Още веднъж повтарям, че равнината продължава безкрайно във всички посоки и имаме възможност да изобразим само част от нея.

Нека разгледаме най-простите уравнения на равнините:

Как да разберем това уравнение? Помислете за това: "Z" ВИНАГИ е равно на нула за всякакви стойности на "X" и "Y". Това е уравнението на "родната" координатна равнина. Всъщност, формално уравнението може да бъде пренаписано, както следва: , откъдето можете ясно да видите, че не ни интересува какви стойности приемат „x“ и „y“, важно е „z“ да е равно на нула.

По същия начин:
– уравнение на координатната равнина;
– уравнение на координатната равнина.

Нека усложним малко задачата, помислете за равнина (тук и по-нататък в параграфа приемаме, че числовите коефициенти не са равни на нула). Нека пренапишем уравнението във формата: . Как да го разбираме? „X“ е ВИНАГИ, за всякакви стойности на „Y“ и „Z“, равни на определено число. Тази равнина е успоредна на координатната равнина. Например една равнина е успоредна на равнина и минава през точка.

По същия начин:
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната равнина;
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната равнина.

Нека добавим членове: . Уравнението може да бъде пренаписано по следния начин: , тоест „zet“ може да бъде всичко. Какво означава? “X” и “Y” са свързани с релацията, която чертае определена права линия в равнината (ще разберете уравнение на права в равнина?). Тъй като „z“ може да бъде всичко, тази права линия се „копира“ на всяка височина. По този начин уравнението определя равнина, успоредна на координатната ос

По същия начин:
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната ос;
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната ос.

Ако свободните членове са нула, тогава равнините ще минават директно през съответните оси. Например класическата „пряка пропорционалност“: . Начертайте права линия в равнината и мислено я умножете нагоре и надолу (тъй като "Z" е всяко). Извод: равнината, определена от уравнението, минава през координатната ос.

Завършваме прегледа: уравнението на равнината преминава през произхода. Е, тук е съвсем очевидно, че точката удовлетворява това уравнение.

И накрая, случаят, показан на чертежа: – равнината е приятелска с всички координатни оси, докато винаги „отрязва“ триъгълник, който може да бъде разположен във всеки от осемте октанта.

Линейни неравенства в пространството

За да разберете информацията, трябва да проучите добре линейни неравенства в равнината, защото много неща ще си приличат. Параграфът ще има кратък обзорен характер с няколко примера, тъй като материалът е доста рядък на практика.

Ако уравнението определя равнина, тогава неравенствата
питам полупространства. Ако неравенството не е строго (последните две в списъка), тогава решението на неравенството, освен полупространството, включва и самата равнина.

Пример 5

Намерете единичния нормален вектор на равнината .

Решение: Единичен вектор е вектор, чиято дължина е единица. Нека означим този вектор с . Абсолютно ясно е, че векторите са колинеарни:

Първо премахваме нормалния вектор от уравнението на равнината: .

Как да намерим единичен вектор? За да намерите единичния вектор, трябва всекиразделете векторната координата на дължината на вектора.

Нека пренапишем нормалния вектор във формата и да намерим неговата дължина:

Според горното:

Отговор:

Проверка: какво се изисква да бъде проверено.

Читателите, които внимателно са проучили последния параграф от урока, вероятно са забелязали това координатите на единичния вектор са точно насочващите косинуси на вектора:

Нека си дадем почивка от проблема: когато ви е даден произволен ненулев вектор, а според условието се изисква да се намерят неговите насочващи косинуси (вижте последните задачи от урока Точково произведение на вектори), тогава вие всъщност намирате единичен вектор, колинеарен на този. Всъщност две задачи в една бутилка.

Необходимостта да се намери единичният нормален вектор възниква в някои проблеми на математическия анализ.

Разбрахме как да намерим нормален вектор, сега нека отговорим на обратния въпрос:

Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и нормален вектор?

Тази твърда конструкция от нормален вектор и точка е добре позната на дъската за дартс. Моля, протегнете ръка напред и мислено изберете произволна точка в пространството, например малка котка в бюфета. Очевидно, чрез тази точкаможете да начертаете една равнина, перпендикулярна на ръката ви.

Уравнението на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на вектора, се изразява с формулата:

В този материал ще разгледаме как да намерим уравнението на равнина, ако знаем координатите на три различни точки, които не лежат на една и съща права линия. За да направим това, трябва да си спомним какво е правоъгълна координатна система в триизмерното пространство. Като начало ще представим основния принцип на това уравнение и ще покажем как точно да го използваме за решаване на конкретни проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първо, трябва да запомним една аксиома, която звучи така:

Определение 1

Ако три точки не съвпадат една с друга и не лежат на една права, то в триизмерното пространство през тях минава само една равнина.

С други думи, ако имаме три различни точки, чиито координати не съвпадат и които не могат да бъдат свързани с права линия, тогава можем да определим равнината, минаваща през тях.

Да кажем, че имаме правоъгълна координатна система. Нека го обозначим с O x y z. Съдържа три точки M с координати M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), които не могат да бъдат свързани права. Въз основа на тези условия можем да напишем уравнението на равнината, от която се нуждаем. Има два подхода за решаване на този проблем.

1. Първият подход използва общо уравнениесамолет. В буквена форма се записва като A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. С негова помощ можете да дефинирате в правоъгълна координатна система определена алфа равнина, която минава през първата дадена точка M 1 (x 1, y 1, z 1). Оказва се, че нормалният вектор на равнината α ще има координати A, B, C.

Дефиниция на Н

Познавайки координатите на нормалния вектор и координатите на точката, през която минава равнината, можем да напишем общото уравнение на тази равнина.

От това ще изхождаме и занапред.

Така според условията на задачата имаме координатите на желаната точка (дори три), през която минава самолета. За да намерите уравнението, трябва да изчислите координатите на нормалния му вектор. Нека го обозначим с n → .

Нека си припомним правилото: всеки ненулев вектор на дадена равнина е перпендикулярен на нормалния вектор на същата равнина. Тогава имаме, че n → ще бъде перпендикулярен на векторите, съставени от първоначалните точки M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Тогава можем да означим n → като векторно произведение от формата M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Тъй като M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) и M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (доказателствата за тези равенства са дадени в статията, посветена на изчисляването на координатите на вектор от координатите на точки), тогава се оказва, че:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Ако изчислим детерминантата, ще получим координатите на нормалния вектор n → от който се нуждаем. Сега можем да напишем уравнението, от което се нуждаем за равнина, минаваща през три дадени точки.

2. Вторият подход за намиране на уравнението, преминаващо през M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), се основава на такава концепция като копланарност на векторите.

Ако имаме набор от точки M (x, y, z), тогава в правоъгълна координатна система те определят равнина за дадени точки M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) само в случай, когато векторите M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) и M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) ще бъдат копланарни .

На диаграмата ще изглежда така:

Това ще означава, че смесеното произведение на векторите M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → ще бъде равно на нула: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , тъй като това е основното условие за копланарност: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) и M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Нека напишем полученото уравнение в координатна форма:

След като изчислим детерминантата, можем да получим уравнението на равнината, от което се нуждаем, за три точки, които не лежат на една и съща права линия M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M3 (x 3, y 3, z 3) .

От полученото уравнение можете да преминете към уравнението на равнината в сегменти или към нормалното уравнение на равнината, ако условията на проблема го изискват.

В следващия параграф ще дадем примери как се прилагат на практика посочените от нас подходи.

Примерни задачи за съставяне на уравнение на равнина, минаваща през 3 точки

Преди това идентифицирахме два подхода, които могат да се използват за намиране на желаното уравнение. Нека да разгледаме как се използват за решаване на проблеми и кога трябва да изберете всеки от тях.

Пример 1

Има три точки, които не лежат на една права, с координати M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Напишете уравнение за равнината, минаваща през тях.

Решение

Използваме двата метода последователно.

1. Намерете координатите на двата вектора, от които се нуждаем M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Сега нека изчислим тяхното векторно произведение. Няма да описваме изчисленията на детерминантата:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Имаме нормален вектор на равнината, който минава през трите търсени точки: n → = (- 5, 30, 2) . След това трябва да вземем една от точките, например M 1 (- 3, 2, - 1), и да напишем уравнението за равнината с вектор n → = (- 5, 30, 2). Получаваме, че: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Това е уравнението, от което се нуждаем за равнина, която минава през три точки.

2. Нека приемем различен подход. Нека напишем уравнението за равнина с три точки M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) в следната форма:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Тук можете да замените данни от постановката на проблема. Тъй като x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, в крайна сметка получаваме:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Получихме уравнението, от което се нуждаехме.

Отговор:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Но какво ще стане, ако дадените точки все още лежат на една и съща права и трябва да създадем уравнение на равнина за тях? Тук веднага трябва да се каже, че това условие няма да е напълно правилно. Безкраен брой равнини могат да преминат през такива точки, така че е невъзможно да се изчисли един отговор. Нека разгледаме такъв проблем, за да докажем неправилността на такава формулировка на въпроса.

Пример 2

Имаме правоъгълна координатна система в тримерното пространство, в която са поставени три точки с координати M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1) . Необходимо е да се напише уравнение за равнината, минаваща през него.

Решение

Нека използваме първия метод и започнем с изчисляване на координатите на два вектора M 1 M 2 → и M 1 M 3 →. Нека изчислим техните координати: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Кръстосаното произведение ще бъде равно на:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Тъй като M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, тогава нашите вектори ще бъдат колинеарни (прочетете отново статията за тях, ако сте забравили определението на това понятие). По този начин началните точки M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) са на една права и нашата задача има безкрайно много варианти отговор.

Ако използваме втория метод, ще получим:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

От полученото равенство също следва, че дадените точки M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) са на една и съща права.

Ако искате да намерите поне един отговор на този проблем от безкрайния брой опции, тогава трябва да следвате следните стъпки:

1. Запишете уравнението на линията M 1 M 2, M 1 M 3 или M 2 M 3 (ако е необходимо, вижте материала за това действие).

2. Вземете точка M 4 (x 4, y 4, z 4), която не лежи на правата M 1 M 2.

3. Напишете уравнението на равнина, която минава през три различни точки M 1, M 2 и M 4, които не лежат на една права.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Да предположим, че трябва да намерим уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки, които не лежат на една права. Означавайки техните радиус вектори с и текущия радиус вектор с , можем лесно да получим необходимото уравнение във векторна форма. Всъщност векторите трябва да са компланарни (всички те лежат в желаната равнина). Следователно векторно-скаларното произведение на тези вектори трябва да бъде равно на нула:

Това е уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки във векторна форма.

Преминавайки към координатите, получаваме уравнението в координати:

Ако три дадени точки лежат на една права, тогава векторите ще бъдат колинеарни. Следователно, съответните елементи на последните два реда на детерминантата в уравнение (18) ще бъдат пропорционални и детерминантата ще бъде идентично равна на нула. Следователно уравнение (18) ще стане идентично за всякакви стойности на x, y и z. Геометрично това означава, че през всяка точка от пространството минава равнина, в която лежат трите дадени точки.

Забележка 1. Същата задача може да се реши без използване на вектори.

Означавайки съответно координатите на трите дадени точки, ще напишем уравнението на всяка равнина, минаваща през първата точка:

За да се получи уравнението на желаната равнина, е необходимо да се изисква уравнение (17) да бъде изпълнено от координатите на две други точки:

От уравнения (19) е необходимо да се определи съотношението на два коефициента към третия и да се въведат намерените стойности в уравнение (17).

Пример 1. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките.

Уравнението на равнината, минаваща през първата от тези точки, ще бъде:

Условията равнината (17) да премине през други две точки и първата точка са:

Добавяйки второто уравнение към първото, намираме:

Замествайки във второто уравнение, получаваме:

Замествайки в уравнение (17) вместо A, B, C, съответно 1, 5, -4 (числа, пропорционални на тях), получаваме:

Пример 2. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Уравнението на всяка равнина, минаваща през точката (0, 0, 0), ще бъде]

Условията за преминаване на тази равнина през точки (1, 1, 1) и (2, 2, 2) са:

Намалявайки второто уравнение с 2, виждаме, че за да се определят две неизвестни, има едно уравнение с

От тук получаваме. Сега замествайки стойността на равнината в уравнението, намираме:

Това е уравнението на желаната равнина; зависи от произволно

количества B, C (а именно от връзката, т.е. има безкраен брой равнини, минаващи през три дадени точки (три дадени точки лежат на една и съща права линия).

Забележка 2. Задачата за начертаване на равнина през три дадени точки, които не лежат на една права, се решава лесно в общ изглед, ако използваме детерминанти. Наистина, тъй като в уравнения (17) и (19) коефициентите A, B, C не могат да бъдат едновременно равни на нула, тогава, разглеждайки тези уравнения като хомогенна системас три неизвестни A, B, C, записваме необходимо и достатъчно условие за съществуването на решение на тази система, което е различно от нула (част 1, глава VI, § 6):

След като разширим този детерминант в елементите на първия ред, получаваме уравнение от първа степен по отношение на текущите координати, което ще бъде удовлетворено по-специално от координатите на трите дадени точки.

Можете също така да проверите това последното директно, като замените координатите на която и да е от тези точки вместо . От лявата страна получаваме детерминанта, в която или елементите на първия ред са нули, или има два еднакви реда. Така построеното уравнение представлява равнина, минаваща през дадените три точки.