Понятията синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () са неразривно свързани с понятието ъгъл. За да разберете добре тези, на пръв поглед, сложни понятия(които предизвикват състояние на ужас у много ученици) и за да сме сигурни, че „дяволът не е толкова страшен, колкото го рисуват“, нека започнем от самото начало и разберем концепцията за ъгъл.
Концепция за ъгъл: радиан, градус
Нека погледнем снимката. Векторът се е „завъртял“ спрямо точката с определена стойност. Така че мярката на това завъртане спрямо началната позиция ще бъде ъгъл.
Какво още трябва да знаете за понятието ъгъл? Е, разбира се, ъглови единици!
Ъгълът, както в геометрията, така и в тригонометрията, може да бъде измерен в градуси и радиани.
Ъгъл от (един градус) се нарича централен ъгълв кръг, базиран на кръгова дъга, равна на част от кръга. По този начин целият кръг се състои от „парчета“ кръгови дъги или ъгълът, описан от кръга, е равен.
Тоест фигурата по-горе показва ъгъл, равен на, тоест този ъгъл лежи върху дъга от окръжност с размера на обиколката.
Ъгъл в радиани е централният ъгъл в окръжност, сключен от окръжна дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността. Е, разбрахте ли? Ако не, тогава нека го разберем от чертежа.
И така, фигурата показва ъгъл, равен на радиан, тоест този ъгъл се опира на кръгла дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността (дължината е равна на дължината или радиусът е равен на дължина на дъгата). Така дължината на дъгата се изчислява по формулата:
Къде е централният ъгъл в радиани.
Е, като знаете това, можете ли да отговорите колко радиана се съдържат в ъгъла, описан от окръжността? Да, за това трябва да запомните формулата за обиколка. Ето я:
Е, сега нека съпоставим тези две формули и да открием, че ъгълът, описан от окръжността, е равен. Тоест, като съпоставим стойността в градуси и радиани, получаваме това. Съответно,. Както можете да видите, за разлика от "градуси", думата "радиан" е пропусната, тъй като мерната единица обикновено е ясна от контекста.
Колко радиана има? Това е вярно!
Схванах го? След това продължете напред и го поправете:
Имате затруднения? Тогава погледнете отговори:
Правоъгълен триъгълник: синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл
И така, разбрахме концепцията за ъгъл. Но какво е синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл? Нека да го разберем. За да направим това, ще ни помогне правоъгълен триъгълник.
Как се наричат страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенуза и катети: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната); краката са двете останали страни и (тези в съседство с прав ъгъл), и ако разгледаме катетите спрямо ъгъла, тогава катетът е съседният катет, а катетът е противоположният. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?
Синус от ъгъл- това е отношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.
В нашия триъгълник.
Косинус на ъгъл- това е отношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.
В нашия триъгълник.
Тангенс на ъгъла- това е съотношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка).
В нашия триъгълник.
Котангенс на ъгъл- това е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).
В нашия триъгълник.
Тези определения са необходими помня! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаИ котангенссамо краката седят, а хипотенузата се появява само в синуситеИ косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:
Косинус→докосване→докосване→съседно;
Котангенс→докосване→докосване→съседно.
Преди всичко трябва да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (при един и същи ъгъл). Не вярвайте? Тогава се уверете, като погледнете снимката:
Помислете, например, за косинуса на ъгъл. По дефиниция от триъгълник: , но можем да изчислим косинуса на ъгъл от триъгълник: . Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.
Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги консолидирайте!
За триъгълника, показан на фигурата по-долу, намираме.
Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла.
Единична (тригонометрична) окръжност
Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на. Такъв кръг се нарича единичен. Ще бъде много полезно при изучаване на тригонометрия. Затова нека го разгледаме малко по-подробно.
Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото на координатите, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).
Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата на оста и координатата на оста. Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, трябва да си спомним за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Тя е правоъгълна, защото е перпендикулярна на оста.
На какво е равен триъгълникът? Това е вярно. Освен това знаем, че това е радиусът на единичната окръжност, което означава . Нека заместим тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:
На какво е равен триъгълникът? Добре, разбира се, ! Заменете стойността на радиуса в тази формула и получете:
И така, можете ли да кажете какви координати има точка, принадлежаща на окръжност? Е, няма начин? Ами ако осъзнаете това и сте само числа? На коя координата отговаря? Е, разбира се, координатите! И на коя координата отговаря? Точно така, координати! Така точка.
На какво тогава са равни и ? Точно така, нека използваме съответните определения за тангенс и котангенс и да получим това, a.
Ами ако ъгълът е по-голям? Например, като на тази снимка:
Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, нека се обърнем отново към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Какви са стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:
Е, както виждате, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения се прилагат за всяка ротация на радиус вектора.
Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена стойност, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.
И така, ние знаем, че цяло завъртане на радиус вектора около окръжност е или. Възможно ли е радиус векторът да се завърти на или на? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус-векторът ще направи един пълен оборот и ще спре в позиция или.
Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция или.
По този начин от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.
Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани по общата формула или (където е цяло число)
Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите какви са стойностите:
Ето единичен кръг, за да ви помогне:
Имате затруднения? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:
От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени ъглови мерки. Е, нека започнем по ред: ъгълът при съответства на точка с координати, следователно:
Не съществува;
Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват съответно на точки с координати. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами и след това проверете отговорите.
Отговори:
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Така можем да направим следната таблица:
Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:
Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:
Не се страхувайте, сега ще ви покажем един пример доста лесно да запомните съответните стойности:
За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки на ъгъл (), както и стойността на тангенса на ъгъла. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинуса се прехвърлят в съответствие със стрелките, т.е.
Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят „ “ ще съвпада, а знаменателят „ “ ще съвпада. Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, посочени на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелките, тогава ще бъде достатъчно да запомните всички стойности от таблицата.
Координати на точка върху окръжност
Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, познаване на координатите на центъра на кръга, неговия радиус и ъгъл на въртене?
Е, разбира се, че можете! Нека го извадим обща формула за намиране на координатите на точка.
Например, ето кръг пред нас:
Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точка, получена чрез завъртане на точката на градуси.
Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на сегмента. Дължината на сегмента съответства на координатата на центъра на кръга, тоест е равна. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:
Тогава имаме това за координатата на точката.
Използвайки същата логика, намираме стойността на y координатата за точката. По този начин,
И така, в общ изгледкоординатите на точките се определят по формулите:
Координати на центъра на кръга,
радиус на кръга,
Ъгълът на завъртане на радиуса на вектора.
Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са равни на нула, а радиусът е равен на едно:
Е, нека изпробваме тези формули, като се упражняваме да намираме точки в окръжност?
1. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.
2. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.
3. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.
4. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.
5. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.
Имате проблеми с намирането на координатите на точка от окръжност?
Решете тези пет примера (или станете добри в решаването им) и ще се научите да ги намирате!
1.
Можете да забележите това. Но знаем какво отговаря на пълно завъртане на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:
2. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Можете да забележите това. Знаем какво съответства на два пълни оборота на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:
Синус и косинус са таблични стойности. Припомняме си значенията и получаваме:
Така желаната точка има координати.
3. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Можете да забележите това. Нека изобразим въпросния пример на фигурата:
Радиусът образува ъгли, равни на и с оста. Знаейки, че стойностите на таблицата на косинус и синус са равни и след като определихме, че косинусът тук приема отрицателна стойност, а синусът приема положителна стойност, имаме:
Такива примери се обсъждат по-подробно при изучаване на формулите за намаляване на тригонометричните функции в темата.
Така желаната точка има координати.
4.
Ъгъл на въртене на радиуса на вектора (по условие)
За да определим съответните знаци на синус и косинус, конструираме единична окръжност и ъгъл:
Както можете да видите, стойността е положителна, а стойността е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:
Нека заместим получените стойности в нашата формула и намерим координатите:
Така желаната точка има координати.
5. За да разрешим този проблем, използваме формули в общ вид, където
Координати на центъра на кръга (в нашия пример,
Радиус на окръжност (по условие)
Ъгъл на завъртане на радиуса на вектора (по условие).
Нека заместим всички стойности във формулата и да получим:
и - таблични стойности. Нека запомним и ги заместим във формулата:
Така желаната точка има координати.
ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ
Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.
Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.
Тангенсът на ъгъл е отношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка) страна.
Котангенсът на ъгъл е отношението на съседната (близка) страна към противоположната (далечна) страна.
Единен държавен изпит за 4? Няма ли да се пръснеш от щастие?
Въпросът, както се казва, е интересен... Възможно е, възможно е да минеш с 4! И в същото време да не се спука... Основното условие е да спортувате редовно. Ето основната подготовка за Единния държавен изпит по математика. С всички тайни и мистерии на Единния държавен изпит, за които няма да прочетете в учебниците... Проучете този раздел, решете повече задачи от различни източници - и всичко ще се получи! Предполага се, че основният раздел "A C е достатъчен за вас!" не ти създава проблеми. Но ако изведнъж... Следвайте връзките, не бъдете мързеливи!
И ще започнем с една страхотна и ужасна тема.
Тригонометрия
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Тази тема създава много проблеми на учениците. Смята се за един от най-тежките. Какво са синус и косинус? Какво са тангенс и котангенс? Какво стана числов кръг? Щом зададете тези безобидни въпроси, човекът пребледнява и се опитва да отклони разговора... Но напразно. Това са прости концепции. И тази тема не е по-трудна от другите. Просто трябва ясно да разберете отговорите на тези въпроси от самото начало. Много е важно. Ако разбирате, ще ви хареса тригонометрията. Така,
Какво са синус и косинус? Какво са тангенс и котангенс?
Да започнем с древността. Не се притеснявайте, ще преминем през всичките 20 века тригонометрия за около 15 мин. И незабелязано ще повторим част от геометрията от 8 клас.
Нека начертаем правоъгълен триъгълник със страни a, b, cи ъгъл х. Ето го.
Нека ви напомня, че страните, които образуват прав ъгъл, се наричат катети. a и c– крака. Двама са. Останалата страна се нарича хипотенуза. с– хипотенуза.
Триъгълник и триъгълник, само помислете! Какво да правя с него? Но древните хора са знаели какво да правят! Нека повторим техните действия. Да измерим страната V. На фигурата клетките са специално начертани, както в Задачи за единен държавен изпитСлучва се. отстрани Vравно на четири клетки. ДОБРЕ. Да измерим страната А.Три клетки.
Сега нека разделим дължината на страната Ана дължина на страната V. Или, както се казва, да вземем отношението АДа се V. а/в= 3/4.
Напротив, можете да разделите VНа А.Получаваме 4/3. Мога Vразделете на с.хипотенуза сНевъзможно е да броим по клетки, но е равно на 5. Получаваме високо качество= 4/5. Накратко, можете да разделите дължините на страните една на друга и да получите някои числа.
Какво от това? Какъв е смисълът от тази интересна дейност? Все още няма. Безсмислено упражнение, казано направо.)
Сега нека направим това. Нека увеличим триъгълника. Нека разширим страните в и с, но така че триъгълникът да остане правоъгълен. Ъгъл х, разбира се, не се променя. За да видите това, задръжте курсора на мишката върху снимката или я докоснете (ако имате таблет). Партита a, b и cще се превърне в m, n, kи, разбира се, дължините на страните ще се променят.
Но връзката им не е!
Поведение а/вбеше: а/в= 3/4, стана м/н= 6/8 = 3/4. Отношенията на други заинтересовани страни също са няма да се промени . Можете да променяте дължините на страните в правоъгълен триъгълник, както желаете, да увеличавате, намалявате, без промяна на ъгъла x – отношенията между съответните страни няма да се променят . Можете да го проверите или можете да повярвате на думата на древните хора.
Но това вече е много важно! Съотношенията на страните в правоъгълен триъгълник не зависят по никакъв начин от дължините на страните (при същия ъгъл). Това е толкова важно, че отношенията между страните са спечелили свое специално име. Вашите имена, така да се каже.) Запознайте се с мен.
Колко е синусът на ъгъл x ? Това е отношението на противоположната страна към хипотенузата:
sinx = a/c
Колко е косинусът на ъгъла x ? Това е отношението на съседния катет към хипотенузата:
сosx= високо качество
Какво е тангенс х ? Това е съотношението на противоположната страна към съседната:
tgx =а/в
Колко е котангенсът на ъгъл x ? Това е съотношението на съседната страна към противоположната:
ctgx = v/a
Всичко е много просто. Синус, косинус, тангенс и котангенс са някои числа. Безразмерен. Само цифри. Всеки ъгъл има свой собствен.
Защо повтарям всичко толкова скучно? Тогава какво е това трябва да запомните. Важно е да запомните. Запаметяването може да бъде улеснено. Позната ли е фразата „Да започнем отдалеч…“? Така че започнете отдалеч.
синуситеъгълът е отношение отдалеченот ъгъла на крака към хипотенузата. Косинус– отношението на съседа към хипотенузата.
Допирателнаъгълът е отношение отдалеченот ъгъла на крака към близкия. Котангенс- обратно.
По-лесно е, нали?
Е, ако помните, че в тангенса и котангенса има само катети, а в синуса и косинуса се появява хипотенузата, тогава всичко ще стане съвсем просто.
Цялото това славно семейство - синус, косинус, тангенс и котангенс се нарича още тригонометрични функции.
Сега въпрос за разглеждане.
Защо казваме синус, косинус, тангенс и котангенс ъгъл?Говорим за отношенията между страните като... Какво общо има? ъгъл?
Нека да разгледаме втората снимка. Абсолютно същото като първото.
Задръжте курсора на мишката върху снимката. Смених ъгъла х. Увеличи го от x към x.Всички отношения са променени! Поведение а/вбеше 3/4 и съответното съотношение т/встана 6/4.
И всички други отношения станаха различни!
Следователно съотношенията на страните не зависят по никакъв начин от техните дължини (при един ъгъл х), но зависят рязко от този точно този ъгъл! И само от него.Следователно термините синус, косинус, тангенс и котангенс се отнасят за ъгъл.Ъгълът тук е основният.
Трябва ясно да се разбере, че ъгълът е неразривно свързан с неговите тригонометрични функции. Всеки ъгъл има свой синус и косинус. И почти всеки има свой тангенс и котангенс.Важно е. Смята се, че ако ни е даден ъгъл, тогава неговите синус, косинус, тангенс и котангенс ние знаем ! И обратно. Даден синус или който и да е друг тригонометрична функция- това означава, че знаем ъгъла.
Има специални таблици, където за всеки ъгъл са описани неговите тригонометрични функции. Наричат се Bradis tables. Те са съставени много отдавна. Когато още нямаше калкулатори или компютри...
Разбира се, невъзможно е да запомните тригонометричните функции на всички ъгли. От вас се изисква да ги знаете само за няколко ъгъла, повече за това по-късно. Но заклинанието Познавам ъгъл, което означава, че знам тригонометричните му функции” -винаги работи!
И така повторихме част от геометрията от 8 клас. Имаме ли нужда от него за Единния държавен изпит? Необходимо. Ето един типичен проблем от Единния държавен изпит. За решаването на този проблем е достатъчен 8 клас. Дадена снимка:
Всичко. Няма повече данни. Трябва да намерим дължината на страната на самолета.
Клетките не помагат много, триъгълника е някак неправилно позициониран.... Нарочно, предполагам... От информацията има дължината на хипотенузата. 8 клетки. По някаква причина ъгълът беше даден.
Тук трябва незабавно да си спомните за тригонометрията. Има ъгъл, което означава, че знаем всичките му тригонометрични функции. Коя от четирите функции да използваме? Да видим, какво знаем? Знаем хипотенузата и ъгъла, но трябва да намерим съседенкатетър към този ъгъл! Ясно е, косинусът трябва да бъде приведен в действие! Ето ни. Ние просто пишем, по дефиницията на косинус (отношението съседенкатет към хипотенуза):
cosC = BC/8
Нашият ъгъл С е 60 градуса, косинусът му е 1/2. Трябва да знаете това, без никакви таблици! Това е:
1/2 = BC/8
Елементарно линейно уравнение. Неизвестен – слънце. Който е забравил как се решават уравнения, погледнете линка, останалите решавайте:
BC = 4
Когато древните хора разбрали, че всеки ъгъл има свой собствен набор от тригонометрични функции, те имали разумен въпрос. Синус, косинус, тангенс и котангенс свързани ли са по някакъв начин един с друг?Така че като знаете една ъглова функция, можете да намерите останалите? Без да изчислявате самия ъгъл?
Бяха толкова неспокойни...)
Връзка между тригонометричните функции на един ъгъл.
Разбира се, синус, косинус, тангенс и котангенс на един и същи ъгъл са свързани помежду си. Всяка връзка между изразите се дава в математиката чрез формули. В тригонометрията има колосален брой формули. Но тук ще разгледаме най-основните. Тези формули се наричат: основни тригонометрични тъждества.Ето ги и тях:
Трябва да знаете тези формули напълно. Без тях по принцип няма какво да се прави в тригонометрията. Още три спомагателни идентичности следват от тези основни идентичности:
Веднага ви предупреждавам, че последните три формули бързо изпадат от паметта ви. По някаква причина.) Можете, разбира се, да извлечете тези формули от първите три. Но в Трудно време... Разбираш.)
При стандартни задачи, като тези по-долу, има начин да се избегнат тези забравими формули. И значително намаляване на грешкитепоради забрава, а и в изчисленията също. Тази практика е в раздел 555, урок „Връзки между тригонометрични функции на един и същи ъгъл“.
В какви задачи и как се използват основните тригонометрични тъждества? Най-популярната задача е да се намери някаква ъглова функция, ако е дадена друга. В Единния държавен изпит такава задача присъства от година на година.) Например:
Намерете стойността на sinx, ако x е остър ъгъл и cosx=0,8.
Задачата е почти елементарна. Търсим формула, която съдържа синус и косинус. Ето формулата:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Тук заместваме известна стойност, а именно 0,8 вместо косинус:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
Е, ние броим както обикновено:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x = 1 - 0,64
Това е на практика всичко. Изчислихме квадрата на синуса, остава само да извадим корен квадратен и отговорът е готов! Коренът от 0,36 е 0,6.
Задачата е почти елементарна. Но думата „почти“ е там с причина... Факт е, че отговорът sinx= - 0,6 също е подходящ... (-0,6) 2 също ще бъде 0,36.
Има два различни отговора. И имате нужда от такъв. Второто е грешно. Как да бъде!? Да, както обикновено.) Прочетете внимателно заданието. По някаква причина се казва:... ако x е остър ъгъл...А в задачите всяка дума има значение, да... Тази фраза е допълнителна информация към решението.
Остър ъгъл е ъгъл, по-малък от 90°. И на такива ъгли всичкотригонометрични функции - синус, косинус и тангенс с котангенс - положителен.Тези. Тук просто отхвърляме отрицателния отговор. Имаме право.
Всъщност осмокласниците нямат нужда от такива тънкости. Те работят само с правоъгълни триъгълници, където ъглите могат да бъдат само остри. И те не знаят, щастливци, че има и отрицателни ъгли, и ъгли от 1000°... И всички тези ужасни ъгли имат свои собствени тригонометрични функции, както плюс, така и минус...
Но за гимназисти, без да се съобразява със знака - няма как. Много знания умножават мъките, да...) А за правилното решение в задачата задължително присъства допълнителна информация (ако е необходима). Например, може да бъде дадено чрез следния запис:
Или по друг начин. Ще видите в примерите по-долу.) За да решите такива примери, трябва да знаете в кой квартал попада? определен ъгъл x и какъв е знакът на търсената тригонометрична функция в този квадрант.
Тези основи на тригонометрията се обсъждат в уроците за това какво е тригонометрична окръжност, измерването на ъглите върху тази окръжност, радианова мярка на ъгъл. Понякога трябва да знаете таблицата на синусите, косинусите на тангенсите и котангенсите.
И така, нека отбележим най-важното:
1. Запомнете дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Ще бъде много полезно.
2. Ние ясно разбираме: синус, косинус, тангенс и котангенс са тясно свързани с ъгли. Ние знаем едно, което означава, че знаем друго.
3. Ние ясно разбираме: синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл са свързани помежду си по основен тригонометрични тъждества. Знаем една функция, което означава, че можем (ако разполагаме с необходимата допълнителна информация) да изчислим всички останали.
Сега нека решим, както обикновено. Първо задачи в обхвата на 8 клас. Но гимназистите също могат да го направят...)
1. Изчислете стойността на tgA, ако ctgA = 0,4.
2. β е ъгъл в правоъгълен триъгълник. Намерете стойността на tanβ, ако sinβ = 12/13.
3. Определете синус остър ъгъл x, ако tgх = 4/3.
4. Намерете значението на израза:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. Намерете значението на израза:
(1-cosx)(1+cosx), ако sinx = 0,3
Отговори (разделени с точка и запетая, безредно):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Се случи? Страхотен! Осмокласниците вече могат да отидат да получат своите A.)
Не се ли получи всичко? Задачи 2 и 3 някак не са много добри...? Няма проблем! Има една красива техника за такива задачи. Всичко може да се реши практически без формули! И следователно без грешки. Тази техника е описана в урока: „Връзки между тригонометрични функции на един ъгъл“ в раздел 555. Там се решават и всички други задачи.
Това бяха проблеми като Единния държавен изпит, но в съкратена версия. Единен държавен изпит - лек). И сега почти същите задачи, но в пълноправен формат. За обременени със знания гимназисти.)
6. Намерете стойността на tanβ, ако sinβ = 12/13 и
7. Да се определи sinх, ако tgх = 4/3, а x принадлежи на интервала (- 540°; - 450°).
8. Намерете стойността на израза sinβ cosβ, ако ctgβ = 1.
Отговори (в безпорядък):
0,8; 0,5; -2,4.
Тук в задача 6 ъгълът не е посочен много ясно... Но в задача 8 изобщо не е посочен! Това е нарочно). Допълнителна информацияне само взето от задачата, но и от главата.) Но ако решите, една правилна задача е гарантирана!
Ами ако не сте решили? Хм... Е, раздел 555 ще помогне тук. Там решенията на всички тези задачи са описани подробно, трудно е да не се разбере.
Този урок предоставя много ограничено разбиране на тригонометричните функции. В рамките на 8 клас. И старейшините все още имат въпроси...
Например, ако ъгълът х(погледнете втората снимка на тази страница) - направи го глупаво!? Триъгълникът напълно ще се разпадне! И така, какво трябва да направим? Няма да има катет, хипотенуза... Синусът изчезна...
Ако древните хора не бяха намерили изход от тази ситуация, сега нямаше да имаме мобилни телефони, телевизия или електричество. Да да! Теоретична основавсички тези неща без тригонометрични функции са нула без пръчка. Но древните хора не са разочаровани. Как са се измъкнали - в следващия урок.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Референтни данни за тангенс (tg x) и котангенс (ctg x). Геометрична дефиниция, свойства, графики, формули. Таблица на тангенси и котангенси, производни, интеграли, разширения на редове. Изрази чрез комплексни променливи. Връзка с хиперболични функции.
Геометрична дефиниция
|BD| - дължина на дъгата от окръжност с център в точка А.
α е ъгълът, изразен в радиани.
Тангенса ( тен α) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на срещуположния катет |BC| до дължината на съседния катет |AB| .
Котангенс ( ctg α) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| до дължината на срещуположния катет |BC| .
Допирателна
Където н- цяло.
В западната литература тангенсът се обозначава по следния начин:
.
;
;
.
Графика на функцията тангенс, y = tan x
Котангенс
Където н- цяло.
В западната литература котангенсът се означава по следния начин:
.
Приемат се и следните нотации:
;
;
.
Графика на функцията котангенс, y = ctg x
Свойства на тангенса и котангенса
Периодичност
Функции y = tg xи y = ctg xса периодични с период π.
Паритет
Функциите тангенс и котангенс са нечетни.
Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи
Функциите тангенс и котангенс са непрекъснати в тяхната област на дефиниция (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на тангенса и котангенса са представени в таблицата ( н- цяло).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Обхват и приемственост | ||
| Диапазон от стойности | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Повишаване на | - | |
| Спускане | - | |
| Крайности | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Пресечете точки с ординатната ос, x = 0 | y = 0 | - |
Формули
Изрази, използващи синус и косинус
;
;
;
;
;
Формули за тангенс и котангенс от сбор и разлика
Останалите формули са лесни за получаване, например
Произведение на допирателните
Формула за сбор и разлика на тангенси
Тази таблица представя стойностите на тангенсите и котангенсите за определени стойности на аргумента. 
Изрази, използващи комплексни числа
Изразяване чрез хиперболични функции
;
;
Деривати
; .
.
Производна от n-ти ред по отношение на променливата x на функцията:
.
Извеждане на формули за тангенс >>>; за котангенс >>>
Интеграли
Разширения на сериите
За да получите разширение на тангенса по степени на x, трябва да вземете няколко члена на разширението в степенен ред за функциите грях хИ cos xи разделяме тези полиноми един на друг, . Това произвежда следните формули.
В .
при .
Където Bn- Числата на Бернули. Те се определят или от рекурентната връзка:
;
;
Където .
Или според формулата на Лаплас: 
Обратни функции
Обратни функциикъм тангенс и котангенс са съответно арктангенс и арккотангенс.
Арктангенс, arctg
, Където н- цяло.
Аркотангенс, arcctg
, Където н- цяло.
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Г. Корн, Наръчник по математика за учени и инженери, 2012 г.
Когато се разглеждаха задачи за решаване на правоъгълен триъгълник, обещах да представя техника за запомняне на дефинициите на синус и косинус. Използвайки го, винаги бързо ще запомните коя страна принадлежи на хипотенузата (съседна или противоположна). Реших да не го отлагам дълго време, необходимият материал е по-долу, моля, прочетете го 😉
Факт е, че многократно съм наблюдавал как учениците от 10-11 клас трудно запомнят тези определения. Много добре помнят, че катетът се отнася за хипотенузата, но коя- забравят и объркан. Цената на грешката, както знаете на изпита, е загубена точка.
Информацията, която ще изложа директно няма нищо общо с математиката. Тя е свързана с въображаемо мислене, и с методи на вербално-логическа комуникация. Точно така го помня, веднъж завинагиданни за дефиниция. Ако все пак ги забравите, винаги можете лесно да си ги спомните, като използвате представените техники.
Нека ви напомня дефинициите на синус и косинус в правоъгълен триъгълник:
КосинусОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:
синуситеОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:
И така, какви асоциации имате с думата косинус?
Вероятно всеки има своя собствена 😉Запомнете връзката:
Така изразът веднага ще се появи в паметта ви -
«… съотношение на ПРИЛЕЖАЩИЯ катет към хипотенузата».
Проблемът с определянето на косинус е решен.
Ако трябва да запомните дефиницията на синус в правоъгълен триъгълник, тогава като си спомните дефиницията на косинус, можете лесно да установите, че синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположната страна към хипотенузата. В крайна сметка има само два крака; ако съседният катет е „зает“ от косинуса, тогава само срещуположният катет остава със синуса.
Какво ще кажете за тангенса и котангенса? Объркването е същото. Учениците знаят, че това е връзка на катети, но проблемът е да се запомни кой към кой се отнася - или противоположното на съседното, или обратното.
Дефиниции:
ДопирателнаОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на срещуположната страна към съседната страна:
КотангенсОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на съседната страна към противоположната:
Как да запомните? Има два начина. Единият също използва словесно-логическа връзка, другият използва математическа.
МАТЕМАТИЧЕСКИ МЕТОД
Има такова определение - тангенсът на остър ъгъл е съотношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:
* След като запомните формулата, винаги можете да определите, че тангенса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната страна.
По същия начин.Котангенсът на остър ъгъл е отношението на косинуса на ъгъла към неговия синус:
Така! Като запомните тези формули, винаги можете да определите, че:
- тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната
— котангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на съседната страна към противоположната страна.
СЛОВОЛОГИЧЕСКИ МЕТОД
Относно допирателната. Запомнете връзката:
Тоест, ако трябва да запомните дефиницията на допирателната, използвайки тази логическа връзка, можете лесно да си спомните какво е
„... съотношението на противоположната страна към съседната страна“
Ако говорим за котангенс, тогава спомняйки си определението за тангенс, лесно можете да изразите определението за котангенс -
„... съотношението на съседната страна към противоположната страна“
В сайта има интересен трик за запомняне на тангенс и котангенс " Математически тандем " , виж.
УНИВЕРСАЛЕН МЕТОД
Можете просто да го запомните.Но както показва практиката, благодарение на вербално-логическите връзки човек помни информация за дълго време, а не само математическа.
Надявам се материалът да ви е бил полезен.
С уважение, Александър Крутицких
P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.
Една от областите на математиката, с които учениците се борят най-много, е тригонометрията. Не е изненадващо: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способността да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси с помощта на формули, да опростявате изрази и да можете да използвате числото pi в изчисления. Освен това трябва да можете да използвате тригонометрията, когато доказвате теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.
Произход на тригонометрията
Запознаването с тази наука трябва да започне с дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.
Исторически основният обект на изследване в този раздел математическа наукабяха правоъгълни триъгълници. Наличието на ъгъл от 90 градуса дава възможност за извършване различни операции, което ви позволява да определите стойностите на всички параметри на въпросната фигура, като използвате две страни и един ъгъл или два ъгъла и една страна. В миналото хората забелязали този модел и започнали активно да го използват в строителството на сгради, навигацията, астрономията и дори в изкуството.
Първи етап
Първоначално хората говореха за връзката между ъгли и страни изключително чрез примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на употреба в Ежедневиетотози клон на математиката.
Изучаването на тригонометрия в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което учениците използват придобитите знания по физика и решаване на абстрактни задачи. тригонометрични уравнения, работата с която започва още в гимназията.
Сферична тригонометрия
По-късно, когато науката достигна следващото ниво на развитие, формулите със синус, косинус, тангенс и котангенс започнаха да се използват в сферичната геометрия, където важат различни правила, а сборът от ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този раздел не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му поне защото земната повърхност, а повърхността на всяка друга планета е изпъкнала, което означава, че всяка повърхностна маркировка ще бъде „с форма на дъга“ в триизмерното пространство.
Вземете глобуса и конеца. Прикрепете конеца към произволни две точки на земното кълбо, така че да е опънат. Моля, обърнете внимание - тя е придобила формата на дъга. Сферичната геометрия се занимава с такива форми, които се използват в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области.
Правоъгълен триъгълник
След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да използвате.
Първата стъпка е да разберете понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната срещу ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема нейната числова стойностравен на корена от сбора на квадратите на другите две страни.
Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.
Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат катети. Освен това трябва да помним, че сумата от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е равна на 180 градуса.
Определение
И накрая, с твърдо разбиране на геометричната основа, човек може да се обърне към дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл.
Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния катет (т.е. страната, противоположна на желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъл е отношението на съседната страна към хипотенузата.
Не забравяйте, че нито синус, нито косинус могат да бъдат по-големи от едно! Защо? Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата.Без значение колко дълъг е катетът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното отношение винаги ще бъде по-малко от едно. Така, ако в отговора си на задача получите синус или косинус със стойност, по-голяма от 1, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор е очевидно неправилен.
И накрая, тангенса на ъгъл е съотношението на срещуположната страна към съседната страна. Разделянето на синуса на косинуса ще даде същия резултат. Вижте: според формулата разделяме дължината на страната на хипотенузата, след това разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. Така получаваме същата връзка като в дефиницията на допирателната.
Котангенсът, съответно, е съотношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим едно на тангенса.
И така, разгледахме дефинициите за това какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да преминем към формулите.
Най-простите формули
В тригонометрията не можете без формули - как да намерите синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? Но точно това се изисква при решаването на проблеми.
Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на ъгъл е равна на едно. Тази формула е пряко следствие от Питагоровата теорема, но спестява време, ако трябва да знаете размера на ъгъла, а не на страната.
Много ученици не могат да запомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищни задачи: сумата от едно и квадрата на тангенса на ъгъл е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: това е същото твърдение като в първата формула, само че двете страни на тъждеството бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометрична формуланапълно неузнаваем. Запомнете: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правилата за трансформация и няколко основни формули, можете по всяко време независимо да извлечете необходимото повече сложни формуливърху лист хартия.
Формули за двойни ъгли и събиране на аргументи
Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сбора и разликата на ъглите. Те са представени на фигурата по-долу. Моля, обърнете внимание, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория се добавя произведението по двойки на синус и косинус.
Има и формули, свързани с аргументи с двоен ъгъл. Те са напълно извлечени от предишните - като тренировка се опитайте да ги получите сами, като вземете алфа ъгъла равен на ъгълабета.
И накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да бъдат пренаредени, за да се намали степента на синус, косинус, тангенс алфа.
Теореми
Двете основни теореми в основната тригонометрия са синусовата теорема и косинусовата теорема. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса и следователно площта на фигурата и размера на всяка страна и т.н.
Синусовата теорема гласи, че разделянето на дължината на всяка страна на триъгълник на противоположния ъгъл води до същото число. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки на даден триъгълник.
Косинусовата теорема обобщава Питагоровата теорема, проектирайки я върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сумата на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на съседния ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така Питагоровата теорема се оказва частен случай на косинусовата теорема.
Грешки от невнимание
Дори да знаете какво са синус, косинус и тангенс, лесно е да направите грешка поради разсеяност или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека да разгледаме най-популярните.
Първо, не трябва да преобразувате дроби в десетични, докато не получите крайния резултат - можете да оставите отговора като обикновена дроб, освен ако не е посочено друго в условията. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от проблема могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще си загубите времето в ненужни математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или корен от две, защото те се намират в проблеми на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на „грозните“ числа.
Освен това имайте предвид, че косинусовата теорема се прилага за всеки триъгълник, но не и за Питагоровата теорема! Ако по погрешка забравите да извадите два пъти произведението на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълна липса на разбиране на темата. Това е по-лошо от грешка по невнимание.
Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синусът е 30 градуса равно на косинус 60 и обратно. Лесно е да ги объркате, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.
Приложение
Много ученици не бързат да започнат да изучават тригонометрия, защото не разбират нейния практически смисъл. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, с които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит или да изпратите изследователска сонда до друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира автомобил, да се изчисли натоварването върху повърхност или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията под една или друга форма се използва навсякъде, от музиката до медицината.
Накрая
Така че вие сте синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате при изчисления и да решавате успешно училищни задачи.
Целият смисъл на тригонометрията се свежда до факта, че с помощта на известните параметри на триъгълник трябва да изчислите неизвестните. Има общо шест параметъра: дължината на трите страни и размера на трите ъгъла. Единствената разлика в задачите е, че се дават различни входни данни.
Вече знаете как да намерите синус, косинус, тангенс въз основа на известните дължини на катетите или хипотенузата. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основната цел на тригонометричен проблем е да се намерят корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук ще ви помогне обикновената училищна математика.
