Нека е дадена правоъгълна координатна система.

Теорема 1.1.За всеки две точки M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2) от равнината, разстоянието d между тях се изразява с формулата

Доказателство.Нека спуснем перпендикулярите M 1 B и M 2 A съответно от точките M 1 и M 2

на оста Oy и Ox и означете с K точката на пресичане на правите M 1 B и M 2 A (фиг. 1.4). Възможни са следните случаи:

1) Точките M 1, M 2 и K са различни. Очевидно точка K има координати (x 2; y 1). Лесно се вижда, че M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. защото ∆M 1 KM 2 е правоъгълна, тогава по Питагоровата теорема d = M 1 M 2 = = .

2) Точка K съвпада с точка M 2, но е различна от точка M 1 (фиг. 1.5). В този случай y 2 = y 1

и d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Точка K съвпада с точка M 1, но е различна от точка M 2. В този случай x 2 = x 1 и d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Точка М 2 съвпада с точка М 1. Тогава x 1 = x 2, y 1 = y 2 и

d = M 1 M 2 = O = .

Разделяне на сегмент в това отношение.

Нека на равнината е дадена произволна отсечка M 1 M 2 и M ─ всяка точка от нея

сегмент, различен от точка M 2 (фиг. 1.6). Числото l, определено от равенството l = , Наречен поведение,в която точка M разделя сегмента M 1 M 2.

Теорема 1.2.Ако точка M(x;y) разделя отсечката M 1 M 2 по отношение на l, тогава координатите на тази точка се определят по формулите

x = , y = , (4)

където (x 1;y 1) ─ координати на точка M 1, (x 2; y 2) ─ координати на точка M 2.

Доказателство.Нека докажем първата от формулите (4). Втората формула се доказва по подобен начин. Има два възможни случая.

x = x 1 = = = .

2) Правата M 1 M 2 не е перпендикулярна на оста Ox (фиг. 1.6). Нека спуснем перпендикулярите от точки M 1, M, M 2 към оста Ox и обозначим точките на тяхното пресичане с оста Ox като P 1, P, P 2, съответно. По теоремата за пропорционалните отсечки = л.

защото P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô и числата (x – x 1) и (x 2 – x) имат еднакъв знак (при x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 са отрицателни), тогава

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Следствие 1.2.1.Ако M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2) са две произволни точки и точката M (x; y) е средата на отсечката M 1 M 2, тогава

x = , y = (5)

Доказателство.Тъй като M 1 M = M 2 M, тогава l = 1 и използвайки формули (4), получаваме формули (5).

Площ на триъгълник.

Теорема 1.3.За всякакви точки A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) и C(x 3;y 3), които не лежат на едно и също

права линия, лицето S на триъгълник ABC се изразява с формулата

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Доказателство.Площта ∆ ABC, показана на фиг. 1.7, изчисляваме по следния начин

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Изчисляваме площта на трапеца:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Сега имаме

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

За друго местоположение ∆ ABC формула (6) се доказва по подобен начин, но може да се окаже със знак „-“. Следователно във формула (6) те поставят знака за модул.

Лекция 2.

Уравнение на права линия в равнина: уравнение на права линия с главен коефициент, общо уравнениеправа, уравнение на права в отсечки, уравнение на права, минаваща през две точки. Ъгълът между правите линии, условията за успоредност и перпендикулярност на правите в равнина.

2.1. Нека на равнината са дадени правоъгълна координатна система и някаква права L.

Определение 2.1.Уравнение от вида F(x;y) = 0, свързващо променливите x и y, се нарича линейно уравнение L(в дадена координатна система), ако това уравнение е изпълнено от координатите на която и да е точка, лежаща на правата L, а не от координатите на всяка точка, която не лежи на тази права.

Примери за уравнения на прави в равнина.

1) Да разгледаме права линия, успоредна на оста Oy на правоъгълната координатна система (фиг. 2.1). Нека означим с буквата A точката на пресичане на тази права с оста Ox, (a;o) ─ нейната или-

дината. Уравнението x = a е уравнението на дадената права. Наистина, това уравнение се удовлетворява от координатите на която и да е точка M(a;y) от тази права и не се удовлетворява от координатите на която и да е точка, която не лежи на правата. Ако a = 0, тогава правата линия съвпада с оста Oy, която има уравнението x = 0.

2) Уравнението x - y = 0 определя множеството от точки на равнината, които образуват ъглополовящите на I и III координатни ъгли.

3) Уравнението x 2 - y 2 = 0 ─ е уравнението на две ъглополовящи на координатни ъгли.

4) Уравнението x 2 + y 2 = 0 определя една точка O(0;0) на равнината.

5) Уравнение x 2 + y 2 = 25 ─ уравнение на окръжност с радиус 5 с център в началото.

В тази статия ще разгледаме начините за определяне на разстоянието от точка до точка теоретично и с помощта на примера на конкретни задачи. Като начало нека въведем някои дефиниции.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Разстояние между точкитее дължината на отсечката, която ги свързва, в съществуващия мащаб. Необходимо е да се зададе мащаб, за да има единица дължина за измерване. Следователно основно проблемът за намиране на разстоянието между точките се решава чрез използване на техните координати на координатна линия, в координатна равнина или триизмерно пространство.

Начални данни: координатна права O x и произволна точка A, лежаща върху нея.Всяка точка от правата има едно реално число: нека това е определено число за точка A x A,това е и координатата на точка А.

Като цяло можем да кажем, че дължината на определен сегмент се оценява в сравнение с сегмент, взет като единица дължина в дадена скала.

Ако точка A съответства на цяло реално число, като отлагаме последователно от точка O до точка по правата O A сегменти - единици за дължина, можем да определим дължината на сегмента O A от общия брой заделени единични сегменти.

Например точка А съответства на числото 3 - за да стигнете до нея от точка О, ще трябва да оставите три единични сегмента. Ако точка А има координата - 4, единичните сегменти се разполагат по подобен начин, но в различна, отрицателна посока. Така в първия случай разстоянието O A е равно на 3; във втория случай O A = 4.

Ако точка А има за своя координата рационално число, след това от началото (точка O) отделяме цял брой единични отсечки и след това необходимата му част. Но геометрично не винаги е възможно да се направи измерване. Например, изглежда трудно да се начертае фракцията 4 111 върху координатната права.

Използвайки горния метод, е напълно невъзможно да се начертае ирационално число върху права линия. Например, когато координатата на точка А е 11. В този случай е възможно да се обърнем към абстракцията: ако дадената координата на точка А е по-голяма от нула, тогава O A = x A (числото се приема като разстояние); ако координатата по-малко от нула, тогава O A = - x A . Като цяло тези твърдения са верни за всяко реално число x A.

За да обобщим: разстоянието от началото до точката, която съответства на реално число на координатната права, е равно на:

0, ако точката съвпада с началото;

x A, ако x A > 0;

- x A, ако x A< 0 .

В този случай е очевидно, че дължината на самия сегмент не може да бъде отрицателна, следователно, използвайки знака за модул, ние записваме разстоянието от точка O до точка A с координатата х А: O A = x A

Следното твърдение ще бъде вярно: разстоянието от една точка до друга ще бъде равно на модула на координатната разлика.Тези. за точки A и B, лежащи на една и съща координатна линия за всяко местоположение и имащи съответни координати х АИ x B: A B = x B - x A.

Изходни данни: точки A и B, лежащи на равнина в правоъгълна координатна система O x y с дадени координати: A (x A, y A) и B (x B, y B).

Нека начертаем перпендикуляри през точки A и B към координатните оси O x и O y и в резултат да получим проекционните точки: A x, A y, B x, B y. Въз основа на местоположението на точки A и B са възможни следните опции:

Ако точките А и В съвпадат, то разстоянието между тях е нула;

Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста O x (ос на абсцисата), тогава точките съвпадат и | A B | = | A y B y | . Тъй като разстоянието между точките е равно на модула на разликата на техните координати, тогава A y B y = y B - y A и следователно A B = A y B y = y B - y A.

Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста O y (ординатна ос) - по аналогия с предходния параграф: A B = A x B x = x B - x A

Ако точките A и B не лежат на права линия, перпендикулярна на една от координатните оси, ще намерим разстоянието между тях, като изведем формулата за изчисление:

Виждаме, че триъгълник A B C е правоъгълен по конструкция. В този случай A C = A x B x и B C = A y B y. Използвайки Питагоровата теорема, създаваме равенството: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 и след това го трансформираме: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Нека направим заключение от получения резултат: разстоянието от точка А до точка В на равнината се определя чрез изчисление по формулата, използвайки координатите на тези точки

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Получената формула също потвърждава предварително формирани твърдения за случаи на съвпадение на точки или ситуации, когато точките лежат на прави линии, перпендикулярни на осите. Така че, ако точки A и B съвпадат, ще бъде вярно следното равенство: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

За ситуация, в която точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

За случая, когато точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на ординатната ос:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Изходни данни: правоъгълна координатна система O x y z с лежащи върху нея произволни точки с дадени координати A (x A, y A, z A) и B (x B, y B, z B). Необходимо е да се определи разстоянието между тези точки.

Нека разгледаме общия случай, когато точките A и B не лежат в равнина, успоредна на една от координатните равнини. Нека начертаем равнини, перпендикулярни на координатните оси през точки A и B и да получим съответните проекционни точки: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Разстоянието между точките A и B е диагоналът на получения паралелепипед. Според конструкцията на измерванията на този паралелепипед: A x B x , A y B y и A z B z

От курса по геометрия е известно, че квадратът на диагонала на паралелепипед равно на суматаквадрати на неговите измервания. Въз основа на това твърдение получаваме равенството: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Използвайки изводите, получени по-рано, пишем следното:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

Нека трансформираме израза:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Финал формула за определяне на разстоянието между точките в пространствотоще изглежда така:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Получената формула е валидна и за случаите, когато:

Точките съвпадат;

Те лежат на една координатна ос или права линия, успоредна на една от координатните оси.

Примери за решаване на задачи за намиране на разстоянието между точките

Пример 1

Изходни данни: дадени са координатна права и лежащи върху нея точки с дадени координати A (1 - 2) и B (11 + 2). Необходимо е да се намери разстоянието от началната точка O до точка A и между точките A и B.

Решение

Разстоянието от референтната точка до точката е равно на модула на координатата на тази точка, съответно O A = 1 - 2 = 2 - 1
Определяме разстоянието между точките A и B като модула на разликата между координатите на тези точки: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Отговор: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Пример 2

Изходни данни: дадени са правоъгълна координатна система и две точки, лежащи върху нея A (1, - 1) и B (λ + 1, 3). λ е някакво реално число. Необходимо е да се намерят всички стойности на това число, при които разстоянието A B ще бъде равно на 5.

Решение

За да намерите разстоянието между точките A и B, трябва да използвате формулата A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Замествайки реалните стойности на координатите, получаваме: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Ние също използваме съществуващото условие, че A B = 5 и тогава равенството ще бъде вярно:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Отговор: A B = 5, ако λ = ± 3.

Пример 3

Изходни данни: зададено е тримерно пространство в правоъгълната координатна система O x y z и лежащите в нея точки A (1, 2, 3) и B - 7, - 2, 4.

Решение

За да решим задачата, използваме формулата A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Замествайки реалните стойности, получаваме: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Отговор: | A B | = 9

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

С помощта на координати определете местоположението на обект на глобус. Координатите са обозначени с географска ширина и дължина. Географските ширини се измерват от линията на екватора от двете страни. В Северното полукълбо ширините са положителни, в Южното полукълбо са отрицателни. Географската дължина се измерва от началния меридиан или на изток, или на запад, съответно се получава или източна, или западна дължина.

Според общоприетата позиция за начален меридиан се приема този, който минава през старата обсерватория Гринуич в Гринуич. Географските координати на местоположението могат да бъдат получени с помощта на GPS навигатор. Това устройство приема сигнали от системата за сателитно позициониране в единната за целия свят координатна система WGS-84.

Моделите Navigator се различават по производител, функционалност и интерфейс. В момента в някои модели мобилни телефони се предлагат и вградени GPS навигатори. Но всеки модел може да записва и запазва координатите на точка.

Разстояние между GPS координати

За решаване на практически и теоретични проблемив някои индустрии е необходимо да можете да определяте разстоянията между точките по техните координати. Има няколко начина, по които можете да направите това. Канонична форма на представяне географски координати: градуси, минути, секунди.

Например, можете да определите разстоянието между следните координати: точка № 1 - ширина 55°45′07″ с.ш., дължина 37°36′56″ из.д.; точка № 2 - ширина 58°00′02″ с.ш., дължина 102°39′42″ из.д.

Най-лесният начин е да използвате калкулатор, за да изчислите дължината между две точки. В търсачката на браузъра трябва да зададете следните параметри за търсене: онлайн - за изчисляване на разстоянието между две координати. В онлайн калкулатора стойностите на географската ширина и дължина се въвеждат в полетата за заявка за първата и втората координата. При изчисляването онлайн калкулаторът даде резултат - 3 800 619 m.

Следващият метод е по-трудоемък, но и по-визуален. Трябва да използвате всяка налична програма за картографиране или навигация. Програмите, в които можете да създавате точки с помощта на координати и да измервате разстояния между тях, включват следните приложения: BaseCamp (модерен аналог на програмата MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Всички горепосочени програми са достъпни за всеки потребител на мрежата. Например, за да изчислите разстоянието между две координати в Google Earth, трябва да създадете два етикета, указващи координатите на първата точка и втората точка. След това, като използвате инструмента „Линийка“, трябва да свържете първата и втората маркировка с линия, програмата автоматично ще покаже резултата от измерването и ще покаже пътя на сателитна снимкаЗемята.

В случая с примера, даден по-горе, програмата Google Earth върна резултата - дължината на разстоянието между точка № 1 и точка № 2 е 3 817 353 m.

Защо има грешка при определяне на разстоянието

Всички изчисления на разстоянието между координатите се основават на изчисляването на дължината на дъгата. Радиусът на Земята участва в изчисляването на дължината на дъгата. Но тъй като формата на Земята е близка до сплескан елипсоид, радиусът на Земята варира в определени точки. За изчисляване на разстоянието между координатите се взема средната стойност на радиуса на Земята, което дава грешка при измерването. Колкото по-голямо е измереното разстояние, толкова по-голяма е грешката.

Здравейте,

Използван PHP:

С уважение, Александър.

Здравейте,

От доста време се боря с проблем: Опитвам се да изчисля разстоянието между две произволни точки, които се намират на разстояние от 30 до 1500 метра една от друга.

Използван PHP:

$cx=31,319738; //x координата на първата точка
$cy=60,901638; //y координата на първата точка
$x=31,333312; //x координата на втората точка
$y=60,933981; //y координата на втората точка
$mx=abs($cx-$x); //изчислете разликата в X (първи крак правоъгълен триъгълник), функция abs(x) - връща модула на числото x x
$my=abs($cy-$y); //изчислете разликата между играчите (вторият катет на правоъгълния триъгълник)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Вземете разстоянието до метрото (дължината на хипотенузата според правилото, хипотенузата е равна на корена от сбора на квадратите на катетите)

Ако не е ясно, нека обясня: представям си, че разстоянието между две точки е хипотенузата на правоъгълен триъгълник. Тогава разликата между х-овете на всяка от двете точки ще бъде единият катет, а другият катет ще бъде разликата на у-те на същите две точки. След това, като изчислите разликите между X и Y, можете да използвате формулата, за да изчислите дължината на хипотенузата (т.е. разстоянието между две точки).

Знам, че това правило работи добре за декартовата координатна система, но повече или по-малко трябва да работи чрез longlat координати, т.к. измереното разстояние между две точки е незначително (от 30 до 1500 метра).

Разстоянието обаче този алгоритъмсе изчислява неправилно (например разстояние1, изчислено от този алгоритъм, превишава разстояние2 само с 13%, докато в действителност разстояние1 е 1450 метра, а разстояние2 е 970 метра, т.е. реално разликата достига почти 50%).

Ако някой може да помогне ще съм му много благодарен.

С уважение, Александър.

","contentType":"text/html"),"proposedBody":("source":"

Здравейте,

Използван PHP:

$cx=31,319738; //x координата на първата точка
$cy=60,901638; //y координата на първата точка
$x=31,333312; //x координата на втората точка
$y=60,933981; //y координата на втората точка
$mx=abs($cx-$x); //изчисляване на разликата в x (първия катет на правоъгълен триъгълник), функция abs(x) - връща модула на числото x x
$my=abs($cy-$y); //изчислете разликата между играчите (вторият катет на правоъгълния триъгълник)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Вземете разстоянието до метрото (дължината на хипотенузата според правилото, хипотенузата е равна на корена от сбора на квадратите на катетите)

Разстоянието обаче според този алгоритъм е изчислено неправилно (например разстояние 1, изчислено от този алгоритъм, превишава разстояние 2 само с 13%, докато в действителност разстояние 1 е равно на 1450 метра, а разстояние 2 е равно на 970 метра, т.е. всъщност разликата достига почти 50% ).

Ако някой може да помогне ще съм му много благодарен.

С уважение, Александър.

Здравейте,

Използван PHP:

$cx=31,319738; //x координата на първата точка
$cy=60,901638; //y координата на първата точка
$x=31,333312; //x координата на втората точка
$y=60,933981; //y координата на втората точка
$mx=abs($cx-$x); //изчисляване на разликата в x (първия катет на правоъгълен триъгълник), функция abs(x) - връща модула на числото x x
$my=abs($cy-$y); //изчислете разликата между играчите (вторият катет на правоъгълния триъгълник)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Вземете разстоянието до метрото (дължината на хипотенузата според правилото, хипотенузата е равна на корена от сбора на квадратите на катетите)

Ако някой може да помогне ще съм му много благодарен.

С уважение, Александър.

","contentType":"text/html"),"authorId":"108613929","slug":"15001","canEdit":false,"canComment":false,"isBanned":false,"canPublish" :false,"viewType":"old","isDraft":false,"isOnModeration":false,"isSubscriber":false,"commentsCount":14,"modificationDate":"сряда, 27 юни 2012 г. 20:07:00 GMT +0000 (UTC)","showPreview":true,"approvedPreview":("source":"

Здравейте,

Използван PHP:

$cx=31,319738; //x координата на първата точка
$cy=60,901638; //y координата на първата точка
$x=31,333312; //x координата на втората точка
$y=60,933981; //y координата на втората точка
$mx=abs($cx-$x); //изчисляване на разликата в x (първия катет на правоъгълен триъгълник), функция abs(x) - връща модула на числото x x
$my=abs($cy-$y); //изчислете разликата между играчите (вторият катет на правоъгълния триъгълник)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Вземете разстоянието до метрото (дължината на хипотенузата според правилото, хипотенузата е равна на корена от сбора на квадратите на катетите)

Ако някой може да помогне ще съм му много благодарен.

С уважение, Александър.

","html":"Здравейте,","contentType":"text/html"),"proposedPreview":("source":"

Здравейте,

Използван PHP:

$cx=31,319738; //x координата на първата точка
$cy=60,901638; //y координата на първата точка
$x=31,333312; //x координата на втората точка
$y=60,933981; //y координата на втората точка
$mx=abs($cx-$x); //изчисляване на разликата в x (първия катет на правоъгълен триъгълник), функция abs(x) - връща модула на числото x x
$my=abs($cy-$y); //изчислете разликата между играчите (вторият катет на правоъгълния триъгълник)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Вземете разстоянието до метрото (дължината на хипотенузата според правилото, хипотенузата е равна на корена от сбора на квадратите на катетите)

Ако някой може да помогне ще съм му много благодарен.

С уважение, Александър.

","html":"Здравейте,","contentType":"text/html"),"titleImage":null,"tags":[("displayName":"измерване на разстояние","slug":"измерение- rasstoyaniy","categoryId":"10615601","url":"/blog/mapsapi??tag=izmerenie-rasstoyaniy"),("displayName":"API 1.x","slug":"api-1 -x","categoryId":"150000131","url":"/blog/mapsapi??tag=api-1-x")],"isModerator":false,"commentsEnabled":true,"url": "/blog/mapsapi/15001","urlTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%","fullBlogUrl":"https://yandex.ru/blog/mapsapi","addCommentUrl":"/blog/ createComment/mapsapi/15001","updateCommentUrl":"/blog/updateComment/mapsapi/15001","addCommentWithCaptcha":"/blog/createWithCaptcha/mapsapi/15001","changeCaptchaUrl":"/blog/api/captcha/new ","putImageUrl":"/blog/image/put","urlBlog":"/blog/mapsapi","urlEditPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlSlug":"/blog/post/generateSlug ","urlPublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish","urlUnpublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/unpublish","urlRemovePost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d5 4c8/removePost","urlDraft":"/блог/ mapsapi /15001/draft","urlDraftTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%/draft","urlRemoveDraft":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/removeDraft","urlTagSuggest":"/blog/api/suggest/mapsapi " ,"urlAfterDelete":"/blog/mapsapi","isAuthor":false,"subscribeUrl":"/blog/api/subscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8","unsubscribeUrl":"/blog/api/unsubscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8", " urlEditPost страница ":"/blog/mapsapi/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlForTranslate":"/blog/post/translate","urlRelateIssue":"/blog/post/updateIssue","urlUpdateTranslate":"/blog/post /updateTranslate ","urlLoadTranslate":"/blog/post/loadTranslate","urlTranslationStatus":"/blog/mapsapi/15001/translationInfo","urlRelatedArticles":"/blog/api/relatedArticles/mapsapi/15001"," автор" :("id":"108613929","uid":("value":"108613929","lite":false,"hosted":false),"псевдоними":(),"login":" mrdds" ,"display_name":("name":"mrdds","avatar":("default":"0/0-0","empty":true)),,"address":" [имейл защитен]","defaultAvatar":"0/0-0","imageSrc":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yapic/0/0-0/islands-middle","isYandexStaff": false),"originalModificationDate":"2012-06-27T16:07:49.000Z","socialImage":("orig":("fullPath":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yablogs /47421/файл_1456488726678/ориг")))))">

Определяне на разстоянието между две точки САМО с използване на longlat координати.

$my=abs($cy-$y); //изчислете разликата между играчите (вторият катет на правоъгълния триъгълник)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Вземете разстоянието до метрото (дължината на хипотенузата според правилото, хипотенузата е равна на корена от сбора на квадратите на катетите)

Ако някой може да помогне ще съм му много благодарен.

С уважение, Александър.

Решаването на задачи по математика често е съпроводено с много трудности за учениците. Основната цел на нашия сайт е да помогнем на ученика да се справи с тези трудности, както и да го научим да прилага съществуващите теоретични знания при решаване на конкретни задачи във всички раздели на курса по предмета „Математика“.

При започване на решаване на задачи по темата учениците трябва да могат да построяват точка от равнина по нейните координати, както и да намират координатите на дадена точка.

Изчисляването на разстоянието между две точки A(x A; y A) и B(x B; y B), взети в равнина, се извършва по формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), където d е дължината на отсечката, която свързва тези точки в равнината.

Ако един от краищата на сегмента съвпада с началото на координатите, а другият има координати M(x M; y M), тогава формулата за изчисляване на d ще приеме формата OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Изчисляване на разстоянието между две точки по дадените координати на тези точки

Пример 1.

Намерете дължината на отсечката, която свързва точките A(2; -5) и B(-4; 3) на координатната равнина (фиг. 1).

Решение.

Постановката на задачата гласи: x A = 2; x B = -4; y A = -5 и y B = 3. Намерете d.

Прилагайки формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), получаваме:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Изчисляване на координатите на точка, която е на равно разстояние от три дадени точки

Пример 2.

Намерете координатите на точка O 1, която е на еднакво разстояние от три точки A(7; -1) и B(-2; 2) и C(-1; -5).

Решение.

От формулировката на условията на задачата следва, че O 1 A = O 1 B = O 1 C. Нека желаната точка O 1 има координати (a; b). Използвайки формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) намираме:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Нека създадем система от две уравнения:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

След квадратура на левия и десни частизаписваме уравненията:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Опростено, нека пишем

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

След като решихме системата, получаваме: a = 2; b = -1.

Точка O 1 (2; -1) е на еднакво разстояние от трите точки, посочени в условието, които не лежат на една и съща права линия. Тази точка е центърът на окръжност, минаваща през три дадени точки (фиг. 2).

3. Изчисляване на абсцисата (ординатата) на точка, която лежи на абсцисната (ординатната) ос и е на дадено разстояние от дадена точка

Пример 3.

Разстоянието от точка B(-5; 6) до точка A, лежаща на оста Ox, е 10. Намерете точка A.

Решение.

От формулировката на условията на задачата следва, че ординатата на точка А е равна на нула и AB = 10.

Означавайки абсцисата на точка A с a, пишем A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Получаваме уравнението √((a + 5) 2 + 36) = 10. Опростявайки го, имаме

a 2 + 10a – 39 = 0.

Корените на това уравнение са a 1 = -13; и 2 = 3.

Получаваме две точки A 1 (-13; 0) и A 2 (3; 0).

Преглед:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

И двете получени точки са подходящи според условията на задачата (фиг. 3).

4. Изчисляване на абсцисата (ординатата) на точка, която лежи на абсцисната (ординатната) ос и е на еднакво разстояние от две дадени точки

Пример 4.

Намерете точка на оста Oy, която е на същото разстояние от точки A (6, 12) и B (-8, 10).

Решение.

Нека координатите на изискваната от условията на задачата точка, лежаща на оста Oy, са O 1 (0; b) (в точката, лежаща на оста Oy, абсцисата е нула). От условието следва, че O 1 A = O 1 B.

Използвайки формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) намираме:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Имаме уравнението √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) или 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

След опростяване получаваме: b – 4 = 0, b = 4.

Точка O 1 (0; 4), изисквана от условията на задачата (фиг. 4).

5. Изчисляване на координатите на точка, която се намира на същото разстояние от координатните оси и дадена точка

Пример 5.

Намерете точка M, разположена на координатната равнина на същото разстояние от координатните оси и от точка A(-2; 1).

Решение.

Търсената точка M, подобно на точка A(-2; 1), се намира във втория координатен ъгъл, тъй като е на еднакво разстояние от точките A, P 1 и P 2 (фиг. 5). Разстоянията на точка M от координатните оси са еднакви, следователно нейните координати ще бъдат (-a; a), където a > 0.

От условията на задачата следва, че MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

тези. |-a| = а.

Използвайки формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) намираме:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Нека съставим уравнение:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

След повдигане на квадрат и опростяване имаме: a 2 – 6a + 5 = 0. Решете уравнението, намерете a 1 = 1; и 2 = 5.

Получаваме две точки M 1 (-1; 1) и M 2 (-5; 5), които удовлетворяват условията на задачата.

6. Изчисляване на координатите на точка, която се намира на едно и също определено разстояние от абсцисната (ординатната) ос и от дадената точка

Пример 6.

Намерете точка M, така че нейното разстояние от ординатната ос и от точка A(8; 6) да е равно на 5.

Решение.

От условията на задачата следва, че MA = 5 и абсцисата на точка M е равна на 5. Нека ординатата на точка M е равна на b, тогава M(5; b) (фиг. 6).

Съгласно формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) имаме:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Нека съставим уравнение:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Опростявайки го, получаваме: b 2 – 12b + 20 = 0. Корените на това уравнение са b 1 = 2; b 2 = 10. Следователно има две точки, които удовлетворяват условията на задачата: M 1 (5; 2) и M 2 (5; 10).

Известно е, че много ученици при самостоятелно решаване на проблеми се нуждаят от постоянни консултации относно техниките и методите за решаването им. Често ученикът не може да намери начин да реши проблем без помощта на учител. Студентът може да получи необходимите съвети за решаване на проблеми на нашия уебсайт.

Все още имате въпроси? Не знаете как да намерите разстоянието между две точки на равнина?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Как да изчислим разстоянието с помощта на координатите x y. Как да изчислим разстоянието между GPS координатите

Примери за решаване на задачи за намиране на разстоянието между точките

Разстояние между GPS координати

Защо има грешка при определяне на разстоянието

Определяне на разстоянието между две точки САМО с използване на longlat координати.

Манастирът Александър Невски, тракт Каршлихи

Програма за ипотечни субсидии за предприемачи