Как се решават естествени логаритми. Натурален логаритъм

Ориз. 16. Поведение на функцията f(x) = x4 4x3

При преминаване през точката x = 0 производната не променя знака си: функцията намалява както на интервала (1; 0], така и на интервала. Следователно точката x = 0 е седлова точка на функцията.

Но когато преминава през точката x = 3, производната променя знака от () на (+). Между 2 .

Англо-американска система

Математиците, статистиците и някои инженери обикновено използват за обозначаване натурален логаритъм или „log( х)" или "ln( х)", а за обозначаване на логаритъм с основа 10 - "log 10 ( х)».

Някои инженери, биолози и други специалисти винаги пишат „ln( х)" (или понякога "log e ( х)"), когато означават натурален логаритъм и нотацията "log( х)" означават log 10 ( х).

дневник де "естествен" логаритъм, защото се появява автоматично и се появява много често в математиката. Например, разгледайте проблема с производната на логаритмична функция:

Ако основата bравно на д, тогава производната е просто 1/ х, и когато х= 1 тази производна е равна на 1. Друга причина защо основата дНай-естественото нещо за логаритъма е, че той може да бъде дефиниран доста просто от гледна точка на прост интеграл или серия на Тейлър, което не може да се каже за други логаритми.

Допълнителни оправдания за естествеността не са свързани с нотацията. Например, има няколко прости серии с естествени логаритми. Пиетро Менголи и Николас Меркатор ги повикаха натурален логаритъмняколко десетилетия, докато Нютон и Лайбниц разработят диференциално и интегрално смятане.

Определение

Формално ln( а) може да се определи като площта под кривата на графиката 1/ хот 1 до а, т.е. като интеграл:

Това наистина е логаритъм, защото удовлетворява основното свойство на логаритъма:

Това може да се демонстрира, като се приеме, както следва:

Числова стойност

За изчисление числова стойностнатурален логаритъм от число, можете да използвате разширението му в ред на Тейлър във формата:

За да получите по-добра степен на конвергенция, можете да използвате следната идентичност:

при условие че г = (х−1)/(х+1) и х > 0.

За ln( х), Където х> 1, толкова по-близка е стойността хдо 1, толкова по-бърза е скоростта на конвергенция. Идентичностите, свързани с логаритъма, могат да се използват за постигане на целта:

Тези методи са били използвани още преди появата на калкулаторите, за които са използвани цифрови таблици и са извършвани манипулации, подобни на описаните по-горе.

Висока точност

За изчисляване на натурален логаритъм с голям брой прецизни цифри, серията на Тейлър не е ефективна, защото нейната конвергенция е бавна. Алтернатива е да се използва методът на Нютон за обръщане в експоненциална функция, чийто ред се събира по-бързо.

Алтернатива за много висока точност на изчисление е формулата:

Където Мозначава средно аритметично-геометрично от 1 и 4/s, и

мизбрани така че стрса постигнати белези за точност. (В повечето случаи е достатъчна стойност от 8 за m.) Наистина, ако се използва този метод, обратният на Нютон натурален логаритъм може да се приложи за ефективно изчисляване експоненциална функция. (Константите ln 2 и pi могат да бъдат предварително изчислени до желаната точност, като се използва някоя от известните бързо сходими серии.)

Изчислителна сложност

Изчислителната сложност на естествените логаритми (използвайки средноаритметично-геометрично) е O( М(н)лн н). Тук не броят на цифрите с точност, за които трябва да се изчисли естественият логаритъм, и М(н) е изчислителната сложност на умножението по две н-цифрени числа.

Продължени дроби

Въпреки че няма прости продължителни дроби за представяне на логаритъм, могат да се използват няколко обобщени продължителни дроби, включително:

Комплексни логаритми

Експоненциалната функция може да бъде разширена до функция, която дава комплексно число на формата д хза всяко произволно комплексно число х, в този случай безкрайна серия с комплекс х. Това експоненциална функцияможе да бъде обърнат, за да образува комплексен логаритъм, който ще има през по-голямата частсвойства на обикновените логаритми. Има обаче две трудности: няма х, за което д х= 0 и се оказва, че д 2πi = 1 = д 0 . Тъй като свойството мултипликативност е валидно за сложна експоненциална функция, тогава д z = д z+2nπiза всички комплексни zи цяло н.

Логаритъмът не може да бъде дефиниран върху цялата комплексна равнина и въпреки това е многозначен - всеки комплексен логаритъм може да бъде заменен с "еквивалентен" логаритъм чрез добавяне на всяко цяло число, кратно на 2 πi. Комплексният логаритъм може да бъде само еднократен върху отрязък от комплексната равнина. Например, ln i = 1/2 πiили 5/2 πiили −3/2 πi, и т.н., и въпреки че i 4 = 1,4 log iможе да се определи като 2 πi, или 10 πiили −6 πi, и така нататък.

Вижте също

Джон Напиер - изобретател на логаритмите

Бележки

Математика за физикохимия. - 3-ти. - Academic Press, 2005. - С. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Откъс от страница 9
Джей Джей О"Конър и ЕФ РобъртсънЧислото e. Архивът на MacTutor по история на математиката (септември 2001 г.). Архивирано
Каджори ФлорианИстория на математиката, 5-то изд. - Книжарница AMS, 1991. - С. 152. - ISBN 0821821024
Флашман, МартинОценяване на интеграли с помощта на полиноми. Архивиран от оригинала на 12 февруари 2012 г.

Графика на функцията натурален логаритъм. Функцията бавно се доближава до положителна безкрайност, докато нараства хи бързо се доближава до отрицателна безкрайност, когато хклони към 0 („бавно“ и „бързо“ в сравнение с всяка степенна функция на х).

Натурален логаритъм е логаритъма към основата , Където e (\displaystyle e)- ирационална константа, равна приблизително на 2,72. Означава се като ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x)или понякога просто log ⁡ x (\displaystyle \log x), ако основата e (\displaystyle e)подразбира се С други думи, натурален логаритъм на число х- това е показател, до който трябва да се повдигне число д, Придобивам х. Това определение може да се разшири до комплексни числа.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), защото e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), защото e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Натуралният логаритъм може също да бъде определен геометрично за всяко положително реално число акато площта под кривата y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x)))между [ 1 ; a ] (\displaystyle ). Простотата на това определение, което е в съответствие с много други формули, които използват този логаритъм, обяснява произхода на името "естествен".

Ако разгледаме естествения логаритъм като реална функция на реална променлива, тогава това е обратната функция на експоненциалната функция, която води до идентичностите:

e ln ⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Както всички логаритми, естественият логаритъм преобразува умножението в събирането:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране определено лицеили контакт с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

често вземете номер д = 2,718281828 . Наричат се логаритми, базирани на тази база естествено. Когато извършвате изчисления с естествени логаритми, обичайно е да работите със знака лн, но не дневник; докато броят 2,718281828 , определящи основата, не са посочени.

С други думи, формулировката ще изглежда така: натурален логаритъмчисла х- това е показател, до който трябва да се повдигне число д, Придобивам х.

Така, в(7389...)= 2, тъй като д 2 =7,389... . Натурален логаритъм на самото число д= 1 защото д 1 =д, а натуралният логаритъм от единица е нула, тъй като д 0 = 1.

Самото число ддефинира границата на монотонна ограничена последователност

изчислено е, че д = 2,7182818284... .

Доста често, за да се фиксира число в паметта, цифрите на необходимия номер се свързват с някаква изключителна дата. Скорост на запаметяване на първите девет цифри от число дслед десетичната запетая ще се увеличи, ако забележите, че 1828 е годината на раждане на Лев Толстой!

Днес има достатъчно пълни масиестествени логаритми.

Графика на натурален логаритъм(функции y=в х) е следствие от експоненциалната графика огледална картинаотносително прав y = xи има формата:

Натуралният логаритъм може да се намери за всяко положително реално число акато площта под кривата г = 1/хот 1 преди а.

Елементарният характер на тази формулировка, която е в съответствие с много други формули, в които участва натурален логаритъм, е причината за образуването на името „естествен“.

Ако анализирате натурален логаритъм, като реална функция на реална променлива, тогава тя действа обратна функция до експоненциална функция, която се свежда до идентичностите:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

По аналогия с всички логаритми, естественият логаритъм преобразува умножението в събиране, делението в изваждане:

вътре(xy) = вътре(х) + вътре(г)

вътре(x/y)= lnx - lny

Логаритъмът може да се намери за всяка положителна основа, която не е равна на единица, не само за д, но логаритмите за други бази се различават от натуралния логаритъм само с постоянен коефициент и обикновено се определят от гледна точка на натуралния логаритъм.

Като анализира графика с естествен логаритъм,откриваме, че съществува за положителни стойности на променливата х. Той се увеличава монотонно в своята област на дефиниране.

При х → 0 границата на естествения логаритъм е минус безкрайност ( -∞ ).При x → +∞ границата на естествения логаритъм е плюс безкрайност ( + ∞ ). На свобода хЛогаритъмът нараства доста бавно. Всяка властова функция xaс положителен показател анараства по-бързо от логаритъма. Натуралният логаритъм е монотонно нарастваща функция, така че няма екстремуми.

Използване естествени логаритмимного рационален при преминаване висша математика. По този начин използването на логаритъм е удобно за намиране на отговор на уравнения, в които неизвестните се появяват като показатели. Използването на естествени логаритми в изчисленията прави възможно значително опростяване голям бройматематически формули. Логаритми към основата д присъстват при решаването на значителен брой физични задачи и естествено се включват в математическото описание на отделни химични, биологични и други процеси. Така логаритмите се използват за изчисляване на константата на разпадане за известен период на полуразпад или за изчисляване на времето на разпадане при решаване на проблеми с радиоактивността. Те играят водеща роля в много раздели на математиката и практическите науки; към тях се прибягва в областта на финансите за решаване голямо числозадачи, включително изчисляване на сложна лихва.