Изисква познаване на основните формули на тригонометрията - сбор от квадратите на синус и косинус, изразяване на тангенс през синус и косинус и др. За тези, които са ги забравили или не ги знаят, препоръчваме да прочетете статията "".
И така, основните тригонометрични формулизнаем, че е време да ги приложим на практика. Решаване на тригонометрични уравненияс правилния подход това е доста вълнуващо занимание, като например решаването на кубчето на Рубик.

От самото име става ясно, че тригонометричното уравнение е уравнение, в което неизвестното е под знака на тригонометричната функция.
Има така наречените прости тригонометрични уравнения. Ето как изглеждат: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Нека помислим как се решават такива тригонометрични уравнения, за яснота ще използваме вече познатата тригонометрична окръжност.

sinx = а

cos x = a

тен х = а

детско легло x = a

Всяко тригонометрично уравнение се решава на два етапа: свеждаме уравнението до най-простата му форма и след това го решаваме като просто тригонометрично уравнение.
Има 7 основни метода, чрез които се решават тригонометрични уравнения.

1. Заместване на променливи и метод на заместване

Решете уравнението 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Използвайки формулите за намаляване, получаваме:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Заменете cos(x + /6) с y, за да опростите и да получите обичайното квадратно уравнение:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Корените на което са y 1 = 1, y 2 = 1/2

Сега да вървим в обратен ред

Заменяме намерените стойности на y и получаваме две опции за отговор:

2. Решаване на тригонометрични уравнения чрез факторизация

Как да решим уравнението sin x + cos x = 1?

Нека преместим всичко наляво, така че 0 да остане отдясно:

sin x + cos x – 1 = 0

Нека използваме идентичностите, обсъдени по-горе, за да опростим уравнението:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Нека разложим на множители:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Получаваме две уравнения

3. Свеждане до хомогенно уравнение

Едно уравнение е хомогенно по отношение на синус и косинус, ако всички негови членове са относителни към синус и косинус от една и съща степен на същия ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, продължете както следва:

а) прехвърли всички свои членове на лява страна;

б) извадете всички общи множители извън скоби;

в) приравнете всички множители и скоби на 0;

г) получени в скоби хомогенно уравнениев по-малка степен, той от своя страна е разделен на синус или косинус в най-висока степен;

д) решете полученото уравнение за tg.

Решете уравнението 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Нека използваме формулата sin 2 x + cos 2 x = 1 и да се отървем от отворените две отдясно:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Разделете на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Заменете tan x с y и получете квадратно уравнение:

y 2 + 4y +3 = 0, чиито корени са y 1 =1, y 2 = 3

От тук намираме две решения на първоначалното уравнение:

x 2 = арктан 3 + k

4. Решаване на уравнения чрез преход към половин ъгъл

Решете уравнението 3sin x – 5cos x = 7

Да преминем към x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Нека преместим всичко наляво:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Разделете на cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Въвеждане на спомагателен ъгъл

За разглеждане нека вземем уравнение от вида: a sin x + b cos x = c,

където a, b, c са произволни коефициенти, а x е неизвестно.

Нека разделим двете страни на уравнението на:



Сега коефициентите на уравнението, според тригонометричните формули, имат свойствата sin и cos, а именно: техният модул е ​​не повече от 1 и сумата на квадратите = 1. Нека ги обозначим съответно като cos и sin, където - това е така нареченият спомагателен ъгъл. Тогава уравнението ще приеме формата:

cos * sin x + sin * cos x = C

или sin(x + ) = C

Решението на това най-просто тригонометрично уравнение е

x = (-1) k * arcsin C - + k, където



Трябва да се отбележи, че обозначенията cos и sin са взаимозаменяеми.

Решете уравнението sin 3x – cos 3x = 1

Коефициентите в това уравнение са:

a = , b = -1, така че разделете двете страни на = 2

Урок по интегрирано приложение на знанията.

Цели на урока.

1. Обмисли различни методирешаване на тригонометрични уравнения.
2. развитие креативностученици чрез решаване на уравнения.
3. Насърчаване на учениците към самоконтрол, взаимоконтрол и самоанализ на учебната си дейност.

Оборудване: екран, проектор, справочни материали.

По време на часовете

Уводен разговор.

Основният метод за решаване на тригонометрични уравнения е тяхното свеждане до най-простата им форма. В този случай се използват обичайните методи, например факторизиране, както и техники, използвани само за решаване на тригонометрични уравнения. Има доста от тези техники, например различни тригонометрични замествания, трансформации на ъгли, трансформации тригонометрични функции. Безразборното прилагане на всякакви тригонометрични трансформации обикновено не опростява уравнението, а катастрофално го усложнява. За да тренирате в общ контурплан за решаване на уравнението, очертайте начин за намаляване на уравнението до най-простото, първо трябва да анализирате ъглите - аргументите на тригонометричните функции, включени в уравнението.

Днес ще говорим за методи за решаване на тригонометрични уравнения. Правилно избраният метод често може значително да опрости решението, така че всички методи, които сме изучавали, винаги трябва да се имат предвид, за да се решават тригонометрични уравнения, като се използва най-подходящият метод.

II. (С помощта на проектор повтаряме методите за решаване на уравнения.)

1. Метод за редуциране на тригонометрично уравнение до алгебрично.

Необходимо е всички тригонометрични функции да бъдат изразени чрез една, с един и същ аргумент. Това може да се направи с помощта на основната тригонометрична идентичност и нейните последствия. Получаваме уравнение с една тригонометрична функция. Приемайки го като ново неизвестно, получаваме алгебрично уравнение. Намираме неговите корени и се връщаме към старото неизвестно, решавайки най-простите тригонометрични уравнения.

2. Метод на факторизиране.

За промяна на ъгли често са полезни формули за редукция, сума и разлика на аргументите, както и формули за преобразуване на сумата (разликата) на тригонометричните функции в произведение и обратно.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Метод за въвеждане на допълнителен ъгъл.

4. Метод за използване на универсално заместване.

Уравнения във формата F(sinx, cosx, tanx) = 0 се редуцират до алгебрични чрез универсално тригонометрично заместване

Изразяване на синус, косинус и тангенс чрез тангенса на половин ъгъл. Тази техника може да доведе до уравнение от по-висок ред. Решението на което е трудно.

При решаване на мн математически задачи, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно определен. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравненияи уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът за успешно решаване на всеки от споменатите проблеми е следният: трябва да установите какъв тип проблем решавате, да запомните необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т.е. отговорете и следвайте тези стъпки.

Очевидно е, че успехът или неуспехът при решаването на конкретен проблем зависи главно от това колко правилно е определен типът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи на неговото решение. Разбира се, в този случай е необходимо да имате умения за извършване на идентични трансформации и изчисления.

Ситуацията е различна при тригонометрични уравнения.Не е никак трудно да се установи, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при определяне на последователността от действия, които биха довели до верния отговор.

от външен видуравнение понякога е трудно да се определи вида му. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.

За да решите тригонометрично уравнение, трябва да опитате:

1. привеждане на всички функции, включени в уравнението, до „едни и същи ъгли“;
2. приведе уравнението към „еднакви функции”;
3. множете лявата страна на уравнението и т.н.

Нека помислим основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения

Диаграма на решението

Етап 1.Изразете тригонометрична функция чрез известни компоненти.

Стъпка 2.Намерете аргумента на функцията, като използвате формулите:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

тен х = а; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Стъпка 3.Намерете неизвестната променлива.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Променлива замяна

Диаграма на решението

Етап 1.Редуцирайте уравнението до алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.

Стъпка 2.Обозначете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения върху t).

Стъпка 3.Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.

Стъпка 4.Направете обратна замяна.

Стъпка 5.Решете най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2, не отговаря на условието |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за намаляване на реда на уравнението

Диаграма на решението

Етап 1.Заменете това уравнение с линейно, като използвате формулата за намаляване на степента:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2.Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.

Пример.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогенни уравнения

Диаграма на решението

Етап 1.Редуцирайте това уравнение до формата

а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)

или към гледката

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).

Стъпка 2.Разделете двете страни на уравнението на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и получете уравнението за tan x:

а) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Стъпка 3.Решете уравнението с известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Тогава нека tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, което означава

tg x = 1 или tg x = -4.

От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод за преобразуване на уравнение с помощта на тригонометрични формули

Диаграма на решението

Етап 1.Използвайки всички възможни тригонометрични формули, редуцирайте това уравнение до уравнение, решено с методи I, II, III, IV.

Стъпка 2.Решете полученото уравнение, като използвате известни методи.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.

Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В резултат на това x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Способността и умението за решаване на тригонометрични уравнения е много важно, тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.

Много проблеми на стереометрията, физиката и т.н. са свързани с решаването на такива задачи, въплъщаващи много от знанията и уменията, които се придобиват чрез изучаване на елементите на тригонометрията.

Тригонометрични уравнениязаемат важно мястов процеса на обучението по математика и развитието на личността като цяло.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Концепция за решаване на тригонометрични уравнения.

• За да решите тригонометрично уравнение, преобразувайте го в едно или повече основни тригонометрични уравнения. Решаването на тригонометрично уравнение в крайна сметка се свежда до решаването на четирите основни тригонометрични уравнения.

Решаване на основни тригонометрични уравнения.

• Има 4 вида основни тригонометрични уравнения:
• sin x = a; cos x = a
• тен х = а; ctg x = a
• Решаването на основни тригонометрични уравнения включва разглеждане на различните позиции на "x". единична окръжности използване на таблица за преобразуване (или калкулатор).
• Пример 1. sin x = 0,866. С помощта на таблица за преобразуване (или калкулатор) ще получите отговора: x = π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: 2π/3. Запомнете: всички тригонометрични функции са периодични, което означава, че техните стойности се повтарят. Например, периодичността на sin x и cos x е 2πn, а периодичността на tg x и ctg x е πn. Следователно отговорът е написан по следния начин:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Пример 2. cos x = -1/2. С помощта на таблица за преобразуване (или калкулатор) ще получите отговора: x = 2π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
• Отговор: x = π/4 + πn.
• Пример 4. ctg 2x = 1,732.
• Отговор: x = π/12 + πn.

Трансформации, използвани при решаване на тригонометрични уравнения.

• За преобразуване на тригонометрични уравнения се използват алгебрични трансформации (факторизация, редукция еднородни членовеи т.н.) и тригонометрични тъждества.
• Пример 5: Използвайки тригонометрични идентичности, уравнението sin x + sin 2x + sin 3x = 0 се преобразува в уравнението 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. По този начин следните основни тригонометрични уравнения трябва да се реши: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Намиране на ъгли по известни стойностифункции.

  • Преди да научите как да решавате тригонометрични уравнения, трябва да научите как да намирате ъгли, като използвате известни стойности на функцията. Това може да стане с помощта на таблица за преобразуване или калкулатор.
  • Пример: cos x = 0,732. Калкулаторът ще даде отговора x = 42,95 градуса. Единичната окръжност ще даде допълнителни ъгли, чийто косинус също е 0,732.

• Заделете разтвора върху единичната окръжност.

  • Можете да начертаете решения на тригонометрично уравнение върху единичната окръжност. Решения на тригонометрично уравнение върху единичната окръжност са върховете на правилен многоъгълник.
  • Пример: Решенията x = π/3 + πn/2 върху единичната окръжност представляват върховете на квадрата.
  • Пример: Решенията x = π/4 + πn/3 върху единичната окръжност представляват върховете на правилен шестоъгълник.

• Методи за решаване на тригонометрични уравнения.

  • Ако дадено тригонометрично уравнение съдържа само една тригонометрична функция, решете това уравнение като основно тригонометрично уравнение. Ако дадено уравнение включва две или повече тригонометрични функции, тогава има 2 метода за решаване на такова уравнение (в зависимост от възможността за неговото преобразуване).
    • Метод 1.
  • Преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, където f(x), g(x), h(x) са основните тригонометрични уравнения.
  • Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Решение. Използвайки формулата за двоен ъгъл sin 2x = 2*sin x*cos x, заменете sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
  • Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
  • Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0 .
    • Метод 2.
  • Преобразувайте даденото тригонометрично уравнение в уравнение, съдържащо само една тригонометрична функция. След това заменете тази тригонометрична функция с някаква неизвестна, например t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t и т.н.).
  • Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Решение. В това уравнение заменете (cos^2 x) с (1 - sin^2 x) (според тъждеството). Трансформираното уравнение е:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Заменете sin x с t. Сега уравнението изглежда така: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Това е квадратно уравнение, което има два корена: t1 = -1 и t2 = 9/5. Вторият корен t2 не отговаря на обхвата на функцията (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Решение. Заменете tg x с t. Пренапишете оригиналното уравнение, както следва: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Сега намерете t и след това намерете x за t = tan x.

Тригонометричните уравнения не са лесна тема. Те са твърде разнообразни.) Например тези:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

и т.н...

Но тези (и всички други) тригонометрични чудовища имат две общи и задължителни характеристики. Първо - няма да повярвате - в уравненията има тригонометрични функции.) Второ: всички изрази с x са намерени в рамките на същите тези функции.И само там! Ако X се появи някъде навън,Например, sin2x + 3x = 3,това вече ще е уравнение смесен тип. Такива уравнения изискват индивидуален подход. Няма да ги разглеждаме тук.

В този урок също няма да решаваме зли уравнения.) Тук ще се занимаваме с най-простите тригонометрични уравнения.Защо? Да, защото решението всякаквитригонометричните уравнения се състоят от два етапа. На първия етап злото уравнение се свежда до просто чрез различни трансформации. На втория се решава това най-просто уравнение. Няма друг начин.

Така че, ако имате проблеми на втория етап, първият етап няма много смисъл.)

Как изглеждат елементарните тригонометрични уравнения?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = a

Тук А означава произволно число. Всякакви.

Между другото, вътре в една функция може да няма чисто X, а някакъв вид израз, като:

cos(3x+π /3) = 1/2

и т.н. Това усложнява живота, но не засяга метода за решаване на тригонометрично уравнение.

Как се решават тригонометрични уравнения?

Тригонометричните уравнения могат да се решават по два начина. Първият начин: използване на логиката и тригонометричната окръжност. Ще разгледаме този път тук. Вторият начин - използване на памет и формули - ще бъде разгледан в следващия урок.

Първият начин е ясен, надежден и трудно се забравя.) Добър е за решаване на тригонометрични уравнения, неравенства и всякакви трудни нестандартни примери. Логиката е по-силна от паметта!)

Решаване на уравнения с помощта на тригонометрична окръжност.

Включваме елементарна логика и умение да използваме тригонометричния кръг. Не знаеш ли как? Въпреки това... Ще ви е трудно в тригонометрията...) Но това няма значение. Разгледайте уроците "Тригонометрична окръжност...... Какво е това?" и „Измерване на ъгли върху тригонометрична окръжност.“ Там всичко е просто. За разлика от учебниците...)

О, знаеш ли!? И дори усвои „Практическа работа с тригонометричния кръг“!? Честито. Тази тема ще ви бъде близка и разбираема.) Особено радващото е, че тригонометричната окръжност не се интересува какво уравнение решавате. Синус, косинус, тангенс, котангенс – всичко му е едно и също. Има само един принцип на решение.

Така че вземаме всяко елементарно тригонометрично уравнение. Поне това:

cosx = 0,5

Трябва да намерим X. Казано на човешки език, имате нужда намерете ъгъла (x), чийто косинус е 0,5.

Как използвахме кръга преди? Начертахме ъгъл върху него. В градуси или радиани. И то веднага трион тригонометрични функции на този ъгъл. Сега нека направим обратното. Нека начертаем косинус върху окръжността, равен на 0,5 и веднага ще видим ъгъл. Остава само да напиша отговора.) Да, да!

Начертайте кръг и маркирайте косинуса, равен на 0,5. По косинусовата ос, разбира се. Като този:

Сега нека начертаем ъгъла, който ни дава този косинус. Задръжте курсора на мишката върху снимката (или докоснете снимката на таблета си) и ще видитеточно този ъгъл Х.

Косинусът на кой ъгъл е 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Някои хора ще се усмихнат скептично, да... Като, струваше ли си да направим кръг, когато всичко вече е ясно... Можете, разбира се, да се усмихнете...) Но факт е, че това е грешен отговор. Или по-скоро недостатъчно. Познавачите на кръговете разбират, че тук има цял куп други ъгли, които също дават косинус от 0,5.

Ако завъртите подвижната страна OA пълен оборот, точка А ще се върне в първоначалната си позиция. Със същия косинус равен на 0,5. Тези. ъгълът ще се променис 360° или 2π радиана и косинус - не.Новият ъгъл 60° + 360° = 420° също ще бъде решение на нашето уравнение, т.к.

Могат да бъдат направени безкраен брой такива пълни завъртания... И всички тези нови ъгли ще бъдат решения на нашето тригонометрично уравнение. И всички те трябва да бъдат записани по някакъв начин в отговор. Всичко.Иначе решението не се брои, да...)

Математиката може да направи това просто и елегантно. Запишете в един кратък отговор безкрайно множестворешения. Ето как изглежда нашето уравнение:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ще го дешифрирам. Все пак пиши смисленоПо-приятно е от глупавото рисуване на мистериозни букви, нали?)

π /3 - това е същият ъгъл, който ние трионвърху кръга и определенспоред косинусовата таблица.

2π е една пълна революция в радиани.

н - това е броят на пълните, т.е. цялооб/мин Ясно е, че н може да бъде равно на 0, ±1, ±2, ±3.... и така нататък. Както е посочено от кратък запис:

n ∈ Z

н принадлежи ( ∈ ) набор от цели числа ( З ). Между другото, вместо писмото н буквите могат да се използват добре к, м, т и т.н.

Тази нотация означава, че можете да вземете всяко цяло число н . Най-малко -3, поне 0, поне +55. Каквото поискаш. Ако замените това число в отговора, ще получите конкретен ъгъл, който определено ще бъде решението на нашето сурово уравнение.)

Или, с други думи, x = π /3 е единственият корен на безкрайно множество. За да получите всички други корени, е достатъчно да добавите произволен брой пълни обороти към π /3 ( н ) в радиани. Тези. 2πn радиан.

Всичко? Не. Нарочно удължавам удоволствието. За да запомним по-добре.) Получихме само част от отговорите на нашето уравнение. Ще напиша тази първа част от решението така:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 - не само един корен, а цяла поредица от корени, записани в кратка форма.

Но има и ъгли, които също дават косинус от 0,5!

Да се ​​върнем към нашата снимка, от която записахме отговора. Ето я:

Задръжте мишката върху изображението и виждамедруг ъгъл, който също дава косинус от 0,5.На какво мислите, че е равно? Триъгълниците са еднакви... Да! Той равен на ъгъл х , само забавени в отрицателна посока. Това е ъгълът -Х. Но вече сме изчислили x. π /3 или 60°. Следователно можем спокойно да напишем:

x 2 = - π /3

Е, разбира се, добавяме всички ъгли, които се получават чрез пълни обороти:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко сега.) На тригонометричната окръжност ние трион(който разбира, разбира се)) всичкоъгли, които дават косинус от 0,5. И ние записахме тези ъгли в кратка математическа форма. Отговорът доведе до две безкрайни серии от корени:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Това е правилният отговор.

надежда, общ принцип за решаване на тригонометрични уравненияизползването на кръг е ясно. Отбелязваме върху окръжност косинуса (синус, тангенс, котангенс) от даденото уравнение, начертаваме съответните му ъгли и записваме отговора.Разбира се, трябва да разберем какви ъгли сме трионвърху кръга. Понякога не е толкова очевидно. Е, казах, че тук е необходима логика.)

Например, нека разгледаме друго тригонометрично уравнение:

Моля, имайте предвид, че числото 0,5 не е единственото възможно число в уравненията!) Просто ми е по-удобно да го напиша, отколкото корени и дроби.

Ние работим според общия принцип. Начертаваме кръг, маркираме (на синусовата ос, разбира се!) 0,5. Начертаваме всички ъгли, съответстващи на този синус наведнъж. Получаваме тази снимка:

Нека първо се заемем с ъгъла х през първото тримесечие. Спомняме си таблицата на синусите и определяме стойността на този ъгъл. Това е проста работа:

x = π /6

Спомняме си за пълните завои и с чиста съвест записваме първата поредица от отговори:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Половината работа е свършена. Но сега трябва да определим втори ъгъл...По-сложно е от косинусите, да... Но логиката ще ни спаси! Как да определим втория ъгъл през х? Да Лесно! Триъгълниците на снимката са еднакви, както и червеният ъгъл х равен на ъгъл х . Само той се брои от ъгъла π в отрицателна посока. Затова е червен.) А за отговора ни трябва ъгъл, измерен правилно от положителната полуос OX, т.е. от ъгъл 0 градуса.

Задръжте курсора върху чертежа и виждаме всичко. Премахнах първия ъгъл, за да не усложнявам картината. Ъгълът, който ни интересува (начертан в зелено), ще бъде равен на:

π - х

X знаем това π /6 . Следователно вторият ъгъл ще бъде:

π - π /6 = 5π /6

Отново си спомняме за добавянето на пълни обороти и записваме втората серия от отговори:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко. Пълният отговор се състои от две серии от корени:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тангенсните и котангенсните уравнения могат лесно да бъдат решени, като се използва същият общ принцип за решаване на тригонометрични уравнения. Ако, разбира се, знаете как да начертаете тангенс и котангенс върху тригонометрична окръжност.

В примерите по-горе използвах табличната стойност на синус и косинус: 0,5. Тези. едно от онези значения, които ученикът знае трябва да.Сега нека разширим възможностите си до всички други стойности.Решете, значи решете!)

И така, да кажем, че трябва да решим това тригонометрично уравнение:

Такава косинусова стойност в кратки таблициНе. Хладно пренебрегваме този ужасен факт. Начертайте кръг, маркирайте 2/3 върху косинусната ос и начертайте съответните ъгли. Получаваме тази снимка.

Нека да разгледаме първо ъгъла през първата четвърт. Само ако знаехме на какво е равно x, веднага щяхме да запишем отговора! Не знаем... Провал!? Спокоен! Математиката не оставя своя народ в беда! Тя измисли дъгови косинуси за този случай. Не знам? Напразно. Разберете, това е много по-лесно, отколкото си мислите. На този линк няма нито едно сложно заклинание за "обратни тригонометрични функции"... Това е излишно в тази тема.

Ако сте наясно, просто си кажете: "X е ъгъл, чийто косинус е равен на 2/3." И веднага, чисто по дефиницията на аркосинус, можем да напишем:

Спомняме си за допълнителните обороти и спокойно записваме първата серия от корени на нашето тригонометрично уравнение:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Втората поредица от корени за втория ъгъл се записва почти автоматично. Всичко е същото, само X (arccos 2/3) ще бъде с минус:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

И това е! Това е правилният отговор. Дори по-лесно, отколкото с таблични стойности. Няма нужда да помните нищо.) Между другото, най-внимателните ще забележат, че тази снимка показва решението чрез аркосинус по същество не се различава от картината за уравнението cosx = 0,5.

Точно! Общ принципЕто защо е често срещано! Съзнателно нарисувах две почти еднакви картини. Кръгът ни показва ъгъла х по своя косинус. Дали е табличен косинус или не, не е известно на всички. Какъв вид ъгъл е това, π /3, или какво е арккосинус - това зависи от нас да решим.

Същата песен със синуса. Например:

Начертайте отново кръг, маркирайте синуса, равен на 1/3, начертайте ъглите. Това е картината, която получаваме:

И отново картината е почти същата като при уравнението sinx = 0,5.Отново започваме от корнер през първата четвърт. На какво е равно X, ако неговият синус е 1/3? Няма проблем!

Сега първият пакет корени е готов:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Нека се заемем с втория ъгъл. В примера със стойност на таблицата 0,5 тя беше равна на:

π - х

И тук ще е абсолютно същото! Само х е различно, arcsin 1/3. И какво от това!? Можете спокойно да запишете втория пакет корени:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Това е напълно правилен отговор. Въпреки че не изглежда много познато. Но е ясно, надявам се.)

Ето как тригонометричните уравнения се решават с помощта на кръг. Този път е ясен и разбираем. Той е този, който спестява в тригонометрични уравнения с избор на корени на даден интервал, в тригонометрични неравенства - те обикновено се решават почти винаги в кръг. Накратко, във всякакви задачи, които са малко по-трудни от стандартните.

Да приложим знанията на практика?)

Решете тригонометрични уравнения:

Първо, по-просто, направо от този урок.

Сега е по-сложно.

Съвет: тук ще трябва да помислите за кръга. Лично.)

И сега те са външно прости... Наричат ​​ги още специални случаи.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Подсказка: тук трябва да разберете в кръг къде има две серии от отговори и къде има една... И как да напишете една вместо две серии от отговори. Да, за да не се загуби нито един корен от безкраен брой!)

Е, много просто):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Съвет: тук трябва да знаете какво са арксинус и аркосинус? Какво е арктангенс, арккотангенс? Най-простите определения. Но не е нужно да помните стойности на таблица!)

Отговорите, разбира се, са бъркотия):

х 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2= π - arcsin0,3 + 2

Не всичко се получава? Случва се. Прочетете урока отново. само замислено(има такъв остаряла дума...) И следвайте връзките. Основните връзки са за кръга. Без нея тригонометрията е като пресичане на пътя със завързани очи. Понякога работи.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.